上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案
2020_2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共12小题）1.【答案】【解析】【踩分点】与的等比中项为 ．与的等比中项 ．2.【答案】【解析】【踩分点】．根据题意，，故答案为：．3.【答案】【解析】【踩分点】若与平行，则实数 ．∵与平行，∴，解得实数．故答案为：．4.三阶行列式中，元素的代数余子式的值为 ．【答案】【解析】【踩分点】三阶行列式中，元素的代数余子式的值为．故答案为：．5.【答案】【解析】【踩分点】直线：的倾斜角是 ．设直线的倾斜角为，由直线化为，∴，∵，∴．故答案为：．6.【答案】【解析】【踩分点】向量在向量方向上的投影为 ．∵，，∴在方向上的投影为：．故答案为：．7.【答案】【解析】已知数列为等差数列且，则其前项和 ．等差数列满足，则其前项和．【踩分点】故答案为：．8.【答案】【解析】【踩分点】直线：与直线：夹角的大小为 ．直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率为，倾斜角为，故它们的夹角为，故答案为：．9.【答案】【解析】【踩分点】若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是 ．根据题意，若方程表示的曲线是圆，则有，即，解得，即的取值范围为，故答案为：．10.【答案】【解析】若是无穷等比数列，且，则的取值范围为 ．是无穷等比数列，且，所以，所以，所以．故答案为：．【踩分点】11.【答案】【解析】【踩分点】已知动点在曲线上，则动点到直线的距离的最大值与最小值的和为 ．圆的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为，又动点在曲线上，∴动点到直线的距离的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为．故答案为：．12.【答案】方法一：方法二：【解析】在矩形中，边的长分别为，．若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是 ．设，则，，则，又，，，，即的取值范围是．以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，【踩分点】因为，，所以，，，．设，，因为,所以，所以,所以，所以，即．二、选择题（本大题共4小题）13.A.B.C.D.【答案】【解析】直线的一个方向向量可以是（ ）．A 直线可变形为，故直线的方向向量为，则与平行的向量即可作为直线的方向向量，因为，故直线的一个方向向量可以是．故选：．14.二元一次方程的系数行列式的值是（ ）．A.B. C. D.【答案】【解析】C二元一次方程的系数行列式为．故选．15.A.B.C.D.【答案】【解析】若等比数列的前项和，则的值为（ ）．C ∵，，，∴，又，由通项得：，公比为，∴，∴．故选：．16.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】【解析】已知点，曲线，曲线，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（ ）．B 已知点，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的圆，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的上半圆，①若点在曲线上，则点满足曲线的方程，即成立，但不一定有成立，所以点在曲线上，不能推出点在曲线上；②若点在曲线上，则点满足曲线的方程，有， 因为曲线为圆与轴交点的上方部分图形，，所以点在曲线上能推出点在曲线上，即能推出成立，根据充分条件和必要条件的定义可得，“点在曲线上”是“点在曲线上”的必要非充分条件．故选．三、解答题（本大题共5小题）17.【答案】【解析】【踩分点】已知直线与直线平行，并且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程．或．根据题意设直线的方程为，令，得，令，得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以，解得，所以直线的方程为或．18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知，，．求与的夹角的余弦值．若，求实数的值和向量．．；．∵，，∴与的夹角的余弦值为：（2）【踩分点】．∵，，．∴．∵，∴，解得，∴．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知定点，和曲线上的动点．求线段的垂直平分线的方程．若点是的重心，求动点的轨迹方程．．．∵，，∴中点，又∵，∴线段的垂直平分线的方程为．设，，∵点是的重心，∴，即，又因点在曲线上，∴即，∴动点的轨迹方程．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知数列中，，点，在直线上．求数列的通项公式．设，为数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得恒成立，若存在，写出的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．．存在，，证明见解析．数列中，，点在直线上，所以（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以．存在，由（）得，所以，即，故，，，，所有的式子相加得：，所以，所以．故存在关于的整式，使得恒成立．21.已知圆：（，）与轴、轴分别相切于、两点．（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】求圆的方程．若直线：与线段没有公共点，求实数的取值范围．试讨论直线：与圆：（，）的位置关系．．．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．由圆：(，）与轴、轴分别相切于、两点，且，，可得，则圆的方程为：．由（）可得，，，直线：过定点，如图，yO x∵，∴若直线：与线段没有公共点，则实数的取值范围是．由到直线的距离，解得，由图可知，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．yO x【踩分点】。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若不同的两点A 和B 在参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是__________．2．z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则z =_____________.3．将圆22:36C x y +=上任意一点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，从而得到椭圆E ，则椭圆E 的焦点坐标是_____________.4．若双曲线Γ的两个焦点1F 和2F 都在x 轴上且关于y 轴对称，Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，则此双曲线的渐近线方程是_____________.5．若双曲线H 的两个焦点都在y 轴上，且关于x 轴对称，焦距为10，实轴长与虚轴长相等，则双曲线H 的方程是_____________.6．二次函数238y x =的图像的准线方程是______________. 7．以方程22||||0x y x y +--=的曲线为边界的封闭区域的面积是______________.8．已知直线y m =与方程y =[]()21,21,x k k k Z ∈-+∈的曲线相交，相邻交点间的距离皆相等，则m =____________.9．设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________. 10．已知动圆过定点()4,0A ，它与y 轴相交所得的弦MN 的长为8，则满足要求的动圆其半径的最小值是_____________.11．设点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，使得2OP PQ =（O 为坐标系原点），坐标表示与PQ 同方向的单位向量，其结果是_____________.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则p = ．二、单选题13．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =⎧⎨=-⎩B ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩14．集合{|(1)(1)()}M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是（ ）A ．M R =∅B ．0M ∉C ．若z M ∈，则z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D ．若z M ∈，2z =，则z 不一定是纯虚数15．已知动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，且圆C 与直线2x =-相切，则圆C 与圆22(3)1x y -+=（ ）A ．总是相离B ．总是外切C ．一定有两个不同的公共点D ．可以有公共点，也可以没有公共点 16．已知点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和点都在一条既关于x 对称，又关于y 轴对称的二次曲线上，则这条二次曲线（ ）A ．一定是圆B ．一定是椭圆C ．一定是双曲线D ．可以是椭圆，也可以是双曲线17．设集合{,}A a b =，其中a 和b 都是复数，且使得{}22{,},a b a b=成立，则满足要求的集合A 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 18．设集合{}(,)|1A x y ==，(,)|)x B x y t y ⎧⎧⎫=⎪⎪⎪=⎨⎨⎬=⎪⎪⎪⎩⎭⎩为参数，则有（ ）A ．AB =∅ B ．A B ⊆C ．A B =D ．{}22(,)|1A B x y x y =+=三、解答题 19．把曲线P 的参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩化成普通方程，并在平面直角坐标系中画出相应的曲线.20．已知z 是纯虚数，并使得21z i+∈-R ，求z 21．对于有限集P ，我们以()f P 记该集合中元素的个数，若集合{}(,)|(0A x y x x ==，集合{}(,)|B x y y x k ==+，其中k 是常数，求()f A B .22．已知椭圆E 的方程是2214y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，与椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求AB 的最大值.23．在如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，以点A 和点B 为焦点，过点C 和点D 的椭圆的长轴长是2E a ，以点C 和点D 为焦点，过点A 和点B 的双曲线的实轴长是2H a ，试用两种方法证明:()()22E H a a AB CD ⋅=⋅24．设(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =(0)p >上的动点，也是直线l 与抛物线P 唯一的公共点，直线l 与抛物线P 的对称轴相交，点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，求动点F '的轨迹方程.参考答案1．2【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程可知,曲线为半径为2的圆,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.【详解】由参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）,可得22(1)(2)1x y ++-=, 所以点A 和B 在半径为1的圆上,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.故答案为 :2【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,圆的标准方程,属于基础题.2【分析】设出复数z 的代数形式，结合复数加减法和乘法的运算法则，根据已知2z z +=，()2z z i -=，这样可以求出复数的代数表示，最后根据复数模的定义求解即可.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，由221z z a bi a bi a +=⇒++-=⇒=.由()2()21z z i a bi a bi i b -=⇒+-+=⇒=-，所以1z i z =-⇒【点睛】本题考查了复数的加减法和乘法的运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数模的求法，属于基础题．3．(0,-【分析】设出圆22:36C x y +=上任意一点的坐标，再设出该点变换后的坐标，通过坐标之间的关系求出椭圆标准方程，进而求出焦点坐标..【详解】设00(,)P x y 是圆22:36C x y +=上任意一点，则有220036x y +=，点00(,)P x y 变换后对应点的坐标为'(,)P x y ，由题意可知：0000133x x x x y y y y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以有： 2222(3)361436x y x y +=⇒+=，因此有2236,4a b c ==∴==，焦点在纵轴上，因此焦点坐标为：(0,-.故答案为：(0,-【点睛】本题考查了坐标变换，考查了椭圆的焦点坐标，属于基础题.4．y =±【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，可得等式，这要再利用,,a b c 之间关系，求出,a b 之间的关系，进而求出渐近线方程.【详解】 由题意可设双曲线的方程为：22221x y a b-=，因为两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，所以有22222222398b c a a c a c ac a b b a a-=⇒=⇒==+∴=⇒=的渐近线方程为：y =±.故答案为：y =±【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题. 5．221252522y x -=【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据焦距为10、实轴长与虚轴长相等、,,a b c 的关系，求出,a b 即可.【详解】因为双曲线H 的两个焦点和都在y 轴上，且关于x 轴对称，所以设双曲线H 的标准方程为： 22221y x a b -=，因为焦距为10，所以2105c c =⇒=，因为双曲线的实轴长与虚轴长相等，所以a b =，而222c a b =+，所以有222252252a ab =⇒==，因此双曲线的标准方程为： 221252522y x -=. 故答案为：221252522y x -=【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了数学运算能力，属于基础题.6．23y =-【分析】把二次函数的解析式写成抛物线的标准方程的形式，最后求出准线方程即可.【详解】 223883y x x y =⇒=，所以准线方程为：23y =-. 故答案为：23y =- 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.7．2π+【分析】根据绝对值的性质，结合配方法化简方程，然后在直角坐标系内画出方程所表示的曲线，最后求出封闭区域的面积.【详解】当0,0x y ≥≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+--=⇒-+-=， 当0,0x y ≥<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+-+=⇒-++=， 当0,0x y <≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒++-=⇒++-=， 当0,0x y <<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+++=⇒+++=， 在直角坐标系内，方程所表示的曲线如下图所示：2222ππ⎛⨯=+ ⎝⎭. 故答案为：2π+【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．0,1,2【分析】把方程y =化简，在同一直角坐标系内画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，利用数形结合结合已知求解即可.【详解】22(2)1(0)y x k y y =-+=≥，在同一直角坐标系内，画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，如下图所示：显然当0,1m =时，相邻交点间的距离皆相等，当01m <<时，令221y m x x y =⎧⇒=⎨+=⎩令222(2)1y m x x y =⎧⇒=±⎨-+=⎩，由题意可知：201AB BC m m m =⇒=-=±<<∴=根据图形的对称性可知：此时相邻交点间的距离皆相等，故答案为： 【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，考查了数形结合思想，是中档题．9．2π 【分析】根据|||1|z i z -+-=可以知道复数z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距离之和为，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ 上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】 本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.10．4【分析】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，结合题意分析可得（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，解可得动圆圆心的轨迹的方程，进而可得r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16，结合二次函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，则有（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，则动圆圆心的轨迹M 的方程为y 2＝8x ，其中x ≥0，则r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16≥16，当x ＝0时，r 取得最小值，且其最小值为4；故答案为：4．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是分析圆心的轨迹，属于综合题．11．(88【分析】设出点P 和点Q 的坐标，根据2OP PQ =，结合半圆的方程，可以求出点P 和点Q 的坐标，最后求出向量PQ 的坐标表示和模，最后求出与PQ 同方向的单位向量. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，由1211212112232(,)2(,)(1)23x x OP PQ x y x x y y y y ⎧=⎪⎪=⇒=--⇒⎨⎪=⎪⎩， 因为点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，所以有()()221122222121x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩(2)， 由（1），（2）解得：211115584,48x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以5(,88PQ =，因此5(2PQ ==，所以与PQ同方向的单位向量为：(88. 故答案为：(88【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，考查了平面向量坐标的坐标表示，考查了平面向量共线坐标表示公式，考查了数学运算能力. 12．2或8． 【解析】试题分析：设(,)M x y ，55522p pMF x x =⇒+=⇒=-，22210y px p p ==-，设(0,2)A ，∴(,2)AM x y =-，(,2)2PAF =-，20420420424p y AM AF x y y y ⋅=⇒⋅+-=⇒+-=⇒=216102p p p ⇒=-⇒=或8．考点：1．抛物线的标准方程及其性质；2．圆的性质．【思路点睛】研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解． 13．A 【分析】根据直线倾斜角和直线斜率的关系求出斜率，最后利用点斜式求出直线方程，对四个选项中的参数方程进行加减法消元或代入法消元，化成点斜式方程，最后进行判断即可. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-，所以直线l 的斜率为：tan(arctan 2)tan(arctan 2)2π-=-=-. 又因为直线l 在y 轴上截距是2，所以直线l 的方程为：22y x =-+.选项A ：2222x ty x y t =⎧⇒=-+⎨=-⎩，符合题意；选项B ：2242x ty x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意； 选项C ：21222x t y x y t=⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意；选项D ：22112x t y x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意. 故选：A 【点睛】本题考查了直线倾斜角和直线斜率之间的关系，考查了参数方程化为普通方程，属于基础题. 14．A 【分析】A ：根据复数的分类结合集合的交集运算定义进行判断即可；B ：根据复数的分类结合元素与集合的关系进行判断即可；C ：根据复数在平面对应点的特征结合不等式组的解集进行判断即可；D ：根据复数模的定义结合复数的分类进行判断即可. 【详解】A ：当1t =-时，{2}M =-，因此{}2MR =-≠∅，故本命题是假命题；B ：当z R ∈时，1t =-，此时{2}M =-，因此0M ∉，故本命题是真命题；C ：当z 在复平面上所对应的点在第四象限时，则有1010t t ->⎧⎨+<⎩成立，而该不等式组的解集为空集，故本命题是真命题；D ：当2z =21t =⇒=±，即2,2z i =-，故本命题是真命题. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的分类、模的计算公式，考查了集合的交集运算，考查了元素与集合的关系，考查了命题的真假判断，属于基础题. 15．B 【分析】根据圆C 与直线2x =-相切，根据抛物线的定义，结合圆与圆的位置关系的判断方法进行判断即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点的坐标为(3,0)，恰好是圆22(3)1x y -+=的圆心，且该圆的半径为1，动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，所以有00x ≥，抛物线的准线方程为：3x =-.两个圆的圆心距为00(3)3x x --=+.因为圆C 与直线2x =-相切，所以该圆的半径为：00(2)2r x x =--=+，因此两个圆的半径之和为：001213r x x +=++=+，显然等于两个圆的圆心距，因此是两圆相外切. 故答案为：B 【点睛】本题考查了两个圆的位置关系判断，考查了抛物线的定义，考查了圆的切线性质. 16．B 【分析】根据题意可设二次曲线方程为：222x y r +=或221mx ny +=，根据两个点是否能同时满足方程进行判断即可. 【详解】当二次曲线方程为222x y r +=，把点的坐标代入方程中：有222223522r r⎧⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩，方程组无实数解，故这两个点不能在符合条件的圆上； 当二次曲线方程为221mx ny +=，把点的坐标代入方程中：有22213516221110m m n n m n ⎧⎧⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⇒⎝⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩，此时二次曲线表示椭圆. 故选：B 【点睛】本题考查了已知二次曲线过点求二次曲线方程，考查了数学运算能力. 17．C 【分析】根据集合相等的概念，分类讨论进行求解即可. 【详解】 因为{}22{,},a b a b=，所以有22,a a b b==或22,a b b a ==.当22,a a b b ==时，由20,1a a a =⇒=，同理可求得0,1b =，此时{0,1}A =. 当22,a b b a ==时，则有432(1)0(1)(1)0a a a a a a a a =⇒-=⇒-++=，解得0a =，或1a =，或2(1)0a a ++=，当0a =，或1a =时，此时{0,1}A =；当2(1)0a a ++=时，解得a =，当a =时，b =A =⎪⎪⎩⎭，当a =时，b =，此时11,22A ⎧⎫---⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 故选：C【点睛】本题考查了集合相等求元素，考查了分类讨论思想，考查了一元二次方程复数解问题，考查了数学运算能力. 