(完整版)向量与三角,不等式等知识综合应用
向量的知识点总结和解三角形
平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题 已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。
三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（ ）a +（ ）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
平面向量与三角形的综合应用
平面向量与三角形的综合应用一、平面向量的基本概念和性质平面向量是描述平面上运动的工具，它具有大小和方向两个基本属性。
在平面向量中，表示向量的记法通常是用小写字母加上一个箭头，如a→表示向量a。
平面向量可以进行加法、数乘和减法操作，并且满足以下性质：1. 平面向量的加法：向量相加的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小之和，且方向与第一个向量相同。
设向量a→和向量b→分别表示向量a和向量b，它们的和表示为a→+ b→，计算方法为将向量a→的起点与向量b→的终点相连，连接的向量即为a→+ b→。
2. 平面向量的数乘：将向量的大小与一个实数相乘，得到一个新的向量。
设向量a→表示向量a，实数k为一个常数，那么ka→表示将向量a 的大小乘以k倍，且方向保持不变。
3. 平面向量的减法：向量相减的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小之差，且方向与第一个向量相反。
设向量a→和向量b→分别表示向量a和向量b，它们的差表示为a→- b→，计算方法为将向量b→取相反向量，然后与向量a→进行加法。
二、平面向量在三角形中的应用平面向量在解决三角形问题时有着广泛的应用。
通过运用平面向量的性质和运算，可以简化三角形的计算和证明过程。
1. 向量表示三角形边：在平面向量中，可以用向量来表示三角形的边。
假设向量a→表示三角形的一边AB，向量b→表示三角形的另一边BC，那么可以得到向量c→表示三角形的第三边AC，即c→ = a→ + b→。
2. 向量表示三角形的面积：三角形的面积可以用向量叉乘来表示。
设向量a→和向量b→分别表示三角形的两边AB和AC，那么三角形ABC的面积S可以表示为：S = 1/2 |a→ × b→|，其中|a→ × b→|表示向量a→与向量b→的叉乘的大小。
3. 向量的共线性与平行：利用向量的共线性和平行性可以对三角形进行一些性质的证明。
若三角形的两边向量共线，则说明这两边平行或共线；若向量的和为零向量，则说明这两个向量平行且大小相等。
高中数学的归纳三角函数与向量的综合应用
高中数学的归纳三角函数与向量的综合应用在高中数学学科中，归纳是一种重要的思维方法，它帮助我们总结和推广已有的数学知识，使之更加系统和全面。
而三角函数和向量是数学中的重要工具和概念，在解决实际问题时发挥着重要的作用。
本文将探讨高中数学中归纳、三角函数与向量的综合应用。
1. 归纳推理在三角函数中的应用三角函数是描述角度和长度关系的数学工具，常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。
在归纳推理中，我们可以通过观察、总结和推广已有的数学关系，来求解一些特殊情况下的三角函数值。
以正弦函数为例，我们知道在单位圆上，正弦值是以角度为自变量的函数。
通过观察正弦函数的图像和数值表，我们可以总结出正弦函数的周期性特征和取值范围。
进一步地，我们可以利用这些结论来解决三角函数相关的问题。
2. 向量与三角函数的综合应用在物理学、几何学等领域，向量是一种非常基础且重要的概念。
向量具有大小和方向两个属性，可以用来表示物体的位移、速度、加速度等物理量。
在解决实际问题时，我们常常需要使用向量来分析和求解。
与三角函数的综合应用相结合，向量可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
例如，在平面几何中，我们可以利用向量和三角函数来求解两条直线的夹角、判断线段是否相交等问题。
在物理学中，我们可以通过向量和三角函数来分析物体的受力情况、解决平衡条件等问题。
3. 综合应用的例题分析下面我们通过一个例题来进一步探讨归纳、三角函数和向量的综合应用。
例题：一架飞机从A点出发，向北飞行80km到达B点，然后改变航向向东飞行150km，到达C点。
求飞机从A点到达C点的位移和距离。
解析：首先我们可以将该问题转化为向量问题。
设A点为原点O(0, 0)，则B点的位置向量为\(\vec{OB}\) = 80\(\vec{i}\)，其中\(\vec{i}\)为x轴的单位向量。
同理，C点的位置向量为\(\vec{OC}\) = 80\(\vec{i}\) + 150\(\vec{j}\)，其中\(\vec{j}\)为y轴的单位向量。
数学向量三角形知识点总结
数学向量三角形知识点总结一、向量的定义1.1 向量的概念向量是有方向和大小的量。
在几何学中，我们通常用带箭头的线段来表示向量，箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
我们用有序对a=(a1,a2)来表示向量，其中a1和a2分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
1.2 向量的运算1.2.1 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即若有向量a和b，则a+b=b+a。
1.2.2 向量的数乘向量的数乘即向量与一个数相乘，数学上定义为ka=(ka1,ka2)，其中k为实数。
1.2.3 向量的减法向量的减法即a-b=a+(-b)。
1.3 向量的模长和方向角1.3.1 向量的模长向量a的模长指的是向量a的长度，通常用||a||来表示，其计算公式为||a||=sqrt(a1^2 + a2^2)。
1.3.2 向量的方向角向量a的方向角指的是向量a与x轴的夹角，通常用θ来表示，其计算公式为tanθ=a2/a1。
二、向量在三角形中的应用2.1 向量表示位移和速度在三角形中，向量可以用来表示位移和速度的关系。
假设有一个三角形ABC，其三个顶点分别为A、B、C，如果以A点为原点，那么向量AB表示点B相对于点A的位移，向量AC表示点C相对于点A的位移。
2.2 向量求角平分线在三角形中，如果已知三边的长度，可以利用向量求角平分线，即用向量的方法求出三角形内角的平分线的方程。
2.3 向量证明三角形全等在三角形中，利用向量可以很方便地证明三角形的全等。
如果已知两个三角形的三边的长度都相等，则可以利用向量证明它们是全等的。
2.4 向量求三角形面积在三角形中，利用向量可以很方便地求出三角形的面积。
由于三角形的面积等于底边与高的乘积再除以2，因此可以利用向量求出三角形的高，然后利用三角形的面积公式求出面积。
2.5 向量证明三角形垂直和平行在三角形中，利用向量可以证明三角形的垂直和平行关系。
如果两个向量的点积为0，则说明这两个向量垂直；如果两个向量的叉积为0，则说明这两个向量平行。
向量的数量积与三角恒等变换三角恒等变换的应用
要点二
求三角形面积
通过三角恒等变换，可以求出三角形 的面积，例如利用海伦公式等。
要点三
解三角形方程
通过三角恒等变换，可以解三角形方 程，例如利用正弦定理和余弦定理等 。
三角函数的图像与性质
01
正弦函数图像与性质
02
余弦函数图像与性质
通过三角恒等变换，可以得到正弦函 数的图像与性质，例如周期性、最值 、对称性等。
恒等式的证明方法
证明三角恒等式的方法有多种，包括利用 三角函数的定义、三角函数的和差公式、 二倍角公式等。
VS
恒等式的应用
三角恒等式在解三角形、研究三角函数的 性质和化简求值等问题中有广泛应用。
03
三角恒等变换的应用
解三角形
要点一
判断三角形形状
通过三角恒等变换，可以判断三角形 的形状，例如利用正弦定理和余弦定 理等。
位移与距离
在物理中，位移和距离可以用向量的模进行计算。通过使用三角恒等变换，可以方便地计 算出物体移动的距离和方向。
解析几何中的向量与三角恒等变换应用
点的坐标
在解析几何中，向量可以表示点的坐 标。例如，在二维空间中，一个点可 以表示为一个向量（x, y）。
向量的长度与夹角
通过使用三角恒等变换，可以计算出 向量的长度和夹角。这些信息可以用 于解决几何问题，如计算两点之间的 距离或确定一个点相对于另一个点的 方向。
三角函数的定义
三角函数是角度的正弦、余弦和正切等函数的 统称，它们在解决三角形和平面解析几何等问 题中有广泛应用。
角度的三角函数关系
角度的正弦、余弦和正切之间存在一些恒等式 关系，如sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1等。
三角函数的性质与公式
《平面向量》《解三角形》《不等式》概念汇编
