2012年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（56分）：

1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：计算题．

分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案

解答：

解：

故答案为1﹣2i

点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握

2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．

考点：交集及其运算．

专题：计算题．

分析：由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案

解答：

解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，

所以A∩B=（﹣，3）

故答案为（﹣，3）

点评：本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重要，要准确化简

3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是．

考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用．

专题：计算题．

分析：先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．

解答：

解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x

∵﹣1≤sin2x≤1

∴﹣≤﹣sin2x≤

则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣

∴函数f（x）=的值域是

故答案为：

点评：本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基础题．

4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．

考点：平面向量坐标表示的应用．

专题：计算题．

分析：根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．

解答：

解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量

∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2

∴α=arctan2

故答案为：arctan2

点评：本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题．

5．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．

考点：二项式定理的应用．

专题：计算题．

分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．

解答：

解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3

常数项为（﹣2）3=﹣160

故答案为：﹣160

点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．

6．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．

考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：计算题．

分析：

由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求

解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n

则

∴=是以1为首项，以为公比的等比数列

则（V1+V2+…+v n）==

故答案为：

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题

7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．

考点：指数函数单调性的应用．

专题：综合题．

分析：由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围

解答：解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数

又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数

所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1

故答案为（﹣∞，1]

点评：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型．

8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题：计算题．

分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．

解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，

因为4π=πl2，所以l=2，

半圆的弧长为2π，

圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，

所以圆锥的体积为：=．

故答案为：．

点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．

9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=﹣1．

考点：函数奇偶性的性质；函数的值．

专题：计算题．

分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案

解答：解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，

所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3

所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1

故答案为：﹣1．

点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．

10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．

考点：简单曲线的极坐标方程．

专题：计算题．

分析：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．

解答：解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