高中数学选修2-1知识点总结
人教版高中 数学选修二 全册知识点 归纳总结3篇
人教版高中数学选修二全册知识点归纳总结第一篇:数学选修二必修内容详解第一章函数及其应用1.函数及其概念:定义域、值域、图象、单调性、奇偶性、周期性、对称性等2.函数的运算:加法、减法、乘法、除法、复合函数、反函数等3.函数的应用:函数模型、函数方程、函数关系、函数表示、函数求值等第二章三角函数1.三角函数的基本概念:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割2.三角函数的相互关系:借助单位圆解释正弦、余弦函数,借助正切函数解释余割、正割函数3.三角函数的简单运算:倍角公式、半角公式、和差公式、化简公式、合并公式、差积定理等4.三角函数的应用:角度关系、角度测量、三角函数图像、三角函数方程、三角函数求解等第三章解析几何1.二维平面直角坐标系的基本概念:点、直线、圆等2.二维坐标系中的直线方程:斜截式、截距式、一般式、交点式等3.圆的相关概念:圆的标准方程、圆的一般方程、圆心、半径、切线等4.解析几何的应用:确定方程、矢量运算、空间几何、曲线分析等第四章微积分1.导数及其基本概念:导数定义、导数运算、高阶导数、柯西—罗尔定理等2.微积分基本定理:牛顿—莱布尼茨公式、区分反函数、定积分、不定积分等3.微积分应用:函数极值、函数图像分析、相关变化率、微分方程、微积分定理等以上是数学选修二的必修内容,掌握这些知识点,能够帮助学生扎实掌握高中数学基本概念和方法,为进一步发展数学能力打下基础。
第二篇:数学选修二选修内容详解第五章数列及其应用1.数列的概念:等差数列、等比数列等2.数列的性质:通项公式、求和公式、收敛性、发散性等3.数列的应用:数学归纳法、数列问题的解答、计算器计算数列等第六章概率论与数理统计1.随机事件及其概率:基本概念、事件关系、样本空间等2.概率分布及其函数:二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布等3.抽样分布及其统计推论:抽样中心极限定理、参数估计、假设检验等4.应用:概率模型、统计图表、数据分析、随机模拟等第七章矩阵论与线性代数1.基本知识:矩阵基本运算、行列式、逆矩阵、秩等2.线性方程组:高斯消元法、矩阵表示、特解、齐次线性方程组、基础解系等3.特征值和特征向量:特征方程、特征值、特征向量、对角化、相似变换等4.应用:向量分析、投影、方程求解、几何变换、矩阵算法等以上是数学选修二的选修内容,掌握这些知识点,能够帮助学生进一步拓展数学领域,学会使用不同的数学方法解决实际问题。
高中数学选修2-1主要内容
对(2) 分析:
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件, 但可以通过分析图形的几何性质而得出, 即圆
心与弦的中点连线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成,解答为:
设弦的中点为 M(x , y) ,连结 OM ,
则 OM ⊥AM .
∵k OM · kAM =-1 ,
其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆 O 内的一段弧 ( 不含端点 ). 2.定义法 利用所学过的圆的定义、 椭圆的定义、 双曲线的定义、 抛物线的定义直接写出所求的动点的 轨迹方程, 这种方法叫做定义法. 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或
q 也是 p 的充要条件 . 概括地说 , 如果 p q, 那么 p 与 q 互为充要条件 .
一般地, 若p 若p 若p
q, 但 q q,但 q q,且 q
p,则称 p 是 q 的充分但不必要条件; p,则称 p 是 q 的必要但不充分条件; p,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
1.3 简单的逻辑连接词
(以下由学生完成 )
根据它们的对称性, 这两个点的横坐标应相等, 因此方
由弦长公式得:
即 a2b2=4b 2-a2.
2.2 椭圆
把平面内与两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆
(ellipse ).其中这两个定点叫做椭圆的焦点, 两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 即当动点
且有 BP∶ PA=1 ∶2,当 B 点在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程.
