常见离散型随机变量的分布精品PPT课件
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离散型随机变量的分布列公开课PPT课件
a
1/6
第8页/共17页
练习2、 随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P 0.1 a/10 a2
（1）求常数a;
2
3
a/5 0.2
第9页/共17页
练习3：
1、下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量 的
分布列的是（B ）
A
0
1
P
0.6 0.3
B
0
1
2
P 0.9025 0.095 0.0025
C 0 1 2 …n D 2 1 2
P(
1)
1 1 4 12
1 3
P (2
4)
P(
2)
P(
2)
1 12
1 6
P(2 9) P( 3)
1 12
1 4
∴ 2 的分布列为：
2
0
1
P
3
1
4
9
1
1
1
3
4
12
第13页/共17页
小结:
1.复习随机变量相关知识 2.详细解释离散型随机变 量的定义 3. 掌握简单离散随机变量 的分布列(列表法）
3 2
P
1
1
1
1
1
1
12
4
3
12
6
12
第12页/共17页
能力 已知随机变量 的分布列如下：
提升： －2 －1 0 1 2 3
P
1
1
1
1
1
1
12
4
3
12
6
12
分别求出随机变量⑴
1
1 2
7.2离散型随机变量及其分布列1课件共19张PPT
2.随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格
分别赋值5.4.3.2.1;等等,对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实
数对应。
即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现
样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也
的7折优惠，已知原来的水杯价格是每只6元．这个人一次购买水
杯的只数X是一个随机变量，那么他所付的款额η是否也是一个随
机变量呢？这两个随机变量有什么关系？
Y=50×6+(X−50)×6×0.7=300+4.2−210 =4.2+90
2.从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
2 包含无穷多个样本点. 各样本点与变量的值的对应关系如上图所示
学习新知 2.随机变量的定义
一般地, 对于随机试验样本空间中的每个样本点,
都有唯一的实数()与之对应, 我们称为随机变量.
3.离散型随机变量的定义
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量, 我们称为离散型随机变量.
通常用大写英文字母表示随机变量, 例如, , ;
水位＞29 m
是离散型随机变量．
离散型随机变量的关键点是可以“一一列出”，
这就说明试验的结果是有限的，这点是区别
于非离散型随机变量的关键．
巩固练习
－2、0、2
⑴掷两枚均匀硬币一次，则正面个数与反面个数之差的可能的值有
．
⑵袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号
码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之
武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；
二章离散型随机变量ppt课件
定义 设 是试验E的样本空间, 若
按一定法则 实数 X ()
则称 X ( ) 为 上的 随机变量
简记 r.v. X .
r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写
希腊字母 , , 表示.
随机变量 是 R 上的映射,
此映射具有如下特点 定义域 事件域
随机性 r.v. X 的可能取值不止一个,
二项分布的取值情况 设
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k)
C8k
(
1 3
)k
(1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
设 A 为随机事件，则称
X
A
1, 0,
A 为事件A 的示性变量 A
在同一个样本空间可以同时定义多个
r.v., 例如
= {儿童的发育情况 } X() — 身高, Y() — 体重, Z() — 头围.
各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没
有关系—— 即 相互独立
离散型
r.v. 分类 非离散型
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数 Xt ~ P ( t )
按一定法则 实数 X ()
则称 X ( ) 为 上的 随机变量
简记 r.v. X .
r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写
希腊字母 , , 表示.
随机变量 是 R 上的映射,
此映射具有如下特点 定义域 事件域
随机性 r.v. X 的可能取值不止一个,
二项分布的取值情况 设
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k)
C8k
(
1 3
)k
(1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
设 A 为随机事件，则称
X
A
1, 0,
A 为事件A 的示性变量 A
在同一个样本空间可以同时定义多个
r.v., 例如
= {儿童的发育情况 } X() — 身高, Y() — 体重, Z() — 头围.
各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没
有关系—— 即 相互独立
离散型
r.v. 分类 非离散型
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数 Xt ~ P ( t )
离散型随机变量及其分布函数_图文
5.超几何分布
设X的分布律为
说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.
