广东省各地中考数学压轴题集锦

广东省汕头市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析

广东省汕头市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析广东省汕头市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020潮南.中考模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x +bx +c 经过点A （3，0）和点B （2，3），过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且tan ∠CAO ＝．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当S ＝S 时，求点D 的坐标．~~第2题~~(2020龙湖.中考模拟) 如图，抛物线与轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，－2），连接BC 、AD ．（1）将矩形OBHC 绕点B 按逆时针旋转90°后，再沿轴对折到矩形GBFE （点C 与点E 对应，点O 与点G 对应），求点E 的坐标；（2）设过点E 的直线交AB 于点P ，交CD 于点Q ．①当四边形PQCB 为平行四边形时，求点P 的坐标；②是否存在点P ，使直线PQ 分梯形ADCB 的面积为1∶3两部分？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．~~第3题~~(2020澄海.中考模拟) 如图，已知在矩形ABCD 中，AD=10cm ，AB=4cm ，动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AD 向终点D 移动，设移动时间为（s ）．连接PC ，以PC 为一边作正方形PCEF ，连接DE 、DF ．2△DBC △ADC（1）求正方形PCEF的面积（用含的代数式来表示，不要求化简），并求当正方形PCEF 的面积为25 cm 时的值；（2）设△DEF 的面积为（cm），求与之间的函数关系式，并求当为何值时？△DEF 的面积取得最小值，这个最小值是多少？（3）求当为何值时？△DEF 为等腰三角形．~~第4题~~(2020濠江.中考模拟) 如图，抛物线与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点．（1）求A ，B ，C 的坐标．（2）如图2，连接BC ，AC ，在第三象限的抛物线上有一点D ，使∠DCA ＝∠BCO ，求点D 的坐标．（3）在直线BC 上是否存在一点M 和平面内一点N ，使以N 、M 、B 、A 四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．~~第5题~~(2020潮阳.中考模拟) 如图，一次函数y=﹣4x ﹣4的图象与x 轴、y 轴分别交于A、C 两点，抛物线y=的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B 。

广东中考数学试卷2023压轴题

广东中考数学试卷2023压轴题2023年广东中考数学试卷压轴题一、选择题1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. 3C. √5D. 42. 已知正方形ABCD的边长为2cm，点E是边AB的中点，连接DE并延长交边BC于点F，若EF的长度为3cm，则三角形DEF的面积为多少？A. 1.5 cm²B. 2 cm²C. 2.5 cm²D. 3 cm²3. 若a:b = 3:4，b:c = 5:6，c:d = 7:8，则a:d的值为多少？A. 15:28B. 21:32C. 35:48D. 45:564. 已知函数y = 2x² + 3x + 1，求函数的对称轴方程。

A. x = -3/4B. x = -3/2C. x = -1/2D. x = -1/45. 在平面直角坐标系中，点A(3, 4)和点B(7, 2)的中点坐标为：A. (5, 3)B. (5, 6)C. (6, 3)D. (6, 6)二、填空题6. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了5小时后，行驶的距离为______公里。

7. 若a:b = 2:3，b:c = 4:5，c:d = 6:7，则a:d的值为______。

8. 若函数y = ax² + bx + c的图像与x轴有两个交点，则a、b、c的关系式为______。

9. 若平行四边形的一条边长为6cm，高为4cm，则其面积为______平方厘米。

10. 若正方形的周长为20cm，则其面积为______平方厘米。

三、解答题11. 已知函数y = x² - 4x + 3，求函数的零点及对称轴方程。

解：首先，我们令y = 0，得到方程x² - 4x + 3 = 0。

通过因式分解或配方法，可以得到(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3。

因此，函数的零点为x = 1和x = 3。

对称轴方程的求解：对于一般形式的二次函数y = ax² + bx + c，其对称轴方程为x = -b/2a。

2024广东中考数学压轴题

2024广东中考数学压轴题一、在直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx + c与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)，且与y 轴交于点C(0,3)。

下列说法正确的是：A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 抛物线的对称轴是直线x = -1（答案：D）二、已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2 + b2 + c2 = 10a + 6b + 8c - 50。

则下列判断三角形ABC的形状中，正确的是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形（答案：D）三、函数y = (x - 1)/(x + 2)中，当x的值增大时，y的值会：A. 一直增大B. 一直减小C. 在某个区间内增大，在另一个区间内减小D. 保持不变（答案：C）四、已知四边形ABCD是平行四边形，且AB = 6，BC = 8，对角线AC与BD相交于点O，则下列关于O点到AB和BC的距离d1和d2的说法正确的是：A. d1 + d2 = 14B. d1 × d2 = 24C. d1/d2 = AB/BCD. d12 + d22 = AB2 + BC2（答案：B）五、圆O的半径为5，点P在圆O外，且OP = 8。

过点P作圆O的两条切线，分别与圆O 相切于点A和B。

则弦AB的长度为：A. 6B. 4√3C. 5√2D. 2√15（答案：A）六、在数轴上，点A表示的数为-2，点B表示的数为3。

若点C表示的数为x，且满足AC + BC = 8，则x的值为：A. -3或4B. -4或3C. -3或-1D. 2或-5（答案：B）七、已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像经过点(1,0)，(2,0)和(3,4)。

下列说法正确的是：A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 函数的顶点在x轴上（答案：A）八、正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，且AE = 1。

广州中考数学压轴题(学生版)

1．如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线1交x 轴于点B 。

P 为线段上一动点，作直线⊥，交直线1于点C 。

过P 点作直线平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线1于点N 。

（1）当点C 在第一象限时，求证：△≌△；（2）当点C 在第一象限时，设长为m ，四边形的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）当点P 在线段上移动时，点C 也随之在直线1上移动，△是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△成为等腰三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由。

说明：●考查字母运算能力 ● 分类讨论思想，取值范围内解的有效性 ●2.关于x 的二次函数y ＝2＋(k 2-4)x ＋22以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．(1)求此抛物线的解析式(2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作垂直x 轴于点B，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作垂直x 轴于点C, 得到矩形．设矩形的周长为C ，点A 的横坐标为x ，试求C 关于x 的函数关系式；(3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．x 第1题图第2题图说明：●考查字母运算能力●分类讨论思想，取值范围内解的有效性●方法多样化，易错点为用字母表示边长时，注意边长的非负性3.如图所示, 在平面直角坐标系中, 矩形的边长、分别为12、6, 点A、C 分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线2经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿边以1的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿边以2的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时, 设△的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形如第3题图果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.说明：●图形必须准确，存在性问题如果不会做，可通过画图判断（答存在得分的机会大得多）4．已知二次函数2＋＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r 的⊙P ，且圆心P 在抛物线上运动，当⊙P 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值.（3）半径为1的⊙P 在抛物线上，当点P 的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P 与y 轴相离、相交？说明：●考查画图能力和字母运算能力 ●分类讨论思想，取值范围内解的有效性 ● 方法多样化，易错点为用字母表示边长时，注意边长的非负性5．如图示已知点M 的坐标为（4，0），以M 为圆心，以2为半径的圆交x 轴于A 、B ，抛物线c bx x y ++=261过A 、B 两点且与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标并画出抛物线的大致图象（2）过C 点作⊙M 的切线，求直线的解析式．说明：●图形必须准确，画切线后巧妙解法是利用两直线平行，K 相等 ●易错点为漏解（过圆外一点作圆的切线有两条） ● 两直线垂直，K 互为负倒数可以使用6.如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC , ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.（1）．用x 表示∆的面积;第5题图（2）．求出0﹤x≤5时y与x的函数关系式；（3）．求出5﹤x﹤10时y与x的函数关系式；（4）．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？说明：●考查画图能力和字母运算能力●分类讨论思想，取值范围内解的有效性●方法多样化，在设未知数或用字母表示未知量时，要充分发挥“勾股、相似、锐角三角函数”的作用，挖掘题目中的特殊角（特殊比值）来巧妙运算7.在△中，∠Ａ＝90°，＝４，3，M是上的动点（不与A、B重合），过点M作∥交于点N. 以为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形，令. 当x为何值时，⊙O与直线相切？8.如图，直线334y x=+和x轴y轴分别交与点B、A，点C是的中点，过点C向左方作射线⊥y轴，点D是线段上一动点，不和B重合，⊥于点P，⊥于点E，连接。

广东中考数学压轴题

广东09压轴题127．（广东省）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM ＝x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时，Rt △ABM ∽Rt △AMN ，并求此时x 的值．128．（广东省广州市）如图，二次函数y ＝x2＋px ＋q （p ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为45．（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．M B CND A129．（广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△P AB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积；若没有，请说明理由．130．（广东省深圳市）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）连结P A，若P A＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？备用图131．（广东省深圳市）已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA ＜OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式．（2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP 交BC 于点E ．①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标． ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．132．（广东省珠海市）已知抛物线y ＝x2－32mx 与x 轴相交于点A 、B ，抛物线的顶点为C ．（1）试用含m 的代数式表示AB 的长度；（2）当△ABC 为等边三角形时，求点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，如何平移抛物线，使AC ＝213AB ？133．（广东省佛山市）如图1，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB ＝4，BC ＝4，CC 1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点B 1到最短路径的距离． A Bxy O 图1C A B x y O PD E图2 C A BPxy O D E 图3 C 备用图图1134．（广东省茂名市）已知：如图，直线l ：y ＝31x ＋b ，经过点M (0，41)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，…，B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)，…，A n +1(x n +1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）．（1）求b 的值；（2）求经过点A 1、B 1、A 2的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．探究：当d （0＜d ＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．135．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点OA 不重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△P AD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合．（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．136．（广东省肇庆市）如图，⊙O 的直径AB ＝2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD ＝x ，BC ＝y ．（1）求证：AM ∥BN ；（2）求y 关于x 的关系式；（3）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S≥2．137．（广东省清远市）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，∠B 和∠C 都为锐角，M 为AB 上一动点（点M 与点A 、B 不重合），过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，在△AMN 中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为A 1，△A 1MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？138．（广东省梅州市）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3．点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的⊙O 与AB 交于点F ，过点F 作FG ⊥BE 于点G ．（1）当E 是CD 的中点时：①tan ∠EAB 的值为______________； ②证明：FG 是⊙O 的切线；（2）试探究：BE 能否与⊙O 相切？若能，求出此时DE 的长；若不能，请说明理由．NB C N M A139．（广东省梅州市）如图，已知直线L过点A(0，1)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP＝t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．1。

(完整版)广东中考数学省卷压轴题汇总

广东省卷压轴题汇总选择题（2009·广东）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虑线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（）（2010广东5）左下图为主视方向的几何体，它的俯视图是（）（2015·广东）如图，已知正△ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE=BF=CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．C ．D ． A ． B ．（2016·广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．（2017·广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④（2018·广东）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．填空题（2009）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）．……（1）（2）（3）第10题图（2010广东10）如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到新正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去…，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为．（2011广东10）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为_________________．（2012•广东）如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 _________ （结果保留π）．题10图（1）A 1BCD AFEBCD A FEB CD A FEB 1C 1F 1 D 1 E 1 A 1B 1C 1F 1 D 1 E 1 A 2B 2C 2F 2 D 2E 2 题10图（2）题10图（3）（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_________ （结果保留π）．（2014•广东）如图，ABC∠=︒，∆绕点A顺时针旋转45︒得到△AB C''，若90BAC==，则图中阴影部分的面积等于．AB AC（2015.广东）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．（2016·广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF= ．（2017·广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD 沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．（2018·广东）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为．解答题（2009.广东）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．DM AB C第22题图N（2010广东20）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4．∆是等腰三角形；（1）求证：EGB∆绕点F逆时针旋转最小____度时，四边形ACDE成为以（2）若纸片DEF不动，问ABCED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．（2011广东22）如图，抛物线1417452++-=x x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接C M ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.（2012•广东21）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．（2012•广东22）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．（2013•广东24）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．（2013•广东25）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA 方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC= _________ 度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．（2014•广东24）如图，O是ABC⊥于点D，∆的外接圆，AC是直径，过点O作OD AB延长DO交O于点P，过点P作PE AC⊥于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．π（1）若60AC=，求劣弧PC的长；（结果保留)POC∠=︒，12（2）求证：OD OE=；（3）求证：PF是O的切线．（2014•广东25）如图，在ABC=，8=．点AD cmBC cm⊥于点D，10∆中，AB AC=，AD BCP从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(0)t>．（1）当2t=时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF∆的面积最大时，求∆的面积存在最大值，当PEF 线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使PEF∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．（2015•广东24）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．（2015•广东25）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm（1）填空：AD= （cm），DC= （cm）（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A →D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN，求当M、N 点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据sin75°=，sin15°=）（2016·广东24）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S△AOC=，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．（2016·广东25）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．（2017·广东24）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）（2017·广东25）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C 的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：=；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．（2018·广东24）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．（2018·广东24）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如图1，连接BC．（1）填空：∠OBC= °；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N 沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y 取得最大值？最大值为多少？。

2024年中考数学压轴题型(广东专用)专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题(学生版)

专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题通用的解题思路:一、四边形与全等相似1.三角形与全等之六大全等模型:(1)一线三等角模型锐角一线三等角(2)手拉手模型(3)半角模型(4)倍长中线模型模型(6)雨伞等模型(5)平行线中等模型2.三角形与相似之四大相似模型:(1)A字模型(3)手拉手模型(2)8字模型(4)一线三等角模型B 二、四边形线段最值问题囹 1 C B D 02B （1）将军饮马模型两定一动模型一定两动模型两线段相减的最大值模型（三点共线）• B（2）费马点模型：将边以A 为顶点逆时针旋转60。

，得到AQE,连接P0则^APQ 为等边三角形,PA=PQ O1. （2023-r 东深圳•中考真题）（1）如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE,①若= 过C 作CFLBE 交BE 于点、F ,求证：AABE^AFCB ；②若S 矩形倔8 = 2。

时，则BECF=(2)如图，在菱形ABCD 中，cosA = |,过。

作CE1AB 交A8的延长线于点E,过E 作EF _LAD 交AD 于点、F ,若S 菱形*d =24时，求EF BC 的值.(3)如图，在平行四边形ABCD 中，匕4 = 60。

，AB = 6, AD=5,点E 在CD 上，且CE = 2,点F 为BC 上一点，连接时，过E 作EGLEF 交平行四边形ABCD 的边于点G,若EF ・EG = 70时，请直接写出AG 的长.D,E E a C C A B AB备用图2.（2022广东广州•中考真题）如图，在菱形ABCQ中，0BAD=120°,AB=6,连接8Q.⑴求BQ的长；⑵点E为线段BQ上一动点（不与点B,。

重合），点E在边AQ上，且BE二也DF,①当CE±AB时，求四边形的面积；②当四边形的面积取得最小值时，CE+右CT的值是否也最小？如果是，求CE+也CF的最小值；如果不是，请说明理由.题型一特殊平行四边形中全等相似计算1.（2024-P东汕头•一模）（1）如图1,在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接8E,①若BE=BC,过。

2021年广东省广州市中考数学压轴题总复习(附答案解析)

2021年广东省广州市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。

从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。

预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。

1．等边三角形ABC内接于⊙O，点D在弧AC上，连接AD、CD、BD．（1）如图1，求证BD平分∠ADC；
（2）如图2，若∠DBC＝15°，求证：AD：AC=√2：√3；
（3）如图3，若AC、BD交于点E，连接OE，且OE＝2√7，若BD＝3CD，求AD的长．
2．（1）初步思考：
如图1，在△PCB中，已知PB＝2，BC＝4，N为BC上一点且BN＝1，试证明：PN=1
2PC
（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求
PD+1
2PC的最小值．
（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一
个动点，求PD−1
2PC的最大值．。

专题04 几何压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编(广州专用)(解析版)

