离散数学部分概念和公式总结(精简版)

★蕴含公式表：此表可以理解为子集=>全集)
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P∧Q=>P
2
P∧Q=>Q
3
P=>P∨Q
4
┐P=>P→Q
5
Q=>P→Q
6
┐(P→Q)=>P
7
┐(P→Q)=>┐Q
8
P∧(P→Q)=>Q
9
┐Q∧(P→Q)=>┐P
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┐P∧(P∨Q)=>Q
11
(P→Q) ∧(Q→R)=>P→R
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(PQ) ∧(QR)=>PR
a) 划归为析取范式； b) 去除范式中的永假析取值项(例如 P∧┐P)； c) 重复合取项和相同的变元合并； d) 对合取补没有出现的命题变元，即添加(P∨┐P)式，应用分配律展开公式。 主合取范式：设命题公式 A 中含 n 个命题变项，如果 A 得析取范式中的简单合析 式全是大项，则称该析取范式为 A 的主析取范式。 例如：P,Q 的大项是 P∨ Q, ┐P∨Q, P ∨┐Q, ┐P∨ ┐Q(不能同时出现┐Q 和 Q) 大项性质： a) 每个大项当指派真值与编码相同时，其值为 F，否则全为 T (共 2n-1 个) (例如当 P，Q，R 全部为 F 的时候大项 P∨Q∨R 才为 F，否则全部为 T)
常用的其它真值表
双重否 定 幂等律 结合律 交换律 分配律 吸收 德摩根 同一律 零律 否定律
常用的其它真值表
P→Q<=>┐P∨Q PQ<=>(P→Q)∧(Q→P) PQ<=> Q P PQ<=>(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ┐(PQ) <=> P┐Q R∨(P∨┐P)<=>T R∧(P∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→ ┐P ┐(P→Q)<=> P∧┐Q (P→Q)∧(P→ ┐Q) <=>┐P P→(Q→R)来自百度文库=>(P∧Q)→R (PQ)R<=> P (QR)
如：(P∨(Q∧R)) →(P∧Q∧R) 主析取范式和主合取范式
<=> ┐(P∨(Q∧R)) ∨(P∧Q∧R)
<=> (┐P∧┐(Q∧R)) ∨(P∧Q∧R)
<=> (┐P∧┐Q)∨(┐P∧┐R) ∨(P∧Q∧R)
<=> (┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)
离散数学复习材料
第一章 命题逻辑
一、等价公式(真值表)
1)常用联结词：
┐否定
∨析取
P ┐P TF FT
PQ TT TF FT FF
P∨Q T T T F
∧合取
P Q P ∧Q TT T TF F FT F FF F
→：条件
：双条件
当且仅当 Q 取值为 F 时 P →Q 为 F，否则为 T
P Q P →Q(┐P∨ Q) T TT T FF F TT F FT
001 000
0 1 0 0 0 0 111
<=> (┐P∧┐Q∧┐R) ∨(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R) 主析取范式
000
0 0 1 0 1 0 111
求主合取范式过程按照上面的取值取反应该是(011,100,101,110)的编号次序，但是大项
小项的编码是相反的，然后吧∧互换∨，因而住合取范式为：
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命题公式的类型：
(1)若 A 在它的各种赋值下均取值为真，则称 A 为重言式或永真式。 (2)若 A 在它的赋值下取值均为假，则称 A 为矛盾式或永假式。
(3)若 A 至少存在一组赋值是成真赋值，则 A 是可满足式。
当 P→Q 是一个重言式(永真式)称 P 蕴含 Q 记做 P=>Q
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(P∨Q)∧(P→S)∧(Q→R)=>R
14
(P→Q)∧(R→S) => (P∧R) →(Q∧S)
对偶式与范式：
性质：┐A(P1,P2…..Pn)<=>A*(┐P1, ┐P2……┐Pn) A (┐P1, ┐P2……┐Pn) <=>┐A*(P1,P2…..Pn)
主析取范式：设命题公式 A 中含 n 个命题变项，如果 A 得析取范式中的简单合取 式全是小项，则称该析取范式为 A 的主析取范式。(即 A1∨A2∨….. ∨An 形式)
P∨Q∨R P∨Q∨┐R P∨┐Q∨R P∨┐Q∨┐R ┐P∨Q∨R ┐P∨Q∨┐R ┐P∨┐Q∨R ┐P∨┐Q∨┐R 小项大项反过来
解释
000 001 010 011 100 101 110 111
记法
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
合 取 范 式 ∑(m1,m3,m5,m6,m7)<==> 析 取 范 式 ∏(M0,M2,M4) 例
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b) 任意两个大项合取值为 T c) 全部大项合取值为 T 找主合取范式的方法步骤
e) 划归为合取范式； f) 去除范式中的永真合取值项(例如 P ∨┐P)； g) 重复析取项和相同的变元合并； h) 对析取补没有出现的命题变元，即添加(P∧┐P)式，应用分配律展开公式。
P Q P Q TT T TF F FTF FF T
★等价公式表(等值公式表)
┐┐P<=>P
P∨P<=>P P∧P<=>P (P∧Q)∧R<=>P∧(Q∧R) (P∨Q)∨R<=>P∨(Q∨R) P∧Q<=>Q∧P P∨Q<=>Q∨P P∧(Q∨R)<=>(P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R)<=>(P∨Q)∧(P∨R) P∨(P∧Q)<=>P P∧(P∨Q)<=>P ┐(P∧Q)<=> ┐P∨┐Q ┐(P∨Q)<=> ┐P∧┐Q P∨F<=>P P∧T<=>P P∨T<=>T P∧F<=>F P∨┐P<=>T P∧┐P<=>F
例如：P,Q 的小项是 P∧Q, ┐P∧Q, P∧┐Q, ┐P∧┐Q(不能同时出现┐Q 和 Q) 小项性质：
a) 每个小项当指派真值与编码相同时，其值为 T，否则全为 F(共 2n-1 个) (例如当 P，Q，R 全部为 T 的时候小项 P∧Q∧R 才为 T，否则全部为 F)
b) 任意两个小项合取值为 F c) 全部小项析取值为 T 找主析取范式的方法步骤
主合取范式与主析取范式关系及整理技巧(以 3 个变元为例)
小项
┐P∧┐Q∧┐R ┐P∧┐Q∧R ┐P∧Q∧┐R ┐P∧Q∧R P∧┐Q∧┐R P∧┐Q∧R P∧Q∧┐R P∧Q∧R
解释
000 001 010 011 100 101 110 111
记法
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
大项