高考数学集合与简易逻辑
高考数学复习备考总结
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集合与简易逻辑知识点总结- 高三数学一轮复习
知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂， 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。
高中数学——11、集合、简易逻辑
集合、简易逻辑常用数集符号自然数集N （包括0），正整数集N *或N +，整数集Z ，实数集R 集合1、互异性例：集合{a 2，0，1}与集合{b 2，0，-1}相等，根据互异性，a 2=-1、b 2=12、元素、集合间的关系（韦恩图）：元素与集合∈∉，集合与集合⊆ ⊊⊄ （注：集合A ⊆集合B ，集合A 可以是Ø，集合A 、B 可以相等）3、空集：Ø，无任何元素，是任何集合的子集（注：{Ø}与Ø不同，{Ø}包含1个元素Ø，Ø无元素）（注：空集必须分类讨论）4、交集∩，并集∪，补集（全集U 中不属于集合A 的元素集合，C U A ） 例：A={x |1≤x ≤3}，B={x |mx+1=0}，A ∩B ≠Ø，求m 的范围 补集思想，令A ∩B ＝Ø，则B ＝Ø（m=0）或-m1<1或>3，求出m 的集合M ，C R M 即所求范围5、常见元素类型（1）数集例：{x|x 2+3x-4=0}，表示方程x 2+3x-4=0的解（2）点集例：{（x ，y ）|y=x 2+3x-4}，表示函数y=x 2+3x-4图像上点的坐标6、集合子集的个数含有n 个元素的集合，子集个数为2n ，非空集合个数为2n -1简易逻辑1、复合命题：或∨、且∧、非﹁p∨q：一真即真（特称命题∃：“存在……”）p∧q：一假即假（全称命题∀：“对于所有……”）2、原命题（若p，则q）与逆否命题（若﹁q，则﹁p）同真同假3、对于命题“若p，则q”，否命题与命题的否定（否定命题）（1）否命题：若﹁p，则﹁q（2）命题的否定（否定命题）：若p，则﹁q（注：命题的否定考的多，否命题考的少）（3）全称命题、特称命题的否定例1：否定全称命题“∀实数x，x2＞0”先改为“若p，则q”，“若x为实数，则x2＞0”→否定即﹁q，“若x为实数，∃实数x，x2≤0”，即“∃实数x，x2≤0”例2：否定特称命题“∃平行四边形，不是矩形”先改为“若p，则q”，“若一个平面图形是平行四边形，∃一个平行四边形，不是矩形”→否定即﹁q，“若一个平面图形是平行四边形，则它是矩形”，即“∀平行四边形，是矩形”4、充分必要条件p是q的充分必要条件，p⇔q（1）充分条件：p⇒q（2）必要条件：p⇐q（注：利用集合理解充分必要条件p⇒q，即集合P⊆Q，p⇐q，即集合P⊇Q）。
成人高考数学题型解析
成人高考数学题型解析一、代数部分1、集合与简易逻辑：这部分试题一般不难，主要是考查考生对简易逻辑的基础知识的掌握程度。
在复习时，应注重对简易逻辑的基础知识的理解和应用，尤其是对“四种命题”及“充要条件”的理解和应用。
2、函数与导数：这部分试题难度一般，主要考查考生对函数的理解和掌握，特别是函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。
在复习时，应注重对函数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对导数的基础知识和应用的理解和掌握。
3、数列：这部分试题难度一般，主要考查考生对数列的基础知识的理解和应用，特别是等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式等。
在复习时，应注重对数列的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对数列的通项公式和前n项和公式的理解和应用。
4、不等式与不等式组：这部分试题难度一般，主要考查考生对不等式的基础知识的理解和应用，特别是不等式的解法、均值不等式等。
在复习时，应注重对不等式的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对不等式的解法和均值不等式的理解和应用。
5、复数：这部分试题难度一般，主要考查考生对复数的基础知识的理解和应用，特别是复数的代数形式、几何意义及复数的运算等。
在复习时，应注重对复数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对复数的几何意义和复数的运算的理解和应用。
二、三角函数部分这部分知识包括正弦函数、余弦函数、正切函数的概念、图像及性质以及简单的三角函数运算。
成人高考对于三角函数的考查主要是以基础知识的考查为主，对于一些复杂的三角函数问题，会以实际应用问题的形式出现。
在复习时，应注重对三角函数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对三角函数的图像和性质的熟悉和掌握。
三、平面解析几何部分这部分知识包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的概念、图像及性质以及一些简单的平面解析几何问题。
在复习时，应注重对平面解析几何的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对平面解析几何的图像和性质的熟悉和掌握。
高考数学《集合与简易逻辑》(考纲要求)
第一章 集合、简易逻辑考试内容：集合.子集.补集.交集.并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系．掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．知识结构:基本方法和数学思想1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集（非空子集）个数为2n －1；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆（3）;)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==4、一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.5.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；6.判断命题的真假要以真值表为依据。
原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；7.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系"A B B A "⇒⇔⇒判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；高考热点分析集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.。
高考数学知识点复习-集合与简易逻辑
高考数学知识点复习——集合、简易逻辑考试内容：集合。
子集。
补集。
交集。
并集。
逻辑联结词。
四种命题。
充分条件和必要条件。
考试要求：(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。
了解空集和全集的意义。
了解属于、包含、相等关系的意义。
掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。
【导读】数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思维方法解决问题。
学会运用数形结合、分类讨论的思维方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质。