专题04 几何压轴题1．（2021•广州）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，2AB =，点E 为边AB 上一个动点，延长BA 到点F ，使AF AE =，且CF 、DE 相交于点G ．（1）当点E 运动到AB 中点时，证明：四边形DFEC 是平行四边形；（2）当2CG =时，求AE 的长；（3）当点E 从点A 开始向右运动到点B 时，求点G 运动路径的长度．【答案】（1）见解析；（2）34；（3）273【详解】（1）连接DF ，CE ，如图所示：，E 为AB 中点，12AE AF AB ∴==， EF AB ∴=，四边形ABCD 是菱形，//EF CD ∴，EF AB CD ==，∴四边形DFEC 是平行四边形．（2）作CH BH ⊥，设AE FA m ==，如图所示，，四边形ABCD 是菱形，//CD EF ∴，CDG FEG ∴∆∆∽， ∴CD EF CG FG =， 2FG m ∴=，在Rt CBH ∆中，60CBH ∠=︒，2BC =， sin 60CH BC ︒=，3CH =， cos60BH BC︒=，1BH =，在Rt CFH ∆中，22CF m =+，3CH =，3FH m =+，222CF CH FH =+，即(22)2(3)2(3)2m m +=++，整理得：32280m m +-=，解得：143m =，22m =-（舍去）， ∴43AE =．（3）G 点轨迹为线段AG ，证明：如图，（此图仅作为证明AG 轨迹用），延长线段AG 交CD 于H ，作HM AB ⊥于M ，作DN AB ⊥于N ，四边形ABCD 是菱形，//BF CD ∴，DHG EGA ∴∆∆∽，HGC AGF ∆∆∽，∴AE AG DH HG =，AF AG HC HG =， ∴AE AF DH CH=， AE AF =，1DH CH ∴==，在Rt ADN ∆中，2AD =，60DAB ∠=︒．sin 60DN AD ∴︒=，3DN =．cos60AN AD ︒=，1AN =，在Rt AHM ∆中，3HM DN ==，2AM AN NM AN DH =+=+=，3tan 2HAM ∠=， G 点轨迹为线段AG ．G ∴点轨迹是线段AG ．如图所示，作GH AB ⊥，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，2AB =，//CD BF ∴，2BD =，CDG FBG ∴∆∆∽，∴CD DG BF BG=，即2BG DG =， 2BG DG BD +==，43BG ∴=，在Rt GHB ∆中，43BG =，60DBA ∠=︒， sin 60GH BG ︒=，233GH =， cos60BH BG ︒=，23BH =，在Rt AHG ∆中，24233AH =-=，233GH =， 423282()2()2339AG =+=， 273AG ∴=． G ∴点路径长度为273． 2．（2019•广州）如图，等边ABC ∆中，6AB =，点D 在BC 上，4BD =，点E 为边AC 上一动点（不与点C 重合），CDE ∆关于DE 的轴对称图形为FDE ∆．（1）当点F 在AC 上时，求证：//DF AB ；（2）设ACD ∆的面积为1S ，ABF ∆的面积为2S ，记12S S S =-，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B ，F ，E 三点共线时．求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）713- 【详解】（1）ABC ∆是等边三角形 60A B C ∴∠=∠=∠=︒ 由折叠可知：DF DC =，且点F 在AC 上60DFC C ∴∠=∠=︒DFC A ∴∠=∠//DF AB ∴；（2）存在，过点D 作DM AB ⊥交AB 于点M ，6AB BC ==，4BD =，2CD ∴=2DF ∴=，∴点F 在以D 为圆心，DF 为半径的圆上，且在ABC ∆内部，∴当点F 在DM 上时，ABF S ∆最小，4BD =，DM AB ⊥，60ABC ∠=︒23MD ∴=ABF S ∆∴的最小值16(232)6362=⨯⨯-=- ()12336363362S ∴=⨯⨯--=-+最大值（3）如图，过点D 作DG EF ⊥于点G ，过点E 作EH CD ⊥于点H ，CDE ∆关于DE 的轴对称图形为FDE ∆2DF DC ∴==，60EFD C ∠=∠=︒GD EF ⊥，60EFD ∠=︒1FG ∴=，33DG FG == 222BD BG DG =+， 2163(1)BF ∴=++，131BF ∴=-13BG ∴=EH BC ⊥，60C ∠=︒2EC CH ∴=，332EH HC EC == GBD EBH ∠=∠，90BGD BHE ∠=∠=︒BGD BHE ∴∆∆∽∴DG EH BG BH= ∴3321362EC EC =- 131EC ∴=-713AE AC EC ∴=-=-3．（2021•广州模拟）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =．（1）求A C ∠+∠的度数；（2）连接BD ，探究AD ，BD ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若1AB =，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足222AE BE CE =+，求点E 运动路径的长度．π【答案】（1）︒270；（2）见解析；（3）3【详解】（1）如图1中，在四边形ABCD中，360D∠=︒，30∠=︒，BA B C D∠+∠+∠+∠=︒，60∴∠+∠=︒-︒-︒=︒．3606030270A C（2）如图2中，结论：222=+．DB DA DC理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形BDQ∆．∠=∠=︒，60ABC DBQ∴∠=∠，ABD CBQ=，=，DB BQAB BCABD CBQ SAS∴∆≅∆，()∴=，A BCQ∠=∠，AD CQ∠+∠=∠+∠=︒，A BCD BCQ BCD270∴∠=︒，DCQ90222∴=+，DQ DC CQ=，DQ DB=，CQ DA222∴=+．DB DA DC（3）如图3中，连接AC，将ACE∆，连接RE．∆绕点A顺时针旋转60︒得到ABR则AER ∆是等边三角形，222EA EB EC =+，EA RE =，EC RB =，222RE RB EB ∴=+，90EBR ∴∠=︒，150RAE RBE ∴∠+∠=︒，210ARB AEB AEC AEB ∴∠+∠=∠+∠=︒，150BEC ∴∠=︒，∴点E 的运动轨迹在O 为圆心的圆上，在O 上取一点K ，连接KB ，KC ，OB ，OC ， 180K BEC ∠+∠=︒，30K ∴∠=︒，60BOC ∠=︒，OB OC =，OBC ∴∆是等边三角形，1OB OC BC ∴===，∴点E 的运动路径6011803ππ==． 4．（2021•天河区一模）如图，ABC ∆中，120BAC ∠︒，AB AC =，点A 关于直线BC 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．（1）求证：四边形ABDC 是菱形；（2）延长CA 到E ，使得AB BE =．求证：22BC AC CE AC -⋅=；（3）在（2）小题条件下，可知E ，B ，D ，C 四点在同一个圆上，设其半径为a （定值），若BC kAB =，问k 取何值时，BE CE ⋅的值最大？【答案】见解析；【详解】（1）证明：如图1，连接AD ，交BC 于O ，A ，D 关于直线BC 对称，AD BC ∴⊥，OA OD =，AB AC =，OB OC ∴=，∴四边形ABDC 是菱形；（2）证明：解法一：如图2，延长AE 到F ，使EF BE =，连接BF ，AB BE =，AB BD CD AC BE EF ∴=====，BE CE EF CE CF ∴+=+=，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，同理得EBF F ∠=∠，BAE BEA ∠=∠，BAE ABC ACB ∠=∠+∠，BEA EBF F ∠=∠+∠，ABC ACB EBF F ∴∠=∠=∠=∠，ABC BFC ∴∆∆∽， ∴BC AC CF BC =， 2()()BC AC CF AC CE EF AC CE AC ∴=⋅=⋅+=⋅+，即22BC AC CE AC -⋅=；解法二：如图3，过点B 作BP CE ⊥于P ，AB BE =，AP EP ∴=，且AB AC BE ==，Rt BPC ∆中，222BC BP CP =+，在Rt BPA ∆中，222BA BP AP =+，2222222222()()BC AC BC AB BP CP BP AP CP AP ∴-=-=+-+=-，22()()()CP AP CP AP CP AP CP EP AC CE AC -=+-=+⋅=⋅，22BC AC CE AC ∴-=⋅，即22BC AC CE AC -⋅=；（3）解：如图4，连接AD 交BC 于M ，作CD 的垂直平分线交DA 的延长线于G ，连接CG ，由题意得：CG DG a ==，设DM x =，则GM a x =-，120BAC ∠︒，∴当120BAC ∠=︒时，如图5，ABD ∆和ADC ∆是等边三角形，AB AD AC ∴==，∴当点A 为圆心，即点A 与G 重合，此时1cos602x CD a =⋅︒=， 02a x ∴<，四边形ABCD 是菱形，BC AD ∴⊥，2BC CM =，由勾股定理得：2222()2CM a a x x ax =--=-+，22222CD x x ax ax =-+=，222448BC CM x ax ∴==-+，222BE CD ax ==，由22BC AC CE AC -⋅=，得2222222239482464()44BE CE BC AC BC BE x ax ax x ax x a a ⋅=-=-=-+-=-+=--+， 02a x<， ∴当12x a =时，BE CE ⋅有最大值，此时223BC a =，222AB BE a ==，故223BC AB =，所以3BC AB =，故3k =时，BE CE ⋅的值最大．5．（2021•越秀区一模）如图，在四边形ABCD 中，90A ADC ∠=∠=︒，10AB AD ==，15CD =，点E ，F 分别为线段AB ，CD 上的动点，连接EF ，过点D 作DG ⊥直线EF ，垂足为G ．点E 从点B 向点A 以每秒2个单位的速度运动，同时点F 从点D 向点C 以每秒3个单位的速度运动，当点E 运动到点A 时，E ，F 同时停止运动，设点E 的运动时间为t 秒．（1）求BC 的长；（2）当GE GD =时，求AE 的长；（3）当t 为何值时，CG 取最小值？请说明理由．【答案】（1）55；（2）52；（3）见解析【详解】（1）如图1，过点B 作BH CD ⊥于点H ，则四边形ADHB 是矩形，10AB =，15CD =，5CH ∴=，又10BH AD ==， 222210555BC BH CH ∴=+=+=；（2）过点G 作MN AB ⊥，如图2，//AB CD ，MN CD ∴⊥，DG EF ⊥，EG DG =，()EMG GND AAS ∴∆≅∆，MG DN ∴=，设DN a =，GN b =，则MG a =，ME b =，点E 从点B 向点A 以每秒2个单位的速度运动，同时点F 从点D 向点C 以每秒3个单位的速度运动，2BE t ∴=，102AE t =-，3DF t =，153CF t =-，AM DN =，AD MN =，10a b ∴+=，102a b t -=-，解得10a t =-，b t =，DG EF ⊥，GN DF ⊥，DGN GFN ∴∆∆∽，∴GN NF DN GN=， 2GN DN NF ∴=⋅，2210GN t NF DN t ∴==-，又DF DN NF =+， 231010t t t t ∴=-+-，解得55t =±，又03t ，55t ∴=-，10225AE t ∴=-=．（3）如图3，连接BD ，交EF 于点K ，//BE DF ，BEK DFK ∴∆∆∽，∴2233BK BE t DK DF t ===，又10AB AD ==， 2102BD AB ∴==，3625DK BD ∴==，取DK 的中点，连接OG ，DG EF ⊥，DGK ∴∆为直角三角形，1322OG DK ∴==， ∴点G 在以O 为圆心，32r =的圆弧上运动，连接OC ，OG ，由图可知CG OC OG -，当点G 在线段OC 上时取等号，AD AB =，90A ∠=︒，45ADB ∴∠=︒，45ODC ∴∠=︒，过点O 作OH DC ⊥于点H ，又32OD =，15CD =， 3OH DH ∴==， 12CH ∴=， 22317OC OH CH ∴=+=，则CG 的最小值为3(172)-，当O ，G ，C 三点共线时，过点O 作直线OR DG ⊥交CD 于点S ， OD OG =，R ∴为DG 的中点，又DG GF ⊥，//OS GF ∴，∴点S 是DF 的中点，OC SC OG SF=， 32DS SF t ∴==，3152SC t =-， ∴31531723322t t -=， 23443t -∴=，即当23443t -=时，CG 取得最小值为31732-． 6．（2021•天河区二模）如图，矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，点E 是边AB 上的一点，点F 是边BC 延长线上的一点，且2AE CF =．连接AC ，交EF 于点O ，过E 作EP AC ⊥，垂足为P ．（1）求证：DAE DCF ∆∆∽；（2）求证：OP 长为定值；（3）记AC 与DE 的交点为Q ，当14PQ OP =时，直接写出此时AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6525- 【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，4AB CD ==，90DAE DCB ∠=∠=︒， 90DCF ∴∠=︒， DAE DCF ∴∠=∠，2AE CF =，8AD BC ==，∴2AE AD CF CD==， DAE DCF ∴∆∆∽；（2）证明：如图1，过点E 作//EG BC ，交AC 于点G ，90AEG B ∴∠=∠=︒，AGE ACB ∠=∠，EOG FOC ∆∆∽，在Rt ABC ∆中，4AB =，8BC =，224845AC ∴=+=，EP AC ⊥，90AEP BAC ∴∠+∠=︒，90CAD BAC ∠+∠=︒，AEP CAD ∴∠=∠，1tan tan tan tan 2CAD ACB AGE AEP ∴∠=∠=∠=∠=，即12CD AE AP PE AD EG EP PG ====， 2EG AE ∴=，2AE CF =，4EG CF ∴=，设(0)AP m m =>，(0)OC n n =>，则2PE m =，4PG m =，EOG FOC ∆∆∽，∴4EG OG CF OC==， 44OG OC n ∴==，4445AC AP PG OG OC m m n n ∴=+++=+++=，455m n ∴+=，165445OP PG OG m n ∴=+=+=，所以OP 是一个定值；（3）如图2，11165454455PQ OP ==⨯=，由（2）知：(0)AP m m =>，5AE m =，//AE CD ，AEQ CDQ ∴∆∆∽，∴AE AQ CD CQ=， ∴4555445455m m m +=--，解得：6525m =±， 054m <<，4505m ∴<<， 6525AP ∴=-． 7．（2021•白云区一模）不在射线DA 上的点P 是边长为2的正方形ABCD 外一点(P 在AB 左侧），且满足45APB ∠=︒，以AP ，AD 为邻边作APQD ．（1）如图，若点P 在射线CB 上，请用尺规补全图形；（2）若点P 不在射线CB 上，求PAQ ∠的度数；（3）设AQ 与PD 交点为O ，当APO ∆的面积最大时，求tan ADO ∠的值．【答案】（1）见解析；（2）︒45；（3）123+ 【详解】（1）如图1，以B 为圆心，AB 长为半径作弧，交射线CB 于点P ，连接BD ，//AD PB ，AD AB PB ==，∴四边形ADBP 是平行四边形，∴点Q 与点B 重合．（2）如图2，连接QA ，QC ，QB ，BD ，四边形APQD 是平行四边形，AP DQ ∴=，//PQ AD ，//AP QD ，180PAD ADQ ∴∠+∠=︒，90PAB ADQ ∴∠=︒-∠，90PAB ADQ QDC ∴∠=︒-∠=∠，又AP QD =，AB CD =，()PAB QDC SAS ∴∆≅∆，45APB DQC ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是正方形，45ABD DBC ∴∠=∠=︒，45CQD CBD ∴∠=∠=︒，∴点B ，点C ，点D ，点Q 四点共圆，90BCD BQD ∴∠=∠=︒，90BQD BAD ∴∠=∠=︒，∴点B ，点D ，点A ，点Q 四点共圆，45AQD ABD ∴∠=∠=︒，//AP QD ，45PAQ AQD ∴∠=∠=︒；（3）四边形APQD 是平行四边形， 14APO APQD S S ∆∴=， ∴当APQD 的面积最大时，APO ∆的面积取最大值，APQD S AD =⨯点P 到AD 的距离，∴当点P 到AD 的距离最大时，APQD 的面积最大，如图3，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABE ，以E 为圆心，AE 为半径作ABP ∆的外接圆，延长CB 交E 于H ，过点E 作FE BH ⊥，交E 于P ，交DA 的延长线于F ，此时点P 到AD 的距离最大，EA EB =，90AEB ∠=︒，2AB =，45EAB ∴∠=︒，2AE =，45EAF ∴∠=︒，EF AF ⊥，45EAF FEA ∴∠=∠=︒，1AF EF ∴==，12PF ∴=+，()212APQD S AD PF ∴=⋅=⨯+最大，12142APQD APO S S ∆+∴==最大， 12tan 3FP ADO DF +∴∠==． 8．（2021•番禺区一模）如图，ABC ∆中，120A ∠=︒，AB AC =，过点A 作AO AC ⊥交BC 于点O ．（1）求证：13BO BC =；（2）设AB k =．①以OB 为半径的O 交BC 边于另一点P ，点D 为CA 边上一点，且2CD DA =．连接DP ，求CPD S ∆．②点Q 是线段AB 上一动点（不与A 、B 合），连接OQ 在点Q 运动过程中，求2AQ OQ +的最小值．【答案】（1）见解析；（2）①2318CPD S k ∆=，②k 【详解】（1）证明：120A ∠=︒，AB AC =，30B C ∴∠=∠=︒，AO AC ⊥，90OAC ∴∠=︒，30BAO ∠=︒，BO AO ∴=，12AO CO =， 12BO CO ∴=， 13BO BC ∴=；（2）①如图：AB k =，AC k ∴=，Rt AOC ∆中，tanOA C AC =， 33OA k OB ∴==， 30C ∠=︒，2323OC OA k ∴==， 33CP OC OP OC OA k ∴=-=-=， 2CD DA =，3k DA ∴=，23DC k =， Rt AOD ∆中，33tan 333kAD AOD OA k ∠===， 30AOD ∴∠=︒，18060AOC OAC C ∠=︒-∠-∠=︒，30AOD DOP ∴∠=∠=︒，又OA OP =，OD OD =，()AOD POD SAS ∴∆≅∆，90DPO OAD ∴∠=∠=︒，DA DP =，3k DP ∴=， 213218CPD S CP DP k ∆∴=⋅=； ②以A 为顶点，AB 为一边，在ABC ∆外部作30BAN ∠=︒，过Q 作QN AN ⊥于N ，过O 作OM AN ⊥于M ，连接OQ ，如图：在Rt AQN ∆中，30BAN ∠=︒，12NQ AQ ∴=， 122()2AQ OQ AQ OQ +=+， 2AQ OQ ∴+最小，即是12AQ OQ +最小，故NQ OQ +最小，此时ON AN ⊥，Q 与Q '重合，N 与M 重合，OM 长度即是12AQ OQ +的最小值，而由①知：33OA k =，60OAM OAB BAM ∠=∠+∠=︒， Rt AOM ∆中，sin OM OAM OA ∠=， sin 6033OMk ∴︒=，2k OM ∴=， ∴12AQ OQ +的最小值为2k ， 2AQ OQ ∴+的最小值是k ．9．（2021•花都区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC cm =，16BC cm =．（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连接AE ，动点M ，N 分别从点A ，C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿AE 、CB 向终点E ，B 运动，是否存在某一时刻t 秒(010)t <<，使MNC ∆的面积S 有最大值？若存在，求S 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）如图，直线DE 即为所求作．（2）过点M 作MH EC ⊥于H ． DE 垂直平分线段AB ，EA EB ∴=，设EA EB x ==cm ，则(16)EC x cm =-，在Rt ACE ∆中，222AE AC EC =+，2228(16)x x ∴=+-，解得10x =，//MH AC ， ∴EM MH EA AC =， ∴10108t MH -=， 4(10)5MH t ∴=-， 2214225(10)2()1025552MNC S t t t t t ∆∴=⨯⨯-=-+=--+， 502-<， 52t ∴=时，MNC ∆的面积最大，最大值为10． 10．（2021•越秀区校级二模）已知ABC ∆，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 是AB 的中点，P 是平面上的一点，且1DP =，连接CP（1）如图，当点P 在线段BD 上时，求CP 的长；（2）当BPC ∆是等腰三角形时，求CP 的长；（3）将点B 绕点P 顺时针旋转90︒得到点B '，连接AB '，求AB '的最大值．【答案】（1）3；（2）①13，②42+ 【详解】（1）如图1中，连接CD ．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，2242AB AC BC ∴=+=，AD DB =，1222CD AB ∴==，CD AB ⊥，在Rt CDP ∆中，223PC PD CD =+=．（2）如图2中，1DP =，∴点P 在以点D 为圆心的D 上．①当PB PC =时，CD DB =，P ∴、D 都在线段BC 的垂直平分线上，设直线DP 交BC 于E ．90PEC ∴∠=︒，2BE CE ==，90CDB ∠=︒， 122DE BC CE ∴===，在Rt PCE ∆中，22PC EC PE =+，当P 在线段PD 上时，1PE DE DP =-=，22125PC =+=，当P 在线段ED 的延长线上时，3PE ED DP =+=，223213PC =+=．②当PC BC =时，221PC CD PD BC +=+<，PC BC ∴≠，此种情形不存在；③当PB BC =时，同理这种情形不存在；如图3中（3）如图4中，连接BB '．由旋转可知：PB PB ='，90BPB ∠'=︒，45PBB ∴∠'=︒，2BB PB ∴'=，∴2BB PB'=， AC BC =，90ACB ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，ABC PBB ∴∠=∠'，ABB CBP ∴∠'=∠， 4224BA BC ==， ∴BA BB BC PB '=， ∴BA BC BB PB ='， ABB CBP ∴∆'∆∽，∴2AB BA CP BC'==， 221PC CD DP +=+，∴点P 落在CD 的延长线与D 的交点处，PC 的值最大，2(221)42AB ∴'+=+．AB ∴'的最大值为42+．11．（2021•黄埔区二模）如图1，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，延长OD 到点G ，延长OC 到点E ，使2OG OD =，2OE OC =，以OG ，OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．（1）探究AG 与DE 的位置关系与数量关系，并证明；（2）固定正方形ABCD ，以点O 为旋转中心，将图1中的方形OEFG 逆时针转(0180)n n ︒<<得到正方形111OE F G ，如图2．①在旋转过程中，当190OAG ∠=︒时，求n 的值；②在旋转过程中，设点1E 到直线1AG 的距离为d ，着正方形ABCD 的边长为1，请直接写出d 的最大值与最小值，不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①30n =；②见解析【详解】（1）AG DE ⊥，.AG DE =证明：如图1，延长ED 交AG 于点H ，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，OA OC OD ∴==，OA OD ⊥，90AOG DOE ∴∠=∠=︒，2OG OD =，2OE OC =，OG OE ∴=，在AOG ∆和DOE ∆中，OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOG DOE SAS ∴∆≅∆，AG DE ∴=，AGO DEO ∠=∠，90AGO GAO ∠+∠=︒，90GAO DEO ∴∠+∠=︒，90AHE ∴∠=︒，AG DE ∴⊥，故AG DE ⊥，AG DE =；（2）①在旋转过程中，190OAG ∠=︒有两种情况：（Ⅰ）n 由0增大到90过程中，当190OAG ∠=︒时，11122OA OD OG OG ===， ∴在1Rt OAG ∆中，11sin 2OA AG O OG ∠=='， 130AG O ∴∠=︒，OA OD ⊥，1OA AG ⊥，1//OD AG ∴，1130DOG AG O ∴∠=∠=︒，即30n =；（Ⅱ）n 由90增大到180过程中，当190OAG ∠=︒时，同理可求130BOG ∠=︒，118030150DOG ∴∠=︒-︒=︒，150n ∴=；综上所述，当190OAG ∠=︒时，30n =或150．