基础梳理一．平面向量1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫向量；向量的叫做向量的模．(2)零向量：长度等于的向量，其方向是．(3)单位向量：长度等于的向量．(4)平行向量：方向的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：长度且方向的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝；②当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得5．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．6．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝( ， )，a ＋b ＝( ， )，λa ＝( ， )，|a |＝ .(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝( ， )，|AB →|＝ . 7．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，向量a ，b 共线当且仅当 ．8．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b (如图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .9．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作 ，即 ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. 10．向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 11．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ；(2)a ⊥b ⇔ ；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别的，a ·a ＝|a |2或者|a |＝a ·a ；(4)cos θ＝ ；(5)|a ·b |≤|a ||b |. 12．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a ；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 13．平面向量数量积的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝ ；(2)|a |＝ ； (3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔ ⇔ . 二、余弦定理基础知识回顾1． 正弦定理：___________________________________. 正弦定理的变形①_____________________， ②_____________________，③_____________________. 2.余弦定理①_____________________， ②_____________________， ③_____________________. 余弦定理的变式①_____________________，②_____________________，③_____________________.3.面积公式：S=_____________________=_____________________=_____________________. 三．不等式1、不等式的基本性质①（对称性）b a > ②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>, ④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>（异向正数可除性）0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>⇒∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>3.解一元二次不等式的步骤：① 化一般式c bx ax ++2>0(或<0)(a>0)② 计算判别式∆，解对应方程 ③对照三个“二次” 关系写出解集 4.线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：直线定界，特殊点定域由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域. 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值：A.利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,zB为直线的纵截距. B.步骤：画——移——求：5.基本不等式基础知识梳理1.重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.2.基本不等式 ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： （1） （2） （即积定和最小，和定积最大）用基本不等式求最值时，要注意满足三个条件：一 二 三 .。
6 向量与三角的综合应用
6向量与三角函数的综合应用1.若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，若n m ⊥，则∠C 等于 .2.在ABC ∆中，已知,,a b c 分别,,A B C ∠∠∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量222(4,)p a b c =+- ，(1,)q S = 满足//p q ，则C ∠= .3.已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x x m n == .（1）若1m n ⋅= ,求2cos()3x π-的值；（2）记()f x m n =⋅，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数f (A )的取值范围.4. 在ABC ∆中,B ∠，C ∠的对边分别为c b ,。
已知向量),(a b c a m -+=，),(b c a n -=，且n m ⊥。
(1)求C ∠的大小；(2)若26sin sin =+B A ，求角A 的值。
5. 设已知(2c o s s i n )22a αβαβ+-= ，，(cos 3sin )22b αβαβ+-= ，，其中(0,)αβπ∈、． (1)若32πβα=+，且2a b = ，求βα、的值；(2)若52a b ⋅= ，求βαtan tan 的值．6. 设ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且满足0)()2(=⋅+⋅+CB CA c BA BC c a。
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若32=b ，试求CB AB ⋅的最小值．7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若().CA AB CB BA k k R ⋅=⋅=∈（1）判断△ABC 的形状；（2）若k c 求,2=的值．8. 已知点A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α)，α∈322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）若AC ＝BC ，求角α的值；（2）若AC BC ⋅ ＝－1，求22sin sin 21tan ααα++的值．9. 已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,6AC AB =⋅,向量)sin ,(cos A A s =与向量)3,4(-=t 相互垂直。
高中数学平面向量,三角函数,一元二次不等式知识点
高中数学知识点一、平面向量1.1 平面向量的定义和表示平面向量是在平面上具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
平面向量的表示方法有两种：坐标表示和数量与方向表示。
•坐标表示：设平面向量$\\vec{AB}$的起点为A(A1,A1)，终点为A(A2,A2)，则向量$\\vec{AB}$的坐标表示为$\\vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。