【试题举例】已知集合S＝{x∈Rx＋1≥2}，T＝{－2，－1，0，1，2}，则S∩T＝( )A.{2 }B. {1,2 }C. {0,1,2 }D.{-1,0,1,2}【答案】B【解析】(直接法)S＝{x∈Rx＋1≥2}⇒S＝{x∈Rx≥1}，T＝{－2，－1，0，1，2}，故S∩T＝{1,2}.(排除法)由S＝{x∈Rx＋1≥}2⇒S＝{x∈Rx≥1ng}可知S∩T中的元素比0要大，而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且S∩T中含有元素1，故排除A项。
故答案为B.(2)理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
理解四种命题及其相互关系。
掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。
【导读】可以判断真假的语句叫做命题。
构成复合命题的p或q可以是两个不相关的命题，判断命题真假的步骤是：(1)定形式；(2)判简单；(3)判复合，以真值表为依据。
规律是“或命题”一真俱真，要假全假.“且命题”一假俱假，要真全真。
当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假。
高考在考查其他部分内容时涉及集合的知识。
很少有正面考查逻辑的内容。
逻辑与充要条件的知识往往是和其他知识结合起来并汇考查。
【试题举例】(2008·全国卷二)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②.(写出你认为正确的两个充要条件)【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形。
高考数学复习：集合与简单逻辑
高考数学复习：集合与简单逻辑集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点，难度为中、低档；对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大.1．集合的概念、运算和性质(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法．(2)集合的运算：①交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．②并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．③补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．(3)集合的关系：子集，真子集，集合相等．(4)需要特别注意的运算性质和结论．经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M(α，β）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素．所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}满足条件，所以集合B中元素个数的最大值为4.（Ⅲ）设S k=(x1，x2，…，x n）|(x1，x2，…，x n）∈A，x k=1，x1=x2=…=x k–1=0）（k=1，2，…，n)，S n+1={( x1，x2，…，x n）| x1=x2=…=x n=0}，则A=S1∪S1∪…∪S n+1．对于S k（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，经验证，M(α，β)≥1.所以S k（k=1，2 ，…，n–1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素．所以B中元素的个数不超过n+1.取e k=( x1，x2，…，x n）∈S k且x k+1=…=x n=0（k=1，2，…，n–1）.令B=（e1，e2，…，e n–1）∪S n∪S n+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．10.已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.11. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.12. 设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.13. 能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】y=sin x（答案不唯一）【解析】令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数。
高考数学专题1 集合与简易逻辑
专题1 集合与简易逻辑一.知识网络以“集合”为基础，由“运算”分枝杈.二．高考考点1．对于集合概念的认识与理解，重点是对集合的识别与表达.2．对集合知识的综合应用，重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力.3．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；命题的四种形式；相关命题的等价转换，重点考查逻辑推理和分析问题的能力.4．充分条件与必要条件的判定与应用.三．知识要点（一）集合1.集合的基本概念（1）集合的描述性定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.认知：集合由一组指定的（或确定的）对象的全体组成，整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特性：（I）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“是”与“否”两种情况.（II）互异性：集合中的任何两个元素都不相同.（III）无序性：集合中的元素无前后顺序之分.（2）集合的表示方法集合的一般表示方法主要有（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.提醒：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”，以防自己表示有误或被他人迷惑.（II）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.①描述法的规范格式：｛x|p(x),x∈A｝其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.②认知集合的过程：认清竖线前的代表元素；考察竖线后面代表元素的属性及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.例：认知以下集合：; ；; ，其中M=｛0，1｝.分析：对于A，其代表元素是有序数对（x,y）,即点（x,y）点（x,y）坐标满足函数式y=x2-1(x∈R)点（x,y）在抛物线y=x2－1上集合A是抛物线y=x2-1(x∈R)上的点所组成的集合.对于B，其代表元素为y y是x的二次函数：y=x2-1(x∈R)，再注意到集合的意义是范围集合B 是二次函数y=x2-1(x∈R)的取值范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的值域，故B=｛y|y≥－1｝.对于C，其代表元素是x x是二次函数y=x2-1的自变量集合C是二次函数y=x2-1的自变量的取值范围集合C是二次函数y=x2-1(x∈R)的定义域，即C=R.对于D，其代表元素是x x是集合M的子集集合D由M的（全部）子集组成，故D=｛φ，｛0｝，｛1｝，｛0，1｝｝.（III）数轴法和文氏图法：文氏图法是指用一条封闭曲线围成的区域（内部）表示集合的方法.此为运用数形结合方法解决集合问题的原始依据.评注：集合的符号语言与文字语言的相互转化，是师生研究集合的基本功.为了今后的继续性发展，这一软性作业必须高质量完成.2．