初等数论蕴涵的数学思想方法
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初中数学中的主要数学思想方法初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．(1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．(2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“ 形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．(3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．(4) 函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（ 1 ）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（ 2 ）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（ 3 ）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
“初等数论初步”简介“初等数论初步”简介
“初等数论初步”简介初等数论是研究整数的性质和不定方程（组）的整数解的一门学问，它与几何学是最古老的两个数学分支。
初等数论中至今仍有许多没有解决的问题，如哥德巴赫（Goldbach）问题，孪生素数猜想，奇完全数的存在性问题等，它们对人类智慧产生了极大挑战。
人们在解决一些初等数论问题的过程中所作的贡献，对数论乃至整个数学的发展起了重要的推动作用，产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。
初等数论在计算机科学和信息工程中有许多重大的实际应用。
在本专题中，同学们将通过具体的问题，学习初等数论的一些基本知识，如有关整数和整除的知识，用辗转相除法求解一次同余方程（组）和简单的一次不定方程等，初等数论中蕴含的一些思想方法，以及我国古代数学在初等数论的研究方面取得的一些重要成就。
一、内容与课程学习目标本专题的学习初等数论的一些基本知识，具体包括：整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。
通过本专题的学习，要引导学生：1．通过实例，认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。
体会剩余类运算与传统数的运算的异同（会出现零因子）。
2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼（Eratoshenes）筛法，知道素数有无穷多个。
3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。
会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。
4．通过实例，探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a,b互素，则a能整除c。
探索公因数和公倍数的性质。
了解算术基本定理。
5．通过实例，理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。
并尝试写出算法的程序框图，在条件允许的情况下上机实现。
6．通过实例（如物不知其数问题），理解一次同余方程组的模型。
欧拉算法初等数论
欧拉算法初等数论欧拉算法是数学中的一种初等数论方法，被广泛地应用于密码学、编码理论、计算机科学等领域。
它的应用范围十分广泛，可以用来解决各种数学问题，例如欧拉定理、欧拉函数、欧拉路径等等。
欧拉算法最早是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，它的主要思想是通过数学公式和分析来寻找数学规律。
欧拉算法的核心是欧拉定理，这个定理是指如果a和n互质，那么a的φ(n)次方与1模n 同余，其中φ(n)是n的欧拉函数。
欧拉函数是数论中的一个重要概念，它用来描述小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
欧拉函数的值可以通过公式计算得出，其中n=p1^k1 * p2^k2 * … * pn^kn表示n的唯一分解式，p1,p2,…,pn表示不同的质数，k1,k2,…,kn表示它们的次数。
欧拉函数的计算可以通过欧拉筛法来实现，这个算法可以高效地计算小于等于N的所有正整数的欧拉函数。
欧拉算法还可以用来求解欧拉路径问题。
欧拉路径问题是指在一个图中找到一条路径，它恰好经过每个边一次，但不一定经过每个顶点。
欧拉路径问题可以通过欧拉定理来解决，如果一个无向图中恰好只有两个奇数度的顶点，那么它一定存在欧拉路径。
欧拉算法还可以用来解决RSA加密算法中的问题。
RSA加密算法是一种非对称加密算法，它的安全性基于两个大质数的乘积难以分解。
欧拉函数在RSA加密算法中的应用非常重要，它被用来计算公钥和私钥。
欧拉算法是数学中的一种重要方法，它可以用来解决各种数学问题。
欧拉算法的应用范围十分广泛，不仅在数学领域中有重要的应用，而且在密码学、编码理论、计算机科学等领域也有广泛的应用。
欧拉算法的核心思想是通过数学公式和分析来寻找数学规律，这种思想对于解决各种数学问题都具有重要的启示作用。
初等数论 同余
注意：这条与前面的(5)的推论和(7)不同, 模变了. 证明： m | (a－b) => km | k(a－b)
a b m a b mt t. d d d
2013年11月13日10时5分
我喜欢数学
性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) . 证明： 由充要条件, 有 m2 | (a－b)， m1 | (a－b)
2013年11月13日10时5分
性质的应用：
由 10≡1（mod 9），有 102≡12（mod 9）， 103≡13（mod 9），…，10n≡1n（mod 9）,
an an 1 a2 a1a0 an 10n an 1 10n 1 a1 10 a0 an an 1 a1 a0 (mod 9).
性质⑺ 同余式的“除”.
性质⑻⑼⑽
涉及模的改变！分别与a，b和m的约 数，倍数，公约数，最小公倍数有关.