18．D 【分析】对集合A 中的方程中左边的项移项，然后用平方法进行化简，对集合B 中的参数方程用平方法进行消参，然后逐一判断即可. 【详解】2211((1=⇒=-⇒=-,化简后再通过平方法化简，得221x y +=，因此{}22(,)|1A x y x y +==；22221,011(01,01)x x y t x y x y y ⎧=⎪⇒+=≤≤∴+=≤≤≤≤⎨=⎪⎩，因此 {}22(,)1(01,01)B x y x y x y =+=≤≤≤≤，显然A B B =，B A ⊆，A B ≠，{}22(,)|1A B x y x y =+=.故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集、并集的运用，方程的恒等变形、消参是解题的关键. 19．2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【分析】运用同角的三角函数关系式中平方和关系，结合二倍角的正弦公式，运用加减消元法求解即可，最后画出相应曲线即可. 【详解】22sin cos (1)(1)(2)sin cos )[1sin 2(2)x y x x x y θθθθθπθ=+⎧-⇒==+=+∴∈⎨=+⎩因此普通方程为：2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【点睛】本题考查了将参数方程化为普通方程，考查了画方程的曲线，考查了同角的三角函数关系中的平方和关系，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 20．-2i 【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i+-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z . 【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b ibi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.21．当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =【分析】运用绝对值的性质，结合乘法运算的性质，可以求出集合A 表示的曲线方程，在同一角坐标系内画出集合,A B 表示的曲线，利用数形结合思想求解即可. 【详解】当0x =时，显然有0x ≤，若0y ≥时，221x y +=；当0y <时，有221x y -=.当0x =时，显然有0x ≥，若0y ≥时，221x y -=；当0y <时，有221x y +=.在同一直角坐标系内画出集合,A B 所表示的曲线，如下图所示：当直线y x k =+与221x y +=(0x ≤且0)y ≥1k =⇒=知：此时k =y x k =+与221x y +=(0x ≥且0)y <相切时，此时k =221x y -=的渐近线方程的方程为y x =±，由图象可知：当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =.【点睛】本题考查了集合元素的属性特征，考查了集合交集的几何意义，考查了曲线与方程的关系，考查了数形结合思想. 22．2 【分析】讨论直线l 与y 轴垂直，求得A ，B 的坐标，可得弦长；再由直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+，求得O 到直线l 的距离，联立椭圆方程可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合基本不等式即可得到所求最大值． 【详解】当直线l 垂直于y 轴时，由直线l 与圆O ：221x y +=相切， 可知直线l 的方程为y ＝±1，联立22114y y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =， 联立22114y y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2x =±，∴AB ；当直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+,由直线l 与圆O ：221x y +=1，即221t m =+，将x my t =+代入2214yx +=，整理得222)(148440m y mty t -+++＝，设1122(,),(,)A x y B x y ,则有122814mt y y m +=-+，21224414t y y m -=+，AB ==()222231214m m m++≤=+ 当且仅当2213mm +=时等号成立，即2m =±时，|AB |取得最大值2． 综上可得AB 的最大值为2． 【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆弦长的求法，考查运算求解能力，考查了重要不等式的应用，考查化归与转化思想，是中档题． 23．两种证明方法见解析. 【分析】运用椭圆和双曲线的定义，利用勾股定理和坐标法证明即可. 【详解】证法一、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+， 双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣ 如图可设CM AB DN AB ⊥⊥，， 可得:22222222()()()()CA CB CM AM CM BM AM BM AM BM AM BM AB MN AB CD--=-=+-=⋅=+⋅+=即有()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立； 证法二、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+，双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣以AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设(0),(0),(,),(,),,0A m B m C n h D n h m n -->，，，可得222222(())4CA CB n m h m n h mn AB CD -=-++--⋅＝＝ 则()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，运用勾股定理和等腰梯形的性质以及坐标法是解题的关键，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题． 24．2py =- 【分析】设出过设(),M M M x y 的直线方程，与抛物线的方程联立，根据已知，由一元二次方程根的判别式求出直线l 的方程，再根据斜率公式和中点坐标公式求出动点F '的轨迹方程. 【详解】抛物线2:2P x py =的对称轴为纵轴，所以直线l 存在斜率，因此设它的方程为：()M M y y k x x -=-，与抛物线方程联立，消y 得：222()0M M x pkx p y kx ---=，由题意得：22(2)8()0220(1)M M M M pk p y kx pk y kx ∆=-+-=⇒+-=,又因为(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =上的动点，所以有22(2)M M x py =，由（1）（2）可得：1M k x p=， 所以直线l 的方程为：212M M x y x p p=-设F '的坐标为：(,)x y ，抛物线的焦点坐标为：(0,)2p ，因为点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，所以有： 2212222M M M p y x x p p y x x x p p ⎧-⎪⋅=-⎪⎪⎨⎪+⎪=⋅-⎪⎩，消去M x ，得221022p x y p y ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以动点F '的轨迹方程为：2p y =-. 【点睛】本题考查了抛物线的切线方程以及两点关于直线对称问题．属中档题．。
2020学年上海中学高二(上)期末数学试卷(附详解)
2020学年上海中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “k <−1”是“方程x 2k+3+y 22k+4=1表示焦点在x 轴上的椭圆“的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要2. 双曲线kx 2−y 2=1的一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，则此双曲线的离心率是( )A. √52B. √32C. 4√3D. √53. 给出下列四个命题：①若复数z 1，z 2满足|z 1−z 2|=0，则z 1=z 2；②若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0； ③若复数z 满足z 2=−|z|2，则z 是纯虚数； ④若复数z 满足|z|=z ，则z 是实数， 其中真命题的个数是( )A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 44. 已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A. 2B. 3C. 17√28D. √10二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 若复数(1+2i)z =3i −1，则|z|=______． 6. 抛物线y 2=x 的准线方程为______． 7. 椭圆x 2+3y 2=6的焦距是______．8. 已知复数a ，b 满足集合{−a,b}={a 2,b +1}，则ab =______ 9. 计算：1+2i +3i 2+4i 3+⋯+10i 9=______．10. 已知抛物线C ：y 2=4x ，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则|PQ|的取值范围是______．11. 已知P 为双曲线x 2−y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线y =x +2的距离大12.平面上一台机器人在运行中始终保持到点P(−2,0)的距离比到点Q(2,0)的距离大2，若机器人接触不到过点M(√3,3)且斜率为k的直线，则k的取值范围是______．13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2=π3，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为______．14.已知一族双曲线E n：x2−y2=n2019(n∈N∗，且n≤2019)，设直线x=2与E n在第一象限内的交点为A n，点A n在E n的两条渐近线上的射影分别为B n，C n，记△A n B n C n 的面积为a n，则a1+a2+a3+⋯+a2019=______．15.已知点P(0,1)，椭圆x24+y2=m(m>1)上两点A，B满足，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．16.已知椭圆G：x26+y2b2=1(0<b<√6)左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点分别为B1，B2，点P在椭圆C上，且满足|PF1|+|PF2|=|PB1|+|PB2|，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2；④|OP|最大值为√6，其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知复数数z满足|z|2−2z−=7+4i，求z．18.已知复数z=(2+i)m+2ii−1(其中i是虚数单位，m∈R)．(1)若复数z是纯虚数，求m的值；(2)求|z−1|的取值范围．19. 假定一个弹珠(设为质点P ，半径忽略不计)的运行轨迹是以小球(半径R =1)的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5．(1)求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；(2)弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 的距离是√13时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞．20. 已知曲线C 的参数方程是{x =√2t2+√24t y =t −12t(参数t ∈R)． (1)曲线C 的普通方程；(2)过点A (2,1)的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．21.如图，由半圆x2+y2=1(y≤0)和部分抛物线y=a(x2−1)(y≥0,a>0)合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C经过点(2,3)．(1)求a的值；(2)设A(1,0)，B(−1,0)，过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(1,√22)，N(0,−1)，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，与圆x2+y2=23相切与点T．(1)求椭圆C的方程；(2)以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆C上，且满足OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O是坐标原点)，求实数λ的取值范围；(3)线段|AT|⋅|BT|是否为定值，如果是，求|AT|⋅|BT|的值；如果不是，求|AT|⋅|BT|的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：若方程x 2k+3+y 22k+4=1表示焦点在x 轴上的椭圆， 则{k +3>02k +4>0k +3>2k +4，解得：−2<k <−1， 故“k <−1”是“方程x 2k+3+y 22k+4=1表示焦点在x 轴上的椭圆“的必要不充分条件， 故选：B ．根据椭圆性质得到关于k 的不等式，解出判断即可．本题考查了充分必要条件，考查椭圆的性质，是一道常规题．2.【答案】A【解析】解：设双曲线kx 2−y 2=1为x 2a2−y 2=1，它的一条渐近线方程为y =1a x 直线2x +y +1=0的斜率为−2 ∵直线y =1a x 与直线2x +y +1=0垂直 ∴1a ×(−2)=−1即a =2∴e =c a =√22+122=√52故选A ．分析：已知双曲线kx 2−y 2=1的一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，可求出渐近线的斜率，由此求出k 的值，得到双曲线的方程，再求离心率本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，由此关系求k ，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．3.【答案】B【解析】解：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，对于①：|z 1−z 2|2=(a 1−a 2)2+(b 1−b 2)2=0，则a 1=a 2，b 1=b 2，即有z 1=z 2，故①正确；对于②：|z 1+z 2|2=(a 1+a 2)2+(b 1+b 2)2=|z 1−z 2|2=(a 1−a 2)2+(b 1−b 2)2，对于③：如z =0时，尽管满足z 2=−|z 2|，但z 不是纯虚数．故③错误；对于④：若|z|=z ，则√a 2+b 2=a +bi ，左边为实数，故b =0，故z 为实数，故④正确． 故选：B ．根据复数的相关运算及概念逐一进行判断即可．本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复数的基本概念以及基本运算，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】 【分析】本题考查直线与抛物线关系及利用基本不等式求最值，属于中档题．可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． 【解答】解：设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)，由{x =ty +my 2=x ⇒y 2−ty −m =0，Δ=t 2+4m >0， 根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m ， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2， 结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0，∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2，故m =2， 此时Δ=t 2+4m >0成立．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F(14,0)，=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3． 故选B ．5.【答案】√2【解析】解：由(1+2i)z =3i −1，得z =−1+3i 1+2i，则|z|=|−1+3i 1+2i|=|−1+3i||1+2i|=√10√5=√2．故答案为：√2．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．6.【答案】x =−14【解析】解：抛物线y 2=x 的焦点在x 轴上，且开口向右，2p =1∴p 2=14∴抛物线y 2=x 的准线方程为x =−14 故答案为：x =−14抛物线y 2=x 的焦点在x 轴上，且开口向右，2p =1，由此可得抛物线y 2=x 的准线方程．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．7.【答案】4【解析】 【分析】将椭圆的方程化为标准方程可得a ，b 的值，进而求出c 的值，求出焦距． 本题考查椭圆的性质，属于基础题． 【解答】解：椭圆的方程整理可得x 26+y 22=1，可得a 2=6，b 2=2，所以焦距2c =4， 故答案为：4．8.【答案】1【解析】解：根据集合相等的条件可知，若{−a,b}={a 2,b +1}，则{−a =a 2b =b +1①或{−a =b +1b =a 2②， 由①得：b 不存在，不满足条件． 由②得，若b =a 2，−a =b +1；则两式相结合得{a =−12−√32i b =−12+√32i 或{a =−12+√32ib =−12−√32i ，∴ab =1； 故答案为：1．根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．9.【答案】5+6i【解析】解：令S =1+2i +3i 2+4i 3+⋯+10i 9， 则iS =i +2i 2+3i 3+⋯+10i 10，∴(1−i)S =1+i +i 2+⋯+i 9−10i 10=1×(1−i 10)1−i −10i 10=21−i +10=2(1+i)(1−i)(1+i)+10=11+i ， 则S =11+i 1−i=(11+i)(1+i)(1−i)(1+i)=5+6i ．故答案为：5+6i ．令S =1+2i +3i 2+4i 3+⋯+10i 9，两边同时乘以i ，再由错位相减法求和即可． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．10.【答案】[4,+∞)【解析】解：易知F(1,0)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线l 的斜率不存在时，|PQ|=2p =4， 由题意可得直线l 的斜率存在，设其方程为：y =kx −k ，联立直线与椭圆的方程{y =kx −k，整理可得：k 2x 2−2k 2x −4x +4k 2=0，可得x +x2=4+2k2k2，所以|PQ|=x1+x2+2=2+4+2k2k2>4，综上，|PQ|的取值范围是[4,+∞)．故答案为：[4,+∞)由题意讨论直线l的斜率是否存在，若直线l的斜率不存在，求得|PQ|；若直线l的斜率存在，设直线的方程，与抛物线联立可得两根之和，由抛物线的性质可得|PQ|的表达式，|PQ|=x1+x2+p，可得|PQ|的范围．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.【答案】(−∞,√2]【解析】解：由题意，双曲线x2−y2=1的渐近线方程为x±y=0，由点P到直线x−y+2=0的距离大于m恒成立，∴m的最大值为直线x−y+2=0与渐近线x−y=0的距离，即d=22=√2．实数m的取值范围是(−∞,√2].故答案为：(−∞,√2].双曲线x2−y2=1的渐近线方程为x±y=0，m的最大值为直线x−y+2=0与直线x−y=0的距离．本题考查双曲线的性质，考查两平行线之间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．12.【答案】[√3,2√3)【解析】解：由题意可知机器人的运动轨迹是双曲线的右支，由2a=2，c=2，可得b=√3，所以机器人的运动轨迹方程为：x2−y23=1(x≥0)，直线的方程为：y−3=k(x−√3)，即y=k(x−√3)+3，联立方程{y=k(x−√3)+3x2−y23=1，消去y得：(3−k2)x2+(2√3k2−6k)x+6√3k−3k2−12=0，①当3−k2=0时，若k=√3，则此时直线方程为y=√3x恰好为双曲线的渐近线，符解得√3<k<2√3，综上所述，k的取值范围为：[√3,2√3)，故答案为：[√3,2√3).由题意可知机器人的运动轨迹方程为：x2−y23=1(x≥0)，联立直线和双曲线方程，对二次项系数分类讨论，再利用△<0，即可求出k的取值范围．本题主要考查了双曲线的定义，以及直线与双曲线的位置关系，是中档题．13.【答案】√33【解析】【分析】本题考查椭圆的定义及简单几何性质，同时考查定理的应用，可得P，F2，M三点共线，|PF1|+|PM|+|MF1|=4a，可得|PF1|=43a，|PF2|=23a，由余弦定理可|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2可得a，c的关系，即可求离心率．【解答】解：如图，∵F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，∴P，F2，M三点共线，设|PF1|=m，则|PM|=m，|MF1|=m，又|PF1|+|PM|+|MF1|=4a=3m，∵|PF1|=43a，|PF2|=23a，由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2，∴a2=3c2，e=ca =√33．故答案为√3．14.【答案】5052【解析】解：设A n (x 0,y 0)，可得x 02−y 02=n2019双曲线E n ：x 2−y 2=n2019(n ∈N ∗，且n ≤2019)的渐近线方程为x −y =0，x +y =0， 点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ， 不妨取|A n B n |=00√2，|A n C n |=00√2，由双曲线E n 的两条渐近线互相垂直，可得A n B n ⊥A n C n ， 则△A n B n C n 的面积a n =12|A n B n |⋅|A n C n |=1200√200√2=x 02−y 024=18076n ，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=18076×12×2019×2020=5052．故答案为：5052．求得双曲线的渐近线方程，应用点到直线的距离公式可得|A n B n |，|A n C n |，可得A n B n ⊥A n C n ，由三角形的面积公式，可得a n ，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和． 本题考查数列与双曲线的综合应用，考查双曲线的渐近线方程和等差数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.【答案】5【解析】 【分析】本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y 1，y 2，有x 22=m −(3−m 2)2，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m 的值．【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由P(0,1)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得−x 1=2x 2，1−y 1=2(y 2−1)， 即有x 1=−2x 2，y 1+2y 2=3，又x 12+4y 12=4m ，x22+4y22=4m，②①−②得(y1−2y2)(y1+2y2)=−3m，可得y1−2y2=−m，解得y1=3−m2，y2=3+m4，则m=x22+(3−m2)2，即有x22=m−(3−m2)2=−m2+10m−94=−(m−5)2+164，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．16.