2011全国大学生数学建模用LINGO求最短路径

数学建模中lingo的使用

20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
首页上页下页返回
结果解释
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100;
1)
3360.000
VARIABLE
X1 X2
VALUE
Variable X1 X2 Row 1 2 3 4
Value 16.80000 22.30000
Reduced Cost 0.000000 0.000000
Slack or Surplus Dual Price 229.1000 1.000000 0.000000 2.200000 0.000000 0.1000000 53.90000 0.000000
首页上页返回下页资料仅供参考1桶桶牛奶3公斤a112小时8小时4公斤a2或或获利24元公斤获利16元公斤x1桶牛奶生产a1x2桶牛奶生产a2获利243x1获利164x2原料供应5021??xx劳动时间48081221??xx加工能力10031?x决策变量目标函数216472xxzmax??每天获利约束条件非负约束021?xx线性规划模型lp时间480小时至多加工100公斤a150桶牛奶每天首页上页返回下页资料仅供参考模型求解图解法x1x20abcdl1l2l3l4l55021??xx48081221??xx10031?x021?xx约束条件50
首页
上页
下页
返回
Lingo中的集
Lingo中集的定义语法： setname/member_list/:attribute_list; 说明： setname为集的名称； /member_list/为成员列表； attribute_list为属性列表。

LINGO软件求解最短路问题示例

西安邮电大学现代邮政学院Xi'an post and telecommunications university modern post CollegeLINGO软件求解最短路问题最短路问题最短路问题：给定赋权有向图D=(V,A)，最短路问题就是要在所有从v s到v t的路中，求一条权最小的路，最短路的权简称为从v s到v t的距离。

应用：可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等，还经常被作为一个基本工具，用于解决其它的优化问题。

例题下图，给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间的距离，求一条从A到G的铺管线路，使总距离最短。

AB 1B 2C 1C 2C 3C 4D 1D 2D 3E 1E 2E 3F 1F 2G538761366835338422123335526643LINGO输入程序设：A为顶点城市1，B 1为2，B 2为3，C 1为4，C 2为5，C 3为6，C 4为7，D 1为8，D 2为9，D 3为10，E 1为11，E 2为12，E 3为13，F 1为14，F 2为15，G为16。

12345678910111213141516MODEL :[1]SETS :! We have a network of 16 cities. We want to find the length of the shortest route from city 1 to city 16. ;! Here is our primitive set of sixteen cities, where F(i) represents the shortest path distance from city i to the last city;[2]CITIES/1..16/:F;! The derived set ROADS lists the roads that exist between the cities (note: not all city pairs are directly linked by a road, and roads are assumed to be one way.);[3]ROADS(CITIES,CITIES) /[4]1,2 1,3 2,4 2,5 2,6 3,5 3,6 3,7 4,8 4,9 5,8 5,9 6,9 6,10 7,9 7,10[5]8,11 8,12 9,12 9,13 10,12 10,13 11,14 11,15 12,14 12,15 13,14 13,15[6]14,16 15,16 /:D;! D(i,j) is the distance from city i to j;[7]ENDSETS [8]DATA :! Here are the distance that correspond to the above links;[9]D=[10]5 3 1 3 6 8 7 6 6 8 3 5 3 3 8 4[11]2 2 1 2 3 3 3 5 5 2 6 6[12]4 3;[13]ENDDATA! If you are already in City 16,then the cost to travel to city 16 is 0;[14]F(@SIZE (CITIES))=0;!The shortest distance from City 1 to City 16 is the minimum over all cities j reachable from i of the sum of the distance from i to j plus the minimal distance from j to City 16;[15]@FOR (CITIES(i)|i#LT#@SIZE (CITIES):[16]F(i)=@MIN (ROADS(i,j):D(i,j)+F(j)));END集合段数据段运算式LINGO软件求解结果Variable ValueF( 1) 18.00000F( 2) 13.00000F( 3) 16.00000F( 4) 13.00000F( 5) 10.00000F( 6) 9.000000 F( 7) 12.00000F( 8) 7.000000 F( 9) 6.000000 F( 10) 8.000000 F( 11) 7.000000 F( 12) 5.000000 F( 13) 9.000000 F( 14) 4.000000 F( 15) 3.000000 F( 16) 0.000000Variable ValueD( 1, 2) 5.000000D( 1, 3) 3.000000D( 2, 4) 1.000000D( 2, 5) 3.000000D( 2, 6) 6.000000D( 3, 5) 8.000000D( 3, 6) 7.000000D( 3, 7) 6.000000D( 4, 8) 6.000000D( 4, 9) 8.000000D( 5, 8) 3.000000D( 5, 9) 5.000000D( 6, 9) 3.000000D( 6, 10) 3.000000D( 7, 9) 8.000000D( 7, 10) 4.000000D( 8, 11) 2.000000D( 8, 12) 2.000000D( 9, 12) 1.000000D( 9, 13) 2.000000D( 10, 12) 3.000000D( 10, 13) 3.000000D( 11, 14) 3.000000D( 11, 15) 5.000000D( 12, 14) 5.000000D( 12, 15) 2.000000D( 13, 14) 6.000000D( 13, 15) 6.000000D( 14, 16) 4.000000D( 15, 16) 3.000000点1到最后一个点（点16）的最短路的长度（距离）为18。

