离散型随机变量的分布列综合题精选(附答案)

离散型随机变量的分布列综合题精选（附答案）

1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。

（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从

盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是

18

5

，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξξ，D E 的值。 解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，

由,18

5292

=C C n 得n=5， 故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为6

1

2924=C C

…………5分

（II ）)

1

,4(~B ξ的分布列为)4,3,2,1,0()5()1()(44===-k C k P k k k

ξ

.9

)61(4,364=-⨯==⨯=∴ξξD E

…………12分

2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。 假设每个运动员完成每个系列中的K 和D 两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K 和D 两个动作的情况如下表： 表1：甲系列 表2：乙系列 动作

K 动作 D 动作

得分 90 50 20 0 概率

10

9 10

1 10

9 10

1 现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分。

（1） 若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由。

并求其获得第一名的概率。

（2） 若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及数学期望.ξE

解.（1）应选择甲系列，因为甲系列最高可得到140分，而乙系列最高只可得到110分，不

可能得第一名。

动作 K 动作 D 动作 得分 100

80

40

10

概率

4

3

4

1 4

3 4

1

该运动员获得第一名的概率.4

343414343=⨯+⨯=p （2）ξ的可能取值有50,70,90,110。 ();10081109109110=⨯==ξp ();100

910110990=⨯==ξp ();100910110970=⨯==ξp ().100

110110150=⨯==ξp

ξ

110 90 70 50 P

100

81

100

9 100

9 100

1

3．在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：

（Ⅰ）选择题得60分的概率； （Ⅱ）选择题所得分数ξ的数学期望

解：（1）得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为

1

2

，有1道题答对的概率为

13，还有1道答对的概率为14

， 所以得分为60分的概率为： 1111

.23424

P =⋅⋅=，

。。。。。。5分 （2）依题意，该考生得分的范围为｛45，50，55，60｝. ，。。。。。。6分 得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，

所以概率为112361

.234484

P =⋅⋅== ，

。。。。。。7分 得分为50分的概率为： 212311312111

.23423423424

P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，

。。。。。。8分 同理求得得分为55分的概率为：36

.24

P = ，

。。。。。。9分 得分为60分的概率为：41

.24

P = ，

。。。。。。10分 所以得分ξ的分布列为

数学期望61605

45505560424242412

E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=

。。。。。。12分

4．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，统计结果如下表：

（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为

167

50

，求a 、b 的值． 解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，

∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为

6

0.1250

=． …………4分 （Ⅱ）由表可知“实用性”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，

且每个等级分别有5件，4b +件，15件，15件，8a +件． …………5分 ∴“实用性”得分y 的分布列为：

又∵“实用性”得分的数学期望为50

，

∴541515816712345505050505050

b a ++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………10分 ∵作品数量共有50件，∴3a b +=

解得1a =，2b =． ……………………13分

5．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.