集合间的关系（1）子集（I）子集的定义（符号语言）：若x∈A x∈B,则A B（注意：符号的方向性）规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有φ A显然：任何一个集合都是自身的子集, 即A A.（II）集合的相等：若A B且B A，则A=B.（III）真子集定义：若A B且A≠B；则A B（即A是B的真子集）.特例：空集是任何非空集合的真子集.（2）全集，补集（I）定义设I是一个集合，A I，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I中子集A的补集（或余集），记作A，即A=｛x|x∈I,且x A｝.在这里，如果集合I含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将I称为全集，全集通常用U表示.（II）性质：φ=U；U=φ；（A）=A（III）认知：补集思想为我们运用“间接法”解题提供理论支持.对于代数中的探求范围等问题，当正面入手头绪繁多或较为困难时，要想到运用“间接法”进行转化求解.（3）交集，并集（I）定义：①由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=｛x|x ∈A,且x∈B｝;②由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=｛x|x ∈A,或x∈B｝.（II）认知：上面定义①、②中的一字之差（“且”与“或”之差），既凸显交集与并集的个性，又展示二者之间的关系.在这里，要特别注意的是，并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，并集概念中的“或”源于生活，但又高于生活中的“或”：生活用语中的“或”是“或此”.“或彼”.二者只取其一，并不兼有；而并集概念中的“或”是“或此”.“或彼”“或彼此”，可以兼有.因此，“x∈A或x∈B”包括三种情形：x∈A且x B；x∈B且x A；x∈A且x∈B.（III）基本运算性质①“交”的运算性质A∩A=A；A∩φ=φ；A∩B= B∩A；A∩ A =φ；（A∩B）∩C= C∩（A∩B）= A∩B∩C②“并”的运算性质A∪A=A；A∪φ=A；A∪B= B∪A；A∪A=I；（A∪B）∪C=A∪（B∪C）= A∪B∪C③交.并混合运算性质A∪（B∩C）= （A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；A∩（A∪C）=AA∪（A∩B）=A（ IV ）重要性质①A∩B=A A B； A∪B=B A B；②A∩B=（A∪B）；A∪B=（A∩B）上述两个性质，是今后解题时认知、转化问题的理论依据.（二）简易逻辑1.命题（1）定义（I）“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.（II）可以判断真假的词句叫做命题.其中，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简易命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（2）复合命题的真假判断（I）当p、q同时为假时“p或q”为假，其它情况时为真；（II）当p、q同时为真时“p且q”为真，其它情况时为假；（III）“非p”与p的真假相反.（3）认知（I）这里的“或”与集合的“并”密切相关（并集又称为或集）：集合的并集是用“或”来定义的：A∪B=｛x| x∈A或x∈B｝.“p或q”成立的含义亦有三种情形：p成立但q不成立；q成立但p不成立,p,q同时成立.它们依次对应于A∪B中的A∩ B；B∩ A；A∩B.不过，A∪B强调的是一个整体，而“p或q”是独立的三种情形的松散联盟.（II）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定p且q；“p且q”p或q.它们类似于集合中的（A∪B）=（A）∩（B），(A∩B）=（A）∪（B）（4）四种命题（I）四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为原命题：若p则q；逆命题：若q则p;否命题：若p则q逆否命题：若q则p.（II）四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.2.充分条件与必要条件（I）定义：若p q则说p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q则说p 是q的充分必要条件（充要条件）.（II）认知：①关注前后顺序：若p q则前者为后者的充分条件；同时后者为前者的必要条件.②辨析条件、结论注意到条件与结论的相对性.若条件结论，则这一条件为结论的充分条件；若结论条件，则这一条件为结论的必要条件.③充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.四.经典例题例1．判断下列命题是否正确.（1）方程组的解集为｛（x,y）|x=－1或y=2｝;（2）设P=｛x|y=x2｝,Q=｛(x,y)|y=x2｝,则p Q;（3）设，则M N；（4）设，，则集合等于M∪N；分析：（1）不正确.事实上，方程组的解为有序实数对（-1，2），而－1或2不是有序实数对，故命题为假.正确解题：方程组解集应为（初始形式）==｛（-1，2）｝（2）不正确.在这里，P为数集，Q为点集，二者无公共元素，应为P∩Q=φ.（3）为认知集合中的元素的属性，考察代表元素的特征与联系：对两集合的代表元素表达式实施通分，对于集合M，其代表元素，2k+1为任意奇数；对于集合N，其代表元素，k+2为任意整数.由此便知M N，故命题正确.（4）不正确.反例：注意到这里f(x),g(x)的定义域未定，取，，则f(x)·g(x)=1(x≠－3且x≠1)，此时f(x)g(x)=0无解.揭示：一般地，设函数f(x),g(x)的定义域依次为P、Q，且，，则有例2．设集合A=｛x|x2+4x=0｝,B=｛x|x2+2(a+1)x+a2－1=0｝（1）若A∩B=B，求a的值；（2）若A∪B=B，求a的值.解：集合A=｛－4，0｝（1）A∩B=B B A即B｛－4，0｝由有关元素与B的从属关系，引入（第一级）讨论.（I）若0∈B，则有a2－1=0a=1（以下由a的可能取值引入第2级讨论）.又当a=－1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2=0x=0此时B=｛0｝符合条件；当a=1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+4x=0x(x+4)=0此时B=A符合条件.（II）若－4∈B，则有16+2（a+1）(－4)+a2－1=0a2－8a+7=0(a－1)(a－7）=0 a=1或a=7 当a=1时，由（I）知B=A符合条件；当a=7时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+16x+48=0(x+12)(x+4)=0x=－12或x=－4此时B=｛－12，－4｝ A.（III）注意到B A，考察B=φ的特殊情形：B=φ=4（a+1）2－4(a2－1)<0 a<－1,此时集合B显然满足条件.于是综合（I）、（II）、（III）得所求a的取值集合为｛a|a=1或a≤－1｝.（2）集合B中至少有两个元素①而方程x2+2(a+1)x+a2－1=0至多有两个实根集合B中至多有两个元素②∴由①、②得集合B中只含两个元素 B=A此时，由(1)知a=1，即所求a的的数值为a=1.点评：（1）在这里，对有关事物进行“特殊”和“一般”的“一分为二”的讨论尤为重要：对集合A.B的关系，分别考察特殊（相等）和一般（真包含）情形，引出第一级讨论；对集合B的存在方式，又分别考察特殊（B=φ）和一般（B≠φ）的两种情形，引出第二级讨论.“特殊”（特殊关系或特殊取值）是分类讨论的切入点.（2）空集φ作为一个特殊集合，既是解题的切入点，又是设置陷阱的幽灵，注意到“一般”与“特殊”相互依存的辩证关系，解题时应适时考察“特殊”，自觉去构建“特殊”与“一般”的辩证统一.