②如图3，d 的最大值为116262222E H DE DH +=+=+=，如图4，d 的最小值为116262222E H DE DH -=-=-=．理由如下：如图3、图4所示，连接11E G ，设直线1E D 交直线1AG 于H ，作正方形ABCD 的外接圆O ，仿照（1）的证明，可证得DE AG ⊥，即在旋转过程中，1190E HG ∠=︒保持不变，所以1d E H =．在旋转过程中，1E H 的位置有以下两种情况：第一种情况，当1E H 在1OE G ∠内时，11145E G H OG A ∠=︒+∠，如图3所示，第二种情况：当1E H 在11OE G ∠外时，11145E G H OG A ∠=︒-∠，如图3所示， 1222OG OD BD AB ====，112E G ∴=．在Rt △11E HG 中，11111sin 2E H d E G H E G ∠==， 112sin d E G H ∴=∠，所以，当11E G H ∠最大时，最大；当最小时，最小；设点到的距离为，则，由上式可知，当取最大值时，取最大值．在旋转过程中，当与相切，即时，取最大值．此时，取最大值，从而取最大值或最小值．由①可知，当时，，在（1）中，已证得，且，四边形为正方形，，，的最大值为，的最小值为 d 11E G H ∠d O 1AG m 1sin 2m OG A OG ∠=m 1OG A ∠1E D O 190OAG ∠=︒m 1OG A ∠11E G H ∠190OAG ∠=︒130OG A ∠=︒11AOG DOE ∆≅∆90AHD ∠=︒∴AODH 22DH AO ∴==221126(2)()22DE AG ∴==-=d ∴116262E H DE DH +=+=d 116262E H DE DH -=-=12．（2021•从化区一模）如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点（不与点和点重合），连接，过点作交射线于点，连接，已知，，设的长为．（1）线段的最小值为．（2）如图，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度；（3）当点在运动的过程中：①试探究是否会发生变化？若不改变，请求出大小；若改变，请说明理由；②当为何值时，是等腰三角形？ABCD P AC C A PB P PF PB ⊥DA F BF 33AD =3CD =CP x PB P AC AP BF G FP H GH P FBP ∠FBP ∠x AFP ∆【答案】（1）；（2（3）见解析【详解】（1）四边形是矩形，，，，，，，当时，最小，此时为斜边上的高，，即，，；（2）如图：运动到的中点，，，中，，，是等边三角形，，又，，，，是的垂直平分线，3323GH ∴=ABCD 33AD =3CD =3AB CD ∴==33BC AD ==90ABC D ∠=∠=︒226AC AB BC ∴=+=BP AC ⊥BP BP Rt ABC ∆AC 1122ABC S AB BC AC BP ∆∴=⋅=⋅3336BP ⨯=⨯332BP ∴=P AC 6AC =3AP AB ∴==Rt ABC ∆tan 3BC BAC AB∠==60BAC ∴∠=︒ABP ∴∆3AB BP ∴==90BAF BPF ∠=∠=︒BF BF =()BAF BPF HL ∴∆≅∆AF PF ∴=BF ∴AP是中点，是中点，，是等边三角形，是中点，，在中，，得，，；（3）①不会发生变化，，理由如下：过作于，交于，如图：，四边形是矩形，，，中，，，中，，，，，，，，而，，G ∴AP H PF 12GH AF ∴=ABP ∆G AP 1302PBF PBA ∴∠=∠=︒Rt PBF ∆tan PF PBF BP ∠=tan303PF ∴︒=3PF 3AF ∴=32GH ∴=FBP ∠30FBP ∠=︒P MN AD ⊥M BC N MN AD ⊥ABCD MN BC ∴⊥3MN AB ==Rt ABC ∆3tan AB ACB BC ∠==30ACB ∴∠=︒Rt CPN ∆CP x =1sin302PN CP x ∴=⋅︒=3cos30CN CP x =⋅︒3332BN BC CN x ∴=-=-132PM MN PN x =-=-90BPF ∠=︒90FPM BPN PBN ∴∠=︒-∠=∠90PMF BNP ∠=∠=︒PMF BNP ∴∆∆∽，在中，，，；②当在右侧时，过作于，交于，如图：由①知：，，，，，，，，中，而，是等腰三角形，分三种情况：（一，则，解得（舍去），（二，则，解得（大于6，舍去）或（此时，舍去），（三，则，解得或与重合，舍去），当在左侧时，如图： ∴13323332x PF PM BP BN x -===-Rt BPF ∆tan PF FBP BP∠=3tan 3FBP ∴∠=30FBP ∴∠=︒F A P MN AD ⊥M BC N PMF BNP ∆∆∽33PF BP =12PN x =333BN =132PM x =-∴3FM PN =36FM x ∴=23333AF AM FM BN FM x ∴=-=-=-Rt PFM ∆22222311()(3)39623PF FM PM x x x x =+=+-=-+6AP AC CP x =-=-AFP ∆)AP AF =263333x x -==33x =-)AP PF =216393x x x -=-+9x =92x =0AF =)AF PF =2213333933x x x -=-+3x =6(x P =A F A此时，同理可得，综上所述，是等腰三角形，或．13．（2020•武汉模拟）在中，，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．（1）如图1，若，求证：平分；（2）如图2，若，①求的值； ②连接，当的面积为．【答案】（1）见解析；（2）①773，② 【详解】（1）证明：连接，由题意知，，，是等边三角形，，又，，，，平分；（2）解：①连接，作等边三角形的外接圆，23333AF FM AM x =-=-33x =AFP ∆3x =33x =ABC ∆120ABC ∠=︒AC C 60︒CD BD AB BC =BD ABC ∠2AB BC =BD AC AD 3ABC S ∆=ABCD 93AD 60ACD ∠=︒CA CD =ACD ∴∆CD AD ∴=AB CB =BD BD =()ABD CBD SSS ∴∆≅∆CBD ABD ∴∠=∠BD ∴ABC ∠AD ACD O，，，点在上，，，，在上截取，使，则为等边三角形，，，又，，，，设，则，，过点作于，在中，，，，，在中，，，；②如图3，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，设，，，则由①知，，，在与中，，60ADC ∠=︒120ABC ∠=︒180ADC ABC ∴∠+∠=︒∴B O AD CD =∴AD CD =60CBD CAD ∴∠=∠=︒BD BM BM BC =BCM ∆60CMB ∴∠=︒120CMD CBA ∴∠=︒=∠CB CM =BAC BDC ∠=∠()CBA CMD AAS ∴∆≅∆MD AB ∴=1BC BM ==2AB MD ==3BD ∴=C CN BD ⊥N Rt BCN ∆60CBN ∠=︒30BCN ∴∠=︒1122BN BC ∴==33CN =52ND BD BN ∴=-=Rt CND ∆222235()()722CD CN DN =+=+=7AC ∴=∴377BD AC ==B D AC H Q 1CB =2AB =CH x =7AC =7AH x =-Rt BCH ∆Rt BAH ∆2222BC CH AB AH -=-即，解得，，，在中，，，为与的公共底，，，，，故答案为：．22212(7)x x-=--277x=2227211()77BH∴=-=Rt ADQ∆33217DQ AD==∴2127721BHDQ==AC ABC∆ACD∆∴27ABCACDS BHS DQ∆∆==32ABCS∆=734ACDS∆∴=37393244ABCDS∴=+=四边形93414．（2021•越秀区校级二模）如图1，已知正方形的边长为，点在边上，，连接，点、分别为、边上的点，且．（1）求点到的距离；（2）如图2，连接，当、、三点共线时，求的面积；（3）如图3，过点作于点，过点作于点，求的最小值．【答案】（1）1；（2）518；（3）见解析【详解】（1）如图1中，过点作于．ABCD 42E BC 2BE =BD F G BD CD FG EF ⊥E BD AF A F G FDG ∆E EM BD ⊥M G GN BD ⊥N MN E EH BF ⊥H四边形是正方形，，，．点到的距离为1．（2）如图2中，过点作的垂线分别交，于点，．，，共线，，，．设，且，，，，，，即，ABCD 45DBC ∴∠=︒EH BD ⊥2sin 45212EHBE ∴=⋅︒=⨯=∴E BD F AD AD BC M N A F G 90EFG ∠=︒90AFE ∴∠=︒45ADF ∠=︒∴MF MD a ==AD MN =AM FN ∴=NFE AFM AFM MAF ∠+∠=∠+∠NFE MAF ∴∠=∠()AMF FNE AAS ∴∆≅∆MF EN ∴=32a a =-，，，，．（3）如图3中，设，．四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，， 322a ∴=//FM DG ∴FM AM DG AD =∴32522242DG =1225DG ∴=112232182525DFG S ∆∴=⨯⨯=2CG y =MF x =ABCD 45CBD CDB ∴∠=∠=︒42CB CD ==28BD BC ∴==22DG y =EM BD ⊥GN BD ⊥90EMF EFG GNF ∴∠=∠=∠=︒4DN NG y ∴==-2BE =1BM EM ∴==7(4)3FN x y x y ∴=---=-+9090MFE GFN GFN FGN ∠+∠=︒∠+∠=︒MFE FGN ∴∠=∠EMF FNG ∴∆∆∽∴EM MF FN GN=，整理得，△，，解得或，的最小值为，的最小值，观察图象可知，当的值最小时，的值最小，的最小值． 15．（2021•越秀区模拟）如图，四边形为矩形，，，点为边上一动点，过点作交直线于点，连接，．（1）若四边形为菱形，求的长；（2）若的面积为，求的面积；（3）当长为多少时，四边形周长有最小值？并求该最小值．【答案】（1）23；（2）42；（3）见解析【详解】（1）四边形为菱形，，设, 四边形是矩形，, ,, , ；（2）四边形为矩形，∴134x x y y=-+-2(3)40x y x y -++-=02(3)4(4)0y y ∴+--425y -542y --y ∴25CG ∴852=-CG MN MN 81(942)422=---=ABCD 2AD =2CD =E AD E EF AC ⊥BC F CE AF AECF AE ABF ∆24CDE ∆AE AECF AECF AE EC ∴=AE EC x ==ABCD 90D ∴∠=︒222EC DE CD ∴=+222(2)(2)x x ∴=-+32x ∴=32AE ∴=ABCD，，，，，即：，，，在中，，，，是的垂直平分线，，由（1）可知：，，，；（3）如图，过点作交的延长线于点，四边形为矩形，，，四边形是平行四边形，，，，，，在中，， , ，2AB CD ∴==2BC AD ==90B D ∠=∠=︒ABF ∆2∴122AB BF ⨯⨯1222BF =12BF ∴=13222CF BC BF ∴=-=-=Rt ABF ∆222213(2)()22AF AB BF =++AF CF ∴=EF AC ⊥EF ∴AC AE CE ∴=32AE CE ==AF CE ∴=Rt CDE Rt ABF(HL)∴∆≅∆24CDE ABF S S ∆∆∴==C //CM EF AD M ABCD //AD BC ∴90ADC ABC BAC ∠=∠=∠=︒∴CFEM EM CF ∴=CM EF =EF AC ⊥CM AC ∴⊥90ACM ∴∠=︒Rt ACD ∆22222(2)6AC AD CD ++tan CD CM CAD AD AC ∠==∴263CM ∴=， , ，即，，延长至，使，过点作于点，连接，过点作交于点，在中，，四边形是矩形，，，，，四边形是平行四边形，，，四边形周长，当、、三点共线时，最小，即四边形周长最小，此时，，，△，，，此时，，四边形周长最小值为，故当时，四边形周长最小值为6． 3EF CM ∴==cos ADACCAD AC AM ∠==22(6)32AC AM AD ∴===3AE EM +=3AE CF ∴+=CD C '2DC CD '==C E 'F FG AD ⊥G BG E //EH BG BC H Rt EFG ∆2222(3)(2)1EG EF FG =-=-=ABFG AF BG ∴=FBG FAG ∠=∠//BG EH //EG BH ∴BGEH EH BG AF ∴==CHE FBG ∠=∠AECF 3AE AF CF CE AE EM BG CE AM EH C E C E EH =+++=+++=++'=+'+∴C 'E H C E EH '+AECF C ED CHE FBG FAG ∠'=∠=∠=∠90C DE FGA ∠'=∠=︒C D FG '=∴()C DE FGA AAS '≅∆111()(21)222DE AG AD EG ∴==-=-=13222AE AD DE ∴=-=-=222213()(2)22CE DE CD =+=+=∴AECF 33262+⨯=32AE =AECF16．（2021•花都区三模）为等腰三角形，，点为所在平面内一点．（1）若，①如图1，当点在边上，，求证：； ②如图2，当点在外，，，，连接，求的长；（2）如图3，当点在外，且，以为腰作等腰三角形，，，直线交于点，求证：点是中点．【答案】（1）①见解析；②132；（2）见解析【详解】证明：（1）①，，，，，，，；②如图2，以，为边作等边，等边，以，为边作等边，等边，连接，过点作，交的延长线于， ABC ∆AB AC =D ABC ∆120BAC ∠=︒D BC BD AD =2DC BD =DABC ∆120ADB ∠=︒2AD =4BD =CD CD D ABC ∆90ADB ∠=︒AD ADE ∆DAE BAC ∠=∠AD AE =DE BC F F BC 120BAC ∠=︒AB AC =30ABC ACB ∴∠=∠=︒BD AD =30ABD BAD ∴∠=∠=︒90DAC ∴∠=︒2CD AD ∴=2CD BD ∴=AB AC ABH ∆ACH ∆AD BD ADE ∆BDG ∆GH E EN DG ⊥GD N和都是等边三角形，，，，，，，，，点，点，点三点共线，，和都是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，．（2）连接，如图3所示：，，，，，，、、、四点共圆，，，BDG ∆ABH ∆4BD BG DG ∴===AB BH =60DBG ABH BGD ∠=∠=︒=∠ABD GBH ∴∠=∠()ADB HGB SAS ∴∆≅∆2AD GH ∴==120ADB BGH ∠=∠=︒180DGB BGH ∴∠+∠=︒∴G H D 426DH ∴=+=ADE ∆ACH ∆AC AH ∴=2AE AD DE ∠===60DAE CAH EDA ∠=∠=∠=︒DAC EAH ∴∠=∠()DAC EAH SAS ∴∆≅∆DC EH ∴=60BDG EDN ∠=∠=︒EN DG ⊥30DEN ∴∠=︒112ND DE ∴==33NE DN =7HN DH DN ∴=+=22349213EH EN NH ∴=+=+=213CD EH ∴==AF DAE BAC ∠=∠AD AE =AB AC =∴AD AE AB AC=ADE ABC ∴∆∆∽ADE ABC ∴∠=∠A ∴D B F 1801809090BFA ADB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒AF BC ∴⊥，，点是中点．17．（2021•越秀区校级四模）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（Ⅰ）这样的点唯一吗？（Ⅱ）点的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．①求线段长的最小值；②若，求线段的长．【答案】（1）①2，②；（2）见解析；（3；②【详解】（1）解：①设为圆心，连接，，，，又，是等边三角形，，即半径为2，故答案为：2；AB AC=BF CF∴=∴F BC2BC=30BAC∠=︒AAA BCB C⋯1)ABC∆A'30BAC∠'>︒ABCD 2AB=3BC=P CD4tan3DPC∠=PB23PCD PADS S∆∆=PD32+975-3272244PD DF PF∴=+=+=O BO CO30BCA∠=︒60BOC∴∠=︒OB OC=OBC∴∆2OB OC BC∴===②以为底边，，当点到的距离最大时，的面积最大，如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，，，，，的最大面积为，故答案为：；（2）证明：如图，延长，交圆于点，连接，点在圆上，，，，，即；（3）解：①如图，当点在上，且时，，，，，为定值，连接，设点为中点，以点为圆心，为半径画圆， ABC ∆BC 2BC =∴A BC ABC ∆O BC E EO D BC A D ABC ∆1BE CE ∴==2DO BO ==223OE BO BE ∴=-=32DE ∴=+ABC ∴∆12(32)322⨯⨯+32+BA 'D CD D BDC BAC ∴∠=∠BAC BDC ACD ∠'=∠+∠'BAC BDC ∴∠'>∠BAC BAC ∴∠'>∠30BAC ∠'>︒P BC 32PC =90PCD ∠=︒2AB CD ==3AD BC ==4tan 3CD DPC PC ∴∠==PD Q PD Q 12PD当点在优弧上时，，连接，与圆交于，此时即为的最小值，过点作，垂足为，点是中点，点为中点，即，，，，，圆的半径为，，即；②，，，，中边上的高中边上的高，即点到的距离和点到的距离相等，点在的平分线上，如图，过点作，垂足为，平分，，为等腰直角三角形，又，，∴P CPD 4tan 3DPC ∠=BQ Q P 'BP 'BP Q QE BE ⊥E Q PD ∴E PC 112QE CD ==1324PE CE PC ===39344BE BC CE ∴=-=-=22974BQ BE QE ∴=+=2252PD CD PC =+=∴Q 155224⨯=975975444BP BQ P Q -∴'=-'=-=BP 975-3AD =2CD =23PCD PAD S S ∆∆=∴23CD AD =PAD ∴∆AD PCD =∆CD P AD P CD ∴P ADC ∠C CF PD ⊥F PD ADC ∠45ADP CDP ∴∠=∠=︒CDF ∴∆2CD =2CF DF ∴==，，． 18．（2020•广州一模）如图①，在四边形中，于点，，点为中点，为线段上的点，且（1）求证：平分；（2）若，连接，当四边形为平行四边形时，求线段的长；（3）若点为的中点，连接、（如图②，求证：．【答案】（1）见解析；（2）510；（3）见解析【详解】（1）证明：如图①，，，是的中点，，在中，，在中，，，，是等腰直角三角形，，，，即平分；（2）解：设，四边形是平行四边形，，4tan 3CF DPC PF ∠==324PF ∴=3272244PD DF PF ∴=+=+=ABCD AC BD ⊥E AB AC BD ==M BC N AM MB MN =BN ABE ∠1BD =DN DNBC BC F AB FN FM )MFN BDC ∠=∠AB AC =ABC ACB ∴∠=∠M BC AM BC ∴⊥Rt ABM ∆90MAB ABC ∠+∠=︒Rt CBE ∆90EBC ACB ∠+∠=︒MAB EBC ∴∠=∠MB MN =MBN ∴∆45MNB MBN ∴∠=∠=︒45EBC NBE MAB ABN MNB ∠+∠=∠+∠=∠=︒NBE ABN ∴∠=∠BN ABE ∠BM CM MN a ===DNBC 2DN BC a ∴==在和中，，，，在中，由，可得：，解得：（负值舍去），；（3）解：是的中点，在中，，，，，，即，，．19．（2020•荔湾区一模）如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接．（1）若将沿折叠，点落在矩形的对角线上点处，试求的长；（2）点运动到某一时刻，过点作直线交于点，将与分别沿与折叠，点与点分别落在点，处，若，，三点恰好在同一直线上，且，试求此时的长；（3）当点运动到边的中点处时，过点作直线交于点，将与分别沿与折叠，点与点重合于点处，请直接写出到的距离．ABN ∆DBN ∆AB DB NBE ABN BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABN DBN SAS ∴∆≅∆2AN DN a ∴==Rt ABM ∆222AM MB AB +=22(2)1a a a ++=1010a =±1025BC a ∴==F AB ∴Rt MAB ∆MF AF BF ==MAB FMN ∴∠=∠MAB CBD ∠=∠FMN CBD ∴∠=∠12MF MN AB BC ==MF MN BD BC=MFN BDC ∴∆∆∽MFN BDC ∴∠=∠ABCD 4AB =3BC =P AB DP DAP ∆DP A A 'AP P P PE BC E DAP ∆PBE ∆DP PE A B A 'B 'P A 'B '2A B ''=AP P AB P PG BC G DAP ∆PBG ∆DP PG A B F F BC【答案】（1）或；；（2）1或3；；（3）【详解】（1）四边形是矩形，，，，分两种情况：①当点落在对角线上时，如图1所示：设，在中，，，由折叠的性质得：，，，，，，在中，，即：，解得：，； ②当点落在对角线上时，如图2所示：由翻折性质可知：，，，，，，，，综上所述：的长为或；（2）①如图3所示：设，则，由折叠的性质得：，，，，解得：，；32941613ABCD 4AB CD ∴==3AD BC ==90ABC BCD CDA BAD ∠=∠=∠=∠=︒A BD AP x =Rt ADB ∆90BAD ∠=︒2222435BD AB AD ∴=+=+=AP PA x ='=3AD DA ='=90DA P BAD ∠'=∠=︒532BA BD DA ∴'=-'=-=90BA P ∠'=︒4BP AB AP x =-=-Rt BPA ∆'222BP PA BA ='+'222(4)2x x -=+32x =32AP ∴=A AC PD AC ⊥90PAC APD ∴∠+∠=︒90BAC BCA ∠+∠=︒APD BCA ∴∠=∠90DAP ABC ∠=∠=︒DAP ABC ∴∆∆∽∴AD AB AP BC=33944AD BC AP AB ⋅⨯∴===AP 3294AP x =4PB x =-PA PA x ='=4PB PB x ='=-2A B ''=42x x ∴--=1x =1PA ∴=②如图4所示：设，则，由折叠的性质得：，，，，，；综上所述，的长为1或3；（3）作于，如图5所示：则的长就是到的距离，由翻折的性质得：，，、、共线，设，则，，在中，，即：，解得，，，，，，，到的距离为．APx=4PB x =-PA PA x ='=4PB PB x ='=-2A B ''=(4)2x x ∴--=3x ∴=3PA ∴=PA FH CD ⊥H CH F BC 3AD DF ==BG FG =G F D BG FG x ==3DG DF FG x =+=+3CG BC BG x =-=-Rt GCD ∆222DG CD CG =+222(3)4(3)x x +=+-43x =413333DG ∴=+=//FH CG ∴DH DF CD DG=∴31343DH =3613DH ∴=361641313CH ∴=-=F ∴BC 161320．（2020•越秀区一模）如图所示，四边形为平行四边形，，，，且，点为直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．（1）求平行四边形的面积；（2）当点、、三点共线时，设与相交于点，求线段的长；（3）求线段的长度的最小值．ABCD 13AD =25AB =DAB α∠=5cos 13α=E CD EA E αEF CF ABCD C B F EF AB G BG CF【答案】（1）300；（2）；（3 【详解】解（1）如图1，作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，，，在中，，且，，，；（2）如图2，延长至，作，，，过点作于点，由（1）知，，， 11722BG ∴=6613DK AB ⊥K EA E αEF AEF α∴∠=AE EF =Rt DAK ∆5cos cos 13AK DAK AD α∠===13AD =5AK ∴=222213512DK AD AK ∴=-=-=2512300ABCD S AB DK ∴=⨯=⨯=平行四边形CD H AHD α∠=AHD ADH α∠=∠=13AH AD ∴==A AM DH ⊥M 12AM =225DM AD AM ∴=-=10DH ∴=。

