排列组合几种基本方法

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排列组合常见的九种方法

复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在n 1m 第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不2m n n m 同的方法，那么完成这件事共有：12nN m m m =+++L 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做n 1m 第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那2m n n m 么完成这件事共有：12nN m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有种不同522522480A A A =的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习题：1、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 302、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种47A 方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。

排列组合常见的九种方法

排列组合常见的九种方法
1. 直接排列法：将元素按照一定次序排列，每种排列方案都是一个不同的结果。

例如，3个元素的排列数为 3! = 3 × 2 × 1 = 6。

2. 递归法：将问题逐步分解成每一步只有相对简单的子问题，从而不断求解。

通过递归，经过一系列不同的子过程，得到最终的结果。

3. 循环法：使用循环来枚举所有的可能的排列组合情况。

通常用于数组、字符串等元素的排列组合问题。

4. 分组排列法：将待排列的元素按照一定属性分组，再对每组内的元素进行排列组合，最终将每组的结果进行组合得到最终的结果。

5. 交换法：通过元素间的交换，对所有可能的排列组合进行枚举。

该方法需要注意元素交换时的顺序。

6. 邻项对换法：将相邻的两项进行对换，直到所有项都被排列组合了一遍。

7. 插入法：将新的元素依次插入已有元素的任意位置，直到所有元素都被排列组合了一遍。

8. 非递增排列法：将待排列的元素按照一定属性进行排序，然后将元素从最大的开始进行排列组合。

9. 非递减排列法：将待排列的元素按照一定属性进行排序，然后将元素从最小的开始进行排列组合。

排列组合常见15种解题方法

排列组合常用的十五种方法一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C；.〔I.然后排首位共有C：, 甲最后排其它位置共有& | | J由分步计数原理得C：C；A； = 288 C] A：C；练习题：1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有疋斎崙=480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题：2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_____________ 三•不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有&种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种犹不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有貳处____________ 种元素相离问题可先把没有位宜要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：3.某班新年联欢会原定的5个节目己排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 _______四•定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有丄种坐法，则共有A；丽法。

排列组合的5种方法

排列组合的5种方法排列组合是数学中一个重要的概念，用于解决许多实际问题。

在这篇文章中，我们将介绍五种常见的方法来解决排列组合问题。

第一种方法是使用乘法原则。

乘法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。

例如，如果有3个人可以选择一个水果和2种颜色的衣服，那么总共有3 * 2 = 6种可能性。

第二种方法是使用加法原则。

加法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件至少有m + n种可能性。

例如，如果有3个人可以选择两种不同的水果，那么至少有3 + 3 = 6种可能性。

第三种方法是使用排列。

排列是指从一组对象中选择有序的一部分对象。

如果有n个对象，要从中选择r个对象进行排列，那么排列的数量可以用以下公式来计算：P(n, r) = n! / (n - r)!。

其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。

例如，如果有4个人要站成一排，那么有P(4, 4) = 4! / (4 - 4)! = 4! / 0! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24种可能性。

第四种方法是使用组合。

组合是指从一组对象中选择无序的一部分对象。

如果有n个对象，要从中选择r个对象进行组合，那么组合的数量可以用以下公式来计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!）。

例如，如果有4个人要从中选择2个人进行分组，那么有C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 6种可能性。

第五种方法是使用二项式定理。

二项式定理是一个用于展开二项式的公式。

它可以用于计算排列和组合的值。

二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

排列组合常用四种方法-周丽红

排列组合常用四种方法中公教育研究与辅导专家周丽红排列组合是行测数量关系里面比较常见的一种题型，通常用来解决求方法数情况数这一类计数问题。

而这种题型在计算和解题思维上与其他题型差异很大，很多同学对于排列组合问题不知如何下手，在这里，中公教育辅导专家给大家整理出排列组合常考的四种方法，希望对各位考生有所帮助。

例题：用 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成一个无重复数字的五位数。

一、优限法：优先安排有绝对限制的元素或者位置，再去解决其他元素或者位置。

1、若数字1只能在首位或者是末尾的五位数，有多少种情况？解析：先安排1，在首位或者末尾，有12C ，再将剩下的数字全排列有44A ，我们相当于分成了两步才将这个五位数排好，故将两步的结果数相乘。