最短路径的算法

练习一：Chongqing University of Arts and SciencesQQ:51726652Imagination is more important than knowledge.暑期培训作业1：求出从a 到z 的最短路的长度是？bacedz5421018263用LINGO 求解：model: sets:dingdians/a,b,c,d,e,z/;roads(dingdians,dingdians)/a b,a c,b c,b d,c b,c d,c e,d z,d e,e d,e z/:w,x; endsets data:w=4 2 1 5 1 8 10 6 2 2 3; enddatan=@size(dingdians); !顶点的个数; min=@sum(roads:w*x);@for(dingdians(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:@sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i))); @sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1; @sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1; end运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 13.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostN 6.000000 0.000000W( A, B) 4.000000 0.000000W( A, C) 2.000000 0.000000W( B, C) 1.000000 0.000000W( B, D) 5.000000 0.000000W( C, B) 1.000000 0.000000W( C, D) 8.000000 0.000000W( C, E) 10.00000 0.000000W( D, Z) 6.000000 0.000000W( D, E) 2.000000 0.000000W( E, D) 2.000000 0.000000W( E, Z) 3.000000 0.000000X( A, B) 0.000000 1.000000X( A, C) 1.000000 0.000000X( B, C) 0.000000 2.000000X( B, D) 1.000000 0.000000X( C, B) 1.000000 0.000000X( C, D) 0.000000 2.000000X( C, E) 0.000000 2.000000X( D, Z) 0.000000 1.000000X( D, E) 1.000000 0.000000X( E, D) 0.000000 4.000000X( E, Z) 1.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.000000 0.0000002 13.00000 -1.0000003 0.000000 -8.0000004 0.000000 -5.0000005 0.000000 -6.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 2.0000008 0.000000 -5.000000用MATLAB求解：先建立M文件：function [l,z]=dijkstra(w)n=size(w,1);w1=w(1,:);%赋初值l(i)=w1(i);z(i)=1;ends=[];s(1)=1;u=s(1);k=1；l；z；while k<n% 更新l(v) 和z(v)for i=1:nfor j=1:kif i~=s(j)if l(i)>l(u)+w(u,i)l(i)=l(u)+w(u,i);z(i)=u;endendendendl；z；%求v*ll=l;for i=1:nfor j=1:kif i~=s(j)ll(i)=ll(i);elsell(i)=inf;endendendlv=inf;for i=1:nif ll(i)<lvlv=ll(i);v=i;endlvvs(k+1)=v；k=k+1；u=s(k)；endl；z；在命令窗口输入数据：w=[0 4 2 inf inf inf;4 0 15 inf inf;2 1 0 8 10 inf;inf 5 8 0 2 6;inf inf 10 2 0 3;inf inf inf 6 3 0]运行结果：w =0 4 2 Inf Inf Inf4 0 15 Inf Inf2 1 0 8 10 InfInf 5 8 0 2 6Inf Inf 10 2 0 3Inf Inf Inf 6 3 0 再输入指令：>> [l,z]=dijkstra(w)可的结果：l =0 3 2 8 10 13z =1 3 12 4 5 练习二：Chongqing University of Arts and SciencesQQ:51726652Imagination is more important than knowledge.暑期培训选址问题--重心问题作业2 某矿区有七个矿点，如图所示．已知各矿点每天的产矿量)(j v q （标在图的各顶点上）．现要从这七个矿点选一个来建造矿厂．问应选在哪个矿点，才能使各矿点所产的矿运到选矿厂所在地的总运力（千吨公里）最小．（1）求距离阵D=νν⨯)(ij d ．（2）计算各顶点作为选矿厂的总运力)(i v mij j ji d vq v m ⨯=∑=)()(1νν ,2,1=i（3）求k v 使)}({min )(1i i k v m v m ν≤≤=，则k v 就是选矿厂应设之矿点．此点称为图G 的重心或中位点．用Floyd 算法求出距离矩阵：在matlab 中先建立M 文件： function D=floyd(A)n=size(A,1);%顶点 D=A; %赋初值for i=1:n for j=1:nR(i,j)=j; %赋路径初值 end endfor k=1:n for i=1:nfor j=1:nif (D(i,k)+D(k,j))<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);%更新dij R(i,j)=k; %更新路径rij end endendk ； %显示迭代步数D ； %每步迭代后的路长 R ； %每步迭代后的路径pd=0;for i=1:n %含有负权时if D(i,i)<0 % 存在一条含有顶点vi 的负回路 pd =1;break; end endif pd break;endend %程序结束再在命令窗口中输入数据指令：>> A=[0 3 inf inf inf inf inf ; 3 0 2 inf inf 4 inf ; inf 2 0 6 2 inf inf ; inf inf 6 0 1 inf inf ; inf inf 2 1 0 4 inf ; inf 4 inf inf 4 0 1.5; inf inf inf inf inf 1.5 0]; >> D=floyd(A) D =0 3.0000 5.0000 8.0000 7.0000 7.0000 8.5000 3.0000 0 2.0000 5.0000 4.0000 4.0000 5.5000 5.0000 2.0000 0 3.0000 2.0000 6.0000 7.5000 8.0000 5.0000 3.0000 0 1.0000 5.0000 6.5000 7.0000 4.0000 2.0000 1.0000 0 4.0000 5.5000 7.0000 4.0000 6.0000 5.0000 4.0000 0 1.5000 8.5000 5.5000 7.5000 6.5000 5.5000 1.5000 0>> B=[3 2 7 1 6 1 4] B =3 2 7 1 6 14 >> B*D'ans =132 78 70 92 70 106 130则各顶点作为选矿厂的总运力)(i v m ：m(v1)=132, m(v2)=78, m(v3)=70, m(v4)=92, m(v5)=70, m(v6)=106，m(v7)=130 则最小的总运力为： m(v3)或者m(v5)=70所以矿厂应该建在点v3或者v5处。

