自考04183概率论与数理统计(经管类) 自考核心考点笔记 自考重点资料
自考 概率论与数理统计 重难点笔记资料
高等教育自学考试《概率论与数理统计》重难点笔记资料 课程代码：04183第一章 随机事件与概率一.随机事件关系与运算1!0,)!(!!!,)!(!0===-==-=C C C A A n n n r n nn rn r n r n ：，n r n n 组合排列二.概率P(A) 1.P(A)概率特征)()31)(,0)()21)(0)111∑∞=∞===Ω=≤≤K KK kA A P ，P（P P A P 事件互不相容时φ2. 古典概型3.概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 事件的独立性:定义:P(AB)=P(A)P(B)性质:.P(A)>0,,则P(B)=P(B/A); P(B)>0则P(A)=P(A/B) P(B —A)=P(B)--P(AB)P （A--B ）==P （AB ）=P （A--AB ）=P （A ）--P （AB ）基本事件总数所包含的基本事件数A A P =)(P(A+B+C)=1--P(A+B+C)=1--P(A)P(B)P(C) P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-(P(A)+P(B)) P(A)=1-P(A4.条件概率公式5.概率的乘法公式6.全概率公式：从原因计算结果7.Bayes 公式：从结果找原因)()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk kki i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|()()()|(A P AB P A B P =)/()/()()(AB C P A B P A P ABC P =第二章随机变量及其概率分布4/ 13分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：“一般正态分布函数F(x)”转换为“标准正态分布函数)（x Φ”的关系 设X~N （δμ2,）则1.2.3.连续型随机变量函数的概率分布定理:记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的概率密度：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<'=其他y y h y h y f f X Y ,0),())(()(βα1） 设X~U(-2,2ππ),令Y=tanX,求Y 的概率密度柯西分布：+∞<<-∞+='=y y h y h y y f f X Y ,111)())(()(2π 2)设X~N(σμ2,),求eX的概率密度对数正态分布：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>•=-0,00,2)(ln 210,0,0,1)(ln )(,22y y y y y y y y y e f fX Yσμσπ ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()()()('x f x F =3直接变换法：[])()(21)()(y y yy y ff F fXXY Y-+='=e e yx x 的的反函数为y y 的反函数为反y 2ln 2,,,,,ln -=-===第三章多维随机变量及其概率分布 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数离散联合分布函数的概率：{}0),(),(),(),(,112112222121≥+--=≤<≤<y x y x y x y x y y x x F F F F Y X P性质1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F 离散边缘分布律：{}{}∑∑===⋅===⋅ijji pijY P j p pij X P pi y x1...2,1,,0,0=⋅=⋅=≥⋅≥⋅∑∑jij p pi j i j p pi联合密度二维边缘密度二维连续随机变量的分布 1.均匀分布(X,Y)~U D1)设D 为平面上的有界区域，S 表面积⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤+−−→−⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤--−−→−⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他，其他o d x c b x a c d a b 其他D y x S y x f R yx R 圆形矩形,01,,,))((1,0),(,1),(2222π),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=+∞<<∞-=⎰+∞∞-x ，，dy y x f x f ),()(+∞<<-∞=⎰+∞∞-y dx y x f y f Y ,,),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====2.正态分布),,,,(~),(222121ρσσμμN Y Xey y x f y x x ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--------=σμσσσρρσπσμμρμ222212121212)2(121),())((2)()1(21221离散型随机变量的独立性)()(),(y FY x Fx y x F =连续型随机变量的独立性第四章 随机变量的数字特征数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义期望性质:● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ， ● E(CX)=CE(X),其中C 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 ● E(XY)=E(X)E(Y),X,Y 相互独立 方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b 2(X)，其中a 、b 为常数D(X+Y)=D(X)+D(Y) 当X 、Y 相互独立时随机变量g(X)的数学期望常用公式：二维随机变量的期望 离散)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k kkP xX E )(⎰+∞∞-⋅=dxx f x X E )()(⎰∑+∞∞-=⇔=dx x fx x g X g E p x g X g E k k k )()()]([)())((ijji Jii i j ij i i i py j p y Y E p x pi x X E ∑∑∑∑∑∑=⋅==⋅=)()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i j ij j i p y x XY E )()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当连续 g(X)∑⎰⎰∑=⇔=jij jiidxdy y x f y x g Y X G E p yx g Y X g E ,),(),()],([),()],([方差 定义式 离散:⋅-=∑=Pi X E xX D ni i21))(()(连续常用计算式常用公式协方差与相关系数⎰⎰--=dxdy y x f Y E Y X E x Y X Cov ),())())(((),(协方差Cov(X,Y)的性质当X 与Y 相互独立时，则Cov(X,Y)=0相关系数XY ρ的性质⎰⎰⎰⎰==dxdyy x yf Y E dxdy y x xf X E ),()(),()(dxdyy x xyf XY E ⎰⎰=),()(()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY=ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+独立与相关独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章 大数定律及中心极限定理1.