辅导机构一对一教案模板 高三复习复数教案
主题复习课复数教案
主题复习课复数教案一、教学目标：1. 理解复数的概念及其表示方法；2. 掌握复数的四则运算规则；3. 能够运用复数解决实际问题；4. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
二、教学内容：1. 复数的概念及其表示方法；2. 复数的四则运算规则；3. 复数的几何意义；4. 运用复数解决实际问题。
三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和解决问题；2. 通过小组合作、讨论和汇报，培养学生的团队合作能力；3. 利用多媒体教学手段，辅助学生直观地理解复数的概念和运算规则；4. 结合数学软件和几何图形，展示复数的几何意义。
四、教学准备：1. 多媒体教学设备；2. 数学软件和几何绘图工具；3. 教案、PPT和教学素材。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习复数的概念和表示方法，引导学生回顾已学知识；2. 学习复数的四则运算规则，通过例题讲解和练习，让学生掌握运算方法；3. 探索复数的几何意义，利用数学软件和几何图形，展示复数在平面坐标系中的位置和运算规律；4. 运用复数解决实际问题，引导学生运用所学的知识和方法解决生活中的问题；5. 课堂小结：对本节课的主要内容和知识点进行总结归纳；6. 布置作业：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对复数概念和运算规则的理解程度；2. 小组讨论：观察学生在小组合作中的表现，评估他们的团队合作能力和问题解决能力；3. 作业批改：对学生的作业进行批改，评估他们对复数知识的掌握情况。
七、教学拓展：1. 介绍复数在工程、物理学等领域的应用，激发学生对复数知识的兴趣；2. 引导学生思考复数运算的算法优化问题，提升学生的逻辑思维能力；3. 组织学生进行数学探究活动，让学生自主发现复数运算的规律。
八、教学反思：1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的适用性；2. 分析学生的学习情况，调整教学策略，以提高教学效果；3. 针对学生的薄弱环节，加强针对性训练，提高学生的复数知识水平。
高中数学复数解读教案模板
高中数学复数解读教案模板教学目标：学生能够理解复数的概念，掌握复数的表示形式，进行复数的运算。
一、复数的概念与表示1. 复数的定义：复数是形如a+bi的数，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，i^2=-1。
2. 复数的表示形式：标准形式、三角形式、指数形式等。
3. 复数平面：复数可以用平面上的点表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标。
二、复数的运算1. 复数的加减法：实部相加，虚部相加。
2. 复数的乘法：使用分配律及虚数单位i的平方等于-1进行计算。
3. 复数的除法：先将分母有理化，再进行除法运算。
三、复数的应用1. 复数在几何中的应用：向量的表示、测量等。
2. 复数在物理中的应用：交流电路中的阻抗等。
教学过程：1. 复数的概念与表示（30分钟）- 教师引导学生了解复数的概念，并通过例题演示不同表示形式。
- 学生掌握复数的概念及表示方法。
2. 复数的运算（40分钟）- 教师讲解复数的加减法、乘法和除法，并进行相关例题讲解。
- 学生完成相关练习，巩固复数的运算规则。
3. 复数的应用（30分钟）- 教师介绍复数在几何和物理领域中的应用，引导学生理解复数的实际意义。
- 学生通过实际问题解决复数的应用题目。
教学反馈：- 教师根据学生的掌握情况进行课堂检测与反馈，帮助学生弥补不足，巩固学习成果。
教学资源：- PowerPoint课件、复数计算工具、复数应用案例等。
教学评价：- 学生能够准确理解复数的概念和运算规则，能够运用复数解决实际问题。
教学延伸：- 学生可自主学习复数的高级运算、复数的根和方程等内容，拓展复数的应用领域。
教学反思：- 教师应根据学生的学习状况调整教学内容和方法，有效提高学生的学习兴趣和成绩。
高中数学《复数》复习课教案
高中数学《复数》复习课教案
【教学目标】
1、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件，了解复数的代数表示及其几何意义。
2、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数形式的加减运算的几何意义。
重点：复数的概念、复数的几何意义及复数的代数形式的四则运算。
难点：复数及复数运算的几何意义及四则运算。
教学情境设计
教后记
本学期由于教研员的信任，我进行了一次市级公开课的教学，在这次教学中我得到了教研员以及本组老师的无私的帮助。
本课我设置的目标是参照了复数在高考以及平时的学分认定考试中的难
易程度，题目设置的难度结合了二中学生的实际情况。
授课方式也努力与省规及素质教育接轨，经过数边试讲之后才正式上课。
在教学中得到了不小的收获，也发现了自身的一些不足，通过这节课我体会到，为了将课堂上得更加具有时效性，更加切合时代脉搏的发展，教师必须时时更新自我，不断学习，这也是我今后努力的方向和目标。
高中数学复数教案和学案
高中数学复数教案和学案主题：复数一、知识目标1.了解复数的定义和性质2.掌握复数的加法、减法、乘法及除法运算规则3.能够将复数表示成为代数式的形式二、能力目标1.能够运用复数进行实际问题的求解2.能够理解复数在数轴上的表示和作图三、情感目标1.培养学生对复数的兴趣和热情2.激发学生对数学的学习积极性四、教学过程1.引入：引导学生复习实数及虚数的概念，引出复数2.讲解：介绍复数的定义，讲解复数的加法、减法、乘法及除法运算规则3.练习：让学生进行复数的运算练习，巩固所学知识4.拓展：引导学生解决实际问题，提高应用能力5.总结：总结本节课所学内容，巩固学生的理解五、课后作业1.完成教师布置的练习题2.思考实际问题，尝试用复数进行求解数学复数学案范本主题：复数一、认识复数1.复数的定义：复数是由实数和虚数组成的数，例如\(a+bi(a,b\in R，i^2=-1)\)2.实部和虚部：复数\(a+bi\)中，\(a\)为实部，\(b\)为虚部二、复数的表示形式1.方形式：\(a+bi\)2.三角形式：\(r(cos\theta+isin\theta)\)三、复数的运算1.加法：\( (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)2.减法：\( (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)3.乘法：\( (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)4.除法：\( \frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}·\frac{c-di}{c-di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)四、实际问题的求解1.问题：若复数\(z_1=-1+i\)，\(z_2=2-3i\)，求\(z_1+z_2\)和\(z_1·z_2\)的值2.解答：\(z_1+z_2=(-1+i)+(2-3i)=1-2i\)，\(z_1·z_2=(-1+i)·(2-3i)=5-5i\)五、数轴上的复数表示1.将复数\(a+bi\)表示在复平面上2.在复数轴上画出点\(a+bi\)六、拓展思考1.实际问题求解思路2.复数在现实生活中的应用通过以上教案和学案的设计，可以使学生对复数有一个清晰的认识，并能够熟练运用复数进行计算和解决实际问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
高中数学复数讲课教案模板
高中数学复数讲课教案模板主题：复数教学目标：1. 了解复数的定义和表示形式2. 掌握复数的加减乘除运算规则3. 能够将复数在复平面上进行几何表示4. 能够解决与复数相关的实际问题教学内容：1. 复数的定义和表示形式2. 复数的加减乘除运算规则3. 复数在复平面上的几何表示4. 复数的应用教学过程：一、复数的定义和表示形式（15分钟）1. 引入复数的概念，说明实数和虚数的区别2. 讲解复数的表示形式：a+bi3. 举例说明复数的实部和虚部二、复数的加减乘除运算规则（20分钟）1. 讲解复数的加法和减法规则2. 讲解复数的乘法规则：(a+bi)(c+di) = ac+(ad+bc)i-bd3. 讲解复数的除法规则：(a+bi)/(c+di) = ((ac+bd)/(c^2+d^2)) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数在复平面上的几何表示（15分钟）1. 介绍复平面的概念2. 讲解复数在复平面上的位置表示方法3. 练习解决复数的几何问题四、复数的应用（10分钟）1. 举例说明复数在实际问题中的应用2. 练习解决与复数相关的实际问题五、总结与作业布置（5分钟）1. 总结本节课的重点内容2. 布置练习题目，强化学生对复数的理解和运用教学资源：1. 课件或板书2. 练习题目3. 复平面图纸教学评价：1. 课堂参与程度2. 课后作业的完成情况3. 考试成绩表现扩展阅读：1. 复数的历史2. 复数在科学和工程中的应用教学反思：1. 对课堂教学效果进行评价和总结2. 改进教学方法和策略，提高教学质量备注：本教案可根据实际情况作适当调整，以适应不同学生的学习水平和需求。
高中一对一教案(复数)
7.2010浙江已知i为虚数单位则 （）
B C D
8.2010山东已知 a,b 则a+b=()
A-1 B1 C2 D3
9.2010北京在复平面内，复数6+5i -2+3i对应的点分别为A , B.若C为AB的中点，则点C对应的复数为（）
A4+8i B8+2i C2+4i D4+i
(4)a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则：
(1)z1±z2= (a+b)±(c+d)i；
(2)z1.z2= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
(3)z1÷z2= (z2≠0) ;