分析:
P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动,因此 B 可作为相关点,应先找出点 系.
P 与点 B 的联
解:设点 P(x , y) ,且设点 B(x 0, y 0)
高中数学人教A版选修2-1 圆锥曲线复习(离心率)
过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若△ABF2 是正
三角形,则这个椭圆的离心率是( B )
A.
B.
C.
D.
A
B
方法二、构建关于 a,c 的齐次等式求解
步骤一:找出题目的关系,条件 步骤二:借助a,b,c之间的关系,构造a,c之间的关系,
进而求出离心率
①借助a,b或a,c的一次关系,进而求出离心率
率、等比等差中项、三角形、距离公式等找关系式)
➢2.定义法:根据条件先求出a,c,利用e=求解 ➢3.构建关于齐次等式 ➢ ①借助a,b或a,c的一次关系。 ➢ ②借助a,b,c之间的一个齐次等式化为e的一元二次
方程。
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离心率范围 离心率意义
椭圆 焦点在x轴上
c,0
c2 a2 b2
e c a
1
b2 a2
0<e<1
e越大,椭圆越扁 e越小,椭圆越圆
双曲线 焦点在x轴上
c,0
c2 a2 b2
e c a
1
b2 a2
e>1
e越大,双曲线开口越大 e越小,双曲线开口越小
方法一:定义法
第一步:根据条件先求出 a,c 的值 第二步:利用 e=c公式,求出离心率
例 2.(2012•新课标)设 F1、F2 是椭圆 E: + =1(a>b>0)的
左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰
三角形,则 E 的离心率为( c )
A.
B.
C.
D.
【解答】解:∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= 上一点 ∴ ∴ 故选:C.
高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析
高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析知识点一抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的________,直线l叫做抛物线的________.知识点二抛物线的标准方程与几何性质O(0,0)规律与方法:解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.例1已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.172B.3C.5D.92例2(2015年10月学考)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,若F到直线y=3 x的距离为3,则p等于()A.2B.4C.23D.43例3(2016年10月学考)已知抛物线y2=2px过点A(1,2),则p=________,准线方程是________________.例4已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(4,-22),则它的标准方程为________.例5已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________.例6已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点,且|AB|=52p,求AB所在直线的方程.例7 过抛物线y 2=2x 的顶点作互相垂直的两条弦OA ,OB . (1)求AB 的中点的轨迹方程; (2)求证:直线AB 过定点.一、选择题1.抛物线y =2x 2的焦点坐标是( ) A .(12,0) B .(14,0) C .(0,18)D .(0,14)2.已知抛物线y =4x 2上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ) A .1716B .1516C .78D .03.已知抛物线y =ax 2的准线方程是y =2,则a 的值为( ) A .-18B .18C .8D .-84.从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,则△MPF 的面积为( ) A .5B .10C .20D.155.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=12,P 为C 的准线上的一点,则△ABP 的面积为( ) A .18B .24C .36D .486.若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线y 2=2x 的焦点,点M 在抛物线上移动时,使|MF |+|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A .(0,0)B .(12,1)C .(1,2)D .(2,2)7.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,准线方程为x =-1,直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点.若线段AB 的中点为(2,1),则直线l 的方程为( ) A .y =2x -3 B .y =-2x +5 C .y =-x +3D .y =x -18.设抛物线C :y 2=16x ,斜率为m 的直线l 与C 交于A ,B 两点,且OA ⊥OB ,O 为坐标原点,则直线l 恒过定点( ) A .(8,0) B .(4,0) C .(16,0) D .(6,0)二、填空题9.若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,则点P 的轨迹方程是__________.10.直线y =kx +2与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点,则k =________. 11.抛物线y 2=x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________. 12.