•数量与方向表示：设平面向量$\\vec{AB}$的起点为A，终点为A，则向量$\\vec{AB}$的数量表示为$|\\vec{AB}|=\\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，方向表示是线段AA的方向。
1.2 平面向量的运算平面向量的运算有加法、减法和数量乘法。
•加法：设有平面向量$\\vec{A}$和$\\vec{B}$，则它们的和为$\\vec{A}+\\vec{B}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$。
•减法：设有平面向量$\\vec{A}$和$\\vec{B}$，则它们的差为$\\vec{A}-\\vec{B}=(x_1-x_2, y_1-y_2)$。
•数量乘法：设有平面向量$\\vec{A}$和实数A，则$k\\vec{A}=(kx, ky)$。
1.3 平面向量的性质平面向量的性质主要包括以下几点：•相等性：两个向量相等的充分必要条件是它们的坐标或起点和终点相同。
•共线性：若两个向量的方向相同或相反，它们为共线向量。
•共面性：若三个向量共面，则它们必定落在同一个平面上。
•数量乘法：向量的数量乘法可以改变向量的大小和方向。
二、三角函数2.1 弧度制和角度制在三角函数中，角度可以用弧度制或角度制来表示。
•弧度制：弧度制是以圆的半径为单位来度量角的大小。
一个圆的周长为$2\\pi$，一周所对应的角为$2\\pi$弧度。
常见的角度制与弧度制的换算关系是$180^\\circ=\\pi$弧度。
•角度制：角度制是以度为单位来度量角的大小。
向量解三角形三角函数知识点
解三角形： 1、正弦定理变形：A R a sin 2= R aA 2sin =C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理 变形： 3、△ABC 中,sin A>sin B ⇔ A>B4、△ABC 中，C B A -=+π，求取值范围时转化为函数用消元法（注意变量的取值范围）()()()C B A C B A C B A tan tan ,cos cos ,sin sin -=+-=+=+例：在ABC ∆中，已知C B A <<，B a cos =，A b cos =，C c sin =．（1）求ABC ∆的外接圆半径R 和角C 的值；（2）求c b a ++的取值范围5、判断三角形形状：（1）转化为边（2）转化为角 例：（1）已知B b A a cos cos =,判断三角形形状(等腰或直角三角形) （2）已知A b B a cos cos =,判断三角形形状（等腰三角形）6、△ABC 面积公式：A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===例：ABC ∆的三边分别为c b a ,,，面积22)(c b a S --=，则=2tanA____7、构成锐角三角形：构成三角形且最大角为锐角 构成钝角三角形：构成三角形且最大角为钝角 例：（1）锐角ABC ∆中，若1=a ，2=b ，则c 的取值范围是_________（2）已知1+k 、2+k 、3+k 为钝角三角形的三条边，且此三角形的最大角不超过 120，则实数k 的取值范围是8、△ABC 中，若A 为最大角，则018060<≤A ，若A 为最小角，则0600≤<A 9、已知锐角b a A ,,，三角形无解：A b a sin 0<<，一解：A b a sin =或b a ≥ 两解：b a A b <<sin已知钝角b a A ,,，三角形无解：b a ≤<0 一解：b a > 10、A 为锐角222c b a +<，A 为钝角222c b a +>R CB A cb a C B Ac b a C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin =----=++++===C ab b a c Bac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=2ab c b a cosC 2ac b c a cosB 2bcac b cosA222222222-+=-+=-+=11、在ABC ∆中，21sin =A 则030=A 或0150（一般求A cos ） 12、bc c b c b ,,-+与正余弦定理的结合例：ABC ∆中，15,8,2==+=+ac c a B C A ，求b向量知识点：1、a ∥b ⇔a ＝λb (0≠b )⇔x 1y 2－x 2y 1＝02、()()2211,,,y x B y x A 中点公式()y x M ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x xx ()()212212y y x x -+-=()()()332211,,,,,y x C y x B y x A 的重心坐标⎪⎭⎫⎝⎛++++3,3321321y y y x x x G3、a ⊥b ⇔b a ⋅＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O （注意反过来时a 与b 为非零向量） 4、θb a =⋅（θ为a 与b 的夹角要共起点，001800≤≤θ）b a =θcos =222221212121y x y x y y x x +⋅++5、A 、B 、C 三点构成三角形：AB 与AC 不共线6、重视共线向量（夹角为0或32π） 例：同一平面上的向量c b a,,321====++b7、a 与b 夹角为锐角：0>⋅b a 且a 与b 不共线。
微专题7 向量与三角的综合应用
微专题7 向量与三角的综合应用问题背景向量与三角将数和形紧密地结合在一起.近几年高考中，向量经常与三角函数进行综合，常以解答题的形式出现，题目新颖，考查向量与三角函数的综合应用，值得广大考生注意，以向量为背景，化归为三角函数题这类题目出现的频率较高，题目难度中等，经常考查的知识点有向量的平行与垂直、向量的数量积、线性运算结合三角形中的边角关系进行求解.高考命题方向：1.以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量的基本运算相结合；2.以三角形中的三角恒等变换为主体，综合考查三角函数的性质；3.三角与向量相结合考查正、余弦定理，三角函数的应用.思维模型说明：1.解决方案及流程（1）将向量间的关系转化成三角关系式；（2）化简三角函数式；（3）求三角函数式的值或分析三角函数式的性质；（4）明确结论；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和规范解答.2.失误与防范（1）化简向量的相关运算时一定要看清楚向量的起点和终点，弄清向量夹角与三角形的哪个内角有联系；（2）要根据合适的三角恒等变换选择恰当的求模方式，不要避简就繁；（3）将向量的关系转化成三角形中的边角关系时要注意方向.问题解决一、典型例题例1 已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭. （1）若1m n ⋅=，求2cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C-=，求函数()f A 的取值范围. 变式训练1 已知角,,A B C 是ABC ∆三边,,a b c 所对的角，cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =12m n ⋅=.（1）若ABC ∆的面积S =b c +的值；（2）求b c +的取值范围.设向量()()()4cos ,sin ,sin ,4cos ,cos ,4sin a b c ααββββ===-.（1）若a 与2b c -垂直，求()tan αβ+的值；（2）求b c +的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a b .设点O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，且2220AC AC AB -+=，则BC AO ⋅的范围是____.变式训练2已知三角形ABC 中，6,4,AB AC O ==是三角形的外心，求AO BC ⋅的值.二、自主探究1.已知,a b 是两个不共线的向量，且()()cos ,sin ,cos ,sin a b ααββ==.（1）求证：a b +与a b -垂直；（2）若,,444πππαβ⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，且a b +=，求sin α.2.已知向量)(),cos ,cos ,cos a x x x x ωωβωω==，记函数()f x αβ=⋅，已知()f x 的周期为π.（1）求正数ω的值；（2）当x 表示ABC ∆的内角B 的度数，且ABC ∆三内角,,A B C 满足2s i n s i n s i n B A C =⋅，试求()f x 的值域.3.设)(),cos ,cos ,cos a x x b x x ==，记()f x a b =⋅. （1）写出函数()f x 的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数()f x 在一个周期内的简图，并指出该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；（3）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x 的最大值并指出x 取何值时，函数()g x 取得最大值.。