三、内容小结
1.常见离散型随机变量的分布 两点分布 二项分布 泊松分布
几何分布 超几何分布
两点分布
二项分布
泊松分布
则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.
定义 说明
离散型随机变量的分布律也可表示为 或
例1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号
灯.每盏灯以
的概率禁止汽车通过.以
表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信
号灯的工作是相互独立的），求 的分布律.
Байду номын сангаас
离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系 ：
也就是： 分布律
分布函数
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.两点分布
设随机变量 X 只取0与1两个值 , 它的分布律为
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布或伯努利分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
离散型随机变量及其分布函数_图文.ppt
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)，发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
2.2 离散型随机变量及其概率分布.ppt
2019-11-27
1 3 1 3 42 4
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5
例 袋中有5个球，其中2个白球，3个黑球， 从中随机地一次抽取3个球，求取得白球数的 概率分布．
解 令 X表示“取得的白球数”，则X 可
能取值为0，1，2，
可以求得的分布律为
2019-11-27
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6
P{X
0}
C33 C53
P( X xk ) pk
xk x
xk x
pk P(X xk ) F(xk ) F(xk1)
其中 xk1 xk .
F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取
值 xk 处发生间断.
2019-11-27
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3
例: 设随机变量的分布律为
X -1 2
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
离散随机变量及分布律
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个 或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
或 P( X xk ) pk , k 1,2,
X
x1
x2
… xK
…
2019-11-27
15
20
2019-11-27
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13
二项分布中最可能的成功次数 的定义与推导
若 P( X k) P( X j), j X 可取的一切值 则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
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离散型随机变量PPT课件(人教版)
参加人数
50 40 30 20 10
1
2
活动次数
3
归纳小结
1.随机变量: 如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那 么这样的变量叫做随机变量。 随机变量常用字母X ,Y ,ξ,η表示。
2.离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按 一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。 本章只研究取有限个值的离散型随机变量。
P(2 0) P( 0) P(2 1) P( 1)
1
3 P(
1)
1 4
1 12
1 3
P(2
4) P(
2) P(
2) 1 1
12 6
1 4
P(2
9)
P(
3)
1
12
∴ 2 的散布列为
2： 0
1
4
9
1
1
1
1
P
3
3
4
12
某中学号令学生在今年春节期间至少参加一次社会 公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学 生，他们参加活动的次数统计如图所示． （1）求合唱团学生参加活动的人均次数； （2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数 恰好相等的概率． （3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参 加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的散布列
知识探究
1. 某人射击一次可能命中的环数X是一个随机变量，某网页在 24小时内被浏览的次数Y也是一个随机变量，这两个随机变量 的值域分别是什么？
答：X∈{0，1，2，…，10}； Y∈{0，1，2，…，n}. 2. 一只合格灯泡连续照明的时间ξ(h)是一个随机变量；某林场 最高的树木为30m，该林场任意一棵树木的高度η（m）也是 一个随机变量，这两个随机变量的值域分别是什么？
50 40 30 20 10
1
2
活动次数
3
归纳小结
1.随机变量: 如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那 么这样的变量叫做随机变量。 随机变量常用字母X ,Y ,ξ,η表示。
2.离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按 一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。 本章只研究取有限个值的离散型随机变量。
P(2 0) P( 0) P(2 1) P( 1)
1
3 P(
1)
1 4
1 12
1 3
P(2
4) P(
2) P(
2) 1 1
12 6
1 4
P(2
9)
P(
3)
1
12
∴ 2 的散布列为
2： 0
1
4
9
1
1
1
1
P
3
3
4
12
某中学号令学生在今年春节期间至少参加一次社会 公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学 生，他们参加活动的次数统计如图所示． （1）求合唱团学生参加活动的人均次数； （2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数 恰好相等的概率． （3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参 加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的散布列
知识探究
1. 某人射击一次可能命中的环数X是一个随机变量，某网页在 24小时内被浏览的次数Y也是一个随机变量，这两个随机变量 的值域分别是什么？
答：X∈{0，1，2，…，10}； Y∈{0，1，2，…，n}. 2. 一只合格灯泡连续照明的时间ξ(h)是一个随机变量；某林场 最高的树木为30m，该林场任意一棵树木的高度η（m）也是 一个随机变量，这两个随机变量的值域分别是什么？
离散型随机变量的函数的分布.ppt
注意 若 g( xk )中有值相同的,应将相应的 pk 合并.