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,P A ⊥l ,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF |=________. 三、解答题13.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点,求证: (1)y 1y 2=-p 2,x 1x 2=p 24;(2)1|AF |+1|BF |为定值;(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.答案精析知识条目排查知识点一相等焦点准线题型分类示例例1A如图,由抛物线定义知|P A|+|PQ|=|P A|+|PF|,则所求距离之和的最小值转化为求|P A|+|PF|的最小值,则当A、P、F三点共线时,|P A|+|PF|取得最小值.又A(0,2),F(12,0),∴(|P A|+|PF|)min=|AF|=(0-12)2+(2-0)2=172.]例2B由抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0).F到直线y=3x的距离为3,可得|3p2|(3)2+(-1)2=3,解得p=4,故选B.]例32x=-1例4y2=2x解析由题意可知抛物线的焦点在x轴上,设方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0).若方程为y 2=2px (p >0),则8=2p ×4,得p =1,故方程为y 2=2x ;若方程为y 2=-2px (p >0),则8=-2p ×4,得p =-1,不符合条件,故不成立. 所以抛物线的标准方程为y 2=2x . 例5 x 2=-12y解析 设动圆圆心M (x ,y ),半径为r ,根据题意可得⎩⎨⎧y <2,r =|y -2|,x 2+(y +3)2=1+r ,解得x 2=-12y .例6 解 方法一 焦点F (p2,0),设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),若AB ⊥Ox , 则|AB |=2p <52p ,∴直线AB 的斜率存在,设为k ,则直线AB 的方程为y =k (x -p2),k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -p 2),y 2=2px消去x ,整理得ky 2-2py -kp 2=0.由根与系数的关系得,y 1+y 2=2pk ,y 1y 2=-p 2. ∴|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =(1+1k 2)·(y 1-y 2)2 =1+1k2·(y 1+y 2)2-4y 1y 2 =2p (1+1k 2)=52p ,解得k =±2.∴AB 所在直线方程为y =2(x -p 2)或y =-2(x -p2). 方法二如图所示,抛物线y 2=2px (p >0)的准线为x =-p2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 设A ,B 到准线的距离分别为d A ,d B ,由抛物线的定义知, |AF |=d A =x 1+p 2,|BF |=d B =x 2+p2, 于是|AB |=x 1+x 2+p =52p ,x 1+x 2=32p .当x 1=x 2时,|AB |=2p <52p , ∴直线AB 与Ox 不垂直. 设直线AB 的方程为y =k (x -p2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -p 2),y 2=2px ,得k 2x 2-p (k 2+2)x +14k 2p 2=0,x 1+x 2=p (k 2+2)k 2=32p ,解得k =±2,∴直线AB 的方程为y =2(x -p 2)或y =-2(x -p2).例7 (1)解 设直线OA 的方程为y =kx ,则直线OB 的方程为y =-1k x . 联立直线OA 与抛物线的方程知,点A 的坐标为(2k 2,2k ), 联立直线OB 与抛物线的方程知,点B 的坐标为(2k 2,-2k ),则AB 的中点M 的坐标为(1k 2+k 2,1k -k ),故点M 的轨迹方程为x =y 2+2.(2)证明 由(1)可知k AB =-k -1kk 2-1k 2=-1k -1k=-k k 2-1,则直线AB 的方程为y -(1k -k ) =-k k 2-1x -(1k 2+k 2)],整理,得y =-kk 2-1(x -2).所以直线经过定点(2,0). 考点专项训练1.C 抛物线y =2x 2的标准形式为x 2=12y , ∴p =14,则p 2=18, ∴焦点坐标是(0,18).]2.B 抛物线y =4x 2的标准形式为x 2=14y , ∴其准线方程为y =-116, 设点M 的纵坐标是y 0,由抛物线的定义,得y 0+116=1, ∴y 0=1516.] 3.A4.B 设P (x 0,y 0),依题意可知抛物线准线方程为x =-1, ∴x 0=5-1=4,∴|y 0|=4×4=4, ∴△MPF 的面积为12×5×4=10.]5.C 不妨设抛物线方程为y 2=2px (p >0),依题意,l ⊥x 轴,且焦点F (p2,0), ∵当x =p2时,|y |=p ,∴|AB |=2p =12,∴p =6, 又点P 到直线AB 的距离为p 2+p2=p =6, 故S △ABP =12|AB |·p =12×12×6=36.]6.D 由题意得F (12,0),准线方程为x =-12. 设点M 在准线x =-12上的射影为P , 则M 到准线的距离为d =|PM |,则由抛物线的定义得|MA |+|MF |=|MA |+|PM |,故当P 、A 、M 三点共线时,|MF |+|MA |取得最小值为|AP |=3-(-12)=72. 把y =2代入抛物线y 2=2x ,得x =2,故点M 的坐标是(2,2).] 7.A ∵抛物线C 的顶点在坐标原点,准线方程为x =-1, ∴-p2=-1,∴p =2, ∴抛物线的方程为y 2=4x . 