最短路径问题的0-1规划模型,lingo直接求解

解：对于无向图的最短路问题，可以这样理解，从点到点和点到点的边看成有向弧，其他各条边均看成有不同方向的双弧，因此，可以按照前面介绍有向图的最短路问题来编程序，但按照这种方法编写LINGO程序相当于边（弧）增加了一倍.这里选择邻接矩阵和赋权矩阵的方法编写LINGO程序.MODEL:1] sets:2] cities/1..11/;3] roads(cities, cities): p, w, x;4] endsets5] data:6] p = 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 07] 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 08] 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 09] 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 010] 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 011] 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 012] 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 013] 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 114] 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 115] 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 116] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;17] w = 0 2 8 1 0 0 0 0 0 0 018] 2 0 6 0 1 0 0 0 0 0 019] 8 6 0 7 5 1 2 0 0 0 020] 1 0 7 0 0 0 9 0 0 0 021] 0 1 5 0 0 3 0 2 9 0 022] 0 0 1 0 3 0 4 0 6 0 023] 0 0 2 9 0 4 0 0 3 1 024] 0 0 0 0 2 0 0 0 7 0 925] 0 0 0 0 9 6 3 7 0 1 226] 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 427] 0 0 0 0 0 0 0 9 2 4 0;28] enddata29]n=@size(cities);30]min=@sum(roads:w*x);31]@for(cities(i) | i #ne# 1 #and# i #ne# n:32] @sum(cities(j): p(i,j)*x(i,j))33] =@sum(cities(j): p(j,i)*x(j,i)));34]@sum(cities(j): p(1,j)*x(1,j))=1;END在上述程序中，第6]行到第16]行给出了图的邻接矩阵，到和到的边按单向计算，其余边双向计算.第17]行到第27]行给出了图的赋权矩阵, 注意：由于有了邻接矩阵，两点无道路连接时，权值可以定义为0. 其它的处理方法基本上与有向图相同.用LINGO软件求解，得到（仅保留非零变量）Global optimal solution found at iteration: 2 0Objective value: 13.00000Variable Value Reduced CostX( 1, 2) 1.000000 0.000000X( 2, 5) 1.000000 0.000000X( 3, 7) 1.000000 0.000000X( 5, 6) 1.000000 0.000000X( 6, 3) 1.000000 0.000000X( 7, 10) 1.000000 0.000000X( 9, 11) 1.000000 0.000000X( 10, 9) 1.000000 0.000000即最短路径为最短路长度为13.→→→→→→→1256371011。

最短路程问题(lingo)

例7.4最短路问题给定N个点p i (i 1, 2，，N )组成集合{P i},由集合中任一点P i到另一点Pj的距离用Cij表示，如果Pi到Pj没有弧联结，则规定Cij,又规定Cii 0(1 i N)，指定一个终点P N，要求从Pi点出发到P N的最短路线。

这里我们用动态规划方法来做。

用所在的点Pi表示状态，决策集合就是除Pi以外的点，选定一个点Pj以后，得到效益cij并转入新状态Pj，当状态是PN时，过程停止。

显然这是一个不定期多阶段决策过程。

定义f (i) 是由P i点出发至终点PN的最短路程，由最优化原理可得f(i) mi j n { c ij f(j)}, i 1,2, ,N 1f(N) 0这是一个函数方程，用LINGO可以方便的解决。

! 最短路问题;model:data :n=10;enddatasets :cities/1..n/: F; !10 个城市;roads(cities,cities)/1,2 1,32.4 2,5 2,63.4 3,5 3,64.7 4,85.7 5,8 5,96.8 6,97.108.109,10/: D, P;endsetsdata :D=6 53 6 97 5 119 18 7 54 10579;enddataF(n)=0;@for(cities(i) | i #lt# n:F(i)= @min(roads(i,j): D(i,j)+F(j)););! 显然，如果P(i,j)=1, 则点i 到点n 的最短路径的第一步是i --> j ，否则就不是。