如果设
X 1 1 2
pk
1 6
23 66
则 Y X 2 5 的分布律
Y 4
1
1
1
p
2
2
二.连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X 具有概率密度
fX
(x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其他.
求随机变量Y 2X 8的概率密度 .
h(v)arcsin v ,
A
h(v)
1, A2 v2
又, 的概率密度为
f
(
)
1
,
,
2
2
0, 其他
由(5.2)式得V Asin 的概率密度为
(v
)
1
0,
注意
1, A2 v2
A v A, 其他
若 ~ U (0, ), 此时v g( ) Asin 在(0, )上
不是单调函数.
设在[a,b]上恒有g( x) 0(或恒有g( x) 0), 此时,
a min{g(a), g(b)}, max{g(a), g(b)}.
例4 设随机变量X ~ N(, 2 ). 试证明X的线
性函数Y aX b(a 0)也服从正态分布.
证 X 的概率密度为
fX (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
离散型随机变量的函数的分布一一连续型随机变量的函数的分布二二的一切可能值是定义在随机变量的取值随着若随机变量为随机变则称随机变量y的分布如何来求随机变量的分布若已知的随机变量x问题具有以下分布律设随机变量x是离散型随机变量如果x也是离散型随机变量的分布律为合并应将相应的具有概率密度设随机变量x的概率密度求随机变量的分布函数为分别记求导数关于具有分布概率密度设随机变量的分布函数为分别记的分布函数先来求求导数关于51例如服从自由度为此时称具有概率密度设随机变量处处可导且恒有设函数的情况我们只证其反函数存在的反函数为的分布函数现在先求y求导数关于其他
离散型随机变量的分布1(PPT)1-1
弧边招潮蟹 Uca arcuata招潮蟹广泛分布于热带亚热带海岸的潮间带，全世界有80多种，少数也分布于靠近河口的内陆溪流岸边，多数栖息在红树林旁的滩涂或红树林之间的湿地，是红树林沼泽中最具代表性的螃蟹。 招潮蟹的生活习性与潮汐有密切关系。涨潮时，它挥舞着大螯，好像在招唤潮水快涨（因此得名“招潮蟹”）；在潮水到来之际，招潮蟹迅速钻进洞里并用一团淤泥塞好洞口，使潮水无法进入洞穴，洞内仍有一些空气可供呼吸；退潮后，招潮蟹从洞穴里出来 ，悠然自得地在阳光下散步、取食。 头胸甲前宽后窄，状以菱角，表面光滑，侧区和中区间有沟，中部各区分界明显。额小，呈圆形。眼窝宽而深，背绿中部凸出，侧部凹入，眼柄细长。侧缘具隆线，自外眼窝齿向后行，不久卽斜向内后方。雄螯极不对称，大螯长节背缘甚隆，颗粒稀少，内腹 缘具锯齿，腕节背面观呈长方形，与掌节背面均具粗糙颗粒，两指问的空隙很大，有时稍小，两指侧扁，其长度约为掌节长度的1.5-2倍，内缘各具大小不等的锯齿。小螯长节除腹缘外，边缘均具颗粒，内、外侧面具分散刚毛，两指间距离小，内缘具细齿，末 端内弯，呈匙形。雌螯小而对称，与雄性的小螯相似。各对步足的长节宽牡，前绿具细锯齿，腕节前面有2条平行的颗粒隆缓。第四对的仅前缘具微细颗粒，前节隆线与腕节相似，指节扁平。雄性腹部略呈长方形，雌性腹部圆大。头胸甲长21.0毫米，前缘宽34 毫米，后缘宽14.4毫米。
如果随机试验的结果可以用一个变量来
表示，那么这样的变量叫做随机变量．随
机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
例如，上面射击的命中环数ξ是一个随 机变量：
ξ=0，表示命中0环； ξ=1，表示命中1环；
…………
ξ=10，表示命中10环．
•
； 硬笔书法加盟 硬笔书法培训
• 2、掌握类比的数学思想. • 3，提高抽象概括能力，数学的提
离散型随机变量及其分布律-PPT课件
n n
概率论
n k n k 即 PX k 满 足 条 件 . 2 ， . 3. 意 到 pq 刚 好 是 2 2 注 k
k 二 项 式 p q 的 展 开 式 中 出 现的 p 那 一 项 ， 故 我 们 称 随 n
机 变 量服 X 从 参 数 np , 的 二 项 分 布 , 记 为 X bnp , .
