第10 讲 MATLAB CUMCM 真题求解实例一：数据型

红酒显著性检验结果
T检 验 值
6
T(0.05)值
T(0.01)值
4
2
T检 验 值
0
0
5
10
15
20
25
30
样品号
白酒显著性检验结果
T检 验 值 T(0.05)值
3
T(0.01)值
2
1
T检 验 值
0
0
5
10
15
20
25
30
样品号
图 1 每个样品的 T 检验值与参考值的比较
运行程序，得到每个样品的 T 检验结果（如图 1 所示)和平均 T 检验值：
t 检验分为单总体检验和双总体检验。单总体 t 检验时检验一个样本平均数与一个已知 的总体平均数的差异是否显著；双总体 t 检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的 总体的差异是否显著。对于该问题，由于有两个样本，因此可以采用双总体 t 检验。
2.2 模型的建立和求解
2.2.1 差异显著性评判
由于 t 检验是比较成熟的方法，所以这里将不再对 t 检验的理论进行探讨，而是 直接应用该方法。
i=N
∑ T ∗ = Ti i=1
其中，T ∗ 为平均 T 检验值，i 为样品号， N 为样品总数，Ti 为两组品酒师对样品 i 的
T 检验值。 由于红酒和白酒品质差异比较大，所以我们将分别对红酒和白酒的评价结果进行显著性
分析，及对于红酒来说，N=27，对白酒来说，N=8。 至此就可以用 MATLAB 编写程序来求解该问题了，具体程序如下：
本讲针对的题型是数据型的建模问题， 2012 年的 A 题就是一道典型这类问题，接下 来将介绍这道题的 MATLAB 求解过程。
1 问题的提出
确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄 酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄 的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度 上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件 1 给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件 2 和附 件 3 分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下 列问题：
i=N
∑ V = (Si − u0 )2 i=1
其中，V 为样本对总体样本的方差，Si 为第 i 品酒师的给酒样的总分，u0 为总体样本
均值。 由于在计算 T 检验的过程中，已得到该表达式中的所有参数的值，所以可以很快得到每
组品酒师对每个样品的方差了。在上面程序的基础上，稍作修改，就可以编写出计算该方差 的程序如下：
第 10 讲 MATLAB CUMCM 真题求解实例一：数据型
作者：卓金武, MathWorks 中国
要想在建模比赛中取得好成绩， 光学不练是不行的， 真题的实训有助于积累实战经验， 对建模、编程、写论文技能的大幅提升非常有帮助。 从本讲开始， 将以历年国赛真题为实 例，介绍 MATLAB 在实际比赛中的具体应用过程。
%% 2012A_question1_T evaluation %------------------------------------------------------------------------%% 数据准备 % 清空环境变量 clear all clc
%导入数据 X1=xlsread('2012A_T1_processed.xls', 'T1_red_grape', 'D3:M272'); X2=xlsread('2012A_T1_processed.xls', 'T2_red_grape', 'D3:M272');
值与其比较，作出统计推断，推断依据如下所示。 表 1 T 检验推断依据表
T
P值
差异显著程度
T ≥ T(df)0.01
P ≤ 0.01
差异非常显著
T ≥ T(df)0.05
P ≤ 0.05
差异显著
T < T(df)0.05
P > 0.05
差异不显著
方法确定后，我们再来确定研究对象，即对哪个主体利用该方法，因为这个问题里面， 对于每个样品既有单项评分，又有总分，而从品酒员角度，每个品酒员又有评分。为此，我 们针对问题的目标，即评判两组评酒员的评价结果有无显著性差异，来确定最合适的研究对 象。
