分离变量-波动方程
波动方程与解法
波动方程与解法波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍波动方程的基本概念和常见的解法。
一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程，描述了波动过程中的空间和时间变化。
一维波动方程可表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u表示波函数，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是一种常见的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以被表示为时间因子T(t)和空间因子X(x)的乘积形式：u(x, t) = X(x)T(t)将波动方程代入上式后，将方程两边的变量分离，得到两个常微分方程，分别是关于时间的方程和关于空间的方程。
通过求解这两个方程，可以得到波函数的具体形式。
2. 超级位置法超级位置法是另一种常用的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以表示为两个函数之和的形式：u(x, t) = φ(x - vt) + ψ(x + vt)其中，φ和ψ是任意两个函数。
这种波函数形式常用于描述传播方向相反的两个波包或两个波的干涉。
3. 叠加原理叠加原理是波动方程解法中的重要原理。
根据叠加原理，可将多个波动方程的解叠加在一起，得到新的波函数。
利用叠加原理，可以描述出复杂的波动现象，如波的干涉和衍射。
三、波动方程的应用波动方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 机械波方程机械波的传播可以通过波动方程进行描述。
例如，弦上传播的横波和纵波可以用波动方程解析求解，从而了解波的传播速度和波形。
2. 电磁波方程电磁波的传播和干涉也可以通过波动方程进行描述。
例如，光的传播可以使用电磁波方程进行解析求解，从而了解光的折射、反射和衍射等现象。
3. 地震波方程地震波在地球内部的传播可以通过波动方程进行建模。
利用波动方程可以分析地震波的传播路径、速度和震级等特征，对地震进行研究和预测具有重要意义。
波动方程的解析求解
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
5 ch 3 分离变量法 - 波动方程
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的种基本决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振上其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：一阶非齐次的常微分方程：)dy ()(),P x y Q x dx+=它的通解为()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫解为二阶非齐次的常微分方程：y ′′′()()()P x y Q x y f x ++=它的通解为f f 21112212()y y y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中个线性12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和12,0.y y W =≠′′并且12,y y 常系数齐次的常微分方程：常系数齐次的常微分方程0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：r x r x12.y Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:()特征方程有两个等实根1().r xy A Bx e =+(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+第一节有界弦的自由振动222(0,0u u a x l t ⎧∂∂=∈>22,(,),(,0)(),(,0)(),[0,]t t x u x x u x x x l ϕψ⎪∂∂⎪⎪==∈⎨(0,)(,)0,0u t u l t t ⎪==≥⎪⎪⎩物解释一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移物理解释：根长为的弦两端固定给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.•求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =XT X T把分离形式的解代入方程可得2a ′′′′=即2()()T t X x X ′′′′=()()a T t x 以及(0)()()()0X T t X l T t ==上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为.λ−⎧从而有()()0X x X x λ′′+=⎨X (x ):(0)()0X X l ==⎩T )固有值问2()()0T t a t λ′′+=T (t ):题第二步：求固有值和固有函数的三种情况讨论固有值问题X (x )，以及T (t )的表达式(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：<其通解为情形()0λ(),X x Be λλ−−=+其解为代入边界条件可得0,A B +=A B −−−0A B ==0l l Ae Be λλ+=只有零解只有零解。
第四章分离变量法-波动方程
2 l nπ an = ∫ ϕ ( x ) sin xdx = 0 0 l l 2 l nπ bn = ∫0ψ ( x) sin l xdx nπ a
l l 2 2 nπ nπ = xdx + ∫ l (l − x) sin xdx ∫0 x sin nπ a l l 2
2l 2l 2 nπ = sin 2 2 nπ a n π 2 2
A+ B = 0 Ae
−λl
X ''( x) + λ X ( x) = 0
X (0) = 0,
X (l ) = 0
A=B=0
−λl
X =0
+ Be −
=0
2）λ = 0 3）λ > 0
A=0
X ( x) = Ax + B
A= B=0
X =0
方程通解为
X ( x) = A cos λ x + B sin λ x
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , 0 < x < l, t > 0 ∂t 2 ∂x t >0 u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) u ( x,0) = ϕ ( x), = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ∂t u ( x, t ) = X ( x )T (t ) X ′′ + λX = 0 ▪分离变量
而振幅依赖于点x的位置.
