4-2不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
第二节不定积分基本公式和运算法则
法则 2 常数因子可提到不定积分号前面，既
kf ( x)dx k f ( x)dx （ k 为 常 数 ）
例 4 求 x ( x 2 5)dx
解
5
1
x ( x 2 5) dx ( x 2 5 x 2 ) dx
2
7
x2
52
3
x2
C
2
x3
x 10 x
7
3
7
3
x C
x3 3x2 2x 4
例5 求
x2
dx 。
解
x 3
3x2 x2
2x
4 dx
(x
3
2 x
4 x 2 )dx
1 x 2 3 x 2 ln x 4 C
2
x
例6 求
(cos x 4 e x 1 dx 。
cos 2 x
解
(cos x 4 e x 1 )dx
cos 2 x
cos
xdx
4 e x dx
1
cos 2
dx x
sin x 4 e x tan x C
例 7 求 2 x2 1 dx 。 x 2 ( x 2 1)
解
2x2 1
x2
(x2
dx 1)
x
x 2(
2
x
1
2
dx 1)
x2
x2
(x2
dx 1)
1
1
1
dx x2
(x2
1)
dx
x
arctan
xபைடு நூலகம்
C
例8 求
x
x
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
不定积分的概念及其线性法则
2 x4 ) dx . 5. ( 2 sin x 3 x e x ) dx . 6. ( 2 2 1 x 1 x
cos 2 x 7. dx . cos x sin x
x 9. sin dx . 2
2
1 8. dx . 2 2 cos x sin x
10. e x 1 d x .
例 2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的 切线斜率为 sec x sin x ，且此曲线与 y 轴
2
的交点为(0,5) ，求此曲线的方程.
例2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的
sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴 切线斜率为
1 cos 2 x sin2 x dx .
1 cos 2 x sin2 x dx
cos 2 x sin2 x dx 2 2 cos x sin x
[sec 2 x csc 2 x ]dx
tan x cot x C .
9. 求积分 解
2
x sin 2 dx .
二、 基本积分表 P172 (1) kdx kx C ( k 是常数) ;
( 2)
( 3) ( 4)
( 5)
( 6) (7)
x 1 x dx C ( 1) ; 1 dx x ln | x | C ; 1 1 x 2 dx arctan x C arccot x C 1 1 x 2 dx arcsin x C arccos x C cos x dx sin x C ;
y x2 C ,
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法不定积分，也叫原函数或不定积分，是微积分中的一个重要概念。
不定积分是指求函数的原函数的过程，也就是求解导数的逆运算。
在实际应用中，不定积分常用于求解曲线下的面积、确定概率密度函数等问题。
本文将介绍不定积分的基本公式和直接积分法。
不定积分的基本定义是，对函数F(x)求导得到f(x)。
式子可以写作F'(x) = f(x)，其中F(x)称为f(x)的一个原函数。
不定积分的符号为∫f(x)dx，表示对函数f(x)求不定积分。
积分号∫放在被积函数前面，并将被积函数写在后面。
积分变量x在∫的上下限之间。
1.常函数的不定积分：∫c dx = cx + C，其中c和C是常数。
2.幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，并且C是常数。
3.正弦函数和余弦函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C4.指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C5.对数函数的不定积分：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中x不等于0这些基本公式是不定积分中常用的，掌握了这些公式可以在求解不定积分的过程中提供一定的指导。
另外，不定积分还可以通过直接积分法来求解。
直接积分法也叫换元积分法，是不定积分的常用方法之一、直接积分法的基本思想是通过适当的代换将被积函数化简为容易求解的形式。
常见的直接积分法有以下几种：1. 代入法：通过适当的代换将被积函数化简为容易求解的形式。
例如，将∫(2x + 3)^4 dx通过代入u = 2x + 3来化简。
2. 分部积分法：对一个积分式或一个积产品做分部积分，将其转化为不定积分的和或差的形式。
公式为∫u dv = uv - ∫v du。
3. 三角代换法：通过适当的三角代换将被积函数化简为容易求解的形式。
例如，将∫(x^2 - 1)^(3/2) dx通过代换x = cosθ来化简。
不定积分的减法公式
不定积分没有四则运算法则，只有基本公式法，第一类换元积分，第二类换元积分，分部积分等。
1、积分公式法：直接利用积分公式求出不定积分。
