《大学物理简明教程》课后习题答案(全)之欧阳光明创编

《大学物理简明教程》习题解答

欧阳光明（2021.03.07）

习题一

1-1｜r ∆｜与r ∆有无不同?t

d d r 和t

d d r 有无不同?t

d d v

和t

d d v 有无不同?其

不同在哪里?试举例说明．

解：（1）r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即r ∆12r r -=，

12r r r

-=∆；

（2）

t

d d r 是速度的模，即

t d d r ==v t

s d d .

t

r d d 只是速度在径向上的分量.

∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则t ˆr ˆt r t d d d d d d r r

r += 式中t

r

d d 就是速度径向上的分量，

∴

t r t d d d d 与r 不同如题

1-1图所示.

题1-1图

(3)t

d d v 表示加速度的模，即

t v a d d

=

，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有

ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 式中dt dv

就是加速度的切向分量.

(t t r d ˆd d ˆd τ 与

的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)

1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加

速度时，有人先求出r ＝2

2y x +，然后根据v =t

r

d d ，及a ＝2

2d d t

r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

v =

2

2d d d d ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =2

22222d d d d ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x

你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标

系中，有j y i x r

+=， 故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

其二，可能是将2

2d d d d t

r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明

t

r

d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，2

2d d t r

也不是

加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2

22d d d d t r t r a θ径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r

在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r

及速度v

的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =21

t 2+3t -4.

式中t 以 s 计，x ,y 以

m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量

的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

解：（1）

j

t t i t r

)4321()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有

(3)∵j i r j j r 1617,4540

+=-= ∴1

04s m 534201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j

i r r t r v (4) 1

s m )3(3d d -⋅++==j t i t r v 则j i v 734+=1

s m -⋅

(5)∵j i v j i v

73,3340+=+=

(6) 2

s m 1d d -⋅==j t v a

这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以0v (m ·1

-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解：设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 将上式对时间t 求导，得

t

s s t l l

d d 2d d 2=题1-4图

根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的， ∴t s

v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳 即θ

cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-=船

或

s

v s h s lv v 0

2/1220)(+==船

将船v 再对t 求导，即得船的加速度

1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为a ＝2+62

x ，a 的单位

为2

s m -⋅，x 的单位为 m.质点在x ＝0处，速度为101s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度值．

解：∵

x

v v t x x v t v a d d d d d d d d ===

分离变量：x x adx d )62(d 2

+==υυ

两边积分得c

x x v ++=32

2221

由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c

∴1

3

s m 252-⋅++=x x v

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为a ＝4+3t 2

s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置．