第四章 控制系统的传递函数(1)
自动控制原理 孟华 第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (2，j 0)，(0+j 1)，(3+j 2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。
习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
)12()13()(++=s s s K s G试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 解析法：K =0时：s=-1/2，0；K =1：s=-122；K =-∞：s=-∞，-1/3。
根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图4-3 已知系统的开环传递函数)1()1()()(-+=s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。
解：分离点：；会合点： ；与虚轴交点：±j 。
稳定的K 值范围：K >1。
根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为2*)4)(1)(1()(+-+=s s s K s G （1）试粗略画出K *由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。
解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
-10-505-8-6-4-22468Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s习题4-4答案图4-5 设控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
解：渐近线：=60°，180°；=-2/3；复数极点出射角55°；分离会合点和；与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为 ＜K ＜ (即 ＜K *＜。
现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
自动控制原理与系统控制系统的频率特性
如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。
2.5反馈控制系统的传递函数
一、系统的开环传递函数
闭环控制 R(s) 系统的典型
结构：
开环传递函数：
E(s)
_ G1(s)
B(s)
D(s)
+
C(s) G2(s)
H(s)
系统反馈量与误差信号的比值
Gk(s)=
B(s) E(s)
=G1(s)G2(s)H
(s)=G(s)H(s)
第五节 反馈控制系统的传递函数
求
DR(s()s) +_
_G3 G1
C(s)
H1
D(s) G1G2
G2G1 - H1
1+G1G2H1
D(s)
_
G2
C(s+)
C(s) G3
- -1
H-(21+H2/G1)
H2 /G1
解:
D(s) 系+统传G递3 函数为：
C(s)
R(s) = 0
H1
结 变构换图为CD((ss))= 1+G1GGG22H3(11++G-G21GGG32H1H21+- )GH21G2-1G3
解1+: 1RERG+1(G+(G(s1sDs)GG1)1)G(G=21s-GG21)2GH+32=GH3G13H0111HG2+2/2GGG结H121=1G构+1G2-+H图HG21G1变1+GG3GHG换122GH12G+为21G3G+H-：G13G2E2G(2sG)3H3 2
第五节 反馈控制系统的传递函数
B(s) H(s)
第五节 反馈控制系统的传递函数
2．扰动信号D(s)作用
自动控制原理第四章习题解答
4
胡寿松自动控制原理习题解答第四章
（２） G(s) =
K ∗ (s + 20)
。
s(s + 10 + j10)(s + 10 − j10)
解：
系统开环传递函数为 G(s) =
K ∗ (s + 20)
s(s + 10 + j10)(s + 10 − j10)
有三个极点：p1 =（0，j0），p2 =（-10＋ｊ10），p3 =（－10-ｊ10），有一个零点 z1 =（－
(2) 确定 G(s) = K ∗ (s + z)
产生纯虚根为±ｊ1 的ｚ值和 K ∗ 值。
s 2 (s + 10)(s + 20)
解：系统特征方程为 s4 + 30s3 + 200s2 + K *s + K *z = 0 令 s = j1代入特征方程中得：
20，ｊ０）。 起始角：
∑ ∑ θ pi
= (2k
+ 1)π
+
m
ϕ z j pi
j =1
n
−
θ pi pi
j =1
( j≠i)
k = 0,±1,±2,L
θ p1 = 1800
θ p2 = 1800 ϕ + z1p2 θ − p1p2 θ − p3p2 = 1800 + 450 − 1350 − 900 = 00
有两个极点：（0＋ｊ０），（－0.5＋ｊ０），有一个零点（－1＋ｊ０）。
分离点坐标计算如下：
1+ 1 = 1 d d + 0.5 d + 1
d 2 + 2d + 0.5 = 0 解方程的 d1 = −1.7 ， d2 = −0.29
自动控制原理第二版第四章课后答案
