圆锥曲线轨迹方程问题

圆锥曲线轨迹方程问题

纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，

主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目. 分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没

有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是 ft东卷高

考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。

圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生

心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。

一、考法解法

命题特点分析

求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其

实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类

问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同

时具备一定的推理能力和运算能力。

高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨

迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型

（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处

理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问

题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理

解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要

等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；② 简化条件式；

③转化化归。

解题方法荟萃

1. 直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两 点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法。

直接法一般有下列几种情况：

1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。

3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。

4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法。

例 1、一条线段 AB 的长等于 2a ,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？

解析：设 M 的坐标为（x,y ），由平面几何中的中线定理：在三角形 AOB 中，

OM =

1 AB = 1

⨯ 2a = a ，∴ = a , x 2 + y 2 = a 2，所以 M 的轨迹为以 O 为圆心，a

2 2

为半径的圆。

x 2 + y 2

2 2. 定义法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物 线）的定义，

则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。圆：到定点的距离等于定长轨迹集合。

椭圆：到两定点（焦点）的距离和等于定长（定长>两定点距离，否则为线段）的轨迹集合。

双曲线：到两定点（焦点）的距离差的绝对值（不加绝对值为双曲线一支）等于定长的轨迹集合。

抛物线：到定点（焦点）的距离等于到定直线（准线）的轨迹集合。

例 2、已知∆ABC 的顶点 A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

5

sin B + sin A = sin C ,

4

求点 C 的轨迹。

解析：由sin B + sin A = 5

sin C ,可知b + a = 4 5

c = 10，即 AC + BC 4

= 10，满足椭圆的 x 2

定义。设椭圆方程为

a 2 + y 2

b 2

= 1，则 a = 5, c = 4 ⇒ b = 3，轨迹方程为 x + y 25 9

= 1(x ≠ ±5)。

3. 用参数法求曲线轨迹方程

参数法：如果采用直接法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t ， 以此量作为

参变数，分别建立 P 点坐标 x ，y 与该参数 t 的函数关系 x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹

的普通方程 F （x ，y ）＝0.

例 3、过点 P （2，4）作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，若 l 1 交 x 轴于 A 点，l 2 交 y 轴于 B 点，

求线段 AB 的

2

中点 M 的轨迹方程。

4. 相关点法（代入法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 P（x，y），用（x，y）表示出相关点 P'的坐标，然后把 P'的坐

标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。

例 4、M 是抛物线 y2=x 上一动点，O 为原点，以 OM 为一边作正方形 MNPO，求动点 P 的轨迹方程。

y

N

P(x, y)

M

O x