性质⑾是关于a，b和m最大公约数的。
2013年11月13日10时5分
例 2
分析
今天是星期二，101000天之后的那天是星期几？
由于1乘a为a ，1n=1，先求得某数的n次幂与1对模同余 是非常方便的. 我们已知 7 | 1001, 即103 ＋1≡0 (mod 7), ， 103 ≡－1(mod 7), 得106 ≡1 (mod 7).
又23m1 2(mod 7)， 从而当且仅当
23m 2 4(mod 7),
n 3m时, 7 2n 1.
（2）由23m 1 2(mod 7)，3m 1 1 3(mod 7), 23m 2 1 5(mod 7), 2 可知，对任何正整数n, 2n 1不能被7整除.
浅谈在初等数论的数学思想方法与如何在教学中体现
本科毕业论文论文题目：指导老师：学生姓名：学号：院系：网络教育学院专业：毕业时间：20 年2月原创承诺书我承诺所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。
若本论文及资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任。
毕业论文作者签名：___________________日期：年月日目录摘要 (I)Abstract (Ⅱ)引言(导言\绪论) (Ⅲ)一、整体化思想方法 (1)（一）同余理论的定义的提出就是整体化思想的的体现 (1)（二）什么是整体化思想方法 (2)（三）案例分析解题过程中整体化数学思想方法 (2)（四）在数学教学工作中应该注意的问题 (3)二、配对思想方法 (4)（一）Wilson定理证明过程蕴涵了“配对思想方法” (4)（二）什么是配对数学思想方法 (4)（三）初等数论中有许多配对的情形存在 (4)（四）在数学教学工作中应该注意的问题 (4)三、化归思想方法 (5)（一）初等数论解题过程中反映“化归”思想方法的内容 (5)（二）什么是化归数学思想方法 (5)（三）案例分析“化归”在解题过程中的具体表现 (5)(四) 教学过程中应注意的问题 (8)参考文献 (9)致谢 (10)摘要（内容要手写）摘要：初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，蕴含了丰富的数学思想方法，其数学思想方法又往往隐含在数学知识形成和问题解决的过程中。
下文我将例谈初等数论解题过程中所反映出来的整体化、配对、化归等三大数学思想方法。
教师要注重在基础知识的教学中进行渗透,在解题教学中进行提炼和深化。
关键词：数学思想方法整体化配对化归数学教学Abstract (内容要手写)Abstract:The primary theory of numbers apparents simply, but grasps is not the easy matter truly, its content rigorous succinct, method marvelous changeable, has contained the rich mathematics thinking method, its mathematics thinking method often conceals, in mathematics knowledge forms with in the question solution process. As follows I the example discussed in the primary theory of numbers problem solving process reflects integration, pair, reduction and so on three big mathematics thinking method. The teacher wants to pay great attention in the elementary knowledge teaching to carry on the seepage, carries on the refinement and the deepening in the problem solving teaching.Key words:Mathematics thinking method Integration Pair Reduction Mathematics teaching浅谈在初等数论的数学思想方法与如何在教学中体现引言当今的数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。
初等数论
序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。
我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。
第一章整数的整除性§1.1整除的概念一、基本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。
如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除a。
2、整除的性质（1）如果b∣a，c∣b，则c∣a.（2）如果b∣a，则cb∣ca.（3）如果c∣a，则对任何整数d，c∣da.（4）如果c∣a，c∣b，则对任意整数m，n，有c∣ma+nb.（5）如果a∣b，b∣a，则a=±b.3、质数、合数质数（素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）。
初等数论-绪论
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。
四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。
三 几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗 留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞 懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ； 费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先 发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数 学家欧拉,正式提出了以下的猜想：
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
初中数学解题技巧常用的数学思想方法
初中数学解题技巧常用的数学思想方法初中数学解题技巧:常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。
5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。
配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。
6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。
换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。
