多缝的夫琅禾费衍射

sin Nβ 2 sinα 2 sin2α 2 2 )( ) = I0 ( ) ( 2cosα ) = 4I0 ( ) ∴ I = I0 ( sinβ 2α α α
其中： 其中：
2α =
π( 2a ) sinθ λ
§5.4 衍射光栅（多缝衍射的应用）： 衍射光栅（多缝衍射的应用）：
大量平行、等宽、等距狭缝排列起来形成的光学元件称为光栅。 大量平行、等宽、等距狭缝排列起来形成的光学元件称为光栅。 实用光栅每毫米内有几十至上千条刻痕。一块 实用光栅每毫米内有几十至上千条刻痕。一块100×100 mm2的 条刻痕。 光栅可有 60000 至 120000 条刻痕。 光栅主要用于光谱分析，测量光的波长、光的强度分布等。 光栅主要用于光谱分析，测量光的波长、光的强度分布等。
解：
⑴ Q
d a+b = =2 a a
∴ β=
即 ± 2 ± 4K缺级 ，
所以单缝衍射中央明纹内有3条干涉明纹： 、 级明纹。 所以单缝衍射中央明纹内有 条干涉明纹：0、±1级明纹。 条干涉明纹 级明纹 因为： ⑵ 因为： d = b + a 多缝干涉因子： 多缝干涉因子：
sinα
2
πd sinθ πa sinθ = =α λ λ sin Nβ 2 sin2α 2 ( ) =( ) = ( 2cosα )2 sinβ sinα
两边取微分， 解：对光栅方程 d sinθ = kλ 两边取微分，得：
d cosθ ⋅ dθ = k ⋅ dλ
∵Δλ很小
k∆λ ∴ ∆θ = d cosθ
kλ 2 ) d
而 即
cosθ = 1− (sinθ )2 = 1−(
∆θ =
k∆λ d2 − k2λ2
代入上式， 以 k = 1、λ = 589.30nm 和 ∆λ = 0.59nm 代入上式，得： 、
θ θ
当衍射角θ一定时，所有单缝衍射条纹 当衍射角 一定时，所有单缝衍射条纹 一定时 在屏上的位置完全重合。因此， 在屏上的位置完全重合。因此，多缝衍 射条纹比单缝衍射条纹明亮很多。 射条纹比单缝衍射条纹明亮很多。 同时各单缝之间还会产生干涉现象。 同时各单缝之间还会产生干涉现象。 根据双缝干涉明条纹公式： 根据双缝干涉明条纹公式：
N =4
0 1 2 3 4
n
N =6
0 1 2 34 5 6
n
3、单缝衍射因子对多缝干涉的影响、缺级： 单缝衍射因子对多缝干涉的影响、缺级：
当α=±k'π （k'= 1, 2, 3, …) ± 单缝衍射因子： 时，单缝衍射因子：
( sinα )2 = 0
I
ຫໍສະໝຸດ Baidu
d =3 a
α
单缝衍射
-2 -1 0 1
即各单缝衍射暗纹满足： 即各单缝衍射暗纹满足： 单缝衍射暗纹满足
d sinθ = ±kλ
θ
P
相邻单缝间干涉条纹也完全重合。 相邻单缝间干涉条纹也完全重合。 所以： 所以：多缝夫琅和费衍射的光强分布 为单缝衍射和多缝干涉的总效果。 为单缝衍射和多缝干涉的总效果。
P0
L
1、光强分布：( N = 6 ) 、光强分布：
aθ
衍射角为 θ 时，相邻狭缝出射的平行光之间的 光程差和相位差为： 光程差和相位差为：
d
a
a
d
透射式光栅
反射式光栅
1、光栅方程： 、光栅方程：
光栅常数： 光栅常数： d = a + b 明条纹衍射角满足： 明条纹衍射角满足： d sinθ = ±kλ 称为光栅方程。 称为光栅方程。 光栅方程
例题5-6 的红光， 例题 ：He—Ne激光器发出波长λ=632.8nm的红光，垂直入射于每厘米 激光器发出波长 的红光 条刻线的光栅上。 有6000条刻线的光栅上。求各级明纹衍射角。 条刻线的光栅上 求各级明纹衍射角。 解： 光栅常数 令
极小（暗条纹中心）： ⑵ 极小（暗条纹中心）：
I = I0 ⋅ (
sinα
α
)2 ⋅ (
sin Nβ 2 ) sinβ
当： β ≠ ±kπ → δ ≠ ±2kπ → sinβ ≠ 0 但： Nβ = ±nπ → Nδ = ±2nπ → sin Nβ = 0
sin Nβ )2 = 0 则缝间干涉因子： 则缝间干涉因子： ( sinβ
即满足以上条件处出现极小。 即满足以上条件处出现极小。
n 因： β = ± π N