ml , m = 0,1,2,⋯ 弦上位于 x = 处的点在振动过程中保持 n
不动称为节点。这种形态的振动称为驻波。
t=t0时：
nπ un ( x, t0 ) = An cos(ωnt0 − θ n ) sin x l
柱坐标系波动方程分离变量法_范文模板及概述
柱坐标系波动方程分离变量法范文模板及概述1. 引言1.1 概述柱坐标系波动方程分离变量法是求解波动方程的一种常用方法。
在物理学和工程领域中，波动方程广泛应用于描述和预测各种波动现象，例如声波、光波、电磁波等等。
而柱坐标系是一种特殊的坐标系，在涉及到圆柱形结构或具有旋转对称性的问题中常被采用。
1.2 文章结构本文将首先介绍柱坐标系的基本概念和性质，然后简要说明波动方程及其在物理学中的重要性。
接着，我们将详细讨论分离变量法在柱坐标系下求解波动方程的原理和步骤。
随后，将逐步展示如何应用分离变量法解决径向方程和角向方程两个子问题。
在第四部分中，我们将探讨该方法存在的局限性，并提出了两种改进方法：广义分离变量法和数值求解方法。
最后，在结论与展望部分总结本文要点并探讨未来研究方向。
1.3 目的本文旨在详细介绍柱坐标系波动方程分离变量法的原理、应用步骤以及求解过程，使读者能够了解和掌握该方法在求解波动方程中的重要性和实际应用。
同时，我们也将探讨分离变量法存在的局限性，并提出两种改进方法，以便读者能够深入思考和研究其他更有效的数值解法或数学工具来处理涉及柱坐标系波动方程的问题。
2.柱坐标系波动方程分离变量法2.1 柱坐标系介绍柱坐标系是一种常见的三维坐标系，在该坐标系中，空间点由径向距离、极角和高度（或轴向距离）三个参数来确定。
柱坐标系广泛应用于涉及圆柱体或具有旋转对称性的问题的描述和分析。
2.2 波动方程简介波动方程描述了波的传播行为，是物理学中一个基本的偏微分方程。
在三维空间中，波动方程可以用来描述多个自变量下的波传播情况。
在柱坐标系中，波动方程可以表示为径向、角向和轴向变量的函数。
2.3 分离变量法原理分离变量法是一种常见而有效的数学方法，用于求解偏微分方程。
其基本思想是将多元函数拆解成几个单元函数相乘（或相加）的形式，并利用这些单元函数满足各自独立的普遍微分方程来求解整个问题。
在柱坐标系中应用分离变量法解决波动方程时，我们将待求解函数表示为一个径向部分与一个角向部分的乘积。
分离变量法在求解波动方程中的应用
分离变量法在求解波动方程中的应用作者：王平心来源：《科技视界》2021年第34期【全文】拆分变量法又称傅里叶级数法，它就是解数学物理方程定解问题的最为常用和最基本的方法之一。
该方法的基本思想就是将略偏微分方程的定求解问题转变为常微分方程的定求解问题。
将方程中所含各个变量的项拆分开去，从而将原方程拆毁分为多个更直观的只不含一个自变量的常微分方程。
它能解相当多的定求解问题，特别就是对一些常用区域上混合问题和边值问题，都可以用拆分变量法打声解。
本文将探讨拆分变量法在解波动方程中的应用领域。
【关键词】拆分变量法;波动方程;解0开场白自然界很多物理现象都可以归结为波动问题，在机械工程中经常遇到的振动问题，可归结为机械波;在船舶工业中使用的声纳，可归结为声波问题;在广播领域和光学领域，可归纳出电磁波。
他们都具有相同的数学物理基础，并且可以用一个式子表示：我们表示它为波动方程，因为它叙述了自然界的波动这种运动形式，其中△为拉普拉斯算子。
△中，变量的个数则表示波动船舶空间的维数，现实生活中的波动，通常都就是三维的。
但是为了研究便利，我们先探讨一维的波动。
分量变量法是求解数学物理方程的一种重要方法，这种方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合问题，经过变量分离，转化为求解两个或多个只含一个变量的常微分方程的初值问题，使原问题得到简化，这是一种很常用的方法。
它通常用来求解有限区域（区间）上的边值问题或初边值问题。
利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。
最后将这些通解“组装起来”。
分离变量法又称fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
1变量分离法的基本步骤第一步：边界条件齐次化。
如果关于未知函数u的混合问题中的边界条件不是齐次的，那么选取一个与u具有相同边界条件的已知函数，作变换u=v+w，代入关于u的混合问题，导出新的未知函数v的混合问题，这时v所满足的边界条件就是齐次的了。
当方程中的非齐次项与初始条件都与t无关时，可以选择合适的变换让方程与边界条件同时齐次化。
波动理论波动方程知识点总结
波动理论波动方程知识点总结波动方程是波动理论中的重要内容，研究波的传播和特性具有重要意义。
本文对波动方程的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用波动理论。
一、波动方程的基本概念波动方程是描述波的传播过程中波动量随时间和空间的变化关系的数学表达式。
一般形式为：∂²u/∂t² = v²∇²u其中，u表示波动量，t表示时间，v表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