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
二．计算题
1.一直复数Z与 都是纯虚数，求Z
2.已知i是虚数单位 ,求
3.设 为共轭复数，且 ，求 的值。
4.已知复数Z满足 且 为实数，求Z
5.已知 为复数， 为纯虚数， ，且 。
求复数 。
本周作业
上周作业完成情况
教学主管
日期、时间
学生签名
教学内容
复数
教学目标
1、掌握复数的基本概念
2、掌握复数的几何意义以及四则运算
教学重、难点
复数的四则运算以及几何意义
1．概念：
(1)z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0；
(2)z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈R)；
高中数学复数教案模板范文
课时安排：1课时教学目标：1. 知识与技能：- 理解复数的概念及其代数形式；- 掌握虚数单位i的性质；- 熟悉复数的基本运算（加、减、乘、除）；- 能运用复数解决实际问题。
2. 过程与方法：- 通过观察、比较、归纳等方法，引导学生主动探究复数的概念； - 通过小组合作、讨论等形式，培养学生的团队协作能力；- 通过实例分析，提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：- 激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对数学美的追求；- 增强学生的数学应用意识，体会数学在现实生活中的重要性； - 培养学生严谨、求实的科学态度。
教学重难点：1. 教学重点：复数的概念、虚数单位i的性质、复数的基本运算。
2. 教学难点：复数的基本运算及其应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 复数概念相关的教学素材；3. 复数运算练习题。
教学过程：一、导入1. 复习已学过的数系知识，如有理数、实数等；2. 提问：在实数范围内，方程x^2 + 1 = 0有解吗？引导学生思考，引出复数的概念。
二、新课讲授1. 复数的概念：- 引入虚数单位i，并说明其性质：i^2 = -1；- 将实数集R扩充为复数集C，即C = R + iR；- 复数的代数形式：a + bi（a、b∈R）。
2. 虚数单位i的性质：- i^2 = -1；- i^3 = -i；- i^4 = 1；- 由此得出i的周期性：i^(4k) = 1，i^(4k+1) = i，i^(4k+2) = -1，i^(4k+3) = -i（k∈Z）。
3. 复数的基本运算：- 加法：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i；- 减法：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i；- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i；- 除法：(a + bi)/(c + di) = [(a + bi)(c - di)]/[(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i]/(c^2 + d^2)。
复数 教案 高中
复数教案高中教案标题：复数教案高中教案目标：1. 学生能够理解复数的概念和基本规则。
2. 学生能够正确使用复数形式的名词。
3. 学生能够运用所学的知识，正确使用复数形式的名词进行交流和写作。
教学重点：1. 复数的定义和基本规则。
2. 不规则复数形式的名词。
3. 复数形式在交流和写作中的应用。
教学准备：1. 复数形式的名词卡片。
2. 复数形式的名词练习题。
3. 复数形式的名词的示例句子和练习题。
教学过程：引入：1. 利用图片或实物引入复数的概念，让学生观察并猜测复数形式。
2. 引导学生思考复数形式的规则，例如在名词后面加-s或-es。
讲解：1. 介绍复数的定义和基本规则，例如在大多数情况下，在名词后面加-s来表示复数形式。
2. 解释特殊情况下的复数形式，例如以-s、-sh、-ch、-x和-o结尾的名词需要在后面加-es。
3. 引导学生注意不规则复数形式的名词，例如man变为men，child变为children等。
示范与练习：1. 准备一些复数形式的名词卡片，让学生根据规则和示例进行分类和匹配。
2. 给学生分发复数形式的名词练习题，让他们练习正确使用复数形式的名词。
3. 给学生提供一些示例句子，让他们根据上下文选择合适的复数形式填空。
拓展与应用：1. 给学生一些情境，让他们运用所学的知识，进行口头交流或书面表达。
2. 给学生一些写作任务，要求他们在文章中正确使用复数形式的名词。
总结与评价：1. 回顾复数的定义和基本规则。
2. 检查学生对于复数形式的名词的掌握程度，可以进行小组讨论或个人答题。
3. 对学生的学习情况进行评价，并给予必要的反馈和指导。
延伸活动：1. 邀请学生制作一份复数形式的名词表格，包括规则和不规则复数形式。
2. 给学生提供一些复数形式的名词，让他们编写一段小故事或对话。
教学资源：1. 复数形式的名词卡片。
2. 复数形式的名词练习题。
3. 复数形式的名词的示例句子和练习题。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解复数的概念和基本规则，并通过示范和练习帮助他们掌握正确使用复数形式的名词。
高中数学复数讲课教案模板
---一、教学目标1. 知识与技能：- 掌握复数的定义、表示方法及其相关概念（如虚数、纯虚数、实部、虚部等）。
- 理解复数在数系中的地位，以及复数与实数之间的关系。
- 能够进行复数的加、减、乘、除运算，并掌握分母实数化的方法。
2. 过程与方法：- 通过小组讨论和合作学习，培养学生的逻辑思维和探究能力。
- 通过实际问题，提高学生将数学知识应用于实际生活的能力。
3. 情感态度与价值观：- 培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生探索数学奥秘的欲望。
- 增强学生的数学素养，提高学生的综合素质。
二、教学重难点1. 教学重点：- 复数的定义及表示方法。
- 复数的分类及复数相等的充要条件。
- 复数的运算（加、减、乘、除）。
2. 教学难点：- 理解复数在数系中的地位和意义。
- 掌握复数的运算技巧，特别是分母实数化的方法。
三、教学准备1. 教学工具：多媒体课件、实物教具（如复平面模型）等。
2. 教学资源：相关教材、教学参考书、网络资源等。
四、教学过程1. 导入- 复习实数的相关知识，引导学生思考数系的扩充。
- 通过实际问题引入复数的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲授- 复数的定义及表示方法：- 介绍虚数单位i的概念及其性质。
- 讲解复数的代数表示法，如a+bi的形式。
- 介绍复数的几何表示，如复平面。
- 复数的分类及复数相等的充要条件：- 讲解复数的分类，如纯实数、纯虚数、非纯实数等。
- 介绍复数相等的充要条件，如实部相等、虚部相等。
- 复数的运算：- 讲解复数的加、减、乘、除运算。
- 重点讲解分母实数化的方法。
3. 巩固练习- 设计一些基础题，帮助学生巩固所学知识。
- 设计一些应用题，提高学生的实际应用能力。
4. 课堂小结- 总结本节课的重点内容，强调复数的定义、表示方法、分类及运算。
- 引导学生思考复数在实际生活中的应用。
5. 课后作业- 布置一些课后作业，巩固所学知识。
- 鼓励学生课后自主探究，提高学生的自主学习能力。
高中数学复数教案（精选五篇）
高中数学复数教案（精选五篇）第一篇：高中数学复数教案高中数学复数教案教学目标：（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．教学重点难点：复数的概念，复数相等的充要条件．用复平面内的点表示复数Ｍ．以及复数的运算法则教学过程：一、复习提问：1．复数的定义。
2．虚数单位。
二、讲授新课1．复数的实部和虚部：复数z=a+bi中中的a与b分别叫做复数的实部和虚部2．复数相等如果两个复数的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数复平面的定义:立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．复数可用点来表示．其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
原点只在实轴x上，不在虚轴上． 4．复数的几何意义：复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的． 5．共轭复数(1)复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
（虚部不为零也叫做互为共轭复数）（2）a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．（3复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称．6.复数的四则运算：加减乘除的运算法则。
小结：1．在理解复数的有关概念时应注意：（1）明确什么是复数的实部与虚部；（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（3）弄清复平面与复数的几何意义；（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。
2．复数集与复平面上的点注意事项：（1）复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。
（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
主题复习课复数教案
主题复习课复数教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解复数的定义及表示方法；（2）掌握复数的四则运算规则；（3）能够运用复数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固已学的复数知识；（2）培养学生运用复数解决实际问题的能力；（3）提高学生的逻辑思维和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对复数知识的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神；（3）使学生感受到数学在生活中的应用。