例3．已知A=｛x|x2-4x+3<0,x∈R｝,B=｛x|21-x+a≤0且x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R｝若A B，试求实数a的取值范围.解：A=｛x|1<x<3｝=(1,3)注意A B，故对任意x∈(1,3),不等式21-x+a≤0与x2－2(a+7)x+5≤0总成立.（1）对任意x∈(1,3)，f(x)=x2－2(a+7)x+5≤0总成立，f(x)=0有两实根，且一根不大于1，而另一根不小于3①（2）令g(x)=－21－x, x∈(1,3),则对任意x∈(1,3)，21－x+a≤0总成立.a≤g(x)总成立a≤g min(x) a≤－1 ②∴将①.②联立得－4≤a≤－1.∴所求实数a的取值范围为｛a|－4≤a≤－1｝.点评与揭示：在某个范围内不等式恒成立的问题，要注意向最值问题的等价转化：（1）当f(x)在给定区间上有最值时a≤f(x)恒成立a≤f min(x)a≥f(x)恒成立a≥f max(x)（2）当f(x)在给定区间上没有最值时a≤f(x)恒成立a≤f(x)的下确界a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的上确界例4．已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.分析：从认知与q入手，为了化生为熟，将，q分别与集合建立联系.解：由已知得：x<-2或x>10；q：x<1-m或x>1+m(m>0).令A=｛x|x<-2或x>10｝,B=｛x| x<1-m或x>1+m(m>0)｝,则由是q的必要而不充分条件B A或m9∴所求实数m的取值范围为[9，+∞）.点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的又一基本策略.例5．设有两个命题，p：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点；Q:不等式恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数a的取值范围是（）A.（－∞，－2]B.[2,＋∞)C.[-2,2]D.(-2,2)分析：（ⅰ）化简或认知P、Q：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点，△＝－2＜a＜2∴P: －2＜a＜2 ①又不等式恒成立a小于的最小值②＋≥＝2 ③∴由②、③得 a﹤2即Q: a﹤2（ⅱ）分析、转化已知条件“P或Q”为真P、Q中至少有一个为真a﹤2 ④“P且Q”为假P、Q中至少有一个为假或为真a≤－2或a≥2 ⑤于是由④⑤得，同时满足上述两个条件的a的取值范围是 a≤－2∴实数a的取值范围为（－∞，－2].例6. 若p：－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1；q：关于x的方程有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件？分析：在这里，q是关于x的二次方程有两个小于1的正根的条件，为便于表述，设该方程的两个实根为，且.然后根据韦达定理进行推理.解：设，为方程的两个实根，且，则该方程的判别式为：△＝又由韦达定理得∴当0﹤﹤1时，由②得－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1即 q p ③另一方面，若在p的条件下取m＝－1，n＝0.75，则这一关于x的二次方程的判别式△＝＝＝1－3﹤0，从而方程无实根∴p q ④于是由③④得知，p是q的必要但不充分的条件.点评：若令f（x）＝，则借助二次函数y＝的图像易得关于x的二次方程有两个小于1的正根的充要条件为在这里容易产生错误结论为：方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的充要条件是注意到这里的p由※式中部分条件构造而成，它关于m、n的限制当然更为宽松.五.高考真题1．设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面判断正确的是（）A．S1∩（S2∪S3）=φ B. S1（S2∩S3）C．S1∩S2∩S3=φ D. S1（S2∪S3）分析：对于比较复杂的集合运算的问题，一要想到利用有关结论化简，二要想到借助特取法或文氏图筛选.解法一（直接法）：注意到A∩B=（A∪B），A∪B=（A∩B）及其延伸，∴S1∩S2∩S3=（S1∪S2∪S3）=I=φ，故选C解法二（特取法）：令S1=｛1，2｝，S2=｛2，3｝，S3=｛1，3｝I=｛1，2，3｝则S1=｛3｝S2=｛1｝S3=｛2｝由此否定A、B；又令S1=S2=S3=｛a｝，则I=｛a｝，S2=S3=φ，由此否定D.故本题应选C2．已知向量集合，则M∩N等于（）A．｛（1，1）｝ B. ｛（1，1），（-2，-2）｝ C .｛（-2，-2）｝ D.φ分析：首先考虑化生为熟.由向量的坐标运算法则得，又令=(x,y)，则有，消去λ得4x－3y+2=0,∴M=｛(x,y)|4x-3y+2=0,x,y∈R｝.同理=｛(x,y)|5x-4y+2=0,x,y∈R｝∴M∩N==｛（－2，－2）｝，∴本题应选C点评：从认知集合切入，适时化生为熟，乃是解决集合问题的基本方略.3．设集合I=｛(x,y)|x∈R,y∈R｝,A=｛(x,y)|2x－y+m>0｝,B=｛(x,y)|x+y－n≤0｝,那么点P(2,3)∈A∩(B)的充要条件是（）A． m>-1,n<5 B m<-1,n<5 C m>-1,n>5 D m<-1,n>5分析：由题设知P(2,3) ∈A，且P（2，3）∈ B （※）又B=｛(x,y)|x+y-n>0｝,∴由（※）得，故本题应选A4．设函数，区间M=[a,b](a<b)，集合N=｛y|y=f(x),x∈M｝,则使M=N成立的实数对（a,b）有（）A．0个 B 1个 C 2个 D 无数多个分析：从认知集合切入.这里的集合N为函数f(x),(x∈M)的值域.注意到f(x)的表达式中含有|x|，为求f(x)的值域，先将f(x)化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析.∴当x>0时，f(x)<0;当x=0时，f(x)=0；当x<0时，f(x)>0.由此可知，当x≠0时，f(x) (x∈M)的值域与定义域M不可能相等；又当x=0时，f(x)的定义域为｛0｝，故不存在a<b使区间[a,b]仅含元素0，因此，本题应选A.点评：解决分段函数问题的基本策略：分段考察，综合结论.在这里，认知集合N仍是解题成败的关键所在.5．函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)=｛y|y=f(x),x∈P｝f(M)=｛y|y=f(x),x∈M｝,给出下列四个判断：①若P∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ；②若P∩M≠φ，则f(P)∩f(M)≠φ；③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)= R；④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠ R其中正确判断有（）A． 1个 B 2个 C 3个 D 4个分析：首先认知f(P)，f(M)：f(P)为函数y=f(x)(x∈P)的值域；f(M)为函数y=f(x)(x∈M)的值域.进而考虑仿照第1题，从构造反例切入进行筛选.（1）取P=｛x|x≥0｝,M=｛x|x<0｝,则f(P)=｛x|x≥0｝, f(M)=｛x|x>0｝此时P∩M=φ，P∪M=R，但f(P)∩f(M) ≠φ，f(P) ∪f(M)≠ R由此判断①.③不正确（2）当P∩M≠φ时，则由函数f(x)的定义知P∩M=｛0｝（否则便由f(x)的解析式导出矛盾），所以0∈f(P)，0∈f(M)，从而f(P)∩f(M)≠φ.