二、波动方程的解法1. 分离变量法：将波动量u表示为时间和空间两个变量的乘积，将波动方程转化为两个偏微分方程，分别对时间和空间变量求解。
2. 化简为常微分方程：将波动方程应用于特定情境，通过适当的变换，将波动方程化简为常微分方程，再进行求解。
3. 利用傅里叶变换：将波动方程通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化为频域或复频域的代数方程，再进行求解。
三、波动方程的应用1. 声波传播：声波是由介质中的分子振动引起的机械波，通过波动方程可以描述声波在空气、水等介质中传播的特性，如声速、声强等。
2. 光波传播：光波是电磁波的一种，通过波动方程可以研究光的干涉、衍射、反射等现象，解释光的传播规律和光学器件的性质。
3. 地震波传播：地震波是地震过程中的弹性波，通过波动方程可以描述地震波在地球内部传播的规律，有助于地震监测和震害预测。
4. 电磁波传播：电磁波是由电场和磁场耦合产生的波动现象，在电磁学中应用波动方程可以研究电磁波在空间中传播的特性和应用于通信、雷达等领域。
5. 水波传播：水波是液体表面的波动现象，通过波动方程可以研究水波的传播和液面形态的变化，解释液体中的波浪、涌浪、潮汐等现象。
四、波动方程的性质和定解问题1. 唯一性：波动方程的解具有唯一性，即满足初值和边值问题的解是唯一的。
2. 叠加原理：波动方程具有线性叠加性质，一系统的波动解可以通过各个部分的波动解线性叠加而得到。
3. 边界条件：波动方程的求解需要给定适当的边界条件，例如固定端、自由端、吸收边界等，以确保解满足实际问题的物理要求。
分离变量法
1.2
分离变量法的物理意义
令 Nn =
2 A2 n + Bn ,
αn = arctan 混合问题 (1) 的解的每一项可化为 un (x, t) = Nn sin
Bn , An
nπ anπ x sin t + αn . l l
un (x, t) 是振动元素。对于弦上任意一点 x ， un (x, t) 描述了这一 anπ nπ ， 频 率 ωn (x) = ，初 点 的 简 谐 振 动 ， 其 振 幅 an (x) = Nn sin l l l n−1 相位为 αn 。于是 ，当 x = 0, , . . . , l, l 时，振幅 an (x) = 0 ；当 n n l 3l 2n − 1 x= , ,..., l 时，振幅 an (x) = ±Nn 达到最大。因此弦的振动 2n 2n 2n 可以看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 特别地，考虑定解问题 utt − a2 uxx = A (x) sin ωt, (x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞) , u (x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ [0, l] , u (0, t) = u (l, t) = 0, t ∈ [0, +∞) . x 我们可得
4
将 u (x, t) ， f (x, t) ， ϕ (x) ， ψ (x) 均按特征函数系展开：
∞
u (x, t) =
n=1 ∞
Tn (t) sin fn (t) sin
n=1 ∞
nπ x, l nπ x, l
f (x, t) = ϕ (x) =
n=1 ∞
ϕn sin ψn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
数理方程第2章波动方程
π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
17
例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
23
• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩
第二章一微波动方程的分离变量法
第二章一维波动方程的分离变量法数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第二章 一维波动方程的分离变量法第二章 一维波动方程的分离变量法引 言上一章学习的求解数理方程的方法:行波法。
其基本思路是借助常微分方程的求解方法等求解通解，再利用初始条件确定通解中的任意常数，确定数理方程中的特解。
求通解前作一维波动变换，代入泛定方程。
然能用行波法求解的问题很少，适用于求解如无界弦的自由横振动问题。
为此，对数理方程的求解还须进一步探索新的方法。
其中分离变量法就是求解数理方程的一种最常用的方法。
2.1 齐次方程混合问题的Fourier 解2 .1 .1定解问题考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动()()()()()()200,00,0,00,0,00tt xx t u a u x l t u t u l t tu x x u x x x l ϕψ⎧-= << > ⎪= , = ≤⎨⎪= , = ≤≤⎩ 其中()x ϕ，()x ψ为已知函数。