二、教学内容1. 复数的定义及表示方法；2. 复数的四则运算规则；3. 复数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：复数的定义、表示方法、四则运算规则及应用。
2. 教学难点：复数的四则运算规则及在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生掌握复数知识；2. 通过例题和练习题，让学生在实际问题中运用复数知识；3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。
五、教学过程1. 复习导入：回顾复数的定义及表示方法，引导学生回顾已学的复数知识；2. 知识讲解：讲解复数的四则运算规则，并通过例题进行演示；3. 练习巩固：让学生进行复数四则运算的练习，巩固所学知识；4. 实际应用：布置一些实际问题，让学生运用复数知识进行解决；5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己在学习过程中的收获和不足。
六、教学评估1. 课堂练习：及时检查学生对复数知识的理解和运用情况；2. 课后作业：布置相关习题，巩固所学知识；3. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，了解团队合作情况；4. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断调整教学方法。
七、教学资源1. 教材：选用合适的教材，为学生提供系统、全面的复数知识；2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示；3. 练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识；4. 实际问题：收集一些与生活相关的实际问题，激发学生兴趣。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：复习复数的定义及表示方法；2. 第3-4课时：讲解复数的四则运算规则；3. 第5-6课时：练习复数四则运算，巩固知识；4. 第7-8课时：运用复数解决实际问题；5. 第9-10课时：总结与反思，检查学习效果。
主题复习课复数教案
主题复习课复数教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握复数的概念、代数表示法、几何表示法以及复数的四则运算规则。
2. 过程与方法：通过复习课的形式，巩固学生对复数的基础知识，提高学生的运算能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作意识。
二、教学内容1. 复数的概念与代数表示法2. 复数的几何表示法3. 复数的四则运算规则4. 复数的乘除运算5. 复数的加减运算三、教学重点与难点1. 教学重点：复数的概念、代数表示法、几何表示法以及复数的四则运算规则。
2. 教学难点：复数的乘除运算，特别是复杂分数的化简。
四、教学方法1. 采用复习课的形式，通过提问、讨论等方式，激发学生的学习兴趣，巩固已学知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示复数的几何表示，帮助学生更好地理解复数的概念。
3. 通过例题讲解、学生练习、小组合作等形式，提高学生的运算能力。
五、教学过程1. 课堂导入（5分钟）教师通过提问方式，检查学生对复数基础知识掌握情况，引出本节课的主题——复数复习。
2. 知识梳理（15分钟）教师带领学生回顾复数的概念、代数表示法、几何表示法以及复数的四则运算规则，让学生清晰地掌握复数的基本知识。
3. 典例分析（20分钟）教师选取具有代表性的例题，讲解复数的乘除运算，引导学生运用所学知识解决问题。
鼓励学生积极参与，提出自己的解题思路。
4. 小组合作（15分钟）教师布置课后练习题，学生分组合作，共同完成练习。
教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 课堂小结（5分钟）6. 课后作业（课后自主完成）学生根据课堂所学，完成课后练习题，巩固复数知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现，了解学生的学习状态。
2. 课后作业评价：检查学生课后作业的完成质量，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 单元测试评价：在课程结束后，组织单元测试，全面评估学生对本单元知识的掌握情况。
复数复习课教学设计
课题：复数复习课教学目的:1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义.教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用.教学难点：复数的知识结构的梳理.教学过程：一、知识要点：5.虚数单位i :(1)它的平方等于-1,即i2 = -1 ；(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立，6. i与一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程x2= — 1的一个根，方程x2= - 1的另一个根是一i .7. i的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i4n+3=-i, i 4n=1-4.复数的定义：形如a+bi(a,bWR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.5.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即2 = 2外©空亡0,把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式.6.复数与实数、虚数、纯虚数及。
的关系：对于复数a+bi（a,bwR）,当且仅当b=0时，复数a+bi（a、b6 R）是实数a;当b小。
时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b#。
时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N-ZTQ7R7C.8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果a, b, c, d€ R,那么a+bi=c+ditt a=c, b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小.只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.9.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi（a、b6 R）可用点Z（a, b）表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0, 0）,它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.10.复数z i与Z2的和的定义:z i +z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 11 .复数z i 与Z 2的差的定义： z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 12 .复数的加法运算满足交换律 Z l +Z 2=Z 2+Z l .13 .复数的加法运算满足结合律： (Z l +Z 2)+Z 3=Z l +(Z 2+Z 3)* 14 .乘法运算规则：设Z 1=a+bi, Z 2=c+di(a 、b 、c 、d6 R)是任意两个复数，那么它们的积 (a+bi)(c+di)=(ac — bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i 2换成一1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.15 .乘法运算律：(1)Z 1(Z 2Z 3)=(Z 1Z 2)Z 3 ； (2)Z 1(Z 2+Z 3)=Z 1Z 2+Z 1Z 3; (3)Z 1 (Z 2+Z 3)=Z 1 Z 2+Z 1Z 3. 16 .除法运算规则：设4=a+bi, Z 2=c+di(a 、b 、c 、d6R)是任意两个复数,那么它们的商bc - ad .i2 2 1c d17 .共钝复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共钝 复数.虚部不等于0的两个共钝复数也叫做共钝虚数. 18 .复数加法的几何意义：(a+bi)+(c+di)= ac bd 2 」2 c d如果复数乙，Z 2分别对应于向量OP 、OR ,那么，以OP 1、OP 2为两边 作平行四边形OP 1SP 2,对角线OS 表示的向量OS 就是Z i +Z 2的和所对应的 向量. 19 .复数减法的几何意义：两个复数的差z z i 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 20 .复数白模：|z|=|a bi|=|OZ|= .G 2b 2二、双基自测：・321 .(安徽卷・文科• 1).复数i(1+i)=( )A.2 B. -2 C.2iD. -2ia -i2 (浙江卷•文科• 1)已知a 是实数，而是纯虚数，则a =( )A. 1B. -1C.行D. — 双3 .(上海卷・文理科• 3)若复数z 满足z= i(2-z)(i 是虚数单位)，则z=4 .已知z =—二，贝U 1 +z 50+z 100的值为三、专题探究：专题一：复数的概念与分类 设 z=a+b i( a, b€ R),则a= 0(1)z 是虚数？ b#0, (2)z 是纯虚数？ j b # o , (3)z 是实数？b= 0 例题1、已知z 是复数，z+ 2i, 占均为实数(i 为虚数单位)，对于复数w=(z+ ai)2,当a 为何值时，w 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数. 【思路点拨】 求复数z-化简w-待定a.【解】 设2=乂+ yi(x 、y6 R),z+2i=x+ (y+ 2)i,由题意得 y= — 2,-2i)(2+i) = -(2x+ 2) + -(x-4)i. 5 5由题意得x=4, z=4— 2i. w = (z+ ai)2= (12 + 4a-a 2) + 8(a — 2)i,⑴当w 为实数时，令a —2=0, . a=2, 即 w = 12 + 4X2-22=16. (2)w 为虚数，只要 a-2?0, ••・a?2.(3)w 为纯虚数，只要12 + 4a —a 2= 0且a —2# 0, a= 一 2 或 a = 6.【思维总结】 正确求z 及化简w 是解本题的关键. 举一反三:复数的乘除法的运算是历年高考在复数部分考查的重点，熟练掌握复数乘 除法的运算法则，熟悉常见的结论和复数的有关概念是迅速求解的关键.，一一一一…1 + 2i -例题2、（2010年局考辽宁卷）设2, b 为实数，若复数a Jbi = 1 + i,则（b= 2.z x — 2i实数m 取什么值时，复数zm 1 ( m - 1 ) i是（1）实数？ （2）虚数? 专题二：复数的四则运算（3）纯虚数？ （ 口答）. 3 A. a= 2, - 1 C - a —.1b= 2 B . a= 3, b= 13 b=2 D . a=1, 1+2ib= 3a + bia+ bi1+2i (1 + 2i X 1 —i ) 3+i1 + i (1 + i X 1-i3 —2'例题3、 (1 + if +(1-if =21a+bi(a, b6 R),且 z 2=二求z.【思路点拨】 首先求出a 、b,再设z = x+ yi,求x 、y. 1 — i 1 + i i i i(1+i) i(1 —i)【解】 ——2+——2=- —+—=^—=-1.(1 + i)2 (1 —if 1 + i 1 -i 2 2.，a+bi= — 1, z?= — 1.. j2= — 1, （— if= - 1, • - z =ii.【思维总结】 本题实际是求x 2=-1的方程的两根，设（x+ yi ）2= —1,也是求 方程根的通法. 举一反三:A. 2-2iB. -1 - iC. 1-iD. 2i 专题三：复数的几何意义及应用复数的几何意义包括三个方面： 复数的表示（点和向量卜复数的模的几何意 义以及复数的加减法的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重 要的数学思想方法.例题4已知点集D = {z||z+ 1+V3i|=1, z6 C},试求忆|的最小值和最大值.复数 2(1-i)).【解】点集D对应的曲线为以点C（—1, —，3）为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z,则|OP|=|z|.由图知，当OP过圆心C（—1,—爪）时，与圆交于点A、B,则|z|的最小值是|OA| = |OC|-1 = «-1）2+（_可—1=2—1 = 1,即忆|min=1；⑶的最大值是|OB| = |OC|+1=2+1 = 3,即忆|max = 3.举一反三：1.（上海春季卷・16）已知z^ C，且1z-2 - 2i|=1，i为虚线单位，则仁+2-2i| 的最小值是（）（A） 2. （B） 3. （C） 4. （D） 5.2. |z + 3 + 4i仔2,则|z|的最大值为（）A 3B 7c 9 D 5四、课堂小测1、以-V5的虚部为实部，并以v5i - 2的实部为虚部构成的新复数是（2i）A、 2 - 2i B 、 2 +C 、75 女5 、J5 十5'5'\2、复数z= i +i2+ i3+ i4的值是（）A -1B 、0C 、1D 、i3、在复平面内，复数i十（1十向）2对应的点在第（）象限1 iA、一B、二C、三 D 、四4、计算：（1）二3z1 =1 2i,2 2 ,5、若（x -1）+（x+3x+2）i是纯虚数，则实数x五、课堂小结:通过系统复习复数的知识，及专题精讲，进一步体会数学转化的思想、方程的思想、数形结合思想的运用六、作业1.（2009年广东卷文）下列n的取值中，使i n=1（i是虚数单位）的是（）A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=52. （2009广东卷理）设z是复数，a（z）表示满足z n=1的最小正整数n,则对虚数单位i, a（i） =A. 8( )B. 6C. 4D. 23. （2009浙江卷理）设z=1+i （i是虚数单位），则2+z2= （）zA . -1 -i B. 一 1 +i C. 1 -i D. 1 +i4. （2009浙江卷义）设z=1+i （i是虚数单位），则2+z2= （）zA. 1 +iB. —1+iC. 1 -iD. -1 -i5. （2009北京卷理）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 - i ”一6.（2009山东卷理）复数——等于（）1 -iA . 1 +2i B. 1 -2i C.2 i D. 2 - i3 - i 一—7.（2009山东卷又）复数——等于（）1 -iA . 1 +2i B.1 -2i C.2 - i D. 2 -i8. (2009全国卷I理)已知(一=2+i,则复数z= ( )(A) -1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i9. （2009安徽卷理）1 7ii是虚数单位，若一a+bi （a,b = R）,则乘积ab的值是（）2 -i(A) — 15 (B) — 3 (C) 3 (D) 15【解析】1 - 7i (1 7i)(2 i)= =—1+3i, ..a = -1,b = 3,ab = -3 ,选 B。
高中数学复数教案模板范文
课时安排：1课时教学目标：1. 知识与技能：掌握复数的概念、表示方法及其运算规则。
2. 过程与方法：通过观察、比较、归纳等方法，培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学重难点：1. 教学重点：复数的概念、表示方法及其运算规则。
2. 教学难点：复数的乘除运算及几何意义。
教学准备：1. 教学课件2. 复数相关练习题教学过程：一、导入1. 复习实数的概念及运算规则。
2. 引入复数的概念，提出问题：在实数范围内，有些方程无解，那么在复数范围内，这些方程是否有解呢？二、新课讲授1. 复数的概念：引入虚数单位i，规定i^2=-1，将实数a和虚数bi（b∈R）合并成一个数，称为复数，记作a+bi。
2. 复数的表示方法：复数a+bi可以用平面直角坐标系中的点（a，b）来表示，其中a为实部，b为虚部。
3. 复数的运算规则：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
（3）乘法：两个复数相乘，按照分配律展开，然后将实部和虚部分别相乘。
（4）除法：两个复数相除，先将除数乘以它的共轭复数，然后将实部和虚部分别相除。
三、课堂练习1. 基础练习：进行复数的加、减、乘、除运算，巩固所学知识。
2. 提高练习：运用复数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调复数的概念、表示方法及运算规则。
2. 提出问题，引导学生思考复数在数学、物理、工程等领域的应用。
五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解复数在各个领域的应用。
教学反思：本节课通过导入、新课讲授、课堂练习、课堂小结等环节，使学生掌握了复数的概念、表示方法及运算规则。
在教学过程中，注重培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学应用能力。
同时，关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，确保教学效果。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：复数
§5.5复数考试要求1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：一般地，当a 与b 都是实数时，称a ＋b i 为复数．其中i 称为虚数单位，满足i 2＝－1.(2)复数的分类：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )(b ＝0)，(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模：向量OZ →的长度称为复数z ＝a ＋b i 的模(或绝对值)，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2c ＋d i ≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1—→＋OZ 2—→，Z 1Z 2—→＝OZ 2—→－OZ 1—→.常用结论1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )．5．复数z 的方程在复平面上表示的图形(1)a ≤|z |≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z －(a ＋b i)|＝r (r >0)表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )中，虚部为b .(×)(2)复数可以比较大小．(×)(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．(×)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)教材改编题1．