由此判断②正确.（3）当P∪M≠R时，若0P∪M，则由函数f(x)的定义知，0f(P) ∪f(M)若存在非零x0P∪M, (※),易知x0f(P)当x0f(M)时，有x0f(P)∪f(M)；当x0∈f(M)时，则易知－x0∈M.注意到这里－x0≠0，所以－x0P，从而－x0f(P).又∵x0M，∴－x0f(M)，∴－x0f(P)∪f(M) （※※）∴由①.②知当P∪M≠R时，一定有f(P) ∪f(M)≠ R.故判断④正确.点评：认知f(P).f(M)的本质与特殊性，是本题推理和筛选的基础与保障.6．设全集I=R，（1）解关于x的不等式|x－1|+a－1>0(a∈R);（2）设A为（1）中不等式的解集，集合，若（A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围.分析：（1）原不等式|x－1|>1－a，运用公式求解须讨论1－a的符号.（2）从确定 A与化简B切入，进而考虑由已知条件导出关于a的不等式（组），归结为不等式（组）的求解问题.解：（1）原不等式|x－1|>1－a当1－a<0，即a>1时，原不等式对任意x∈R成立；当1－a=0，即a=1时，原不等式|x－1|>0x≠1;当1－a>0，即a<1时，原不等式x－1<a－1或x－1>1－ax<a或x>2－a于是综合上述讨论可知，当a>1时，原不等式的解集为R；当a≤1时，原不等式的解集为（－∞，a）∪（2－a,+ ∞）（2）由（1）知，当a>1时，A=φ；当a≤1时, A=｛x|a≤x≤2－a｝注意到==∴∴（A）∩B恰有3个元素A恰含三个整数元素.（A有三个元素的必要条件）(对A=[a,2－a]的右端点的限制)(对A=[a,2－a]的左端点的限制)故得－1<a≤0,∴所求a的取值范围为.点评：不被集合B的表象所迷惑，坚定从化简与认知集合B切入.当问题归结为A恰含三个整数时，寻觅等价的不等式组，既要考虑A含有三个整数的必要条件（宏观的范围控制），又要考虑相关区间的左\右端点的限制条件（微观的左右“卡位”），两方结合导出已知条件的等价不等式组.。
高中数学高考总复习——第一章-集合与简易逻辑
A．3
B．6
C．8
D． 10
(文 )(2013 济·南模拟 ) 若集合 A＝ { － 1,1} ， B＝{0,2} ， 则集合 { z|z＝ x＋ y， x∈ A， y ∈B} 中的元素的个数为 ( )
A．5
B．4
C．3
D．2
(2)已知集合 A＝ { － 4,2a－1， a2} ， B＝ { a－ 5,1－ a,9} ， 若 9∈ (A∩ B)， 则实数 a
解： ∵A∩ B＝ {9} ， ∴9∈ A 且 9∈ B， ∴ 2a－1＝ 9 或 a2＝9，
则实数 a 为
即 a＝5 或 a＝ ±3. 当 a＝5 时， A＝ { － 4,9,25} ， B＝ {0 ， － 4,9} ， ∴ A∩ B＝ { － 4,9} ， 不满足题意， ∴ a≠ 5. 当 a＝3 时， A＝ { － 4,5,9} ， B＝ { － 2， － 2,9} ， 不满足集合中元素的互异性， ∴
若全集为 U， 则集 合 A 的补集为 ?UA
图形表示
意义
{ x|x∈ A， 或 x∈ B}
{ x|x∈ A， 且 x∈ B}
?UA＝ { x|x∈ U， 且 x?A}
[探究 ] 4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗？ 提示： 一般情况下不相同， 如 A＝ {0,1} 在全集 B＝ {0,1,2} 中的补集为 ?BA＝ {2} ， 在 全集 D ＝{0,1,3} 中的补集为 ?DA＝ {3} ．
的值为 ________．
[自主解答 ] (1)( 理 ) 法一 ：由 x－ y∈ A， 及 A＝ {1,2,3,4,5} 得 x>y， 当 y＝ 1 时， x 可取 2,3,4,5， 有 4 个； y＝ 2 时， x 可取 3,4,5 ， 有 3 个； y＝ 3 时， x 可取 4,5， 有
数学高考基础知识、常见结论详解(一)
数学高考基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性互异性：例如：，，若A=B求；（A={-1，1，0}）（2）集合与元素的关系用符号表示。
（、）（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。
（4）集合的表示法：、、。
（列举法，描述法，韦恩图示法）注意：区分集合中元素的形式：例如：；；；；；（5）空集是指不含任何元素的集合。
（、和的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
如：，如果，求的取值。
（）二、集合间的关系及其运算（1）符号是表示元素与集合之间关系的，立体几何中则体现；（；点与直线（面）的关系）符号是表示集合与集合之间关系的，立体几何中则体现。
（；直线与面的关系）（2）；；（3）对于任意集合，则：①；；；（=；=；）②；；；；（）③；；（）（4）①若为偶数，则；若为奇数，则；②若被3除余0，则；若被3除余1，则；若被3除余2，则；三、集合中元素的个数的计算：若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是。
（）四、若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；（真假值）注意：“若，则”在解题中的运用，如：“”是“”的条件。
（充分非必要）六、反证法：当证“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
（不等于；小于或等于；大于或等于；不是；不都是；至少有两个；一个也没有；存在一个）二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。
高考,数学,集合与简单逻辑,知识点
§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾： （一）集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.x（自右向左正负相间）则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；22.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2025年高考数学大招秒杀基础版-板块1-集合与简易逻辑【学案讲义】
2025年高考数学大招秒杀基础版-板块1-集合与简易逻辑【学案讲义】大招一巧用结论快速搞定集合问题一、集合相等结论若两个集合相等，则一个集合所有元素的和与积应等于另一个集合所有元素的和与积.例1、若含有三个元素的集合可以表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a ，求20172017a b +的值.分析：可直接根据上述结论求解，求值时要注意集合元素的互异性.解:{}2,,1,,0b a a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由集合相用等的定义可得221010b a a a a b a a a a ⎧⨯⨯=⨯⨯⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩，解得1,0a b =±=，显然1a =违背集合元素的互异性，∴201720171,0,1a b a b =-=∴+=-评注：本题既是在各种资料上出现频率较高的问题，又代表着一类题型，即含字母参数的集合相等问题，解答这类问题的常规方法是根据集合相等的定义对字母进行讨论，以确定题目的解，利用上述方法巧妙地避免了分类讨论和繁杂运算.