分析:方程是齐次方程，边界条件是齐次边界条件，初始条件是非齐次的。
求解：通过这道例题来体会分离变量法的精神思想。
第一步：分离变量分离变量（变量分离）如波函数()()()i x t ix i t y ae ae e X x T t ωω--===实现了变量分离。
于是我们希望求得的一微波动方程的特解只有分离变量的形式，即()()(),u x t X x T t =首先：将(),u x t 代入齐次方程，得()()()()''2''X x T t a X x T t =。
所求特解应为非零解，于是()X x ，()T t 不解为零。
两边同除以()()X x T t ，有()()()()''''21T t X x a T t X x = 等式左端只是t 的函数（与x 无关），等式右端只是x 的函数（和t 无关），于是左右两端要相等，就必须共同等于一个既与x 无关，又与t 无关的常数。
数理方程__波动方程的分析
数学与物理方程——波动方程的分析波动方程的分析摘要: 波动方程是一个二阶线性偏微分方程。
解二阶偏微分方程的主要方法是分离变量法。
在下面介绍波动方程是怎样导出来的，它的物理意义是什么，在不同的坐标系里波动方程的表达式应该怎么写，有什么边界条件，在给定的边界条件下怎么用分离变量法得到波动方程的解等等问题。
关键词: 波动方程；分离变量法；边界条件；本征方程；本征值；本征函数 1引言波动方程也可叫做波方程。
它是一种重要的偏微分方程，通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。
波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。
历史上，像乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究过，其中包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。
2波动方程的导出(1)波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的，一般来说，它适用于各向同性的均匀介质。
(2)波动方程等号两边分别是未知量y 对变量t 和对变量x 的二阶偏导数的正比函数，所以该波动方程是线性的。
之所以会得到线性方程，这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的，而这两个定律的数学表达式都是线性方程。
(3)波动方程是线性方程，则从理论上保证了波动满足叠加原理。
如果1u 和2u 都是波动方程的解，即以下两式成立2122212xu atu ∂∂=∂∂ （1）2222222xu atu ∂∂=∂∂ （2）将以上两式相加，得()()221222212xu u atu u ∂+∂=∂+∂（3）这表示，21u u +也是波动方程的解。
21u u +表示两列波的叠加。
所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理。
(4)胡克定律表示，在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。
在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的介质各部分的形变也是很小的。
波动方程的直观求解法
波动方程是物理学中的关键方程之一，解决这个问题是很重要的，但是有时候这个方程很难以理解。
在这篇文章中，我们将探讨一些直观的求解波动方程的方法。
一、分离变量法：这是求解波动方程的最常用方法之一。
分离变量意味着将变量分开，然后解决方程。
这种方法需要一定的数学知识，但是只要理解了它的原理，就可以轻松地应用它来解决波动方程。
二、超定平衡法：这种方法是通过将波特征的变化定义为超定平衡来解决波动方程的。
这种方法比较复杂，但是如果正确地应用它，就可以得到很精确的解决方案。
三、观察物理实验：物理实验可以非常直观地帮助我们理解波动方程。
通过观察实验，我们可以确定方程的一些基本要素，如波长、频率等等。
四、数值方法：数值方法是一种较为常见的解决波动方程的方法，它可以通过计算机程序来求解方程。
这种方法需要一些计算机科学和数学方面的知识，但是它可以帮助我们得到非常精确的解决方案。
五、借助解析法解决实际问题：在实际问题中，我们经常会遇到一些非常复杂的波动问题。
通过运用解析法，我们可以采用一些简单的模型来解决这些问题，这些模型可以帮助我们获得更准确和实际的结果。
总之，求解波动方程需要一定的数学和物理学知识，但是只要我们了解了基本的原理，就可以使用这些方法来得到我们需要的结果。
当然，在实际问题中，我们可能需要结合多种方法来获得最好的结果。
分离变量法求一维波动方程定解问题的一点补充
…
ｓ
（ Ｏ＜ ＜ ｚ ＞ ０） ，
Ｕ ０ ￡ ＝ ， （ ， ）一 ６ （ ， ）＝ ＝３ “ Ｚ ￡
（０ ３＋ ），，一ｉ ） （ 手， ） ｓ等 ，一 １ “ ０ ｎ （
ｊ。 。 ￡ 。 一， ） （ 一 （ ８ ） Ｉ ，一（ 手一（， ，一ｉ ０ ３＋ ）训）（）ｓ （） １ ｚ ｚ ｎ ｏ
