逐次超松弛迭代法

(3．7)
图6.1
12
我们在 (x, y) 平面上作两组平行直线
x x0 ih, y y0 jh i, j 0,1,2,
(3.8)
(x0 , y0 ) 是平面 (x, y) 上的任意一点，通常取 (x0 , y0 ) 为坐标原点， h( 0) 称为步长．这样，整
个平面就被这两组平行直线构成的正方形网格所覆盖，所讨论的区域 G+P 可被有限个正
x1(k )
1 (4 5
x (k 1) 2
x (k 1) 3
x4(k 1) )
x2(k )
1 10
(12
x1(k
)
x (k 1) 3
x (k 1) 4
)
x3(k )
1 (8 5
x1(k )
x2(k )
x4(k 1) )
x4(k )
1 (34 10
x1(k )
x2(k )
x3(k ) )
k 1,2,
输出 近似解 x1, x2 ,xn 或迭代次数超过 m 的信息．
step 1 对 k 1,, n 做 step2—4．
step 2 对 i 1,2,, n
step 3 step 4
i 1
n
(bi aij x j aij xoj
xi (1 )x0i
j 1
j i 1
若 x x0 TOL ，则输出 (x1,, xn ) ；停机．
图表6.2
5
从表6．2得到
x6x
5.5 61 04
算法6．3 应用SOR方法解方程组 Axb
输人 方程组的阶数 n ； A 的元素 aij (i, j 1,, n) ；b 的分量 bi (i 1,, n) ；初始向量 x0 的分量
x0i (i 1,, n) ；参数 ；容限TOL；最大迭代次数 m
x3(k )
0.24 x1(k )
0.24 x2(k )
0.2x3(k 1)
0.24
x
(k 4
1)
1.92
x4(k ) 0.12 x1(k ) 0.12 x2(k ) 0.12 x3(k ) 0.2x4(k1) 4.08
k 1,2
取初始得量 x0 0,0,0,0T ，迭代六次得结果见表 6.2．
(T ) 1 其中 T 是 SOR 方法的迭代矩阵．
定理 2 设方程组 Ax b 的系数矩阵 A 的主对角元素 aij 0,i 1,, n ，则 SOR 方法 的迭代矩阵了。的谱半径大于等于 1 ，即
(T ) 1
且 SOR 方法收敛的必要条件是
0 2
证明 由(3．5)式，有
(3．6)
立解方程组 Ax b 的遥次超松弛迭代法(SOR 方法)
~xi(k)
1 aii
(bi
i 1
aij
x
(k j
)
j 1
n
a x (k 1) ij j
j i1
xi(k )
x (k 1) i
(~xi(k )
x (k 1) i
)
(3.1)
i 1,2,, n
这里，引入一个中间量
~xi(k ) 和一个加速收敛的参数
例如， i 1W1, a2,1 1 0,2 W2 , a14 1 0,4 W2 , i 2 W2 , a21 1 0 1W1, a23 1 0,3 W3
因此矩阵 A 具有相容次序．
定义3
给定一个 n 阶矩阵 A aij ，记W 1,2,, n．若存在W 的两个不相交的子集 S1, S2 使得
因此 2 1
q (q )2 (q )2 q(2 )(2 q) 0 ，
从而
(T ) 1．
故 SOR 方法收敛．
9
当 1时，SOR 方法就是 Gauss—Seidel 迭代法．因此，若且是对称正定矩阵，则 Gauss—
Seidel 迭代法亦收敛． 例 2 容易验证例 1 的线性方程组的系数矩阵是对称正定的．因此，对于解这个方程
其中
Tw (I L)1 ((1 )I U ) (3．5)
它是 SOR 方法的迭代矩阵．特别，若取 1，则 T1 (I L)1U 是 Gauss-Seidel 迭代法的
迭代矩阵．
若将矩阵 A 分裂成
A 1 (D DL) 1 ((1 )D DU ), 0
按§1 所述的建立相容迭代法的方法，立即可得 SOR 方法．因此，SOR 方法与方程组 Ax b 是完
~xi(k)
aii
(bi
i 1
aij
x
(k j
)
j 1
n
aij
x
(k j
1)
)
(1
)
xi(
k
1)
j i1
i 1,2,, n, k 1,2 (3．2)
上式的矩阵表示形式是
或者
xk (Lxk Ux k1 D 1b) (1 )xk1 (3．3)
xk T xk1 (I L)1 D 1b (3．4)