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎨⎧y 21=4x 1,y 22=4x 2,两式相减得 (y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),∴直线AB 的斜率k =y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2=42=2,从而直线AB 的方程为y -1=2(x -2),即y =2x -3.]8.C 设直线l :x =my +b (b ≠0),代入抛物线y 2=16x ,可得y 2-16my -16b =0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=16m ,y 1y 2=-16b , ∴x 1x 2=(my 1+b )(my 2+b )=b 2, ∵OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0, 可得b 2-16b =0,∵b ≠0,∴b =16,∴直线l :x =my +16, ∴直线l 过定点(16,0).] 9.y 2=16x解析 点P 到点F 的距离与到x =-4的距离相等,由抛物线定义,知点P 轨迹为抛物线,设y 2=2px ,由p2=4,知p =8.10.1或0解析 由⎩⎨⎧y =kx +2,y 2=8x ,得ky 2-8y +16=0,若k =0,则y =2;若k ≠0,则Δ=0,即64-64k =0,解得k =1.因此若直线y =kx +2与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点,则k =0或k =1. 11.(18,±24)解析 设抛物线上点的坐标为(x ,±x ),此点到准线的距离为x +14,到顶点的距离为x 2+(x )2,由题意有x +14=x 2+(x )2,∴x =18, ∴此点坐标为(18,±24). 12.8 解析如图所示,直线AF 的方程为y =-3(x -2),与准线方程x =-2联立得A (-2,43).设P (x 0,43),代入抛物线y 2=8x ,得8x 0=48,∴x 0=6, ∴|PF |=x 0+2=8.13.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2,0). 由题意可设直线方程为x =my +p2,代入y 2=2px , 得y 2=2p (my +p2),即y 2-2pmy -p 2=0.(*)因为y 1,y 2是方程(*)的两个实数根,所以y 1y 2=-p 2.因为y 21=2px 1,y 22=2px 2,所以y 21y 22=4p 2x 1x 2,所以x 1x 2=y 21y 224p 2=p 44p 2=p 24.(2)1|AF |+1|BF |=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+x 2+p x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24.因为x 1x 2=p 24,x 1+x 2=|AB |-p ,代入上式,得1|AF |+1|BF |=|AB |p 24+p 2(|AB |-p )+p 24=2p (定值).(3)设AB 的中点为M (x 0,y 0),分别过A ,B 作准线的垂线,垂足为C ,D ,过M 作准线的垂线,垂足为N ,则|MN |=12(|AC |+|BD |)=12(|AF |+|BF |)=12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。
高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质
抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1.抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹.他有许多表示方法,比如参数表示,标准方程表示等等.它在几何光学和力学中有重要的用处.抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线.抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图象.【标准方程】①y2=2px,当p>0时,为右开口的抛物线;当p<0时,为左开口抛物线;②x2=2py,当p>0时,为开口向上的抛物线,当p<0时,为开口向下的抛物线.【性质】我们以y2=2px(p>0)为例:①焦点为(,0);②准线方程为:x=﹣;③离心率为e=1.④通径为2p(过焦点并垂直于x轴的弦);⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等.【实例解析】例1:点P是抛物线y2=x上的动点,点Q的坐标为(3,0),则|PQ|的最小值为解:∵点P是抛物线y2=x上的动点,∴设P(x,),∵点Q的坐标为(3,0),∴|PQ|===,∴当x=,即P()时,|PQ|取最小值.故答案为:.这个例题其实是一个求最值的问题,一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值,需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域,后面的工作就是求函数的最值了.例2:已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点,点P到点(0,3)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是.解:如图所示,设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=﹣1.过点P作PM⊥l,垂足为M.则|PM|=|PF|.设Q(0,3),因此当F、P、Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值.∴(|PF|+|PQ|)min=|QF|==.即|PM|+|PQ|的最小值为.故答案为:.这是个经典的例题,解题的关键是用到了抛物线的定义:到准线的距离等于到焦点的距离,然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点.这个题很有参考价值,我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了,并拓展到椭圆和双曲线上面去.【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点,高中主要是增加了焦点、准线还有定义,这也提示我们这将是它的一个重点,所以在学习的时候要多多理会它的含义,并能够灵活运用.