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这样 ， 我们 就 把原 定 解 问题 化成 下 列两 个定
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉｈｅ ｒ ｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉｎ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｇ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅ Ｅｄ ｃ ｔ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｏ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ １ １２ ．
２Ｏ１ ０
科技 的进 步对社 会 发 展 的 重 要 作 用 ， 高 学 生 将 提 所学 知识应 用 于实 际 的能 力 ， 强 科 技 运 用 意 识 增 和社 会责任 感 。
１ 引 言
解 设 定解 问题 的解 为
ｕ ｘ，）一 ｖ ｘ，）＋ （ （ ￡ （ ￡ ｚ） （） ２
分离 变量法 是求 一维 波动 方程 定解 问题 的极 为重 要 的方法 ， 仅 有重 要 的 理 论 价 值 也 有 重要 不 的实践 意义 。 １ （ ）如果 是 齐 次 方 程 和 齐 次 边 界 条
代 人 （ ）的方 程得 ： １
ａ ［ ＋ 。 ］ ｓ ２ ）＋ ｉ （ ｎ
分离变量法在求解波动方程的举例
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数学物理方程课件：8.1分离变量法介绍
X (0) 0 和 X '(l) 0.
C1 0 和
C2 cos l 0
(k
1)2 2 2 l2
(2k
1)2 4l 2
2
k 0,1,2,3
X
(x)
C2
sin
(2k
1)x 2l
C.
(2k 1)2 2a2
T ''
4l 2
T 0;
T (t) Acos (2k 1)at B sin (2k 1)at ,
nat l
Bn
sin
nat l
) cos
nx l
.
n0 n 1,2,3
D.
u(x,t) A0 B0t
n1
(
An
cos
na l
t
Bn
sin
na l
t
)
cos
nx l
.
由初始条件：
u t0 (x)
A0
n1
An
sin
nx l
(x),
A0
1 l
l 0
(
)d ,
An
2 l
l 0
( ) cos n l
X
(
x)
C2
sin
nx l
：本征值
：本征函数
C2是积分常数。
X ''X 0;
：本征值方程
C.
T ''
n2 2a2 l2
T
0;
T (t) Acos nat B sin nat ,
l
l
A、B 是积分常数。
un (x,t)
( An
cos
nat l
第四章 第三节 波动方程的混合问题分离变量法(共37张PPT)
分离变量—Fourier方法 Fourier 方法，又称分离变量法，是求解偏微分方程
定 解问题的一个重要方法，本质是把偏微分方程的定解
问题通 过变量分离转化为一个特征值问题，并把它的解表示
内容
• 3.1 世纪争论 • 3.2 Fourier 解法
• 3.3 驻波法
• 3.4 Fourier变换
• 1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘 书， 1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。1817 年当选 为科学院院 士，1822 年任该院终身秘书，后又任法兰西 学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
2.1 世纪争论
• 在数学史上，关于偏微分方程的第一次真正的成功 来自对以小提琴弦为典型的弦振动问题的重新研究 ， 即考察弦发出的声音在空气中的传播。 在研究 了这种声音之后， 数学家们处理了各种形状的号角 、管风琴、铃、鼓和其他乐器发出的声音。也在这 个时期，交响音乐才得到真正的发展。
• 不同的弦乐器之所以在同一个音调下发出的声音， 就是 因为虽然它们具有同一个基音频率，它们却有着完全不 同的泛音，因此引起了音色的差异。
作业：利用COMSOL求解波动方程 2 Fourier 解法 根据分离方程和适当的齐次边界条件组成的问题， 确定分离常数的容许值。
点时，基音及所有的泛音频率就比原来的频率增加一倍， 在Daniel Bernoulli 的赞助下，Fourier 的工作解决了关于弦振动问题的解的争论。
首4 F先ou证r基i明er了变一换音维波频动方率程的解越可以高表示为．不同的弦线有粗细之分，反映了弦线在 从利而用得 F密o到ur函ier数度逆的变齐换上次得方到的程组 差异，粗弦线密度大，细弦线密度小，因此两
波动方程的分离变量法
C1 0
C2 0
结论： 0 不是本征值.