切比雪夫不等式：设随机变量X 的期望E(X)及方差D （X ）存在，则对任意小正数a>0,{}{}22)(1)()()(aX D a X E X P a X D a X E X P -≥<-↔≤≥- 2．独立同分布序列的中心极限定理{})(21)(212lim lim lim x dt x n n X P x Y P x xt n i i n n n n n eF Φ==⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=≤=⎰∑∞---∞→∞→∞→πσμ3．棣莫费-拉普拉斯中心极限定理)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P)(2122lim x dt x mpq np Z p e t x n n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞-∞→⎰ 第六章 统计量及其抽样分布 样本方差,)(11212∑=--=ni i x x n s样本标准差2s s = 统计量样本K样本K卡方分布t 分布F 分布正态总体条件下样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比)(~)1,0(~212n X N X ni i χ∑=，则若())(~1),,(~21222n Y N Y ni iχμσσμ∑=-则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ),(~2n N X σμ)1,0(~/N nX σμ-)1(~)1(222--n S n χσ)1(~/--n t ns X μ则若),(~),1,0(~2n Y N X χ)(~/n t nY X第七章 参数估计点估计：参数的估计值为一个常数最大似然估计P147似然函数单个正态总体参数的置信区间第八章 假设检验假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
04183概率论与数理统计(经管类)基础知识
D(aX b) a2 D( X )
,
D(Y ) [ x j E(Y )]2 p j
j
D( X ) [ x E( X )]2 f X ( x)dx
协方差与 相关系数
3、二维随机变量关系特征 协方差 cov(x,y) 相关系数 cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)
p j , i 1,2,
，
5、分布函数 F(x,y)的基本性质： ⑴ 0 F ( x, y) 1; 其中 x=h(y)为 y=g(x)的反函数 ⑵F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即当 x2>x1，F（x2,y）≥F(x1,y);当 y2>y1，有 F(x,y2) ≥F(x,y1); ⑶F(x,y)分别对 x 和 y 右连续，即 F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0); ⑷ F (,) F (, y) F ( x,) 0, F (,) 1. ⑸当 x
i 1 i i
k
n
f ( x) 0 ；
②
f ( x)dx 1。
xk x
③ P(a ；
X b) F (b) F (a) =
F ( x)
Pn(k ) Cn p k q nk
二、随机变量及其分布
④对于离散型随机变量，
F ( x)
p
⑤对于连续型随机变量，
2 2 N (, 2 ) ，则①aX+b～N(aµ+b,a σ ), ②(X-µ)/σ～N(0,1)
X X
b(n, p) P( )
自考04183《概率论数理统计(经管类)》考前密训复习资料
考前复习资料代码：04183科目：概率论数理统计(经管类)目录1、随机事件的关系与计算 (1)2、利用概率的性质计算概率 (1)3、条件概率的定义和公式 (1)4、事件的独立性（概念与性质） (1)5、n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 (1)6、利用分布函数计算概率的公式 (1)7、连续型随机变量及其概率密度 (1)8、正态分布和一般正态分布的标准化 (2)9、维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律 (2)10、二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度 (2)11、二维随机变量的独立性 (2)12、二维均匀分布、二维正态分布 (3)13、两个随机变量函数的分布 (3)14、随机变量的方差的概念、性质及计算 (3)15、协方差和相关系数 (3)16、独立同分布序列的中心极限定理 (4)17、样本均值、样本方差 (4)18、三大抽样分布 (5)19、参数的矩法估计 (5)20、大似然估计的方法与步骤 (5)21、估计量的无偏性 (5)22、估计量的有效性和相合性 (5)23、假设检验的两类错误 (6)24、用最小二乘法估计回归模型中的未知参数 (6)25、随机事件及其概率 (7)26、概率的定义及其计算 (7)27、分部函数性质 (8)28、离散型随机变量 (8)29、连续型随机变量 (8)30、离散型二维散随机变量边缘分布 (8)31、离散型二维随机变量条件分布 (9)32、连续性二维随机变量的联合分布函数 (9)33、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密函数 (9)39、二维随机变量的条件分布 (9)40、数学期望 (9)41、数学期望的性质 (9)42、方差 (10)43、方差的性质 (10)44、协方差 (10)45、相关系数 (10)46、协方差和相关系数的性质 (10)47、常见数字分布的期望和方差 (10)48、切比雪夫不等式 (11)49、大数定律 (11)50、中心极限定理 (12)51、总体和样本 (12)52、统计量 (12)53、三大抽样分布 (12)54、参数估计 (13)55、点估计中的矩估计法（总体矩=样本矩） (13)56、点估计中的最大似然估计 (14)1、随机事件的关系与计算事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念2、利用概率的性质计算概率)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃，)()()(AB P B P A B P -=-3、条件概率的定义和公式)(B A P )()(B P AB P =4、事件的独立性（概念与性质）定义：若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独立。
概率论与数理统计复习资料
自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
2022年自考04183概率论与数理统计(经管类)核心考点资料
（2） =φ，φ=Ω.
（3）A-B=
=A-AB.
在进行事件运算时，经常要用到下述运算律，设 A，B，C 为事件，则有： 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C，
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C). 对偶律：
， 其中 0＜p＜1，p+q=1，则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，简记为 X~B(n，p). 泊松分布： 设随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，…，n，…，而 X 的分布律为
其中λ＞0，则称 X 服从参数为λ的泊松分布，简记为 X~P(λ). 泊松( Poisson)定理设λ＞0 是常数，n 是任意正整数，且 npn=λ，则对于任意取定的非负整 数 k，有
当 g(x1)，g(x2)，…，g(xk)，…有相等的情况时，应把使 g(xk)相等的那些 xi 所对应的概率相 加，作为 Y 取 g(xk)时的概率，这样才能得到 Y 的分布律. 设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 fx(x).设 g(x)是一严格单调的可导函数，其值域为[α， β]且 g’(x)≠0.记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数，则 Y=g(X)的概率密度
.