概率论
离散型随机变量及其分布律
离散型随机变量分布律的定义 离散型随机变量表示方法 三种常见分布 小结 布置作业
概率论
一、离散型随机变量分布律的定义
有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值是有限 个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变 量.例如§1例2中的随机变量X，它只可能取0,1,2,3 四个值,它是一个离散型随机变量.又如某城市的120 急救电话台一昼夜收到的呼唤的次数也是离散型随 机变量.若以T记某元素的寿命,它所可能取的值充满 一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的，因而 它是一个非离散型的随机变量.本节只讨论离散型随 机变量.
是研究最多的模型之一.
概率论
例如,E是抛一枚硬币观察得到正面或反面 .A表示得 正面 , 这是一个伯努利试验 . 如将硬币抛 n 次 , 就是 n 重伯努利试验 . 又如抛一颗骰子 , 若 A 表示得到“ 1 点”, A 表示得到“非1点”.将骰子抛n次,就是n重 伯努利试验.再如在袋中装有a只白球,b只黑球.试验 E是在袋中任取一只球观察其颜色.以A表示“取到白 球” ,P(A)=a/(a+b). 若连续取球 n 次作放回抽样 , 这 就是 n 重伯努利试验 . 然而 , 若作不放回抽样 , 虽则每 次每次试验都有P(A)=a/(a+b)(见第一章§4例5),但 各次试验不再相互独立 , 因而不再是 n 重伯努利试验 了.
概率论
n k n k 即 PX k 满 足 条 件 . 2 ， . 3. 意 到 pq 刚 好 是 2 2 注 k
k 二 项 式 p q 的 展 开 式 中 出 现的 p 那 一 项 ， 故 我 们 称 随 n
机 变 量服 X 从 参 数 np , 的 二 项 分 布 , 记 为 X bnp , .
概率论
离散型随机变量及其分布律
离散型随机变量分布律的定义 离散型随机变量表示方法 三种常见分布 小结 布置作业
概率论
一、离散型随机变量分布律的定义
有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值是有限 个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变 量.例如§1例2中的随机变量X，它只可能取0,1,2,3 四个值,它是一个离散型随机变量.又如某城市的120 急救电话台一昼夜收到的呼唤的次数也是离散型随 机变量.若以T记某元素的寿命,它所可能取的值充满 一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的，因而 它是一个非离散型的随机变量.本节只讨论离散型随 机变量.
是研究最多的模型之一.
概率论
例如,E是抛一枚硬币观察得到正面或反面 .A表示得 正面 , 这是一个伯努利试验 . 如将硬币抛 n 次 , 就是 n 重伯努利试验 . 又如抛一颗骰子 , 若 A 表示得到“ 1 点”, A 表示得到“非1点”.将骰子抛n次,就是n重 伯努利试验.再如在袋中装有a只白球,b只黑球.试验 E是在袋中任取一只球观察其颜色.以A表示“取到白 球” ,P(A)=a/(a+b). 若连续取球 n 次作放回抽样 , 这 就是 n 重伯努利试验 . 然而 , 若作不放回抽样 , 虽则每 次每次试验都有P(A)=a/(a+b)(见第一章§4例5),但 各次试验不再相互独立 , 因而不再是 n 重伯努利试验 了.
离散型随机变量及其分布率.ppt
（1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果
且P(A)=p ，P( A) 1 p ；
2019/11/13
（3）各次试验相互独立。 15
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功” 次数X的概率分布.
