数字信号处理 实验一 FFT变换及其应用

实验一 FFT变换及其应用

一、实验目的和要求

1.在理论课学习的基础上，通过本次实验，加深对DFT原理的理解，懂得

频域DFT与时域卷积的关系，进一步加深对DFT基本性质的理解；

2.研究FFT算法的主要途径和编程思路，掌握FFT算法及其程序的编写过程，

掌握最基本的时域基-2FFT算法原理及程序框图；

3.熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法，利用FFT进行卷积，通过

实验比较出快速卷积优越性，掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系；

4.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法，初步了解用周期图法作随

机信号谱分析的方法，了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的

问题，以便在实际中正确应用FFT；

5.掌握使用MATLAB等基本开发工具实现对FFT编程。

二、实验设备和分组

1.每人一台PC机；

2.Windows 2000/XP以上版本的操作环境；

3.MatLab 6.5及以上版本的开发软件。

三、实验内容

(一)实验准备

1.用FFT进行谱分析涉及的基础知识如下：

信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。若信号是模拟信号，用FFT进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后用FFT来对连续信号进行谱分析。

若信号本身是有限长的序列，计算序列的频谱就是直接对序列进行FFT运算求得X（k）,X(k)就代表了序列在[0,2]之间的频谱值。

幅度谱：

相位谱：

为避免产生混叠现象，采样频率fs 应大于2倍信号的最高频率fc ，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器。 用FFT 对模拟信号进行谱分析的方框图如下所示。

图1.1 FFT 对模拟信号进行谱分析的方框图

2. 应用FFT 实现快速卷积涉及的基础知识如下： 一个信号序列x(n)与系统的卷积可表示为下式：

Y(n)=x(n)*h(n)=

∑+∞

-∞

=-m m n h m x )()(

当是一个有限长序列，且0≤n ≤N-1时，有：

Y(n)=

∑-=-1

)()(N n m n x m h

此时就可以应用FFT 来快速计算有限长度序列的线性卷积。

也就是先将输入信号x （n ）通过FFT 变换为它的频谱采样值X(k)，然后再和滤波器的频响采样值H(k)相乘，最后再将乘积通过快速傅里叶变换（简称IFFT ）还原为时域序列，即得到输出。如下图所示。

图1.2 FFT 实现卷积的过程示意图

2.1．当序列x(n)和h(n)的长度差不多时

设x(n)的长度为N1，h(n)的长度为N2，则用FFT 完成卷积的具体步骤如下： ①为使两有限长序列的线性卷积可用其循环卷积代替而不发生混叠，必须选择循环卷积长度N ≥N1+N2-1

②用补零方法使x(n)和h(n)变成列长为N 的序列。 ③用FFT 计算x(n)和h(n)的N 点离散傅里叶变换 ④完成X(k)和H(k)的乘积Y(k)。

⑤用FFT计算的离散傅里叶反变换得 y(n)

2.2 当x(n)长度很长时可采用分段卷积的方法即重叠相加法和重叠保留法。

(二)实验项目

（1）用FFT进行频谱分析

1)对高斯序列进行频谱分析

代码如下：

n=0:15;

p=8;

q=2;

x =exp(-1*(n-p).^2/q);

close all;

subplot(3,1,1);

stem(fft(x)) ; %利用fft 函数实现傅里叶变换

subplot(3,1,2);

stem(abs(fft(x))); %绘制幅度谱

subplot(3,1,3);

stem(angle(fft(x))) %绘制相位谱

代码是为了得出此高斯序列的快速傅里叶变换，得到DFT的频谱特征图、幅频特征图和相频特征图。

a)固定信号参数P=8，改变q的值依次为2、4、8，结果如下图：

P=8，q=2

图2-1

P=8，q=4

图2-2

P=8，q=8

图2-3

结果分析：从图中可以看出，当固定p的值，改变q，可观察到：随着q的增加，幅频图中趋近与0和等于0的个数增多。可见q的增大使DFT幅频图中幅度平均值减小，且p是序列的对称轴，时域轴都关于n=8对称。当q=2、4、8时，频域变化越来越快，中间水平部分越来越大，混叠减弱。

b)固定信号参数q=8，改变p的值依次为8、13、14，结果如下图：

q=8，P=8

图2-4 q=8，p=13

图2-5 p=14，q=8

图2-6

结果分析：当固定q的值，改变p，可观察到：随着p的增大，图形越来越偏离真实值，当p=14时泄漏现象较明显，频域波形随p的增大频率

分量会增多，易产生混叠。

2)对正弦序列进行频谱分析

代码如下：

n=0:15; %定义序列长度

a=0.1;

f=0.0625;

x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);

close all;

subplot(2,1,1);

stem(x);

title('衰减正弦序列');

subplot(2,1,2);

stem(abs(fft(x))); %绘制幅度谱

title('x 信号的频谱')

a)固定参数a=0.1，改变f，分别为0.5625、0.4375、0.0625，结果如下图：

f=0.5625

图2-7