2020年广东省中考数学压轴题专题训练(含解析)

2020年（广东）中考数学压轴题专题训练1．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．2．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接BD，点E在⊙O上，连接BE交AD于点F，∠BDC+45°＝∠BFD，连接ED．（1）如图1，求证：∠EBD＝∠EDB；（2）如图2，点G是AB上一点，过点G作AB的垂线分别交BE和BD于点H和点K，若HK＝BG+AF，求证：AB＝KG；（3）如图3，在（2）的条件下，⊙O上有一点N，连接CN分别交BD和AD于点M和点P，连接OP，∠APO＝∠CPO，若MD＝8，MC＝3，求线段GB的长．3．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，交⊙O于C、D两点，交AB点E、F是弧BD上一点，过点F作一条直线，交CD的延长线于点G，交AB的延长线于点M．连结AF，交CD于点H，GF＝GH．（1）求证：MG是⊙O的切线；（2）若弧AF＝弧CF，求证：HC＝AC；（3）在（2）的条件下，若tan G＝，AE＝6，求GM的值．4．如图，已知AC是半径为2的⊙O的一条弦，且AC＝2，点B是⊙O上不与A、C重合的一个动点，（1）请计算△ABC的面积的最大值；（2）当点B在优弧上，∠BAC＞∠ACB时，∠ABC的平分线交AC于D，且OD⊥BD，请计算AD的长；（3）在（2）条件下，请探究线段AB、BC、BD之间的数量关系．5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG．（1）求证：AG为⊙O的切线；（2）已知AG＝2，填空：①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝°；②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的弦，AD＝BC，AD与BC相交于点E．（1）求证：CB平分∠ACD；（2）过点B作BG⊥AC于G，交AD于点F．①猜想AC、AG、CD之间的数量关系，并且说明理由；②若S△ABG＝S△ACD，⊙O的半径为15，求DF的长．7．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．（1）求证：AB＝AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D 三点的⊙O交AB于另一点E，连结AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连结EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形；（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．9．如图，抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若A（﹣1，0），且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．10．已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接P A，PC，试问△P AC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．11．如图，二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常数a＜0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的右侧），与y轴交于点C（0，3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）求a与m的关系式；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的正半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+4ax+与x轴交于点A、B（A在B的左侧），过点A的直线y＝kx+3k交抛物线于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，过点B作BD⊥BC，交直线AC于点D，若BC＝5BD，求k的值；（3）将直线y＝kx+3k向上平移4个单位，平移后的直线交抛物线于E、F两点，求△AEF的面积的最小值．13．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH ⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y 轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．15．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．（1）求抛物线的函数表达式；（2）该二次函数图象上有一点P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值．16．二次函数y＝x2﹣x﹣与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D 为抛物线的顶点，连接BD．（1）如图1，点P为抛物线上的一点，且在线段BD的下方（包括线段的端点），连接P A，PC，AC．求△P AC的最大面积；（2）如图2，直线l1过点B、D．过点A作直线l2∥l1交y轴于点E，连接点A、E，得到△OAE，将△OAE绕着原点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△OA1E1，旋转过程中直线OE1与直线l1交于点M，直线A1E1与直线l1交于点N．当△E1MN为等腰三角形时，直接写出点E1的坐标并写出相应的α值．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点．已知AB＝6，AD＝8，∠DAB＝60°，点B的坐标为（﹣6，0）．（1）求点D和点M的坐标；（2）如图①，将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D′和点M的对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P是直线l上的动点，点Q 是平面内任意一点，若以B′，C′，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．18．如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B 两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；（2）求△AOD的面积；（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．20．笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y＝kx+b（k≠0）上的任意三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1≠x1≠x3），满足＝＝＝k，经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点的坐标M（x1，y1）N（x2，y2）（x1≠x2），都有的值为k，其中k叫直线y＝kx+b的斜率．如，P（1，3），Q（2，4）为直线y＝x+2上两点，则k PQ＝＝1，即直线y＝x+2的斜率为1．（1）请你直接写出过E（2，3）、F（4，﹣2）两点的直线的斜率k EF＝．（2）学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图1，直线GH⊥GI于点G，G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6）．请求出直线GH 与直线GI的斜率之积．（3）如图2，已知正方形OKRS的顶点S的坐标为（6，8），点K，R在第二象限，OR 为正方形的对角线．过顶点R作RT⊥OR于点R．求直线RT的解析式．参考答案一．解答题（共20小题）1．（1）证明：连接OC，OE，∵OC＝OE，∴∠E＝∠OCE，∵E是的中点，∴＝，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠E+∠ODE＝90°，∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠PDC＝∠ODE，∴∠PCD＝∠ODE，∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，BE，BC，∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴△ACD∽△EBD，∴＝，∴CD•DE＝AD•BD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2；∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PCO＝90°，∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACP＝∠BCO，∵∠BCO＝∠CBO，∴∠ACP＝∠PBC，∵∠P＝∠P，∴△ACP∽△CBP，∴，∴PC2＝PB•P A＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）2﹣OA2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∵PC＝PD，∴PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∴OA2﹣OD2＝2OD•PD，∴CD•DE＝2OD•PD；（3）解：∵AB＝8，∴OA＝4，由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；∵CD•DE＝15，∴15＝42﹣OD2，∴OD＝1（负值舍去），∴AD＝3，由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，∴PD＝＝，∴P A＝PD﹣AD＝．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠BDC＝∠DBA，BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°，∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠BFD＝∠BDC+45°，∴∠ABF+90°＝∠DBA+45°，∴∠DBA﹣∠ABF＝45°，∴∠EBD＝45°，∴△BED是等腰直角三角形，∴∠EBD＝∠EDB；（2）证明：过点K作KS⊥BE，垂足为R，交AB于S，如图2所示：∵KG⊥AB，∴∠BGH＝∠KRH＝∠SRB＝∠KGS＝90°，∴∠SBR＝∠HKR，∵∠BED＝90°，∴∠RBK＝∠RKB＝45°，∴BR＝KR，在△SRB和△HRK中，，∴△SRB≌△HRK（ASA），∴SB＝HK，∵SB＝BG+SG，HK＝BG+AF，∴BG+SG＝BG+AF，∴SG＝AF，在△ABF和△GKS中，，∴△ABF≌△GKS（AAS），∴AB＝KG；（3）解：过点O分别作AD与CN的垂线，垂足分别为Q和T，连接OC，如图3所示：∵∠APO＝∠CPO，∴OQ＝OT，在Rt△OQD和Rt△OTC中，，∴Rt△OQD≌Rt△OTC（HL），∴DQ＝CT，∴AD＝CN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝CN＝BC，连接ON，在△NOC和△BOC中，，∴△NOC≌△BOC（SSS），∴∠BCO＝∠NCO，设∠OBC＝∠OCB＝∠NCO＝α，∴∠MOC＝2α，过点M作MW⊥OC于W，在OC上取一点L，使WL＝OW，连接ML，∴MO＝ML，∴∠MOL＝∠MLO＝2α，∴∠LCM＝∠LMC＝α，∴ML＝CL，设OM＝ML＝LC＝a，则OD＝a+8＝OC，∴OL＝8，OW＝WL＝4，∴CW＝4+a，由勾股定理得：OM2﹣OW2＝MW2＝MC2﹣CW2，即a2﹣42＝（3）2﹣（4+a）2，整理得：a2+4a﹣45＝0，解得：a1＝﹣9（不合题意舍去），a2＝5，∴OM＝5，∴MW＝3，WC＝9，∴OB＝OC＝OD＝13，BD＝26，∵∠GKB＝∠CBD＝∠ADB＝∠BCO＝∠MCW，tan∠MCW＝＝＝，∴tan∠GKB＝tan∠CBD＝tan∠ADB＝tan∠BCO＝tan∠MCW＝，设AB＝b，则AD＝3b，由勾股定理得：b2+（3b）2＝262，解得b＝，∴CD＝GK＝AB＝，在Rt△GKB中，tan∠GKB＝＝，∴GB＝GK＝×＝．3．（1）证明：连接OF．∴AB⊥CD，∴∠AEH＝90°，∴∠EAH+∠AHE＝90°，∵GF＝GH，∴∠GFH＝∠GHF＝∠AHE，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠OF A+∠GFH＝90°，∴OF⊥GM，∴MG是⊙O的切线．（2）证明：∵＝，∴OF垂直平分线段AC∵OF⊥MG，∴AC∥GM，∴∠CAH＝∠GFH，∵∠CHA＝∠GHF，∠HGF＝∠GFH，∴∠CAH＝∠CHA，∴CA＝CH．（3）解：∵AC∥GM，∴∠G＝∠ACH，∴tan∠CAH＝tan∠G＝＝，∵AE＝6，∴EC＝8，AC＝＝＝10，设GF＝GH＝x，则CG＝CH+GH＝AC+GH＝10+x，∵CD＝2EC＝16，∴GD＝10+x﹣16＝x﹣6，∵GF2＝GD•GC，∴x2＝（x﹣6）（x+10），解得x＝15，∴EG＝CG﹣CE＝25﹣8＝17，∵tan∠G＝＝，∴EM＝，∴GM＝＝＝．4．解：（1）如图1中，当点B在优弧AC的中点时，△ABC的面积的最大，连接AB，BC，OB，延长BO交AC于H．∵＝，∴BH⊥AC，∴AH＝HC＝，∴OH＝＝1，∴BH＝OB+OH＝2+1＝3，∴△ABC的最大面积＝×AC×BH＝×2×3＝3．（2）如图2中，延长BD交⊙O于E，连结OE交AC于F，连结OC．由BD平分∠ABC可得，E为弧AC中点，∴OE⊥AC，∴AF＝CF＝∴OF＝＝＝1＝EF，∴DF垂直平分OE，又∵OD⊥BD，∴△ODE是等腰直角三角形，∴DF＝OE＝1，∴AD＝．（3）如图3，连结AE、CE，由已知得AE＝CE，∠AEC＝120〫，将△EAB绕点E顺时针旋转120〫得△ECF，∵∠BAE＝∠ECF，∠BAE+∠BCE＝180〫，∴∠ECF+∠BCE＝180〫，∴BF＝BC+CF，∵AB＝CF，∴BF＝AB+BC，∵BE＝FE，∠BEF＝∠AEC＝120〫，∴BF＝BE，∵OD⊥BD，∴BE＝2BD，∴BF＝2BD，∴BA+BC＝2BD．5．（1）证明：连接OA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵GA＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DG⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠OCA+∠DEC＝90°，∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE，∴∠OAC+∠GAE＝90°，∴∠OAG＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线．（2）①如图2中，连接OA，AF，OF．∵四边形ABOF是菱形，∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵ED⊥BC，∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，∴∠AEG＝∠DEC＝60°．故答案为60．②如图3中，当AB＝4时，△AGE是等腰直角三角形．理由：连接OA．∵△AGE是等腰直角三角形，∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，∵OB＝OC，∴AO⊥OC，∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，∴四边形AODG是矩形，∴AG＝OD＝2，∴OC＝2OD＝4，∴BC＝2OC＝8，∴AB＝AC＝4，故答案为4．6．（1）证明：如图1中，∵AD＝BC，∴＝，∴＝，∵AB＝AC，∴＝，∴＝，∴∠ACB＝∠BCD，∴CB平分∠ACD．（2）①结论：AC﹣2AG＝CD．理由：如图2中，连接BD，在GC上取一点H，使得GH＝GA．∵BG⊥AH，GA＝GH，∴BA＝BH，∴∠BAH＝∠BHA，∵∠BAH+∠BDC＝180°，∠BHG+∠BHC＝180°，∴∠BDC＝∠BHC，∵∠BCH＝∠BCD，CB＝CB，∴△BCH≌△BCD（AAS），∴CD＝CH，∴AC﹣2AG＝AC﹣AH＝CH＝CD．②如图3中，过点G作GN⊥AB于G，过点D作DM⊥AC交AC的延长线于M，连接AO，延长AO交BC于J，连接OC．∵＝，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥CD，∴S△ACD＝S△BCD，∵△BCH≌△BCD，∴S△BCH＝S△BCD，∵AG＝GH，∴S△ABG＝S△BGH，∵S△ABG＝S△ACD，∴S△ABG＝S△BGH＝S△BCH，∴AG＝GH＝CH，设AG＝GH＝HC＝a，则AB＝AC＝3a，BG＝＝＝2a，∵BG⊥AC，∴•BG•AG＝•AB•GN，∴GN＝＝a，在Rt△BGC中，BC＝＝＝2a，∵AB＝AC，∴＝，∴AJ⊥BC，∴BJ＝JC＝a，∴AJ＝＝＝a，在Rt△OJC中，∵OC2＝OJ2+JC2，∴152＝（a﹣15）2+（a）2，∴a＝，∵S△ABG＝S△ACD，AB＝AC，GN⊥AB，DM∠AC，∴DM＝GN＝a＝，∵BC＝AD＝2a＝20，∴AM＝＝＝，∵FG∥DM，∴＝，∴＝，∴AF＝6，∴DF＝AD＝AF＝20﹣6＝14． 7．（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴AB＝AC，∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，由（1）知，AB＝AD，∴DM＝BD，∵BF＝4，DF＝6，∴BD＝10，∴DM＝5，∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，∴△ADM∽△FDA，∴，∴，∴AD＝，在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；（3）的值是不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，∴∠AHD＝90°＝∠COA，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAH＝90°，∴∠ADH＝∠CAO，∵AD＝AC，∴△ADH≌△ACO（AAS），∴DH＝AO，AH＝OC，∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，∴DQ＝BQ，∴△DBQ为等腰直角三角形，∴∠DBQ＝45°，∴∠DEH＝∠BEO＝45°，∴sin∠DEH＝，∴＝，∴，∴．8．解：（1）证明：∵CE⊥AD，∴EG＝CG，∵CF∥DE，∴∠DEG＝∠FCG，∵∠FGC＝∠DGE，∴△DEG≌△FCG（ASA），∴ED＝FC，∴四边形DCFE为平行四边形，又∵CE⊥DF，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，∴AE＝AC＝4，∵四边形AEDC内接于⊙O，∴∠BED＝∠BCA＝90°，∵四边形DCFE是菱形，∴EF∥DC，DE＝DC，∴∠AEF＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，∴DC＝3a，BD＝＝5a，∵BC2+AC2＝AB2，∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，解得a＝或a＝0（舍去），∴DE＝DC＝2，∴AD＝＝＝2．即⊙O的直径长为2．9．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3OA＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM＝AB×OC+MN×OB＝×4×3×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM+∠BMO＝90°，∵∠BMO+∠OMB＝90°，∴∠OMB＝∠HFM，∵∠BOM＝∠MHF＝90°，∴△BOM≌△MHF（AAS），∴FH＝OM＝1，MH＝OB＝3，故点F（1，4），由点B、F的坐标得，直线BF的解析式为y＝﹣2x+6，联立，解得，∴E（﹣3，12）．10．解：（1）y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3＝﹣x2﹣x，∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m+n+4＝0，即m2+3m+1＝0，解得：m＝，故点P（，）；②当﹣1﹣m＝﹣（n+3）时，即m＝n+2，同理可得：点P（，）；故点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．11．解：（1）将点C的坐标代入抛物线表达式得：﹣3am2＝3，解得：am2＝﹣1；（2）对于二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2），令y＝0，则x＝m或﹣3m，∴函数的对称轴为：x＝﹣m，∵CD∥AB，∴点D、C的纵坐标相同，故点D（﹣2m，3），故点A、B的坐标分别为：（m，0）、（﹣3m，0），设点E（x，y），y＝a（x2+2mx﹣3m2），分别过点D、E作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵AB平分∠DAE，∴∠DAM＝∠EAN，∴RtADM△∽Rt△ANE，∴，即，解得：y＝，故点E（x，），将点E的坐标代入抛物线表达式并解得：x＝＝﹣4m，则y＝＝﹣5，故点E（﹣4m，﹣5），故＝＝＝为定值；（3）存在，理由：函数的对称轴为x＝﹣m，当x＝﹣m时，y＝a（x2+2mx﹣3m2）＝4，即点F（﹣m，4），由点F、C的坐标得，直线FC的表达式为：y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3m，即点G（3m，0），GF2＝（3m+m）2+42＝16m2+16，同理AD2＝9m2+9，AE2＝25m2+25，故AE2＝AD2+GF2，GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，点G的横坐标为3m．12．解：（1）∵直线y＝kx+3k过点A，∴y＝0时，0＝kx+3k，解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝ax2+4ax+，得9a﹣12a+＝0，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝x2+x+；（2）如图1，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CG⊥x轴于G，∴∠DFB＝∠CGO＝90°＝∠DBC，∴∠DBF+∠BDF＝90°，又∵∠DBF+∠CBG＝90°，∴∠BDF＝∠CBG，∴△BDF∽△CBG，∴，∵CB＝5BD，∴CG＝5BF，BG＝5DF，联立方程组，解得：，（舍去），∴点C（4k﹣1，4k2+2k），∴CG＝4k2+2k，OG＝4k﹣1，设BF＝m，则CG＝5m，DF＝2k﹣km，BG＝5（2k﹣km），∴，解得k＝﹣（舍去）或k＝0（舍去）或k＝1，∴k的值为1；（3）∵将直线y＝kx+3k向上平移4个单位，∴平移后解析式为y＝kx+3k+4，∴kx+3k+4＝x2+x+，∴x E+x F＝4k﹣4，x E•x F＝﹣12k﹣13，∴|x F﹣x E|＝＝，∵△AEF的面积＝×4×，∴当k＝﹣时，△AEF的面积的最小值为16．13．解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴＝＝，∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，∴N（﹣，）．综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．14．解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝4，则CD＝4，∵四边形ABDC为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DC＝AB＝4，∴A（2，0），B（6，0），把点A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6；（2）如图1，设E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6，作EN⊥y轴于N，如图2，∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12，化简得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍），∴点E的坐标为（3，﹣）；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，如图2，过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G，∵∠PQE＝∠PME，∴点E，M，Q，P四点共圆，∵PE⊥PQ，∴∠EPQ＝90°，∴∠EMQ＝90°，∴∠EMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠HGM＝90°，∴∠EMF＝∠HGM，在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，∴tan∠HGM＝2，∴，∴HG＝HM＝1，∴点G（5，0），∵M（4，﹣2），∴直线MG的解析式为y＝2x﹣10①，∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6②，联立①②解得，（舍）或，∴Q（8，6），∴点Q到对称轴的距离为8﹣4＝4；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，如图3，过点E作EF⊥PM于F，过点Q作QD⊥PM于D，∴∠DQP+∠QPD＝90°，∵∠EPQ＝90°，∴∠DPQ+∠FPE＝90°，∴∠DQP＝∠FPE，∵∠PDQ＝∠EFP，∴△PDQ∽△EFP，∴，由Ⅰ知，tan∠PQE＝＝2，∵EF＝1，∴＝，∴DP＝，PF＝2QD，设Q（n，n2﹣4n+6），∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7，∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n），∴n＝2+（舍）或n＝2﹣，∴DQ＝4﹣n＝2+，即点Q到对称轴的距离为4或2+．15．解：（1）抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）上，∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴a＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣．（2）如图1中，设直线BD交y轴于J，则J（0，）．连接CD，BC．∵S△BDC＝××9＝10，∴S△P AB＝10，∴×6×|y P|＝10y P＝±，当y＝时，＝x2﹣x﹣，解得x＝1±，∴P（，）或（，），当﹣＝x2﹣x﹣，方程无解，∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）．（3）如图2中，过点D作DM平行于x轴，∵D（﹣5，3），B（4，0），∴tan∠DBA＝＝，∴∠DBA＝30°∴∠BDM＝∠DBA＝30°，过F作FJ⊥DM于J，则有sin30°＝，∴HF＝，∴2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值为＝．16．解：（1）∵y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣2x﹣3）＝（x﹣1）2﹣2，∴顶点D的坐标为（1，﹣2），令y＝0，则（x2﹣2x﹣3）＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0，则y＝﹣，∴C（0，﹣），∴AC是定值，要△ACP的面积最大，则点P到AC的距离最大，即当点P在点B位置时，点P到AC的距离最大，∴S△ACP最大＝S△ABC＝AB•OC＝（3+1）•＝3；（2）由（1）知，B（3，0），D（1，﹣2），∴直线l1的解析式为y＝x﹣3，∵l1∥l2，且l1过点A，∴直线l2的解析式为y＝x+，∴E（0，），∴OE＝，在Rt△AOE中，OA＝1，∴tan∠AEO＝＝，∴∠AEO＝30°，∵l1∥l2，∴∠DBO＝60°，由旋转知，OE1＝OE＝，∠A1E1O＝∠AEO＝30°，∴∠ME1N＝30°如图，∵△E1MN为等腰三角形，∴①当E1N1＝M1N1时，∴∠E1M1N1＝∠A1E1O＝30°，∴α＝∠BOM＝60°﹣30°＝60°，过点E1作E1F⊥x轴于F，∴E1F＝OE1＝，∴OF＝E1F＝，∴E1（，），②当E2M2＝E2N2时，∠E2N2M2＝∠E2M2N2＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠BOM2＝75°﹣60°＝15°，∴α＝105°，过点E2作E2H⊥x轴，在OH上取一点Q，使OQ＝E2Q，∴∠E2QH＝30°，设E2H＝a，则E2Q＝2a，HQ＝a，∴OQ＝E2Q＝2a，OH＝（2+）a，在Rt△OHE2中，根据勾股定理得，[（2+）a]2+a2＝3，∴a＝（舍去负值），∴E2（，﹣）．③当E3M3＝M3N3时，∠E3N3M3＝∠M3E3N3＝30，∴∠E3M3N3＝120°，∴∠BOM3＝60°，∴α＝150°，∵∠OBM3＝60°，∠E3N3M3＝30°，∴∠N3GB＝90°，∴OG＝，E3G＝，∴E3（，﹣）．17．解：（1）∵AB＝6，点B的坐标为（﹣6，0），∴点A（﹣12，0），如图1，过点D作DE⊥x轴于点D，则ED＝AD sin∠DAB＝8×＝4，同理AE＝4，故点D（﹣8，4），则点C（﹣2，4），由中点公式得，点M（﹣4，2）；（2）图象向右平移了a个单位，则点D′（a﹣8，4）、点M′（a﹣4，2），∵点D′M′都在函数上，∴（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2，解得：a＝12，则k＝（12﹣8）×4＝16，故反比例函数的表达式为＝；（3）由（2）知，点M′的坐标为（8，2），点B′、C′的坐标分别为（6，0）、（10，4），设点P（m，2），点Q（s，t）；①当B′C′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′，过点C′作C′H⊥l交于点H，C′H＝4﹣2＝2，直线B′C′的倾斜角为60°，则∠M′PC′＝30°，PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝故点P的坐标为（16，2），由题意得：点P、Q′关于点C′对称，由中点公式得，点Q的坐标为（12，﹣4）；同理点Q、Q′关于点M′对称，由中点公式得，点Q′（4，6）；故点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）；②当B′C′是矩形的对角线时，∵B′C′的中点即为PQ的中点，且PQ＝B′C′，∴，解得：，，故点Q的坐标为（4，2）或（12，2）；综上，点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）．18．解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，∴点A，点B关于原点对称，∴点B的横坐标为1，∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；（2）连接OC，OE，由图象知，点A，点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC为∠BAD的平分线，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴S△AEO＝S△ACE＝，∴AE＝DE，∴S△AOD＝2S△AOE＝3；（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，则EF∥AH，∵AD＝2DE，∴DE＝EA，∵EF∥AH，∴＝＝1，∴DF＝FH，∴EF是△DHA的中位线，∴EF＝AH，∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，∴OF•EF＝OH•HA，∴OH＝OF，∴OH＝HF，∴DF＝FH＝HO＝DO，∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，∴﹣＝1，∴k＝﹣2，∴y＝﹣，∵点A在y＝﹣的图象上，∴把x＝﹣1代入得，y＝2，∴A（﹣1，2），∵点A在直线y＝mx上，∴m＝﹣2，∴P（﹣2，﹣2），在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，则OM＝2，∴点M的坐标为（0．﹣2）；当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，∴OM＝2PG＝4，∴点M的坐标为（0．﹣4）；综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．19．解：（1）理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC∽△CEB；（2）如图，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME⊥x轴NF⊥x轴，由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴，∵点M（2，1），∴OE＝2，ME＝1，∵tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝，∴点N（﹣，3），∵设直线CD表达式：y＝kx+b，∴∴∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+；（3）当∠CDP＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，∵∠ADC+∠CDP＝180°，∴点A，点D，点P三点共线，∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝3，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE＝PH＝3，当∠CPD＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝3，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5﹣x，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，∴PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，∵∠DPC＝90°，∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°，∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，∴△CPH∽△PDH，∴，∴∴x＝∵点P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝，综上所述：当BE的长为3或时，△DPC为直角三角形．20．解：（1）∵E（2，3）、F（4，﹣2），∴k EF＝＝﹣，故答案为﹣．（2）∵G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6），∴k GH＝＝，k GI＝＝﹣，∴k GH•k GI＝﹣1．（3）如图2中，过点K作KM⊥x轴于M，过点S作SN⊥x轴于N，连接KS交OR于J．∴S（6，8），∴ON＝6，SN＝8，∵四边形OKRS是正方形，∴OK＝OS，∠KPS＝∠KMO＝∠SNO＝90°，KJ＝JS，JR＝JO，∴∠KOM+∠SON＝90°，∠SON+∠OSN＝90°，∴∠KOM＝∠OSN，∴△OMK≌△SNO（AAS），∴KM＝ON＝6，OM＝SN＝8，∴K（﹣8，6），∵KJ＝JS，∴J（﹣1，7），∵JR＝OJ，∴R（﹣2，14），∵k OR＝＝﹣7，∵RT⊥OR，∴k RT＝﹣＝，设直线RT的解析式为y＝x+b．。

