06 第6章 轴和梁的刚度设计

6.1 拉压应力及强度设计
6.1.1 轴向变形与胡克定律
FP
FP
线变形 l l1 l
l1
线应变
l l
胡克定律 只 要 p 则应力和应变成线性正比例关系：
E FN l FN l
A
EA
6.1 拉压应力及强度设计
6.1.2 横向变形与泊松比
变形，但由于BC段的变形，从 而有位移。
变形和位移没有必然的 关系，
位移是梁各部分变形累 加的结果，
取决于杆件的变形量和 杆件受到的外部约束或 杆件之间的相互约束。
6.1 拉压应力及强度设计
6.1.3位移
2、以切代弧法求桁架节点的位移
位移在数值上取决于杆件的变形量和杆件受到的 外部约束或杆件之间的相互约束。
FP
b
b1
FP
l1
横向变形 b b1 b l l1 l
横向应变 ' b l
当


时
p
,

'
b
l
横向应变与线应变
'
总同时产生、符号总相反
6.1 拉压应力及强度设计
表6-1 几种常用材料的E和μ值
材料
低碳钢 合金钢 灰铸铁 铜及其合金 铝合金
FN1
FP
FN 2 x
FN 2 cos +FN1 0 FN 2 sin Fp 0
FN1 45kN (拉 )
FN 2 75kN (压 )
2）求杆件变形
l 1 .2 m

C
3 4
D
B FP
l1

FN 1 l1 E1 A1

45 103 1.2 200 109 314 106
E（GPa）
196 ~ 216 186 ~216 78.5 ~ 157 72.6 ~ 128
70
μ
0.25 ~0.33 0.24 ~ 0.33 0.23 ~ 0.27 0.31 ~ 0.42
0.33
例6-1变截面杆如图所示。已知：A1 = 8cm2，A2 =
4cm2，E = 200GPa。
求杆件的总伸长l。
40kN
A2 2 60kN
A1 1
20kN
2
200
200 1
解：(a) 求内力。用截面法求出截面1-1、2-2
杆的内力
FN1 20kN FN 2 40kN
(b) 求杆件的总伸长。由虎克定律可得
l FN1L1 FN2L2 20103 200 40103 200 0.075mm
2、扭转变形的刚度条件
（2）对于扭矩是分段 常量的阶梯形截面圆轴 ，其刚度条件是
B
以 切 代
l1

l2 A2
弧 法
C

l2
Al1A
' A1
A
【例6.2】 图示为一简单托架。杆BC为圆钢，横截面直 径d＝20mm，杆BD为8号槽钢。若E=200GPa，FP ＝60kN，试求节点B的位移。
l 1 .2 m

C
3 4
B FP 解：1）受力分析
y
FN1
FP
FN 2 x
D
y
0.86mm（ 伸 长 ）
l2

FN 2 l2 E2 A2

0.732 m m（ 压 缩 ）
Байду номын сангаас
3）以切代弧法求水平和铅直位移
y
u B l1 0 .8 6 m m
B

l1 B1
uB
x
vB B1 B4 B3 B4
l2
l2 sin B2B4ctg
B2
n

Tili
i1 GI pi

6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件
2、扭转变形的刚度条件
T
T
（1）扭矩是常量的等 A 截面圆轴，扭转变形的
刚度条件
B
m ax
Tmax GIP
≤

(rad/m)
m ax
Tmax GIP
180 ≤

(°/m)

6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件
本章主要从拉压变形、扭转变形、和弯曲变形 三种变形分析构件的变形情况，并建立相应的 刚度准则，供实际设计时应用。
第六章 轴和梁的刚度设计
6.1 拉压应力及强度设计 6.2 扭转刚度设计 6.3 弯曲变形 6.4 典型工程案例的编程解决 6.5团队合作解决工程问题
6.1 拉压应力及强度设计
6.1.1 轴向变形与胡克定律 16.1.2 横向变形与泊松比 26.1.3 位移
结构节点的位移是指 节点位置改变的直线距离或一段方向改变的角度。
变形量
变形图
位移值
计算节点 所连各杆 的变形量
结构的变形图： 根据变形相容 条件作出位移图
根据位移图 几何关系 计算出位移值
6.1 拉压应力及强度设计
6.1.3位移
2、以切代弧法求桁架节点的位移
位移在数值上取决于杆件的变形量和杆件受到的 外部约束或杆件之间的相互约束。
LOGO
第六章 轴和梁的刚度设计
第六章 轴和梁的刚度设计
在工程实际中，即使强度安全，但如果因外力引起的 变形超过某界限值，则构件也可能发生破坏。
可见，为确保构件的刚度安全，需要对构件的变形进 行研究，从而进度刚度设计，以保障其刚度安全。
第六章 轴和梁的刚度设计
本章将从微观角度，对构件进行受力分析。
1、当圆轴发生扭转时，其变形程度用扭转角 衡量
T A
T
B
d T
dx GIp
d Tdx
GIp
GIp ————
圆轴的抗扭刚度
d l T d Tl
l
0 GIp
GIp
如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则 式(6-12)的积分可以写成分段求和的形式， 即圆轴两端面之间的扭转角是
EA1 EA2
200103 800 200103 400
无变形 无位移
6.1 拉压应力及强度设计
6.1.3位移
有变形 有位移
1、直杆截面的位移
无变形 有位移
由轴力图可见： • CD段没有轴力，没有发生拉伸
变形，没有位移； • BC段有轴力，发生拉伸变形，
有位移； • AB段没有轴力，没有发生拉伸
vB
B4
l2 sin l2 cos l1 ctg


l2

4 5


l2

3 5

l1


3 4
B3
1.56mm
B B3 (B1B3 )2 (B B1 )2 1.78 10 3 m

6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件
在工程上，对于发生扭转变形的圆轴，除了要考虑圆轴不发生破坏的 强度条件之外，还要注意扭转变形问题，以最大程度确保构件不发生失 效等工程要求。