【答案】①③【解析】解：由椭圆的对称性及|PF1|+|PF2|=|PB1|+|PB2|，所以可得以B1，B2为焦点的椭圆为椭圆Γ：y26+x26−m2=1，则点P为椭圆C：x26+y2m=1与椭圆Γ：y26+x26−m=1的交点，因为椭圆G的长轴顶点(±√6,0)，短轴的绝对值小于√6，椭圆Γ的长轴顶点(0,±√6)，短轴的交点的横坐标的绝对值小于√6，所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，点P靠近坐标轴时(m→0或m→√6)，|OP|越大，点P远离坐标轴时，|OP|越小，易得m2=3时，取得最小值，此时C：x26+y23=1,Γ：y26+x23=1，两方程相加得x22+y22=2⇒√x2+y2=2，即|OP|的最小值为 2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点P不在坐标轴上，∴|OP|<√6，④错误．故答案为：①③．由椭圆的对称性及|PF1|+|PF2|=|PB1|+|PB2|，写出以B1，B2为焦点的椭圆，可得两个椭圆有4个交点，可判断出①正确，②不正确；点P靠近坐标轴时|OP|越大，点P远离坐标轴时，|OP|越小，易得m2=3时，取得最小值，可得|OP|的最小值，椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点P不在坐标轴本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断，属于中档题．17.【答案】解：设z =a +bi(a,b ∈R)，代入|z|2−2z −=7+4i ，得a 2+b 2−2(a −bi)=7+4i ，即{a 2+b 2−2a =72b =4，解得{a =3b =2或{a =−1b =2． ∴z =3+2i 或 z =−1+2i ．【解析】设z =a +bi(a,b ∈R)，代入|z|2−2z −=7+4i ，整理后利用复数相等的条件列关于a ，b 的方程组求得a ，b 的值，则答案可求．本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础题．18.【答案】解：z =(2+i)m +2i i−1=2m +mi +2i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=(2m +1)+(m −1)i ．(1)∵复数z 是纯虚数，∴{2m +1=0m −1≠0，即m =−12；(2)z −1=2m +(m −1)i ，|z −1|=√4m 2+(m −1)2=√5m 2−2m +1=√5(m −15)2+45≥2√55，∴|z −1|的取值范围是[2√55,+∞)．【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ． (1)由实部为0且虚部不为0列式求得m 值； (2)求出|z −1|，利用配方法求范围．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．19.【答案】解：(1)由题意，{a −c =2a +c =6⇒{a =4c =2⇒C ：x 216+y 212=1，(2)设 P(x,y)(x,y >0)，联立x 216+y 212=1与x 2+y 2=13，可求出P(2,3)设直线方程为 y −3=k(x −2)，即 kx −y +(3−2k)=0，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心(2,0)到直线 kx −y +(3−2k)=0的距离大于圆半∴√k 2+1>1，解得 k ∈(−2√2,2√2).【解析】(1)由题意可得a +c 和a −c 的值，求出a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出b 的值，进而求出椭圆的方程；(2)联立椭圆与圆的方程，求出P 的坐标，由椭圆的对称性，设P 为第一象限的点，设过P 的直线方程，由弹珠和小球不会发生碰撞，可得圆心到直线的距离大于半径可得k 的取值范围．本题考查求椭圆的方程及直线与圆相离的性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程是{x =√2t2+√24t y =t −12t (参数t ∈R).转换为直角坐标方程为：x 2−y 22=1；(2)点差法：设 P(x 1,y 1 )，Q(x 2,y 2)，中点M(x,y)， 其中x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，则：{x 12−y 122=1x 22−y 222=1，两式相减：x 12−x 22−(y 122−y 222)=0， 整理得：2(x 1+x 2)y 1+y 2=y 1−y 2x 1−x 2，由于x 1+x 22=x,y 1+y 22=y ，则：4x2y =k PQ 又：k MA =y−1x−2， 由k PQ =k MA ，所以2xy =y−1x−2，整理得：点 M 的轨迹方程为 2x 2−4x −y 2+y =0．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点差法的应用和直线和曲线的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系的应用，点差法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22∴∠QBA +∠BAP =90° ∴k QB ⋅k QA =1设Q(x 0,x 02−1)，其中x 0>0∴k QB =x 02−1x 0+1=x 0−1，k QA =x 02−1x 0−1=x 0+1，∴k QB ⋅k QA =x 02−1=1∵x 0>0，∴x 0=√2 ∴k =k QA =√2+1∴存在实数k =1+√2，使得∠QBA =∠PBA ．【解析】(1)把点(2,3)代入y =a(x 2−1)，可求a 的值； (2)由题意可知k QB ⋅k QA =1，利用斜率公式，即可求得结论． 本题考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点M(1,√22)，N(0,−1)， 可知b =1，1a 2+24=1，解得a =√2， 所以椭圆方程：x 22+y 2=1；(2)由直线l 与圆 x 2+y 2=23 相切，可得√1+k 2=√63，即3m 2−2k 2−2=0，设 A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，Q(x 0,y 0)，{y =kx +mx 22+y 2=1⇒(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0 ⇒{x 1+x 2=−4km 1+2k 2x 1x 2=2m 2−21+2k 2⇒y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，由向量的平行四边形法则，知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且λ≠0，(λ=0，即m =0时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB) ∴{x 0=x 1+x 2λy 0=y 1+y 2λ⇒x 0=−4kmλ(1+2k 2)，y 0=2mλ(1+2k 2)，∵点 Q 在椭圆，化简得4m 2=λ2(1+2k 2)①由3m 2−2k 2−2=0，得2k 2=3m 2−2，代入①式，得λ2=4m 23m 2−1=43−1m 2，由3m 2−2≥0，得m 2≥23， ∴43<4m 23m 2−1≤83，即43<λ2≤83 ②又△>0，得1+2k 2>m 2 ③， 由①③，得 4m 2>λ2 m 2， ∵m ≠0， ∴0<λ2<4 ④，由②④，得43<λ2≤83，解得λ∈[−2√63,−2√33)∪(2√33,2√63]，(3)由(2)知，x 1x 2=2m 2−21+2k 2，而y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−2k 1+2k 2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=3m 2−2k 2−21+2k 2=0，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴Rt △AOT ∼Rt △OBT ⇒|AT|⋅|BT|=|OT|2=23．【解析】(1)通过椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)经过点M(1,√22)，N(0,−1)，求出b ，a然后得到椭圆方程．(2)由直线l 与圆 x 2+y 2=23 相切，可得3m 2−2k 2−2=0，设 A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，Q(x 0,y 0)，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，通过，向量的平行四边形法则，知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且λ≠0，(λ=0，即m =0时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB)，求出Q 点的坐标，代入椭圆方程得4m 2=λ2(1+2k 2)求出m 的范围，然后求解λ范围．(3)由(2)知，求出y 1y 2，通过OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0，得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．。
上海市2021-2021年高二上期末数学试卷含答案解析
高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为______．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______．4．行列式中﹣3的代数余子式的值为______．5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为______．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是______．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是______．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是______．10．若，且存在，则实数a的取值范围是______．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为______．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是______．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a ，b ）关于直线x +y=1的对称点的坐标是（ ）A ．（1﹣b ，1﹣a ）B ．（1﹣a ，1﹣b ）C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ） 14．若位于x 轴上方、且到点A （﹣2，0）和B （2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C ，点P 的坐标为（a ，b ），则“”是“点P 在曲线C 上”的（ ） A ．.充分不必要条件 B ．.必要不充分条件C ．.充要条件D ．既非充分又非必要条件15．在圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y=15内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则|AC |•|BD |的值为（ ）A ．B ．C ．D ．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A ． B ．C ．D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的简单性质求解．【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：=1，∴a=10，b=5，∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20．故答案为：20．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，∴θ=．故答案为：．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为4．行列式中﹣3的代数余子式的值为﹣5．【考点】三阶矩阵．【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．【解答】解：由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣=﹣（3+2）=﹣5故答案为：﹣55．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为3x﹣2y+2=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：∵AC的中点M（2，4），∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x﹣2y+2=0，故答案为：3x﹣2y+2=0．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，求出直线的斜率，则由题意可得tanθ=||=1，由此求得θ的值．【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为﹣2，tanθ=||=1，解得θ=，故答案为：．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【考点】数学归纳法．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中p输入6，可得：进入循环的条件为n＜6，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当n=1时，S=0+2﹣1=；当n=2时，S=+2﹣2=；当n=3时，S=+2﹣3=；当n=4时，S=+2﹣4=；当n=5时，S=+2﹣5=；当n=6时，退出循环，则输出的S为：．故答案为：．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a．【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则，解得a＜﹣2．（2）若B在圆内部，A在圆外部，则，解得a＞1．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故答案为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．10．若，且存在，则实数a的取值范围是﹣1≤a ＜2．【考点】极限及其运算．【分析】根据得出﹣1＜＜1，再根据存在得出﹣1＜≤1，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：∵，∴=，∴﹣1＜＜1，解得﹣4＜a＜2；又存在，∴﹣1＜≤1，解得﹣1≤a＜3；综上，实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故答案为：﹣1≤a＜2．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，﹣1），从而由可以求出x=，即点M（），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出，这样根据便可用k分别表示出x，y，这样消去k便可得出关于x，y的方程，并验证点是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴；∴A（1，0），B（0，﹣1）；∴由得，（x﹣1，y）=2（﹣x，﹣1﹣y）；∴；∴；即；（2）若l1斜率为k，l2斜率为，则：l1：y﹣4=k（x﹣1），令y=0，x=；∴；l2：，令x=0，y=；∴；∴由得，；∴；∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；点满足方程9x+6y+1=0；综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．故答案为：9x+6y+1=0．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是[﹣20，4]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根据﹣1≤cosθ≤1便可求出的取值范围．【解答】解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则：；点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；∴设P（3cosθ，3sinθ）；∴；∴；∵﹣1≤cosθ≤1；∴﹣20≤﹣12cosθ﹣8≤4；∴的取值范围为[﹣20，4]．故答案为：[﹣20，4]．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（1﹣b，1﹣a）B．（1﹣a，1﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（﹣b，﹣a）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可．【解答】解：点（a，b）关于直线x+y=1对称的点为（x，y），则，解得：，故选：A．14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A．.充分不必要条件B．.必要不充分条件C．.充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．即可判断出结论．【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．∴“点P在曲线C上”⇒“”，反之也成立．∴“”是“点P在曲线C上”的充要条件．故选：C．15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25，则圆心坐标为（1，3），半径为5，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|•|BD|=10•4=40．故选：C．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A ． B ．C ．D ．【考点】数列的极限．【分析】对于A ，运用数列的极限，即可判断；对于B ，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；对于C ，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；对于D ，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论．【解答】解：对于A ，（b n ﹣a n ）=﹣=2﹣1=1≠0，故不构成区间套；对于B ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套；对于C ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套对于D ，由1﹣（）n ＜1﹣（）n +1＜1+（）n +1＜1+（）n ，满足[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]；又（b n ﹣a n ） =[1﹣（）n ]﹣[1+（）n ]=1﹣1=0，故构成区间套． 故选：D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是 A 1A 2+B 1B 2=0，可得 1×m +（1+m ）•2=0，由此求得解得m 的值．（2）由两直线平行的充要条件是=≠，由此求得解得m 的值．【解答】解：（1）∵两条直线l 1：x +（1+m ）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0，由两直线垂直的充要条件可得 A 1A 2+B 1B 2=0，即1×m+（1+m）•2=0，解得m=﹣．（2）由两直线平行的充要条件可得=≠，即=≠，解得：m=1．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论．（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），∴AB是直径，则AB的中点（﹣1，0），即圆心E（﹣1，0），半径R=|BE|====5，则圆E的方程为（x+1）2+y2=25．（2）∵（4+1）2+102=125＞25，∴点M在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4﹣（﹣1）=5．此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣10=k（x﹣4），即kx﹣y+10﹣4k=0，则圆心到直线的距离d===5，即|2﹣k|=，平方得4﹣4k+k2=1+k2，即4k=3，则k=，此时切线方程为3x﹣4y+28=0，综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x﹣4y+28=0或x=4．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）==k+=k（）+，（2）利用（1）的结论，对取平方，转化为二次函数求最值．【解答】解：（1）==k+=k（）+=（1﹣k）+k．（2）=2×=﹣1．∴||2=[（1﹣k）+k]2=4（1﹣k）2+k2﹣2k（1﹣k）=7k2﹣10k+4=7（k﹣）2+．∴f（k）=．f（k）的最小值为=．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．【考点】数学归纳法；数列的函数特性．【分析】（1）由，且对任意n∈N*，都有．可得a2==，a3=，a4=．由此推测{a n}的通项公式，a n=．再利用数学归纳法证明即可得出．（2），可得b n=+9，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列{b n}的各项之和T n．【解答】解：（1）∵，且对任意n∈N*，都有．∴a2==，a3==，a4==．由此推测{a n}的通项公式，a n=．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==成立；②假设当n=k∈N*时，a k=．===，则n=k+1时，a k+1因此当n=k+1时也成立，综上：∀n∈N*，a n=成立．（2），∴b n=（﹣2）n=+9，∴无穷数列{b n}的各项之和T n=+=﹣=+﹣．当n=2k（k∈N*）时，T n=+﹣，T n单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=×﹣﹣，T n单调递增，且T n＜0．综上可得：T n的最大项为T2=．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），P（x′，y′），由=2，可得（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入曲线C1的方程可得曲线C2的方程．（2）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．利用数量积运算性质可得：=﹣6﹣，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k （x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，可得|MN|=，点Q到直=d|MN|，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得线l的距离d．可得S△QMN出．【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x′，y′），∵=2，∴（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入+（y′）2=1，可得+=1，∴曲线C2的方程为+=1．（2）F1（﹣，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．则=（2cosθ+，sinθ）•（﹣4cosθ﹣，﹣2sinθ）=（2cosθ+）（﹣4cosθ﹣）+sinθ（﹣2sinθ）=﹣6﹣，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴∈．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|==，点Q到直线l的距离d==．=d|MN|=6|sinθ﹣2kcosθ|．∴S△QMN令|sinθ﹣2kcosθ|=|sinα|，=6|sinα|，令|sinα|=t∈[﹣1，1]，则S△QMN=6t=f（t），令|sinα|=t∈[﹣1，1]，∴S△QMN则f2（t）=﹣36t4+144t2=﹣36（t2﹣2）2+144，当且仅当t2=1时，f（t）取得最大值6．。
上海市实验学校2020-2021学年高二上学期期末数学试题解析高中数学
（2）到原点的“折线距离”等于1的集合是一个圆；
（3）到 ， ，两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
（4）到 ， ，两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.