即当 n 很大很小时，有近似公式
，其中λ=np.
二、随机变量的分布函数 设 X 为随机变量，称函数
F(x)=P{X≤x}，x∈(-∞，+∞) 为 X 的分布函数. 当 X 为离散型随机变量时，设 X 的分布律为
pk=P{X=k}，k=0，1，2，…
由于
，由概率性质知，
，
即
，
其中求和是对所有满足 xk≤x 时，xk 相应的概率 pk 求和. 分布函数有以下基本性质：
自考经管类概率论与数理统计课堂笔记经典
自考经管类概率论与数理统计课堂笔记前言概率论与数理统计是经管类各专业的基础课，概率论研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础，数理统计那么从应用角度研究如何处置随机数据，成立有效的统计方式，进行统计推断。
概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。
共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。
重点是参数估计。
预备知识（一）加法原那么引例一，从北京到上海的方式有两类：第一类坐火车，假设北京到上海有早、中、晚三班火车别离记作火1、火2、火3，那么坐火车的方式有3种；第二类坐飞机，假设北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，别离记作飞1、飞2。
问北京到上海的交通方式共有多少种。
解：从北京到上海的交通方式共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。
它是由第一类的3种方式与第二类的2种方式相加而成。
一般地有下面的加法原则：办一件事，有m类办法，其中：第一类办法中有n1种方式；第二类办法中有n2种方式；……第m类办法中有n m种方式；则办这件事共有种方式。
（二）乘法原那么引例二，从北京经天津到上海，需分两步抵达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2问从北京经天津到上海的交通方式有多少种？解：从北京经天津到上海的交通方式共有：①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。
共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方式与第二步由天津到上海的2种方式相乘3×2=6生成。
一般地有下面的乘法原则：办一件事，需分m个步骤进行，其中：第一步骤的方法有n1种；第二步骤的方法有n2种；……第m步骤的方法有n m种；则办这件事共有种方式。
（三）排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方式数叫排列数，记作或。
自考04183概率论与数理统计(经管类) 自考核心考点笔记 自考重点资料
《概率论与数理统计（经管类）》柳金甫、王义东主编，武汉大学出版社新版第一章随机事件与概率第二章随机变量及其概率分布第三章多维随机变量及其概率分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律及中心极限定理第六章统计量及其抽样分布第七章参数估计第八章假设检验第九章回归分析前言本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。
第一章随机事件与概率本章概述.内容简介本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。
本章内容§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
自考-概率论与数理统计课件(经管类)04183
第七章 参数估计(重点)
第八章 假设检验(重点) 第九章 回归分析
第一章 随机事件与概率
• §1.1 • §1.2 • §1.3 随机事件 概率 条件概率
• §1.4
事件的独立性
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
现象按照必然性分为两类： 一类是确定性现象； 一类是随机现象。 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那 样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。
r 3 1 P(A)= n 6 2
例1-8 抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现
面”, B为“恰有2次出现正面”,C为“至少一次出现正面”,试 求 解1:试出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间 P(A),P(B),P(C).
={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},
r A中样本点数 P ( A) n 中样本点总数 也即 r A所包含的基本事件数 P ( A) . n 基本事件总数
例1-7 掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。
解： 显然样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}, 样本点总数n=6, 事件“出现奇数点”用A表示,则A={1,3,5},所含样 本 点数r=3,从而
——
(2)ABC
(3)ABC
(4) ABC
(5)ABC ABC ABC
例1-5 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,
用 i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.
解
B0 A1 A2 A3；
故
P(A)=r∕n= 9*8∕92=8∕9
高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类04183)复习资料
概率论与数理统计(经管类04183)第一章 随机事件与概率复习要点：一、事件的关系和运算 1.常用表示公式A ，B ，C .至少发生一个；都发生；都不发生；恰好发生一个；至多发生一个. 2.互不相容与对立 3.差的不同表示法 4.特殊关系事件间的运算(1),B A ⊂则.,,,不相容与B A ,A B B A B B A A AB ⊂=-=+=Φ (2)A ，B 互不相容，则.,,,,B A B A B A B A B A AB ⊂=+=-=-=ΩΦ 5.对偶律 画图.二、概率的性质 1.基本性质 2.推论(1)有限可加性 (2))(1)(A P A P -=；(3))()()(,A P B P A B P B A -=-⊂；(4))()()()(AB P B P A P B A P -+=+， )()()(AB P A P B A P -=-，)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++ 三、古典概型注意：1.上下一致；2.不重复，不遗漏；3. 事件复杂时考虑对立事件. 四、条件概率 1.条件概率)()()|(A P AB P A B P =2.乘法公式)()()()(),|()()(AB |C P A |B P A P ABC P A B P A P AB P == 3.全概率公式和贝叶斯公式n A A ,,1 —原因，在先，B —结果，在后.时间上的先后，逻辑上的先后.五、事件的独立性 1.定义 2.等价条件 3.n 个事件 4.性质(1)B ,A B A,B A B A ；；；,,独立性等价；(2)n A A ,,1 相互独立.其中一部分必相互独立；若干个换成对立事件仍相互独立；分成几组，各组的运算结果间相互独立.5.利用独立性计算概率),(()()()()(1)(B A)P P B P A P B P A P B A P -+=-=+)()()(B P A P B A P =- )()1)(11n n A P A P(A A P -=++最终化为事件乘积的概率. 6.n 重贝努利试验概率的计算：1.推算题 独立性→条件概率→互不相容→包含→一般2.文字题 独立性→全、逆概公式→条件概率→古典概型第二章 随机变量及其概率分布复习要点： 一、分布函数 1.定义 2.性质3.计算概率二、离散型随机变量 1.概率分布 2.性质求概率分布：(1)先找X 的取值；(2)求X 取每个值的概率(可少求一个). 3.求概率利用概率的可加性. 4.分布函数三、连续型随机变量 1.密度 2.