4第四章级数12页word文档

第 1 页第四章 级数本章先介绍复级数的基本概念及其性质，然后从柯西积分公式这一解析函数的积分表示式出发，给出解析函数的级数表示—泰勒级数及洛朗级数。

然后，以它们为工具，进一步研究了解析函数的性质。

§4.1 复数项级数1.复数序列给定一列无穷多个有序的复数111ib a z +=，222ib a z +=，…，n n n ib a z +=，…称为复数序列，记为}{n z 。

定义 4.1.1：给定一个复数序列}{n z ，设0z 为一复常数。

若对于任意给定的正数0>ε，都存在一个充分大的正整数N ，使得当N n >时，有ε<-||0z z n ，则说当n 趋向于∞+时，}{n z 以0z 为极限，或者说复数序列}{n z 收敛于极限0z ，记为0lim z z n=。

定义4.1.2：设有复数序列}{n z ，表达式ΛΛ++++=∑∞=n n n z z z z 211(4.1.1)称为复数项级数。

定义4.1.3：若复数项级数(4.1.1)的部分和（也称为前n 项和）序列}{21n n z z z s +++=Λ，Λ,2,1=n以有限复数ib a s +=为极限，即若s s n n =∞→lim ，则称复数项级数(4.1.1)是收敛的，并称s 为级数(4.1.1)的和，记为s zn n=∑∞=1；若部分和}{21n n z z z s +++=Λ，Λ,2,1=n由此可见，则级数收敛的充分必要条件是级数的实部级数∑=1n n a 和虚部级数∑=1n n b都定义4.1.4：若级数∑=1n n z 收敛，则称级数∑=1n n z 绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛级数。

第 3 页定义 4.1.5：设复函数序列{}Λ,2,1),(=n z f n 的各项均在点集C ⊂E 上有定义。

若存在一个在E 有定义的函数)(z f ，对E 中每一点z ，复函数项级数ΛΛ++++=∑∞=)()()()(211z f z f z f z f n n n(4.1.2)均收敛于)(z f ，则称级数(4.1.2)在E 上收敛，其和函数为)(z f ，记为)()(1z f z fn n=∑∞=。

此定义用精确的语言叙述就是：任给0>ε，以及给定的E z ∈，存在正整数),(z N N ε=，使当),(z N n ε>时，有ε<-)()(z S z f n ， 其中∑==nk k n z f z S 1)()(。

上述的正整数),(z N N ε=，一般地说，不仅依赖于ε，而且依赖于E z ∈。

重要的一种情形是N 不依赖于E z ∈，即)(εN N =，这就是一致收敛的概念：定义4.1.6：对于级数(4.1.2)，若在点集E 上有函数)(z f ，使对任意给定的0>ε，存在正整数)(εN N =，当N n >时，对所有的E z ∈，均有ε<-)()(z S z f n ， 则称级数(4.1.2)在E 上一致收敛于)(z f 。

这样的正项级数∑=1n n M ，称为复函数项级数∑=1)(n n z f 的优级数。

例：级数∑∞=0n n z ΛΛ++++++=n z z z z 321在闭圆r z ≤)1(<r 上一致收敛。

证：事实上，所述级数有收敛的优级数∑∞=0n n r 。

定义4.1.7：设),2,1)((Λ=n z f n 在区域D 内有定义，若∑∞=1)(n n z f 在含于D 内的任意一个有界闭区域d 上都一致收敛，则称级数∑∞=1)(n n z f 在D 内闭一致收敛。

1 幂级数的概念幂级数定义：当n n n a z c z f )()(-=或n n n z c z f =)(时，就得到复函数项级数的特殊情况：∑∞=-0)(n n n a z c ΛΛ+-++-+-+=n n a z c a z c a z c c )()()(2210(4.2.1)或∑∞=0n n n z c ΛΛ+++++=n n z c z c z c c 2210(4.2.2)这种级数称为幂级数，其中n c 及a 都是复常数。

如果在(4.2.1)中令0=a ，就得到(4.2.2)。

一般地，如果在(4.2.1)中作变换ζ=-a z （变换后把ζ仍改写为z ）就可变成那么(4.2.2)；反之还是用这个变换也能把(4.2.2)变回到(4.2.1)的形式。

因此，为了方便，今后就以(4.2.2)形式的复函数项级数来进行讨论而不失一般性。

幂级数是最简单的解析函数项函数。

为了搞清楚它的收敛情况，先建立下述的阿基于上述阿贝尔定理及其推论，我们也能对复幂级数引出象实幂级数那样的收敛半径的概念及相关定理。

为此，我们去考虑与幂级数∑∞=0n n n z c 相对应的实的幂级数∑∞=0n n n r c )0(≥r 。

(A)由实分析知，对此实的幂级数，存在一非负实数R ，是该实的幂级数(A)的收敛半径，并且具体地有（1）若0=R ，则(A)仅在0=r 处收敛；（2）若+∞=R ，则(A)对任意正数r 都收敛；（3）若+∞<<R 0，则(A)在R r <时绝对收敛，在R r >时发散，在R r =时可能收敛或发散。