15
ⅱ.若 0 ,则 X '' x 0 ,则通解为
X x Ax B
利用边界条件：
① X 0 0 ，则 A 0 。
② X l 0 ，则 B 0 。
0 方程只有零解，所以 0 不是
0,t 0u l,t 00
x t
l,t
0
u x,0 xut x,0 x0 x l
其中 x ， x 为已知函数.
6
分析: 方程是齐次方程,边界条件是齐次 边界条件, 初始条件是非齐次的.
即本征值
n
n
l
2
,
n 1, 2,3
1
l
2
,
2
2
l
2
无穷多个
相应的本征函数就是
n
X n sin l x
18
这样求得的本征值有无穷多个, 于是将本征值, 本征函数记为
n ，Xn x .
19
第三步：求特解，并叠加出一般解。
本征值.
16
ⅲ.若 0 ,则 X '' x X x 0
特征方程为 2 0
通解为 X x Asin x Bcos x
利用边界条件：
① X 0 0 ，则 B 0
② X l 0 ，则 Asin l 0
17
因为 A 0 ,所以 l n .
3
适用于求解如无界弦的自由横振动问题. 为此,对数理方程的求解还须进一步探索 新的方法.其中分离变量法就是求解数理 方程的一种最常用的方法.
现代数学物理方程
这就是微分方程的适定性问题。
2、验证
u( x , y, t )
2
1 t x y
2 2
在锥
t x y 0
2 2 2
中都满足波动方程
u
2
t
2
u
2
x
2
u
2
y
2
.
证明：在该锥内
u t
2
(t x y )
2 2 2
3 2
t
3 2 5 2
又
sin 1 tg 1 sin 2 tg 2
u( x x , t )
.
于是得运动方程
x
u
2
t
2
g [ l ( x x )]
u( x x , t ) x
[l x ]
u( x , t ) x
u
2
[ l ( x x )] g
u( x , 0) t aF '( x at ) aG '( x at ) t 0 aF '( x ) aG '( x ) ( x ).
aF '( x ) aG '( x ) ( x ).
两边对 x 积分：
aF ( x ) aG ( x ) C
u
2
t
2
c u
2
这里c 通常是一个固定常数，代表波的传播速率。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表 示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实 物理世界中的色散现象。
（2）方程的导出 均匀弦的微小横振动 理想化假设：
分离变量-波动方程
分离变量法一波动方程预备知识——常微分方程的求解公式二阶常系数齐次常微分方程：0y py qy '''++=其特征方程为：20r pr q ++=，特征根为：12.r r ，(1)若特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r x y Ae Be =+12,,r i r i αβαβ=+=-()(cos sin ).x y x e A x B x αββ=+1().r x y A Bx e =+(2)若特征方程有两个相等的实根:齐次方程通解为：(2)若特征方程有一对共轭复数根:齐次方程通解为：预备知识——Fourier级数二、函数展开成傅里叶级数定理3 (收敛定理, 展开定理)设f (x) 是周期为2 的设周期为2l 的周期函数f(x)满足收敛定理条件,定理4.方法2],[ , )(b a x x f ∈∈+==z a z f x f z F ,)()()([]a b -,0在[]a b -,0上展成正弦或余弦级数)(z F 奇或偶式周期延拓将代入展开式a x z -=)(x f 在],[b a 即ax z -=上的正弦或余弦级数令x z a =+分离变量法分离变量法又称Fourier级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，也是最常用的方法。
这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
数学想法：把偏微分方程求解问题转化为常微分方程求解问题''''T t X x ()()()()0X x X x λ''+=⎧()()0X x X x λ''+=⎧()()0X x X x λ''+=⎧()cos sin sin n n an an n a t b t l lln ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛+⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎣⎦⎛⎫ln = 4()cos sin sin n n an an n a t b t l lln ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛+⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎣⎦⎛⎫ln = 422()()0X x X x λ''+=⎧()()0X x X x λ''+=⎧()()0X x X x λ''+=⎧()()0X x X x λ''+=⎧()()0X x X x λ''+=⎧()()0X x X x λ''+=⎧()()0X x X x λ''+=⎧。
分离变量法在求解波动方程中的应用
Science &Technology Vision科技视界0引言自然界很多物理现象都可以归结为波动问题,在机械工程中经常遇到的振动问题,可归结为机械波;在船舶工业中使用的声纳,可归结为声波问题;在广播领域和光学领域,可归纳出电磁波。
他们都具有相同的数学物理基础,并且可以用一个式子表示:ə2u ət2=a 2Δ2u+f x ,t ()我们称它为波动方程,因为它描述了自然界的波动这种运动形式,其中△为拉普拉斯算子。
△中,变量的个数表示波动船舶空间的维数,现实生活中的波动,一般都是三维的。
但是为了研究方便,我们先讨论一维的波动。