性质求密度中的参数. 3.求概率 4.分布函数 (1)求参数(2)与密度的关系 四、重要分布 1.0—1分布 2.二项分布 3.泊松分布 4.均匀分布6.正态分布对称性，概率的计算.五、随机变量函数的分布1.离散型Y=g(X).先找Y的取值，再利用X的分布律和可加性计算Y的分布概率.2.连续型了解分布函数法第三章多维随机变量及其概率分布复习要点：一、多维随机变量及其分布函数二、离散型随机变量1.概率分布2.性质求概率分布：(1)先找X、Y的取值，得(X，Y)的取值(交叉)；(2)求(X，Y)取每个值的概率(可少求一个).3.求概率利用概率的可加性.三、连续型随机变量1.密度2.性质求密度中的参数.3.求概率四、边际分布与独立性1.离散型表上作业.2.连续型注意逆问题：由独立性及边际分布找联合分布.五、重要分布1.二维均匀分布知道何时两分量独立.2.二维正态分布知道边际分布.五、两个随机变量的函数的分布1.离散型Z=X+Y，Z=XY.先找Z的取值，再利用(X，Y)的分布律和可加性计算Z的分布概率.2.两个独立连续型随机变量之和的分布了解卷积公式独立的正态分布的线性组合仍为正态分布.第四章随机变量的数字特征复习要点：1.单个随机变量(1)离散型 (2)连续型n nn p x X E ∑=)( ⎰+∞∞-=xf(x)dx X E )(n nn p x g X g E )()]([∑= ⎰+∞∞-=dx x f x g X g E )()()]([n nnp x X E ∑=22)( ⎰+∞∞-=dx x f x X E )()(222.两个随机变量 (1)离散型ij ij i j p y x g Y X,g E ),()]([∑∑= ij ijij p yx XY E ∑∑=)(∙∑∑∑==i ii ijii jpx p x X E )(j j jij ij jp yp y E(Y ∙∑∑∑==)(2)连续型dy dx y x f y x g Y X,g E ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=),(),()]([ dy dx y x f y x XY E ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=),()(==⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x xf X E ),()(⎰+∞∞-dx x xf X )( ==⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f y Y E ),()(⎰+∞∞-dy y f y Y )(建议：用边际分布求各分量的期望及其函数的期望. 3.性质 二、方差 1.定义2.等价公式3.性质随机变量的标准化.三、重要分布的期望、方差 四、协方差 1.定义Cov (X ，Y )=E [X -E (X )]E [Y -E (Y )]),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+),(2)()()(Y X abCov Y D b X D a bY aX D 22++=+2.等价公式Cov (X ，Y )=E (XY )-E (X )E (Y )3.性质 五、相关系数 1.定义2.性质3.不相关独立⇒E (XY )=E (X )E (Y )⇔⇔+=±)()()(Y D X D Y X D Cov (X ，Y )=0⇔不相关二维正态分布的特殊性.第五章 大数定律与中心极限定理复习要点：一、切贝雪夫不等式二、大数定律 知道结论.三、中心极限定理1.独立同分布序列的中心极限定理).,(~2n1i i n n N X σμ∑=)()(21σμΦn n a a X P ni i -≈≤∑=2.棣—拉中心极限定理X ~B (n ，p ).X ~N (np ，np (1-p )).).)1(()(p np np a a X P --≈≤Φ第六章 统计量及其抽样分布复习要点：一、概念 1.总体与样本 2.统计量定义；样本均值、样本方差、样本标准差、样本矩(了解). 二、几种统计量的分布 1.2χ分布(1)构造；(2)可加性；(3)分位数. 2.t 分布(1)构造；(2)对称性；(3)分位数. 3.F 分布(1)构造；(2)倒数；(3)分位数. 三、正态总体的抽样分布 单正态总体第七章 参数估计本章重点： 一、点估计 1.矩估计一个参数θ.(1))(θμg EX ==；(2) )ˆ(ˆθμg =；(3)解出θˆ. 2.极大似然估计一个参数θ.(1));(θ∏==n1i i x p L ；(2) lnL ；(3)0d dlnL=θ；(4)解出θˆ. 3.评判标准(1)无偏性.2σμ与的无偏估计；(2)有效性；(3)相合性. 二、区间估计1.概念2.单个正态总体的置信区间第八章 假设检验复习要点： 一、概念 1.基本概念2.步骤3.两类错误二、单个正态总体的假设检验 1.已知方差，检验均值 (u ) (1)双边；(2)单边.2.未知方差，检验均值 (t ) (1)双边；(2)单边.3.未知均值，检验方差 (χ2) (1)双边；(2)单边.三、两个正态总体的假设检验 1.已知方差，检验均值 (u ) (1)双边；(2)单边.2.未知方差但相等，检验均值 (t ) (1)双边；(2)单边.3.未知均值，检验方差 (F ) (1)双边；(2)单边.四、大样本下任意总体的参数检验第九章 回归分析复习要点：回归系数和回归常数的估计公式，了解F 检验.。
自考04183概率论与数理统计(经管类)总结2-数理统计部分
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》第二部分数理统计部分专题一统计量及抽样的分布I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。
2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2…,x n称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。
3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2…,x n满足：（1）x1与X有相同分布，i＝1，2，…，n；（2）x1,x2…,x n相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。
得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。
4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2…,x n为该总体的一个样本，则联合分布函数为二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2…,x n）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。
2.样本的数字特征及其抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：①若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即②偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩（7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布的为自由度为n的X2分布的α分位点.求法：反查X 2分布表.III.典型例题[答疑编号918020101]答案：D[答疑编号918020102]答案：[答疑编号918020103]答案：B[答疑编号918020104]答案：1[答疑编号918020105]答案：B[答疑编号918020106]故填20.[答疑编号918020107]解析：[答疑编号918020108]答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2－分布的概念。
根据课本P82，例题3－28的结果，若X～N（0，1），Y～N（0,1）,且X与Y相互独立，则X＋Y～N（0＋0，1＋1）＝N（0，2）。
(完整版)自考概率论与数理统计复习资料要点总结