2、第一类换元法（即凑微分法）：通过凑微分，最后依托于某个积分公式，进而求得原不定积分。
积分常用法则公式：1、∫0dx=c 不定积分的定义。
2、∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c。
3、∫1/xdx=ln|x|+c。
4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c。
5、∫e^xdx=e^x+c。
6、∫sinxdx=-cosx+c。
积分常用法则公式：1、∫0dx=c 不定积分的定义。
2、∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c。
3、∫1/xdx=ln|x|+c。
4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c。
5、∫e^xdx=e^x+c。
6、∫sinxdx=-cosx+c。
不同，积分只有加减运算，没有乘除运算如果要算ƒ(x)g(x)形式，可以考虑分部积分法或者换元积分法分部积分法就是应付乘积形式的被积函数uv的导数(uv)' = uv' + u'v，两边积分 uv = ∫uv' dx + ∫ ...不定积分运算法则是什么? ——不定积分运算没有乘法运算法则，只有基本公式法，第一类换元积分，第二类换元积分，分部积分等。
1、积分公式法：直接利用积分公式求出不定积分。
2、第一类换元法（即凑微分法）：通过凑微分，最后依托于某个积分公式。
进而求...不定积分的乘法运算? ——不定积分运算没有乘法运算法则，只有基本公式法，第一类换元积分，第二类换元积分，分部积分等。
1、积分公式法：直接利用积分公式求出不定积分。
2、第一类换元法（即凑微分法）：通过凑微分，最后依托于某个积分公式。
进而求...不定积分的四则运算法则设f(x)和g(x)两函数, ∫f(x)*g(x)=? ∫f... ——只有常数能提出来自坚固无比的lumia928，不跟随，不妥协，不抛弃求不定积分,用最简单的方法,变成加减法——原式=∫(t^2+1)/t*2tdt =2∫(t^2+1)dt =(2/3)*t^3+2t+C =(2/3)*(x-1)^(3/2)+2√(x-1)+C，其中C是任意常数2、第一类换元积分法原式=∫(x-1+1)/√(x-1)dx =∫[√(x-1)+1/√...。
不定积分的基本公式和直接积分法
第二节不定积分旳基本公式和直接积分法（ＢasiｃＦoｒｍula of UndefiｎｅdInteｇral ａnｄDirecｔＩnteｇral）课题：1.不定积分旳基本公式2．不定积分旳直接积分法课堂类型：讲授教学目旳：纯熟掌握不定积分旳基本公式,对简朴旳函数能用直接积分法进行积分。
教学重点:不定积分旳基本公式教学难点: 直接积分法教具:多媒体课件教学措施:教学内容：一、不定积分旳基本公式由于不定积分是求导旳逆运算，因此由导数旳基本公式相应地可以得到不定积分旳基本公式。
二、不定积分旳直接积分法运用不定积分旳性质和基本公式，可以求出某些简朴函数旳不定积分,一般把这种求不定积分旳措施叫做直接积分法。
例1 求32x dx ⎰导数旳基本公式()1222()01()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1(arctan )1(arccos )1(cot )1x xx x C x x x e e a a ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='=+'='=-+21(log )ln a x x x a'=不定积分旳基本公式()1222011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x xxxdx C dx x Cx x dx C a e dx eCa a dx C a dxx Cx xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x Cx Cdxx C xααα+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arccos arc cot 11log ln a x C dxx C x dx x Cx a =-+=-++=+⎰⎰⎰解 31333412222312x x dx x dx x dx C x C +===⨯+=++⎰⎰⎰例2求(23cos x x dx -+⎰解(32322233233cos 3cos 3sin 5310sin 3xx dx x dx xdx x x x Cx x x C -+=-+=⨯-++=-++⎰⎰⎰⎰例3 求dx x x ⎰-23)1(解Cx x x x Cx x dxxx x dx xx x x dx x x +++-=+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰1||ln 332 31072 )133( 133)1(22327222323 例４ 求221sin cos dx x x⎰ 解22222222221sin cos 11sin cos sin cos cos sin sec csc tan cot x x dx dx dx dx x x x x x x xdx xdx x x C+==+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例5 求2x x e dx ⎰ 解()()()2222ln 21ln 2xxxx x e e e dx e dx C C e==+=++⎰⎰例6 求2sin 2x dx ⎰解 21cos sin 22x x-=21cos 11sin sin 2222x x dx dx x x C -==-+⎰⎰ 例7 求()221dxx x +⎰解()222211111x xx x =-++ ()222222111111111arctan dx dx dx dx x x x x x x x Cx⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭=--+⎰⎰⎰⎰例8 已知物体以速度()221/v t m s =+沿Ox 轴作直线运动，当1t s =时,物体通过旳路程为3m ，求物体旳运动方程。