分量变量法是求解数学物理方程的一种重要方法,这种方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合问题,经过变量分离,转化为求解两个或多个只含一个变量的常微分方程的初值问题,使原问题得到简化,这是一种很常用的方法。
它通常用来求解有限区域(区间)上的边值问题或初边值问题。
利用高数知识、级数求解知识,以及其他巧妙的方法,求出各个方程的通解。
最后将这些通解“组装起来”。
分离变量法又称Fourier 方法,而在波动方程情形也称为驻波法。
1变量分离法的基本步骤第一步:边界条件齐次化。
如果关于未知函数u 的混合问题中的边界条件不是齐次的,那么选取一个与u 具有相同边界条件的已知函数,作变换u=v+w,代入关于u 的混合问题,导出新的未知函数v 的混合问题,这时v 所满足的边界条件就是齐次的了。
当方程中的非齐次项与初始条件都与t 无关时,可以选择合适的变换让方程与边界条件同时齐次化。
第二步:非齐次方程的处理。
若此时方程是非齐次的,可以利用叠加原理将问题转化一个齐次方程非齐次的初始条件与一个非齐次方程齐次初始条件的方程之和,而对齐次方程非齐次的初始条件的方程可以利用下面的步骤直接利用变量分量法,对非齐次方程齐次初始条件的方程可以利用特征函数法将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族特征函数展开进行求解。
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2 l n x dx 其中 an f ( x) cos l 0 l
( n 0 , 1, 2 , )
第三章分离变量法-波动方程
10
当函数定义在任意有限区间上时, 其傅里叶展开方法: 方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba F ( z ) f ( x) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓
方程本身和边界条件都是齐次的
第三章分离变量法-波动方程
14
第一步：分离变量 希望求得的特解具有分离变量的形式，即
u ( x, t ) X ( x)T (t )
把分离变量形式解代入方程，得
2 X ( x)T (t ) a X (x)T (t ) T (t ) X ( x) 两端除以 X ( x)T (t ) 有 2 a T (t ) X ( x) 及边界条件 X (0)T (t ) X (l )T (t ) 0
x
Be
x
,
A B 0,
Ae
l
A B0
l
Be
0
只有零解（舍）
第三章分离变量法-波动方程
17
第二步：求解固有值问题 情形二： 0 通解为 X ( x) A Bx, 代入边界条件得
X ( x ) X ( x ) 0 X (0) X (l ) 0
分离变量法一
波动方程
预备知识——常微分方程的求解公式
一阶非齐次常微分方程：
dy P( x) y Q( x), dx
通解为：
y ( x) Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx Q ( x )e dx
第三章分离变量法-波动方程
2
预备知识——常微分方程的求解公式
由此得到方程满足边界条件的变量分离的特解
k a k a k u k ( x , t ) X k ( x )Tk (t )= a k cos t bk sin t sin x l l l (k 1, 2, ) ak Bk C k , bk Bk D k ,
第三章分离变量法-波动方程
8
定理4. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 a0 n x n x f ( x) an cos bn sin 2 n 1 l l (在 f (x) 的连续点处) 其中
1 l n x an f ( x) cos d x ( n 0 , 1, 2 , ) l l l 1 l n x bn f ( x) sin dx l l l
第三章分离变量法-波动方程
20
k a k a t Dk sin t, 通解为 Tk (t ) C k cos l l
k T a T 0, (k 1,2,3, ) 2 l
2
2
2
(k 1, 2, )
所有的 u k ( x , t ) 叠加起来得一般解
u ( x , t ) X k ( x )Tk (t )
分离变量法又称Fourier级数方法，而在波动方程情 形也称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题 中的一种基本方法，也是最常用的方法。这个方法 建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学 中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动 的叠加。 数学想法： 把偏微分方程求解问题转化为常微分方程求解问题
7
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 a0 an cos nx bn sin nx 2 n 1 x 为连续点 f ( x) , f (x ) f (x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
k 2 2 k 2 , (k 1,2 ,3,). 固有值 l k X k ( x) Bk sin x, (k 1,2, ) 固有函数 l
第三章分离变量法-波动方程
19
第三步：求特解，并进一步叠加出一般解 k 2 2 把固有值 k 2 , (k 1,2 ,3,) l 2 代入方程 T (t ) a T (t ) 0 得
b 1 f ( x) sin nx d x (n 1, 2 , ) n
①
②
由公式 ② 确定的 an , bn 称为函数 f ( x) 的傅里叶系数 ; 以 f ( x) 的傅里叶系数为系数的三角级数 ① 称为 f ( x) 的傅里叶级数 .