三角不等式、向量、数学归纳法复习
三角不等式、向量与数学归纳法复习【知识要点】1.定理（绝对值三角形不等式）如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤注：当a b 、为复数或向量时结论也成立.推论11212n n a a a a a a ++++++≤推论2：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.2.向量的概念及公式 （1）向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
（2）向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
（3）单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
（4）零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】（5）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
（6）相等向量：长度和方向都相同的向量。
（7）相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
（8）三角形法则：首尾相连AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）（9）平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
（10）共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
（11）基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
（12）向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+（13）数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅=2121y y x x +； cos ||||a b a b θ⋅=⋅ （14）平行与垂直： 1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=； 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=3.数学归纳法证明：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确【典型例题】例1 已知 2,2c b y c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+练习 已知.6,4a y a x << 求证：a y x <-32例21．设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +⋅=________.2．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点， 满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为_____.3．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.4．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+= ． 5．设向量(1,0),(cos ,sin ),a b θθ==其中0θπ≤≤，则a b +的最大值是 ．6．设,i j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且42,34AB i j AC i j =+=+，则ABC ∆面积的值等于 ．7．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________. 8．向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是 ．9.（1）已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模。
高考数学知识点归纳(完整版)
高考数学知识点归纳（完整版）高考数学知识点归纳第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考数学知识点高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解) 高考数学必考知识点归纳必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程高考数学必考知识点归纳必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
高考数学必考知识点归纳必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
高考数学必考知识点归纳必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高中数学三角恒等变换、向量、不等式、解三角形四个小专题(含知识点)
高中数学三角恒等变换【知识梳理】1．两角和与差的正弦公式：.=±)cos(βα .=±)tan(βα .1tan 1tan x x +=- .1tan 1tan xx-=+ .2．二倍角公式(升幂公式)：=α2sin .=α2cos ＝＝ . =α2tan . 3．倍角公式变形(降幂公式)：=ααcos sin .=α2sin .=α2cos .4．倍角公式变形（半角公式）1cos 2α+= ..1cos 2α-= ..1cos α+= ..1cos α-= .. 1sin 2α±= ..5．半角公式sin2α= .cos2α= .tan2α= ..6．辅助角公式sin cos a x b x += = .sin ϕ=其中 ，cos ϕ= .【典型例题】 考向一：求角问题例1．（1）已知,(0,)αβπ∈且11tan(),tan 27αββ-==-，求2αβ-的值； （2）已知120tancos 222πααβπβα<<<<,=,(-，求 β的值．变式1．【2014江苏】已知5sin 25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，，. （1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值．▲考向二：求值问题例2．（1）【2015课标】o o o o sin 20cos10cos160sin10=- ．（2）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝ ． 变式2：（1）【2015江苏】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ． （2）【2013课标】设θ为第二象限角，若π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+= ． （3）【2015四川】=+ 75sin 15sin ．考向三：三角恒等变形的综合应用例3 ．【2015广东】在平面直角坐标系中，已知向量，，． （1）若，求tan x 的值； （2）若与的夹角为，求的值．变式3．设向量()()3sin ,sin ,cos,sinx ,0,2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦．（1=x 的值；（2）设函数b a x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值．例4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a，b ，c ，135=C ，设cos cos A B =， 2cos()cos()cos 5A B ααα++=，求tan α的值．变式4．