借助实幂级(A)的这些特性，同时再根据上述阿贝尔定理及其推论，就容易得出下面的该定理中的圆R z K <:称为复幂级数∑=0n n n z c 的收敛圆，与之相应的实幂级数∑∞=0n nnr c)0(≥r 的收敛半径R 也就称为复幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径。

求复幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径问题归结为求与之相应的实幂级数∑∞=0n n n r c )0(≥r 的收敛半径问题。

在数学分析中已讲过，在常见情况下，实幂级数∑∞=0n n n r c )0(≥r 的收敛半径可用达朗贝尔法则或柯西法则求出；在一般情况下，则可用柯西—阿达玛公式求R a z <-【注】：上极限的定义如下：已给一个实数序列}{n a ，数),(+∞-∞∈L 。

若任给0>ε，（1）至多有有限个ε+>L a n；（2）有无穷个ε->L a n ，那么说序列}{n a 的上极限是L ，记作L a n n =+∞→lim ；若任给0>M ，有无穷个M a n >，那么说序列}{n a 的上极限是∞+，记作+∞=+∞→n n a lim ；若任给0>M ，至多有有限个M a n ->，那么说序列}{n a 的上极限是∞-，记作-∞=+∞→n n a lim 。

第 7 页注意，前面的讨论没有涉及到幂级数∑∞=-0)(n n n a z c 在收敛圆周R a z =-上的收敛性（假设+∞<<R 0）。

在R a z =-上，幂级数∑∞=-0)(n n n a z c 既可以是点点收敛，也可以是点点发散，还可以在一部分点上收敛，在其余的点上发散。

可以相应举三个例子，例如，①∑∞=12n n n z 的收敛半径1=R 。

在1=z 上，∑∞=12n n n z ∑∞==121n n收敛，因此∑∞=12n n n z 在1=z 上处处绝对收敛；②几何级数∑∞=0n n z 在1=z 上点点发散，因为这时一般项n z 的模为1而不趋于零；③幂级数∑∞=1n nnz 的收敛半径1=R ，在圆周1=z 上只在点1=z 处发散，在其余的点)20(πθθ<<=i e z 上，∑∑∑∞=∞=∞=+=111sin cos n n n n n n i n n n z θθ，其实部和虚部两个实级数都收敛，因此级数∑∞=1n nnz 在圆周1=z 上除去点1=z 外处处收敛。

但需特别指出：纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛，其和函数在收敛圆周上仍0>R 存在。

其用意只是为了排除0=R 的情况。

该定理的一个例子如：∑∞=12n nnz 虽然在1=z 上处处绝对收敛，从而在闭圆1≤z 上一致收敛，2nz n在复平面C 上都是解析的，因此可以在1≤z 内应用Weierstrass 定理。

设∑∞=12n nnz 在1≤z 内的和函数为)(z f ，则有 ΛΛ+++++='-nz z z z f n 12321)(当z 从单位圆内沿实轴趋于1时，)(z f '趋于∞+。

而我们知道，解析函数在其解析点处是无穷次可微的，所以1=z 是和函数)(z f 的一个奇点。

§4.3 泰勒级数在前一节已知，任意一个收敛半径为正数的幂级数，其和函数在收敛圆内是解析R R 指收敛半径），否则，(4.3.1)式将不能在圆K 内成立。

至于幂级数(4.3.1)的收敛半径能取多大，当用(4.3.2)式确定系数n c 后，可由求收敛半径的公式(4.2.3)确定。

另外，前面曾指出：对收敛半径为正数的幂级数，它在收敛圆内的和函数在收敛圆周上至少的密切关系，同时，还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄得完全明白。

例如，在实数域内便不了解：为什么只当1<x 时有展式Λ+-+-=+6422111x x x x而函数211x+对于独立变数x 的所有的值都是确定的。

这个现象从复变数的观点来看，第 9 页就可以完全解释清楚。

实际上，复函数211z +在z 平面上有两个奇点，即i z ±=。

故我们所考虑的级数的收敛半径等于1。

定义 4.3.1：(4.3.1)式称为函数)(z f 在点a 的泰勒展式，(4.3.2) 称为展式的泰点的邻域内无穷次可微，而且即使满足无穷次可微条件，其泰勒级数也不一定收敛，纵令收敛，也不一定就收敛于该点的函数值。

但在复变函数中，从上面的讨论我们看到，只需在某点解析，函数就可以在该点的邻域内展开成泰勒级数，并保证所得级数在该邻域内收敛于被展开的函数。

关于解析函数概念的小结：至此，我们已得到函数)(z f 在一点0z 解析的四种等价的概念，它们是： （1）)(z f 在点0z 的邻域处处可导；（2）iv u z f +=)(的实、虚部u 、v 在点0z 的邻域有连续偏导数且满足C-R 条件； （3）)(z f 在点0z 的邻域内连续且沿此邻域内任一围线的积分等于零； （4）)(z f 在点0z 的邻域内可展成幂级数。

§4.4 洛朗级数1 洛朗级数形如∑∞-∞=-n nna z c)(∑--∞=-=1)(n nna z c∑∞=-+0)(n n n a z c∑+∞=---=1)(n nn a z c ∑∞=-+0)(n n n a z c(4.4.1)的级数称为洛朗(Laurent)级数，其中a 及c ),1,0(Λ±=n 都是复常数。