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结一、背景引入微积分作为数学的一个重要分支，是研究函数的变化规律的工具之一。
在微积分中，不定积分是其中的一大核心概念。
不定积分可以被看作是求函数原函数的逆运算，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。
本文将总结一些常见的不定积分计算方法，帮助读者更好地掌握这一技巧。
二、常见的不定积分计算方法1. 基本积分公式基本积分公式是求解不定积分时最基础、最重要的方法之一。
常见的基本积分公式有：- ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n为常数，C为常数。
例如，∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C。
- ∫e^x dx = e^x + C。
- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
通过熟练掌握这些基本积分公式，可以快速计算出许多不定积分。
2. 代换法代换法是解决一些复杂不定积分的常用方法之一。
它通过引入一个新的变量，将原先的变量换成新变量，从而将原本较难处理的积分转化为较容易处理的形式。
例如，对于∫(x^2 + 1)^(1/2) dx，我们可以令u = x^2 + 1，将积分转化为∫u^(1/2) du，然后再使用基本积分公式来计算。
3. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数积分时常用的方法。
它基于对积分符号下的函数进行分解，并适当选择哪一部分作为u，哪一部分作为dv，通过不断应用分部积分公式，将原先的积分转化为更简单的形式。
分部积分公式的表达式为∫u dv = uv - ∫v du。
例如，对于∫x sin(x) dx，我们可以将u = x，dv = sin(x) dx，然后使用分部积分公式来计算。
4. 三角代换法三角代换法是处理包含三角函数的积分时的一种常用方法。
它通过合理选择三角函数的变量替换原先的变量，将三角函数的积分转化为更易求解的形式。
例如，对于∫sqrt(a^2 - x^2) dx，我们可以令x = asin(t)，从而将积分转化为∫sqrt(a^2 - a^2 sin^2(t)) a cos(t) dt，然后再进行计算。
不定积分运算法则
dx
化和
1 1 sin x x
dx
法则
1dx
1 x
dx
sin
xdx
公式1/3/6
x ln x cos x C
3
1 3 x2
2
dx
化和化幂
2 4
1 2x3 x3 dx
法则
2
4
1dx 2 x3 dx x3dx
(7) cos xdx sin x C;
(8)
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
1 sin2
x
dx csc2
xdx
cot
x C;
13
不定积分运算法则(P226)
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
(3)
1 u
u
'
dx
ln
|
u
|
C
(4) au u ' dx a u C; ln a
(5) eu u 'dx eu C; 22
(6)sin xdx cos x C; (6) sin u u 'dx cosu C;
(7) cos xdx sin x C; (7) cosu u 'dx sin u C;
2
x
1 x
sin
x
不定积分的基本公式与运算法
例1 求下列不定积分：
学院
College
（1） x7 d x.
（2）
1 d x. x
（3） 3xex d x.
解 （1） x7dx 1 x71 C 1 x8 C.
7 1
8
（2）
1 dx
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
4·2 不定积分的基本公式与运算法 则、直接积分法
案例研究
我国自行研制的动车组列车
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
1 x2 2sin x 3x C. 2
问：最后的结果为什么只写一个任意常数？
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
直接积分法
定义 直接用积分基本公式与运算性质求不定积 分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（包括代数变
1 x
d
x
ln
x
C.