已知复数z 满足z (1＋i)＝2＋3i ，则在复平面内z 对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案A解析因为复数z 满足z (1＋i)＝2＋3i ，所以z ＝2＋3i 1＋i ＝(2＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝5＋i 2＝52＋12i ，所以在复平面内z 对应的点位于第一象限．2．若z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________．答案－33．已知复数z 满足(3＋4i)·z ＝5(1－i)，则z 的虚部是________．答案－75解析因为(3＋4i)·z ＝5(1－i)，所以z ＝5(1－i )3＋4i ＝5(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5(3－7i ＋4i 2)32－(4i )2＝5(－1－7i )25＝－15－75i.所以z 的虚部为－75.题型一复数的概念例1(1)(多选)(2023·潍坊模拟)已知复数z 满足|z |＝|z －1|＝1，且复数z 对应的点在第一象限，则下列结论正确的是()A ．复数z 的虚部为32B ．1z ＝12－32iC ．z 2＝z ＋1D ．复数z 的共轭复数为－12＋32i答案AB解析设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为|z |＝|z －1|＝1，且复数z 对应的点在第一象限，2＋b 2＝1，a －1)2＋b 2＝1，>0，b >0，＝12，＝32，即z ＝12＋32i.对于A ，复数z 的虚部为32，故A 正确；对于B ，1z 1－3i＝12－32i ，故B 正确；对于C ，因为z 2＝－12＋32i ≠z ＋1，故C 错误；对于D ，复数z 的共轭复数为12－32i ，故D 错误．(2)(2022·北京)若复数z 满足i·z ＝3－4i ，则|z |等于()A ．1B ．5C ．7D ．25答案B 解析方法一依题意可得z ＝3－4i i ＝(3－4i )ii2＝－4－3i ，所以|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5，故选B.方法二依题意可得i 2·z ＝(3－4i)i ，所以z ＝－4－3i ，则|z |＝(－4)2＋(－3)2＝5，故选B.(3)(2022·泰安模拟)已知复数z 满足z ＋iz＝i ，则z ＝________.答案12＋12i 解析由z ＋i z＝i ，得z ＋i ＝z i ，∴z ＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－i 2.则z ＝12＋12i.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1(1)(2023·淄博模拟)若复数z ＝2＋ia ＋i的实部与虚部相等，则实数a 的值为()A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案A解析z ＝2＋i a ＋i ＝(2＋i )(a －i )(a ＋i )(a －i )＝2a ＋1＋(a －2)i a 2＋1，因为复数z ＝2＋ia ＋i的实部与虚部相等，所以2a ＋1＝a －2，解得a ＝－3，故实数a 的值为－3.(2)(2022·全国甲卷)若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z |等于()A ．45B ．42C ．25D ．22答案D解析因为z ＝1＋i ，所以i z ＋3z ＝i(1＋i)＋3(1－i)＝i －1＋3－3i ＝2－2i ，所以|i z ＋3z |＝|2－2i|＝22＋(－2)2＝2 2.故选D.(3)(2022·新高考全国Ⅰ)若i(1－z )＝1，则z ＋z 等于()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案D 解析因为i(1－z )＝1，所以z ＝1－1i＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以z ＋z ＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故选D.题型二复数的四则运算例2(1)(2022·全国甲卷)若z ＝－1＋3i ，则zz z －1等于()A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．－13＋33iD ．－13－33答案C 解析zz z －1＝－1＋3i (－1＋3i )(－1－3i )－1＝－1＋3i 3＝－13＋33i ，故选C.(2)(多选)(2022·福州模拟)设复数z 1，z 2，z 3满足z 3≠0，且|z 1|＝|z 2|，则下列结论错误的是()A ．z 1＝±z 2B ．z 21＝z 22C ．z 1·z 3＝z 2·z 3D ．|z 1·z 3|＝|z 2·z 3|答案ABC解析取z 1＝1－i ，z 2＝1＋i ，显然满足|z 1|＝|z 2|＝2，但z 1≠z 2，z 1≠－z 2，故A 错误；因为z 21＝－2i ，z 22＝2i ，故B 错误；再取z 3＝1，显然C 错误．思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2(1)(2022·新高考全国Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于()A ．－2＋4iB ．－2－4iC ．6＋2iD ．6－2i答案D解析(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i ＋4＝6－2i ，故选D.(2)(2023·济宁模拟)已知复数z 满足z ·i 3＝1－2i ，则z 的虚部为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案B解析∵z ·i 3＝1－2i ，∴－z i ＝1－2i ，∴z ＝1－2i －i ＝(1－2i )i －i 2＝2＋i ，∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.题型三复数的几何意义例3(1)(2023·文昌模拟)棣莫弗公式(cos x ＋isin x )n ＝cos nx ＋isin nx (其中i 为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数π6＋isin 在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析由已知得π6＋isin ＝cos 7π6＋isin 7π6＝cos π6－isin π6＝－32－12i ，∴复数π6＋isin －32，－(2)在复平面内，O 为坐标原点，复数z 1＝i(－4＋3i)，z 2＝7＋i 对应的点分别为Z 1，Z 2，则∠Z 1OZ 2的大小为()A.π3B.2π3C.3π4D.5π6答案C解析∵z 1＝i(－4＋3i)＝－3－4i ，z 2＝7＋i ，∴OZ 1—→＝(－3，－4)，OZ 2—→＝(7,1)，∴OZ 1—→·OZ 2—→＝－21－4＝－25，∴cos ∠Z 1OZ 2＝OZ 1—→·OZ 2—→|OZ 1—→||OZ 2—→|＝－255×52＝－22又∠Z 1OZ 2∈[0，π]，∴∠Z 1OZ 2＝3π4.(3)设复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是()A ．若|z |＝1，则z ＝±1或z ＝±iB ．若|z ＋1|＝1，则点Z 的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆C ．若1≤|z |≤2，则点Z 的集合所构成的图形的面积为πD．若|z－1|＝|z＋i|，则点Z的集合中有且只有两个元素答案C解析若|z|＝1，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z 对应，故A错误；若|z＋1|＝1，则点Z的集合为以(－1,0)为圆心，1为半径的圆，故B错误；若1≤|z|≤2，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和2为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为π×(2)2－π×12＝π，故C正确；若|z－1|＝|z＋i|，则点Z的集合是以点(1,0)，(0，－1)为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误．思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．跟踪训练3(1)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析由z＝2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i，故z在复平面内对应的点为(－1,1)，所以z在复平面内对应的点位于第二象限．(2)设复数z满足|z－1|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4D．x2＋(y＋1)2＝4答案A解析z在复平面内对应的点为(x，y)，则复数z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z－1|＝|(x－1)＋y i|＝2，由复数的模长公式可得(x－1)2＋y2＝4.(3)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为()A．1B．2 C.3 D.5答案B解析设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0,1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2.课时精练1．(2022·浙江)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则() A．a＝1，b＝－3B．