其中正确的命题是_________.（写出所有正确命题的序号）
答案：（3）（4）
根据“折线距离”的定义逐项判断.
，则 ．
则 ．
点评：本题考查了复数 运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.抛物线 的准线方程为_____．
答案：
本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程．
解：由抛物线方程可知，抛物线 的准线方程为： ．
故答案为 ．
点评：本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题．
12.一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
答案：D
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 关于 轴的对称点 ，设反射光线所在直线方程为 ，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率 .
解：根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 关于 轴的对称点 ，
解：解： 双曲线 的两条渐近线为： ，
设双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为 、 ，
，
所以
因为 ，所以 ，所以
所以两条渐近线的夹角为 ，
则 ，
所以两条渐近线 夹角为 ，
故答案为： ．
5.已知 满足 ，则 的最大值是__________．
答案：
画出二元一次不等式组所表示的可行域，动态平移直线 至点 处可得 的最大值.
上海市市北中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题 答案和解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．计算 ．
2．已知向量 与 ，则 在 方向上的投影为_______
3．过点 ,且以 为法向量的直线的点法向式方程为_______
4．直线 被圆 所截得的弦长等于 ，则 ________
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试问 轴上是否存在异于点 ,的定点 ,使得以 为直径的圆恒过直线 , 的交点,若存在,求出点 的坐标；若不存在,说明理由．
参考答案
1．
【详解】
2．3
【分析】
（1）由向量数量积运算的几何意义知，向量 在 方向上的投影为 ，代入坐标计算即可.
【详解】
,
设向量 与 的夹角为 ，
则向量 在 方向上的投影为
4．
【分析】
根据弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可求解.
【详解】
设圆心到直线的距离为d,
则 ，
由平面几何知识知，弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形，
所以 ，
解得 ，
故答案为
【点睛】
本题主要考查了圆的几何性质，点到直线的距离公式，属于中档题.
5．3
【分析】
根据直线平行的条件可知， ，注意排除直线重合的情况，即可求解.
考点：轨迹方程的求解
点评：主要是考查了轨迹方程的秋季，属于基础题．
9．②③
【分析】
由直线倾斜角的范围判断①错误；求出直线 恒过的定点M，再求出MA和MB所在直线的斜率判断②正确；由 的几何意义可知 是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，求出过原点的圆的切线的斜率判断③正确；由直线 恒过的定点在椭圆内部求解m的取值范围，结合圆的条件判断④错误.
上海市徐汇区2020-2021学年高二上学期期末数学试题
上海市徐汇区2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线3450x y --=的倾斜角的大小为__（结果用反三角函数值表示） 2．若()5,4OA =-，()7,9OB =，则与AB 同向的单位向量的坐标是__．3．若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭,解为21x y =⎧⎨=⎩,则a b +=_______. 4．行列式中63125142k --中元素-3的代数余子式的值为7，则k =__．5．以点()3,4P 和点()5,6Q -为一条直径的两个端点的圆的方程是___．6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆2240x y x +-=的圆心重合，则该抛物线的准线方程为__．7．在ABC ∆中，||3,||7,||5AB BC CA ===，则BA 在AC 方向上的投影是_______. 8．已知双曲线221kx y -=的一条渐近线的方向向量()2,1d =-，则k =__． 9．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= ．10．已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为16，则b =__． 11．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||OP PF +的最小值为_________12．在直角坐标系中，两个动圆均过(1,0)A 且与直线:1l x =-相切，圆心分别为12C C 、，若动点M 满足22122C M C C C A ---→---→--→=+，则M 的轨迹方程为_____________二、单选题 13．“11220a b D a b =≠”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（ ）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．不充分不必要14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．715．已知集合(){},25P x y x y =+=，(){}22,5Q x y xy =+=，则集合P Q 中元素的个数是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．816．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为(),0by x a b a=±>，若双曲线上有一点()00,M x y ，使00b x a y <，则双曲线的焦点（ ） A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．当a b >时在x 轴上D ．当a b >时在y 轴上三、解答题17．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = （1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5||b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ.18．已知直线l 经过点(P -，并且与直线0:20l x +=的夹角为3π，求直线l 的方程．19．如图所示，()A 、B 、C 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上的三点，BC过椭圆E 的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形．（1）求椭圆E 的方程； （2）求ABC ∆的面积．20．如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为1F 、1F ，试在“8”字形曲线上求点P ，使得12F PF ∠是直角．21．对于曲线():,0C f x y =，若存在非负实常数M 和m ，使得曲线C 上任意一点(),P x y 有m OP M ≤≤成立（其中O 为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界0M 成为曲线C 的外确界，最大的内界0m 成为曲线C 的内确界．（1）曲线24y x =与曲线()2214x y -+=是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C 上任意一点(),P x y 到定点()11,0F -，()21,0F 的距离之积为常数a a ，求曲线C的外确界与内确界．(0)参考答案1．3arctan 4【解析】 【分析】 根据3tan 4k α==即可得解. 【详解】∵直线3450x y --=，∴直线的斜率是34，∴3tan 4α=，[]0,απ∈，∴3arctan4α=， 故答案为：3arctan 4． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，考查了反三角函数的概念，属于基础题. 2．125,1313⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先求出()12,5AB =，再利用与AB 同向的单位向量为AB AB即可得解.【详解】∵()5,4OA =-，()7,9OB =，∴()12,5AB OB OA =-=，1213AB ==；∴与AB 同向的单位向量的坐标为125,1313ABAB ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：125,1313⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了向量的线性运算和单位向量的概念，属于基础题. 3．2【分析】根据线性方程组的增广矩阵写出方程组的形式,根据它的解可以求出相关系数,最后计算即可. 【详解】因为线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭,所以有02201ax y ax x y b y b +⋅==⎧⎧⇒⎨⎨⋅+⋅==⎩⎩, 解为21x y =⎧⎨=⎩,所以有221211a a ab b b ⋅==⎧⎧⇒⇒+=⎨⎨==⎩⎩. 故答案为：2 【点睛】本题考查了增广矩阵的概念,考查了数学运算能力. 4．3 【分析】由题意可知求得122412kA k =-=+-，代入即可求得k 的值．【详解】由题意可知：设63125142A k -=-，元素3-的代数余子式122412kA k =-=+-，∴47k +=， ∴3k =， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了代数余子式的概念和二阶行列式的计算，属于基础题. 5．()()221517x y ++-= 【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径后即可得解． 【详解】∵点()3,4P 和点()5,6Q -，设圆心为C ，半径为r ，∴以点()3,4P 和点()5,6Q -为一条直径的两个端点的圆的圆心为C ()1,5-， 圆的半径12r PQ ===∴圆的方程为：()()221517x y ++-=． 故答案为：()()221517x y ++-=． 【点睛】本题考查了中点坐标公式、两点间距离公式和圆的标准方程，属于基础题. 6．2x =- 【分析】由已知得抛物线的焦点()2,0F ，由此能求出该抛物线的准线方程． 【详解】∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆2240x y x +-=的圆心重合， ∴抛物线的焦点()2,0F ， ∴该抛物线的准线方程为2x =-． 故答案为：2x =-． 【点睛】本题考查了由圆的一般方程确定圆的圆心和抛物线的性质，属于基础题. 7．32【分析】利用余弦定理得到23A π∠=，再利用投影公式BA AC AC ⋅计算得到答案.【详解】||3,||7,||5AB BC CA ===，利用余弦定理得到：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅解得12cos 23A A π=-∴∠=BA 在AC 方向上的投影为：()cos 1322BA AC A BA AC BA ACACπ⋅-⋅===故答案为：32【点睛】本题考查了余弦定理，投影公式，混淆向量的夹角是容易发生的错误. 8．14【分析】根据题设条件求出渐近线的斜率k ． 【详解】∵双曲线221kx y -=的渐近线的一条渐近线的方向向量()2,1d =-，∴渐近线的斜率12=-， ∴14k =． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和方向向量的概念，属于基础题. 9．152【解析】试题分析：根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定22121()3333AB BD AB AB AC AB AB AC ⋅=⋅+=+⋅211159333322=⋅+⋅⋅⋅=，故答案为152． 考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质． 10．4 【分析】12Rt PF F ∆中，由勾股定理及双曲线的定义，结合12PF F ∆面积为16，利用等量关系可得出224464a c =-，即可求出b ．【详解】设1PF m =，2PF n =，12PF PF ⊥，得1290F PF ∠=︒，∴2224m n c +=，12PF F ∆的面积为16，∴32mn =∴()2224464a m n c =-=-， ∴22216b c a =-=， ∴4b =． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了方程思想和整体意识，属于中档题. 11．2 【解析】本题考查椭圆标准方程,几何性质,函数思想的应用.椭圆2212x y +=中心(0,0),O 左焦点(1,0);F -设(,),P x y 则21(2x y x =-≤≤于是22222222||||(1)2(1)(1)2x OP PF x y x y x x +=++++=+-++2(1)2(x x =++≤≤，当1x =-时，22||||OP PF +取最小值，最小值是2.12．221y x =- 【分析】先利用抛物线定义得圆心12C C 、的轨迹，再利用相关点法代入求解M 的轨迹方程 【详解】由题意，两个动圆均过(1,0)A 且与直线:1l x =-相切，则圆心12C C 、的轨迹为抛物线24y x =，设(),M x y ，由22122C M C C C A ---→---→--→=+，则M 为1AC 的中点，即()121,C x y -故()24421y x =-，即M 的轨迹方程为221y x =-故答案为：221y x =- 【点睛】本题考查抛物线定义求轨迹，考查向量的几何意义，考查相关点法求轨迹，是中档题13．C 【分析】 二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解与系数行列式不为零互为充要条件可得正确结果. 【详解】解：由于二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则系数行列式111221220a b a b a b a b =-≠， 故“11220a b D a b =≠”是“方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的充要条件， 故选：C. 【点睛】本题考查二元一次方程组有唯一解的充要条件，一般转化为系数行列式不等于零来处理，是基础题. 14．A 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题. 15．C 【分析】做出P 与Q 中表示的图象，根据图像交点确定出两集合的交集，即可做出判断． 【详解】对于P 中25x y +=，当0x >，0y >时，化简得：25x y +=； 当0x >，0y <时，化简得：25x y -=； 当0x <，0y >时，化简得：25x y -+=； 当0x <，0y <时，化简得：25x y --=，对于Q 中，225x y +=做出图形，如图所示，P Q 中元素的个数是4个，故选：C ．【点睛】本题考查了含绝对值函数的化简和圆的标准方程，考查了转化化归思想、分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题. 16．B 【分析】设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的2200220y x b b->，进而可判断出焦点的位置． 【详解】渐近线方程为(),0b y x a b a =±>，2222(0)x y a bλλ∴-=≠00||||0a y b x >≥，平方222200a y b x >，两边除22a b ，2200220y x b b->，∴2222(0)x y a b λλ-=>， ∴双曲线的焦点在y 轴上.故选：B. 【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在x 轴或y 轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力． 17．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π. 【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解； （2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ，222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，(2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=， 整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a ba b θ⋅∴==-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=. 【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题.18．2x =-或10x -=． 【分析】根据条件求出直线0l 的倾斜角，可得直线l 的倾斜角，即可求得直线l 的方程． 【详解】由于直线0l ：20x +=6π，由于直线l 和直线0l ：20x -+=的夹角为3π，故直线l 的倾斜角为2π或56π，故直线l 的斜率不存在或斜率为再根据直线l 经过点(P -，可得直线l 的方程为2x =-，或)2=+y x ，即2x =-或10x -=． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系、点斜式确定直线方程，属于基础题.19．（1）221124x y +=（2）6【分析】（1）由题意可得a =再由正三角形的条件可得3ab ，解得b ，即可得到椭圆方程； （2）由题意写出A 点坐标，直线CB 方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C 、B 的纵坐标，12ABC B C S OA y y ∆=⋅-，代入数值即可求得面积． 【详解】（1）A 的坐标为0)，即有a =椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形， 可得3ab ，解得2b =，则椭圆E 的方程为221124x y +=，（2）直线BC 的方程为y x =，代入椭圆方程22312x y +=，得y x ==∴126ABC B C S OA y y ∆=-=⋅=， ABC ∆的面积为6．【点睛】本题考查了椭圆方程的确定和椭圆与直线的位置关系，属于基础题. 20．（1）=1,（2）（），（﹣），（﹣，﹣），（，﹣）．【解析】试题分析： 由于上半个圆所在圆方程是22440x y y +--=，令，求出，得双曲线的顶点，可知，又双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点，令，双曲线过点，满足双曲线方程，待定系数法求出双曲线方程；第二步由于点满足12F PF ∠是直角，则点在以为圆心半径为的圆上，满足,把圆的方程与双曲线方程联立解出交点坐标，由于与上下两圆弧无交点，所以交点只有求出的四个 .试题解析：（1）设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，在已知圆的方程中，令，得240x -=，即，则双曲线的左、右顶点为()2,0A -、()2,0B ，于是,令2y =，可得280x -=，解得22x =±，即双曲线过点()22,2±，则228412b -=所以2b =， 所以所求双曲线方程为22144x y -=.（2）由（1）得双曲线的两个焦点()1F -，()2F ,当1290F PF ︒∠=时，设点(),P x y ，①若点在双曲线上，得224x y -=，由120F P F P ⋅=，有则，由22224{80x y x y -=-+=，解得{x y ==((1234,,,P P P P②若点在上半圆上，则()224402x y y y +--=≥，由120F P F P ⋅=，得(20x x y+-+=，由2222440{80x y y x y +--=+-=无解. 综上，满足条件的点有4个，分别为((1234,,,P P P P .考点：1.求双曲线方程；2.求曲线的交点；21．（1）曲线24y x =不是“有界曲线”，理由见解析；曲线()2214x y -+=是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）当01a <<时，曲线C ，13a ≤≤时，曲线C 0；当3a >时，曲线C ． 【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案； （2）由题意求出曲线C 的方程，进一步得到x 的范围211a x a -≤≤+，把22x y +转化为含有x 的代数式，分类讨论得答案． 【详解】（1）24y x =的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线24y x =不是“有界曲线”；∵曲线()2214x y -+=的轨迹为以()1,0为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线()2214x y -+=上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线()2214x y -+=是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2a =， 整理得：()2222214x y x a ++-=，∴()221y x =+，∵20y ≥21x ≥+，∴()222214x x a +≤+，∴()2221x a -≤，∴211a x a -≤≤+，则()222211x y x x +=+=，∵211a x a -≤≤+，∴()()2222242a x a a -≤+≤+， 即22|2|4|2|a x a a -++，当01a <<时，22242a x a a -++，则221411a x a a -+-+，221x y a ++，则曲线C当12a ≤≤时，22242a x a a -++，则221411a x a a -+-+，∴0≤≤C ，0；当23a <≤时，22242a x a a -++，则311a a -≤≤+，∴0≤≤C ，0；当3a >时，22242a x a a -++，则311a a -≤+，221x y a ++，则曲线C ．综上，当01a <<时，曲线C当13a ≤≤时，曲线C ，0；a>时，曲线C．当3【点睛】本题考查了对新概念的理解和求最值的方法，考查了转化化归和分类讨论的思想，属于难题.。
上海市2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题(含解析) (1)