例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F(2,0),且与直线x=-2相切,求动圆圆心C的轨迹.'例2.'平面内哪些点到直线l:x=-2和到点P(2,0)距离之比小于1.'例3.'点M到点F(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离,点M运动的轨迹是什么图形?你能写出它的方程吗?能画出草图吗?'抛物线的标准方程知识讲解1.抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式:(1)y 2=2px ,焦点在x 轴上,焦点坐标为F(,0),(p 可为正负)(2)x 2=2py ,焦点在y 轴上,焦点坐标为F (0,),(p 可为正负)四种形式相同点:形状、大小相同;四种形式不同点:位置不同;焦点坐标不同.下面以两种形式做简单的介绍:标准方程y 2=2px (p >0),焦点在x 轴上x 2=2py (p >0),焦点在y 轴上图形顶点(0,0)(0,0)对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点(,0)(0,)焦距无无离心率e =1e =1准线x =﹣y =﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q(1,1)是抛物线x2=2py(p>0)上一点,过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A,B.在点A处作抛物线的切线l1,在点B处作抛物线的切线l2,直线l1、l2交于P 点.(Ⅰ)求p的值及焦点F的坐标;(Ⅱ)求证PA⊥PB.'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5。
高中数学 第三章第1节空间向量及其运算知识精讲 理 新人教版A版选修2-1
高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版(理)一、学习目标:1. 理解空间向量的概念,了解共线或平行向量的概念,掌握其表示方法;会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律;能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.2. 理解共线向量的定理及其推论.3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法;掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单问题.4. 掌握空间向量的正交分解,空间向量的基本定理及其坐标表示;掌握空间向量的坐标运算的规律;会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直.二、重点、难点:重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律,空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式,点在已知平面内的充要条件,两个向量的数量积的计算方法及其应用,空间向量的基本定理、向量的坐标运算.难点:由平面向量类比学习空间向量,对点在已知平面内的充要条件的理解与运用,向量运算在几何证明与计算中的应用,理解空间向量的基本定理.三、考点分析:本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算,涉及到空间向量中的共线向量和共面向量,以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算.数量积的运用,是我们学习的重点.一、空间向量的概念:模(或长度)为0的向量称为零向量;模为1的向量称为单位向量.与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量,记作a -.方向相同且模相等的向量称为相等向量.二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则.2. 求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量,称为向量的数乘运算.当0λ>时,a λ与a 方向相同;当0λ<时,a λ与a 方向相反;当0λ=时,a λ为零向量,记为0.a λ的长度是a 的长度的λ倍.三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量a ,()0b b ≠,//a b 的充要条件是存在实数λ,使a b λ=.2. 向量共面定理:平行与同一平面的向量是共面向量.四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ,在空间任取一点O ,作a OA =,b OB =,则∠AOB 称为向量a ,b 的夹角,记作,a b 〈〉.两个向量夹角的取值范围是:[],0,a b π〈〉∈.2. 对于两个非零向量a 和b ,若,2a b π〈〉=,则向量a ,b 互相垂直,记作a b ⊥.3. 已知两个非零向量a 和b ,则cos ,a b a b 〈〉称为a ,b 的数量积,记作a b ⋅.即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉.零向量与任何向量的数量积为0.五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =,()222,,b x y z =,则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++. 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---. 3. ()111,,a x y z λλλλ=. 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++.5. 若a 、b 为非零向量,则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=.6. 