i《概率论与数理统计》复习提要(1) 0 P(A) 1 ( 2)P( ) 1(1) 定义：若 P(B) 0,则 P(A| B)P(AB)P(B)(2)乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B 1, B 2, B n 为完备事件组，P(B i )0，则有n(3)全概率公式： P(A) P(B i )P(A| B i )i 1(4)Bayes 公式： P(B k | A)P(Bk)P(A|B k)P(B i )P(A|BJi 17.事件的独立性：A, B 独立 P( AB) P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 •离散随机变量：取有限或可列个值，P(X x i ) p i 满足(1) p i 0 , (2) p i =11.事件的关系 AB A B AB A B AAB2.运算规则(1)A B BA ABBA(2) (AB) CA (BC)(AB)C A(BC)(3) (AB)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B(4) AB ABABAB第一章随机事件与概率3•概率P(A)满足的三条公理及性质: C)(4) P() 0 (5) P(A) 1 P(A)(6) P(A B) P(A) P(AB) ，若 A B , 则P(BA) P(B) P(A) ,P(A) P(B)(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)n(3)对互不相容的事件 A l , A 2, , A n ，有P( A k )k 1k 1(n 可以取)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率P(A k )(3)对任意D R, P(X D) p:X i D2.连续随机变量：具有概率密度函数f (x)，满足(1) f (x) 0, f(x)dx 1 ；b(2) P(a X b) f (x)dx ； ( 3)对任意a R，P(X a) 0a4.分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质(1)F( ) 0, F( ) 1 ; (2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a X b) F(b) F(a)，特别P(X a) 1 F(a)；(5)对离散随机变量，F(x) P i ；i:为x(6)对连续随机变量，F(x) x'f(t)dt为连续函数，且在f (x)连续点上，F (x) f (x)5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N (0,1)的分布函数，则有(1)(0) 0.5 ; (2)(2 x x) 1 (x) ； (3)若X ~ N(,)，则F(x) ((4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，则P(X u ) 1 (u )6.随机变量的函数Y g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f Y(y) f x(g 1(y)) |(g 1(y))' |单调，先求分布函数，再求导。
《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习提纲
【概率论与数理统计〔经管类〕】〔4183〕 自考复习题目〔按照章节题型归类〕第一章 随机事件与概率一、选择题1-2021.4.1. 设A 与B 是任意两个互不相容事件，那么以下结论中正确的选项是〔 〕 A ．P (A )=1-P (B ) B ．P (A -B )=P (B ) C ．P (AB )=P (A )P (B )D ．P (A -B )=P (A )2-2021.7.1. 设A 、B 为两事件，P (B )=21，P (B A )=32，假设事件A ，B 相互独立，那么P (A )=( )A ．91B ．61C ．31D ．21 . 对于事件A ，B ，以下命题正确的选项是( )A ．如果A ，B 互不相容，那么B ,A 也互不相容 B ．如果B A ⊂，那么B A ⊂C ．如果B A ⊃，那么B A ⊃D ．如果A ，B 对立，那么B ,A 也对立4-2021.10.1. 设随机事件A 与B 互不相容，且P 〔A 〕>0,P (B )>0，那么( ) A.P (B |A )=0B.P (A |B )>0C.P (A |B )=P 〔A 〕D.P (AB )=P (A )P (B )5-2021.4.1．设A ，B ，C 为随机事件，那么事件“A ，B ，C 都不发生〞可表示为( ) A ．B.BC C ．ABC D.6-2021.4.1.设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=51, P (B )=53, 那么P (A ∪B )= ( ) A ．253 B ．2517 C ．54D ．25237-2021.7.1. 设A 、B 为随机事件，且A B ⊂，那么AB =〔 〕 A ．A B. B C. A B ⋃D. AB8－2021.7.2. 对于任意两事件A ，B ，()P A B -=〔 〕 A ． ()()P A P B -B. ()()()P A P B P AB -+C. ()()P A P AB -D. ()()()P A P A P AB -- 9-2021.10.1．设A ，B 为随机事件，那么(A-B )∪B 等于( )A.AB.ABC.ABD.A ∪B 10-2021.10.2．设A ，B 为随机事件，B ⊂A ，那么( ) A.P (B-A )=P (B )-P (A ) B.P (B |A )=P (B ) C.P (AB )=P (A )D.P (A ∪B )=P (A )11-2021.4.1．设A,B 为B 为随机事件，且A B ⊂，那么AB 等于( ) A ．AB B.B C.AD.A12-2021.4.2．设A ，B 为随机事件，那么()P A B -= ( ) A.()()P A P B - B.()()P A P AB - C.()()()P A P B P AB -+D.()()()P A P B P AB +-13-2021.10.1．事件A ，B ，A ∪B 的概率分别为0.5，0.4，0.6，那么P (A B )=〔 〕．设A,B 为随机事件，那么事件“A ,B 至少有一个发生〞可表示为〔 〕 A.AB B.AB C.A B D.A B答案：二、填空题．设A ，B 为两个随机事件，假设A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，那么P (AB ) =______．．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，那么P (B ) = ______。
《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习提纲-附件1
《概率论与数理统计（经管类）》（4183）自学考试复习提纲第一章 随机事件与概率1、排列组合公式：排列数)!(!n m m P n m-= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
组合数)!(!!n m n m C n m-= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例如：袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数388*7*6561*2*3C ==注：排列数经常用组合数及乘法原理得到，并不直接写出。
2、加法和乘法原理：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1、从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。
问北京到上海的交通方法共有多少种。
解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。
它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
例2、从北京经天津到上海，需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3 第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2 问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？ 解：从北京经天津到上海的交通方法共有：①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。