第三章分离变量法-波动方程
1 cos nx d x 1 sin nx d x 0
(k n )
n 1, 2,...
cos k x cos nx d x 0 sin k x sin nx d x 0
cos k x sin n x d x
0
第三章分离变量法-波动方程
5
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 [ , ] 上的积分不等于 0 . 且有
n 1, 2,...
2
11dx 2
cos n x dx
sin 2 n x d x
1 cos x sin x cos nx , , , ..., , 2
f ( x) , x [ a, b]
ba ba 上展成傅里叶级数 , F (z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 f ( x) 在 [ a, b] 上的傅里叶级数
第三章分离变量法-波动方程
11
方法2
f ( x ) , x [ a, b ]
令 x za 即 z xa
注：假设X(x)和T(t)不恒等于零，即u(x,t)不恒等于零。 恒等于零的称为平凡解，不具研究价值。
第三章分离变量法-波动方程
15
T (t ) X ( x) 2 a T (t ) X ( x)
X (0)T (t ) X (l )T (t ) 0
上述第一个等式左端是t的函数，右端是x的函数， 因此两端只能是常数，记为 . 从而有 X ( x ) X ( x ) 0 固有值问题 X(x): T(t):
二阶非齐次的常微分方程：
y P( x) y Q( x) y f ( x)
通解为：y ( x) C1 y1 C2 y2 y1 其中
y2 f y1 f dx y2 dx W W
y1 和 y2是 y P( x) y Q( x) y 0 两个线性无关的解.
第三章分离变量法-波动方程
13
第一节 有界弦的自由振动
考虑一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位移和 速度，在没有强迫外力作用下的振动
2 2u u 2 x (0, l ), t 0 t 2 a x 2 , u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), x [0, l ] u (0, t ) u (l , t ) 0, t0
第三章分离变量法-波动方程
4
预备知识——Fourier级数
一、三角函数系的正交性
定理 1. 组成三角级数的函数系 1 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ..., cos nx, sin nx , 在[ , ]上正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在 [ , ] 上的积分等于 0 .
y1 W y1
y2 0. y2
第三章分离变量法-波动方程
3
预备知识——常微分方程的求解公式 二阶常系数齐次常微分方程： y py qy 0
其特征方程为： r 2 pr q 0， 特征根为：r1，r2 . (1)若特征方程有两个不等的实根: 齐次方程通解为： y Ae r1x Be r2 x . (2)若特征方程有两个相等的实根: r1 x y ( A Bx ) e . 齐次方程通解为： (2)若特征方程有一对共轭复数根: r1 i , r2 i , 齐次方程通解为： y ( x) e x ( A cos x B sin x).
sin nx ,
组成一标准正交系
第三章分离变量法-波动方程
6
二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 右端级数可逐项积分, 则有 1 an f ( x) cos nx d x (n 0 , 1, )
( n 1, 2 , )
第三章分离变量法-波动方程
9
注 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) n x f ( x) bn sin l n 1 2 l n x d x ( n 1, 2 , ) 其中 bn f ( x) sin l 0 l 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) a0 n x a f ( x) n cos 2 n 1 l
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
将 z x a 代入展开式
f ( x) 在 [ a, b] 上的正弦或余弦级数