若X的分布律为：
P{X k} Cknpkqnk , k 0,1,2,n 则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
现“4”点的次数。
不难求得，X的概率分布是：
P{
X
k}C
k 3
(
1 6
)k
(
5 6
)3
k
,
k0,1,2,3
2019/11/13
13
一般地，设在一次试验中只考虑两个互逆的结果， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”。
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”
新生儿：“是男孩”，“是女孩”
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
2019/11/13
27
上面我们提到 二项分布 n很大, p 很小 泊松分布
2019/11/13
28
例 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每 辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率0.0001, 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故 的次数不小于2的概率是多少? 解 设1000 辆车通过,出事故的次 数为 X , 则 X ~ b(1000, 0.0001),
1, 若第 i 次试验成功 Xi 0, 若第 i 次试验失败,
(i 1,2,,n)
它们都服从 (0 1) 分布并且相互独立, 那末
X X1 X2 Xn 服从二项分布,参数为(n, p).
第五节离散型随机变量及其分布列课件共44张PPT
解：(1)P(A)＝1－CC31340·123＝223490， 所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率 为223490. (2)由题可知X可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝CC34C13006＝310，P(X＝1)＝CC24C13016＝130， P(X＝2)＝CC14C13026＝12，P(X＝3)＝CC04C13036＝16. 所以随机变量X的分布列为
故X的分布列为
X 200
300
400
P
1 10
3 10
3 5
求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2， 3，…，n)． (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi. (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或 某事件的概率是否正确． 提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机 变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数 原理、古典概型等知识．
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的， 从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球 个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
解析：由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P(X＝4)＝CC23C13219＝22270.
答案：22270
考点1 离散型随机变量的分布列的性质
1 3
k
，k＝1，
2，3，则a的值为( )
A．1
B．193
C．1113
D．2173
解析：因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a
1 3
k
(k＝
1，2，3)，
所以根据分布列的性质有a×13＋a132＋a133＝1，
所以a13＋19＋217＝a×1237＝1.所以a＝2173. 答案：D
离散型随机变量ppt课件
ξ的概率分布列，简称为ξ的分布列.
也可将①用表的形式来表示
ξ Ｘ1 Ｘ2 … Ｘｉ …
Ｐ
Ｐ1
Ｐ2
…
Ｐｉ
…
上表称为随机变量ξ的概率分布表， 它和①都叫做随机变量ξ的概率分布.
2.分布列的构成: ⑴列出随机变量ξ的所有取值; ⑵给出ξ的每一个取值的概率． 3.分布列的性质:
(1) pi 0, i 1,2, ; (2) p1 p2 1.
,则a的为
．
课堂小结
1. 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样 的变量叫做随机变量．
课堂小结
1. 随机变量
2.离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这 样的随机变量叫做离散型随机变量． 随机变量ξ 的线性组合η =aξ +b(其中a、b是常数) 也是随机变量．
课堂小结
1. 随机变量 2.离散型随机变量
3.离散型随机变量的分布列
ξ Ｐ Ｘ1 Ｐ1 Ｘ2 Ｐ2 … … Ｘｉ Ｐｉ … …
知识回顾
一.随机事件：在一定条件下可能发 生也可能不发生 的事件
二、随机事件的概率 一般地，在大量重复进行同一试验时， m 事件A发生的频率 总是接近于某个常 n 数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫 做事件A的概率，记作P（A）
几点说明： （1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复 试验 （2）概率可看作频率在理论上的期望值，它从数 量 上反映了随机事件发 生的可能性的大小，频率在 大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的 概率 （3）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，因 此 0 p( A) 1
例２.从装有６只白球和４只红球的口 袋中任取一只球，用X表示“取到的白 球个数”，即 1• • •(当取到白球) X • •(当取到红球) 0•
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第四节 常见离散型随机变量的分布
一、两点分布 二、二项分布
三、泊松分布 ห้องสมุดไป่ตู้、几何分布
一、两点分布
在一次伯努利试验中，若成功率为p ， 成功的次数X的分布为
P( X k) pk (1 p)1k , (k 0,1)
则称X 服从参数为p的两点分布， 或参数为p的0-1分布.