for j=1:n2 SX3(i,j)=sum(X3(10*i-9:10*i,j)); SX4(i,j)=sum(X4(10*i-9:10*i,j)); end end % 计算每组样品得分的均值 for i=1:K2 Mean3(i)=mean(SX3(i,:)); Mean4(i)=mean(SX4(i,:)); end % 计算检验值 for i=1:K2 S2(1,i)=(sum((SX3(i,:)-Mean3(i)).^2)+sum((SX4(i,:)Mean4(i)).^2))/(n2*(n2-1)); T2(1,i)=(Mean3(i)-Mean4(i))/(sqrt(S2(1,i))); end AT_W=abs(T2); M_AT_W=mean(AT_W); %% 结果显示与比较 a=2.102; % T(0.05,2,18)=2.101 b=2.878; % T(0.01,2,18)=2.878 set(gca,'linewidth',2) % 红酒结果 for i=1:K1 Ta1(i)=a; Tb1(i)=b; end t1=1:K1; subplot(2,1,1);
(1) 两组品酒师对红酒和白酒的评价结果差异都不显著; (2) 对白酒评价结果的差异小于对红酒的差异。
2.2.2 评价结果稳定性
基于上面的分析，我们可知，两组品酒师对酒样的评判结果差异不显著，即可以认为来 自于同个样本的数据。这样我们就可以用每组品酒师的得分对总体样本的方差来表示各组品 酒师评价结果的稳定性了，即：
% 白酒结果 for i=1:K2
Ta2(i)=a; Tb2(i)=b; end t2=1:K2; subplot(2,1,2); plot(t2,AT_W,'*k-',t2,Ta2,'r-',t2,Tb2,'-.b', 'LineWidth', 2) title('白酒显著性检验结果','fontsize',14) legend('T 检验值', 'T(0.05)值', 'T(0.01)值') xlabel('样品号'), ylabel('T 检验值') % 显示平均检验结果 disp(['两组品酒师对红酒的平均显著性 T 检验值:' num2str(M_AT_R)]); disp(['两组品酒师对白酒的平均显著性 T 检验值:' num2str(M_AT_W)]); %% end
Mean2(i)=mean(SX2(i,:)); end % 计算检验值 for i=1:K1
S1(1,i)=(sum((SX1(i,:)-Mean1(i)).^2)+sum((SX2(i,:)Mean2(i)).^2))/(n1*(n1-1));
T1(1,i)=(Mean1(i)-Mean2(i))/(sqrt(S1(1,i))); end AT_R=abs(T1); M_AT_R=mean(AT_R); %% 白葡萄酒 T 检验计算过程 [m2,n2]=size(X3); K2=28; % 计算每个样品的总得分 for i=1:K2
%% 红葡萄酒 T 检验计算过程 [m1,n1]=size(X1); K1=27; % 计算每个样品的总得分 for i=1:K1
for j=1:n1 SX1(i,j)=sum(X1(10*i-9:10*i,j)); SX2(i,j)=sum(X2(10*i-9:10*i,j)); end end % 计算每组样品得分的均值 for i=1:K1 Mean1(i)=mean(SX1(i,:));
(n1 − 1) + (n2 − 1)
n1
n 2
当 n1 = n2 = n 时，
Hale Waihona Puke ∑ ∑ S x1−x2 =(x1 − x1 )2 + (x2 − x2 )2 n(n − 1)
S x1−x2 为均数差异标准误， n1 、 n2 ， x1 、 x2 分别为两样本含量、平均数。
（3）根据 df=(n1-1)+(n2-1)，查临界 t 值： t0.05 、 t0.01 ，将计算所得 t 值的绝对
2 问题 1 模型的建立和求解
2.1 问题 1 的分析
问题 1 要求我们首先首先要确定两组评酒员的评价结果有无显著性差异，再评判哪组 结果更可信。既然是显著性差异，我们很容易就想到可以用统计学中的显著性检验方法来确 定该问题。
显著性检验（test of significance）又叫假设检验，是统计学中一个很重要的内容。显著 性检验的方法很多，常用的有 t 检验、F 检验和χ2 检验等。尽管这些检验方法的用途及使用 条件不同，但其检验的基本原理是相同的。根据本问题的场景，结合以上三个检验方法的特 点，该问题比较适合用 t 检验方法。
在该问题中，每个样品的品质可以认为是固定的，所以对每个样品，不同组品酒员的总 分应用 T 检验最合适，也最能反应两组品酒员的评价结果。
为此，在利用 T 检验之前，需要对原始数据进行一些预处理，主要处理内容包括： (1) 数据质量检查与清洗，即查看数据是否有缺失，如果有缺失，则需要进行填充。通 过检查数据质量发现，的确存在数据缺失现象，为此对于缺失的值，用同组的平均值来进行 填充。 (2) 对各个 sheet 中的数据按照样品编号进行重新排列，以便利用程序进行比较。 经过这样的处理，就可以用程序来计算这些样品的 T 检验值了， 这样就可以用每组检 验值的平均值来表示每组品酒师对红酒和白酒的显著性差异，即：