三角形的四大模型

三角形的四大模型

令狐采学

一、三角形的重要概念和性质

1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°

2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余）

二、八字模型：

证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D

三、飞镖模型：

证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C

四、角分线模型：

如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，

试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论．

如图，△ABC两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P．

探索∠P与∠B有怎样的数量关系，并证明你的结论．

题型一、三角形性质等应用

1．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（）

A．120 B．150 C．240 D．360

2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．

如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2．

3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，

且S△ABC=4cm2，则S阴影=cm2．

4．A、B、C是线段A1B，B1C，C1A的中点，S△ABC的面积是1，则S△A1B1C1的面积．

5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况．6．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答）

（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关系，并写出

动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

题型二、八字模型应用

7．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明

∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）如图2，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，

①图2中共有个“8字形”；

②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P的度数；

（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）

③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由．8．（1）求五角星的五个角之和；（2）求这六个角之和

题型三、飞镖模型应用

9．如图，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F，探索∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．

10．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．

（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？

②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？

③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．

（2）拓展应用：

如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．

题型四、角分线模型应用

11．如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．

12．如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，

则∠BDC的度数是（）A．67°B．84°C．88°

D．110°

第11题第12题第13题

13．如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（）

A．50°B．100° C．130° D．150°

14．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：（1）∠A1=；（2）∠A2=；（3）∠An=．

题型五、其他应用

15．已知△ABC中，∠A=60°．

（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC=°．（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=°．

（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应于O1、O2…On ﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表

示）．

（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线对应于O1、O2…On ﹣1，若∠BOn﹣1C=90°，求n的值．

16．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作

DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．

（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）

（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，写出并说明其中的道理．

∠BAC的度数40°60°90°120°

∠BIC的度数

∠BDI的度数

（备用图）