上海市上海交通大学附属中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.复数z 满足1i z ⋅=，则Im z =_________. 【答案】1- 【解析】 【分析】求出复数z ，然后找出其虚部即可. 【详解】因为1i z ⋅=，故1z i i==- 故Im z =1-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题. 2.抛物线24y x =的焦点坐标是___________．【答案】10,16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由24y x =得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴上，且112,4216p p ==，所以抛物线的焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,16⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.3.若12a i z ⎛⎫= ⎪⎝⎭（i 为虚数单位，0a >）且355z =，则a 的值为_________.【答案】1 【解析】【分析】由行列式的计算可得复数z ，再根据355z =a . 【详解】因为12a i z ⎛⎫=⎪⎝⎭，故2z a i =-， 则()()()()332322414286121z a i a aia i aa a i =-=---=---故()()223328612155z a a a =-+-=整理得3216123310a a a ++-=分解因式可得()()211628310a a a -++=对21628310a a ++=，因0<，故无实数根.故此方程只有一个实数根，解得1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查复数的计算，涉及行列式的计算，以及三次方方程的求解，属基础题.4.直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【答案】12arctan 【解析】 【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角.【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+- 整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctanθ=. 故答案为：12arctan. 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题. 5.若方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为_________.【答案】5(,1)(,)2-∞+∞ 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可. 【详解】因为方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示双曲线 故()()1520k k --<，即()()1250k k --> 解得()5,1,2k ⎛⎫∈-∞⋃+∞⎪⎝⎭. 故答案为：()5,1,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数的范围，属基础题；重点是要把握双曲线方程的特点.6.若双曲线的渐近线方程为3y x =±，且过点10)A ，则双曲线的方程是_________. 【答案】2291y x -= 【解析】 【分析】根据渐近线方程，结合过点的坐标，分析出双曲线的焦点位置，设出方程，待定系数即可. 【详解】因为双曲线的渐近线为3y x =±，且过点10)A不难判断，点10)A 在直线3y x =±的上方，故该双曲线的焦点在y 轴上.设双曲线方程为22221y x a b-=，则221013,1a b a b =-=，解得13b =，1a =，则双曲线的方程为2291y x -=. 故答案为：2291y x -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据双曲线过的点，判断焦点位置.7.点P 为直线3440x y ++=上的动点，点Q 为圆22:2440C x y x y +--+=上的动点，则PQ 的最小值为_________.【答案】2 【解析】 【分析】先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求. 【详解】由圆的方程22:2440C x y x y +--+=，可得圆心为()416161,2,12r +-==.因为圆心到直线的距离223843134d r ++==>=+，故直线与圆相离，则312min PQ d r =-=-=. 故答案为：2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线上一点到圆上一点距离的最小值，属基础题.8.已知12F F 、是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为4，则b =_________.【答案】2 【解析】 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式，代值计算即可求得. 【详解】因为12PF PF ⊥，故1290F PF ∠=︒； 由椭圆中焦点三角形的面积公式可得212tan 2F PF S b ∠= 即22445b tan b =⨯︒=，解得2b = 故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积公式，属基础题.9.已知a ,b R +∈,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则ab 的最大值等于________.【答案】18【解析】 【分析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直, 则有()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,则()211212()2228a b ab a b +=⨯≤⨯=,当且仅当a =122b =时,等号成立; 即ab 的最大值为18,故答案为：18【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.10.已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨ ⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.【答案】192【解析】 【分析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为最新θ的函数，再求函数的最大值即可.【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得360y sin =︒=Q 的坐标为3⎛ ⎝⎭.设点()2,P cos sin θθ， 则()332,2OP OQ cos sin cos θθθθ⎛⋅=⋅= ⎝⎭ ()19θϕ=+，其中430,2tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()192maxOP OQ⋅=. 19. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题. 11.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－110 【解析】 试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则()22222221111122222PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时g t 取得最小值()22g a a =-，2222a ∴-=，解得10a = （2）当2a <时，g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，g t 取得最小值()22242g a a =-+224222a a ∴-+=，解得1a =-综上可知：1a =-或10a = 所以答案应填：-1或10.考点：1、两点间的距离公式；2、基本不等式；3、一元二次函数的性质.12.如图，已知椭圆22:194x y Γ+=和圆222:()0O x y r r +=>，设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交于椭圆Γ于,B C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r =_________.【答案】65【解析】 【分析】根据一般的结论，取特殊的点()0,2A ，结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组，即可求得结果.【详解】因为A 为椭圆上任意一点，都满足题意， 故设A 点坐标为()0,2，设()(),,,B m r C m r ---. 则点B 满足椭圆方程，即可得224936m r +=①直线AB 方程为22ry x m+=-+ 因为该直线与圆相切，()2221r r m=++②联立①②，消去m 可得：2536360r r -+=故解得65r =或6r = 因为当6r =时，圆的半径大于椭圆的长轴，不合题意， 故65r =. 故答案为：65. 【点睛】本题考查椭圆与圆的关系，本题采用了从一般到特殊的方法，是解决选择和填空题重要的手段. 二、选择题13.设z 为非零复数，则“1z z+R ∈”是“1z =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 设出复数z ，对1z z+R ∈”进行等价转化，再从充分性和必要性进行推证即可. 【详解】设,(,z a bi a b =+不能同时为0)，则1z z +=2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭又1z =221a b +=，即221a b += 若1z z +R ∈，则22bb a b=+，解得0b =或221a b +=，不一定满足221a b +=， 故充分性不成立；若1z =，即221a b +=，则一定有22b b a b =+，即1z z+R ∈，故必要性成立. 综上1z z+R ∈是1z =的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件，涉及复数的运算，属综合基础题. 14.如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（ ）A. 1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭ B. 1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭ C. 1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭D. 1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】由图可得复数的模长以及虚部的大小情况，据此进行选择.【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故1z ≤； 又复数对应点的纵坐标大于等于12，故其虚部大于等于12. 综上所述，阴影部分（含边界）对应的复数集合为1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内的对应情况，属基础题.15.过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A B 、两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ）A. 有且仅有一条B. 有且仅有两条C. 有无穷多条D. 不存在【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断. 【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为()1,0.若直线的斜率不存在，则,A B 两点最新焦点对称，故满足122x x +=； 若直线的斜率不存在，设直线方程为()1y k x =-联立抛物线方程24y x =，可得()2222240k x k x k -++=设()()1122,,,A x y B x y ，故212222442k x x k k++==+，不可能等于2， 故此时不存在满足题意的直线. 综上所述，满足题意的直线只有1条. 故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.16.曲线2222:19045x y x y ⎛Γ--+-=⎝，要使直线()y m m R =∈与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B. ()3,3-C. 553,,333⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.55553,,,33333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题.【详解】对方程：222219045x y x y ⎛--+-=⎝等价于当2290x y +->时，22145x y -=，或2290x y +-=故画出该曲线对应的图像如下所示：如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线12,l l 即为满足题意的直线；不妨联立方程22145x y -=与2290x y +-=解得2259y =，即可得53y =±， 由图容易知当5,33m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或53,3m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，直线y m =与曲线有4个交点. 故选：C.【点睛】本题考查曲线与方程的认知，涉及双曲线方程和圆方程，属基础题. 三、解答题17.已知实系数一元二次方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一根为2i -（i 为虚数单位），另一根为复数z .（1）求复数z ，以及实数,a b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记22λλλλ-、、在复平面上对应点分别为、、A B C ，求()OA OB OC +⋅的值.【答案】（1）2,0,4z i a b ===（2）2- 【解析】 【分析】（1）将2i -代入方程，根据复数相等，即可得到参数的值，以及复数z ；（2）求出平方根λ，再求出22λλλλ-、、对应的点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为2i -是方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一个根， 故()()2220i a i b -+⨯-+= 整理得240ai b +-= 故可得20,40a b =-=， 即0,4a b ==故原方程等价于()2242x i =-=± 故方程的另一个根2z i = 综上所述：2,0,4z i a b ===.（2）设a bi λ=+，则22222a b abi i λ=-+= 即可得22,1a b ab ==解得1,1a b ==或1,1a b =-=-不妨取1i λ=+（另一解也有相同的结果）， 则222,1i i λλλ=-=- 故()()()1,1,0,2,1,1A B C -则()()()1,31,1132OA OB OC +⋅=⋅-=-=-.故()2OA OB OC +⋅=-.【点睛】本题考查复数的综合知识，涉及复数相等的转换，复数在复平面内对应的点的坐标，属综合基础题.18.如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？【答案】（1）221(0)400500x y x -=<（2）(205,205),2010P OP -=（3）202【解析】 【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可； （2）AC 垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40V 秒 故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=<由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<.（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得22000x =205,5x y =-=故观察员遇险地点坐标为(205,205- 与检测中心O ()()222052052010km -+=.（3）设轨迹上一点为(),P x y ， 则()22223060900PC x y x y y =+-=+-+又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+ 代入可得：229950601300800800202553PC y y y ⎡⎤⎛⎫=-+=-+≥=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当且仅当503y =时，取得最小值2故扫描半径r 至少是202km .【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.19.已知椭圆2211x y m mΓ+=+：，过点(1,0)D -的直线:(1)l y k x =+与椭圆Γ交于M N 、两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ；（1）当1m =且1k =时，求点M N 、的坐标；（2）当2m =时，设,EM DM EN DN λμ==，求证：λμ+为定值，并求出该值. 【答案】（1）41(0,1),(,)33M N --（2）证明见详解；定值为3 【解析】 【分析】（1）根据条件，联立直线和椭圆方程，解方程组即可求得交点坐标；（2）联立直线与椭圆方程，将λμ+的结果用韦达定理进行处理，即可得到结果.【详解】（1）当1m =且1k =时，联立直线1y x =+与椭圆方程2212x y +=可得2340x x +=，因为M 点在N 点的右侧， 故解得40,3M N x x ==-代入直线方程可得11,3M N y y ==-故,M N 两点的坐标分别为()410,1,,33M N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭. （2）当2m =时，椭圆方程为22132x y +=联立直线方程()1y k x =+， 可得()2222236360kxk x k +++-=设()()1122,,,M x y N x y则22121222636,2323k k x x x x k k-+=-=++ 对直线方程()1y k x =+，令0x =，解得y k = 故点E 的坐标为()0,k . 因为,EM DM EN DN λμ==即可得()()1111,1,x y k x y λ-=+，()()2222,1,x y k x y μ-=+ 则1212,11?x x x x λμ==++ 121212121212211?1x x x x x x x x x x x x λμ+++=+=+++++ 2222222222366122232323343661232323k k k k k k kk k k⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭+===---++++，故λμ+为定值，定值是3.【点睛】本题考查直线与椭圆交点坐标的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是对韦达定理的熟练应用，属基础题.20.设抛物线22(0)y px p Γ=>：，00(,)D x y 满足2002y px >，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为1122(,),(,)A x y B x y .（1）求证：直线11()yy p x x =+与抛物线Γ相切；（2）若点A 坐标为(4,4)，点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标；（3）设点D 在直线0x p +=上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）证明见详解；（2）1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）是，(),0p 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，由0=，即可证明；（2）根据点A 在抛物线上解得p ，进而写出D 点坐标，再根据点B 既在直线()222yy x x =+上，又在抛物线上，联立方程组即可求得B 的坐标；（3）写出直线AB 的方程，根据过点A 和过点B 的直线交于点D 得到的结论，整理化简直线方程，即可求得AB 恒过的定点.【详解】（1）联立直线11()yy p x x =+与抛物线方程22y px =，消去x可得211102y y y px -+= 故2112y px =-，因为点()11,A x y 在抛物线上， 故21120y px =-=则直线11()yy p x x =+与抛物线22y px =只有一个交点又因为0p >，故该直线不与x 轴平行， 即证直线11()yy p x x =+与抛物线相切.（2）因为点()4,4A 在抛物线22y px =上，故可得1624p =⨯，解得2p =由（1）可知过点A 的切线方程为()11yy p x x =+，即240x y -+= 又抛物线的准线方程为1x =-，故令1x =-，解得32y =， 即点D 的坐标为31,?2⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为过点()22,B x y 的切线方程为()222yy x x =+，其过点31,?2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭故可得()223212y x =-+，又因为点()22,B x y 满足抛物线方程， 故可得2224y x =，联立方程组可得222340y y --=解得221,4y y =-=（舍去，与A 点重合），214x =， 故点B 的坐标为1,14⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）由（1）得过A 点的切线方程为()11y y p x x =+令x p =-，可解得211p px y y -+=过B 点的切线方程为()22y y p x x =+令x p =-，可解的222p px y y -+=因为两直线交于点D ，故可得221212p px p px y y -+-+= 整理得()211212x y x y p y y -=-①当过,A B 两点的直线斜率存在，则设其方程为：()211121y y y y x x x x --=--整理得2121122121y y x y x yy x x x x x --=+--，将①代入可得故直线方程为()()122121212121p y y y y y y y x x p x x x x x x ---=+=----故该直线恒过定点(),0p ;当过,A B 两点的直线斜率不存在时，1212,x x y y ==-，代入①可得12x x p ==过此时直线1:AB x x p ==，也经过点(),0p 综上所述，直线恒过定点(),0p ，即证.