由此，我们就可方便的确定出最短路径;@for(roads(i,j):P(i,j)= @if (F(i) #eq# D(i,j)+F(j),1,0)); end 计算的部分结果为：Feasible solution found at iteration:Variable N F( 1) F( 2) F( 3) F( 4) F( 5) F( 6) F( 7) F( 8) F( 9) F( 10)P( 1, 2)P( 1, 3)P( 2, 4)P( 2, 5)P( 2, 6)P( 3, 4)P( 3, 5)P( 3, 6)P( 4, 7)P( 4, 8)P( 5, 7)P( 5, 8)P( 5, 9)P( 6, 8)P( 6, 9)P( 7, 10)P( 8, 10)P( 9, 10)Value 10.00000 17.00000 11.00000 15.00000 8.000000 13.00000 11.00000 5.000000 7.000000 9.0000000.0000001.0000000.0000001.000000 0.0000000.0000001.000000 0.000000 0.0000000.0000001.000000 1.000000 0.0000000.0000001.0000000.0000001.000000 1.000000 1.000000例3.5 (最短路问题) 在纵横交错的公路网中，货车司机希望找到一条从一个城市到另一城市的最短路。

利用LinGo求解几种有向图最短路问题

LIU Lin
(Fujian Communication Technology College Basic Courses Department, Fuzhou Fujian 350007)
Abstract: In this paper, there are several shortest paths to the weighted graph using Lingo software path length and the solution, and analyzed with a simple solution Lingo place and how to empower a directed graph of the negative rights. Provides a good way to solve this kind of this problem.
CAI Ze- huan，LI Xiang- fu
(Xiangfan Vocational and Technical College, Xiangfan Hubei 441050, China)
Abstract: This paper presents methods to achieve training standards for the effective connection with the needs of employers from five aspects, which is on the basis of vocational education in the training standards and the employer needs the existence of dislocation.
路的优点在于，程序书写简单易懂，容易掌握，答案直观明了，比传统解题节约不少时间。Lingo不仅仅在线性规划解题方面有其独特的优越性，在图论解题中也有其可取之处，简便易懂的程序取得意想不到的效果。

2011年全国大学生数学建模竞赛B题一等奖论文

我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1. 赵东辉 2. 张晓凤 3. 汪立指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ：林军日期：日西
交巡警服务平台的设置与调度
摘要：在我国经济社会快速发展进程中, 警察的工作任务日益繁重。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。问题一：（1）题目要求在城区 A 的 20 个巡警服务台位置确定的情况下，按照尽量 3min 到达案发地的原则为各服务平台分配管辖范围。对于此问题本文建立最大集合覆盖模型，并利用数学软件 MATLAB 进行分配求解，最后得到 A 区现有每个巡警服务台的管辖范围如表 1。（2）我们对于 13 条交通要道实现快速全封锁的问题，以所用时间最小为目标，引入 0-1 变量，建立该问题的 0-1 规划模型，并借助数学软件 LINGO 进行求解，求解结果见表 4。（3）由问题（1）的分配结果可知，在现有巡警服务台的设置下：①还有 6 个路口在案发时巡警不能在 3min 之内到达，即必然导致某些地方出警时间过长； ②我们根据每个巡警服务台的工作量的方差定义了工作量不均衡度，结果显示：此时服务台的工作量不均衡度为 8.4314。为了解决上述出警时间过长与工作量不均衡的问题。我们建立集合覆盖的 0-1 规划模型，求解结果表明：在增加 4 个平台的情况下，可以解决出警时间过长的问题。在此基础上我们又解决了工作量不均衡的问题，在增加 4 个巡警服务台的情况下，使平台的工作量的不均衡度降为 3.0742。增加的 4 个巡警服务台的路口标号见表 8。问题二：（1）本文定义了两个评价原则，原则一：巡警能在 3min 之内到达案发路口；原则二：巡警服务台的工作量均衡度尽量小。根据以上两个原则对该市现有巡警服务台的设置方案的合理性进行评价，评价结果显示，有下述两种不合理的情况： ①有 138 个路口，在案发时巡警不能在 3min 之内到达；②此时的不均衡度已达 40.3。基于上述两点，现有的巡警服务台设置极其不合理。针对现有巡警服务台设置不合理的情况下，本文提出三种方案对设置进行优化调整。方案一：保持现有巡警服务台的个数和位置，再在其他路口增设巡警服务台；方案二：保持现有巡警服务台的个数，但对其位置进行调整；方案三：不考虑现有巡警服务台的设置情况，重新确定全城的最佳巡警服务台数目与位置。（2）本问题实质是单目标规划问题，以巡警围堵时间最短为目标，以成功围堵为条件。对于巡警的成功围堵，可以转化为二部图的完全匹配，利用匈牙利算法，求得最佳围堵方案。

数学建模--运输问题

运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo 编程求解出最终结果。

关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。

考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。

关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。

首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。

即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。

但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。

关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。

这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。

因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。

得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。

关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。

最短路问题的实际应用论文

金华双龙洞旅游路线中最短路问题摘要：金华双龙洞景点分布较多，通过对其旅游路线的设置，转化为图论内容中的最短路情景进行讨论，建立模型，并通过搜索资料，利用几种方法解决路线最小的问题。