广东数学中考压轴题汇编

16. 如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴上，直线3232-=x y 经过直角顶点B ，且平分△ABC 的面积，BC=3，点A 在反比例函数xky =图像上，则k = ． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线2+=x y 与坐标轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，C 点的坐标为（1，0），抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图像直接写出不等式2)1(2>+-+c x b ax 的解集；（3）点P 是抛物线上一动点，且在直线AB 上方，过点P 作AB 的垂线段，垂足为Q 点．当PQ=22时，求P 点坐标．24．如图，四边形ABCD 的顶点在⊙O 上，BD 是⊙O 的直径，延长CD 、BA 交于点E ，连接AC 、BD 交于点F ，作AH ⊥CE ，垂足为点H ，已知∠ADE=∠ACB ．（1）求证：AH 是⊙O 的切线；（2）若OB=4，AC=6，求sin ∠ACB 的值；（3）若32=FO DF ，求证：CD=DH ．25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 坐标为（4，6），点P 为线段OA 上一动点（与点O 、A 不重合），连接CP ，过点P 作PE ⊥CP 交AB 于点D ，且PE=PC ，过点P 作 PF ⊥OP 且PF=PO （点F 在第一象限），连结FD 、BE 、BF ，设OP=t ．（1）直接写出点E 的坐标（用含t 的代数式表示）：；（2）四边形BFDE 的面积记为S ，当t 为何值时，S 有最小值，并求出最小值；（3）△BDF 能否是等腰直角三角形，若能，求出t ；若不能，说明理由．10.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP=x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（）23. 如图所示，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG ．（1）求证：四边形EFDG 是菱形；（2）求证：EG 2=GF×AF；，则矩形ABCD 的（第23题图）24. 如图所示，△OAB 中，OA=OB=10，∠AOB=80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN ⌒分别交OA 、OB 于点M 、N. （1）点P 在右半弧上（∠BOP 是锐角），将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′. 求证：AP = BP ′；（2）点T 在左半弧上，若AT 与弧MN ⌒相切于点T ，求点T 到OA 的距离；（3）设点Q 在优弧MN ⌒上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数.25. 如图所示，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C(0，-3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P在第三象限．①当线段PQ 34AB =时，求tan∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．24.如图，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与M ，C 重合)，以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F ，切点为E . (1)求证：OF ∥BE ；(2)设BP ＝x ，AF ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3)延长DC ，FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 于H ，问是否存在点P ，使△EFO ∽△EHG (E ，F ，O 分别与E ，H ，G 为对应点)，如果存在，试求(2)中x 和y 的值，如果不存在，请说明理由．25．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y=x ﹣2交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求证：△ABC 是直角三角形；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知一次函数y=23x ﹣3与反比例函数xky =的图象相交于点A （4，n ），与x 轴相交于点B ．（1）填空：n 的值为，k 的值为；（2）以AB 为边作菱形ABCD ，使点C 在x 轴正半轴上，点D 在第一象限，求点D 的坐标；（3）考察反比函数xky =的图象，当2y ≥-时，请直接写出自变量x 的取值范围．24．如图，△ABC 的边AB 为⊙O 的直径，BC 与圆交于点D ，D 为BC 的中点，过D 作DE⊥AC 于E ．（1）求证：AB=AC ；（2）求证：DE 为⊙O 的切线；（3）若AB=13，sinB=，求CE 的长．25．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA⊥NA，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．24. 如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 是直径，分别延长AB 、CD 相交于点E ，AC=AE ，过点D 作DF∥BC 于点F. （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）求证：AC·DF = AD·DE；（3）若M 是弧AB 的中点，连接MD 交弦AB 于点H ，若AB ：AF=3：5，证明：AH = AF.25. 已知，把Rt △ABC 和Rt △DEF 按图1摆放（点C 与E 重合），点B ，C ，E ，F 始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10．如图2，△DEF 从图1位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向△ABC 匀速运动，同时，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位的速度向点B 匀速运动，AC 与△DEF 的直角边相交于点Q ，当E 到达终点B 时，△DEF 与点P 同时停止运动，连接PQ ，设移动的时间为t （s ）．解答下列问题：（1）当D 在AC 上时，求t 的值；（2）连接PE ，设四边形APEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）在P 点运动过程中，是否存在点P ，使△APQ 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22、正方形ABCD 边长为4，M,N 分别是BC ，CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直。

2023年广东中考数学压轴题23题解法探究，旋转，共圆，等腰直角，全等，相似，面积差

2023年广东中考数学压轴题23题解法探究，旋转，共圆，等
腰直角，全等，相似，面积差
23.综合运用
如题23-1 图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上如题23-2图，将正方形OABC绕点0逆时针转，转角为a (<a<45°)，AB 交直线y=x于点E，BC交y轴于点F
(1)当旋转角∠ COF 为多少度时，OE =OF;(直接写出结果，不要求写解答过程)
(2) 若点A(4,3)，求FC的长;
(3)如题23-3 图对角线AC 交y 轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN,将△OFN 与△OCF 的面积分别记为S1 与S2设S= S1 -S2，AN=n，S关于n的函数表达式。

N
（3）（直接法：引参）（分析：要三角形的面积，找底和高，
从而得到∠FNO=∠FCO=90°，进而得到ΔFNO等腰直角三角形，只有CF未知，于是笔者设CF，尝试找出CF与BF的数量关系，但没等找出关系，在代入求面积时，竟然消去CF，关于求CF与BF的数量，欢迎联系笔者，谢谢！）。

广东省佛山市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析

广东省佛山市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析广东省佛山市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020台州.中考模拟) 如图，在矩形ABCD 中，CD ＝3cm ，BC ＝4cm ，连接BD ，并过点C 作CN ⊥BD ，垂足为N ，直线l 垂直BC ，分别交BD 、BC 于点P 、Q ．直线l 从AB 出发，以每秒1cm 的速度沿BC 方向匀速运动到CD 为止；点M 沿线段D A 以每秒1cm 的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，直线1与点M 同时出发，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）线段CN ＝；（2）连接PM 和QN ，当四边形MPQN 为平行四边形时，求t 的值；（3）在整个运动过程中，当t 为何值时△PMN 的面积取得最大值，最大值是多少？~~第2题~~(2020顺德.中考模拟) 如图，直线l ：y ＝﹣m 与y 轴交于点A ，直线a ：y ＝x+m 与y 轴交于点B ，抛物线y ＝x +mx 的顶点为C ，且与x 轴左交点为D （其中m ＞0）．（1）当AB ＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P 使得△BOP 的周长最小；（2）当点C 在直线l 上方时，求点C 到直线l 距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m ＝2020时，求出在抛物线和直线a 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．~~第3题~~(2019顺德.中考模拟) 如图，点O 是平面直角坐标系的原点，点A （，3），AC ⊥OA 与x 轴的交点为C ．动点M 以每秒个单位长度由点A 向点O 运动．同时，动点N 以每秒3个单位长度由点O 向点C 运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动．（1）写出∠AOC 的值；（2）用t 表示出四边形AMNC 的面积；（3）求点P 的坐标，使得以O 、N 、M 、P 为顶点的四边形是特殊的平行四边形？~~第4题~~2(2019禅城.中考模拟) 如图，等腰直角△OAB的斜边OA在坐标轴上，顶点B的坐标为（﹣2，2）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向点O运动，点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，当点P到达点O时，点P、点Q同时停止运动．连接BP，过P点作∠BPC＝45°，射线PC与y轴相交于点C，过点Q作平行于y轴的直线l，连接BC 并延长与直线l相交于点D，设点P运动的时间为t（s）．（1）点P的坐标为（用t表示）；（2）当t为何值，△PBE为等腰三角形？（3）在点P运动过程中，判断的值是否发生变化？请说明理由．~~第5题~~(2019南海.中考模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，3 ）、B （9，5 ），C（14，0），动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA﹣AB﹣BC运动，在OA、AB、BC上运动的速度分别为3，，（单位长度/秒），当P、Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值；（3）在P、Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值．~~第6题~~(2019禅城.中考模拟) 为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？~~第7题~~(2019佛山.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形 .是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.~~第8题~~(2018南海.中考模拟) 如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C ，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．~~第9题~~(2017顺德.中考模拟) 如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．~~第10题~~(2015佛山.中考真卷) 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD．连接B E、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．（1）（1）求EG：BG的值；（2）（2）求证：AG=OG；（3）（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值．广东省佛山市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：~~第2题~~答案：解析：~~第3题~~答案：解析：~~第4题~~答案：解析：~~第5题~~答案：解析：答案：解析：答案：解析：答案：解析：~~第9题~~答案：解析：答案：解析：。