自动控制原理第二版第四章课后答案【篇一：《自动控制原理》第四章习题答案】4-1 系统的开环传递函数为g(s)h(s)?k*(s?1)(s?2)(s?4) 试证明点s1??1?j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益k*和开环增益k。
解若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件?g(s)h(s)??(2k?1)?，如图解4-1所示。
对于s1= -1+j3，由相角条件?g(s1)h(s1)?0??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)? 0??2??3??6???满足相角条件，因此s1= -1+j3在根轨迹上。
将s1代入幅值条件： g(s1)h（s1?k*?1?1?j3?1??1?j3?2??1?j3?4k8*解出： k=12 ，k=*?324-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
解根轨如图解4-2所示：4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)k(s?5)s(s?2)(s?3)* ⑵ g(s)?⑶ g(s)?k(s?1)s(2s?1)解⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)=10ks(s?5)(s?2)系统有三个开环极点：p1?0,p2= -2,p3 = -5①实轴上的根轨迹：???,?5?, ??2,0?0?2?57?????a??33②渐近线： ????(2k?1)????,?a?33?③分离点：1d?1d?5?1d?2?0解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。
④与虚轴的交点：特征方程为 d(s)=s3?7s2?10s?10k?0?re[d(j?)]??7?2?10k?0令 ? 3im[d(j?)]????10??0?解得?????k?7。
根轨迹如图解4-3(a)所j）与虚轴的交点（0，?示。
⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：??5,?3?, ??2,0?0?2?3?(?5)????0a??2②渐近线： ????(2k?1)????a?22?③分离点： 1d?1d?2?1d?3?1d?5用试探法可得 d??0.886。
第四章 控制系统的传递函数(2)
Rcs 1 Ts 1
例2
ui
Ri
a
R1 if
ub R2
C i Ui(s) Ri a
Zm If (s) Uo (s)
uo
U b ( s) I f ( s) R1
1 R1 R1 cs U b ( s) I ( s) I ( s) 1 R1cs 1 R1 cs U ( s) Ub ( s) I ( s) o R2
设 X1(s)=Xi(s)· G1(s), Xo(s)=X1(s) · G2(s)
则用框图表示如下 Xi(s)
G1(s)
X1(s)
G2(s)
Xo(s)
对于串连的传递函数
Xo(s)=X1(s) · G2(s) = G1(s) · G2(s) · Xi(s)
∴G(s)= G1(s) · G2(s)
如一个系统由n各环节串联而成，则系统的传递函数为
G( s ) Gi ( s)
i 1
n
② 并联
设 X1(s)=Xi(s)· G1(s), X2(s)=Xi(s)· G2(s), Xo(s)=X1(s)± X2(s) 对于并连的传递函数 Xo(s) ± Xo(s) = X1(s)± X2(s) = Xi(s)· G1(s) ± Xi(s)· G2(s) = [G1(s) ± G2(s)] Xi(s) 则用框图表示如下
Xi(s) + A
E(s)
±
B(s)
G(s)
Xo(s)
H(s)
如果在点 A 处将反馈回路切断，则得到以E(s)为输入，B(s) 为输出的传递函数Gk(s)，称之为闭环系统的开环传递函数。 Gk(s) = H(s)G(s) Xi(s)
第四章 控制系统的传递函数(2)
Ub(s) R2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Uo(s) I(s)
C1
C2
I f ( s)
U b ( s) 1 R1 c1s
R c s 1 1 1 1 1 I ( s ) U ( s ) I ( s ) R // b 1 2 c c s c s c s c s s 1 1 2 2 1 1 2 c R
2 d dx o o ⑤ 二阶环节和振荡环节 T x T x Kx o o i 2 dt dt
G(s)
2 K n 2 2 s 2 s n n
⑥ 延时环节
xo (t) = xi (t-τ)
G (s) es
求右图油缸-阻尼-弹簧 系统的传递函数.其中， p为输入，xo为输出。
试画出人工控制的恒温箱原理框图
脑
① 比例环节
xo(t)=kxi(t)
G(s)
Xo (s) Xi (s)
k
小 节
② 微分环节
③ 积分环节
dx i (t) xo(t) T G(s)=TS dt
x ( t) T t) dt G(s)=T/S o i( x
dx K G ( s ) ④ 惯性环节 T o xo Kx i Ts1 dt
第四章 控制系统的传递函数
第二节 复合环节传递函数
一般来说，采用调节器的控制系统，既能获得较高的 静态精度，又具有较快的动态响应。
2014.10.13
1. 复合环节概念