7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然，则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。
这种思维过程通常称为“执果寻因”8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为“由因导果”教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
初中数学思想方法有哪些
初中数学思想方法有哪些数学作为一门重要学科，对于初中生来说是一个必修课程。
在学习数学的过程中，除了掌握基本的知识和技能外，更重要的是培养学生的数学思维和方法。
那么，初中数学思想方法有哪些呢？接下来，我们将从几个方面进行探讨。
首先，数学思想方法包括逻辑思维。
数学是一门严谨的学科，逻辑思维是数学学习的基础。
在解决数学问题时，学生需要运用逻辑思维，按部就班地分析问题，找出问题的关键点，合理推理，得出正确的结论。
通过数学问题的解决，学生可以培养自己的逻辑思维能力，提高问题分析和解决问题的能力。
其次，数学思想方法还包括抽象思维。
数学是一门抽象的学科，很多数学问题都需要通过抽象思维来解决。
学生需要具备将具体问题抽象为数学问题的能力，通过数学符号和公式来描述和解决实际问题。
抽象思维能力的培养不仅可以提高学生的数学学习能力，还可以培养学生的创新能力和问题解决能力。
另外，数学思想方法还包括直观思维。
有些数学问题需要通过图形和图像来解决，这就需要学生具备一定的直观思维能力。
通过观察和分析图形，学生可以更好地理解和解决数学问题，培养自己的直观思维能力，提高解决实际问题的能力。
最后，数学思想方法还包括创造性思维。
数学是一门富有创造性的学科，学生在学习数学的过程中需要培养自己的创造性思维能力。
在解决数学问题时，学生可以通过不同的方法和思路来解决问题，培养自己的创造性思维能力，提高自己的数学学习能力。
综上所述，初中数学思想方法包括逻辑思维、抽象思维、直观思维和创造性思维。
这些思维方法不仅可以帮助学生更好地学习和理解数学知识，还可以培养学生的创新能力和问题解决能力。
因此，学生在学习数学的过程中，应该注重培养自己的数学思想方法，不断提高自己的数学学习能力。
数论论文
关于欧拉定理问题及其应用摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。
关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。
在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。
为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。
一、欧拉定理和其推论的证明（一）欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法1.定理(Euler):设n是大于1的整数，（a,n）=1,则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明：首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n的一个化简剩余系，（或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn既然这样，（a*x1 ×a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... ×xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n)≡ 1 (mod n)证明：设集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系（若整数A1,A2,...,Am模n分别对应0,1,2,...,n-1中所有m个与n互素的自然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系）则{a A1,a A2,...,a Am}也是模n的一个缩系（如果a Ax与a Ay (x不等于y)除以n余数相同，则a(Ax-Ay)是n的倍数，这显然不可能）即A1*A2*A3*……Am≡aA1*aA2*……aAm(mod n) （这里m=φ(n)）两边约去A1*A2*A3*……Am即得1≡a^φ(n)（mod n）2.（例题）设(a, m) = 1, d是（d，a）≡1（mod m）成立的最小正整数，则（i）d/ mϕ(ii)对于任意的 I , j , 0 ≤ I , j ≤，d-1 , I ≠ j , 有j i aa≡ (mod m)解：(i) 由Euler 定理，0d≤)(mϕ（因)(mϕ满足同于式，而0d是最小的）因此，由带余除法，有)=(mϕ= qd+r，q∈Z, q>0 ,0≤r<0d. 因此，由上式及0d的定义，利用定理1，我们得到 1≡r(mod m) 即整数r满足1≡ra(mod m) , 0 0dr<≤由0d的定义可知必是r=0 ,即)(/0mdϕ(ii): 若式（3）不成立，则存在I , j, 0i≤, j 10-≤d, 使得jiaa≡(mod m). 因ij≠, 所以不妨设i<j . 由jiaa≡(mod m). m/(jiaa≡) m/() 1--jijaa,因为(a,m)=1, 所以m/( )1--j ia ,即 1≡-jia(mod m) , 0<i-j<0d . 这与0d的定义矛盾，所以式（二）欧拉定理的推论的证明及其体现的数学思想方法1.推论（Fermat定理）若p是素数，则(a ，p ) ≡.(modpa)证明：若(a,p)=1 ,由定理1及￡3定理5即得(a ，p ) ≡.(modpa)若(a,p)≠1,则p/a,故a p ).(modpa≡2.（例题）1841 1777(mod41),a≡求a在0到41的值解：因为41是素数，所以由费马定理有40 17771(mod41)≡，而1841=46*40+1，所以1841，1777177714(mod41)≡≡，a=14二、有关于欧拉定理的应用问题（一）欧拉定理对循环小数的应用定理1.有理数a/b,0<a<b ,(a ,b)=1 ,能表成纯循环小数的充分必要条件是（b ，10）=1证明：(i)若a/b能表成纯循环小数，则由0<a/b<1及定义知 a/b=0.1a2a …….ta1a2ata…..因而t10a/b=110-t1a+210-t2a+……..+101-ta+ta+0.1a2a…….ta1a2a….ta…..=q+a/b,q>0.故a/b=q/(t 10-1) 即a(t 10-1)=bq .由 (a ,b)=1 即得b/(t 10-1), 因而（b ，10）=1 (ii) 若（b ，10）=1，则由定理1知有一正整数 t使得 t 10≡1(modb), 0<t≤(b) 成立，因此t 10 a=qb+a,且 0<q<t 10a/≤t 10(1-1/b)< t10-1 故t10a/b=q+a/b 令 q=10q+ta,q=102q+1-ta,…………,1-t q=10tq+1a,09≤≤ia,则q= tttttaaaq++++--11110.......1010.由0<q<1101--t,即得tq=0，且1a2a …….ta不全是9，也不全是0。
初等数论
进而得到
a (aa2 ) (aa ( m ) ) a ( m ) a2 a ( m ) a2 a ( m ) (mod m).