关键字：数学建模最短路问题 lingo Dijkstra法 flod算法一、研究背景：在旅游过程中，我们常常感觉到自己一天下来走了很多路，回到宾馆脚痛的不行。

但其实我们可以利用运筹学的知识，通过建立数学模型，转化为图论的内容。

从而较为合理的制定出选择的路线（即最短路问题）。

因而这次的小论文，我主要探究一下几个问题：1.从景点进口到出口的最短路程。

（最短路问题）2.从景点到出口的最长路线。

3.建立的模型是否满足能回到起点（古典图论问题）二、研究内容：根据从互联网中搜索的资料，金华双龙洞的主要景点：景区进口双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个，其余为小景点（若要加入，同样可以按照以下问题的研究方法进行讨论）现在忽略。

问题总假设：分别设置双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个景点为A,B,C,D,E五点，根据现实及假设，可以得到如图所示的路线图：再利用用Dijkstra算法求解无负权网络的最短路。

同时也可以利用此法算出最长路程。

问题一的解决：以A为景点出口，E为出口。

故A点标号为P（a）=0 给其余所有的T标号T（i）=+∞考虑与A相邻的两个顶点BC，两个顶点为T标号，故修改这两个点的标号为：T(b)=min[T(b),P(a)+l12]=min[+∞,0+3]=3T(c)=min[T(c),P(a)+l13]=min[+∞,0+2]=2比较所有T标号，T(c)最小，所以令P(c)=2再考察（C,B）(C,D)(C,E)的端点：同理可得T(b)=6 T(d)=6.8 T(e)=10.2(显然已经到终点但还需要看看其余路线长短)故又令P（b）=6.综合分析只有一条线路即A→C→B→D→E 此时总路程为2+4+3+8.4=16.4>10.2所以，最短路程为A→C→E。

全国数学建模lingo实例讲解

全国数学建模lingo 实例讲解LINGO 是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。

LINGO 内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO 高效的求解器可快速求解并分析结果。

§1 LINGO 快速入门当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口：外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。

在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。

下面举两个例子。

例1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题：,6002100350..32min 212112121≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x在模型窗口中输入如下代码： min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100;2*x1+x2<=600;然后点击工具条上的按钮即可。

例1.2 使用LINGO 软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。

产销单位运价如下表。

单位销地运价产地B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 产量 A 1 6 2 6 7 4 2 5 9 60 A 24953858255A3 5 2 1 9 7 4 3 3 51A4 7 6 7 3 9 2 7 1 43A5 2 3 9 5 7 2 6 5 41A6 5 5 2 2 8 1 4 3 52销量35 37 22 32 41 32 43 38使用LINGO软件，编制程序如下：model:!6发点8收点运输问题;sets:warehouses/wh1..wh6/: capacity;vendors/v1..v8/: demand;links(warehouses,vendors): cost, volume;endsets!目标函数;min=@sum(links: cost*volume);!需求约束;@for(vendors(J):@sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J));!产量约束;@for(warehouses(I):@sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I));!这里是数据;data:capacity=60 55 51 43 41 52;demand=35 37 22 32 41 32 43 38;cost=6 2 6 7 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddataend然后点击工具条上的按钮即可。

数学建模必备LINGO在多目标规划和最大最小化模型中的应用

数学建模必备LINGO 在多目标规划和最大最小化模型中的应用一、多目标规划的常用解法多目标规划的解法通常是根据问题的实际背景和特征，设法将多目标规划转化为单目标规划，从而获得满意解，常用的解法有：1．主要目标法确定一个主要目标，把次要目标作为约束条件并设定适当的界限值。

2．线性加权求和法对每个目标按其重要程度赋适当权重0≥i ω，且1=∑ii ω，然后把)(x f i ii ∑ω作为新的目标函数（其中p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标）。

3．指数加权乘积法设p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标，令∏==pi a i ix f Z 1)]([其中i a 为指数权重，把Z 作为新的目标函数。

4．理想点法先分别求出p 个单目标规划的最优解*i f ，令∑-=2*))(()(iifx f x h然后把它作为新的目标函数。

5．分层序列法将所有p 个目标按其重要程度排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一个目标最优解的前提条件下依次求下一个目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。

这些方法各有其优点和适用的场合，但并非总是有效，有些方法存在一些不足之处。

例如，线性加权求和法确定权重系数时有一定主观性，权重系数取值不同，结果也就不一样。

线性加权求和法、指数加权乘积法和理想点法通常只能用于两个目标的单位（量纲）相同的情况，如果两个目标是不同的物理量，它们的量纲不相同，数量级相差很大，则将它们相加或比较是不合适的。

二、最大最小化模型在一些实际问题中，决策者所期望的目标是使若干目标函数中最大的一个达到最小（或多个目标函数中最小的一个达到最大）。

例如，城市规划中需确定急救中心的位置，希望该中心到服务区域内所有居民点的距离中的最大值达到最小，称为最大最小化模型，这种确定目标函数的准则称为最大最小化原则，在控制论，逼近论和决策论中也有使用。

最大最小化模型的目标函数可写成)}(,),(),(max{min 21X f X f X f p X或)}(,),(),(min{max 21X f X f X f p X式中T n x x x X ),,,(21 是决策变量。