在自动控制技术中，常用到一些被称为调节器（校正器）的 动态元件。他们就是由一些典型环节组成的复合环节。不同 环节的组合，构成各种性能不同的调节器。了解这些调节器 的传递函数，会方便以后的设计。 单一典型环节组合 复合环节，如PI调节器、PD调节器
《自动控制原理》1-4章课后习题解答
第一章1.1 图1.18是液位自动控制系统原理示意图。
在任意情况下，希望液面高度c维持不变，试说明系统工作原理并画出系统方块图。
c+-SM___ 1Q浮浮浮浮浮浮2Q浮浮浮浮浮浮浮浮浮浮浮浮fi-+解：系统的控制任务是保持液面高度不变。
水箱是被控对象，水箱液位是被控变量。
电位器用来设置期望液位高度*c(通常点位器的上下位移来实现) 。
当电位器电刷位于中点位置时，电动机不动，控制阀门有一定的开度，使水箱的流入水量与流出水量相等，从而使液面保持在希望高度*c上。
一旦流出水量发生变化(相当于扰动)，例如当流出水量减小时，液面升高，浮子位置也相应升高，通过杠杆作用使电位器电刷从中点位置下移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动机通过减速器减小阀门开度，使进入水箱的液体流量减少。
这时，水箱液位下降．浮子位置相应下降，直到电位器电刷回到中点位置为止，系统重新处于平衡状态，液位恢复给定高度。
反之，当流出水量在平衡状态基础上增大时，水箱液位下降，系统会自动增大阀门开度，加大流入水量，使液位升到给定高度*c。
系统方框图如图解1. 4.1所示。
1.2恒温箱的温度自动控制系统如图1.19所示。
（1） 画出系统的方框图；（2） 简述保持恒温箱温度恒定的工作原理;（3） 指出该控制系统的被控对象和被控变量分别是什么。
器～图1.19 恒温箱的温度自动控制系统解：恒温箱采用电加热的方式运行，电阻丝产生的热量与调压器电压平方成正比，电压增高，炉温就上升。
调压器电压由其滑动触点位置所控制，滑臂则由伺服电动机驱动．炉子的实际温度用热电偶测量，输出电压作为反馈电压与给定电压进行比较，得出的偏差电压经放大器放大后，驱动电动机经减速器调节调压器的电压。
在正常情况下，炉温等于期望温度T ，热电偶的输出电压等于给定电压。
此时偏差为零，电动机不动，调压器的滑动触点停留在某个合适的位置上。
这时，炉子散失的热量正好等于从电阻丝获取的热量，形成稳定的热平衡状态，温度保持恒定。
自动控制原理第四章答案
自动控制原理第四章答案在自动控制原理的学习中，掌握第四章的知识是非常重要的。
本章主要介绍了控制系统的稳定性分析，包括了稳定性的概念、稳定性的判据以及稳定性的研究方法。
下面将对第四章的习题答案进行详细解析，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分的内容。
1. 试述控制系统的稳定性概念及其重要性。
控制系统的稳定性是指在一定的工作条件下，系统的输出能够有限地保持在某个范围内，不会发散或者不会无限增大。
稳定性是控制系统正常工作的基础，一个稳定的控制系统才能够实现预期的控制效果，否则就会出现失控的情况，甚至导致系统崩溃。
因此，稳定性是控制系统设计和分析中非常重要的一个指标。
2. 什么是控制系统的稳定性判据？试述Routh-Hurwitz准则的基本思想。
控制系统的稳定性判据是用来判断系统的稳定性的方法和标准。
Routh-Hurwitz准则是一种常用的稳定性判据，其基本思想是通过构造一个特殊的矩阵，来判断系统的特征方程的根的实部是否都小于零，从而确定系统的稳定性。
通过计算特征方程的系数，可以得到一个关于这些系数的表达式，通过这个表达式的符号来判断系统的稳定性。
3. 试述根轨迹法的基本原理及应用条件。
根轨迹法是一种图解法，通过绘制系统的特征方程在复平面上的根轨迹图来判断系统的稳定性。
其基本原理是根据系统的传递函数，找出特征方程的根，并根据这些根在复平面上的分布情况来判断系统的稳定性。
根轨迹法的应用条件是系统的传递函数必须是一个真分式，即分子次数小于分母次数，且分母的所有根必须是实数或者成对共轭的复数。
4. 试述Nyquist稳定性判据的基本原理及应用条件。
Nyquist稳定性判据是一种基于系统的开环频率特性曲线（Nyquist曲线）来判断系统稳定性的方法。
其基本原理是通过绘制系统的开环频率特性曲线，然后根据曲线的形状和特征来判断系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据的应用条件是系统必须是线性时不变系统，并且系统的传递函数必须是一个真分式。
《控制工程基础》第四章习题解题过程和参考答案
《控制工程基础》第四章习题解题过程和参考答案4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：10()1G s s =+。
当系统作用有下列输入信号时：()sin(30)r t t =+︒，试求系统的稳态输出。
解：系统的闭环传递函数为：10()()11()()1()111C s G s s s R s G s Φ===++这是一个一阶系统。
系统增益为：1011K =，时间常数为：111T =其幅频特性为：()A ω=其相频特性为：()arctan T ϕωω=- 当输入为()sin(30)r t t =+︒，即信号幅值为：1A =，信号频率为：1ω=，初始相角为：030ϕ=︒。
代入幅频特性和相频特性，有：1(1)A ====11(1)arctan arctan5.1911T ωϕω==-=-=-︒所以，系统的稳态输出为：[]()(1)sin 30(1)24.81)c t A A t t ϕ=⋅⋅+︒+=+︒4-2 已知系统的单位阶跃响应为：49()1 1.80.8(0)ttc t e e t --=-+≥。