由于 a 2 ,, a ( m ) 与 m 互素，得
其中 fj(x)( 1 ≤j ≤k )是整系数多项式,称为同余方程组。若整数 c 同时满足同余方程组
f j (c) 0(mod m j ),
1 ≤j ≤k ，
孙子定理和大衍求一术
在我国古代的《孙子算经》 （纪元前后）里提出了这样的一个问题： “今 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” “答曰：二十三”. 孙子给出解法： “术曰：三三数之剩二，置百四十；五五数之剩三，置 六十三；七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之即 得.” 所谓“孙子定理”，便是蕴含在这解法中的数学原理。它要解决的问题的 一般形式是： “已知 m1、m2、m3 是两两互素的正整数，求最小正整数 x ，使它被
c 如果 a, b Œ ，则方程无整数解。
如果 a, b |c ，则方程一定有整数解。根据辗转相除法可以知道： 一定存在整数 x0 , y0 使得 ax0 by0 a, b ，则（
cx0 cy0 , ） a, b a, b
就是方程 ax by c 的一组整数解。设 a1 则不定方程的一切整数解可以表示为
m1、m2、m3 除所得余数分别为 a1 、 a2 、 a3 .”
这个问题的实质就是要求解同余方程组
x a1 (mod m1 ), x a2 (mod m2 ), x a3 (mod m3 )
孙子定理和大衍求一术
初等数论中涉及hua归思想的知识内容并简要说明如何
初等数论中涉及hua归思想的知识内容并简要说明如
何
hua归思想是一种数论理论，由印度数学家尼赫鲁·赫拉克里特在公
元前7世纪时发展起来的。
这一理论以通过整除运算来表示整数的方
案以及关于穷竭性的一些定理而闻名于世。
这一理论的主要内容是关
于一种叫做乘法化简的概念，它是将复杂的整数或多项式表达为较小
整数或单项式表达式的过程。
根据这一理论，当某数字可以被某些数
字正确整除时，称这种数字为“正确”，否则称之为“错误”。
在这一过程中，数字可以被分解成若干个部分，即有可能分解为更小的数字。
首先，使用乘法化简重写每个表达式中的每一项，以找出其中的公共
因子，以及表达式的最低项。
然后，引入一种叫做“差分数学”的概念，通过观察各个数字之间的变化和整数值变化规律来确定一个数字的一
般规律，从而找出最低项为1的表达式。
接下来，计算出这种表达式
中各项的公因子，以得到多项式的因子分解式，进而获得最简表达式。
最后，根据法则的公理，使用得出的数值确定最后的结果，获得一个
完全分解出的数字。
通过运用hua归思想，可以非常有效地将一个复杂的数字表达成一个
简单的整数表达式，以及解决一些数论类的问题。
这一理论极大地丰
富和强化了初级数学课程，也提供了一些新的思考方式，加深了人们
对数学运算及其原理和细节的认识。
初中数学学习方法常用的数学思想方法
初中数学学习方法常用的数学思想方法特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。
常见情形为：用字母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。
整体的数学思想：所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体构造、整体与部分的内在联系来解决问题的思想。
用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互严密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在构造、数与形之间的内在构造，要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。
常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。
分类讨论的数学思想：也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进展必要的分类。
将一个数学问题根据题设分为有限的假设干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进展归纳综合。
分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它表达了化整为零和积零为整的思想与归类的方法。
运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进展分类，即确定分类的标准。
分类讨论的原那么是：（1）完全性原那么，就是说分类后各子类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不能遗漏；（2）互斥性原那么，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一性原那么，就是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进展分类，即分类标准统一。
分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进展分类，逐步进展讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合得出结论。
初等数论中蕴涵的数学思想方法
初等数论中蕴涵的数学思想方法
数论是数学的一个分支，它研究的是整数的性质和关系。
初等数论是数论的一个重要分支，它研究的是整数的基本性质和关系。
初等数论中蕴涵的数学思想方法，是数学研究的基础。
初等数论中的数学思想方法，主要有以下几种：
一是抽象思维。
抽象思维是数学研究的基础，它是把实际问题抽象成数学模型，从而更好地理解和解决问题的思维方法。