《数学建模》实验指导_02_Lingo求解线性规划问题

实验二：Lingo求解线性规划问题学时：4学时实验目的：掌握用Lingo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lingo结果报告。

实验内容：（选做两题以上）1、求解书本上P130的习题1：某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表1所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）；3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

表 1（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？列出线性规划模型，然后用Lindo求解，根据结果报告得出解决方案。

提示：可参考书上4.1节。

模型可以如下建立：设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为x1,x2,x3,x4,x5 万元.max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5x2+x3+x4>=400x1+x2+x3+x4+x5<=1000(2x1+2x2+x3+x4+5x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=1.4(9x1+15x2+4x3+3x4+2x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=52、建立模型并求解P130页第3题。

（建立线性规划模型的技巧：问什么假设什么，如何雇用即雇用多少全时服务员以12:00-1:00为午餐, 雇用多少全时服务员以1:00-2:00为午餐，雇佣多少从9:00、10:00、11:00、12:00、1:00开始工作的半时服务员）。

建立线性规划模型：设全时工人为X1：工作时间：9—12 、13—17 工资为100元X2：工作时间：9—13 、14—17 工资为100元半时工人：工资为40元Y1：工作时间：9—13Y2：工作时间：10—14Y3：工作时间：11—15Y4：工作时间：12—16Y5：工作时间：13—17Min= (x1+x2)*100+(y1+y2+y3+y4+y5)*40Y1+y2+y3+y4+y5<39-10 X1+x2+y1>410-11 X1+x2+y1+y2>311-12 X1+x2+y1+y2+y3>412-13 x2+y1+y2+y3+y4>613-14 X1+y2+y3+y4+y5>514-15 x1+x2+y3+y4+y5>615-16 x1+x2+y4+y5>816-17 x1+x2 +y5>8Min =(x1+x2)*100+(y1+y2+y3+y4+y5)*40;y1+y2+y3+y4+y5<3;x1+x2+y1>4;x1+x2+y1+y2>3;x1+x2+y1+y2+y3>4;x2+y1+y2+y3+y4>6;x1+y2+y3+y4+y5>5;x1+x2+y3+y4+y5>6;x1+x2+y4+y5>8;x1+x2 +y5>8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);Global optimal solution found at iteration: 14Objective value: 820.0000Variable Value Reduced Cost X1 2.000000 100.0000 X2 5.000000 100.0000 Y1 0.000000 40.00000Y3 1.000000 40.00000 Y4 1.000000 40.00000 Y5 1.000000 40.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 820.0000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 3.000000 0.0000004 4.000000 0.0000005 4.000000 0.0000006 1.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 4.000000 0.0000009 1.000000 0.00000010 0.000000 0.000000第二问：Min =(x1+x2)*100;x1+x2 >4;x1+x2>3;x1+x2>4;x2 >6;x1 >5;x1+x2 >6;x1+x2 >8;x1+x2 >8;@gin(x1);@gin(x2);Global optimal solution found at iteration: 0Objective value: 1100.000Variable Value Reduced Cost X1 5.000000 100.0000 X2 6.000000 100.0000Row Slack or Surplus Dual Price1 1100.000 -1.0000002 7.000000 0.0000004 7.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 5.000000 0.0000008 3.000000 0.0000009 3.000000 0.000000第三问：Min =(x1+x2)*100+(y1+y2+y3+y4+y5)*40;x1+x2+y1>4;x1+x2+y1+y2>3;x1+x2+y1+y2+y3>4;x2+y1+y2+y3+y4>6;x1+y2+y3+y4+y5>5;x1+x2+y3+y4+y5>6;x1+x2+y4+y5>8;x1+x2 +y5>8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);Global optimal solution found at iteration: 5Objective value: 560.0000Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 100.0000 X2 0.000000 100.0000 Y1 4.000000 40.00000 Y2 2.000000 40.00000 Y3 0.000000 40.00000 Y4 0.000000 40.00000 Y5 8.000000 40.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 560.0000 -1.0000002 0.000000 0.0000004 2.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 5.000000 0.0000007 2.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.0000003、指派问题：6个人计划做6项工作，其效益如下表（”-”表示某人无法完成某项工作），4、有限制的运输问题：6个发点6个收点，其供应量、接收量和运费如下表1（”-”表示某个发电无法向某个收点运输货物），如果某个发点向某个收点运输货物，则运输量不得低使用Lingo的一些注意事项Min z1.“>”与“>=”功能相同。

最短路径最少费用数学建模论文

摘要现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，即高质量高速度的完成送货任务，针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，并进行了反复验证，得出如下结果：问题1：根据所给问题与数据，我们将题目中给出的城市，及其之间的线路可看成一个赋权连通简单无向图，采用了求这个图最小生成树的办法，求出最优线路.在此基础上，我们通过观察分析计算对上述结果进行修正，然后我们再采用穷举法对问题结果进行验证，结果相吻合。

最终得到如下路线：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。

（最短时间为61小时）问题2：由于题中有货物重量与体积限制，货机一次最多只能载50件产品，考虑19个城市的总需求为114，这就估算出至少需要返回2次，采用逆向求解的方法，相当于3架货机同时送货，要设计线路使总共花费的时间最短，尽量使送货任务均衡，最大限度不超过50件货物，最后得出结果为：北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。