12C 44A =2×24=48。

二、捆绑法：元素要求相邻、连续时，我们可以先将相邻元素看成一个大整体与其他元素进行相应排列，再考虑大整体内部元素的顺序问题。

2、若组成的这个数中，所有奇数都相邻、所有偶数也都相邻，有多少种情况？解析：奇数看成整体，偶数看成整体，两个整体排序22A ，奇数整体内部3个元素，偶数整体内部元素2个，并且内部元素换了位置对结果有影响，故两个整体内部排序为33A 22A 。

最终结果表示为：22A 33A 22A =2×6×2=24。

三、插空法：先将其他元素排好，再将要求不相邻的元素放其空隙或者两端的位置。

3、若组成的这个数中，所有偶数都不相邻，有多少种情况？解析：我们先将3个奇数排好33A ，形成的空隙包含两端共有4个，再从4个空隙中选2个空隙放两个偶数24A 。

最终结果表示为：33A 24A =6×12=72四、间接法：有些题目直接考虑起来情况数比较多，会比较麻烦，而其对立面却只能一两种情况，很好计算，这时我们就会先算出总的情况数减去对立面的情况数即可。

4、若组成的这个数不能被 4 整除，有多少种情况？解析：一个五位数不能被4整除要求的是后两位不满足4的倍数，显然题干中组成的五位数后两位不满足的情况很多。

解排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为。

大学数学排列组合的7大方法

大学数学排列组合的7大方法
大学数学排列组合的7大方法
导语：数学必背各类公式，尤其是一些常考常用的重点公式，一定要背下来，且能灵活的运用。

下面就由小编为大家带来大学数学排列组合的7大方法，大家一起去看看怎么做吧！
1.元素分析法
【例】求7人站一队，甲必须站在当中的不同站法。

【解析】要求甲必须站在当中，因此只需对其它6人全排列即可，不同的站法共有几种。

2.位置分析法
【例】求7人站一队，甲、乙都不能站在两端的不同站法。

【解析】先站在两端的位置有几种站法，再站其它位置有几种站法，因此所有不同的站法共有几种站法。

3.间接法
【例】求7人站一队，甲、乙不都站两端的不同站法。

【解析】考虑对立事件为甲乙都站在两端，共有几种站法;7人站成一队所有的站法共几种，所以甲乙不都站两端的不同站法共几种。

4.捆绑法
【例】求7人站一队，甲、乙、丙三人都相邻的不同站法。

【解析】先将甲、乙、丙看成一个人，即相当于5个人站成一队，有几种站法，再对这三个人全排列即得所有的.不同站法共几种。

5.插空法
【例】求7人站一队，甲、乙两人不相邻的不同站法。

【解析】先将其它五人全排列，然后将甲、乙两人插入所产生的6个空中即可，共几种不同的站法。

6.留出空位法
【例】求7人站一队，甲在乙前，乙在丙前的不同站法。

【解析】由于甲、乙、丙三人的顺序一定，因此只要其余4人站好，这7个人就站好了，不同的站法共有几种。

7.单排法
【例】求9个人站三队，每排3人的不同站法。

【解析】由于对人和对位置都无任何的要求，因此，相当于9个人站成一排，不同的站法显然共有几种。

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排列组合方法归纳大全复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，n 1m 2m …，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =+++ 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，n 1m 2m 做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有种不同的排法522522480A A A =练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中55A 间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种46A 5456A A目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 147A 种坐法，则共有种方法。