试求系统的幅频特性和相频特性。
解：对输出表达式两边拉氏变换：1 1.80.8361()49(4)(9)(1)(1)49C s s s s s s s s s s =-+==++++++由于()()()C s s R s =Φ，且有1()R s s =（单位阶跃）。
所以系统的闭环传递函数为：1()(1)(1)49s s sΦ=++ 可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为：1211,49T T == 系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：12()()()A A A ωωω===1212()()()arctan arctan arctanarctan49T T ωωϕωϕωϕωωω=+=--=--4-3 已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图。
（1）1()10.01G s s =+ （2）1()(10.1)G s s s =+（3）)1008()1(1000)(2+++=s s s s s G （4）250(0.61)()(41)s G s s s +=+ 解：手工绘制奈氏图，只能做到概略绘制，很难做到精确。
第四章 控制系统的传递函数(1)
X o (s) A = P( s) cs + K
c
G( s) =
求图示液压阻尼器的 传递函数,并判断属于 什么环节 解
q
R xo(t) K A
A( p2 − p1 ) = Kxo (t )
p1
p2
dxi dxo q = A − ρ dt dt p2 − p1 dx dx q= A 2 Rρ i − o = Kx o R dt dt
Ts Rcs = ∴G( s) = Rcs + 1 Ts + 1
≈ Ts
理想的微分环节是不存在的， 理想的微分环节是不存在的，微分环节不能 单独存在。
假若对微分环节输入一阶跃函数，则按理论计算 得出一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲， 只在实际上是不可能的。另外，只有当输入量为 变量时，微分环节才有输出，当系统进入稳态时， 则微分环节输出为零，这在实际中是不允许的。
π
15
)]
=e
π
15
s
5 ⋅ 2 s + 25
l[sin(5t +
π
3
3 π 5 π s = cos + sin 2 3 s + 25 3 s 2 + 25
)] = l[cos
π
sin 5t + sin
π
3
cos 5t ]
延时定理
设
l[ f (t )] = F ( s )
则对任意正数to，有
l[u (t − t o ) f (t − t o )] = e
运动方程为dtdx环节的固有频率环节的阻尼比其中如果01二阶环节称为振荡环节kxkxdtdxcsmskxdtdxcsms上例中如果输入量为外力ft则系统的固有频率和阻尼系数为多少延时环节凡输出量滞后于输入量一个时间但不失真地反映输入量的环节
自动控制原理-题库-第四章-线性系统根轨迹-习题
4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。
（1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。
（2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。
（3）1()01I D P k k s k G s ss τ⎡⎤+++=⎢⎥+⎣⎦，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为(31)()(21)K s G s s s +=+试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。
4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。
（1）()(0.21)(0.51)KG s s s s =++（2）(1)()(21)K s G s s s +=+（3）(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。
（1）(2)()(12)(12)K s G s s s j s j +=+++-（2）(20)()(1010)(1010)K s G s s s j s j +=+++-4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为*2()()(10)(20)K s z G s s s s +=++试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。
4-6已知系统的开环传递函数为*22(2)()()(49)K s G s H s s s +=++试概略绘出闭环根轨迹图。
4-7设反馈控制系统中*2()(2)(5)KG s s s s =++（1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性（2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。
控制系统的传递函数
第二章 控制系统的传递函数
借助表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：
a x (n) no
(t)
...