例2、已知集合{}2{,,2},,,A a a b a b B a ac ac =++=，若A B =，求c 的值分析:要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的各个集合的元素完全相同，及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式解：根据题意，分两种情况进行讨论:（1）若2,2,a b ac a b ac +=⎧⎨+=⎩，消去b ，得220a ac ac +-=当0a =时，集合B 中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故0a ≠∴2210c c -+=，即1c =，此时B 中的三个元素又相同，∴1c ≠∴此时无解.（2）若2,2,a b ac a b ac ⎧+=⎨+=⎩消去b ，得220ac ac a --=∵20,210a c c ≠∴--=，即(1)(21)0c c -+=又11,2c c ≠∴=-评注：（1）解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.（2）有些数学问题很难从整体着手解决，需从分解入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一判断来解决这些问题，从而达到整体问题的解决，这种重要的数学方法，就是分类讨论的方法，要学会这种思维方法.二、集合运算的相互转化两集合之间的关系与运算可以相互转化，即A B A B A A B B⊆⇔⋂=⇔⋃=例3、已知集合{0,1,2},{1,}A B m ==.若A B B ⋂=，则实数m 的值是（）A.0B.2C.0或2D.0或1或2解析:因为A B B ⋂=，所以B A ⊆，所以0m =或2m =.选C例4、已知集合{}2|1,{}P x x M a =≤=.若PM P =，则a 的取值范围是（）.A.(,1]-∞- B.[1,)+∞ C.[1,1]- D.(,1][1,)-∞-⋃+∞【答案】C.【解析】{}2|1{|11},[1,1]P x x x x P M P a =≤=-≤≤⋃=⇒∈-.三、整数集结论整数集Z 的元素可用()n n Z ∈表示；若分成两类，则可用2,21(n n +或2,21)()n n n Z -∈表示，其中21n +和21n -都表示奇数；若分成三类则可用3,31,32(n n n ++或3,31,32)()n n n n Z --∈表示，其中31n +和32n -表示一类数，32n +和31n -表示一类数；若分成四类则可用4,41,42,43n n n n +++或4,41,42,43)()n n n n n Z ---∈表示，以此类推，其中的规律不难发现例5、设集合11|,,|,2442k k M x x k Z N x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则（）A.M N= B.M N Þ C.N M Þ D.M N ⋂=∅【答案】B【解析】421:,4 k M +奇数 2;:,4k N +4整数，整数的范围大于奇数的范围.例6、已知集合11|,,|,,|6232b c A x x a a Z B x x b Z C x x ⎧⎫⎧⎫⎧==+∈==-∈==⎨⎬⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭⎩1,6c Z ⎫+∈⎬⎭，则,,A B C 之间的关系（）A.A B C =Ö B.A B C =Ö C.A B C 揶 D.B C A=Ö【解析】解法一：简单列举集合中的元素；171319112712710,,,,,,,,,,,,,,,,,666636366366A B C ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∴,A B B C =Ö，即A B C =Þ，故选B .解法二：判断集合中元素的共性和差异.613231|,,|,,|,666a b c A x x a Z B x x b Z C x x c Z +-+⎧⎫⎧⎫⎧⎫==∈==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∵323(1)1,,b b b Z A B C -=-+∈∴=Þ，故选B .评注：辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，可将元素列举出来直观分析，也可从描述法中认识集合中元素具备的特性，定性分析，以上两种思想是解决此类问题的通法，应根据问题的具体情况合理选择.四、子集个数结论结论一：设集合{}12,,,n A a a a =中有n 个元素，则:A 的子集的个数是2n ；A 的真子集的个数是21n -；A 的非空子集的个数是21n -；A 的非空真子集数为22n -。
高考数学复习备忘录(一)集合与简易逻辑
1高考数学备忘录（一）集合与简易逻辑【知识要点】（一）．集合的概念、关系及运算(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与集合之间的关系：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ．(3)空集是任何集合的子集．(4)含有n 个元素的集合的子集有2n .个，真子集有2n －1.个，非空真子集有2n －2.个．(5)重要结论：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．【易错警示】1．忽略集合元素互异性：在求解与集合有关的参数问题时，一定要注意集合元素的互异性，否则容易产生增根．2．忽略空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“空集优先”的原则．3．区分代表元素研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如:{x y x lg |=}与{x y y lg |=}及{x y y x lg |),(=}三集合并不表示同一集合；【高考热点预测】集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算，与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查．【过关题】1. 已知集合{}(){}1,2,3,4,5,,,,A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ）A 、3B 、6C 、8D 、102. 定义集合A ＝{x |f (x )＝2x －1}，B ＝{y |y ＝log 2(2x ＋2)}，则A ∩∁R B ＝ ( )A ．(1，＋∞)B ．[0,1]C ．[0,1)D ．[0,2)（答：D,B ）（二）四种命题的相互关系(三)充分必要条件设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满中条件q }，则有__A B__.__B A__.注．(1)定义法：正、反方向推，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)：若A＝B，则是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．（四）．简单的逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；¬p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(¬p)∧(¬q)；命题p∧q的否定是(¬p)∨(¬q)．（五）．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x)．它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．【易错警示】（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
高考数学第一轮复习 集合与简易逻辑
XX年高考数学第一轮复习集合与简易逻辑
一、集合的概念与运算
知识梳理
1.集合的有关概念
2.元素与集合、集合与集合之间的关系
（1）元素与集合：“∈”或“ ”.