（总的时间为71.77777）（其中红色表示只路过不送货）问题3：要求问题1，2的花费最少，只需对前两个模型做进一步优化即可，经过优化计算我们得到如下结果：问题1的最少花费为584250（元），路线如下：北京→香港→湖南→海南→广西→重庆→河南→云南→西藏→新疆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京问题2的最少花费为711750（元），线路如下：北京→吉林→黑龙江→内蒙古→新疆→西藏→云南→河南→北京→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→重庆→青海→甘肃→宁夏→江苏→福建→上海→台湾→上海→北京。

Lingo的使用

Lingo使用——旅游路线最短问题题目:从北京乘飞机到东京、纽约、墨西哥城、伦敦、巴黎五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到东京，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。

各城市之间的航线距离如下表：运用lingo软件求解模型建立前问题分析：1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没有用。

这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。

2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个城市是不连接的。

这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着去旅游的则为1，否则为0。

就如同下图实线代表两个城市相连为1,虚线代表没有相连为03．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。

求解：为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为北京是起点，将其标为1）假设：设变量x ij 。

如果x ij =1,则表示城市i 与城市j 直接相连（即先后紧接到达关系），否则若x ij =0，则表示城市i 与城市j 不相连。

特别说明：x ij 和x ji 是同一变量，都表示表示城市i 与城市j 是否有相连的关系。

这里取其中x ij (I<j)的变量。

模型建立：由于这是一个最短路线的问题，且变量已经设好。

目标函数：min z=51*x12+78*x13+68*x14+51*x15+13*x16+56*x23+35*x24+21*x25+60*x26+21*x34+57*x35+70*x36+36*x45+68*x46+61*x56约束条件：1.上面目标函数中的变量是表示两个城市是否直接相连接的关系，且最短路线是可以形成圈的，如下图实线代表两个城市相连为1,虚线代表没有相连为0如上图城市a和城市b有直接相连接的关系，所以之间变量为1，而城市a 与城市e则没有直接相连接的关系，之间变量为0。

最短路径数学建模

最短路径问题是一个非常能联系实际的问题，下面我们以具体例题来看看这类问题的解法例1、假设A、B、C、D、E各个城市之间旅费如下图所示。

某人想从城市A出发游览各城市一遍，而所用费用最少。

试编程序输出结果。

解这类题时同学们往往不得要领，不少同学采用穷举法把所有可能的情况全部列出，再找出其中最短的那条路径；或是采用递归或深度搜索，找出所有路径，再找出最短的那条。

这两种方法可见都是费时非常多的解法，如果城市数目多的话则很可能要超时了。

实际上我们知道，递归、深度搜索等算法一般用于求所有解问题（例如求A出发每个城市走一遍一共有哪几种走法），而这几种算法对于求最短路径这类最优解问题显然是不合适的，以下介绍的几种算法就要优越很多。

首先，对于这类图我们都应该先建立一个邻接矩阵来存放任意两点间的距离数据，以便在程序中方便调用，如下：const dis:array[1..5,1..5] of integer =( ( 0, 7, 3,10,15),( 7, 0, 5,13,12),( 3, 5, 0, 5,10),(10,13, 5, 0,11),(15,12,10,11, 0));以下是几种解法：一、宽度优先搜索宽度优先搜索并不是一种很优秀的算法，只里只是简单介绍一下它的算法。

具体方法是：1、从A点开始依次展开得到AB、AC、AD、AE四个新结点（第二层结点），当然每个新结点要记录下其距离；2、再次以AB展开得到ABC、ABD、ABE三个新结点（第三层结点），而由AC结点可展开得到ACB、ACD、ACE三个新结点，自然AD可以展开得到ADB、ADC、ADE，AE可以展开得到AEB、AEC、AED等新结点，对于每个结点也须记录下其距离；3、再把第三层结点全部展开，得到所有的第四层结点：ABCD、ABCE、ABDC、ABDE、BEC、ABED……AEDB、AEDC，每个结点也需记录下其距离；4、再把第四层结点全部展开，得到所有的第五层结点：ABCDE、ABCED、……、AEDBC、AEDCB，每个结点也需记录下其距离；5、到此，所有可能的结点均已展开，而第五层结点中最小的那个就是题目的解了。

数学建模实验报告关于LINGO的解题方法及其思路分析

数学建模实验报告1．解析：此题属于0-1模型问题。

设队员序号为i ，泳姿为j ，记c ij 为队员i 第j 种泳姿的百米成绩，若选择队员i 参加泳姿j 的比赛，记x ij =1, 否则记xij =0；则有，目标函数为∑∑===4151j i ij ij x c Z Min ，每个人最多选泳姿为1，则有5,1,141=≤∑=i xj ij，每种泳姿有且仅有1人，则有4,1,151==∑=j xi ij。