【2014四川】已知函数()sin(3)4f x x π=+．若α是第二象限角4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值．例5．（1）已知()2tan 5αβ+=，π1tan 44β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求tan α的值； （2）已知α，β均为锐角，且()cos αβ+=，()sin αβ-=，求2β．期末复习专题四成都玉林中学高2020级期末复习 解三角形【知识梳理】1．正弦定理： （其中R 为ABC ∆外接圆的半径）.⇔ （边化角）⇔ （角化边）⇔ （边与角的关系）⇔ （等比性质）用途：⑴ ．⑵ ．2．余弦定理：（1） （2）变形：（角化边）用途：⑴ ．⑵ ． 做题中两个定理经常结合使用. 3．三角形面积公式：ABC S ∆= = = = ．4．三角形内角和定理：在ABC ∆中，有A B C π++=，则sin C = sin 2C⇔= ． 常用结论：（1）在ABC ∆中，①a b >⇔ ⇔ ．②若sin 2sin 2,A B =则 ．特别注意，在三角函数中，sin sin A B A B >⇔>不成立.（2）在△ABC 中，最小内角范围为 ，最大内角范围为 ． （3）若2b a c =+，则角B 的范围为 ． （4）若2b ac =，则角B 的范围为 ． （5）若,,A B C 成等差数列，则B = ．【典型例题】考向一：求解三角形中的角例1．（1）已知ABC ∆满足sin sin 2sin sin a A c C C b B +-=，则角B = ．（2）已知ABC ∆中2222sin ,3c b C a b c bc ==+-，则角C = ．变式1．在ABC ∆满足cos 20cos B a bC c c++=，则角C = ． ▲考向二：求解三角形的边与面积例2．（1）【2015福建】若锐角ABC ∆的面积为103，且5,8AB AC ==，则BC 等于 ．（2）【2014福建】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC ===，则ABC ∆的面积等于 ．变式2．（1）【2014课标】在钝角ABC ∆中，3,1,30AB AC B ===，则ABC ∆的面积为 ．（2）【2015天津】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 ．▲考向三：三角恒等变形在解三角形中的应用例3．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2cos cos b c Ca A-=. （I ）求角A 的大小；（II ）求函数3sin 6y B C π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的值域．变式3．【2016课标】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若7,c ABC =∆33求ABC 的周长．考向四：向量在解三角形中的应用例4．在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2sin 3sin C A =，7tan 3A =． （I ）求cos ,cosBC 的值； （II ）若227BA BC ⋅=，求b 的值．变式4：【2013四川】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （I ）求cos A 的值；（II ）若42a =，5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．考向五：正、余弦定理的实际应用例5．【2014湖南】如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===.（I ）求cos CAD ∠的值；（II ）若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.变式5．（1）如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m ．（2）【2015湖北】如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝ m ．期末复习专题五成都玉林中学高2020级期末复习 平面向量● 10个基本概念 1．向量与数量 2．向量的长度（或模） 3．向量的表示方法 4．零向量与单位向量 5．平行向量（或共线向量） 6．相等向量与相反向量 7．向量的加法与减法：三角形加法法则和平行四边形加法法则、 三角形减法法则.a b ≤+≤ . a b ≤-≤ . 8．向量的数乘：规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做 .记作： ，它的长度和方向规定如下：⑴a λ= .⑵当 时, a λ的方向与a 的方向相同；当时,a λ的方向与a 的方向相反.9．向量的数量积、夹角与投影：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或內积），记作： .其中θ是a 与b 的夹角， 叫做向量a 在b 方向上的投影， 叫做向量b 在a 方向上的投影. 注意： ||a b ⋅≤ . 10．基底与向量的坐标表示：a xi y j =+= . ● 两个定理：共线定理和平面向量的基本定理平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 . 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使 .● 4个运算 ：加法、减法、数乘和数量积运算 ● 10个公式：1．已知()()2211,,,y x b y x a ==（1）a b += .（2）a b -= ，（3）a λ= ，（4）//a b ⇔ ⇔ . （5）a b ⊥⇔⇔ .（6）a b ⋅= = .（7）cos ,a b <>== .（8）2a ==⇔a = .2．设()()2211,,,y x B y x A ，则：（9）AB = .3．设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，（10）.则①线段AB 中点坐标为 .②△ABC 的重心坐标为 .● 向量中一些常用的结论（1）PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔点P 为ABC ∆的 ； （2）0PA PB PC ++=⇔点P 为ABC ∆的 ； （3）向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的 ；（4） PA PB PC 、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得 且 ； 【典型例题】考向一：平面向量的概念及其线性运算 例1：下列命题正确的是（ ） A ．若a b b c ⋅=⋅，则c a = B ．||||b a b a -=+，则0a b ⋅=C ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=跟踪训练1：给出下列结论：①若0,0a a b ≠⋅=，则0b =；②若a b b c ⋅=⋅，则a c =；③()a b c ⋅⋅=()b c a ⋅⋅；④()()a a λμμλ=其中正确的结论有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 考向二：平面向量的线性运算及其数量积运算（代数）例2：（1）【2015课标】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． （2）【2015陕西】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-（3）【2015安徽】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =B ．a b ⊥C ．1a b ⋅=D ．()4C a b +⊥B（4）【2015课标】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 跟踪训练2：（1）【2017山东】已知12,e e12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .（2）【2017天津】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 .（3）【2014天津，理8】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BEBC ，DF DC ．