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线中直线恒过定点的问题，属综合性中档题；在本题中，要注意利用第一问中的结论去解决第二问和第三问.21.已知椭圆2211612x y Ω+=：.双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线l 经过点(3,0)E 与椭圆Ω交于A B 、两点，求OAB ∆的面积的最大值； （3）设直线:l y kx m =+（其中为,k m 整数）与椭圆Ω交于不同两点A B 、，与双曲线Γ交于不同两点C D 、，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.【答案】（1） 221412x y -= （2）43（3）存在，9【解析】 分析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可；（2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理； （3）根据直线与两个曲线相交，通过夹逼出,k m 的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到,k m 之间的关系，从而利用,k m 是整数，对结果进行取舍即可.【详解】（1）对椭圆2211612x y Ω+=：，因为22222116,124a b c a b ===-=，，故其焦点为()2,0±，椭圆的长轴长为28a =.设双曲线方程为22221x y m n-=，由题可知：222,228m m n a =+==，解得212n =.故双曲线的方程为：221412x y -=.（2）因为直线AB 的斜率显然不为零，故设直线方程为3x my =+，联立椭圆方程2211612x y +=可得()223418210m y my ++-= 设交点()()1122,,,A x y B x y ， 则1212221821,3434m y y y y m m +=-=-++ 则()2121212124y y y y y y y y +=-=+-22218843434?m m m -⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()222228434183434?m m m m +-⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭+()22257633634m m +=+22127334m m +=+ 又1212OABSOE y y =⨯⨯+ 故221127343234OABm Sm +=⨯⨯+ 212763m +=(2127,7m t t +=≥，解得2217344m t =-故21163636343199344442OABt St t t==≤=++当且仅当944t t =时，即63,6t m ==±时，取得最大值. 故OAB ∆的面积的最大值为3（3）联立直线y kx m =+与椭圆方程2211612x y +=可得()2223484480kxkmx m +++-=()()2222644344480k m k m =-+->整理得2216120k m -+>①设直线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y 故可得122834kmx x k +=-+②同理：联立直线y kx m =+与双曲线方程221412x y -=可得()22232120kxkmx m ----=()()2222443120k m k m =+-+>整理得224120k m --<③设直线与双曲线的交点为()()3344,,,C x y D x y 故可得34223kmx x k +=-④ 要使得0AC BD +=即可得()()31314244,,x x y y x x y x --=-- 故可得1234x x x x +=+ 将②④代入可得2282343km kmk k -=+-解得0km =.综上所述，要满足题意，只需使得：精品 Word 可修改 欢迎下载 2222412041200,k m k m km k Z m Z⎧--<⎪--<⎪⎨=⎪⎪∈∈⎩ 故当0k =时，m 可以取得0,1,2,3±±±满足题意；即直线方程可以0,1,2,3y y y y ==±=±=±当0m =时，k 可以取1±满足题意.即直线方程可以为y x =±故存在这样的直线有9条，能够使得0AC BD +=.【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.。
上海市嘉定区2020-2021学年高二上学期期末数学试题(word版含答案)
2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设复数21i z i-=，其中i 为虚数单位，则lmz =___________ 2．直线23y x =-+的倾斜角是___________(结果用反三角表示).3．设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则⋅=a b ___________ 4．已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是____．5．设复数85(13)(34)z i i +=-满足(i 是虚数单位)，则z =___________.6．已知圆C 在y 轴正半轴所截得弦长为8，且圆切x 轴于点()3,0，则圆C 的标准方程为___________.7．若过椭圆2211612y x +=上焦点1F 的直线交椭圆于点A ，B ，2F 为椭圆下焦点，则三角形2F AB 的周长为___________.8．若变量x ，y 满足约束条件201002x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =-+的最大值为______．9．数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点A (4，0)，B (0，2)，AC BC =，则ABC 的欧拉线所在直线方程为___________.10．若向量a →=(1，1)与向量b →=(1，x )的夹角为锐角，则x 的取值范围是___________. 11．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.12．已知直线y =x +b 与单位圆x 2+y ²=1交于A ，B 两个不同点，设直线OA ，OB 的倾斜角分别是α，β，则cos α+cos β的取值范围是___________.二、单选题13．对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ）A ．至少有一个解B ．至多有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解15．如图，平面上过点P (1，2)的直线与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B .过点P 分别作直线垂直于x 轴与y 轴，垂足分别为M ，N .则满足2020PAM PBN S S -=的直线有（ ）条A ．0B ．1C ．2D ．316．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有21I I >D ．对任意的点P ，有31I I >三、解答题 17．已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的两根为1x 、2x .（1）若134x i =+，求p 的值；（2）若121x x -=，求实数p 的值.18．已知双曲线22:33C x y -=.（1）求双曲线的两条渐近线的夹角的大小；（2）设定点A (a ，0)(a >0)，求双曲线上的动点P 到A 的距离d 的最小值.19．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为左焦点､长轴长为40万公里､短轴长为4万公里的椭圆轨道T 1绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为左焦点､长轴长为20万公里的椭圆轨道T 2绕月飞行.（1）求椭圆轨道T 2的短轴长；(近似到0.1)（2）若椭圆轨道T 2上有四个卫星观测点A ､B ､C ､D ，且四边形ABCD 是以椭圆T 2中心为对称中心的矩形，将矩形ABCD 的面积称为观测覆盖面，求观测覆盖面的最大值(近似到0.1).20．在平面上，给定非零向量b ，对任意向量a ，定义2()a b a a b b =-'⋅.（1）若b =(-1，3)，a =(2，3)，求a '；（2）若b =(2，1)，位置向量a 的终点在直线x +y +1=0上，求位置向量a '终点轨迹方程；（3）对任意两个向量12a a ，，求证∶''12//a a .21．己知抛物线C ∶x 2=4y ，不过原点的直线l 与C 交于不同两点(,),(,)A A B B A x y B x y . （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，设求A B x x ⋅的值；（2）若OA 垂直于OB ，求证∶直线l 过定点；（3）若直线l 过点(0，4)，直线m ∶y =ax -1，直线AO ，BO 分别交直线m 于M ，N 两点，线段MN 长的最小值为f (a )，求f (a )的最大值.参考答案1．1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】 由题意，复数221(21)2i i i z i i i -⋅-===+，所以复数的虚部为1，即1lmz =． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．arctan 2π-【分析】根据斜率公式tan k α=化简即可.【详解】解：由题意得tan 2,arctan 2k ααπ==-∴=-故答案为：arctan 2π-.3．1【分析】根据条件，对两式分别平方，联立化简，即可得结果.【详解】依题意得22()10()6a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，即222221026a b a b a b a b ⎧++⋅=⎨+-⋅=⎩， 两式相减得44a b ⋅=，即1a b ⋅=故答案为：1.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用、已知模长求数量积，需熟练掌握在未知坐标的情况下，“见模平方”，考查计算化简的能力，属基础题.4．3或5【分析】由两直线平行得出()()()23243k k k --=--，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证.【详解】直线()()1:3410l k x k x y -+-++=与()2:23230l k x y --+=平行，()()()23243k k k ∴--=--，整理得()()350k k --=，解得3k =或5.当3k =时，直线1:10l y +=，23:02l y -=，两直线平行； 当5k =时，直线1:210l x y -+=，23:202l x y -+=，两直线平行. 因此，3k =或5.故答案为3或5.【点睛】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力，属于基础题.5．516【分析】 由85(13)(34)z i i +=-可得58(34)(13)i z i -=+，由558834(34)(13)13i i z i i--==++可得答案. 【详解】由85(13)(34)z i i +=-可得58(34)(13)i z i -=+， 所以55588434(34)55(13)101613i i z i i--====++ 故答案为：516 6．()()223525x y -+-=【分析】设圆心C 的坐标为()3,r ，根据勾股定理可求得r 的值，由此可得出圆C 的标准方程.【详解】由于圆C 切x 轴于点()3,0，设圆心C 的坐标为()3,r ，其中0r >，且圆C 的半径为r ， 由于圆心C 到y 轴的距离、圆C 在y 轴正半轴所截得弦长的一半、圆C 的半径三者满足勾股定理，可得5r ==，因此，圆C 的标准方程为()()223525x y -+-=.故答案为：()()223525x y -+-=.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．7．16【分析】由椭圆的定义得12122,2AF AF a BF BF a +=+=，根据椭圆的方程可得答案.【详解】 在椭圆2211612y x +=中，4a = 由椭圆的定义得12122,2AF AF a BF BF a +=+=所以12124,AF AF BF BF a +++=即22+416AF BF AB a +==故答案为：168．2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由变量x ，y 满足约束条件201002x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩作出可行域如图，联立220y x y =⎧⎨+-=⎩，解得02A （，）， 化目标函数2z x y =-+为2y x z =+，由图可知，当直线2y x z =+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，为2．故答案为2．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．2x -y -3=0【分析】根据题意求出线段AB 的垂直平分线即可求解.【详解】线段AB 的中点为(2，1)，201042AB k -==--， 线段AB 的垂直平分线为：y =2(x -2)+1，即2x -y -3=0AC =BC ，∴三角形的外心､重心､垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC 的欧拉线方程为2x -y -3=0.故答案为：2x -y -3=0.10．(1,1)(1,)-+∞【分析】 设向量a →与向量b →的夹角为θ，由cos 2a b a b θ⋅==⨯结合夹角为锐角求解. 【详解】 设向量a →与向量b →的夹角为θ，则cos 2a b a b θ⋅==⨯ 因为夹角为锐角，所以0cos 1θ<<，即01<<， 所以1x >- 且()22(1)21,x x +<+解得 11x -<< 或 1x >，故答案为：()()1,11,-⋃+∞11．①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由221111z z z z ==判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定. 【详解】 解：①1221z z z z +=+成立，满足加法的交换律，故①正确； ②在复平面内，根据复数模长的几何意义知， 1212z z z z +，，分别对应三角形的三边，则1212z z z z +<+，若120,z z =或或12,z z 对应的向量方向相同时，有1212z z z z +=+， 综上，1212z z z z +≤+，故②正确； ③221111z z z z ==成立，故③正确； ④121212cos z z z z z z θ⋅=⋅≤⋅，故④不成立，⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =， 121213132323cos ,cos ,cos cos ,z z z z z z z z z z z z αβαβ===不一定等于，故⑤不成立.故答案为：①②③【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a bi +与复平面上的点(,)a b 一一对应.12．(【分析】点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，根据三角函数的定义可得12cos cos x x αβ+=+，联立直线与圆的方程，根据0∆>，结合韦达定理可得结果.【详解】设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，由三角函数的定义得：cos α+cos β=x 1+x 2由221y x b x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得：222210x bx b ++-=，则12x x b +=-，即cos α+cos β=-b ，22228(1)840,b b b b b ∆=--=-><<<-<（）故cos α+cos β的取值范围是(故答案为：(13．B 【分析】0mn >时，如果0m n =>，或0,0m n <<，方程221mx ny +=不是椭圆；当方程221mx ny +=的曲线是椭圆时，0,0m n >>，则0mn >成立，即可得出结论.【详解】当0mn >时，方程221mx ny +=的曲线不一定是椭圆，例如：当1m n ==时，方程221mx ny +=的曲线不是椭圆而是圆； 或者是m ，n 都是负数，曲线表示的也不是椭圆； 故前者不是后者的充分条件；当方程221mx ny +=的曲线是椭圆时，应有m ，n 都大于0，且两个量不相等，得到0mn >；由上可得：“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选:B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，考查椭圆的标准方程，属于基础题. 14．B 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得20x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果. 【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈ 则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数. 15．B 【分析】设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <，分别令x =0，y =0，求得点A ，B 的坐标， 然后由2020PAMPBNSS-=求解.【详解】因为过点P (1，2)，且斜率存在， 设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <， 令x =0，y =2-k ； 令y =0，x =2k k- 2(,0),(0,2)k A B k k-∴-， 2,2,AM PM BN k k ∴=-==-，2020PAMPBNSS-=，121()21()202022k k ∴⨯-⨯-⨯⨯-=， 即2404040k k --=， 0k <，所以k 的取值只有一个， 故这样的直线有一条. 故选：B16．C 【解析】以C 为原点，以,CD CB 所在直线为x 轴、y 轴建立坐标系，则()()3,2,0,2,A B ---()3,0,C -()()()3,0,3,2,0,2AB AC AD ===，1CP =，且P 在矩形内，∴可设()3cos ,2P sin ααπαπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，()cos 3,2AP sin αα=++，13cos 9I AB AP α=⋅=+，23cos 213I AC AP sin αα=⋅=++，324I sin α=+，2121240,I I sin I I α∴-=+>>，A 错误，C 正确，()3152350I I sin sin αααϕ-=-+-=-+<，31I I <，B 错误，D 错误， 故选C.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的坐标表示，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是几何形式，cos a b a b θ⋅=，二是坐标形式，1212a b x x y y ⋅=+（求最值问题与求范围问题往往运用坐标形式），主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.17．（1）6；（2）p =或p =±【分析】（1）将134x i =+代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数p 的值； （2）列出韦达定理，由121x x -=可得出关于p 的等式，由此可解得实数p 的值. 【详解】（1）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以，()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=， 所以，1832440p p -=-=，解得6p；（2）2100p ∆=-，由题意得121225x x px x +=⎧⎨=⎩. 若0∆≥，即2100p ≥，则121x x -===，解得p =； 若∆<0，即100p <，由2250x px -+=，可得22210024p p x ⎫-⎛⎫⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p x =+，22p x =，则121x x i -===，解得p =±综上所述，p =或p =±【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解； （2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解.18．（1）3π；（2）min 1,044a a d a ⎧-<≤=>.【分析】（1）求出双曲线的两条渐进线方程，从而得到答案.（2）设(),P x y，则(,1][1,)d x ∴=∈-∞-⋃+∞，然后由二次函数的性质讨论可得答案. 【详解】（1）双曲线C 的两条渐近线方程是y =，则它们的夹角是3π； （2）设(),P x y 为双曲线上任意一点，则2233x y -=d AP ===(,1][1,)d x ∴=∈-∞-⋃+∞二次函数22423y x ax a =-+-的对称轴04ax =>，定义域为(,1][1,)-∞-+∞ 当14a≤，即04a <≤时，当1x =时，min 1d a =- 当14a >，即4a >时，当4a x =时，min d =综上所述min1,0442a a d a ⎧-<≤=>⎪⎩19．（1）2.8万公里；（2）28.2万平方公里. 【分析】（1）根据题意，可得椭圆T 1的半长轴a 1，半短轴b 1，根据a 1，b 1，c 1的关系，可求得c 1的值，即可求得1122PF a c a c =-=-，又椭圆T 2的中，2220a =，可求得2c 的值，进而可求得2b 的值，即可得答案.（2）椭圆T 2放入平面直角坐标系中，可得椭圆T 2的标准方程，设A (x ，y )为椭圆上的任意点，根据题意，可得矩形ABCD 的面积为4S xy =，根据椭圆的方程，结合基本不等式，即可求得xy 的最大值，即可得答案. 【详解】（1）设椭圆T 1的长轴长，短轴长，焦距为2a 1，2b 1，2c 1； 设椭圆T 2的长轴长，短轴长，焦距为2a 2，2b 2，2c 2；. 因此2a 1=40，2b 1=4，则c 1=所以112220PF a c a c =--=-= 又2220a =，所以210c =，所以2 1.412b ==≈故椭圆轨道T 2的短轴长为2.8万公里（2）将椭圆T 2放入平面直角坐标系中，使得长轴，短轴分别在x 轴，y 轴上，对称中心在原点，则椭圆T 2的标准方程为221100x +=， 设A (x ，y )为椭圆上的任意点，则矩形ABCD 的面积为S =4xy ，221100x =≥当且仅当22100x =所以7.06xy ≤≈， 所以428.2S xy =≤因此观测覆盖面的最大值为28.2万平方公里. 