讨论 当 x 0 时，有
ln x (ln x) 1 ,
x 当 x 0 时，也有
ln x ln(x) (x) 1 1
x x x 所以 ln | x |是 1 的原函数.
x
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
•复习1原函数的定艾。
2不定枳分的定艾。
3不定枳分的性质。
4不定枳分的几何意义。
•引入在不定枳分的定义、It质以及基本处直的基础上，我们进一步来讨论不定枳分的计偉冋趣，不定枳分的it算方法主耍有三种：有接枳分法、换元枳分法和分部枳分法。
・ »g»a第二节不定枳分的基本公式和运算頁接枳分法-基本枳分公式由干求不定枳分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式《］应地可以得到枳分的基2(secx/= secxtanx d(secx) = secAtairxz/v J sec x tan xdx = secx + C3(-csc.r^cscACOtx d(-cscx)=cscxcotxrfr ^cscxcotxdx = -cscx + C4 (arctan x)r = —1 + .Ld(arctan x) = —1 + x?Zv [ —dx = arc tan.v + C5 (arcsin xY =,丨= d( arcsin A*)=―.=■2 x/l+ .V2l.\ f 严1 .. dx = arcs in x +CJ vr+x2以上十五个公述是求不定枳分的U t t,恋须熟记，不仅要记右端的结果，连要熟悉左端被枳函数的的形式。
求因数的不定枳分的方法叫枳分法。
(2 ) j xjxdx此例表明，对某些分式或根式函数求不定枳分时，可先把它们化力x"的形氏，然后应用显函数的枳分公式求枳分。
二不定枳分的基本运算法则a«i两个因数代数和的枳分，等干各因数枳分的代数和，即J [/W 土g(x)肚=J/(A>/A± j g(x\LxSi 1对于有限多个函数的和也成立的.违则2被枳因数中不为零的常数因子可提到枳分号外，即J kf(x\l.x = kj* f(x\lx( " 0 )M 2 求J (2x' 4-1-e x }dx解J(2x3+\—e x)dx =21x3dx + jdx-j e x dx二—X” + x — 0' + C o例1 •求下列不定枳分.(1)ii貝中毎一項的不定枳分虽然都应当有一个枳分常数，但是逹里并不需要在毎一頂后面则上一个枳分常数，因为代意常釵之利if是任意常数，所以迪里只把它的和C写在末尾，以后仿此。
4.2不定积分的计算
以sinx为内层函数的复合函数 为内层函数的复合函数
常见的配元形式还有: 常见的配元形式还有:
(4)
∫ f (cos x)sin xdx =
dcos x
(5)
∫ f (e )e dx =
x x
de
x
1 (6) ∫ f (ln x) dx = x
dln x
u
1 u 1 ∴ 原式 = ∫ xe du = e du 2x 2
∫
1 u = e +C 2
1 x2 = e +C 2
巩固练习一
(1) ∫ x e dx
2 x3
(2) ∫ cos xe
x
sin x
dx
(3) ∫ e cos e dx
x
(ln x) (4) ∫ dx x
4
题型三（分离分子分母） 其中一个是另一个的导数） （ 题型三（分离分子分母） 其中一个是另一个的导数）
（分母的导数是分子） 分母的导数是分子）
(1 + sin x) = cos x
'
1 解：原式 = ∫ (1 + sin x) ' dx 1 + sin x
联想公式
1 =∫ d (1 + sin x) 1 + sin x
= ln 1 + sin x + C
凑 微 分
思考
若分子的导数是分母是否可行？ 若分子的导数是分母是否可行？
1 2x ∫ e dx = 2 e + C
2x
exd x = ex +C ∫
∫e
u
d u = e +C
u
结论：积分变量只需统一，即可套用公式！ 结论：积分变量只需统一，即可套用公式！ 统一
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法-推荐下载
函数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
1.求下列不定积分.（1）
例
解：（1）
（2）
x
1 x 2 dx ＝
xdx ＝
3
x 2 dx
1 x2
dx
x2dx x21 C 1 C
5
2
x
2 1
5 2
C
（2） x xdx
x
此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 x 的形式，然后应用幂函
数的积分公式求积分。
二 不定积分的基本运算法则
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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人书友圈7.三端同步
f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx (k 为不等于零的常数)
当 x < 0 时，因为ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln(x) C . x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1 dx ln| x | C . x
例 2 求不定积分.