a x (1) 1o
(t)
a0
xo(t)
b x (m) mi
(t)
...
b x (1) 1i
(t)
b0
xi(t)
可对系统进行描述。
i=0,1…n j=0,1,…m
1、线性定常系统 ai,bj 都不是xo(t)和xi(t)及它们导数的函数，也不 是时间的函数；
第二章 控制系统的传递函数
3、同一控制系统可以有不同的数学模型 同一控制系统具有各种物质运动形式（机械传动、电磁量运动、热
变形等），而不同的物质运动形式又分别受不同的物理规律约束，因而 建立的数学模型可能不同。 因此，建立数学模型时，一定要搞清输入 t
b1s m1 a1s n 1
bm1s bm an1s an
(n>m)
2.3.2 几点说明（性质） （1）传递函数是系统数学模型的又一种形式，也是一种表示输入输出
的模型形式。
它表示了系统本身的特性而与输入信号无关。
它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构。
传递函数的分母和分子分别反映系统本身与外界无关的固有特性 和系统同外界之间的联系。
（b）图给出了一种大为简化的悬浮系统，设 p 点的运动 为系统的输入，车体的垂直运
动 为系统的输出，只考虑车体在垂直方向的运动时，求
。
（a）汽车悬浮系统
（b）减化悬浮系统
第二章 控制系统的传递函数
2.3.4 反馈控制系统的传递函数
（解释一下方框图----将系统中各元件的名称或功用写在框图单元中，并标 明它们之间的连接顺序和信号流向。主要用来说明系统的构成和工作原理）
课件：控制系统的传递函数
s
Rs
如果H(s)=1，则下图所示的系统为单位反馈系统，它的闭环 传递函数为
CR s Rs
1
G1 s G2 s G1sG2s
Gs 1 Gs
(2 - 50)
5
如果H(s)=1
CR s Rs
1
G1 s G2 s G1sG2 s
1
Gs Gs
(2 - 50)
其中Gs
G1
s
G2
s
,
若令Gs
U V
s s
CR s R(s)
CR s Rs
1
G1 s G2 s G1 s G2 s H
s
pp58:练习2-3 15
2.7 控制系统的反馈特性
闭环控制系统又名反馈控制系统。这类系统之所以被人们 广泛应用，其原理是它有着下列开环系统所没有的特性。
一: 反馈能减小参数变化对系统的影响
图(a)和(b)分别为开环和闭环系统的方框图。开环系统的输出
s
H
s
Rs
1
G2 sHs G1sG2 sH
s
Ds
（2-57）
当满足|G1(s)H(s) |>>1和|G1(s)G2(s)H(s) |>>1时，可得出如下 的结论：
13
CR s Rs
1
G1 s G2 s G1 s G2 s H
s
(2- 49)
1）当 | G1(s) G2(s ) H(s) |>>1时，由式（2-49）得
20
图2-41 扰动作用下系统的框图
10
求得扰动误差的传递函数为：
ED s Ds
1
G2sH s G1 s G2 s H
3控制系统方框图的化简及传递函数
-
1 R1
A
A
1 sC1
-
1 R2
B
1 sC2
U 2 ( s)
U1 ( s )
-
1 R1
-
1 sC1
sC2
1 R2
1 sC2
B
U 2 ( s)
19
第二个小回路化简
U1 ( s )
-
1 R1
A
-
1 sC1
sC2
1 R2
1 sC2
B
U 2 ( s)
1 R2C2 s 1 1 R2C2 s
12
结论
下( s )
具有相同的特征多项式
13
闭环特征多项式：
1 G1 (s)G2 (s) H (s)
14
G1 (s)G2 (s) (s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s)
输出对输入 对 比
G2 (s) F ( s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s)
3
Y (s) (s) R( s)
G1 (s)G2 (s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s)