所以： 所以：n = N + 1, N + 2, K, 2N − 1 处为相邻两个主极大之间的 N-1 个极小。 个极小。
① 、⑦
aθ
②
③
60°
A=0 A = 6 aθ
aθ
A=0
aθ
120°
δ Nδ
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ④
k = -4 k=4 k=0 k = -3 k=3 k = -2 k=2 k = -1 k=1
> 90° 90
-90° -80°-70° -60° -50° -40° -30°-20° -10° 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°
3、光栅的分辨本领： 光栅的分辨本领：
d
2、光栅光谱： 、光栅光谱：
明条纹衍射角与入射光波长有关。所以：复色光入射时， 明条纹衍射角与入射光波长有关。所以：复色光入射时，除 零级条纹外，其余各级条纹都随波长不同而散开，形成光栅 零级条纹外，其余各级条纹都随波长不同而散开，形成光栅 衍射光谱。 衍射光谱。
例题5-7：一每厘米有4000条刻线的光栅， 例题 ：一每厘米有4000条刻线的光栅， 4000条刻线的光栅 以白光垂直入射。试描述其衍射光谱。 以白光垂直入射。试描述其衍射光谱。
(紫端 θV 紫端) 紫端 中央明纹 1级光谱 级光谱 2级光谱 级光谱 3级光谱 级光谱 4级光谱 级光谱 0 9.2° 18.7° 28.7° 39.8° (红端 θR 红端) 红端 0 17.7° 37.4° 65.8°
1 解：d = 4000 cm = 2500nm
θ = arcsinkλ d
λ
多缝衍射
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
例题 5-5： ⑴双缝中，挡光部分宽度与透光缝等宽，即b=a。则单缝 ： 双缝中，挡光部分宽度与透光缝等宽， 。
衍射的中央主极大内含有几条干涉明纹？ 衍射的中央主极大内含有几条干涉明纹？⑵若b=0，则两 ， 缝合成宽2a的单缝 求证： 的单缝， 缝合成宽 的单缝，求证：多缝衍射光强公式简化为单 缝衍射光强公式。 缝衍射光强公式。
λ1 λ2
λ R= = Nk ∆λ
λ = λ1 + λ2 2 ∆λ = λ1 − λ2
∆θ
① k大，则R大（光谱线分得更开）； 大 大 光谱线分得更开）； 可见： 可见： ② N大，则R大（条纹更细）。 大 大 条纹更细）。
宽为2.54cm的光栅有 的光栅有10000条刻线。当钠黄光垂直 条刻线。 宽为 的光栅有 条刻线 例题 5-8： ： 入射时， 钠双线的1 入射时，其λ1=589.00nm和λ2=589.59nm钠双线的 和 钠双线的 级主极大对应的角距离为多大？ 级主极大对应的角距离为多大？
能否被分辨， 波长很接近的两条光谱线（λ1、λ2）能否被分辨，还取决于谱 线宽度∆λ。 线宽度 。 瑞利分辨判据：当一条谱线的 级主极大 瑞利分辨判据：当一条谱线的k级主极大 与另一谱线同级极大的相邻极小重合时， 与另一谱线同级极大的相邻极小重合时 两条谱线恰能分辨。 两条谱线恰能分辨。 可以证明： 可以证明：光栅的分辨本领
θ a d b
θ θ
P
当衍射角为θ 时：
sin sinαu aθ = a00 A A
α u
II = I0 ( 0 θ
P0
sinu sinα 22 ) )
πa π a sinθ u sinθ α= λ λ
α u
L
aθ = a0
sinα
α
Iθ = I0 (
sinα
α
)
2
α=
πa sinθ λ
a d b
§5.3 多缝的夫琅和费衍射
双缝干涉光屏上条纹亮度很小。 双缝干涉光屏上条纹亮度很小。 解决办法：多缝干涉。 解决办法：多缝干涉。 a：透光缝宽度、 b：档光部分宽度。 ：透光缝宽度、 ：档光部分宽度。 d = a + b 为相邻两缝的间距。 为相邻两缝的间距。 对每一条单缝： 对每一条单缝：
A → aθ 、A0 → a0 、u → α
θ
α=
I = I0 ⋅ (
α
)2 ⋅ (
sin Nβ 2 ) sinβ
其中
πa sinθ λ πd β = sinθ λ
∆L
单缝衍射因 子