广东省东莞市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析

广东省东莞市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析广东省东莞市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020东莞.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点C 的坐标为（8，0），∠AOC ＝60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M 、N（点M 在点N 的上方）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设△OMN 的面积为S ，直线l 运动时间为t 秒（0≤t≤12），求S 与t 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，t 为何值时，S 最大？并求出S 的最大值．~~第2题~~(2018东莞.中考模拟) 两个等腰直角三角形如图放置，∠B=∠CAD=90°，AB=BC=cm ，AC=AD ，垂直于CD 的直线a 从点C 出发，以每秒 cm 的速度沿CD 方向匀速平移，与CD 交于点E ，与折线BAD 交于点F ；与此同时，点G 从点D 出发，以每秒1cm的速度沿着DA的方向运动；当点G 落在直线a 上，点G 与直线a 同时停止运动；设运动时间为t 秒（t>0）.（1）填空：CD=cm;（2）连接EG 、FG ，设△EFG 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式，并写出相应t 的取值范围；（3）是否存在某一时刻t （0<t<2）,作∠ADC 的平分线DM 交EF 于点M ，是否存在点M 是EF 的中点？若存在，求此时的t 值；若不存在，请说明理由。

~~第3题~~(2018东莞.中考模拟) 已知如图1，抛物线y=﹣ x ﹣ x+3与x 轴交于A 和B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，点D 的坐标是（0，﹣1），连接BC 、AC 2（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN= （点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC 交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值．~~第4题~~(2018东莞.中考模拟) 如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线AC上，连接BE、DE，（1）如图1，作EM⊥AB交AB于点M，当AE= 时，求BE的长；（2）如图2，作EG⊥BE交CD于点G，求证：BE=EG；（3）如图3，作EF⊥BC交BC于点F，设BF=x，△BEF的面积为y．当x取何值时，y取得最大值，最大值是多少？当△BEF的面积取得最大值时，在直线EF取点P，连接BP、PC，使得∠BPC=45°，求EP的长度．~~第5题~~(2018东莞.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C （2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形B DEF.（1）填空：点B的坐标为；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值~~第6题~~(2017东莞.中考模拟) 如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B 向点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t=5时，请直接写出点D ，点P 的坐标；（2）当点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，求出△PBD 的面积S 关于t 的函数关系式，并写出相应t 的取值范围；（3）点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，当△PEO 与△BCD 相似时，求出相应的t 值．~~第7题~~(2017东莞.中考模拟) 如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ．如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2cm/s 和1cm/s ．FQ ⊥BC ，分别交AC 、BC 于点P 和Q ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．（1）连结EF 、DQ ，若四边形EQDF 为平行四边形，求t 的值；（2）连结EP ，设△EPC 的面积为ycm ，求y 与t 的函数关系式，并求y 的最大值；（3）若△EPQ 与△ADC 相似，请直接写出t 的值．~~第8题~~(2017东莞.中考模拟) 如图（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ．BC=a cm ，AC=3cm ，且a 是方程x ﹣（m ﹣1）x+m+4=0的根．（1）求a 和m 的值；（2）如图（2），有一个边长为的等边三角形DEF 从C 出发，以1cm/s 的速度沿CB 方向移动，至△DEF 全部进入与△AB C 为止，设移动时间为xs ，△DEF 与△ABC 重叠部分面积为y ，试求出y 与x 的函数关系式并注明x 的取值范围；22（3）试求出发后多久，点D在线段AB上？~~第9题~~(2017东莞.中考模拟) 如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，过点P作PD⊥y轴，交OB于D，连接DQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t=1时，求线段DP的长；（2）连接CD，设△CDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值；（3）运动过程中是否存在某一时刻，使△ODQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．~~第10题~~(2017东莞.中考模拟) 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5c m/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△E B′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．广东省东莞市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：答案：解析：~~第3题~~答案：解析：答案：解析：~~第5题~~答案：解析：~~第6题~~答案：解析：~~第7题~~答案：解析：答案：解析：答案：解析：~~第10题~~答案：解析：。

2024年中考数学压轴题型(广东专用)专题07一次函数与反比例函数综合问题(教师版)

专题07一次函数与反比例函数综合问题通用的解题思路：1.三角形面积的解题步骤：类型一：三角形有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，以这边为底边，以该边所对的顶点的坐标的绝对值为高•底边平行于V轴，则以所对顶点的横坐标的绝对值为高，反之则以纵坐标的绝对值为高.类型二：三角形没有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，可以用公式水平宽X铅垂高求解.2.利用图象法解不等式解集的解题步骤：①求交点：联立方程求出方程组的解；②分区间：将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间；③比大小：图象谁在上方谁就大；④：写出对应区间自变量的取值范围.3.两线段和差的最值问题利用将军饮马模型：做对称，连定点，求交点.1.（2024广东东莞•一模）如图，一次函数y=+3的图象与'轴交于点,与反比例函数日的图象在第一象限内交于点瓦点B的横坐标为1,连接。

8,过点B作BClx轴于点C.⑴求一次函数和反比例函数的解析式；.....................................~4〜.......................⑵设点。

是x轴上一点，使得S^BCD=~S^AOB,求点Q的坐标.【答案】(1)必=2x+3,J=-x⑵点。

的坐标为(-1,0)或(3,0)【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.(1)把点代入一次函数了=心+3中，解得m=2,进而可得点B的坐标为(1,5),再利用待定系数法解答即可；(2)根据坐标求得S△朝=可知S%co=：S△皿=5,再根据S^cd=?CD・BC,得CD=2,即可求解.【详解】(1)解：把点｛―代入一次函数:Y=m+3中，，一3___——m+3=0,解得m=2,园一次函数的解析式为"2x+3.把点B的横坐标工二1代入y=2x+3中，得"5,国点B的坐标为(1,5),国点B为一次函数和反比例函数图象的交点，园把点8(1,5)代入反比例函数y=|中，得S5,园反比例函数的解析式为:y=-；(2)园jo],8(1,5),BClx轴，0OA=-,BC=5,C(l,0),S5aaob=-AO-BC=-x-x5=—,△如2224[?]Q=—V-^x—=5U*BCD3°AA(9B34，0S ABCn=-CD BC=-CD=5,园CD=2,M（l,0）,回点。

2024年中考数学终极押题密卷(广东卷)数学试题及答案

广东省（统考新题型）2024年中考（新题型）猜题卷02数学注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分，考试时间120分钟．2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B 铅笔在答题卡上填涂对应的考生信息． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共30分）一、选择题（共（共30分）分） 1．比3−大1的数是（） A ．4−B ．2−C ．2D ．42．2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量1.02亿吨油当量．该油田是全球核杂岩型凹陷最大的商业发现．数据“1.02亿吨”用科学记数法表示为（） A ．81.0210×吨B ．101.0210×吨C ．1010210×吨D ．70.10210×吨3．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A ．B ．C ．D ．5．下列计算正确的是（）A ．325a a a +=B ．325a a a ⋅=C ．()22242a a a +=++ D ．()235a a −=6．语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．347．不等式组426231x x −< +≥ ，的解集是（）A ．2x <B ．1x ≥−C ．12x −≤<D ．1x ≤−8．圆的标准方程最早是笛卡尔发现的，如图，以坐标原点O 为圆心，r 为半径的圆，笛卡尔用222x y r +=来表示它．从而利用方程将一个静止不动的图形，转化成点P 连续运动的轨迹．这种研究方法体现的数学思想是（）A ．整体思想B ．归纳思想C ．换元思想D ．数形结合思想9．全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．某自行车经销商为满足市民的健身需求，准备购进甲、乙两种不同品牌自行车．已知甲种品牌自行车的进价比乙种品牌自行车的进价低500元，若该自行车经销商分别用3万元购进甲、乙不同品牌的自行车时，购进甲种品牌自行车的数量是购进乙种品牌自行车数量的43．设购进甲种品牌的自行车x 辆，根据题意列出的方程是（）A ．300003000050043x x =+ B ．300003000045003x x =×−C ．300003000045003x x =×− D ．300003000050034x x =− 10．某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建1m 宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为5m ，则绿化带的面积为（）A ．25mB ．()252πm +C ．()25πm +D ．()26πm +第二部分（非选择题共75分）二、填空题（共15分） 11．因式分解：2a 2﹣8= ．12．已知关于x 的一元二次方程260x kx +−=的一个根是2，则另一个根的值是． 13．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，ABC 与'''A B C 的顶点都在正方形网格的格点上，且ABC 与'''A B C 为位似图形，则位似中心的坐标为．14．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点,A B 不重合），过点C 作O 的切线交AB的延长线于点D ．若3,4BD CD ==，则O 的直径为．15．如图，在正方形ABCD中，4AB=，点E是CD边的中点，ABE∠的平分线交AD于点F，连接EF，则tan DEF∠的值为．三、解答题（共75分）16．（511)2sin605π−−−°+．17．（5分）解方程组：7 22 x yx y−=+=①②18．（5分）如图，已知B C∠=∠，AD平分BAC∠，求证：ABD ACD△≌△．19．（5分）如图，点A是∠MON边OM上一点，AE//ON．(1)尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若∠MAE=48°，则∠OBE的大小为________．20．（5分）微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价．21．（8分）推行“减负增效”政策后，为了解九年级学生每天自主学习的时长情况，学校随机抽取部分九年级学生进行调查，按四个组别；A组（0.5小时），B组（1小时），C组（1.5小时），D组（2小时）进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：(1)本次调查的学生人数是人；A组（0.5小时）在扇形统计图中的圆心角α的大小是；(2)将条形统计图补充完整；(3)若该校九年级有600名学生，请估计其中每天自主学习时间不少于1.5小时的学生人数．22．（8分）北岳恒山索道被誉为“三晋第一索”，索道随山峦逐级起伏，绵延而上，可以俯瞰到恒山各处的秀丽美景，让游客的游览舒适惬意．恒山索道沿线有16座支架，用以保持索道悬空的状态．如图，A ，B ，C 为该索道的三处支架，且AB BC =，从支架B 处看支架A 的仰角为22°，从支架O 处看支架B 的仰角为30°，支架A 到支架C 的竖直距离AD 为320m ，已知点A ，B ，C ，D 在同一竖直平面内，求CD 的长．（结果精确到1m ；参考数据：sin 220.37°≈，cos 220.93°≈，tan 220.4°≈ 1.7≈）23．（10分）如图，一次函数()1110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()2220k y k x=≠的图象在第一象限内交于点A ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，C 为AB 的中点，4AOC S = ．(1)求2k 的值；(2)当2OB =，120y y >>时，求x 的取值范围．24．（12分）综合与探究羽毛球是一项广受欢迎的运动．小明在网上查阅与这项运动相关的资料时，意外发现其中蕴含的数学原理．羽毛球在飞行过程中的运动轨迹可看作抛物线，因此运动员可以通过击球时的用力方向和大小控制球的落地点，这引起了小明的强烈兴趣．于是小明和同学小华来到附近的羽毛球场地，打算用所学二次函数的知识来描述羽毛球在飞行过程中的轨迹，并利用其解决相关的实际问题．小华从场地左侧点A 距地面1m 处发球，球飞行过程中在点C 处到达最高点，并落在了场地右侧的点B 处，如图1所示（A ，B ，C 三点共线）．通过测量得知，A ，B 两点距离为8m ，A ，C两点距离为3m ．(1)小明根据测量数据建立了如图2所示的平面直角坐标系，并描绘了相应的抛物线轨迹，求出此抛物线的解析式；(2)小明和小华所在的羽毛球场地并未设置球网，查阅资料可知标准羽毛球网高度为1.5m ．小明又通过测量得到点A 和点B 距离球场中线l （球网所在位置）的距离分别为4m 和2.4m ，判断在球网存在的情况下小华此次击球是否能飞过球网，并说明理由；(3)小明通过测量得知场地内边线与场地中线的距离为6.7m ，假设小华站在点A 处发球，且击球时的用力方向和大小不变，为使球越过球网并且落在球场内边线内，求出小华发球时高度的取值范围．25．（12分）【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD 和正方形AEFG 按如图所示的位置摆放，连接BE 和DG ，延长DG 交BE 的延长线于点H ，求BE 与DG 的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG ”改成“矩形ABCD 和矩形AEFG ，且矩形ABCD ∽矩形AEFG ，3AE =，4AG =”，如图，点E 、D 、G 三点共线，点G 在线段DE 上时，若AD =，求BE 的长．【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG 改成“菱形ABCD 和菱形AEFG ，且菱形ABCD ∽菱形AEFG ，如图3，5AD =，6AC =，AG 平分DAC ∠，点P 在射线AG 上，在射线AF 上截取AQ ，使得35AQ AP =，连接PQ ，QC ，当4tan 3PQC ∠=时，直接写出AP 的长．广东省（统考新题型）2024年中考（新题型）猜题卷02数学全解全析一、选择题（共（共30分）分） 1．比3−大1的数是（） A ．4− B ．2− C ．2 D ．4【答案】B【分析】本题考查了有理数的加法运算，理解有理数加法运算法则，根据题意列出算式计算即可．【详解】解：比3−大1的数为：312−+=−，故选：B ．2．2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量1.02亿吨油当量．该油田是全球核杂岩型凹陷最大的商业发现．数据“1.02亿吨”用科学记数法表示为（） A ．81.0210×吨 B ．101.0210×吨 C ．1010210×吨 D ．70.10210×吨【答案】A【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：81.021.0210=×亿，故选：A ．3．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形，轴对称图形是沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形是绕某点旋转180°与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意，C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意，D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意，故选：D．4．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的方向：从正面看所得到的图形．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，故选B．5．下列计算正确的是（）A．325+=B．325a a a⋅=a a aC．()22+=++D．()235242a a a−=a a【答案】B【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．利用整式的运算法则计算每一个，根据计算结果得结论．【详解】解：32a a不能合并，故选项A计算错误；,325⋅=，故选项B计算正确；a a a()22+=++，故选项C计算错误；244a a a()236a a −=，故选项D 计算错误；故选：B ．6．语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】A【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的诗人相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A 、B 、C 、D 表示，列表如下：小明小颖A B C DA(),A A (),B A (),C A (),D AB(),A B (),B B (),C B (),D BC(),A C (),B C (),C C (),D CD(),A D (),B D (),B D (),D D由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种， ∴他们选择的诗人相同的概率为41164=，故选：A ．