a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝－3D．a＝1，b＝3答案B解析(b＋i)i＝－1＋b i，则由a＋3i＝－1＋b i，得a＝－1，b＝3，故选B. 2．(2022·济南模拟)复数z＝2i＋1(i为虚数单位)的虚部是()A．－1B．1C．－i D．i答案A解析因为z＝2i＋1＝2(1－i)(i＋1)(1－i)＝2(1－i)2＝1－i.所以复数z的虚部为－1.3．(2023·烟台模拟)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z等于() A．－2＋i B．－2－iC．2＋i D．2－i答案C解析由(1＋2i)z＝4＋3i⇒z＝4＋3i1＋2i＝(4＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝2－i，所以z＝2＋i.4．(2023·焦作模拟)复数z＝－i2＋i－i5在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析因为z＝－i2＋i i5＝－i(2－i)(2＋i)(2－i)－i＝－1－2i5－i＝－15－75i，所以z －1 5，－5．(2022·西安模拟)已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为()A．1B．－1C．i D．－i答案B解析由题意，化简得z ＝2－4i (1－i )2＝2－4i －2i＝2i ＋42＝2＋i ，则z ＝2－i ，所以复数z 的虚部为－1.6．(2022·临沂模拟)已知复数z ＝2＋6i1－i i 为虚数单位，则|z |等于()A ．22B ．23C ．25D ．26答案C解析z ＝(2＋6i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(2＋6i )(1＋i )2＝(1＋3i)(1＋i)＝－2＋4i ，|z |＝4＋16＝2 5.7．(2023·蚌埠模拟)非零复数z 满足z ＝－z i ，则复数z 在复平面内对应的点位于()A ．实轴B ．虚轴C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限答案C解析由题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，故z ＝－z i ⇔a －b i ＝－(a ＋b i)i ＝－a i ＋b ，故a ＝b ，－b ＝－a ，即复数z ＝a ＋a i ，在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上．8．(2022·文昌模拟)已知复数z ＝a ＋2ii(a ∈R ，i 是虚数单位)的虚部是－3，则复数z 在复平面内对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案D解析由题意，z ＝a ＋2i i ＝a i ＋2i 2i2＝2－a i 的虚部是－3，所以z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，在第四象限．9．i 是虚数单位，设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则xy ＝________，|x ＋y i|＝________.答案12解析因为(1＋i)x ＝1＋y i ，所以x ＋x i ＝1＋y i ＝1，＝y ，所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.10．(2022·潍坊模拟)若复数z 满足z ·i ＝2－i ，则|z |＝________.答案5解析由z ·i ＝2－i ，得z ＝2－i i ＝(2－i )(－i )－i 2＝－1－2i ，∴|z |＝(－1)2＋(－2)2＝ 5.11．欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ(其中e ＝2.718…，i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是()A ．e iπ的实部为0B ．e 2i 在复平面内对应的点在第一象限C ．|e i θ|＝1D ．e iπ的共轭复数为1答案C解析对于A ，e iπ＝cos π＋isin π＝－1，则实部为－1，A 错误；对于B ，e 2i ＝cos 2＋isin 2在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)，∵cos 2<0，sin 2>0，∴e 2i 在复平面内对应的点位于第二象限，B 错误；对于C ，|e i θ|＝|cos θ＋isin θ|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，C 正确；对于D ，e iπ＝cos π＋isin π，则其共轭复数为cos π－isin π＝－1，D 错误．12．(多选)(2022·济宁模拟)已知复数z 1＝－2＋i(i 为虚数单位)，复数z 2满足|z 2－1＋2i|＝2，z 2在复平面内对应的点为M (x ，y )，则下列说法正确的是()A ．复数z 1在复平面内对应的点位于第二象限B.1z 1＝－25－15i C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4D ．|z 2－z 1|的最大值为32＋2答案ABD解析对于A ，复数z 1在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，该点位于第二象限，故A 正确；对于B ，1z 1＝1－2＋i ＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＝－25－15i ，故B 正确；对于C ，z 2－1＋2i ＝(x －1)＋(y ＋2)i ，∵|z 2－1＋2i|＝2，∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，故C 错误；对于D ，z 1－1＋2i ＝－3＋3i ，则|z 1－1＋2i|＝(－3)2＋32＝3 2.|z 2－z 1|＝|(z 2－1＋2i)－(z 1－1＋2i)|≤|z 2－1＋2i|＋|z 1－1＋2i|＝2＋32，故D 正确．13．若复数(x －3)＋y i(x ，y ∈R )的模为2，则y x的最大值为()A.255 B.52 C.53 D.23答案A解析因为复数(x －3)＋y i(x ，y ∈R )的模为2，所以(x －3)2＋y 2＝4，表示以(3,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示，y x 表示过原点和圆上的点(x ，y )的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，y x取得最值，设切线方程为y ＝kx ，则|3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±255，所以y x 的最大值为255.14．在数学中，记表达式ad －bc 为由|a b c d |所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当|z 1z 2z 3z 4|＝12－i 时，z 4的虚部为________．答案－2解析依题意知，|z 1z 2z 3z 4|＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i 1－i＝(2＋i )(1＋i )2＝1＋3i 2，所以z 2z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i＝(3－i )(1－i )2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.15．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为()A．4B．5C．6D．8答案C解析令z＝a＋b i(a，b∈R)，则a2－b2＋2ab i－4a2＋b2＋3＝0，2ab＝0，a2－b2－4a2＋b2＋3＝0.当b＝0时，a2－4|a|＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4|b|－3＝0，|b|＝－2＋7或|b|＝－2－7(舍)，即b＝±(7－2)．综上共有6个解，z＝±1，z＝±3，z＝±(7－2)i.16．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数m＋n in＋m i为虚数的概率为________．答案5 6解析∵复数m＋n in＋m i＝(m＋n i)(n－m i)(n＋m i)(n－m i)＝2mn＋(n2－m2)im2＋n2，故复数m＋n in＋m i为虚数需满足n2－m2≠0，即m≠n，故有6×6－6＝30(种)情况，∴复数m＋n in＋m i为虚数的概率为306×6＝56.。
1对1教案讲义 第2课时 复数