若0b ≠,则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===.7. 222111a a a x y z =⋅=++.8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++.9. ()111,,x y z A ,()222,,x y z B ,则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一 空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是( )A .(31,1,1) B .(-1,-3,2) C .(-21,23,-1)D .(2,-3,-22)思路分析:1)题意分析:本题主要考查共线向量的概念的运用.2)解题思路:利用共线向量的概念,如果b a b a b λ=⇔≠//,0,那么说向量→→b a ,共线.也可观察坐标的系数是不是成比例.解答过程:解析:向量的共线和平行是一样的,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式. 即b a b a b λ=⇔≠//,0,因为(1,3,2)a =-=-2(-21,23,-1),故答案为C . 解题后的思考:对于空间共线向量的判定,要么利用坐标对应成比例,要么利用向量的线性关系来判定.例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若11B A =a ,11D A =b ,A A 1=c ,则下列向量中与MB 1相等的向量是( )A .++-2121B .++2121 C .c b a +-2121D .c b a +--2121思路分析:1)题意分析:本题考查的是基本的向量相等与向量的加法,考查学生的空间想象能力. 2)解题思路:把未知向量表示为已知向量,可利用三角形或平行四边形法则解决.用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化.解答过程:解析:)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+==+21(-+)=-21+21+.故选A . 解题后的思考:对于空间向量的线性表示,我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则,再结合向量的加法得到.例3、在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是 ( )A .OM --=2B .213151++=C .=++MC MB MA 0D .=+++OC OB OA OM 0 思路分析:1)题意分析:本题主要考查共面向量的概念的运用.2)解题思路:空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可,或者AC y AB x AP +=.解答过程:由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可,首先判定A ,B ,D 项都不符合题意,由排除法可知只有选C .利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ,)(31++=,显然满足题意. 解题后的思考:对空间向量的共面问题,我们只需利用课本中的两个结论判定即可.,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ,A ,B ,C 共面.例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底,那么,a b 的关系是不共线;②,,,O A B C 为空间四点,且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底,那么点,,,O A B C 一定共面;③已知向量,,a b c 是空间的一个基底,则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底. 其中正确的命题是( )A .①②B .①③C .②③D .①②③ 思路分析:1)题意分析:本题考查空间向量的基底.2)解题思路:结合空间向量基底的概念,我们逐一的判定.解答过程:命题①中,由于,a b 与任何向量都共面,说明,a b 是共线向量.因此①是错误的.命题②中,由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底,说明了这四点是共面的,因此②是正确的.命题③中,要判定三个向量是否可构成基底,关键是看这三个向量是不是不共面,共面与是共面的,,→→→→→→-+b a b a b a ,因此③是正确的.选C .解题后的思考:理解空间向量的基底是由不共面的四点,或者说不共面的三个向量构成的.知识点二 空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中,已知)0,4,2(=AB ,)0,3,1(-=BC ,则∠ABC =___.思路分析:1)题意分析:本题考查用向量数量积求夹角.2)解题思路:首先要注意夹角的概念,是共起点,因此在求角的时候,要注意向量的方向,否则容易出错.解答过程:(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC =145°解题后的思考:向量夹角的求解是高考中的常考题型,因此,同学们要注意准确运用.例6、已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5). ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ;⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直,且|a |=3,求向量a 的坐标思路分析:1)题意分析:本题综合运用向量的数量积来判定垂直,求解夹角.2)解题思路:首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍,于是可转化为求三角形的面积,需先结合数量积求出夹角的余弦值,然后得到夹角的正弦值,再求面积;求向量的坐标,一般是先设出其坐标,然后结合已知条件,列出关系式,进而求解.