向量的投影

空间一点O，作OA=α,OB=β，规定不超过
π的∠AOB(设φ=∠AOB，O≤φ≤π)称为
向量α与β的夹角 .
B
记作 ( , ) ( , ) (0 )
β
o
αA
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.Βιβλιοθήκη Baidu
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
空间一点在轴上的投影
设 e 是与 l 轴同方向的单位向量，
AB ( AB)e.
eA
o
1
B
l
设 A, B,C 是 l 轴上任意三点，不论这三点 的相互位置如何，
AC AB BC, 即 ( AC )e ( AB)e (BC )e ( AB BC )e,
AC AB BC.
例 4 在 l 轴上取定一点 o 作为坐标原点．设 A, B ,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
平面上，而z轴则是
铅垂线；
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住 z 轴，
当右手的四个手指从 x 正向轴以角 度转向 y 轴正向时，大2 拇指的指
定点 o •
y 纵轴
向就是 z 轴的正向.
横轴 x
这样的三条坐标轴就
组成了一个空间直角坐标
空间直角坐标系
系.点O叫做坐标原点(或
原点).
d OM x2 y2 z2 .
例 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
Prj(λα)= 0 =λPrjlα ； λ<0
二、空间直角坐标系与点的坐标
过空间一个定点O， 作三条互相垂直的数轴，
z 竖轴
它们都以O为原点，且一
般具有相同的长度单位.
这三条轴分别叫
定点 o •
y 纵轴
做x轴(横轴)、y轴
(纵轴)、z轴(竖轴)； 横轴 x 统称为坐标轴.通常
把x轴和y轴配置在水
由下面图形很容易证明该性质.
A
C
B
l
A
B
C
推广：
Pr j( ... ) Pr j Pr j ... Pr j .
性质3
向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴 上的投影与数的乘积，即 Prjlα=λPrjlα
证 设α与l 轴的夹角为 φ，
λα与l轴的夹角为 φ1，
λα
当λ>0时，φ1=φ
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα ；
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα ；
φ1 = φ
当λ=0时
λα φ1=π- φ
§ 2.2 向量的投影及坐标表示
一、 向量的投影及其性质 二、 空间直角坐标与点的坐标 三、 向量在坐标轴上的分量与向量的坐标 四、 向量的模、方向角和方向余弦 五、 小结
一、 向量的投影及其性质
定义6 设有一轴 l，AB 是轴 l 上的有向线段.
A
B
l
如果数 满足 AB，且当 AB 与 l 轴同 向时 是正的，当 AB 与 l 轴反向时 是负的， 那末数 叫做轴 l 上有向线段 AB 的值，记作 AB，即 AB.
空间直角坐标系的八个卦限
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
定义 8 设已知空间
л
一点A以及一轴 l，通过
•A
点A作轴 l 的垂直平面π，
那么平面π与轴 l 的交点
A
l A′叫做点A在轴 l上的投
影.
空间一向量在轴上的投影
定义9 已知向量
B
AB 的 起 点 A 和 终 点 B 在
A
轴 l 上 的 投 影 分 别 为 A’
和 B’ ， 那 末 轴 l 上 的 有
证
B
Pr jl AB Pr jl' AB
A
l'
B
A
B
l
| AB | cos
性质1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
γ
α
β
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
性质2 两个向量的和在轴上的投影等于两个
向量在该轴上的投影之和.
Pr j( ) Pr j Pr j .
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
是 l 轴上坐标依次为 u1 , u2 的两个点，e 是与 l
轴同方向的单位向量，证明 AB (u2 u1 )e .
证 OA u1,
e
A
o
1 u1
B
u2
l
故 OA u1e, 同理，OB u2e, 于是
AB OB OA u2e u1e (u2 u1)e.
定义7 设有两个非零向量α，β，任取
A
B
l
向 线 段 A’B’ 的 值 A’B’ 叫 做向量AB在轴 l上的投
影.
向量AB 在轴 l 的投影记为 Pr jl AB 或 （AB）l
即 Pr jl AB =A’B’ ， 轴l叫做投影轴
向量的投影具有下列性质：
性质1 (投影定理)
向量AB 在轴 l 上的投影等于向量的模乘
以轴与向量的夹角的余弦：Pr jl AB | AB | cos