二是归纳法。
归纳法是从具体到抽象的一种思维方法，它是从具体的实例出发，抽象出一般的规律，从而解决问题的方法。
三是推理法。
推理法是从抽象到具体的一种思维方法，它是从一般的规律出发，推导出具体的实例，从而解决问题的方法。
四是构造法。
构造法是从实际出发，通过构造出一系列的实例，从而解决问题的方法。
五是证明法。
证明法是从理论出发，通过证明一系列的定理，从而解决问题的方法。
以上就是初等数论中蕴涵的数学思想方法，它们是数学研究的基础，也是数学解决问题的重要手段。
初等数论
初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈Ｓ则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
初等数论中蕴含的哲学思想
初等数论中蕴含的哲学思想
在初等数论中，哲学思想蕴涵充盈，为人们的智慧活动加添无尽的灵性美。
它
不仅具有证明方法及应用场景的交叉性，也使得数学有可能兼容文学、社会科学等多学科之间的综合整合，使人能够发掘蕴藏在数论中的全新理论知识。
首先，初等数论以广义上的价值思维为核心，运用现代或传统观念去发掘人类
本质性问题。
例如，当谈及经典概念应用在实际问题时，重要的是透过技术上的特殊性来展开祛除内在知识误区的哲学思考。
其次，初等数论及其实现的完整系统把传统的智慧社会知识与数学严谨的分析方法有机结合起来，因而可以对历史、文化、思维经验与知识表现数学系统所表现出来的理解视角之间形成共识。
最后，初等数论也肩负者卓越价值观的传播，给人们以形成独立思考的伦理智慧，以促进基本价值及社会进步。
总而言之，初等数论中蕴含的哲学思想是高等教育中一种富含文化根基的重要
数学理论，既可以在实践应用中产生独特的价值感知，又可以有效推动数学知识的传播与转化，凸显数学在解决现实问题上的价值理念及丰富的哲学内涵。
初等数论中蕴含的数学思想
初等数论中蕴含的数学思想摘要：通过对初等数论中的某些问题的解决思路的总结概括，以及对其中重要定理或引理的证明过程的回顾，探讨了数论中蕴含的几类数学思想方法，即：转化、整体、配对、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用。
关键字：初等数论;数学思想方法;整除Mathematical Thinking in Elementary Number TheoryAbstract:By elementary number theory problems in some of the ideas summed up. And we review the proof process of some important theorems or lemmas. It is discussed that several mathematics thought way in Elementary theory. That is, conversion, overall, matching materials, groups and group representations thinking method and integer matrix in the application of elementary number theory.Key words: elementary theory ,mathematical way of thinking，division数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”.在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法.本文以初等数论中重要的定理的证明为据，配以具体的数论问题，谈谈初等数论中蕴含的转化、整体、归纳、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用. 1 转化思想方法转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯.整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决.例1 证明对于任意整数n ，数62332n n n ++是整数.证明 ()()()2161326623232++=++=++n n n n n n n n n又由于两个连续整数的乘积是2的倍数，三个连续整数的乘积是3的倍数，并且()13,2=，所以有()()21|2++n n n 和()()21|3++n n n ()()21|6++n n n即62332n n n ++是整数.从历史上来看，不定方程问题的求解是推动数论发展的最主要课题.有的不定方程问题直接求解或证明比较困难，因而常常转化为整除问题解决.例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程⎩⎨⎧=+=+2344bc ac bc ab 的正整数()c b a ,,的组数是（） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 ()E 4 解（质因数分解法）由方程23=+bc ac 得 ()23123⨯==+c b a .a ,b ,c 为整数，1=c 且23=+b a .将c 和b a -=23代入方程44=+bc ab得()4423=+-b b b ，即()()0222=--b b ，21=b ，222=b .从而得211=a ，12=a .故满足联立方程是正整数组()c b a ,,有两个，即()1,2,21和()1,22,1，应选()C .这说明数学问题上的许多问题，都可以转化为整除问题.另外，整除问题也可以转化为其它问题.我们知道同余理论是初等数论的核心，有时整除问题转化为同余问题解决，思路更清晰、自然、计算更简洁.