历年高考抛物线真题详解理科

历年高考抛物线真题详解理科

1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，

l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上

任意一点，M 是线段PF 上的点，且

=2

,则直线OM 的斜率的最大值为( )

（A ）（B ）（C ）（D ）1

3.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2

2(p 0)y px =>上

任意一点，M 是线段PF 上的点，且

PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )

（A （B ）2

3

（C （D ）1

4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、

E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8

5.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线

24y x =相交于

A ，

B 两点，与圆

()

()2

2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，

则r 的取值范围是（ ）

（A ）

()13，

（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24， 6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点

A ，

B ，

C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF

∆的面积之比是（ ）

A.

1

1

BF

AF

-

-

B.

2

2

1

1

BF

AF

-

-

C.

1

1

BF

AF

+

+

D.

2

2

1

1

BF

AF

+

+

7.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:28

y x

=的焦点，M是C上一点，FM的

延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN=

8.【2016高考天津理数】设抛物线

2

2

2

x pt

y pt

⎧=

⎨

=

⎩

，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过

抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（7

2

p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，

且△ACE

的面积为p的值为_________.

10.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，1

2

）作直线l与

抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.

11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20

l x y

--=，抛物线2

:y2(0)

C px p

=>（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为(2,).

p p

--；

②求p的取值范围.

12.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物

线2

x

y =，点A 11()24

-，，39()24

B ，，抛物线上的点)2

32

1)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线

AP 的垂线，垂足为Q ．

（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．

13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．

（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR

FQ ；

（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，

l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

【答案】A

【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 方程为1(1)y k x =-

联立方程214(1)

y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222

111

240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212

124

k k +=

同理直线2l 与抛物线的交点满足2

2342

2

24

k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++

22

122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号. 【考点】抛物线的简单性质

2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上

任意一点，M 是线段PF 上的点，且

=2

,则直线OM 的斜率的最大值为( )

（A ）（B ）（C ）（D ）1

【答案】

C