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性,成为概率论中最重要的几个分布 之一.
在实际中，许多随机现象服从或近似服 从泊松分布.
泊松定理：
在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中发生 的概率为pn (与试验次数n有关), 则成功次数X服从 二项分布，当
lim
n
npn
0,
则对于任何非负整数k，有
lim P{ X
所以， PX 4 2 4 e2 2 e2 0.09022
4!
3
例5 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售
记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=4
的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不 脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？
解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ=4的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件,
例4、设随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，且已知
PX 1 PX 2 ,试求 PX 4．
解：随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
由已知 PX 1 PX 2
1 e 2 e
1!
2!
由此得方程 2 2 0
得 解 2． 另一个解 0不合题意，舍去
EX E( X1 X 2 X n ) EX1 EX 2 EX n np DX D( X1 X 2 X n ) DX1 DX 2 DX n np(1 p) npq 注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。
例2 设X表示 10次独立重复射击命中目标的次 数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期 望E(X2)=( 18.4 )
X对应的实验次数为n=4, 所以, X~B(4,0.8)
类似,Y~B(4,0.2)
二项分布的期望与方差 X ~ b(n, p)
1 如第i 次试验成功 X i 0 如第i 次试验失败
i 1,2,, n.
则 X X1 X2 Xn
且X
1
,
X
2
,,
X
相互独立
n
Xi ~ (0 1)分布 EX i p, DX i p(1 p)
例3 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设 每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?
解 设 1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则
X ~ b(1000, 0.0001),
故所求概率为 P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1}
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
销售数
进货数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m.
也即
m i e 0.95
i0 i!
查泊松分布表得
7 i e 0.948847
i0 i!
于是得 m=8（件）.
8 i e 0.978637
i0 i!
泊松分布的期望与方差 X ~ P()
E(X )
1
0.99991000
C1 1000
0.0001 0.9999999
二项分布 np ( n )泊松分布
三、泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2,,而取各个 值的概率为
P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ P().
P(X=1) =0.0768 P(X=3) =0.3456 P(X=5) =0.07776
若A和A 是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”
可以指二者中任意一个, p 是“成功”的概率.
例如: 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 4次, 每次一件, 取得合格品件数X, 以及取得不合 格品件数Y均服从分布为二项分布. “成功”即取得合格品的概率为p=0.8,
n
k}
lim
n
Cnk
pnk (1
pn )nk
k e
k!
泊松定理的应用
由 Poisson 定理，可知
若随机变量X～b(n,p)
则当n比较大，p比较小时，
令：
np
则有
PX k Cnk pk 1 p nk
k e
k!
P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk
k 0,1, 2, ..., n
称X所服从的分布为二项分布. 记为 X~B(n,p)或X~b(n,p).
二项分布X的分布列表（q=1-p)
X0
1
k
n
P qn Cn1 pqn1
Cnk pk qnk
pn
说明：若X ~ B(n, p),则
二项分布 n 1 两点分布
两点分布的期望与方差
设X服从参数为p的0-1分布，则有
E(X ) p
E(X 2) p
X
0
1
pk 1 p
p
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p)
二、二项分布
若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率 为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的 次数（事件A发生的次数）X的分布列为:
D(X )
E(X 2 )
k 2P{X
k}
[k(k
k
1) k]
e
k 0
k 0
k!
2e
k 2
E(X )
k2 (k 2)!
2ee 2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2
二项分布与泊松分布的关系
历史上，泊松分布是作为二项分布的近似， 于1837年由法国数学家泊松引入的 .
例1 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击 中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布.
解: X ~ B(n, p) n=5, p=0.6
P( X k) C5k 0.6k (1 0.6)5k k 0,1, 2, 3, 4, 5
P(X=0) =0.01024 P(X=2) =0.2304 P(X=4) =0.2592
一、两点分布 二、二项分布
三、泊松分布 ห้องสมุดไป่ตู้、几何分布
一、两点分布
在一次伯努利试验中，若成功率为p ， 成功的次数X的分布为
P( X k) pk (1 p)1k , (k 0,1)
则称X 服从参数为p的两点分布， 或参数为p的0-1分布.