若1AE AF ，23CE CF，则 （ ） A ．12 B ．23 C ．56 D ．712考向三：平面向量的线性运算及其数量及运算（坐标）例3：（1）【2014福建】在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ）A ．)2,1(),0,0(21==e eB ．)2,5(),2,1(21-=-=e eC ．)10,6(),5,3(21==e eD ．)3,2(),3,2(21-=-=e e（2）设R y x ∈,，向量)1,(x a =，),1(y b =，)4,2(-=c ，且c a ⊥，c b //，则=+||b a （ ）A ．10B ．5C ．52D ．10跟踪训练3：（1） 【2014重庆】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.152（2）【2014四川，理7】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 （3）【2016课标】已知向量1(,22BA = ，31()22BC = ，则ABC ∠=（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒考向四：平面向量中坐标法的应用例4：（1）【2014江苏】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,CP PD =2AP BP ⋅=则AB AD ⋅的值是 .AD C BP（2）【2017课标】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-跟踪训练4：（1）【2015北京】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB yAC =+，则x =；y = ．（2）【2015四川】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6考向五：平面向量与三角函数综合问题例5：已知向量()()()cos ,sin ,cos ,sin ,sin 2sin ,cos 2cos a b x x c x x αααα===++，其中，0x απ<<<．（I ）若4πα=，求函数()f x b c =⋅的最小值及相应x 的值；（II ）若a 与b 的夹角为3π，且a c ⊥，求tan 2α的值．跟踪训练5：【2013江苏】已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π． （I ）若|a －b |，求证：a ⊥b ； （II ）设c ＝(0,1)，若a b +＝c ，求α，β的值．期末复习专题六成都玉林中学高2020级期末复习 不等式知识点一 “三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x 轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点． 解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化． 知识点二 规划问题1．简述规划问题的求解步骤： ． 知识点三 基本不等式1．（非负性）2,a R a ∈ 0；2．（重要不等式）()20a b -≥⇔ ，当且仅当b a =时，等号成立．ab b a b a b a 222222≥≥+=+，当且仅当b a =时，等号成立．3．（均值不等式）当0,0>>b a 时，a b +≥ ⇔ ，当且仅当 时，等号成立．①注意使用均值不等式时要三步走：一正、二定、三相等②在利用均值不等式时要注意方法：（1）拆（2）凑（3）“1”的代换类型一“三个二次”之间的关系例1：设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围.类型二规划问题例2：某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．类型三利用基本不等式求最值例3：设f(x)＝50xx 2＋1．(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值．例4：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？练习：1．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________．2．设x，y都是正数，且1x＋2y＝3，则2x＋y的最小值为________．3．设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤3，x－y≥－1，y≥1，则目标函数z＝4x＋2y的最大值为()A.12B.10C.8D.24．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为{x|－2<x<－14}，则a＋b等于()A.－18B.8C.－13D.15．设a>b>0，则a2＋1ab＋1a a－b的最小值是()A.1B.2C.3D.46．已知变量x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，则z＝2x＋y的最大值为，最小值．7．已知函数2()(8),f x ax b x a ab=+---不等式()0f x>的解集为{}32.x x-<<（1）求函数()y f x=的解析式．（2）当关于的x的不等式20ax bx c++≤的解集为R时，求c的取值范围．8．已知()()214f x a x x b =--+，若不等式()0f x >的解集是{}|31x x -<<．（1）求实数,a b 的值； （2）解关于x 的不等式()2212036ax c x bc +-->，c R ∈．9．解关于x 的不等式101ax x -<+（a R ∈）．10．已知定义在R 上的函数2()(3)2(1)f x x a x a =--+-(其中a R ∈). （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若不等式()3f x x ≥-对任意2x >恒成立，求a 的取值范围．11．已知函数()()2,1ax bf x a b x -=∈-R . （1）若关于x 的不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，求()0f x <解集； （2）若12a =，解不等式()0f x >的解集.12．解不等式(2)1()1a x a x ->∈-R ．。
向量三角不等式的应用
向量三角不等式的应用嘿，朋友们，今天咱们聊聊一个数学话题，听起来可能有点严肃，不过放心，我会让这趟旅程轻松愉快。
你知道什么是向量三角不等式吗？别害怕，听我慢慢道来。
这玩意儿说白了就是在告诉我们，三角形的两条边加起来的长度，总是大于等于第三条边的长度。
好吧，听上去有点儿抽象，咱们把它形象化一下。
想象一下，你和小伙伴们在公园里玩，哎，突然你们决定要去冰淇淋摊。
你们从一边出发，沿着小路走，另一边的小伙伴也想插队，结果两条路线都是弯弯曲曲的，最后在冰淇淋摊前会合。
向量三角不等式在这里就像你们的导航，告诉你们，从各自出发的路线加起来，总会比直接走的更长。
这个道理其实很简单，就像咱们说的“好事成双”一样，路越走越远，最后结果肯定是多多益善。
再来一则故事，想象你在海滩上，跟朋友一起追逐海浪。
你们各自跳起来，冲向水里，结果碰到一起。
此时，三角形的每一条边就像你们奔跑的轨迹。
你看，虽然你们的路径各不相同，但如果用向量来表示，两个边加起来，肯定能比那条直接的线长。
就像“天下没有白吃的午餐”一样，直线虽然省力，但往往不如绕一下来的滋味好。
现在聊聊生活中的小例子，想象你正忙着给朋友们订晚餐。
你在不同的地方打电话、发信息，最终每个人都选了不同的菜。
你把所有的订单加起来，最后发现自己要跑的地方比想象中多得多。
此时，向量三角不等式又在暗中助你一臂之力，让你明白，从一个地方到另一个地方，绕路其实没那么糟糕。
就像咱们常说的“远亲不如近邻”，有时候费点力，最后的结果却是美味的晚餐。
我们再聊聊运动。
篮球赛上，你看到球员们传球、投篮，每个动作都像是一个个向量。
两个球员之间的传球距离，加上他们各自的位置，合起来一定会比你想象中的更复杂。
这就好比“牛头不对马嘴”，要想打出漂亮的配合，必须得明白这些向量之间的关系。
反正就是，三角不等式在这里也能帮助你，教你如何更好地配合，最终达成目标。
向量三角不等式其实不只是数学里的一个公式，它还在生活中潜移默化地影响着我们。
三角不等式的数学知识点
三角不等式的数学知识点
关于三角不等式的数学知识点
数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
下面是店铺收集整理的关于三角不等式的数学知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。