【点睛】解题的关键是根据题意，求得面积表达式，再根据椭圆的方程，结合基本不等式求解，计算难度大，考查计算求值的能力,属中档题. 20．（1）279(,)1010；（2）2x +y =0；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据新定义公式计算即可；（2）设a '的终点坐标是(x ，y )，a 的终点坐标是(x 0，y 0)，依题意计算化简即可得结果； （3）依题意可得'1a b ⊥，'2a b ⊥，即''12//a a . 【详解】 （1）7279(2,3)(1,3)(,);101010a =--=' （2）设a '的终点坐标是(x ，y )，a 的终点坐标是(x 0，y 0)且x 0+y 0+1=0，00000200000222()55224155x y x y x x a b a a b x y x y b y y +-⎧=-⨯=⎪⋅⎪=-∴⎨+-+⎪=-⨯='⎪⎩， 即2x +y =0即为所求轨迹方程；（3）''1111112()0,a b a b a b b a b a b a b b⋅=-⋅⋅⋅⋅=-=∴⊥（）同理'2a b ⊥，而b 为非零向量，∴''12//a a . 【点睛】理解和运用新定义公式计算是解题的关键. 21．（1）-4；（2）证明见解析；（3）2. 【分析】（1）根据题意设方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，由韦达定理可得答案.（2）由,OA OB ⊥则0,A B A B x x y y +=又2244A ABB x y x y ⎧=⎨=⎩，可得答案.（3）设直线l 的方程为y =kx +4，联立方程组244y kx x y=+⎧⎨=⎩,可得0A B A B xx y y ⋅+=，即0OA OB ⋅=，设直线OA 的方程：y =k 1x ，可到11M x a k =-，则可得N x ，从而由M N MN x =-得出答案.【详解】（1）焦点()0,1F ，显然直线l 的斜率一定存在，设为k ，设方程为1y kx =+联立方程组21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --= 则A B x x ⋅=4-（2）由,OA OB ⊥则0,A B A B x x y y +=又2244A ABB x y x y ⎧=⎨=⎩ 所以220,16A B A B x x x x +=所以16A B x x =-设直线l 的方程为y kx t =+，联立方程组24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，则2440x kx t --=当216160k t ∆=+>时，有416A B x x t ⋅=-=-，得4t =所以直线l 的方程为4y kx =+，所以直线l 过定点()0,4（3）设直线l 的方程为y =kx +4，联立方程组244y kx x y=+⎧⎨=⎩，则24160x kx --= 则22161644A B A B A B x x x x y y ⋅=-==，，所以0A B A B x x y y ⋅+=，即0OA OB ⋅= 所以OA OB ⊥；设直线OA 的方程：1y k x =，联立11y k xy ax =⎧⎨=-⎩得11M x a k =-，由OA OB ⊥，则11OB k k =-，所以111111N k x ak a k ==++M N MN x =-=设211111()(1)k a k ak t+=-+，则()()221110a t k a k t a +--+-=有解，()()()22140a t a t a ∆=--+-≥，得到21,2a t +≤所以2121t a ≥+因此()f a =当0a =时，()f a 的最大值为2.【定睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点以及求最值问题，解答本题的关键是先证明出OA OB ⊥，然后得出得11M x a k =-，111111N k x ak a k ==++，与M N MN x =-=属于难题.。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案
上海中学高二期末数学试卷2021.01一. 填空题 1. 若复数3i12ia ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=⋅（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为3. 已知方程223212x y λλ+=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是4. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p =6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒， 则12||||PF PF ⋅=11. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近 线方程为12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ， 则22||||MP MQ +的最小值为二. 选择题1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22221x y a b-=有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）A.B. 12C. D.2. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于 （ ）A. 3B. 4C. 32D. 423. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在M 、B 之间，过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，当l 变化时P 的轨迹是（ ）A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分 4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为4a的圆 在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线， 其方程为222333x y a +=，给出下列四个结论，正确的有（ ）（1）星形线的参数方程为：33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩（t 为参数）； （2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）（3）曲线11221x y +=在星形线22331x y +=的内部（包含边界）； （4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4S a a π∈；A. （1）（3）（4）B.（1）（2）（3）（4）C. （2）（3）D.（1）（2）（3）三. 解答题1. 已知复数1i z =+，求实数a 、b ，使得22(2)az bz a z +=+.2. 已知关于x 的复系数一元二次方程243i 0x zx +++=（z ∈C ）有实数根，求复数||z 的最小值.3. 已知直线1y kx =+（k ∈R ）与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？4. 已知关于t 的一元二次方程2(2i)2()i 0t t xy x y ++++-=（,x y ∈R ）. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程； （2）求方程的实根的取值范围.5. 已知抛物线2:2C y px =（0p >）过点(2,4)T -. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）已知点(4,0)A ，过点(4,0)B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ，求||||PB BQ 的值.6. 已知椭圆22:142x y C +=，点(4,1)P 为椭圆外一点.（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围； （2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满 足||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.参考答案一. 填空题1. 6-2. {1}3. 21λ-<<-4. 221927x y -=5. 26. 222x y +=7.548. 49. 0k =，11b -<< 10. 4 11. y = 12. 10二. 选择题1. D2. C3. B4. D三. 解答题1. 2a =-，1b =-或4a =-，2b =.2. min ||z =3. k =k =4.（1）点(,)x y 的轨迹方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）[4,0]-.5.（1）28y x =，4；（2）1.6.（1）11[,]1612-；（2）证明略，点Q 总在直线220x y +-=上.。
上海市浦东新区2020-2021学年第一学期高二期末数学试卷(教师版)
2020-2021学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．9与1的等比中项为．2．＝．3．若＝（1，2）与＝（2，m）平行，则实数m＝．4．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．5．直线l：x﹣y+1＝0的倾斜角是．6．向量m ＝（4，3）在向量＝（1，0）方向上的投影为．7．已知数列{a n}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝．8．直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：x﹣y+2＝0夹角的大小为．9．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是．10．若{a n}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+a n）＝2，则a1的取值范围为．11．已知动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，则动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值与最小值的和为．12．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是．二、选择题（共4小题）.13．直线l：＝的一个方向向量可以是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣3，2）14．二元一次方程的系数行列式的值是（）A．2B．5C．7D．1115．若等比数列{a n}的前项和S n＝3n+a，则a的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣316．已知点P（a，b），曲线C1：x2+y2＝1，曲线C2：y＝，则“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件三、解答题17．已知直线l与直线2x+y﹣5＝0平行，并且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的一般式方程．18．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．（1）求与的夹角θ的余弦值；（2）若⊥，求实数λ的值和向量．19．已知定点A（﹣2，0），B（2，0）和曲线y＝x2+3上的动点C．（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若点G是△ABC的重心，求动点G的轨迹方程．20．已知数列{a n}中，a1＝1，点P（a n，a n+1），n∈N*在直线x﹣y+1＝0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，S n为数列{b n}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+……+S n﹣1＝（S n﹣1）•g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立，若存在，写出g（n）的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．21．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；（3）试讨论直线l：y＝kx﹣2与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）的位置关系．参考答案一、填空题（共12小题）.1．9与1的等比中项为±3．解：9与1的等比中项＝±＝±3．2．＝．解：根据题意，＝＝，故答案为：．3．若＝（1，2）与＝（2，m）平行，则实数m＝4．解：∵＝（1，2）与＝（2，m）平行，∴，解得实数m＝4．故答案为：4．4．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为﹣12．解：三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．故答案为：﹣12．5．直线l：x﹣y+1＝0的倾斜角是60°．解：设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1＝0化为y＝x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ＝60°．故答案为：60°．6．向量m ＝（4，3）在向量＝（1，0）方向上的投影为4．解：∵，∴m 在方向上的投影为：．故答案为：4．7．已知数列{a n}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝18．解：等差数列{a n}满足a5＝2，则其前9项和S9＝＝9a5＝18．故答案为：18．8．直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：x﹣y+2＝0夹角的大小为．解：直线l1：x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，倾斜角为，直线l2：x﹣y+2＝0的斜率为1，倾斜角为，故它们的夹角为，故答案为：．9．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（﹣25，+∞）．解：根据题意，若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则有（﹣6）2+（﹣8）2﹣4×（﹣k）＞0，即100+4k＞0，解可得k＞﹣25，即k的取值范围为（﹣25，+∞），故答案为：（﹣25，+∞）．10．若{a n}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+a n）＝2，则a1的取值范围为（0，2）∪（2，4）．解：{a n}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+a n）＝2，所以|q|∈（0，1），所以（a1+a2+…+a n）＝＝＝2，所以a1＝2（1﹣q）∈（0，2）∪（2，4）．故答案为：（0，2）∪（2，4）．11．已知动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，则动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值与最小值的和为2+．解：圆（x﹣1）2+（y+1）2＝4的圆心坐标为（1，﹣1），半径r＝2，圆心（1，﹣1）到直线x﹣y＝0的距离为d＝，又动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，∴动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值为2+，最小值为0，最大值与最小值的和为2+．故答案为：2+．12．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立坐标系如图，∵AB＝2，AD＝1，∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设M（2，b），N（x，1），∵，∴b＝∴，＝（2，），∴＝，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]二、选择题13．直线l：＝的一个方向向量可以是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣3，2）解：直线l：＝可变形为，故直线的方向向量为，则与平行的向量即可作为直线的方向向量，因为，故直线l：＝的一个方向向量可以是（2，3）．故选：A．14．二元一次方程的系数行列式的值是（）A．2B．5C．7D．11解：二元一次方程的系数行列式为．故选：C．15．若等比数列{a n}的前项和S n＝3n+a，则a的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣3解：∵S n＝3n+a，S n﹣1＝3n﹣1+a，（n≥2，n∈N+），∴a n＝S n﹣S n﹣1＝2•3n﹣1，又a1＝S1＝3+a，由通项得：a2＝6，公比为3，∴a1＝2，∴a＝﹣1．故选：C．16．已知点P（a，b），曲线C1：x2+y2＝1，曲线C2：y＝，则“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：已知点P（a，b），曲线C1的方程x2+y2＝1，即曲线C1为圆心在原点，半径为1的圆，曲线C2的方程y＝，即曲线C2为圆心在原点，半径为1的上半圆，①若点P（a，b）在曲线C1上，则点P（a，b）满足曲线C1的方程x2+y2＝1，即a2+b2＝1成立，则不一定有b＝，b≥0成立，所以点P（a，b）在曲线C1上，不能推出点P（a，b）在曲线C2上，②若点P（a，b）在曲线C2上，则点P（a，b）满足曲线C2的方程y＝，有b＝，因为曲线C2为圆的曲线x轴交点即上方部分图形，b≥0，所以点P（a，b）在曲线C2上能推出点P（a，b）在曲线C1上，即能推出a2+b2＝1成立，根据充分条件和必要条件的定义可得，“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的必要非充分条件，故选：B．三、解答题17．已知直线l与直线2x+y﹣5＝0平行，并且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的一般式方程．解：根据题意设直线l的方程为2x+y+m＝0，令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝﹣，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为|m||﹣|＝4，所以m2＝16，解得m＝±4，所以直线l的方程为2x+y+4＝0或2x+y﹣4＝0．18．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．（1）求与的夹角θ的余弦值；（2）若⊥，求实数λ的值和向量．解：（1）∵＝（1，2），＝（2，﹣2）．∴与的夹角θ的余弦值为：cosθ＝＝＝﹣．（2）∵＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．∴＝（2，﹣2）﹣（λ，2λ）＝（2﹣λ，﹣2﹣2λ），∵⊥，∴＝1×（2﹣λ）+2×（﹣2﹣2λ）＝0，解得，∴＝（，﹣）．19．已知定点A（﹣2，0），B（2，0）和曲线y＝x2+3上的动点C．（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若点G是△ABC的重心，求动点G的轨迹方程．解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）∴AB中点M（0，0）又∵k AB＝0，∴线段AB的垂直平分线的方程为x＝0；（2）设G（x，y），C（x0，y0），∵点G是△ABC的重心，∴，即，又因点C在曲线y＝x2+3上，∴即3y＝（3x）2+3，∴动点G的轨迹方程y＝3x2+1．20．已知数列{a n}中，a1＝1，点P（a n，a n+1），n∈N*在直线x﹣y+1＝0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，S n为数列{b n}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+……+S n﹣1＝（S n﹣1）•g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立，若存在，写出g（n）的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．解：（1）数列{a n}中，a1＝1，点P（a n，a n+1）在直线x﹣y+1＝0上，所以a n+1﹣a n＝1（常数），所以数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n＝n．（2）存在g（n）＝n，理由如下：由（1）得b n＝＝，所以，即nS n﹣nS n﹣1＝1，故nS n﹣（n﹣1）S n﹣1＝S n﹣1+1，（n﹣1）S n﹣1﹣（n﹣2）S n﹣2＝S n﹣2+1，…，2S2﹣S1＝S1+1，所有的式子相加得：nS n﹣S1＝S1+S2+…+S n﹣1+n﹣1，所以S1+S2+S3+…+S n﹣1＝nS n﹣n＝n（S n﹣1），所以g（n）＝n．故存在关于n的整式g（n）＝n，使得S1+S2+……+S n﹣1＝（S n﹣1）•g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立．21．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；（3）试讨论直线l：y＝kx﹣2与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）的位置关系．解：（1）由圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点，且a＞0，b＞0，可得a＝b＝2，则圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4；（2）由（1）可得，A（2，0），B（0，2），直线l：y＝kx﹣2过定点P（0，﹣2），如图，∵k PA＝1，∴若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，1）；（3）由C（2，2）到直线kx﹣y﹣2＝0的距离d＝，解得k＝．由图可知，当k∈（﹣∞，）时，直线l与圆C相离；当k＝时，相切；当k∈（，+∞）时，相交．。
2020-2021学年上海市杨浦区高二(上)期末数学测试卷