7．不等式组426231x x −< +≥ ，的解集是（）A ．2x <B ．1x ≥−C ．12x −≤<D ．1x ≤−【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：426231x x −< +≥①② 解不等式①得：2x <，解不等式②得：1x ≥−，∴不等式组的解集为12x −≤<，故选：C ．8．圆的标准方程最早是笛卡尔发现的，如图，以坐标原点O 为圆心，r 为半径的圆，笛卡尔用222x y r +=来表示它．从而利用方程将一个静止不动的图形，转化成点P 连续运动的轨迹．这种研究方法体现的数学思想是（）A ．整体思想B ．归纳思想C ．换元思想D ．数形结合思想【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据平面直角坐标系使得我们可以用代数的方法研究几何问题，又可以用几何的方法研究代数问题，即可确定答案．【详解】解：用代数的方法研究几何问题，可知这种研究方法体现了数形结合思想，故选：D ．9．全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．某自行车经销商为满足市民的健身需求，准备购进甲、乙两种不同品牌自行车．已知甲种品牌自行车的进价比乙种品牌自行车的进价低500元，若该自行车经销商分别用3万元购进甲、乙不同品牌的自行车时，购进甲种品牌自行车的数量是购进乙种品牌自行车数量的43．设购进甲种品牌的自行车x 辆，根据题意列出的方程是（）A ．300003000050043x x =+ B ．300003000045003x x =×− C ．300003000045003x x =×− D ．300003000050034x x =− 【答案】D【分析】本题考查了列分式方程；设购进甲种品牌的自行车x 辆，则购进乙种品牌的自行车34x 辆，用总价除以单价表示出购进自行车的数量，根据两种自行车的数量相等列出方程求解即可．【详解】设购进甲种品牌的自行车x 辆，依题意得300003000050034x x =− 故选：D ．10．某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建1m 宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为5m ，则绿化带的面积为（）A ．25mB ．()252πm +C ．()25πm +D ．()26πm + 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，过中间三角形的三个顶点分别向绿化带作垂线，首先根据题意得到1m AD BC MC GH GF DE ======，求出扇形ADE ，BCM ，GFH 正好拼成一个半径为1m 的圆，然后利用绿化带的面积2π1ADCB MCGH DEFG S S S +++×矩形矩形矩形求解即可．【详解】如图所示，过中间三角形的三个顶点分别向绿化带作垂线，根据题意得，1m ADBC MC GH GF DE ======，四边形ADCB ，DEFG ，GHMC 是矩形 ∴90ADC BCD MCG CGH DGF GDE ∠=∠=∠=∠=∠=∠=° ∴180AEDCDG ∠=°−∠，180BCM DCG ∠=°−∠，180FGH DGC ∠=°−∠ ∵180∠+∠+∠=°CDG DCG DGC∴360BCM ADE HGF∠+∠+∠=° ∴扇形ADE ，BCM ，GFH 正好拼成一个半径为1m 的圆，∴绿化带的面积2π1ADCB MCGH DEFG S S S +++×矩形矩形矩形2π1AD DC MC DC DE DC =⋅+⋅+⋅+×()2215π15πm =×+×=+．故选：C ．二、填空题（共15分）11．因式分解：2a 2﹣8= ．【答案】2（a +2）（a －2）．【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可．【详解】2a 2－8=2（a 2－4）=2（a +2）（a －2）．故答案为2（a +2）（a －2）．考点：因式分解．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．12．已知关于x 的一元二次方程260x kx +−=的一个根是2，则另一个根的值是．【答案】3−【分析】此题主要考查了解一元二次方程，以及根的定义．先把2x =代入原方程，求出k 的值，进而再将k 的值代入原方程，然后解方程即可求出方程的另一个根．【详解】解：∵2x =是方程260x kx +−=的一个根， ∴22260k +−=，解得：1k =，将1k =代入原方程得：260x x +−=，解得：122,3x x ==−，∴方程的另一个根为3−．故答案为：3−．13．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，ABC 与'''A B C 的顶点都在正方形网格的格点上，且ABC 与'''A B C 为位似图形，则位似中心的坐标为．【答案】()4,3−−【分析】本题考查了作图—位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键．连接'A A ，'B B 并延长交于一点，交点即为所求．【详解】解：如图，连接'A A ，'B B 并延长交于一点P ，点P 即为所求．由网格图形可知，点P 的坐标为()4,3−−．故答案为：()4,3−−．14．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点,A B 不重合），过点C 作O 的切线交AB的延长线于点D ．若3,4BD CD ==，则O 的直径为．【答案】73/123【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，如图所示，连接OC ，设O 的半径为r ，则OC OB r ==，3OD r =+，由切线的性质可得90OCD ∠=°，则由勾股定理可得()22234r r +=+，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，设O 的半径为r ，则OCOB r ==， ∴3OD r =+，∵CD 是O 的切线，∴90OCD ∠=°，在Rt COD 中，由勾股定理得222OD OC CD =+，∴()22234r r +=+，解得76r =， ∴O 的直径为723r =，故答案为：73．15．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点E 是CD 边的中点，ABE ∠的平分线交AD 于点F ，连接EF ，则tan DEF ∠的值为．【答案】33+【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求角的正切值等，作FG BE ⊥于点G ，由角平分线的性质可得AF FG =，再证Rt BGF ≌()Rt HL BAF ，推出4BG AB ==，AF GF =，设AF GF x ==，用勾股定理解Rt EDF 和Rt EGF ，求出x 的值，再根据tan DF DEF DE∠=即可求解．【详解】解：如图，作FG BE ⊥于点G ，正方形ABCD 中，4AB =，点E 是CD 边的中点，∴90A C D ∠=∠=∠=°，4CD BC AD AB ====， 122CE DE CD ===， ∴BEBF 平分ABE ∠，FG BE ⊥，FA AB ⊥，∴AF FG =，在Rt BAF △和Rt BGF 中，AF FG BF BF = =， ∴Rt BGF ≌()Rt HL BAF ，∴4BG AB ==，AF GF =，∴4GE BE BG =−=，设AFGF x ==，则4FD AD AF x =−=−，在Rt EDF 中，222DE DF EF +=，在Rt EGF 中，222EG FG EF +=， ∴2222EG FG DE DF +=+，即()()2222424x x +=+−，解得2x =，∴()426FD =−=−∴tan 3DF DEF DE ∠=故答案为：3三、解答题（共75分）16．（5101)2sin 605π− −−°+ ．【答案】4【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可．【详解】解：原式125=−− 4=．【点睛】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则是解题关键．17．（5分）解方程组：722x y x y −=+=①② 【答案】34x y = =− 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：722x y x y −= +=①②， ①+②得39x =，解得3x =．将3x =代入②，得4y =−．所以 34x y = =− ，． 18．（5分）如图，已知B C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，求证：ABD ACD △≌△．【答案】见解析【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出BAD CAD ∠=∠，根据AAS 即可证出答案．【详解】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，在ABD △和ACD 中B C BAD CAD AD AD ∠=∠ ∠=∠ =， ()AAS ABD ACD ∴ ≌．19．（5分）如图，点A 是∠MON 边OM 上一点，AE//ON ．(1)尺规作图：作∠MON 的角平分线OB ，交AE 于点B （保留作图痕迹，不写作法）；(2)若∠MAE=48°，则∠OBE 的大小为________．【答案】（1）见解析；（2）156°【分析】（1）利用基本作图作OB 平分∠MON ；（2）先利用平行线的性质得到∠MON =∠MAE =48°，再根据角平分线的定义得到∠NOB =24°，接着根据平行线的性质得到∠OBA 的度数，然后利用邻补角的定义计算∠OBE 的度数．【详解】解：（1）如图，OB 为所作；（2）∵AE∥ON，∴∠MON=∠MAE=48°，∵OB平分∠MON，∴∠NOB=12∠MON=24°，∵AB∥ON，∴∠OBA=∠NOB=24°，∴∠OBE=180°-∠OBA=180°-24°=156°．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．20．（5分）微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价．【答案】第一家网店每支签字笔的价格是10元【分析】本题主要考查了分式方程的应用等知识点，首先设第一家网店每支签字笔的单价是x 元，现在每支签字笔的价格是1.5x元，即可根据题意列出方程，解此分式方程即可求得答案，注意分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【详解】解：设第一家网店每支签字笔的单价是x元，现在每支签字笔的价格是1.5x元，依题意得：606021.5x x=+，解得：10x=，经检验：10x=是原方程的解，答：第一家网店每支签字笔的价格是10元．21．（8分）推行“减负增效”政策后，为了解九年级学生每天自主学习的时长情况，学校随机抽取部分九年级学生进行调查，按四个组别；A组（0.5小时），B组（1小时），C组（1.5小时），D组（2小时）进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：(1)本次调查的学生人数是人；A组（0.5小时）在扇形统计图中的圆心角α的大小是；(2)将条形统计图补充完整；(3)若该校九年级有600名学生，请估计其中每天自主学习时间不少于1.5小时的学生人数．【答案】(1)40，54°(2)画图见解析(3)不少于1.5小时的学生有330人【分析】(1)根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数；根据A组的学生人数以及总人数即可求得A组对应的圆心角的度数；(2)求出C组的学生人数，补全条形统计图即可；(3)利用用样本估计总体的计算方法列式计算即可求得．【详解】（1）解：本次调查的学生人数为：1230%=40÷(人)；A组（0.5小时）在扇形统计图中的圆心角α的大小为：6360=54°×°，40故答案为：40，54°；（2）解：C 组的人数为：40-6-12-8=14(人)，补全条形统计图如下：（3）解：14860033040+×=（人）答：估计该校九年级每天自主学习时间不少于1.5小时的学生人数有330人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22．（8分）北岳恒山索道被誉为“三晋第一索”，索道随山峦逐级起伏，绵延而上，可以俯瞰到恒山各处的秀丽美景，让游客的游览舒适惬意．恒山索道沿线有16座支架，用以保持索道悬空的状态．如图，A ，B ，C 为该索道的三处支架，且AB BC =，从支架B 处看支架A 的仰角为22°，从支架O 处看支架B 的仰角为30°，支架A 到支架C 的竖直距离AD 为320m ，已知点A ，B ，C ，D 在同一竖直平面内，求CD 的长．（结果精确到1m ；参考数据：sin 220.37°≈，cos 220.93°≈，tan 220.4°≈ 1.7≈）【答案】653m【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B 作BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，则四边形BEDF 是矩形，可得BF DE DF BE ==，，设m AE x =，则()320m BF DE x ==−，解Rt ABE △得到 2.7m AB x ≈，解Rt BCF 得到()6402m BC x =−，进而得到2.76402x x =−，解方程得到136m 184m AE BF ==，，再解直角三角形求出BE CF ，的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点B 作BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，则四边形BEDF 是矩形，∴BF DEDF BE ==，，设m AE x =，则()320m BF DE AD AE x ==−=−，在Rt ABE △中， 2.7m sin AEABx ABE =≈∠，在Rt BCF 中，()6402m sin BF BC x C==−，∵AB BC =，∴2.76402x x =−，解得136x ≈，∴136m184m AE BF ==，，在Rt ABE △中，136340m tan 0.4AE BE ABE =≈=∠，在Rt BCF 中，313m tan BFCF C=≈， ∴653m CD DF CF =+=， ∴CD 的长约为653m ．23．（10分）如图，一次函数()1110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()2220k y k x=≠的图象在第一象限内交于点A ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，C 为AB 的中点，4AOC S = ．(1)求2k 的值；(2)当2OB =，120y y >>时，求x 的取值范围．【答案】(1)216k = (2)2x >【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，（1）过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ，证明ADC BOC ≌进而求出结论；（2）先求出()2,8A ，根据图象写出结论即可．【详解】（1）解：过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ．点C 为AB 的中点，BC AC ∴=，又90BOC ADC ∠=∠=°；BCO ACD ∠=∠， ∴ADC BOC ≌， ∴DC OC =，设(),A x y ，点A 在第一象限，则111142222x y x y ⋅=⋅=，即16xy =， ∴216k =．（2）因为2OB =，所以()2,0B −，由ADC BOC ≌，得2ADOB ==，所以，()2,8A ．当120y y >>时，x 的取值范围是：2x >． 24．（12分）综合与探究羽毛球是一项广受欢迎的运动．小明在网上查阅与这项运动相关的资料时，意外发现其中蕴含的数学原理．羽毛球在飞行过程中的运动轨迹可看作抛物线，因此运动员可以通过击球时的用力方向和大小控制球的落地点，这引起了小明的强烈兴趣．于是小明和同学小华来到附近的羽毛球场地，打算用所学二次函数的知识来描述羽毛球在飞行过程中的轨迹，并利用其解决相关的实际问题．小华从场地左侧点A 距地面1m 处发球，球飞行过程中在点C 处到达最高点，并落在了场地右侧的点B 处，如图1所示（A ，B ，C 三点共线）．通过测量得知，A ，B 两点距离为8m ，A ，C 两点距离为3m ．(1)小明根据测量数据建立了如图2所示的平面直角坐标系，并描绘了相应的抛物线轨迹，求出此抛物线的解析式；(2)小明和小华所在的羽毛球场地并未设置球网，查阅资料可知标准羽毛球网高度为1.5m ．小明又通过测量得到点A 和点B 距离球场中线l （球网所在位置）的距离分别为4m 和2.4m ，判断在球网存在的情况下小华此次击球是否能飞过球网，并说明理由；(3)小明通过测量得知场地内边线与场地中线的距离为6.7m ，假设小华站在点A 处发球，且击球时的用力方向和大小不变，为使球越过球网并且落在球场内边线内，求出小华发球时高度的取值范围．【答案】(1)()212531616y x =−−+ (2)小华此次击球不能飞过球网 (3)小华击球高度取值范围大于1916m 小于12731024m【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与应用，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）待定系数法求解析式即可；（2）连接AB ，交直线l 于点M ，分别过点A ，B 向直线l 作垂线，垂足分别为N ，P ，由ANM BPM △△∽求得M 的坐标为()5,0，再代入函数解析式即可；（3）设此次小华击球的羽毛球飞行轨迹抛物线解析式为()21316y x k =−−+，直线AB 与场地右侧边线的交点为Q ，可求67,08Q，将()5,1.5，67,08分别代入，得到174k =，218491024k =，再将将0x =分别代入即可．【详解】（1）解：根据题意，得()0,1D ，()3,C b ，()8,0B ，设此抛物线的解析式为()23y a x b =−+，将点()0,1D ，()8,0B 代入，得19,025,a b a b =+=+解得1,1625.16a b=−=所以此抛物线的解析式为()212531616y x =−−+．（2）解：连接AB ，交直线l 于点M ，分别过点A ，B 向直线l 作垂线，垂足分别为N ，P ，如图所示．根据题意，得8AB =，4AN =， 2.4BP ． ∵,BP l AN l ⊥⊥， ∴BP AN ， ∴ANM BPM △△∽，452.43AM AN BM BP ∴===， 558AM AB ∴，即点M 的坐标为()5,0．将点()5,0M 代入()212531616y x =−−+，得2116y =．2124 1.51616<=， ∴小华此次击球不能飞过球网．（3）解：∵小华仍从点A 处发球，且击球时的用力方向和大小不变，∴设此次小华击球的羽毛球飞行轨迹抛物线解析式为()21316y x k =−−+，直线AB 与场地右侧边线的交点为Q ．场地内边线距离场地中线的距离为6.7m，∴由（2）同理可得67,08Q．要求球越过球网且落在球场内边线内，∴将()5,1.5，67,08分别代入()21316y x k =−−+，得174k =，218491024k =．将0x =分别代入()211316y x k =−−+，()221316y x k =−−+，得11916y =，212731024y =． ∴小华击球高度取值范围大于19m 16小于1273m 1024． 25．（12分）【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD 和正方形AEFG 按如图所示的位置摆放，连接BE 和DG ，延长DG 交BE 的延长线于点H ，求BE 与DG 的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG ”改成“矩形ABCD 和矩形AEFG ，且矩形ABCD ∽矩形AEFG ，3AE =，4AG =”，如图，点E 、D 、G 三点共线，点G 在线段DE 上时，若AD =，求BE 的长．【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG 改成“菱形ABCD 和菱形AEFG ，且菱形。