例3 试判断282726197319721971++能被3整除吗？ 解 ()3m od 01971≡，()3m od 11972≡，()3m od 21973≡， ()()3m od 210197319721971282726282726++≡++ ()()3m od 2119731972197128282726+≡++ ()3m od 1421428≡=， ()()3m od 22128≡+282726197319721971++不能被3整除. 2 整体化思想方法Euler 定理[2] 1m >,()1,=m a ,则()()m m mod 1a ≡φ.这是初等数论的一个基本定理，有着广泛的应用.其证明如下：若()m r r φ,,,r 21 是模m 的一个简化剩余系，则()m ar ar ar φ,,,21 也是模m 的一个简化剩余系，于是()()()()()()()()m r r r a ar ar ar r r m m m m mod r 212121φφφφ ≡≡，即证.Euler 定理的证明虽然十分简单，但其中包含了初等数论中常用的一个解题方法，即“整体思想”. 整体化思想方法，就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考虑，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径[3].在解题过程中，常常运用这一种思路：以完全剩余系为例，即m a a a ,,,21 及1，2， ，1m -为模m 的两个完全剩余系，则i a 恰与1，2， ，1m -中的某一数同余，于是∑=ni i a 1与∑-=11m i i 同余，由此找到证明的途径.例4 设n a a a 、、、 21和n b b b 、、、 21分别是模n 的一组完全剩余系，且n |2，求证：n n b a b a b a +++、、、 2211不是模n 的一组完全剩余系.证明 假设()i i b a +，n i ,,2,1 =是模n 的一组完全剩余系.n a a a 、、、 21是模n 的一组完全剩余系，则：()()n nn n n n i a n i ni i mod 222212111-≡-≡-≡=∑∑-== 同理有：()n nb ni i mod 21-≡∑=. ()()()n n n b a ni i mod 0mod ≡≡+∑.又()i i b a +，n i ,,2,1 =也是模n 的一组完全剩余系，则有： ()()n nn b a ni i mod 22≡≡+∑，又n n <<20，矛盾！证毕. 例5 设整数2≥n ，证明：()()n n i n i n i ϕ211,1=∑=≤≤，即在数列n ，， 2,1中，与n 互素的正整数之和是()n n ϕ21.证明 设在n ，，2,1中与n 互素的()n ϕ个整数是()n a a a ϕ,,,21 ，()1,=n a i ()()n i n a i ϕ≤≤-≤≤1,11则()1,=-n a n i ()()n i n a n i ϕ≤≤-≤-≤1,11，因此，集合(){}n a a a ϕ,,,21与(){}na n a n a n ϕ---,,,21 都是由n i ,,2,1 =中与n 互素的整数组成，即这两个集合中的元素完全相同，所以()()()()()n n a n a n a n a a a ϕϕ-++-+-=+++ 2121从而()()()n n a a a n ϕϕ=+++ 212 因此()()n n a a a n ϕϕ2121=+++ ，即证. 3 配对思想方法配对思想方法，就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题[1].定义[2] 欧拉函数()a ϕ是定义在正整数集上的函数，()a ϕ等于序列 12,1,0-a ，， 中与a 互素的正整数的个数.定义[2] 在模m 的每个互素剩余类r C ()()1,,10=-≤≤m r m r 中任取一数r a ，则 所有的数r a ()()1,,10=-≤≤m r m r 所组成的集，叫做模m 的一个简化 剩余系.定义[2] 在()m ϕ个与模m 互素的剩余类中各取一个数，称这()m ϕ个数为模m 的简化剩余系.例6 设p 是素数，证明：()()p p m od 1!1-≡-. 证明 当3,2=p 时结论显然成立，不妨设素数5≥p .对于23,2-p ，，中的每个整数a ，都存在唯一的整数k ，()22-≤≤p k ，使得()p ka m od 1≡ ()1因此，整数23,2-p ，，可以两两配对使得上式()1成立，于是有 ()()p p m od 1232≡-⋅⋅⋅从而()()()()p p p p p m od 111221!1-≡-≡-⋅-⋅⋅⋅=-此题的结论称为Wilson 定理，其证明过程蕴含了“配对”的思想方法. 例7 求证：4，8，16，28，32，44，52，56是模15的简化剩余系.证明 在142,1,0，， 中与15互素的数有8个：14131187421，，，，，，，，所以()815=ϕ.因此与模15互素的剩余类为14131187421,,,,,,,K K K K K K K K .又()15m od 44≡，()15m od 88≡，()15m od 116≡，()15m od 1328≡，()15m od 232≡，()15m od 1444≡，()15m od 752≡，()15m od 1156≡，44K ∈,88K ∈,116K ∈,1328K ∈,232K ∈,1444K ∈,752K ∈,1156K ∈,所以4,8,16,28,32,44,52,56是模15的简化剩余系. 例如下面的简单事实都是配对的基础:()1若d 是正整数n 的正因数，则d 与d n 同为正整数n 的正因数.()2二次剩余定理的证明.