（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.
3.集合的运算
（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，
叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}. （2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，
叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}. （3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S
中的补集（或余集），记为 S A，即S A={x|x∈S且x A}.
点击双基
1.集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，那么集合M∩N等于
A.{x|x＜－2}
B.{x|x＞3}
C.{x|－1＜x＜2}
D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1
＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
2.集合A={x∈R|x＜5－ }，B={1，2，3，4}，那么（ RA）∩B等于
A.{1，2，3，4}
B.{2，3，4}
C.{3，4}
D.{4}
解析：RA={x∈R|x≥5－ }，而5－∈（3，4），∴（ RA）∩B={4}.。
2024高考数学集合与逻辑运算
2024高考数学集合与逻辑运算数学是高考的重要科目之一，其中包括了数学的各个分支和知识点。
在2024年的高考数学考试中，集合与逻辑运算是其中一个重要的考点。
本文将围绕这个题目来进行详细的阐述和讲解。
一、集合的基本概念及符号表示在数学中，集合是由一些确定的元素组成的整体。
我们用大写字母表示集合，用大括号{}将集合中的元素列举出来。
例如，集合A可以表示为A={1, 2, 3}，表示集合A中有元素1、元素2和元素3。
另外，我们还可以用描述的方式来表示集合，例如，集合B可以表示为B={x|x是正整数，且x<5}，表示集合B中的元素是满足条件“x是正整数，且x<5”的所有数。
在集合中，元素的重复是没有意义的，即一个集合中的元素是不重复的。
而对于一个给定的集合，我们可以用"∈"来表示某个元素是否属于该集合，用"∉"来表示某个元素是否不属于该集合。
二、集合的运算在集合中，我们常常需要进行一些操作，比如合并、交集和差集等。
下面将分别介绍集合的四种基本运算。
1. 并集运算对于集合A和集合B，它们的并集表示将两个集合中的所有元素合并在一起，得到一个新的集合。
用符号"∪"表示并集运算。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集运算对于集合A和集合B，它们的交集表示两个集合中共有的元素，用符号"∩"表示。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 差集运算对于集合A和集合B，它们的差集表示属于集合A但不属于集合B 的元素，用符号"－"表示。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A－B={1, 2}。
4. 补集运算对于给定的一个全集U，集合A的补集表示不属于集合A的所有元素，用符号"'"表示。
高考数学复习要点点点清
一、 集合与简易逻辑（必修一第一章、选修2-1第一章）1． 含有n 个元素的有限集合，共有n2个子集，其中非空子集有n2 – 1 个; 非空真子集有n2 – 2 个。
2． 在解决A ⊂B 或A ⊆B 的有关问题时，易忽略A =φ的情况；同时应注意空集不能写成{φ}和{0}, 写集合的常见错误有：{– 1 < x < 2 }、x = {x| x ∈– 1 < x < 2 }3． 看一个集合，首先看集合以什么为元素，其次是元素满足的条件。
4． 集合的相等指的是两集合的元素完全相同，并非要求集合的结构或表述完全相同。
如：A = {x| x = 2k + 1 ,k ∈Z }与 B= {x| x = 2k - 1 ,k ∈Z }M = {y| y = x + 1} 与N = {x | y = x 2 }5．韦恩图能很好地帮助我们理解集合间的关系和运算。
6．复习一下“或”、“非”、“且”三种复合命题的真值表。
7．四种命题的相互关系、充分必要条件的概念要清楚。
如：“α≠3π是cos α≠21的什么条件？”等价于“cos α=21是α=3π的什么条件？”二、函数、导数（必修一第二、三章、选修2-2第一章） 1．映射是高考的重点内容，常与其它知识联系在一起考查。
2．研究函数问题的基本思想是数形结合，在可能的条件下尽量把图象画出来（那怕是草图） 3．忽略定义域，是解函数问题的“多发病”。
4．形如：y =d cx b ax ++的值域为y ∈R 且y ca≠5． 形如：y = ax +c bx +的值域：a 、b 同号时用单调性；a 、b 异号时用换元法（即设u = c bx +, 则x =bcu 2-. 注意u ≥0）6． 有关指数、对数函数的问题，应注意底数的范围，若底数不确定要讨论。
同时还要小心真数大于0的隐含条件。
对数函数的图象和对数运算法则默一遍，注意：y = log 2 x 与y = log 3 x ，y = log x 21与y = x log 31的位置关系.7． 若y = log m (ax 2 + bx + c )的定义域是R ，则a > 0 且 Δ< 0; 若y = log m (ax 2 + bx + c )的值域是R ，则a > 0 且 Δ≥0;9．方程实根的个数、图象的交点个数问题，可先考虑用数形结合解决，再考虑用判别式法。
(经典)高考数学一轮复习专题：集合与简易逻辑
集合与简易逻辑考点一:集合(一)知识清单1. 集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于∈不属于∉4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N*N或+N Z Q R C 2：集合间的基本关系关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同BA⊆且A⊆B⇔BA=子集A中任意一元素均为B中的元素BA⊆或AB⊇真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A⊆φ，φB（φ≠B）若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是n 2－1, 所有非空真子集的个数是22-n 3：集合的基本运算 1.两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; 2.两个集合的并集: AB ={}x x A x B ∈∈或;3.设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且4：方法指导1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.5.强化数形结合、分类讨论的数学思想.(二) 典型例题分析题型一：集合的概念例1、 已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 变式:下面四个命题正确的是( )（A ）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B ）方程x 2－4x ＋4＝0的解集是{2，2} （C ）0与{0}表示同一个集合（D ）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}题型二：集合的性质例2、 集合{}0,2,A a =,{}21,B a=,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4例3、 例3.设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）A ．{2}B ．{3}C ．{－3，2}D ．{－2，3}例4、 已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由题型三：集合的运算例5、 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B = ( )A.}{1,5,7B.}{3,5,7 C.}{1,3,9 D.}{1,2,3变式：1. 