当 H ( s) 1 时 ， 单位负反馈
G1 (s)G2 (s) ( s ) 1 G1 (s)G2 (s)
4
（3） 输出对于扰动输入的闭环传递函数
Y (s) 令 R( s ) 0 ， F (s) F (s)
+
G1 ( s )
Y ( s)
B( s )
F (s)
H (s)
+
G2 (s)
H (s)
1
( s)
G1 ( s )
10
F (s)
自动控制原理传递函数
自动控制原理传递函数
自动控制原理是指使用控制器对系统进行控制的一种方法。
在控制系统中，常常使用传递函数来描述系统的动态特性。
传递函数可以理解为输入与输出之间的数学关系，它可以表示为：
G(s) = Y(s) / U(s)
其中，G(s)表示传递函数，Y(s)表示输出信号的 Laplace 变换, U(s)表示输入信号的 Laplace 变换，s表示复变量。
为了进行系统的分析与设计，可以从传递函数的特性出发，了解系统的频率响应、稳态误差、稳定性等重要信息。
在传递函数的分析中，常常需要考虑传递函数的零点和极点。
零点是使得传递函数为零的点，而极点是使得传递函数为无穷大的点。
零点与极点的位置对于系统的稳定性和动态特性有着重要的影响。
当进行控制系统的设计时，可以通过调整传递函数的参数来实现期望的控制效果。
常见的控制方法包括比例控制、积分控制和微分控制，通过调整这些控制参数，可以实现系统的稳定性和响应速度的要求。
总之，传递函数是自动控制原理中的重要工具，通过分析传递函数的特性，可以更好地理解和设计控制系统。
国家开放大学《机电控制工程基础》形考任务1-4答案
形考任务1一、判断题（共20道，每道2分）自动控制就是在人直接参与的情况下，利用控制装置使生产过程的输出量按照给定的规律运行或变化。
[答案]错反馈控制系统通常是指正反馈。
[答案]错所谓反馈控制系统就是的系统的输出必须全部返回到输入端。
[答案]错给定量的变化规律是事先不能确定的，而输出量能够准确、迅速的复现给定量，这样的系统称之为随动系统。
[答案]对自动控制技不能提高劳动生产率。
[答案]错对于一般的控制系统，当给定量或扰动量突然增加时，输出量的暂态过程一定是衰减振荡。
[答案]错对于一般的控制系统，当给定量或扰动量突然增加某一给定值时，输出量的暂态过程可能出现单调过程。
[答案]对被控制对象是指要求实现自动控制的机器、设备或生产过程。
[答案]对任何物理系统的特性，精确地说都是非线性的，但在误差允许范围内，可以将非线性特性线性化。
[答案]对自动控制中的基本的控制方式有开环控制、闭环控制和复合控制。
[答案]对一个动态环节的传递函数为1/s，则该环节为一个微分环节。
[答案]错控制系统的数学模型不仅和系统自身的结构参数有关，还和外输入有关。
[答案]错控制系统的传递函数取决于自身的结构与参数，和外输入无关。
[答案]：对传递函数模型可以用来描述线性系统，也可以用来描述非线性系统。
[答案]错系统的传递函数为则该系统有两个极点。
[答案]错传递函数是物理系统的数学模型，但不能反映物理系统的性质，因而不同的物理系统能有相同的传递函数。
[答案]对某环节的输出量与输入量的关系为y(t)=Kx(t)，K是一个常数，则称其为比例环节。
[答案]对对于同一系统，根据所研究问题的不同，可以选取不同的量作为输入量和输出量，所得到的传递函数模型是不同的。
[答案]对在零初始条件下，传递函数定义为输出和输入之比。
[答案]错控制系统传递函数分子中s的最高阶次表示系统的阶数。
[答案]错开环控制系统的精度主要取决于。
[答案]D.系统的校准精度反馈控制系统通常是指。
计算机控制系统 数学描述及脉冲传递函数
i 0
bi x (k i ) a i y(k i )
i 1
m
n
3. 由微分导出差分dy( t ) y (t ) y( kT ) y( kT T ) y (t ) (1)一阶差分： t dt T
例：一阶微分方程： T0 y ( t ) y( t ) ax( t ) 对应的一阶差分方程：
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n)