共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。
3、基本事件、样本空间和事件：如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
自考4183概率论与数理统计(经管系)大纲
概率论与数理统计（经管系）自考大纲代码4183第一章随机事件与概率(一）考核的知识点1．随机事件的关系及其运算2．概率的定义与性质3．古典概型4．条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式5．事件的独立性、贝努利概型(二)自学要求本章总的要求是：掌握随机事件之间的关系及其运算；理解概率的定义，掌握概率的基本性质，会用这些性质进行概率的基本计算；理解古典概型的定义，会计算简单的古典概型问题；理解条件概率的概念，会用乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式进行概率计算；理解事件独立性的概念，会用事件独立性进行概率计算．重点：随机事件的关系与运算，概率的概念、性质；条件概率，事件独立性的概念，乘法公式、全概率公式，贝叶斯公式。
难点：古典概型的概率计算，全概率公式，贝叶斯公式，事件独立性的概念．（三）考核要求1随机事件的关系与运算1.1随机事件的概念及表示，要求达到“识记”层次1.2事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念1.3和事件、积事件、对立事件的基本运算规律，要求达到简单应用层次2率的定义与性质2.1频率的定义，要求达到“领会”层次2.2概率的定义，要求要求达到“领会”层次2.3概率的性质，要求达到“简单应用”层次3古典概型3.1古典概型的定义，要求达到“领会”层次3.2简单古典概型的概率运算，要求达到“简单应用”层次4条件概率4．1条件概率的概念，要求达到“领会”层次4．2乘法公式．会用乘法公式进行有关概率的计算，要求达到“简单应用’’层次4.3 全概率公式与贝叶斯公式，会用这两个公式进行计算，要求达到“综合应用’’层次5事件的独立性5.1 事件独立性的概念，要求达到“领会”层次5.2用事件的独立性计算概率，要求达到“简单应用”层次5.3 贝努利概型，要求达到“简单应用”层次第二章随机变量及其概率分布（一）考核的知识点1.随机变量的概念2.分布函数的概念和性质3.离散型随机变量及其分布律4.连续型随机变量概率密度函数5．随机变量函数的分布（二）自学要求本章总的要求是：理解随机变量及其分布函数的概念；理解离散型随机变量及其分布律的概念；掌握较简单的离散型随机变量的分布律的计算；掌握两点分布、二项分布与泊松分布；掌握连续型随机变量及其概率密度函数的概念、性质及有关计算；掌握均匀分布、指数分布及计算；熟练掌握正态分布及其计算；了解随机变量函数的概念，会求简单随机变量函数的概率分布．重点：随机变量的分布律与概率密度函数的概念、性质和计算，随机变量函数的分布，几种常用分布．难点：随机变量的分布律、概率密度函数，随机变量的函数的分布律、分布函数、概率密度函数．（三）考核要求1．随机变量的概念随机变量的概念及其分类，要求达到“识记”层次2．离散型随机变量的分布律2.1 离散型随机变量的概念，要求达到“识记’’层次2.2求较简单的离散型随机变量的概率分布律，要求达到“简单应用’’层次2.3两点分布，二项分布、泊松分布、要求达到“简单应用’’层次3.随机变量的分布函数3.1随机变量分布函数的定义、性质，要求达到“领会”层次3.2求简单离散型随机变量的分布函数，要求达到。
04183-概率论与数理统计(经管类)
04183概率论与数理统计（经管类） 1．若E （XY)=E （X))(Y E ⋅,则必：D(X+Y ）=D(X ）+D(Y)2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 0。
1 。
3．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是:)(x F 连续4．当X 服从参数为n,p 的二项分布时，P （X=k ）=k n k k n qp C -5．设X 服从正态分布)4,2(N ,Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立,则(23)D X Y ++= 20 6．设nX X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DXσ=都存在,则当n 充分大时,用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为1-Φ7．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为则(0,1)F = 0.6 .8．设kX X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从(2χ分布 ）分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则：21)1(=≤+Y X P10．设总体X~N （2,σμ），2σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用统计量：ns x t /0μ-=12．设A 、B 表示三个事件,则AB 表示 ：A 、B 都不发生；13．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-,0,0;0,e )(5x x c x f x则常数c 等于( 0.2 )14。
设随机变量X 的概率密度为其他10,,0)(3≤≤⎩⎨⎧=x ax x f ，则常数a= （ 4 ）.15.设21)(=A P ，31)(=B P ，61)(=A B P ，则=)(AB P 11216. 随机变量F~F （n1 ，n2),则F1~ ( F(n2，n1） )18．设()~0,2X N ，()~0,1Y N ，且X 与Y 相互独立，则随机变量~Z X Y =- (0,3)N19．抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为32，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是：81820、设C B A ,,为三事件，则=⋃B C A )(B C A ⋃)(21．已知)(A P =0.7，)(B P =0.6，3.0)(=-B A P ,则=)(B A P 0.1 。
概率论与数理统计(经管类)04183考前划重点
概率论与数理统计（经管类）考试重点一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析：根据历年考试情况来看，题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下：由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。
计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。
应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。
结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。
二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。
第一章随机事件与概率1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）（填空、简答）事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）（选择、填空、计算，多以选择题空题考查）记住古典概型事件概率的计算公式3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）（选择、填空）,（考得多）等，要能灵活运用。
4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）（选择、填空）记住条件概率的定义和公式：5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）(计算)记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。