个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：吕老师授课时间：2020 年8月23日(星期日) 姓名年级新高二性别教学课题第2课时复数教学目标1、理解复数的概念2、掌握复数的代数运算3、掌握复数的模及复数的几何意义重点难点重点：复数代数运算难点：复数几何意义课前检查课堂教学过程知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a、b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类复数z＝a＋b i(a，b∈R)⎩⎨⎧实数(b＝0)，虚数(b≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a＝0，b≠0)，非纯虚数(a≠0，b≠0).(3)复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ→的模叫做复数z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝r＝a2＋b2(r≥0，a、b∈R)．2．复数的几何意义(1)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．(3)复数的几何表示复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)平面向量OZ→.1．本例(1)中“ab ＝0”是⎝⎛⎭⎫a ＋b i 2为实数的什么条件？2．若本例(2)改为设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i3．本例(3)改为已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则|(a ＋b i)2|＝________.考点二 复数的代数运算命题点1.直接根据复数的运算法则进行运算2.利用待定系数求复数[方法引航](1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度， ①(1±i )2＝±2i ；②＝i ；③＝－i ；④＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i (n∈N ).[例2] (1) 若z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(3)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则(a ＋b i)·i 2的共轭复数是________．(4)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i1．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________.2．若复数z 满足|z |－z i ＝3＋i ，求z .考点三 复数的几何意义命题点1.求复数对应点的象限位置2.求点对应的复数[例3] (1)若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且a ＋(b －1)i ＝1＋i ，则1＋b ia i对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( ) A ．E B ．F C ．GD ．H2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i。
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课题：复数
课时：1
教学目标：
1.了解复数的定义和表示方法；
2.掌握复数的四则运算规则；
3.能够在实际问题中运用复数进行计算。
教学重点：
1.复数的定义和表示；
2.复数的四则运算。
教学难点：
1.理解复数的概念；
2.掌握复数的加减乘除规则。
教具准备：
1.教材《高中数学必修》第二册；
2.黑板、彩色粉笔、擦子。
教学过程：
1.复数的引入（5分钟）
通过实际生活中的例子引入复数的概念，让学生感受复数的存在和实用性。
2.复数的定义和表示（10分钟）
讲解复数的定义和表示方法，引导学生通过实例理解复数的概念。
3.复数的加减法（15分钟）
通过几个简单的例题，带领学生学习复数的加减法规则，巩固理解。
4.复数的乘法和除法（15分钟）
讲解复数的乘法和除法规则，带领学生通过实例掌握复数的乘法和除法操作方法。
5.综合练习（10分钟）
布置一些练习题，让学生在课堂上解答，检验他们对复数运算规则的掌握程度。
6.课堂总结（5分钟）
对本节课的重点知识进行总结和归纳，强化学生记忆。
课后作业：
1.完成教材上的相关习题；
2.独立完成几道复数运算的练习题。
教学反思：
本节课通过引导学生感受复数的实用性，让他们对复数的概念有了初步了解。
通过示例和练习，学生对复数的四则运算规则也有了一定的掌握。
但是，教学过程中可能还存在一些学生对复数概念的理解不够深刻，需要在以后的教学中继续加强。
清泉州阳光实验学校第六十六高三数学总复习复数的运算教学案
清泉州阳光实验学校§1复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数21z z +是以→1oz 、→2oz 为两邻边的平行四边形对角线→oz 所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数21z z -是连接向量1OZ 、2OZ 的终点，并指向被减数的向量21z z 所对应的复数.2.重要结论（1） 对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、n ，有n m n m z z z +=•，mn n m z z =)(，nn n z z z z 2121)(•=•(2)i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ；114=+n i ，124-=+n i ，i i n -=+34，14=n i .(3)i i 2)1(2±=±，i i i -=+-11，i i i =-+11.(4)设231i +-=ω，ϖω=2，ωω=2，012=++ωω，nn 33ωω=，021=++++n n n ωωω二、疑难知识导析1.对于22z z z z ==⋅，是复数运算与实数运算互相转化的主要根据，也是把复数看作整体进展运算的主要根据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进展复数的运算时，不能把实数的某些法那么和性质照搬到复数集中来，如下面的结论. 当C z ∈时，不总是成立的.(1)),()(为分数时不成立n m z z mn n m =；(2))1(时不成立==⇒=z n m z z n m ；(3)),(0021212221是虚数时不成立z z z z z z ==⇔=+； (4))(22为虚数时不成立z z z =； (5))(为虚数时不成立z a z a a z <<-⇔<三、经典例题导讲[例1]满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是〔〕A.椭圆B.直线C.线段D.圆错解：选A 或者者B. 错因：假设把iz 2-看作动点Z 到定点〔0，2〕的间隔，由上式表示到两个定点〔0，2〕与〔-1，0〕的间隔之和为常数5 ∴动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的间隔小于定常数.正解： 点〔0，2〕与〔-1，0〕间的间隔为5，∴动点在两定点〔0，-2〕与〔-1，0〕之间，选C评注：加强对概念的理解加深，认真审题.[例2]求值：.)1()1(6n n i i --⋅+ 错解：原式=1368)2()11()1(+=⋅-=-+-n n n i i i i i i 错因：上面的解答错在没有真正理解Z n ∈的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i 的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i 整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=n i i i )11()1(6-+- =138)2(+=⋅-n n i i i=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-+=-).4(8,348)(),24(8),14(8k n ik n k k n i k n ）（为非负整数评注：虚数单位i 整数幂的值具有以4为周期的特点，根据时，求n in 必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进展分类讨论. [例3]i z 312+-=，求200021z z z +++ 的值. 分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式qq a S n n --=1)1(1，假设直接将条件代入求和公式，那么显得较为费事，不妨先将条件化简.原式=01111111667*32001=--=--=--ωωωz z 评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.[例4]复数w 满足i (i)23(4w w -=-为虚数单位〕，|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 解法一：i 2i21i 34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， i 3|i |i25+=-+-=∴z . 假设实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，那么必有一一共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z ，∴所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x .解法二：设i b a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴⎩⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ，以下解法同解法一.[例5].211<<-+=ωω是实数，且是虚数，设z z z 解析是虚数z四、典型习题导练 1．非空集合G 关于运算⊕满足：〔1〕对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈； 〔2〕存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a ee a a ⊕=⊕=，那么称G 关于运算⊕为“融洽集〞；现给出以下集合和运算：①{},G=⊕非负整数为整数的加法 ②{},G=⊕偶数为整数的乘法 ③{},G=⊕平面向量为平面向量的加法 ④{},G=⊕二次三项式为多项式的加法 ⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法其中G 关于运算⊕为“融洽集〞__________;〔写出所有“融洽集〞的序号〕 2.______)11(1993=-+ii 3．计算4.计算5．解以下方程：(1)；(2).。