(1) x 2 xdx ;
(2) 1 dx . x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
2 5
5
x2
C3
(C1 2C 2 2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求一个函数的原函数。
在求解不定积分时，可以使用基本公式和直接积分法。
一、基本公式基本公式是指一些常见函数的不定积分公式，它们是通过求导的反向过程来得到的。
以下是一些常见的基本公式：1. 常数函数的不定积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。
2. x的幂函数的不定积分：∫x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C，其中n不等于-13. e^x函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C。
4. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C，其中x不等于0。
5.三角函数的不定积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
- ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C。
- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C。
6.反三角函数的不定积分：- ∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C。
- ∫1/√(1+x^2) dx = arctan(x) + C。
- ∫1/x dx = ln，x， + C。
直接积分法是通过一些变换和方法来求解不定积分。
以下是几种常用的直接积分法：1. 换元法：通过进行变量代换，将不定积分转化为容易求解的形式。
例如，当遇到∫f(g(x))g'(x) dx的形式时，可以令u = g(x)，从而将不定积分转化为∫f(u) du。
2.部分分式法：将一个有理函数拆分为若干个分式的和，并分别对每个分式进行积分。
这通常用于分解分母是多项式的情况。
3. 分部积分法：将复杂函数的积分转化为简单函数的积分。
根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，选择一个函数作为u，另一个函数作为dv，并计算∫v du。
4. 微分与积分的互换：有时候，我们可以通过对函数进行微分来简化不定积分的求解。
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
·复习1 本函数的定义.2 没有定积分的定义.3 没有定积分的本量.4 没有定积分的几许意思.之阳早格格创做·引进正在没有定积分的定义、本量以及基础公式的前提上，咱们进一步去计划没有定积分的估计问题，没有定积分的估计要领主要有三种：曲交积分法、换元积分法战分部积分法.·道授新课第二节没有定积分的基础公式战运算曲交积分法一基础积分公式由于供没有定积分的运算是供导运算的顺运算，所以有导数的基础公式相映天不妨得到积分的基础公式如下：以上十五个公式是供没有定积分的前提，必须生记，没有然而要记左端的截止，还要认识左端被积函数的的形式.供函数的没有定积分的要领喊积分法. 例1.供下列没有定积分.（1）dxx⎰21（2）dxx x ⎰解：（1）dx x ⎰21＝212121x x dx C Cx -+-=+=-+-+⎰（2）dxx x ⎰＝C x dx x +=⎰252352此例标明，对付某些分式或者根式函数供没有定积分时，可先把它们化为x α的形式，而后应用幂函数的积分公式供积分.二 没有定积分的基础运算规则规则1 二个函数代数战的积分，等于各函数积分的代数战，即规则1对付于有限多个函数的战也创造的．规则2 被积函数中没有为整的常数果子可提到积分号中，即dx x f k dx x kf ⎰⎰=)()( （0≠k ）例2 供3(21)x x e dx +-⎰解 3(21)x x e dx+-⎰=23x dx ⎰+dx ⎰-x e dx⎰=412x x x e C +-+.注 其中每一项的没有定积分虽然皆应当有一个积分常数，然而是那里本去没有需要正在每一项后里加上一个积分常数，果为任性常数之战仍旧任性常数，所以那里只把它的战C 写正在开端，以去仿此.注 考验解搁的截止是可精确，只把截止供导，瞅它的导数是可等于被积函数便止了.如上例由于41()2x x x e C '+-+=321xx e +-，所以截止是精确的.三 曲交积分法正在供积分的问题中，不妨曲交按基础积分公式战二个基赋本量供出截止（如上例）然而偶尔，被积函数常需要通过适合的恒等变形（包罗代数战三角的恒等变形）再利用积分的本量战公式供出截止，那样的积分要领喊曲交积分法.例3供下列没有定积分.（1）1)(x dx⎰ （2）dx x x ⎰+-1122解：（1）最先把被积函数1)(x-化为战式，而后再逐项积分得1)((1x dx x dx-=+--⎰⎰5122221252x x x x C =+--+.注：（1）供函数的没有定积分时积分常数C 没有克没有及拾掉，可则便会出现观念性的过失.（2）等式左端的每个没有定积分皆有一个积分常数，果为有限个任性常数的代数战仍是一个常数，所以只消正在截止中写一个积分常数C 即可.（3）考验积分估计是可精确，只需对付积分截止供导，瞅它是可等于被积函数.若相等，积分截止是精确的，可则是过失的.（2）222221122(1)111x x dx dx dx x x x -+-==-+++⎰⎰⎰222arctan 1dxdx x x C x =-=-++⎰⎰.上例的解题思路是设法化被积函数为战式，而后再逐项积分，是一种要害的解题要领，须掌握.训练 1 322324x x x dx x -++⎰，2 22221(1)x dx x x ++⎰，3 421x dx x +⎰.问案 1 21432ln ||2x x x C x -+-+， 2 1arctan x Cx -+，3 31arctan 3x x x C -++例4供下列没有定积分.