几何学发展史简介

“几何”一词，拉丁文是geometric，其源于希腊文ycouerpua（土地测量术）。我国明末科学家徐光启（1562-1637）与意大利传教士利玛窦（R.Matteo，1553- 1610）1607年合译《几何原本》时首次采用。几何学是一门古老而崭新的数学分支，其产生可追溯到距今8000年前的新石器时代。最早始于人类生存及生产的需要，在长期生活、生产实践中，人们逐渐对图形有了一定的认识，形成了一些粗略的几何概念，归纳出一些有关图形的知识和经验，产生了初步的几何。再经历代数学家的提炼和加工，逐渐形成了一门研究现实世界空间形式，即物体形状、大小和位置关系的数学分支，进而发展成为研究一般空间结构的数学分支。

几何学的发展大致经历了4个基本阶段。

1.实验几何的形成与发展

几何学最早的产生可以用“积累几何事实，并企图建立起各个事实间的某种联系”来概括和描述。源于人们观察天体位置、丈量土地、测量容积、制造生产工具等实践活动。据考古资料记载，出土的十万年前的一些器皿上已出现的简略几何图案。相传公元前2000年前大禹治水时，就已经能够使用规和矩等绘图工具进行测量和设计工作。另外，从现存的古埃及、古巴比伦等国的史料可看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形与计算的知识。

然而，这一历史时期，尽管人们在观察实验的基础上积累了丰富的几何经验。

但在现存的史料中，未见这一时期总结出几何知识真实性的推理证明；某些计算公式仅是粗略和近似的；直至公元前7世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段，被称为实验（归纳）几何阶段。

2.理论几何的形成与发展

到了公元前7世纪，随着古埃及、古希腊之间贸易与文化的交流，埃及的几何知识逐渐传入希腊并得到巨大的发展。这一时期，人们对几何知识开始了逻辑推理与论证，古希腊的泰勒斯（Thales，约公元前625一前547）首先证明了“对顶角相等”、“等腰三角形两底角相等”、“半圆上的圆周角是直角”等，因而被人们称为第一位几何学家；毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580一前501）学派首先证明了“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体”等。特别是柏拉图（Plato，公元前427-前347）学派把形式逻辑的思想方法引入几何学，确立了缜密的定义和明晰的公理作为几何学基础。后来古希腊大数学家欧几里得（Euclid，约公元前330一前275）在前人研究的基础上，按照严密地逻辑公理系统编写成了不朽的巨著《几何原本》13卷，至此理论几何已基本形成。

尽管《几何原本》存在公理不够完善、论证有时借助于直观等不足，但它集古代数学之大成，论证严密，影响深远，所运用的公理化方法为以后的数学发展指出了方向，以至成为整个人类文明发展史上的里程碑、人类文化遗产中的瑰宝。

3.解析几何的产生与发展

公元前3世纪，《几何原本》的出现，为理论几何奠定了基础。与此同时，人们对圆锥曲线也作了一定的研究，发现了圆锥曲线的许多性质。在后来较长时间里，由于封建社会中神学占有统治地位，科学得不到应有的重视，几何学也一直没有得到突破性的进展。直到16世纪随着欧洲文艺复兴运动的发展，生产实际的需要，自然科学才得到迅速发展。法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596-1650）在研究中发现，欧氏几何过分依赖于图形，而代数又完全受公式、法则所左右，他竭力主张几何、代数结合起来取长补短，认为这是促进数学发展的一个新的途径。笛卡儿把以往对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来了，并在数学中引入了变量的概念，从而完成了数学史上一项划时代的变革——解析几何产生

了。

解析几何学的建立，大大拓广了几何学的研究内容，使研究几何的方法从单纯强调逻辑方法，到强调逻辑方法与代数方法并重，促进了几何学的进一步发展。到18、19世纪，工程、力学和测量等方面的需要，又进一步产生了画法几何、射影几何、仿射几何和微分几何等几何学的分支。

恩格斯把解析几何称为最重要的数学方法之一，高度评价了笛卡儿的革新思想：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生..…”

4.现代几何的产生与发展

自《几何原本》诞生之后，人们便不断发现其逻辑上的不严密之处，有些定义模糊不清，或使用了未经定义的概念，因而逐步充实一些新的公理。特别是人们在尝试用其他公理、公设证明第五公设“平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截线的这一侧”失败时，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的突出研究成果。

一方面，用和欧氏几何第五公设相矛盾的命题来代替第五公设，从而导致几何学研究的根本突破。俄国数学家罗巴切夫斯基（H.M.o6aueBcKM前，1792- 1856）用“在同一平面内，过直线外一点至少可作两条直线平行于已知直线”代替第五公设，由此得出一系列新理论，如“三角形内角和小于二直角”、“不存在相似而不全等的三角形”等，后人称为罗氏几何学（或双曲几何学）。而德国数学家黎曼（B.Riemann，1826—1866）用“在同一平面内，过直线外一点不存在直线平行于已知直线”代替第五公设，同样导致了一系列新理论的诞生，如“三角形内角和大于二直角”等结论，后人称为黎曼几何学（或椭圆几何学）。人们习惯上把二者并称为非欧几何学。而把欧氏几何学与非欧几何学的公共部分称为绝对几何学。另一方面，人们又对欧氏几何公理系统给予充实与完善，形成了完全合乎公理法要求的严格公理体系。这一公理体系是德国数学家希尔伯特（Hilbert，1862-

1943）1899年在他的《几何基础》一书中提出，通常称为希尔伯特几何公理体系。