b0 x(k ) b1 x(k 1) bm x(k m)
y (k )
2. 离散系统差分方程形式
注意：n 阶； n-m=d,输出相对于输入有d拍延迟。 后向差分与前向差分。 物理意义：采样系统某时刻的输出值， 由当前与过去时刻的输入值及过去时刻的 输出值共同决定。
C ( z) G( z) R( z )
1 ai z i
i 0
n
C ( z ) ai z C ( z ) b j z j R( z )
i i 1 j 0
n
m
Z反变换
c(k ) ai c(k i) b j r (k j )
i 1 j 0
2. 迭代法 已知x(kT)和初值y(0)，令k=1,2,3…,逐步求出 各采样时刻的输出序列y(T), y(2T)，… . 例：教材例4.2
y (k ) y (k 1) x (k ) x (k 1) 1 x( k ) 0 k 为偶数 k 为奇数
y(-1)=x(-1)=0
复习：1.Z变换的定义
2.滞后定理： 3. 超前定理
Y ( z ) Z[ y ( t )]
k y ( kT ) z k 0
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解：根据传动关系有
dxo Dn dt
sX o ( s) DN ( s)
G( s)
D
s
但如以vo(t)表示齿条的移动速度，则
vo (t ) Dn
Vo ( s) DN ( s)
G ( s ) D
例5
ui
下图是一个由运算放大器组成的积分器，求G(s)。 Zc C 对各变量取 I 拉氏变换 uc i R R Ui(s) uo + +
凡能用二阶线性微分方程来描述的环节都称为二阶环节。
d 2 xo dxo 运动方程为 T To xo Kxi 2 dt dt
两边取拉氏变换得 Ts2 X o ( s) To sX o ( s) X o ( s) KX i ( s)
2 K Kn 2 G( s) 2 2 Ts To s 1 s 2n s n
K—惯性环节的增益；T—惯性环节的时间常数
例6
求右图电路的G(s)。
ui
R i C uo
解： Z c 1 cs
zc uo ui R zc
G( s)
Zc U o ( s ) Ui ( s) R Zc
I
Ui Uo
Zc 1 R Z c Rcs 1
如果Rcs » 1，则G(s)=1/Rcs=1/Ts
X i1 X i2
② 传递函数以简明的数学形式表达了系统的动态模型组 成，只要动态性能相似，就可以用相似的传递函数； ③ 传递函数可以有量纲，也可以无量纲；
④ 传递函数是s的有理分式； ⑤若传递函数分母s的最高阶次为m，则该系统为m阶系统
3. 典型环节传递函数
系统总是由各种元件组成，这些元件可能是机械
的、液压的、热力学的，也可能是电气的、光学的， 或者几者兼而有之。不管这些元件的属性如何，只要 其动态性能相似，就可以用相同的传递函数来表达。 如果把系统Leabharlann 元件按其运动方程(微分方程)的形式来
分类，就得到各种不同的动态环节,简称环节。
这样，就可以把一个复杂的系统分解为由简单的 环节组成，从而方便地建立整个系统的数学模型。
Ts
Ts« 1
求图示液压阻尼器的 传递函数,并判断属于 什么环节
q
R
xo(t)
K
解
A( p2 p1 ) Kxo (t )
dxi dxo q A dt dt
p 2 p1 q R
G( s) s K s 2 A R
p1
A
p2
xi(t)
K X o ( s) s 2 sX i ( s) A R
已知
3s 2 2s 8 F ( s) s( s 2)(s 2 2s 4)
求 f ( t)
函数有两个单极点0、-2和一对共轭复根，故将函 解： 若出现共轭复数极点应怎样办？ 数展开为
可当作两个单极点，也可作一些特殊处理
2 2. L k p 4q 0 1 k k s k q ) 假设F(s)分母含有 ( s 的项，其中 2 ps 21 22 F ( s) 2 K 31 s K 32 ss K4 s s2 s K 21 2 22 ...