一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。
6. 事件的独立性（概念与性质）P18-20（一级重点）(选择、填空)定义：若，则称A与B相互独立。
结论：若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。
全国自学考试04183概率论与数理统计(经管类)-考试复习速记宝典
概率论与数理统计（经管类）（04183适用全国）速记宝典命题来源：围绕学科的基本概念、原理、特点、内容。
答题攻略：（1）不能像名词解释那样简单，也不能像论述题那样长篇大论，但需要加以简要扩展。
（2）答案内容要简明、概括、准确，即得分的关键内容一定要写清楚。
（3）答案表述要有层次性，列出要点，分点分条作答，不要写成一段；（4）如果对于考题内容完全不知道，利用选择题找灵感，找到相近的内容，联系起来进行作答。
如果没有，随意发挥，不放弃。
考点1：随机事件。
在随机试验中，产生的各种结果叫做随机事件（random Events），简称事件（Events）．随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示．如观察马路交叉口可能遇上的各种颜色交通灯，这是随机试验，而“遇上红灯”则是一个随机事件。
例：投掷一个骰子，观察其朝上的点数。
A＝｛朝上的点数为2｝B＝｛朝上的点数为偶数点｝都是随机事件。
必然事件Certainty Events必然事件——样本空间Ω本身也是事件,它包含了所有可能的试验结果，因此不论在哪一次试验它都发生，称为必然事件。
也将它记为Ω。
如：“抛掷一颗骰子，出现的点数不大于6”不可能事件Impossible Event不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为φ,每次试验必定不发生的事件.如：“抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”考点2：古典概型。
设某随机试验具有如下特征：（1）试验的可能结果只有有限个；（2）各个可能结果出现是等可能的。
则称此试验为古典（等可能）概型。
古典概型中概率的计算：n=进行试验的样本点总数ΩK=所考察的事件A含的样本点数P（A）=k/n=A的样本点数/样本点总数P（A）具有如下性质：（1）0≤P（A）≤1；（2）P（Ω）＝1；P（φ）=0（3）AB＝φ，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）考点3：乘法公式。
若抽取是不放回地,求以上三问？设A、B∈Ω，P（A）>0,则P（AB）＝P（A）P（B|A）.（1）式（1）就称为事件A、B的概率乘法公式。
04183概率论与数理统计(经管类)(有答案)
04183概率论与数理统计（经管类）一、单项选择题1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。
A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y)C ．X 与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。
A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。
A ．1)(=+∞FB ．0)(=-∞FC ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。
A ．nk k m q p CB ．kn k k n q p C -C ．kn pq-D ．kn k qp -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= CA ．8B ．16C ．20D ．246．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。
A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭ B．1-Φ C ．a n n μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭ D．Φ7．设二维随机变量的联合分布函数为，其联合分布律为则(0,1)F = C 。
A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.88．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F 分布D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。
A ．21)0(=≤+Y X P B ．21)1(=≤+Y X PC ．21)0(=≤-Y X PD ．21)1(=≤-Y X P10．设总体X~N (2,σμ)，2σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用统计量（ C ）。
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《概率论与数理统计（经管类）》柳金甫、王义东主编，武汉大学出版社新版第一章随机事件与概率第二章随机变量及其概率分布第三章多维随机变量及其概率分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律及中心极限定理第六章统计量及其抽样分布第七章参数估计第八章假设检验第九章回归分析前言本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。
第一章随机事件与概率本章概述.内容简介本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。
本章内容§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
… … (中间部分略)完整版21.5页请——QQ：1273114568 索取注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A 与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
解释：包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。
性质：①，；②若；则。
推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于4”则A∪B{1，2，5，6}（3）积事件概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。
解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。
性质：①，；② 若，则AB＝A。
推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和。
举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB＝{3, 4}（4）差事件概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A－B.性质：① A－；② 若，则A－B＝。
举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则A－B＝{1，2}（5）互不相容事件概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则称事件A与事件B互不相容。
推广：n个事件A1，A2，…，A n两两互不相容，即A i A j＝，i≠j，i，j＝1，2，…n。
举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。
（6）对立事件：概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做.解释：事件A与B互为对立事件，满足：①A B＝ф；②A∪B＝Ω举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立性质：①；②，；③A－B＝＝A－AB；注意：教材第5页的第三条性质有误。