2020年广东省中考数学压轴题专题训练(含解析)

2020年（广东）中考数学压轴题专题训练1．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．2．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接BD，点E在⊙O上，连接BE交AD于点F，∠BDC+45°＝∠BFD，连接ED．（1）如图1，求证：∠EBD＝∠EDB；（2）如图2，点G是AB上一点，过点G作AB的垂线分别交BE和BD于点H和点K，若HK＝BG+AF，求证：AB＝KG；（3）如图3，在（2）的条件下，⊙O上有一点N，连接CN分别交BD和AD于点M和点P，连接OP，∠APO＝∠CPO，若MD＝8，MC＝3，求线段GB的长．3．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，交⊙O于C、D两点，交AB点E、F是弧BD上一点，过点F作一条直线，交CD的延长线于点G，交AB的延长线于点M．连结AF，交CD于点H，GF＝GH．（1）求证：MG是⊙O的切线；（2）若弧AF＝弧CF，求证：HC＝AC；（3）在（2）的条件下，若tan G＝，AE＝6，求GM的值．4．如图，已知AC是半径为2的⊙O的一条弦，且AC＝2，点B是⊙O上不与A、C重合的一个动点，（1）请计算△ABC的面积的最大值；（2）当点B在优弧上，∠BAC＞∠ACB时，∠ABC的平分线交AC于D，且OD⊥BD，请计算AD的长；（3）在（2）条件下，请探究线段AB、BC、BD之间的数量关系．5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG．（1）求证：AG为⊙O的切线；（2）已知AG＝2，填空：①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝°；②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的弦，AD＝BC，AD与BC相交于点E．（1）求证：CB平分∠ACD；（2）过点B作BG⊥AC于G，交AD于点F．①猜想AC、AG、CD之间的数量关系，并且说明理由；②若S△ABG＝S△ACD，⊙O的半径为15，求DF的长．7．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．（1）求证：AB＝AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D 三点的⊙O交AB于另一点E，连结AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连结EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形；（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．9．如图，抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若A（﹣1，0），且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．10．已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接P A，PC，试问△P AC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．11．如图，二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常数a＜0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的右侧），与y轴交于点C（0，3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）求a与m的关系式；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的正半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+4ax+与x轴交于点A、B（A在B的左侧），过点A的直线y＝kx+3k交抛物线于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，过点B作BD⊥BC，交直线AC于点D，若BC＝5BD，求k的值；（3）将直线y＝kx+3k向上平移4个单位，平移后的直线交抛物线于E、F两点，求△AEF的面积的最小值．13．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH ⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y 轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．15．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．（1）求抛物线的函数表达式；（2）该二次函数图象上有一点P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值．16．二次函数y＝x2﹣x﹣与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D 为抛物线的顶点，连接BD．（1）如图1，点P为抛物线上的一点，且在线段BD的下方（包括线段的端点），连接P A，PC，AC．求△P AC的最大面积；（2）如图2，直线l1过点B、D．过点A作直线l2∥l1交y轴于点E，连接点A、E，得到△OAE，将△OAE绕着原点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△OA1E1，旋转过程中直线OE1与直线l1交于点M，直线A1E1与直线l1交于点N．当△E1MN为等腰三角形时，直接写出点E1的坐标并写出相应的α值．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点．已知AB＝6，AD＝8，∠DAB＝60°，点B的坐标为（﹣6，0）．（1）求点D和点M的坐标；（2）如图①，将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D′和点M的对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P是直线l上的动点，点Q 是平面内任意一点，若以B′，C′，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．18．如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B 两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；（2）求△AOD的面积；（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．20．笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y＝kx+b（k≠0）上的任意三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1≠x1≠x3），满足＝＝＝k，经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点的坐标M（x1，y1）N（x2，y2）（x1≠x2），都有的值为k，其中k叫直线y＝kx+b的斜率．如，P（1，3），Q（2，4）为直线y＝x+2上两点，则k PQ＝＝1，即直线y＝x+2的斜率为1．（1）请你直接写出过E（2，3）、F（4，﹣2）两点的直线的斜率k EF＝．（2）学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图1，直线GH⊥GI于点G，G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6）．请求出直线GH 与直线GI的斜率之积．（3）如图2，已知正方形OKRS的顶点S的坐标为（6，8），点K，R在第二象限，OR 为正方形的对角线．过顶点R作RT⊥OR于点R．求直线RT的解析式．参考答案一．解答题（共20小题）1．（1）证明：连接OC，OE，∵OC＝OE，∴∠E＝∠OCE，∵E是的中点，∴＝，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠E+∠ODE＝90°，∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠PDC＝∠ODE，∴∠PCD＝∠ODE，∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，BE，BC，∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴△ACD∽△EBD，∴＝，∴CD•DE＝AD•BD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2；∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PCO＝90°，∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACP＝∠BCO，∵∠BCO＝∠CBO，∴∠ACP＝∠PBC，∵∠P＝∠P，∴△ACP∽△CBP，∴，∴PC2＝PB•P A＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）2﹣OA2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∵PC＝PD，∴PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∴OA2﹣OD2＝2OD•PD，∴CD•DE＝2OD•PD；（3）解：∵AB＝8，∴OA＝4，由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；∵CD•DE＝15，∴15＝42﹣OD2，∴OD＝1（负值舍去），∴AD＝3，由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，∴PD＝＝，∴P A＝PD﹣AD＝．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠BDC＝∠DBA，BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°，∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠BFD＝∠BDC+45°，∴∠ABF+90°＝∠DBA+45°，∴∠DBA﹣∠ABF＝45°，∴∠EBD＝45°，∴△BED是等腰直角三角形，∴∠EBD＝∠EDB；（2）证明：过点K作KS⊥BE，垂足为R，交AB于S，如图2所示：∵KG⊥AB，∴∠BGH＝∠KRH＝∠SRB＝∠KGS＝90°，∴∠SBR＝∠HKR，∵∠BED＝90°，∴∠RBK＝∠RKB＝45°，∴BR＝KR，在△SRB和△HRK中，，∴△SRB≌△HRK（ASA），∴SB＝HK，∵SB＝BG+SG，HK＝BG+AF，∴BG+SG＝BG+AF，∴SG＝AF，在△ABF和△GKS中，，∴△ABF≌△GKS（AAS），∴AB＝KG；（3）解：过点O分别作AD与CN的垂线，垂足分别为Q和T，连接OC，如图3所示：∵∠APO＝∠CPO，∴OQ＝OT，在Rt△OQD和Rt△OTC中，，∴Rt△OQD≌Rt△OTC（HL），∴DQ＝CT，∴AD＝CN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝CN＝BC，连接ON，在△NOC和△BOC中，，∴△NOC≌△BOC（SSS），∴∠BCO＝∠NCO，设∠OBC＝∠OCB＝∠NCO＝α，∴∠MOC＝2α，过点M作MW⊥OC于W，在OC上取一点L，使WL＝OW，连接ML，∴MO＝ML，∴∠MOL＝∠MLO＝2α，∴∠LCM＝∠LMC＝α，∴ML＝CL，设OM＝ML＝LC＝a，则OD＝a+8＝OC，∴OL＝8，OW＝WL＝4，∴CW＝4+a，由勾股定理得：OM2﹣OW2＝MW2＝MC2﹣CW2，即a2﹣42＝（3）2﹣（4+a）2，整理得：a2+4a﹣45＝0，解得：a1＝﹣9（不合题意舍去），a2＝5，∴OM＝5，∴MW＝3，WC＝9，∴OB＝OC＝OD＝13，BD＝26，∵∠GKB＝∠CBD＝∠ADB＝∠BCO＝∠MCW，tan∠MCW＝＝＝，∴tan∠GKB＝tan∠CBD＝tan∠ADB＝tan∠BCO＝tan∠MCW＝，设AB＝b，则AD＝3b，由勾股定理得：b2+（3b）2＝262，解得b＝，∴CD＝GK＝AB＝，在Rt△GKB中，tan∠GKB＝＝，∴GB＝GK＝×＝．3．（1）证明：连接OF．∴AB⊥CD，∴∠AEH＝90°，∴∠EAH+∠AHE＝90°，∵GF＝GH，∴∠GFH＝∠GHF＝∠AHE，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠OF A+∠GFH＝90°，∴OF⊥GM，∴MG是⊙O的切线．（2）证明：∵＝，∴OF垂直平分线段AC∵OF⊥MG，∴AC∥GM，∴∠CAH＝∠GFH，∵∠CHA＝∠GHF，∠HGF＝∠GFH，∴∠CAH＝∠CHA，∴CA＝CH．（3）解：∵AC∥GM，∴∠G＝∠ACH，∴tan∠CAH＝tan∠G＝＝，∵AE＝6，∴EC＝8，AC＝＝＝10，设GF＝GH＝x，则CG＝CH+GH＝AC+GH＝10+x，∵CD＝2EC＝16，∴GD＝10+x﹣16＝x﹣6，∵GF2＝GD•GC，∴x2＝（x﹣6）（x+10），解得x＝15，∴EG＝CG﹣CE＝25﹣8＝17，∵tan∠G＝＝，∴EM＝，∴GM＝＝＝．4．解：（1）如图1中，当点B在优弧AC的中点时，△ABC的面积的最大，连接AB，BC，OB，延长BO交AC于H．∵＝，∴BH⊥AC，∴AH＝HC＝，∴OH＝＝1，∴BH＝OB+OH＝2+1＝3，∴△ABC的最大面积＝×AC×BH＝×2×3＝3．（2）如图2中，延长BD交⊙O于E，连结OE交AC于F，连结OC．由BD平分∠ABC可得，E为弧AC中点，∴OE⊥AC，∴AF＝CF＝∴OF＝＝＝1＝EF，∴DF垂直平分OE，又∵OD⊥BD，∴△ODE是等腰直角三角形，∴DF＝OE＝1，∴AD＝．（3）如图3，连结AE、CE，由已知得AE＝CE，∠AEC＝120〫，将△EAB绕点E顺时针旋转120〫得△ECF，∵∠BAE＝∠ECF，∠BAE+∠BCE＝180〫，∴∠ECF+∠BCE＝180〫，∴BF＝BC+CF，∵AB＝CF，∴BF＝AB+BC，∵BE＝FE，∠BEF＝∠AEC＝120〫，∴BF＝BE，∵OD⊥BD，∴BE＝2BD，∴BF＝2BD，∴BA+BC＝2BD．5．（1）证明：连接OA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵GA＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DG⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠OCA+∠DEC＝90°，∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE，∴∠OAC+∠GAE＝90°，∴∠OAG＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线．（2）①如图2中，连接OA，AF，OF．∵四边形ABOF是菱形，∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵ED⊥BC，∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，∴∠AEG＝∠DEC＝60°．故答案为60．②如图3中，当AB＝4时，△AGE是等腰直角三角形．理由：连接OA．∵△AGE是等腰直角三角形，∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，∵OB＝OC，∴AO⊥OC，∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，∴四边形AODG是矩形，∴AG＝OD＝2，∴OC＝2OD＝4，∴BC＝2OC＝8，∴AB＝AC＝4，故答案为4．6．（1）证明：如图1中，∵AD＝BC，∴＝，∴＝，∵AB＝AC，∴＝，∴＝，∴∠ACB＝∠BCD，∴CB平分∠ACD．（2）①结论：AC﹣2AG＝CD．理由：如图2中，连接BD，在GC上取一点H，使得GH＝GA．∵BG⊥AH，GA＝GH，∴BA＝BH，∴∠BAH＝∠BHA，∵∠BAH+∠BDC＝180°，∠BHG+∠BHC＝180°，∴∠BDC＝∠BHC，∵∠BCH＝∠BCD，CB＝CB，∴△BCH≌△BCD（AAS），∴CD＝CH，∴AC﹣2AG＝AC﹣AH＝CH＝CD．②如图3中，过点G作GN⊥AB于G，过点D作DM⊥AC交AC的延长线于M，连接AO，延长AO交BC于J，连接OC．∵＝，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥CD，∴S△ACD＝S△BCD，∵△BCH≌△BCD，∴S△BCH＝S△BCD，∵AG＝GH，∴S△ABG＝S△BGH，∵S△ABG＝S△ACD，∴S△ABG＝S△BGH＝S△BCH，∴AG＝GH＝CH，设AG＝GH＝HC＝a，则AB＝AC＝3a，BG＝＝＝2a，∵BG⊥AC，∴•BG•AG＝•AB•GN，∴GN＝＝a，在Rt△BGC中，BC＝＝＝2a，∵AB＝AC，∴＝，∴AJ⊥BC，∴BJ＝JC＝a，∴AJ＝＝＝a，在Rt△OJC中，∵OC2＝OJ2+JC2，∴152＝（a﹣15）2+（a）2，∴a＝，∵S△ABG＝S△ACD，AB＝AC，GN⊥AB，DM∠AC，∴DM＝GN＝a＝，∵BC＝AD＝2a＝20，∴AM＝＝＝，∵FG∥DM，∴＝，∴＝，∴AF＝6，∴DF＝AD＝AF＝20﹣6＝14． 7．（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴AB＝AC，∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，由（1）知，AB＝AD，∴DM＝BD，∵BF＝4，DF＝6，∴BD＝10，∴DM＝5，∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，∴△ADM∽△FDA，∴，∴，∴AD＝，在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；（3）的值是不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，∴∠AHD＝90°＝∠COA，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAH＝90°，∴∠ADH＝∠CAO，∵AD＝AC，∴△ADH≌△ACO（AAS），∴DH＝AO，AH＝OC，∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，∴DQ＝BQ，∴△DBQ为等腰直角三角形，∴∠DBQ＝45°，∴∠DEH＝∠BEO＝45°，∴sin∠DEH＝，∴＝，∴，∴．8．解：（1）证明：∵CE⊥AD，∴EG＝CG，∵CF∥DE，∴∠DEG＝∠FCG，∵∠FGC＝∠DGE，∴△DEG≌△FCG（ASA），∴ED＝FC，∴四边形DCFE为平行四边形，又∵CE⊥DF，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，∴AE＝AC＝4，∵四边形AEDC内接于⊙O，∴∠BED＝∠BCA＝90°，∵四边形DCFE是菱形，∴EF∥DC，DE＝DC，∴∠AEF＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，∴DC＝3a，BD＝＝5a，∵BC2+AC2＝AB2，∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，解得a＝或a＝0（舍去），∴DE＝DC＝2，∴AD＝＝＝2．即⊙O的直径长为2．9．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3OA＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM＝AB×OC+MN×OB＝×4×3×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM+∠BMO＝90°，∵∠BMO+∠OMB＝90°，∴∠OMB＝∠HFM，∵∠BOM＝∠MHF＝90°，∴△BOM≌△MHF（AAS），∴FH＝OM＝1，MH＝OB＝3，故点F（1，4），由点B、F的坐标得，直线BF的解析式为y＝﹣2x+6，联立，解得，∴E（﹣3，12）．10．解：（1）y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3＝﹣x2﹣x，∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m+n+4＝0，即m2+3m+1＝0，解得：m＝，故点P（，）；②当﹣1﹣m＝﹣（n+3）时，即m＝n+2，同理可得：点P（，）；故点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．11．解：（1）将点C的坐标代入抛物线表达式得：﹣3am2＝3，解得：am2＝﹣1；（2）对于二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2），令y＝0，则x＝m或﹣3m，∴函数的对称轴为：x＝﹣m，∵CD∥AB，∴点D、C的纵坐标相同，故点D（﹣2m，3），故点A、B的坐标分别为：（m，0）、（﹣3m，0），设点E（x，y），y＝a（x2+2mx﹣3m2），分别过点D、E作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵AB平分∠DAE，∴∠DAM＝∠EAN，∴RtADM△∽Rt△ANE，∴，即，解得：y＝，故点E（x，），将点E的坐标代入抛物线表达式并解得：x＝＝﹣4m，则y＝＝﹣5，故点E（﹣4m，﹣5），故＝＝＝为定值；（3）存在，理由：函数的对称轴为x＝﹣m，当x＝﹣m时，y＝a（x2+2mx﹣3m2）＝4，即点F（﹣m，4），由点F、C的坐标得，直线FC的表达式为：y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3m，即点G（3m，0），GF2＝（3m+m）2+42＝16m2+16，同理AD2＝9m2+9，AE2＝25m2+25，故AE2＝AD2+GF2，GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，点G的横坐标为3m．12．解：（1）∵直线y＝kx+3k过点A，∴y＝0时，0＝kx+3k，解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝ax2+4ax+，得9a﹣12a+＝0，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝x2+x+；（2）如图1，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CG⊥x轴于G，∴∠DFB＝∠CGO＝90°＝∠DBC，∴∠DBF+∠BDF＝90°，又∵∠DBF+∠CBG＝90°，∴∠BDF＝∠CBG，∴△BDF∽△CBG，∴，∵CB＝5BD，∴CG＝5BF，BG＝5DF，联立方程组，解得：，（舍去），∴点C（4k﹣1，4k2+2k），∴CG＝4k2+2k，OG＝4k﹣1，设BF＝m，则CG＝5m，DF＝2k﹣km，BG＝5（2k﹣km），∴，解得k＝﹣（舍去）或k＝0（舍去）或k＝1，∴k的值为1；（3）∵将直线y＝kx+3k向上平移4个单位，∴平移后解析式为y＝kx+3k+4，∴kx+3k+4＝x2+x+，∴x E+x F＝4k﹣4，x E•x F＝﹣12k﹣13，∴|x F﹣x E|＝＝，∵△AEF的面积＝×4×，∴当k＝﹣时，△AEF的面积的最小值为16．13．解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴＝＝，∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，∴N（﹣，）．综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．14．解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝4，则CD＝4，∵四边形ABDC为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DC＝AB＝4，∴A（2，0），B（6，0），把点A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6；（2）如图1，设E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6，作EN⊥y轴于N，如图2，∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12，化简得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍），∴点E的坐标为（3，﹣）；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，如图2，过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G，∵∠PQE＝∠PME，∴点E，M，Q，P四点共圆，∵PE⊥PQ，∴∠EPQ＝90°，∴∠EMQ＝90°，∴∠EMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠HGM＝90°，∴∠EMF＝∠HGM，在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，∴tan∠HGM＝2，∴，∴HG＝HM＝1，∴点G（5，0），∵M（4，﹣2），∴直线MG的解析式为y＝2x﹣10①，∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6②，联立①②解得，（舍）或，∴Q（8，6），∴点Q到对称轴的距离为8﹣4＝4；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，如图3，过点E作EF⊥PM于F，过点Q作QD⊥PM于D，∴∠DQP+∠QPD＝90°，∵∠EPQ＝90°，∴∠DPQ+∠FPE＝90°，∴∠DQP＝∠FPE，∵∠PDQ＝∠EFP，∴△PDQ∽△EFP，∴，由Ⅰ知，tan∠PQE＝＝2，∵EF＝1，∴＝，∴DP＝，PF＝2QD，设Q（n，n2﹣4n+6），∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7，∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n），∴n＝2+（舍）或n＝2﹣，∴DQ＝4﹣n＝2+，即点Q到对称轴的距离为4或2+．15．解：（1）抛物线y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）上，∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴a＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣．（2）如图1中，设直线BD交y轴于J，则J（0，）．连接CD，BC．∵S△BDC＝××9＝10，∴S△P AB＝10，∴×6×|y P|＝10y P＝±，当y＝时，＝x2﹣x﹣，解得x＝1±，∴P（，）或（，），当﹣＝x2﹣x﹣，方程无解，∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）．（3）如图2中，过点D作DM平行于x轴，∵D（﹣5，3），B（4，0），∴tan∠DBA＝＝，∴∠DBA＝30°∴∠BDM＝∠DBA＝30°，过F作FJ⊥DM于J，则有sin30°＝，∴HF＝，∴2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值为＝．16．解：（1）∵y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣2x﹣3）＝（x﹣1）2﹣2，∴顶点D的坐标为（1，﹣2），令y＝0，则（x2﹣2x﹣3）＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0，则y＝﹣，∴C（0，﹣），∴AC是定值，要△ACP的面积最大，则点P到AC的距离最大，即当点P在点B位置时，点P到AC的距离最大，∴S△ACP最大＝S△ABC＝AB•OC＝（3+1）•＝3；（2）由（1）知，B（3，0），D（1，﹣2），∴直线l1的解析式为y＝x﹣3，∵l1∥l2，且l1过点A，∴直线l2的解析式为y＝x+，∴E（0，），∴OE＝，在Rt△AOE中，OA＝1，∴tan∠AEO＝＝，∴∠AEO＝30°，∵l1∥l2，∴∠DBO＝60°，由旋转知，OE1＝OE＝，∠A1E1O＝∠AEO＝30°，∴∠ME1N＝30°如图，∵△E1MN为等腰三角形，∴①当E1N1＝M1N1时，∴∠E1M1N1＝∠A1E1O＝30°，∴α＝∠BOM＝60°﹣30°＝60°，过点E1作E1F⊥x轴于F，∴E1F＝OE1＝，∴OF＝E1F＝，∴E1（，），②当E2M2＝E2N2时，∠E2N2M2＝∠E2M2N2＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠BOM2＝75°﹣60°＝15°，∴α＝105°，过点E2作E2H⊥x轴，在OH上取一点Q，使OQ＝E2Q，∴∠E2QH＝30°，设E2H＝a，则E2Q＝2a，HQ＝a，∴OQ＝E2Q＝2a，OH＝（2+）a，在Rt△OHE2中，根据勾股定理得，[（2+）a]2+a2＝3，∴a＝（舍去负值），∴E2（，﹣）．③当E3M3＝M3N3时，∠E3N3M3＝∠M3E3N3＝30，∴∠E3M3N3＝120°，∴∠BOM3＝60°，∴α＝150°，∵∠OBM3＝60°，∠E3N3M3＝30°，∴∠N3GB＝90°，∴OG＝，E3G＝，∴E3（，﹣）．17．解：（1）∵AB＝6，点B的坐标为（﹣6，0），∴点A（﹣12，0），如图1，过点D作DE⊥x轴于点D，则ED＝AD sin∠DAB＝8×＝4，同理AE＝4，故点D（﹣8，4），则点C（﹣2，4），由中点公式得，点M（﹣4，2）；（2）图象向右平移了a个单位，则点D′（a﹣8，4）、点M′（a﹣4，2），∵点D′M′都在函数上，∴（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2，解得：a＝12，则k＝（12﹣8）×4＝16，故反比例函数的表达式为＝；（3）由（2）知，点M′的坐标为（8，2），点B′、C′的坐标分别为（6，0）、（10，4），设点P（m，2），点Q（s，t）；①当B′C′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′，过点C′作C′H⊥l交于点H，C′H＝4﹣2＝2，直线B′C′的倾斜角为60°，则∠M′PC′＝30°，PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝故点P的坐标为（16，2），由题意得：点P、Q′关于点C′对称，由中点公式得，点Q的坐标为（12，﹣4）；同理点Q、Q′关于点M′对称，由中点公式得，点Q′（4，6）；故点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）；②当B′C′是矩形的对角线时，∵B′C′的中点即为PQ的中点，且PQ＝B′C′，∴，解得：，，故点Q的坐标为（4，2）或（12，2）；综上，点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）．18．解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，∴点A，点B关于原点对称，∴点B的横坐标为1，∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；（2）连接OC，OE，由图象知，点A，点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC为∠BAD的平分线，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴S△AEO＝S△ACE＝，∴AE＝DE，∴S△AOD＝2S△AOE＝3；（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，则EF∥AH，∵AD＝2DE，∴DE＝EA，∵EF∥AH，∴＝＝1，∴DF＝FH，∴EF是△DHA的中位线，∴EF＝AH，∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，∴OF•EF＝OH•HA，∴OH＝OF，∴OH＝HF，∴DF＝FH＝HO＝DO，∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，∴﹣＝1，∴k＝﹣2，∴y＝﹣，∵点A在y＝﹣的图象上，∴把x＝﹣1代入得，y＝2，∴A（﹣1，2），∵点A在直线y＝mx上，∴m＝﹣2，∴P（﹣2，﹣2），在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，则OM＝2，∴点M的坐标为（0．﹣2）；当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，∴OM＝2PG＝4，∴点M的坐标为（0．﹣4）；综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．19．解：（1）理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC∽△CEB；（2）如图，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME⊥x轴NF⊥x轴，由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴，∵点M（2，1），∴OE＝2，ME＝1，∵tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝，∴点N（﹣，3），∵设直线CD表达式：y＝kx+b，∴∴∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+；（3）当∠CDP＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，∵∠ADC+∠CDP＝180°，∴点A，点D，点P三点共线，∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝3，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE＝PH＝3，当∠CPD＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝3，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5﹣x，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，∴PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，∵∠DPC＝90°，∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°，∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，∴△CPH∽△PDH，∴，∴∴x＝∵点P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝，综上所述：当BE的长为3或时，△DPC为直角三角形．20．解：（1）∵E（2，3）、F（4，﹣2），∴k EF＝＝﹣，故答案为﹣．（2）∵G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6），∴k GH＝＝，k GI＝＝﹣，∴k GH•k GI＝﹣1．（3）如图2中，过点K作KM⊥x轴于M，过点S作SN⊥x轴于N，连接KS交OR于J．∴S（6，8），∴ON＝6，SN＝8，∵四边形OKRS是正方形，∴OK＝OS，∠KPS＝∠KMO＝∠SNO＝90°，KJ＝JS，JR＝JO，∴∠KOM+∠SON＝90°，∠SON+∠OSN＝90°，∴∠KOM＝∠OSN，∴△OMK≌△SNO（AAS），∴KM＝ON＝6，OM＝SN＝8，∴K（﹣8，6），∵KJ＝JS，∴J（﹣1，7），∵JR＝OJ，∴R（﹣2，14），∵k OR＝＝﹣7，∵RT⊥OR，∴k RT＝﹣＝，设直线RT的解析式为y＝x+b．。

广东省东莞市中考压轴题25题压轴题9分(无答案)

1．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△P AM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？2．（2018•东莞市）已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB 绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC．（1）填空：∠OBC＝；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？3．（2017•东莞市）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：＝；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．4．（2016•东莞市）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接P A、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．5．（2015•东莞市）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC 拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4cm（1）填空：AD＝2（cm），DC＝2（cm）（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB 上沿A→D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN，求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据sin75°＝，sin15°＝）6．（2014•东莞市）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．7．（2013•东莞市）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，在三角板DEF中，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC ＝15度；（2）如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF＝x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x 的函数解析式，并求出对应的x取值范围．8．（2012•东莞）如图，抛物线y＝x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l 平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．9．（2011•东莞）如图，抛物线y＝﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s 个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t 为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．10．（2010•东莞）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．11．（2009•广东）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．第1页（共1页）。

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