三角不等式要领：在三角形中，必然有两边之和大于第三边，即为三角不等式。
三角不等式
三角不等式还有以下推论：两条相交线段AB、CD，必有AC+BD 小于AB+CD。
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| (定理)，也称为三角不等式。
加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的'三角不等式(其中a，b分别为向量a和向量b)
将三角函数的性质融入不等式.
如:当X在(0,90*)时,有sinx
等式成立的条件：
|a|-|b| = |a+b| = |a|+|b|
左边等式成立的条件：ab≤0且|a|≥|b| 右边等式成立的条件：ab≥0
|a|-|b| = |a-b| = |a|+|b|
左边等式成立的条件：ab≥0且|a|≥|b| 右边等式成立的条件：ab≤0
和差化积
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
知识总结：三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论，包括广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会
用这一不等式导出不等关系。
高考数学高中数学知识点不等式与三角、向量综合难点专项研究
专题14: 不等式与三角、向量综合专项研究类型一:不等式与三角一､高考回顾1．(16年江苏) 在锐角三角形ABC ∆，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是___________． 分析与解：由sin A ＝2sin B sin C ，可得sin(B ＋C )＝2sin B sin C ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同时除以cos B cos C 可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，考虑消元，根据条件得到了B ，C 所满足的关系，因此可将tan A tan B tan C 中的A 消去， 因此有tan A tan B tan C ＝－tan B tan C tan(B ＋C )＝(tan B ＋tan C )tan B tan Ctan B tan C －1，再由tan B ＋tan C ＝2tan B tan C 可得：tan A tan B tan C ＝2(tan B tan C )2tan B tan C －1，至此，消去了A ，继续利用B ，C 满足的关系tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，可以消去B 或者C 转化为一元函数，再求解，注意观察，可以将tan B tan C 看作一整体，这样求解就变得简单了，设tan B tan C ＝t (t ＞1)，则tan A tan B tan C ＝2t 2t －1＝2(t －1＋1t －1＋2)≥8．于是tan A tan B tan C 最小值为8，当然得到关于t 的函数后，也可以利用导数求最小值．如果能注意到在锐角三角形ABC ∆中有如下恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ， 考虑整体有：tan A tan B tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， 解得tan A tan B tan C ≥8，可以检验等号能取到，故tan A tan B tan C 的最小值是8． 二､方法联想三角与基本不等式综合求最值，需要注意三角的恒等变换以及变换后能够运用基本不等式的恰当变形．“代入消元”是常见的处理方法，“整体处理”较为灵活，往往能简化解题过程．三､归类研究1．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是___________． 答案：6－24． 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，b 2－c 2＝1，则cos A 的最小值是___________． 3．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是___________． 答案：24．4．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2－a 2＝ac ，则3tan A －4tan B 的最小值___________．答案：22．5．在△ABC 中，3sin 2B ＋7sin 2C ＝2sin A sin B sin C ＋2sin 2A ，则sin(A ＋π4)的值是 ．答案：－1010．FEDC BA类型二:不等式与向量一､高考回顾1．(15年天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°．点E 和点F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为____________．分析与解：解决向量问题有两种选择，第一是：选择恰当的基底，进行向量运算．第二是：建立恰当的坐标系，进行坐标运算．方法1：选择AB →，AD →作为一组基底，易知AB →2＝4，AD →2＝1，AB →·AD →＝1， AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(－AB →＋AD →＋12AB →)＝(1－12λ)AB →＋λAD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋19λDC →＝118λAB →＋AD →，于是AE →·AF →＝[(1－12λ)AB →＋λAD →]·(118λAB →＋AD →)＝118λ(1－12λ)AB →2＋(1918－12λ)AB →·AD →＋λAD →2＝12λ＋29λ＋1718≥2918(当λ＝23时取等号)，所以AE →·AF →的最小值为2918．方法2：建立如图所示的直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (32，32)，D (12，32)，根据BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，可以求得E (2－λ2，32λ)，F (19λ＋12，32)于是AE →·AF →＝(2－λ2)(19λ＋12)＋32λ×32＝＝12λ＋29λ＋1718≥2918．二､方法联想向量与基本不等式综合求最值，两类问题：一类是建立关于数量积的函数后直接运用基本不等式求最值，另一类是：将关于向量的已知条件转化为代数恒等式，再利用该恒等式求某一代数式或某数量积的最值．解决这两类问题的关键是能够熟练的在两个体系下解决向量的相关运算．三､归类研究1．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若P 点△ABC 所在平面内一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值是___________．答案：13．2．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，记|AD →|＝m ，|BC →|＝n ，若AB →·AC →＝1，则1m 2－1n 2的最大值是__________．答案：14．3．以C 为钝角的△ABC 中，BC ＝3，→BA ·→BC ＝12，当角A 最大时，△ABC 面积为__________． 答案：3．4．已知平面向量a ，b 不共线，且满足条件|a |＝1，|a ＋2b |＝1，则|b |＋|a ＋b |的取值范围是__________． 答案： (1，2]．5．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点（不包括端点），若AC →＝λAM →＋μAN →，则1λ＋3μ的最小值为 ．b a ＝y x ，答案：274．类型三:含多个变量的不等式问题一､高考回顾1．(12江苏)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则ba 的取值范围是 ．分析与解：由5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c 可得：5－3a c ≤b c ≤4－a c ，ln b c ≥ac ，设a c ＝x ，bc＝y ，则有5－3x ≤y ≤4－x ，y ≥e x ，作出该不等式组构成的平面区域(如图所示)， 当直线y ＝kx 与y ＝e x相切于点M 时，b a ＝y x 最小，容易求得M (1，e)，因此b a 的最小值是e ，,当y ＝kx 过点N (12，72)时，ba 最大，最大值为7，所以ba 的取值范围是[1，e]．