（1）xdx⎰2tan （2）dx x 2sin2⎰解：（1）22tan (sec 1)xdx x dx =-⎰⎰（2）C x x dx x dx x+-=-=⎰⎰sin 21212cos 12sin2上例的解题思路也是设法化被积函数为战式，而后再逐项积分，没有过它真止化战是利用三角式的恒等变更.训练 12cot xdx⎰ 22cos 2x dx ⎰3 cos 2xdx cosx-sinx ⎰问案 1 cot x x C --+ 2 1(sin )2x x C++3 sin -cos x x C + 例5设x x f 22cos )(sin ='，供)(x f .解：由于x x x f 222sin 1cos )(sin -=='，所以x x f -='1)(，故知)(x f 是x -1的本函数，果此Cx x dx x x f +-=-=⎰2)1()(2．小结 基础积分公式，没有定积分的本量，曲交积分法. 训练 供下列没有定积分.（1）2(12sin )x dx x -+⎰（2）2212()cos sin dx x x +⎰，（3）dt t t ⎰+2)1(，（4）23)1dt t -+⎰，（5）dx x x ⎰+)6(6， （6）dx x x ⎰--2411，（7）dx x x ⎰-)cot csc(csc ，（8）dx x x ⎰2sin 2cos ，（9）2(cos sin )22t t dt +⎰，（10）dx x ⎰-)1(tan 2，（11）e (3x x x dx -⎰.问案1 2cos 2ln ||x x x C +++， 2 tan -cot x x C +，3 212ln ||2t t t C +++， 4 2arcsin 3arctan t t C -+， 5 761ln 67x x C++， 6 313x x C --+，7 cot csc x x C -++， 8 cot 2x C --+，9 cos t t C -+， 10 tan 2x x C -+，11(3)2arcsin 1ln3xe x C-++.小结 估计简朴的没有定积分，偶尔只需按没有定积分的本量战基础公式举止估计；偶尔需要先利用代数运算或者三角恒等变形将被积函数举止整治．而后分项估计．做业 P81:2,3 板书籍安排。
不定积分的基本公式和直接积分法
1
1 x2dx
1 x
arctan
x
C.
例2 求下列不定积分
(1) sin2
xdx 2
(2)
cos 2x cos x sin
x
dx
解
(1)原式
1
cos 2
x
dx
1 2
(1 cos
x)dx
1 2
[
dx
cos
xdx]
1 2
(
x
sin
x)
C
(2)原式 cos2 x sin2 x dx
ln a
(2) exdx ex C (Q (e x ) e x )
4 三角函数：
(1) sin xdx cos x C (2) cos xdx sin x C
( (cosx) sin x) ( (sin x) cosx)
(3) sec x tan xdx sec x C ( (secx) sec x tan x)
x)
1 1 x2
, (arc
cot
x)
1 1 x2
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分
表
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
说明： x 0,
dx ln x C,
x
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
不定积分的基本积分公式与性质
不定积分的基本积分公式与性质不定积分是微积分中的重要概念，是求解函数的原函数的过程。
本文将介绍不定积分的基本积分公式和性质。
一、基本积分公式1.定积分求导与不定积分定积分和不定积分是互为逆运算的，即对一个函数进行积分再求导，或者先求导再积分，所得到的结果是相同的。
这个性质表现为两个基本定理：（1）定积分的基本定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
（2）不定积分的基本定理：若函数f(x)在区间I上连续，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，F(x)为f(x)的一个原函数。
2.基本积分公式（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数。
（2）幂函数：∫x^ndx = (1 / (n+1)) * x^(n+1) + C，其中n≠-1（3）指数函数：∫e^xdx = e^x + C。
（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。
（5）反三角函数：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arctanx + C。
二、不定积分的性质对于任意常数a、b，函数f(x)和g(x)，有以下性质：（1）∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
（2）∫f'(x)dx = f(x) + C。
2.替换性质：对于一个可导函数u(x)和原函数f(u)，有以下性质：∫f'(u)u'(x)dx = ∫f'(u)du。
3.分部积分法：对于可导函数u(x)和v(x)，有以下积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
4.换元积分法：对于函数f(u)和可导函数u(x)，有以下积分公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx。
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·复习 1 原函数的定义。
2 不定积分的定义。
3 不定积分的性质。
4 不定积分的几何意义。
·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。