2020-2021学年上海市杨浦区高二（上）期末数学测试卷第I卷（选择题）一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.如果方程x2+y2−x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是()A. m<12B. m<2 C. m≤12D. m≤22.已知m∈R，则直线l1:(m−3)x+(m+1)y−6=0与直线l2:(m−3)x+(m+1)y+2=0的距离的最大值为()A. √2B. √3C. 2√2D. 2√33.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A. 9B. 1C. 1或9D. 以上都不对4.已知点P(s,t)在曲线C：y=√3−x22上动点，给出以下命题：p1：在x轴上一定存在两个不同的定点Q、R，满足|PQ|+|PR|为定值；p2：在y轴上一定存在两个不同的定点Q、R，满足||PQ|−|PR||为定值；p3:√(s−√3)2+t2的最小值为√6 2；p4:√(s−√3)2+(t−√6+√3)2−√(s−√3)2+t2的最大值为3√2−√6−√3;则下列命题为真命题的是()A. (¬p1)∨p2B. p1∧(¬p3)C. p3∧(¬p4)D. p2∨p3第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知直线l的斜率为2，且经过点(−2,5)，则直线l的一般式方程为_____．6.过点P(√3,1)且与圆x2+y2=4相切的直线方程______．7.以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点(2,√2)，则该双曲线的方程是______ ．8. 已知定点A(0,0),B(5,0)，若动点P 满足|PA|+|PB|=5，则动点P 的轨迹方程为____________．9. 若直线L 经过原点，且与直线y =√3x +2的夹角为30º，则直线L 方程为________。
10. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(x,1)，若(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数x 等于______．11. 直线x −y −5=0被圆x 2+y 2−4x +4y +6=0所截得的弦的长为______． 12. 已知动点P 到点A(−2,0)，B(−1,0)的距离之比为√2:1，则点P 的轨迹方程是________．13. 已知椭圆E ：x 24+y 2b 2=1(0<b <2)的右焦点为F.短轴的一个端点为M ，直线l ：3x −4y =0，若点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是______ ．14. 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y26=1(a >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 分别与双曲线的左支交于点A ，右支交于点B ，若△ABF 2是正三角形，则AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为________． 15. 已知A ，B ，C 三点共线，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ1+λ2= ． 16. 已知点A(1,0)，B(−1,1)，且|PA|=√2|PB|，则点P 的轨迹方程为 ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知向量a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，其中e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)，求： (1)a ⃗ ⋅b ⃗ ；(2)a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值．18. 若方程x +y −6√x +y +3m =0表示两条直线，求m 的取值范围．19.过点P(4,1)的直线l与双曲线x2−y2=1相交于A、B两点，且P为AB的中点，求4l的方程20.设直线l:x=ty+p与抛物线C:y2=2px(p>0,p为常数)交于不同两点A、B，点D2为抛物线准线上的一点．(I)若t=0，且三角形ABD的面积为4，求抛物线的方程；(II)当ΔABD为正三角形时，求出点D的坐标．21.已知动圆P与圆F1：(x+1)2+y2=1外切，与圆F2：(x−1)2+y2=9内切．动圆P的圆心轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M.若曲线E上相异两．点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为14(1)求E的方程；(2)证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查圆的一般方程，注意二元二次方程表示圆的条件限制．圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，若方程x2+y2−x+y+m=0表示一个圆，必须满足(−1)2+12−4×m>0，解出即得．【解答】解：根据题意有(−1)2+12−4×m>0，．解得：m<12故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了两平行直线间的距离，属于基础题．由平行线间的距离公式可得．【解答】解：因为直线l1:(m−3)x+(m+1)y−6=0与直线l2:(m−3)x+(m+1)y+2=0平行，所以由平行线间的距离公式得d=22=√2m2−4m+10=，√2(m−1)2+8所以当m=1时，d max=2√2．故选C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用椭圆C的短轴长为6，离心率为45，求出几何量，即可得到结论．【解答】解：由题意，b=3，ca =45又∵b=√a2−c2，解得a=5，c=4∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为5+4=9或5−4=1故选：C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，属于中档题．确定曲线C为椭圆时解题的关键，根据椭圆的性质及其概念求解即可．【解答】解：由y=√3−x22得x26+y23=1(y≥0)，表示焦点在x轴上的椭圆位于x轴及其上方的部分．对p1，当Q、R为椭圆的两个焦点时，满足|PQ|+|PR|为定值，为真命题；对p2，显然是假命题；对p3，椭圆的右焦点为(√3,0)，√(s−√3)2+t2表示椭圆上的点到右焦点的距离，最小值为右顶点到它的距离，为√6−√3，假命题，对于p4:√(s−√3)2+(t−√6+√3)2−√(s−√3)2+t2，当椭圆上的点为左顶点时，取得最大值为3√2−√6−√3，真命题，显然只有B正确，故选B．5.【答案】2x−y+9=0【解析】解：直线l的斜率为2，且经过点(−2,5)，可得直线方程为：y−5=2(x+2)，化为：2x−y+9=0，则直线l的一般式方程为2x−y+9=0，故答案为：2x−y+9=0．利用点斜式可得直线方程．本题考查了直线点斜式与一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】√3x+y−4=0【解析】解：∵把点P(√3,1)代入圆x2+y2=4成立，∴可知点P(√3,1)是圆x2+y2=4上的一点，圆心O与点P连线的斜率为3，故所求切线的斜率为−√3，则过P(√3,1)的圆x2+y2=4的切线方程为√3x+y−4=0．故答案为√3x+y−4=0．得到点P(√3,1)是圆x2+y2=4上的一点，根据圆的切线的性质可得切线的斜率，即可求出圆的切线方程．本题考查圆的切线方程，是基础题．7.【答案】x22−y22=1【解析】【分析】设等轴双曲线的方程为x2−y2=λ≠0.把点(2,√2)代入解得λ即可．熟练掌握等轴双曲线的标准方程是解题的关键．【解答】解：设等轴双曲线的方程为x2−y2=λ≠0．把点(2,√2)，代入可得：4−2=λ，解得λ=2．∴要求的等轴双曲线的方程为x22−y22=1．故答案为x22−y22=1．8.【答案】y=0(x∈[0,5])【解析】【分析】本题考查定义法求动点的轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键.借助椭圆的定义判断出动点P的轨迹，本题目的易错点是在掌握椭圆定义时一定要明确距离和大于两定点间的距离，当等于两定点间的距离时，动点的轨迹是一条线段．【解答】解：因为动点P满足|PA|+|PB|=5=|AB|，所以动点P的轨迹是以A(0,0)，B(5,0)为端点的线段，所以动点P的轨迹方程是y=0(x∈[0,5])，故答案为y=0(x∈[0,5])．9.【答案】x=0或y=√33x【解析】【分析】本题考查两直线的夹角，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．可得已知直线的倾斜角为为60°，进而所求直线l的倾斜角为30°或90°，可得直线l的方程．【解答】解：∵直线y=√3x+2的斜率为√3，∴倾斜角为60°，当直线l 的倾斜角为90°时，直线的方程为x =0； 直线l 的倾斜角为30°时，直线的方程为y =√33x.故答案为x =0或y =√33x.10.【答案】7【解析】 【解答】解：因为a ⃗ −b ⃗ =(3−x,3)，所以(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ⇒(3−x)×3+3×4=0⇒x =7， 故答案为：7． 【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】√6【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．通过圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系，求出直线x −y −5=0被圆x 2+y 2−4x +4y +6=0所截得的弦的长即可． 【解答】解：圆x 2+y 2−4x +4y +6=0化为(x −2)2+(y +2)2=2， 所以圆的圆心坐标为(2,−2)，半径为：√2， 圆心到直线x −y −5=0的距离为：d =22=√22， 圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为：√(√2)2−(√22)2=√62，所以弦长为：√6． 故答案为：√6．12.【答案】x 2+y 2=2【解析】 【分析】本题考查直接法求轨迹方程，属于基础题． 设P(x,y)，根据|PA ||PB|=√21建立等式求解即可． 【解答】解：设P(x,y)，由题意可得|PA ||PB |=√21， 则√(x+2)2+y 222=√21， 化简整理得：x 2+y 2=2， 故答案为x 2+y 2=2．13.【答案】(0,√32]【解析】解：椭圆E ：x 24+y 2b 2=1(0<b <2)的短轴的一个端点为M(0,b)，点M 到直线l 的距离不小于45，即为√9+16≥45， 即有1≤b <2，又a =2，c =√4−b 2， 则e =c a =√4−b 22∈(0,√32].故答案为：(0,√32].求得椭圆的短轴的一个端点，运用点到直线的距离公式解不等式可得1≤b <2，运用离心率公式，以及不等式的性质，即可得到所求范围．本题考查椭圆的离心率的范围，考查点到直线的距离公式的运用，以及不等式的解法和性质，属于中档题．14.【答案】−4【解析】 【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及向量数量积的计算，属于中档题．由双曲线的定义，以及△ABF 2是正三角形得|AF 1|=2a ，|AB|=|AF 2|=|BF 2|=4a.在△AF 1F 2中，由余弦定理求解得a ，进而取数量积． 【解答】22的左支交于点A ，右支交于点B ，由双曲线的定义知|AF 2|−|AF 1|=2a ，|BF 1|−|BF 2|=2a ． 又△ABF 2是正三角形， ∴|AB|=|AF 2|=|BF 2|，∴|AF 1|=2a ，|AB|=|AF 2|=|BF 2|=4a ． 设双曲线的焦距长为2c ， ∴c 2=a 2+6．在△AF 1F 2中，∠F 1AF 2=120°，∴(2c)2=(2a)2+(4a)2−2×2a ×4acos 120°， ∴c =√7a ． ∵c 2=a 2+6， ∴a =1，∴AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120∘=2×4×(−12)=−4．故答案为−4．15.【答案】1【解析】 【分析】本题考查了向量的加法、减法、数乘运算，由A ，B ，C 三点共线知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，k ≠0，由向量的运算得出OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1+kkOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出λ1和λ2，相加即可． 【解答】解：因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (k ≠0)， 所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =k(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得OC ⃗⃗⃗⃗⃗=−1k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1+kk OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则λ1=−1k ，λ2=1+k k， 所以λ1+λ2=−1k +1+k k=1，故答案为1．16.【答案】x2+y2+6x−4y+3=0【解析】【分析】本题考查与圆有关的轨迹方程问题，属于基础题．设点P(x,y)，由条件|PA|=√2|PB|可建立方程，化简即可求得点P的轨迹方程．【解答】解：设点P(x,y)，由题意得√(x−1)2+y2=√2⋅√(x+1)2+(y−1)2，两边同时平方，化简得x2+y2+6x−4y+3=0，即点P的轨迹方程为x2+y2+6x−4y+3=0．17.【答案】解：(1)∵向量a⃗=e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =3e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，其中e1⃗⃗⃗ =(1,0)，e2⃗⃗⃗ =(0,1)，∴a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,1)，a⃗⋅b⃗ =1×3−2×1=1(2)∵|a⃗|=√5，|b⃗ |=√10，∴cos<a⃗，b⃗ >=√5√10=√210；【解析】(1)运算得出a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,1)，根据数量积的运算公式求解即可．(2)根据cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|求解即可．本题考查了平面向量的坐标运算，数量积，夹角问题，计算简单，属于基础题．18.【答案】[0,3)【解析】分析：本题考查直线方程的综合应用，属于基础题。
上海市宝山区2020-2021学年高二上学期期末教学质量监测数学试题
1．4
【解析】
【分析】
先化简，再根据特殊数列极限求解.
【详解】
故答案为：4
【点睛】
本题考查数列极限，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．
【分析】
根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率，再求倾斜角.
【详解】
因为直线 的一个方向向量为(1，1)，所以直线斜率为 ，因此倾斜角为
故答案为：
【点睛】
本题考查直线方向向量以及直线斜率与倾斜角，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．设 和 是两个不平行的向量，且 ， ， ，若 ､ ､ 三点共线，则实数 __________.
11．设线性方程组的增广矩阵为 ，解为 ，则三阶行列式 的值为_________．
12．已知 为椭圆 上任意一点， 为圆 的任意一条直径，则 的取值范围是__________.
13．将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列，如果数列存在成等比数列的子数列，那么称该数列为“弱等比数列”.已知 ，设区间 内的三个正整数 ， ， 满足:数列 ， ， ， 为“弱等比数列”，则 的最小值为________.
13．2
【分析】
根据新定义列等量关系，再分解变形，根据正整数分解性质求最小值.
5．
【分析】
若 ,则 ,求解即可
【详解】
由题,可得 ,即 ,解得
故答案为
【点睛】
本题考查两直线垂直的位置关系,若 , ,当 ,则需满足
6．8
【分析】
根据椭圆方程列方程，解得结果.
【详解】
因为椭圆 的长轴在 轴上，焦距为4，
所以
故答案为：8
【点睛】
本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.
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上海中学高二期末数学试卷
2021.01
一. 填空题 1. 若复数
3i
12i
a ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=⋅（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为
3. 已知方程22
3212x y λλ
+=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是
4. 已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点
在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为
5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p =
6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθ
θθ=-⎧⎨=+⎩
（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是
7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是
8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为
9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒， 则12||||PF PF ⋅=
11. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条
渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近 线方程为
12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积
为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ， 则22||||MP MQ +的最小值为
二. 选择题
1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22
221x y a b
-=有相同的焦点，则椭圆的离
心率为（ ）
A.
B. 1
2
C. D.
2. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于 （ ）
A. 3
B. 4
C. 32
D. 42
3. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于
A 、
B 两点，点A 在M 、B 之间，过M 作直线A
C 的平行线交直线BC 于点P ，当l 变
化时P 的轨迹是（ ）
A. 椭圆的一部分
B. 双曲线的一部分
C. 抛物线的一部分
D. 圆的一部分 4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为
4
a
的圆 在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线， 其方程为2
223
3
3
x y a +=，给出下列四个结论，正确的有（ ）
（1）星形线的参数方程为：33
cos sin x a t
y a t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）； （2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；
（即横、纵坐标均为整数的点）
（3）曲线1
12
2
1x y +=在星形线223
3
1x y +=的内部（包含边界）； （4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4
S a a π
∈；
A. （1）（3）（4）
B.（1）（2）（3）（4）
C. （2）（3）
D.（1）（2）（3）
三. 解答题
1. 已知复数1i z =+，求实数a 、b ，使得22(2)az bz a z +=+.
2. 已知关于x 的复系数一元二次方程243i 0x zx +++=（z ∈C ）有实数根，求复数||z 的最小值.
3. 已知直线1y kx =+（k ∈R ）与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？
4. 已知关于t 的一元二次方程2(2i)2()i 0t t xy x y ++++-=（,x y ∈R ）. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程； （2）求方程的实根的取值范围.
5. 已知抛物线2:2C y px =（0p >）过点(2,4)T -. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；
（2）已知点(4,0)A ，过点(4,0)B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ，求||
||
PB BQ 的值.
6. 已知椭圆22
:142
x y C +=，点(4,1)P 为椭圆外一点.
（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围； （2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满 足||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.
参考答案
一. 填空题
1. 6-
2. {1}
3. 21λ-<<-
4. 22
1927
x y -=
5. 2
6. 222x y +=
7.
5
4
8. 4
9. 0k =，11b -<< 10. 4 11. y = 12. 10
二. 选择题
1. D
2. C
3. B
4. D
三. 解答题
1. 2a =-，1b =-或4a =-，2b =.
2. min ||z =
3. k =k =
4.（1）点(,)x y 的轨迹方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）[4,0]-.
5.（1）28y x =，4；（2）1.
6.（1）11
[,]1612
-；
（2）证明略，点Q 总在直线220x y +-=上.。