④A与B相互对立A与B互不相容.小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；运算：和，积，差，对立.（7）事件的运算性质①（和、积）交换律A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；②（和、积）结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；③（和、积）分配律A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）④对偶律；.例1 习题1.1，5（1）（2）设A，B为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明：证明：证明：例2.习题1.1，6请用语言描述下列事件的对立事件：（1）A表示“抛两枚硬币，都出现正面”；答案：：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。
（2）B表示“生产4个零件，至少有1个合格”。
答案：：“生产4个零件，没有1个是合格的”。
§1.2概率1.频率与概率（1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生n A次，则称n A为事件A发生的频数；而比值n A/n称为事件A发生的频率，记作f n（A）.（2）f n（A）的试验特性：随n的增大，f n（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作P（A）.（3）由频率的性质推出概率的性质①推出①②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1③A，B互不相容，推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推广到有限多个和无限可列多个.2.古典概型概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；②每个基本事件发生的可能性相同。
计算公式：例3.P9 例1－8。
抛一枚均匀硬币3次，设事件A为“恰有1次出现正面”，B表示“3次均出现正面”，C表示“至少一次出现正面”，试求P（A），P（B），P（C）。
解法1 设出现正面用H表示，出现反面用T表示，则样本空间Ω={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，TTT}，样本点总数n=8，又因为A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}，C={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT}，所以A，B，C中样本点数分别为r A=3，r B=1，r c=7，则解法2 抛一枚硬币3次，基本事件总数n=23，事件A包含了3个基本事件：“第i次是正面，其他两次都是反面”，i＝1，2，3，而且r A=3。
显然B就是一个基本事件，它包含的基本事件数r B=1它包含的基本事件数r C=n-r B=23-1=7，故例4.P10 例1－12。
一批产品共有100件，其中3件次品。
现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：（1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；（2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽取一件。
… … (中间部分略)完整版21.5页请——QQ：1273114568 索取试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。
解：（1）（2）3.概率的定义与性质（1）定义：设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件：①P（A）≥0；②P（Ω）＝1；③设，，…，，…是一列互不相容的事件，则有.（2）性质①，；②对于任意事件A，B有；③；④.例5.习题1.2 11设P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（A－B）＝0.3，求解：（1）P（A－B）＝P（A）－P（AB）∴P（AB）＝P（A）－P（A－B）＝0.7－0.3＝0.4例6. 习题1.2 13设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝，P（AC）＝0。
求：（1）A，B，C中至少有一个发生的概率；（2）A，B，C全不发生的概率。
解：（1）“A，B，C至少有一个发生”表示为A∪B∪C，则所求概率为P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）§1.3条件概率1.条件概率与乘法公式条件概率定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）.例7 P13例1－17.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工，试问：（1）该职工技术优秀的概率是多少？（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？解：设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男职工”。
按古典概型的计算方法得：（1）（2）计算公式：设AB为两个事件，且P（B）>0，则。
乘法公式：当P（A）>0时，有P（AB）＝P（A）P（B|A）；当P（B）>0时，有P（AB）＝P（B）P（A|B）.推广：①设P（AB）>0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）②设，则例8 P15例1－22.盒中有5个白球2个黑球，连续不放回地在其中取3次球，求第三次才取到黑球的概率。
解：设A i （i=1，2，3）表示“第i 次取到黑球”，于是所求概率为2.全概率公式与贝叶斯公式 （1）划分：设事件，，…，满足如下两个条件：①，，…，互不相容，且，i＝1，2，…，n ； ②，即，，…，至少有一个发生，则称，，…，为样本空间Ω的一个划分。
当，，…，为样本空间Ω的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。
（2）全概公式：设随机试验的样本空间为Ω，，，…，为样本空间Ω的一个划分，B 为任意一个事件，则.证明：注意：当0<P （A ）<1时，A 与就是Ω的一个划分，对任意事件B则有全概公式的最简单形式：例9 P15例 1－24 盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取球取到白球的概率。
解：设A 表示“第一次取球取到白球”，B 表示“第二次取球取到白球”，则例10 P16 例1－25在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品，它们的产量各占30%，35%，35%，并且在各自的产品中废品率分别为5%，4%，3%，求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率。
解：设A 1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”，A 2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”，A 3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”，B 表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”，则由全概率公式得 ＝30%×5%+35%×4%+35%×3%=3.95%（3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为Ω，，，…，为样本空间Ω的一个划分，B 为任意一个事件，且P （B ）>0，则，i ＝1，2，…，n. 注意：①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P （B ）；②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义. 例题11 P17 例1－28【例1-28】在例1-25的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。