若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭≥，则R C A =( )A.(]2,0(,)2-∞⋃+∞B.2(,)2+∞C.(]2,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎪⎣⎭D.2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭2. 设集合P={m|－1＜m ≤0}，Q={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 （ ）A.P QB.Q PC.P=QD.P ∩Q=Q 3.若{U n n =是小于9的正整数}，{A n U n =∈是奇数}，{B n U n =∈是3的倍数}，则()U A B =ð ．4.若{}3A x R x =∈<，{}21xB x R =∈>，则A B = ．5.已知集合{1,1}M =-，11{|24,}2x N x x Z +=<<∈，则M N =( ).A. {1,1}-B. {0}C. {1}-D. {1,0}-6．设集合2{|log 1}A x x =<，1{|0}2x B x x -=<+，则A B = 例6、 已知函数1()2x f x x +=-的定义域集合是A,函数22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++的定义域集合是B（1）求集合A 、B（2）若A U B=B,求实数a 的取值范围．题型四：图解法解集合问题例7、 已知集合M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+149|22y x x ，N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+123|y x y ，则=N M （ ） A ．∅B ．)}0,2(),0,3{(C ．]3,3[-D ．{}2,3变式 1.已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B 的元素个数为（ ）.A.4B.3C.2D.1变式2. 设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1例8、 设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |212+-x x <1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围。
高考数学考点解析及分值分布
高考数学考点解析及分值分布1．集合与简易逻辑.分值在5～10分左右（一道或两道选择题）,考查的重点是抽象思维能力,主要考查集合与集合的运算关系,将加强对集合的计算与化简的考查,并有可能从有限集合向无限集合发展.简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别.2．函数与导数,函数是高中数学的主要内容,它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起,是中学数学全部内容的主线.在高考中,至少三个小题一个大题,分值在３０分左右.以指数函数、对数函数、生成性函数为载体结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数问题常常是选择题、填空题考查的主要内容,其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势.函数与导数的结合是高考的热点题型,文科以三次（或四次）函数为命题载体,理科以生成性函数（对数函数、指数函数及分式函数）为命题载体,以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件,与不等式、数列综合成题,是解答题试题的主要特点.3．不等式;一般不会单独命题,会在其他题型中“隐蔽”出现,分值一般在10左右.不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中,不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题.选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式.解答题会与其它知识的交汇中考查,如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等.4．数列：数列是高中数学的重要内容,又是初等数学与高等数学的重要衔接点,所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位．题量一般是一个小题一个大题,有时还有一个与其它知识的综合题.分值在20分左右,文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n 项和为主；理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主.数列是特殊的函数,而不等式是深刻认识函数与数列的工具,三者综合的求解题与求证题是对基础知识和基础能力的双重检验,是高考命题的新热点.5．三角函数：分值在20分左右（两小一大）.三角函数考题大致为以下几类：一是三角函数的恒等变形,即应用同角变换和诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,求三角函数值及化简、证明等问题；二是三角函数的图象和性质,即图像的平移、伸缩变换与对称变换、画图与视图,与单调性、周期性和对称性、最值有关的问题；三是三角形中的三角问题．高考对这部分内容的命题有如下趋势：⑴降低了对三角变形的要求,加强了对三角函数的图象和性质的考察．⑵多是基础题,难度属中档偏易．⑶强调三角函数的工具性,加强了三角函数与其他知识的综合,如与向量知识、三角形问题、解析几何、立体几何的综合.以三角形为载体,以三角函数为核心,以正余弦公式为主体,考查三角变换及其应用的能力,已成为考试热点.6．向量：分值在10分左右,一般有一道小题的纯向量题,另外在函数、三角、解析几何与立体几何中均可能结合出题.向量是新增的重点内容,它融代数特征和几何特征于一体,能与三角函数、函数、解析几何、立体几何自然交汇、亲密接触.在处理位置关系、长度、夹角计算上都有优势,向量作为代数与几何的纽带,理应发挥其坐标运算与动点轨迹、曲线方程等综合方面的工具性功能,因此加大对向量的考查力度,充分体现向量的工具价值和思维价值,应该是今后高考命题的发展趋势.向量和平面几何的结合是高考选择、填空题的命题亮点,向量不再停留在问题的直接表达水平上,而与解析几何、函数、三角等知识有机结合将成为一种趋势,会逐渐增加其综合程度.7．立体几何：分值在22分左右（两小一大）,两小题以基本位置关系的判定与柱、锥、球的角、距离、体积计算为主,一大题以证明空间线面的位置关系和有关数量关系计算为主,诸如空间线面平行、垂直的判定与证明,线面角和距离的计算.试题的命制载体可能趋向于不规则几何体,但仍以“方便建系”为原则.8．解析几何：课本第七章直线与圆的方程、第八章圆锥曲线统称为解析几何,高考对解析几何的考查一般是三个小题一个大题,所占分值约３０分.其规律是线性规划、直线与圆各一个小题,涉及圆锥曲线的图形、定义或简单几何性质的问题一个小题,直线与圆锥曲线的综合问题一个大题.解析几何的重点仍然是圆锥曲线的性质,包括：直线的倾斜角、斜率、距离、平行垂直、点对称、直线对称、线性规划有关问题等等.直线和圆锥曲线的位置关系以及轨迹问题,仍然以考查方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点.坐标法使平面向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来.相关交汇试题应运而生,涉及圆锥曲线参数的取值范围问题也是命题亮点.9．排列、组合、二项式定理、概率统计：分值在22分左右两小一大,排列组合与二项式定理一般各一个小题,大题理科以概率统计、文科以求概率的应用题为主,分值超过其所占课时的比重.这部分考查内容包括：二项式定理及运用；排列与组合；概率与统计.在解答题中,排列、组合与概率是重点.其考查方式以排列组合为基础,着重考查学生应用概率知识解决实际问题的能力.理科考查重点为随机变量的分布列及数学期望；文科以等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率求法为主.特别要引起注意是以“正态分布”相关内容为题材,文科卷以“抽样”相关内容为题材设计试题。
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