二､方法联想含有多个变量的不等式问题，两种处理方法：一是消元（包括等量替换、不等替换）．二是减元，例如高考回顾中问题用的就是减元的方法，这种减元的方法也是常用的，务必掌握．三､归类研究1．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值是___________．答案：43．提示：减元，4x 4x ＋y ＋y x ＋y＝44＋y x ＋y x1＋y x ＝44＋t ＋t 1＋t ，其中t ＝y x ．2．设a ，b ，c 是正实数，满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b 的最小值为___________．答案：2－12．提示：消元(不等替换)、减元，b c ＋c a ＋b ≥b c ＋c (b ＋c )＋b ＝b c ＋c 2b ＋c ＝b c ＋12b c ＋1＝t ＋12t ＋1，其中t ＝b c ．3．若不等式x 2＋xy ≤a (x 2＋y 2)对任意的正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值是___________． 答案：2＋12． 4．已知实数a 、b 、c 满足条件0≤a ＋c －2b ≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a －2b2c 的取值范围是_________．答案：[－14，5－172]．5．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ≤5c ，3a ＋4b ≤5c ，则a ＋3b c 的取值范围是____________． 答案：[275，7]．。
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第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=02．函数y =sin x 的图象按向量a =（32π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +23．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为．4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN u u u u r u u u r与的夹角余弦值为 ．四、典型例题例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 32=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π例3 设向量a r ＝(sin x ，cos x )，b r ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a r ·(a r ＋b r)．使不等式f (x )≥23成立的x 的取值集合为 ．例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u u r+的最小值是 ．例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |=,5求cos()28θπ+的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习1．已知i r ，j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，且||||a b r r与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）),21(+∞ （B ）)21,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)21,(-∞2．在直角坐标系中，O 是原点，OQ =(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）263．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 （ ）（A ）[0，6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,]33ππ （D ）[,]6ππ 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=u u u r u u u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ的取值范围是 （ ）（A ）112λ≤≤ （B ）11λ-≤≤（C ）1122λ≤≤+ （D ）1122λ-≤≤+ 5． 已知向量a r =(cos α，sin α)，b r =(cos β，sin β)，且a b ≠±r r ，那么a b +r r 与a b-r r的夹角的大小是 ．6． 已知向量].2,0[),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为32-，则λ的值为 ．7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tanC ． 8．设函数f (x )=a b ⋅r r ，其中向量a r =(2cos x ，1)，b r=(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ，n )(|m |<2π)平移后得到函数y =f (x )的图象，求实数m 、n 的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案课前训练部分1.C2.D3.4.1517典型例题部分例1 A例2 1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.例3 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:-2.例5 （Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+,1,1b a c a ∴b =c =1－a , ∴f (x )=a +2(1－a )sin(2x +4π).∵x∈［0,4π］, ∴2x +4π∈［4π,4π3］.当1－a ＞0时，由a +2(1－a )=22－1, 解得a =－1; 当1－a ＜0时， a +2(1－a )·22=22－1,无解; 当1－a =0时，a =22－1，相矛盾. 综上可知a =－1. ∴f (x )=－1+22sin(2x +4π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数，将g (x )的图象向左平移8π个单位，再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此，将f (x )的图象向右平移8π个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8π，1)是满足条件的一个向量.例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r rm n +=u r r由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+- 过关练习部分1.B2.C3.B4.B 5、2π6. 217（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π= （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f (x )=a b ⋅r r ＝2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1－3，可得三角方程sin(2 x +6π)=－23．∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π． （Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c r=(m ，n )平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象，即函数y =f(x)的图象.由（１）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m |<2π，∴12m π=-， 1.n =。