排列组合全部20种方法

排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。

3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题, 元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略2、7 人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某人射击8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队, 其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习、10人身高各不相等, 排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7 个车间实习, 共有多少种不同的分法练习1．某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8 名乘客人, 他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略6、8 人围桌而坐, 共有多少种坐法一般地,n 个不同元素作圆形排列, 共有(n-1)! 种排法. 如果从n 个不同元素中取出m个元素作1圆形排列共有1An mn练习、 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略7、8 人排成前后两排, 每排 4 人, 其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习、有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球, 装入 4 个不同的盒内, 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法.练习、一个班有 6 名战士, 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务, 且正副班长有且只有 1 人参加, 则不同的选法有种九. 小集团问题先整体后局部策略9、用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹少个练习、１. 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , ４幅油画 , ５幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2. 5 男生和５女生站成一排照像 ,男生相邻 ,女生也相邻的排法有种十. 元素相同问题隔板策略10、有 10个运动员名额，分给 7个班，每班至少一个 , 有多少种分配方案将 n 个相同的元素分成 m 份（n ，m 为正整数） , 每份至少一个元素 ,可以用 m-1块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为 C n m 11练习题：1． 10 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法2 . x y z w 100 求这个方程组的自然数解的组数十一 .正难则反总体淘汰策略11、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 取法有多少种有些排列组合问题 , 正面直接考虑比较复杂 , 而它的反面往往比较简捷 , 可以先求1, ５在两个奇数之间 , 这样的五位数有多这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数 , 不同的练习、我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种十二.平均分组问题除法策略12、 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法练习题：1、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法2、10 名学生分成3组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_____十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目有多少选派方法解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做练习：1、从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有2、3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘1人,他们任选2只船或 3 只船, 但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯, 现要关掉其中的 3 盏, 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒练习、某排共有10个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种十五.实际操作穷举策略15、设有编号1,2,3,4,5 的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收练习1、同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种2、给图中区域涂色,要求相邻区域不同色, 现有4种可选颜色, 则不同的着色方法有种十六. 分解与合成策略16、30030 能被多少个不同的偶数整除练习: 正方体的8 个顶点可连成多少对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略, 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构, 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成, 从而得到十七.化归策略17、25 人排成5×5 方阵, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，练习、某城市的街区由12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从 A 走到的最短路径有多少种十八.数字排序问题查字典策略18、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数, 根据分类计数原理求出其总数。

排列组合的各种方法

排列组合的各种方法
排列组合是一种数学问题，描述的是从给定的元素集合中选择一部分元素来形成一组对象的方法。

下面是一些常见的排列组合方法：
1. 排列
排列是从给定的元素集合中选择一定数量的元素，按照一定的顺序来排列形成一组序列。

常见的排列方法有：
- 全排列：将集合中的所有元素按照不同的顺序排列成一组序列。

- 循环排列：将集合中的元素排列成一组序列，并且其中的某些元素可以循环使用。

2. 组合
组合是从给定的元素集合中选择一定数量的元素，无需考虑元素的顺序。

常见的组合方法有：
- 无重复组合：从集合中选择不同的元素来组成一组对象，元素之间没有重复。

- 有重复组合：从集合中选择元素来组成一组对象，元素之间可以重复。

3. 全排列组合
全排列组合是将排列和组合结合起来，从给定的元素集合中选择一定数量的元素，按照一定的顺序来排列形成一组序列。

其中可以包括全排列和有重复排列两种形式。

这些方法可以通过数学公式或递归算法来实现。

具体的实现方法可以参考相关的数学教材或计算机算法书籍。

排列组合的13种方法题,,

排列组合常用十三种解题方法方法一：捆绑法例题：甲、乙、丙、丁、卯五人并排成一排，如果甲、乙必须相邻且甲在乙的右边，那么不同的排法有多少种？方法二：插空法例题：甲、乙、丙、丁、卯五人并排成一排，如果甲、乙必须不相邻，那么不同的排法有多少种？例题：晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2个节目插入原节目单中，则不同的插法有种。

方法三：隔板法例题：小明有10块糖，他每天可以吃1块到10块不等，现在要求小明3天把10块糖吃完，问小明一共有多少种不同的吃糖方法？例题：将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？方法四：定位问题优先法例题：一个老师和四名学生排成一排，老师不在两端，且老师不能跟其中某个学生相邻，则不同的排法有种例题：2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为方法五：多排问题单排法例题：共有8个人分别站前后2排，每排4人，其中要求某2人站前排，某1人站在后排，则共有__ 种排法。

例题：现有12人排成3行，每行4人，其中小明不站第二行，小红只站第一行，小白不站第三行，问一共有多少种不同的站队方法？方法六：乱坐问题分步法例题：将数字1，2，3，4，填入标号为1，2，3，4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有种。

例题：将标有1，2，3，4，5编号的五个小球分别填入标号为1，2，3，4，5的五个箱子，每个箱子放一个球，则每个箱子的标号与放小球标号均不相同的填法有种。

方法七：多元问题罗列法例题：由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个。

例题：用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为？方法八：至少问题间接法例题：有9名男生与4名女生共13人，现在要求从所有学生中任选 5人参加知识竞赛，问选择的5人中至少有1名女生的选择情况有多少种？例题：甲、乙两人从4门课程中各选修 2门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有种方法九：条件问题排除法例题：正六边形中心和顶点共7个点，以其中任意3个点为顶点的三角形共有个。