1 K1 Y (s)(s 3) s3 8
3 K 2 Y (s)(s 1) s1 8
K3
1 Y (s)(s 1) s1 4
把K1、K2、K3的值代回（1）式得
1 1 3 1 1 1 Y ( s) 8 s 3 8 s 1 4 s 1
求方程
y"2 y'3 y e
t
满足初始条件
y(0) 0, y' (0) 1 的解
根据微分定理对两边取拉氏变换
解 设 [ y (t )] Y ( s)
2
1 [ s Y ( s ) sy (0) y ' (0)] 2[ sY ( s) y (0)] 3Y ( s) s 1
dxi (t ) 运动方程为 xo (t ) T dt
例3
解
求图示微分电路的G(s)
Ui
Uo
1 U o ( s) U o ( s) U i ( s) Rcs
{
1 idt uo ui c u i o R
G( s)
1 uo dt uo ui Rc
Ts Rcs Rcs 1 Ts 1
那么展开时增加下列各项：
( s 2 ps q) L
( s 2 ps q) L1
首先用留数法求k1、k2
k1 F ( s)s s0
3s 2 2s 8 ( s 2)(s 2 2s 4)
s 0
1
k2 F (s)(s 2) s2
将k1、k2代回F(s)得
2 3 2
得联立方程 k 21 1 0
{
2k21 k 22 3 2k 22 2
{k
k 21 1
22
1
1 2 s 1 1 2 s 1 F ( s) 2 2 2 s s 2 s 1 3 s s 2 s 2s 4
① 比例环节
凡输出量xo(t)与输入量xi(t)成比例，不失真也不延时的环节，
又称P调节器。
比例环节运动方程为 xo(t)=kxi(t)，所以比例环节传递函数为
G( s) X o ( s) X i ( s)
k
k为比例环节的增益或称为放大系数
例1
解
求一对齿轮传动的传递函数 忽略传动间隙
ni(t)
• 直接导出系统的某些动态特性；
• 频域法是在传递函数的基础上直接推导出来的。
定义：初始条件为零时，系统的输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。
X o ( s) 特别地，当xi(t)=δ(t)，亦即 即 G( s) ， X i ( s) Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s)
③ 积分环节
凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一次积分成比例的环节，又称为 I调节器。
运动方程为
xo (t ) T xi (t )dt 因此传递函数为： G(s)=T/S
n(t) D xo(t)
例4
右图为一齿轮齿条传动机构。n(t) 为输入转速， xo(t)为线位移。求 该传动机构的传递函数。
z1
no z1 k ni z2
∴G(s)=k
no(t)
z2
例2
i 1= i 2
求右图运算放大器的传递函数
ei ea ea eo R1 R2
ei eo R1 R2
ei
eo 数伏 ~ 10多 伏 ea 4 6 10 ~ 10 Ko
R2 R1 e i2 a Ko a i3 i1 +
例7 下图是运算放大器组成的惯性环节，求该环节的K和T。
R2
Z
Ui(s) uo R1 I -
ui
R1
+
C
+
Uo(s)
解： Z=R2∥Zc=R2∥1/cs = R2 / (R2cs+1)
Z R2 1 G( s) R1 R1 R2cs 1
R2 K R1
T R2c
⑤ 二阶环节和振荡环节
系数的求法:①系数比较法 ②留数法 k i F ( s )( s si ) s si
k11 F ( s )( s sk ) n
k1 p
s sk
1 d p 1 n F ( s )(s sk ) p 1 ( p 1)! ds ss
k
例 6
其中，
n
1 T
——环节的 固有频率
To 1 2 T
——环节的 阻尼比
如果0≤ξ<1，二阶环节称为振荡环节
阻尼（英语：damping）是指任何振动系统在振动中，由于外
界作用和/或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的
特性，以及此一特性的量化表征 在物理学和工程学上，阻尼的力学模型一般是一个与振动速
3s 2 2s 8 s ( s 2 2 s 4)
s 2
2
1 2 k 21 s k 22 F ( s) 2 s s 2 s 2s 4
再用比较系数法求k21、k22，对上式去分母并整理得
3s 2s 8 (k21 1)s (2k21 k22 )s 2k22 s 8
度大小成正比，与振动速度方向相反的力，该模型称为粘性
因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应的
拉氏变换。
关于传递函数的几点说明
(1)传递函数是在拉氏变换的基础上导出的,拉氏变换是一种线 性积分变换,因此,传递函数的概念只适用于线性定常系统. (2)传递函数是描述系统动态特性的一种数学模型,但它是在系 统工作在某个相对静止状态时得出的.因为传递函数是在零 初始条件下定义的,因此,传递函数原则上不能反应系统在 非零初始条件下的全部运动规律. (3)传递函数只表示输出量与输入量的关系,是一种函数关系. 这种函数关系由系统的结构和参数所决定,与输入信号和输 出信号无关.这种函数是在信号传递的过程中得以实现的, 所以称为传递函数. (4)传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系,所以只适用 于单输入单输出系统的描述,而且系统内部中间变量的变化 情况,
对上式求拉氏反变换得
1 3t 3 t 1 t y (t ) e e e 8 8 4
第四章 控制系统的传递函数
第一节 典型环节传递函数
1. 传递函数的概念
传递函数是在拉氏变换的基础上建立起来的一种数 学模型，是经典控制论中对线性系统进行研究、分 析与综合的重要数学工具。 • 更直观，物理意义更明确； • 实数域里的微积分变为复数域里的代数运算；