例8 若p 为素数，()4m od 1≡p ，证明011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑-=p r p r ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p r 是r 对模p 的Legendre 符号.证明：()4m od 1≡p ，11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p ，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p r p r p .因此，r 与r p -同为模p 的平方剩余或同为平方非剩余.令14+=n p ，则对模p 而言有n 2个平方剩余及n 2个平方非剩余.据此，对任一r ()11-≤≤p r ，将r 与r p -配对，则n 2个平方剩余可配成n 对，n 2个平方非剩余也可配成n 对，故011=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑-=np np p r p r .值得注意的是，配对思想方法实质上是通过配对把局部补成整体的一种方法，因此也可以说是整体化思想的一种变形.数论解题中运用整体化的思想方法较为普遍，体现了数论解题思维的灵活性，利用整体化思想方法或配对思想，可以另辟蹊径获得巧妙简捷的解（证）题效果. 4 群论思想方法数论的问题以其抽象且难度大而著称，而抽象恰恰也是近世代数的最大特点.近世代数思想方法一直都被用到数论问题的处理中.下面我们通过对初等数论的定理的证明来介绍群论的思想方法在数论中的应用[4].Fermat 定理 设p 是一个素数且a 是一个不能被p 整除的自然数，那么()p a p mod 11≡-. 证明 考虑模p 的非零剩余组成的乘法群{}1,,2,1-=p G .若a 是一个不能被p 整除的自然数，则()111==--p p a a .所以 ()p a p mod 11≡-.5 矩阵的思想方法初等数论课本上，利用整数初等变换，仅研究了两个整数的最大公约数和最小公倍数的问题，略显不够深入.再此基础上，我们可以通过构造整数矩阵，一矩阵的整数的初等变换为工具，得到了求m ()2>m 个整数的最大公约数与最小公倍数的方法[5]. 利用初等变换求整数的最大公约数 命题 设()da a a n = ,,21,则存在可逆矩阵()n m ij a A ⨯=,使得[][]00,,21 d A a a a n =()2≥n .证明 ()1当2=n 时,可设021>>a a ,由辗转相除法知：1111r a q a +=,210a r << 2122r r q a +=,120r r <<……m m m m r r q r +=--12,10-<<m m r r m m m r q r 11+-=()d r m m =≥,1于是，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+121110110110110m m q q q q A 则[][]021dA a a =,命题成立;()2假定k n =()2≥k 时，命题成立.则当1+=k n 时，由假定知，存在k 阶可逆方阵k k A ⨯，使得：[][]001132d A a a a k k k =⨯+，其中()1321,,+=k a a a d ，从而有[][]0000111111321d a A a a a a k k k k k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯+又由()1知，存在二阶可逆方阵22⨯A ，使得[][]02211dA d a =⨯.其中 ()()12111,,,+==k a a a d a d ,于是令()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⨯--⨯⨯⨯⨯⨯12112221100001k k k k k k k E A A A ，则[][]00421dA a a a =即当1+=k n 时，命题成立；由归纳法原理知，当2≥n 时，命题成立.（证毕）推 论 设n a a a ,,,21 ， 为不全为0的整数，则存在Z 上的n 阶可逆矩阵B ，使()()0,0,,,21d B a a a =.且d 是n a a a ,,,21 的最大公因数，B 是一些初等矩阵的乘积.B 的求法如下：将()n a a a ,,21下面写一个n 阶单位矩阵，构成一个()n n ⨯+1矩阵，再对A 施行初等变换，当A 的第一行变成()0,,0, d 时，则下面的单位阵变化成了B . 即：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001000121 n a a a A −−−→−初等行变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b bd21222211121100 例9求40,38,72的最大公因数.解 作矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10042012191002)3()2()1()2()19()1(1002110014382)3()2()2()1()1()2(100010001723840A 所以()272,38,40=初等数论解题过程中除了以上探讨的整体化、配对、化归、群论思想方法，还涉及其他的思想方法（如：环论思想，构造思想，分类思想及模方法在素数判断中的应用等）.值得注意的是，初等数论解（证）题往往是多种思想方法相互交织、渗透、化归的综合应用过程.如：在例2中，首先是将问题化为()23123⨯==+c b a ，在a ，b ，c 均为整数的情况下，只有1=c ，进而简化了问题，再运用代入法解决该题.初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法，其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织，融会贯通的知识网络，需要我们去挖掘、揭示.