高中数学-排列组合13种方法精讲

排列组合1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

3、排列及排列数：（1）排列：排列数：从n个不同元素中取出m个（m≤n）个元素的所有排列的个数，（2）排列数公式()()1.nnA mn=m-⋅⋅⋅-1+n全排列：4、组合及组合数：（1）组合：组合数：（2）\计算公式：.5、组合数的性质：1、捆绑与插空法：例1．8位同学排成一队，问：⑴甲乙必须相邻，有多少种排法？⑵甲乙不相邻，有多少种排法？⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种排法？⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种排法？⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？例2．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?例3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）2、定序问题缩倍法：例1．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。

现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）例2．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A,B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种例3．从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?3、标号排位问题分步法：例1．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种例2．将标有1, 2,… 10的10个小球投入同样标有1, 2,… 10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?4、有序分配问题逐分法：例1．有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）种A. 1260B. 2025C. 2520D. 5040例2．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）种A 、4448412C C C B 、44484123C C C C 、3348412A C C D 、334448412A C C C例3．有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？（1）平均分给甲、乙、丙三人；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本.5、隔板法：例1．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？例2．求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数例3．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于盒子的编号数,则不同的装法共有多少种?6、多元问题分类法：例1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A. 210个B. 300个C. 464个D. 600个例2．（1）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（2）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）共有多少种？7、至少问题间接法：例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种A. 140B. 80C. 70D. 35例2．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。

（完整版）排列组合常见21种解题方法

（完整版）排列组合常见21种解题⽅法排列组合难题⼆⼗⼀种⽅法排列组合问题联系实际⽣动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，⾸先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采⽤合理恰当的⽅法来处理。

教学⽬标1.进⼀步理解和应⽤分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常⽤策略;能运⽤解题策略解决简单的综合应⽤题。

提⾼学⽣解决问题分析问题的能⼒3.学会应⽤数学思想和⽅法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成⼀件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的⽅法，在第2类1办法中有m种不同的⽅法，…，在第n类办法中有n m种不同的⽅法，那么2完成这件事共有：种不同的⽅法．2.分步计数原理（乘法原理）完成⼀件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的⽅法，做第2步1有m种不同的⽅法，…，做第n步有n m种不同的⽅法，那么完成这件事共2有：种不同的⽅法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理⽅法相互独⽴，任何⼀种⽅法都可以独⽴地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的⽅法完成事件的⼀个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的⼀般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进⾏,确定分多少步及多少类。

3.确定每⼀步或每⼀类是排列问题(有序)还是组合(⽆序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握⼀些常⽤的解题策略⼀.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和⾸位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排⾸位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成⼀列的花盆⾥,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆⾥，问有多少不同的种法？⼆.相邻元素捆绑策略例2. 7⼈站成⼀排,其中甲⼄相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲⼄两元素捆绑成整体并看成⼀个复合元素，同时丙丁也看成⼀个复合元素，再与其它元素进⾏排列，同时对相邻元素内部进⾏⾃排。

排列组合方法

D解：设全集U={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有24353546A A A A )B A (card )B (card )A (card )U (card +--=+-- =252（种）。

评注：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：)B A (card )B A (card )B (card )A (card -+=来求解。

八、定位问题优限法例8 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）A. 5544A AB. 554433A A AC. 554413A A CD解：先把3种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，则油画与国画有22A 种放法。

再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列。

故总的排列的方法为554422A A A 种，故选D 。

评注：所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑。

九、多排问题单排法例9 两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的坐法种数为（）A.3858C CB. 385812C C AC.3858A AD. 88A解：此题分两排坐，实质上就是8个人坐在8个座位上，故有88A 种坐法，所以选D 。

评注：把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑。

十、至少问题间接法例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种A. 140B. 80C. 70D解析：在被取出的3台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意，故符合题意的取法有353439C C C --=70种，选C 。

评注：含“至多”或“至少”的排列组合问题，通常用分类法。

1717解排列组合问题常用方法(二十种)

17 解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。