高中复数数学教案设计模板
课时：2课时教学目标：1. 知识与技能目标：（1）理解复数的概念，掌握复数的表示方法；（2）掌握复数的运算法则，能够进行复数的加减、乘除运算；（3）掌握复数的几何意义，能够将复数与坐标系中的点对应起来。
2. 过程与方法目标：（1）通过实际问题引入复数概念，激发学生的学习兴趣；（2）通过小组合作、探究式学习，培养学生自主学习、合作探究的能力；（3）通过实例分析，提高学生运用复数解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生严谨、求实的科学态度；（3）培养学生善于合作、勇于创新的精神。
教学重点：1. 复数的概念及表示方法；2. 复数的运算法则；3. 复数的几何意义。
教学难点：1. 复数与实数的关系；2. 复数乘除运算的技巧；3. 复数在坐标系中的应用。
教学过程：第一课时一、导入1. 提问：在现实生活中，有哪些问题需要用到复数？2. 学生举例，教师总结并引出复数的概念。
二、新课讲授1. 复数的概念及表示方法（1）讲解复数的概念，强调实部和虚部的意义；（2）介绍复数的表示方法，包括代数形式和几何形式；（3）通过实例讲解复数的表示方法。
2. 复数的运算法则（1）讲解复数的加减运算，强调实部和虚部分别相加减；（2）讲解复数的乘除运算，强调实部和虚部的乘除运算；（3）通过实例讲解复数的加减乘除运算。
三、课堂练习1. 学生独立完成课后习题，巩固所学知识；2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点；2. 提出课后作业，要求学生课后巩固。
第二课时一、复习导入1. 回顾上节课所学内容，提问学生复数的概念、表示方法及运算法则；2. 学生回答，教师点评。
二、新课讲授1. 复数的几何意义（1）讲解复数在坐标系中的表示方法，强调实轴和虚轴；（2）介绍复数的几何意义，包括复数的模、辐角等；（3）通过实例讲解复数的几何意义。
2. 复数在坐标系中的应用（1）讲解复数在坐标系中的几何变换，如旋转、平移等；（2）通过实例讲解复数在坐标系中的应用，如求解方程、图形变换等。
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学科教师辅导讲义学生签字：日期：教学内容1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数．(2)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋b i的模，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.2．复数的几何意义3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图4-4-1所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→讲义编号：年级：高三课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课课题教学目标授课日期及时段知识梳理－OZ 1→.图4-4-11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)如图4-4-2，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图4-4-2A ．A B.BC ．CD.DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(2016·四川高考)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．0 B.2 C.2iD.2＋2i C [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.]4．(2016·北京高考)复数1＋2i 2－i ＝( )A ．i B.1＋i C ．－iD.1－i A [法一：1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i.法二：1＋2i 2－i ＝i (1＋2i )i (2－i )＝i (1＋2i )2i ＋1＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________． －1 [i(1＋i)＝－1＋i ，所以实部为－1.复数的有关概念(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则z|z|＝()A．1B．－1C.45＋35i D.45－35i(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.(1)D(2)－2[(1)∵z＝4＋3i，∴z＝4－3i，|z|＝42＋32＝5，∴z|z|＝4－3i5＝45－35i.(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋b i(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1](1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝i2＋i的虚部为()A．－15B．－25C.15 D.25(2)设z＝11＋i＋i，则|z|＝()A.12 B.22典例分析C.32D ．2(1)D (2)B [(1)复数z ＝i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D. (2)z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.]复数代数形式的四则运算(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i(2)(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b 的值为________． (1)C (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.(2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴ab ＝2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．[变式训练2] (1)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________. (1)D (2)1＋i [(1)由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i 4×252＋1＝1＋i.]复数的几何意义(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(1)A (2)A [(1)由题意知⎩⎨⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →. 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝0的复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [由题意得z ×1－2(1＋i)＝0，则z ＝2＋2i 在复平面内对应的点为(2,2)，位于第一象限，故选A.][思想与方法]1．复数分类的关键是抓住z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的虚部：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，且b ≠0时，z 为纯虚数．2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．A．1 B.2C.3D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22D[对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋3i，则|z1|＝|z2|，但z21＝4，z22＝－2＋23i，是假命题．]6．若i为虚数单位，图4-4-3中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()图4-4-3 A．E B．FC．G D．HD[由题图知复数z＝3＋i，∴z1＋i＝3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H.]7．已知复数z＝1＋2i1－i，则1＋z＋z2＋…＋z2019＝() A．1＋i B．1－iC ．iD ．0D [z ＝1＋2i1－i ＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2019＝1×(1－z 2020)1－z ＝1－i 20201－i ＝1－i 4×5051－i＝0.]二、填空题8．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i2－i 为实数，则a ＝________.－12 [1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i. ∵1＋a i 2－i为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________.3 [∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.]1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( ) A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数能力提升。