deTt()detI((L)1)de1t ( ()IU) de1t ( ()IU)
(1)n
7
从 (T ) 1 而，迭代矩阵了-的所有特征值之积等于 (1 )n ．因此有 (T ) 1
据定理 1，若 SOR 方法收敛，则 (T ) 1，因此 1 1．由于。取实数，故有 0 2
定理 2 说明，若要 SOR 方法收敛，必须选取松弛因子 ，使 (0,2) ．但当 (0,2) 时，未必
号次序列方程．于是，由(3.9)式便得到方程组
图6.2
14
4 u 11 u 21 u 01 u 12 u 10 0
4
u
21
u 31
u 11
u 22
u 20
0
4 4
u u
31 41
u 41 u 51
A D DL DU
又因假设 A 是对称正定的，因此 DU (DL)T
x H DUx x H (DL)T x (x H DLx ) H i
q 0
从而有
于是
x H Ax x H (D DL DU )x q 2 0
qqi qi
2q(q( q )2) 2 2 222
由假设 0 2 ，有
对任何线性方程组，SOR 方法都收敛．
定理 3 若线性方程组 Ax b 的系数矩阵 A 是对称正定的，则 0 2 当时，SOR 方法收敛．
证明
设 是 SOR 方法的迭代矩阵
Tw (I L)1 ((1 )I U ) 的任意一个特征值， x 为与其相应的特征向量，则有等式
(I L)1((1 )I U )x x
就例 3，取 S1 1,3， S2 2,4，易知它们满足定义 3 中的条件(1)和(2)．因此例 1 的矩阵 A
具有性质 A ．
例4
考虑 (x, y) 平面的区域 G 内的 Dirichlet 问题：
2u x 2
2u y 2
0
, (x, y) G;
u f (x, y) ,(x, y)
此处 为区域 G 的边界 G ， 如图 6.1 所示．
4
取初始向量 x0 0,0,0,0T ，迭代六次得结果见表 6．1．
从表 6.1 得到 x6 x 1.022103
图表6.1
应用 SOR 方法(取 O＝1．2)的迭代公式为
x1(k )
0.2x1(k 1)
0.24
x
(k 2
1)
0.24 x3(k 1)
0.24 x4(k 1)
0.96
x2(k ) 0.12 x1(k ) 0.2x2(k1) 0.12 x3(k1) 0.12 x4(k1) 1.44
对 i 1,2,, n
x0i xi
step5 输出(‘Maximun number of iterations exceeded，)；
，我们来讨论逐次超松弛迭代法的收敛性问题．
定理 1 设方程组 Ax b 的系数矩阵 A 的主对角元素 aij 0,i 1,, n ，则 SOR 方法 收敛的充分必要条件为
组，Gauss~Seidel 迭代法收敛，并且取 1.2时，SOR 方法亦收敛．
3．3 相容次序、性质A和最佳松弛因子
我们从例 1 看到，SOR 方法收敛得快慢与松驰因子。的选择有关．松弛因子选择得好，会加快 SOR 方法的收敛速度．这一段，我们将对一类特殊的矩阵(在偏微分方程数值解法中常遇到的)， 简要地叙述最佳松弛因子如何选取的问题．
定义 1 给定一个 n 阶矩阵 A aij ，对 i j ，若或 a ji 0 ，则说 i, j 是有联系的．
定义 2 给定一个 n 阶矩阵 A aij ，记自然数集合W 1,2,,n．若存在W 的t 个
互不相交的子集W1,W2 ,,Wt 使得
(1)
t Wk W
k 1
(2) 对 i Wk ，若 i, j 有联系，则当 j i 时， j Wk1 ；当 j i 时， j Wk1 ，
u (x i,y i h ) 2 u ( h x i2 ,y i) u (x i,y i h ) ( x 2 u 2 )(x i,y i)
则有
13
2u
2u
(x2)(xi,yj)(y2)(xi,yj)
u(xi h,yi)u(xih,yi)u(xi,yj h)u(xi,yj h)4u(xi,yj) h2
(1) S1 S2 W; (2) 若 i, j 有联系，则 i, j 分别属于这两个子集， 则称矩阵 A 具有性质 A
11
注意：定义 3 中 S1 或 S2 可以是空集．若有一个是空集，则矩阵 A 必为对角阵．从定义 3 还 可看到，若矩阵 A 具有性质 A ，则属于同一子集的元素之间没有联系，即若 i, j S1 ：或i, j S2 ， 则 aij 0 或 a ji 0