缝间干涉因子
2、缝数 对多缝干涉条纹的影响（多缝使条纹细而明亮）： 、缝数N对多缝干涉条纹的影响 多缝使条纹细而明亮）：
主极大（明条纹中心）： ⑴ 主极大（明条纹中心）： 当β=
解：
d sinθα = 2λα d sinθδ = 2λδ
θ = arcsin2λα = 0.552 rad α d θδ = arcsin2λδ = 0.334 rad d
∴
sin Nβ =N , sinβ
A
此时缝间干涉因子最大， 此时缝间干涉因子最大，所以满足下式
d sinθ = ±kλ
( k = 0,1,2,K)
的位置为多缝干涉的主极大， 的位置为多缝干涉的主极大，且光强为每条单缝在该处光 强的 N2 倍！ 双缝 I = 4 Iθ 如： I = N2 Iθ 6 缝 I = 36 Iθ
a sinθ
λ
a sinθ = ±k' λ
而多缝干涉明纹满足： 而多缝干涉明纹满足： 缝干涉明纹满足
2
d sinθ = ±kλ
d a +b k ∴当 = = = m 整数）时： （整数） a a k'
多缝干涉
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2 3
4 5 6
d sinθ
多缝干涉的k级极大处正好是 多缝干涉的 级极大处正好是 单缝衍射的k'级极小处，所以 单缝衍射的 级极小处， 级极小处 m的整倍数干涉明条纹将不出 的整倍数干涉明条纹将不出 称为缺级现象。 缺级现象 现，称为缺级现象。
0 π 0 2π 4π 6π
3 2 π
β =δ 2
0 π
π
π
Nβ
0 π 2π 3π 4π 5π 6π
(
sin Nβ 2 ) sinβ
I = N2 I0
36I0 0 0 0 0 0 36I0
N2 0 0 0 0 0 N2
3
3
6 3 2 3 6
π 4π
5π
8π 10π 12π
2π
3
5π
2π
π
⑤
180°
aθ
πd sinθ = ±kπ 即 δ = 2β = ±2kπ 时： λ sin Nβ = 0 , sinβ = 0
或( sin Nβ 2 ) = N2 sinβ
sin Nβ 2 I = I0 ⋅ ( ) ⋅( ) sinβ α
2
sinα
当δ = 0，2π，4π，… 时 ，
aθ aθ aθ aθ aθ aθ
∆θ = 0.014o = 2.44×10−4 rad
例题 5-9：
条线的光栅（ 每厘米刻有 4000 条线的光栅（d=2500nm)，计算在第 2 ) 级光谱中氢原子的α 级光谱中氢原子的 (λα= 656nm )和δ (λδ= 410nm )两条谱 和 两条谱 线间的角距离。（设光垂直入射于光栅） 线间的角距离。（设光垂直入射于光栅） 。（设光垂直入射于光栅
∆L = d sinθ , δ= λ δ
2
Nδ C
2π
A
δ δ δ
O
d sinθ
Nδ A = 2OC sin 2
由振幅矢量法： 由振幅矢量法：aθ = 2OC sin 令
β=
A = aθ
,
aθ B
δ
πd sinθ 则： 2 λ
=
sin Nβ sinα sin Nβ )⋅ ( ) = a0 ( sinβ α sinβ sinα
( k = 0, 1, 2, K)
d=
1 cm = 1667nm 6000
得： km = d λ = 2.63 ax
θ =π 2
λ
即只能看到± 、 级条纹。 即只能看到±1、 ±2 级条纹。 一级明纹衍射角： 一级明纹衍射角： θ1 = arcsinλ = 22.31o
θ2 = arcsin2λ d = 49.39o 二级明纹衍射角： 二级明纹衍射角：
240°
⑥
aθ
300°
A=0
aθ
A=0
A=0
次极大： ⑶ 次极大：
N=2
I
个极小之间还有N-2 在N-1个极小之间还有 个极小之间还有 个次极大，但光强很小。 个次极大，但光强很小。
0 1 2 n
由上讨论可知： 由上讨论可知： 当相邻缝间距d 一定时， 当相邻缝间距 一定时，多 缝干涉和双缝干涉明纹间隔 都是一样的（ 无关）。 都是一样的（与N无关）。 无关 随着缝数的增加， 随着缝数的增加，明条纹变 得越细、越亮， 得越细、越亮，而明条纹之 间是大片暗区。 间是大片暗区。