若丁的蛙泳成绩退步及戊的自由泳成绩进步，则将c43的值和c54的值改变即可。

实验过程及运行结果如下：若丁的蛙泳成绩退步为1'15"2及戊的自由泳成绩进步57"5,计算结果如下：通过计算结果可知，在原数据的情况下，队伍的选择应该是甲参加自由泳，乙参加蝶泳，丙参加仰泳，丁参加蛙泳，戊不参加任何比赛，且最好的时间是253.2秒。

若丁的蛙泳成绩退步为1'15"2及戊的自由泳成绩进步57"5,则组成接力的比赛队伍调整为乙参加蝶泳，丙参加仰泳，丁参加蛙泳，戊参加自由泳，甲不参加任何比赛。

2．解析：此题属于线性规划问题。

已知某工厂用1A 、2A 两台机床加工1B 、2B 、3B 三种不同的零件，设1A 生产1B 、2B 、3B 的个数分别为1x 、2x 、3x ，2A 生产1B 、2B 、3B 的个数分别为4x 、5x 、6x ，则目标函数为min=1*2*1x +2*3*2x +3*5*3x +1*3*4x +1*3*5x +3*6*6x ;1A 加工的工时小于80小时，2A 加工的工时小于100小时，生产1B 、2B 、3B 的总数分别为70个、50个、20个。

实验过程及运行结果如下：通过计算结果可知，当1A 生产1B 、2B 、3B 的个数分别为68个、0个、4个，2A 生产1B 、2B 、3B 的个数分别为2个、50个、16个的时候，才能得到最低的成本640元。

最短路径问题-数学建模[1]

更新l(v), f(v) 更新寻找不在S中的顶点使为最小.把加入到加入到S中寻找不在中的顶点u,使l(u)为最小把u加入到中, 中的顶点为最小然后对所有不在S中的顶点如然后对所有不在中的顶点v,如l(v)>l(u)+w(u,v),则中的顶点则更新l(v),f(v), 即 l(v)←l(u)+w(u,v),f(v)←u; 更新 ← ←
3)
重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止中为止. 重复步骤直到所有顶点都在中为止
MATLAB程序（Dijkstra算法 MATLAB程序（Dijkstra算法）算法）程序
function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal) n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start; for i=1:n min=label(terminal); if i~=start path(1)=terminal; label(i)=inf; i=1; end, end s(1)=start; u=start; while path(i)~=start path(i+1)=f(path(i)); while length(s)<n i=i+1 ; for i=1:n ③ end ins=0; ① for j=1:length(s) path(i)=start; L=length(path); if i==s(j) path=path(L:path=path(L:-1:1); ins=1; end, end if ins==0 v=i; if label(v)>(label(u)+w(u,v)) label(v)=(label(u)+w(u,v)); f(v)=u; end, end, end v1=0; k=inf; ② for i=1:n ins=0; for j=1:length(s) if i==s(j) ins=1; end, end if ins==0 v=i; if k>label(v) k=label(v); v1=v; end, end, end s(length(s)+1)=v1; u=v1; end

管理学旅游最短路径选择

《运筹学》课程设计旅游最短路径选择院（系）名称信息工程学院专业班级09普本信计1班学号090111046学生姓名王晓驹指导教师马艳琴2011年12月06日运筹学课程设计评阅书课程设计任务书2011—2012学年第二学期专业班级：09普本信计1班学号：090111046 姓名：王晓驹课程设计名称：运筹学完成期限：自2011年12 月01 日至2011 年12 月06 日共 1 周一、设计目的在节假日中我们经常遇到这样的问题，想在最短的时间内旅游完自己想去的所有的城市。

于是我们面临这样的一个选择，怎样选一条合适的旅游路径，本文将给你一个合适的方法（TSP模型）帮你解决这一问题。

二、设计要求1．运用LINDO或者LINGO软件计算。

2.对结果进行误差分析。

3.写一篇不少于3000字的课程设计。

三、参考文献[1]胡运权.运筹学基础及应用（第四版）.高等教育出版社，2003年11月.[2] 王树禾.图论.科学教育出版社.2004年1月第一版.[3] 姜启源.谢金星.叶俊.数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.8.[4] 谢金星.薛毅.优化模型与LINDO/LINGO软件.清华大学出版社2005年7月第一版.计划答辩时间：2011年12月06号工作任务与工作量要求：查阅文献资料不少于3篇，课程设计报告1篇不少于3000字。

指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月日旅游最短路径选择摘要此次设计是为了研究如何选择最短旅游路径而设计的数学模型。

主要运用TSP模型，建立矩阵，借助LINGO工具，计算综合最短路径、最经济、用时最短这三方面选出一条最佳路径，最终对结果进行优缺点分析。

通过建立矩阵，把问题数学化，简单化，来进行解答。

此次设计借助这次题目主要说明数学在生活中的重要应用，并会用建模的方法解决实际问题。

关键词：TSP模型，LINGO，最短路径，最经济，用时最短目录一问题提出 (1)二问题分析 (1)三模型建立 (1)3.1模型一的建立 (3)3.2模型二的建立 (6)3.3模型三的建立 (7)四结果分析 (9)五模型评价 (9)5.1模型优点 (9)5.2模型缺点 (9)六参考文献 (10)一问题提出周先生退休后想到各地旅游。