·讲授新课
第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法
一基本积分公式
由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
例1.求下列不定积分.（1）
dx x ⎰21 （2）dx x x ⎰ 解：（1）dx x
⎰21＝212121x x dx C C x -+-=+=-+-+⎰ （2）dx x x ⎰＝C x dx x +=⎰25235
2
此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。
二 不定积分的基本运算法则
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即
dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±)()()]()([
法则1对于有限多个函数的和也成立的．
法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即
dx x f k dx x kf ⎰⎰=)()( （0≠k ）
例2 求3(21)x x e dx +-⎰
解 3(21)x x e dx +-⎰=23x dx ⎰+dx ⎰-x e dx ⎰ =412
x x x e C +-+。
注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。
注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。
如上例由于
41()2
x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。
三 直接积分法
在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。
例3 求下列不定积分.
（1）
1)(x dx
-⎰ （2）dx x x ⎰+-1122 解：（1）首先把被积函数
1)(x
化为和式，然后再逐项积分得
1)((1x dx x dx
+-=+--⎰⎰
xdx dx
=+--⎰⎰⎰⎰ 5122221252
x x x x C =+--+。
注：（1）求函数的不定积分时积分常数C 不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。
（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数C 即可。
（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。
若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。
（2）222221122(1)111
x x dx dx dx x x x -+-==-+++⎰⎰⎰
222arctan 1dx dx x x C x =-=-++⎰⎰。
上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。
练习 1 322324x x x dx x -++⎰，2 22221(1)x dx x x ++⎰，3 421x dx x +⎰。
答案 1 21432ln ||2x x x C x -+-+， 2 1arctan x C x
-+， 3 31arctan 3
x x x C -++ 例4 求下列不定积分.（1）xdx ⎰2tan （2）dx x 2
sin 2
⎰ 解：（1）22tan (sec 1)xdx x dx =-⎰⎰
2sec tan xdx dx x x C =-=-+⎰⎰ （2）C x x dx x dx x +-=-=⎰⎰sin 2
1212cos 12sin 2 上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。
练习 1 2cot xdx ⎰ 2 2
cos 2x dx ⎰ 3 cos 2x dx cosx-sinx ⎰ 答案 1 cot x x C --+ 2
1(sin )2
x x C ++ 3 sin -cos x x C +
例5 设x x f 22cos )(sin ='，求)(x f .
解：由于x x x f 222sin 1cos )(sin -=='，
所以x x f -='1)(，故知)(x f 是x -1的原函数，因此
C x x dx x x f +-=-=⎰2
)1()(2
． 小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。
练习 求下列不定积分.
（1）2(12sin )x dx x -+⎰（2）2212()cos sin dx x x
+⎰， （3）dt t t ⎰+2)1(，（4
）23)1dt t +⎰，（5）dx x x ⎰+)6(6， （6）dx x x ⎰--2
411，（7）dx x x ⎰-)cot csc(csc ，（8）dx x x ⎰2sin 2cos ， （9）2(cos sin )22t t dt +⎰，（10）dx x ⎰-)1(tan 2，（11
）e (3x x x dx -⎰。
答案1 2cos 2ln ||x x x C +++， 2 tan -cot x x C +，
3 212ln ||2
t t t C +++， 4 2arcsin 3arctan t t C -+， 5 761ln 67x x C ++， 6 313
x x C --+， 7 cot csc x x C -++， 8 cot 2x C --+，
9 cos t t C -+， 10 tan 2x x C -+，11(3)2arcsin 1ln3
x
e x C -++。
小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数
运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．作业P81:2,3
板书设计。