因此在初等数论的教学过程中，应充分利用教材和习题的教育功能，注重展示解决问题的思路、思维过程，体现解决问题策略与方法的多样性，引导沟通知识间的内在联系，突出问题的背景和思想方法的阐述，注重思想方法的总结、提炼，把数学知识和相关数学思想方法有机联系起来，使学生从整体上把握初等数论的理论体系，理解数学思想方法的内涵，开阔思维视野，健全认知结构.参考文献[1]王丹华,杨海文.初等数论中蕴涵的数学思想方法[J].井冈山学院学报.2007.04.13（4）：11-13.[2]张文鹏.初等数论[M].西安：陕西师范大学出版设,2007.4.（1）： 54-56.[3]王丹华,杨海文等.初等数论[M].北京：北京航空航天大学出版社，2008.3.（1）：65-66.[4]张清,唐再良.近世代数思想方法在数论中的应用[J].绵阳师范学院学报,2007,26(5):12-14.[5]陈碧琴.矩阵初等变换在初等数论中的应用[J].南通工学院学报.2004.3.3（1）：01-04.[6] 闵嗣鹤,严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社,2003.12.（3）：08-15.。
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化归是一种常用的数学思想方法。化归是指问题之间的相互转化, 或者将问题的一种形式转换成另一种形式, 或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已经解决问题或熟悉问题。通过恰当的化归转换不仅能够顺利地解决原问题, 而且有助于培养学生科学的思维习惯。初等数论中主要化归思想方法有: 变形化归、分割化归、映射化归等[4]。
1 整体化思ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法
整体化思想方法就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考察, 通过系统对象之间的整体联系或整体特征, 寻求原问题的解决途径。从以上的证明过程知道, Euler 定理的证明依赖于模m 的简化剩余系的整体性质: “若r1,r2,…,rφ(m)是模m 的简化剩余系, (a,m)=1, 则ar_1,ar_2,…,arφ(m)也是模m 的简化剩余系,且模m的任一简化剩余系中所有数的乘积模m 都同余”。类似地, 设a_1,a_2,…,am 为模m的完全剩余系, 则a_i与且只与某一个i(1≤i≤m)同余, 由此可得到完全剩余系的整体性质等。利用模m 的完全剩余系( 或简化剩余系) 的整体性质, 就可以另辟蹊径, 获得巧妙简捷的解(证) 题效果。
初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法, 其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织, 融会贯通的知识网络, 需要我们去挖掘、揭示。因此, 在初等数论的教学过程中, 应充分利用教材和习题的教育功能, 注重展示解决问题的思路、思维过程, 体现解决问题策略与方法的多样性, 引导沟通知识间的内在联系, 突出问题的背景和思想方法的阐述, 注重数学思想方法的总结、提炼, 把数学知识和相关数学思想方法有机联系起来, 使学生从整体上把握初等数论的理论体系, 理解数学思想方法的内涵,开阔思维视野, 健全认知结构
初等数论蕴涵的数学思想方法：初等数论以理论为基础, 主要研究整数性质和不定方程。初等数论貌似简单, 但真正掌握并非易事, 它的内容严谨简洁, 方法奇巧多变,蕴含了丰富的数学思想方法, 其数学思想方法又往往隐含在数学知识形成和问题解决的过程中。下文以初等数论中著名的Euler 与Wilson 定理证明为切入口, 例谈初等数论中解题过程中蕴涵的整体化、配对、化归思想方法。
历史发展：
古希腊--初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。後来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式： 公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来，费马、L.欧拉、C.F.高斯 等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。古代中国 公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来，费马、L.欧拉、C.F.高斯 等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。 古代中国-- 中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年， 西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的，如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。
简介：
初等数论 是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。
2 配对思想方法
配对的思想方法就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对, 再利用配对后的特性解决原问题。初等数论中有许多配对的情形存在。如:
①若(a,m)=1,则(m- a,m)=1,即a 与m- a 同属于模m 的简化剩余系;
②若d 是正整数n 的正因数, 则d 与n/d 同为正整数n 的正因数;