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性,成为概率论中最重要的几个分布 之一.
在实际中，许多随机现象服从或近似服 从泊松分布.
泊松定理：
在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中发生 的概率为pn (与试验次数n有关), 则成功次数X服从 二项分布，当
lim
n
npn
0,
则对于任何非负整数k，有
lim P{ X
所以， PX 4 2 4 e2 2 e2 0.09022
4!
3
例5 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售
记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=4
的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不 脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？
解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ=4的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件,
例4、设随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，且已知
PX 1 PX 2 ,试求 PX 4．
解：随机变量 X 的分布律为
PX k k e k 0， 1， 2，
k!
由已知 PX 1 PX 2
1 e 2 e
1!
2!
由此得方程 2 2 0
得 解 2． 另一个解 0不合题意，舍去
EX E( X1 X 2 X n ) EX1 EX 2 EX n np DX D( X1 X 2 X n ) DX1 DX 2 DX n np(1 p) npq 注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。
例2 设X表示 10次独立重复射击命中目标的次 数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期 望E(X2)=( 18.4 )
X对应的实验次数为n=4, 所以, X~B(4,0.8)
类似,Y~B(4,0.2)
二项分布的期望与方差 X ~ b(n, p)
1 如第i 次试验成功 X i 0 如第i 次试验失败
i 1,2,, n.
则 X X1 X2 Xn
且X
1
,
X
2
,,
X
相互独立
n
Xi ~ (0 1)分布 EX i p, DX i p(1 p)
例3 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设 每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?
解 设 1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则
X ~ b(1000, 0.0001),
故所求概率为 P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1}
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
销售数
进货数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m.
也即
m i e 0.95
i0 i!
查泊松分布表得
7 i e 0.948847
i0 i!
于是得 m=8（件）.
8 i e 0.978637
i0 i!
泊松分布的期望与方差 X ~ P()
E(X )
1
0.99991000
C1 1000
0.0001 0.9999999
二项分布 np ( n )泊松分布
三、泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2,,而取各个 值的概率为
P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ P().
P(X=1) =0.0768 P(X=3) =0.3456 P(X=5) =0.07776
若A和A 是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”
可以指二者中任意一个, p 是“成功”的概率.
例如: 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 4次, 每次一件, 取得合格品件数X, 以及取得不合 格品件数Y均服从分布为二项分布. “成功”即取得合格品的概率为p=0.8,
n
k}
lim
n
Cnk
pnk (1
pn )nk
k e
k!
泊松定理的应用
由 Poisson 定理，可知
若随机变量X～b(n,p)
则当n比较大，p比较小时，
令：
np
则有
PX k Cnk pk 1 p nk
k e
k!
P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk
k 0,1, 2, ..., n
称X所服从的分布为二项分布. 记为 X~B(n,p)或X~b(n,p).
二项分布X的分布列表（q=1-p)
X0
1
k
n
P qn Cn1 pqn1
Cnk pk qnk
pn
说明：若X ~ B(n, p),则
二项分布 n 1 两点分布
两点分布的期望与方差
设X服从参数为p的0-1分布，则有
E(X ) p
E(X 2) p
X
0
1
pk 1 p
p
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p)
二、二项分布
若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率 为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的 次数（事件A发生的次数）X的分布列为:
D(X )
E(X 2 )
k 2P{X
k}
[k(k
k
1) k]
e
k 0
k 0
k!
2e
k 2
E(X )
k2 (k 2)!
2ee 2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2
二项分布与泊松分布的关系
历史上，泊松分布是作为二项分布的近似， 于1837年由法国数学家泊松引入的 .
例1 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击 中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布.
解: X ~ B(n, p) n=5, p=0.6
P( X k) C5k 0.6k (1 0.6)5k k 0,1, 2, 3, 4, 5
P(X=0) =0.01024 P(X=2) =0.2304 P(X=4) =0.2592