解答过程:⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB . ∴∠BAC =60°,3760sin ||||==∴ AC AB S . ⑵设a =(x ,y ,z ),则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x =y =z =1或x =y =z =-1,∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1).解题后的思考:向量的数量积是高考中的一个热点话题,出题形式较灵活,只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可.例7、如图所示,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,CA =CB =1,∠BCA =90°,棱AA 1=2,M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求的长;(2)求cos<11,CB BA >的值; (3)求证:M C B A 11⊥思路分析:1)题意分析:本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.2)解题思路:先建立空间直角坐标系,然后写出坐标,利用坐标的运算进行求解. 解答过程:如图,建立空间直角坐标系O -xyz .(1)解:依题意得B (0,1,0)、N (1,0,1) ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解:依题意得A 1(1,0,2)、B (0,1,0)、C (0,0,0)、B 1(0,1,2) ∴1BA ={1,-1,2},1CB ={0,1,2},1BA ·1CB =3,|1BA |=6,|1CB |=5∴cos<1BA ,1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .(3)证明:依题意,得C 1(0,0,2)、M (21,21,2),B A 1={-1,1,-2},MC 1={21,21,0}.∴B A 1·M C 1=-2121++0=0,∴B A 1⊥M C 1.解题后的思考:对于空间中的角和垂直的判定,如果不能直接利用定义,我们可以运用代数的方法,结合坐标运算进行.例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ,M 为'BD 的中点,点N 在'A C '上,且|'|3|'|A N NC =,试求MN 的长.思路分析:1)题意分析:本题考查向量的概念及向量的坐标运算,求解有关距离的问题.2)解题思路:对于空间向量的距离的求解,可借助于向量的数量积的性质来解,也可利用坐标运算进行求解.解答过程: 以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a ,所以B (a ,a ,0),A'(a ,0,a ),'C (0,a ,a ),'D (0,0,a ).由于M 为'BD 的中点,取''A C 的中点O',所以M (2a ,2a ,2a ),O'(2a ,2a,a ).因为|'|3|'|A N NC =,所以N 为''A C 的四等分点,从而N 为''O C 的中点,故N (4a ,34a ,a ).根据空间两点间的距离公式,可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=.解题后的思考:本题是求解空间几何体中距离的问题,我们一般利用坐标的运算进行求解.解题关键是能把坐标准确地表示出来.小结:通过以上的典型例题,同学们应熟练掌握以下基本概念:共线向量与共面向量,空间向量的基底,以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题.注意处理以上问题的两个方法:向量法与坐标法.空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具,同学们要理解基本概念,并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用.数量积问题是向量问题中经常考查的知识点,要能灵活解决有关的夹角和距离问题,从而为后面的学习打下坚实的基础.一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算,那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢?二、预习点拨探究与反思:探究任务一:用空间向量解决立体几何中有关角的问题 【反思】(1)如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角 (2)具体的求角的公式应如何怎么表示?探究任务二:用空间向量解决立体几何中有关距离的问题 【反思】(1)如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离?(2)求解距离的具体的计算公式是什么?(答题时间:50分钟)一、选择题1.下列命题正确的是( )A .若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线B .向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C .零向量没有确定的方向D .若//a b ,则存在唯一的实数λ使得a b λ=2. 已知A (-1,-2,6),B (1,2,-6),O 为坐标原点,则向量OA OB 与的夹角是( )A .0B .2πC .πD .32π 3. 已知空间四边形ABCO 中,c OC ,b OB ,a OA ===,点M 在OA 上,且OM =2MA ,N 为BC 中点,则MN =( )A .c b a 213221+- B .c b a 212132++- C .c b a 212121-+ D .c b a 213232-+4. 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ,AD AC ,AC AB ,则△BCD 是( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .不确定5. 空间四边形OABC 中,OB =OC ,∠AOB =∠AOC =60°,则cos BC ,OA =( ) A .21B .22C .-21D .06. 已知A (1,1,1)、B (2,2,2)、C (3,2,4),则△ABC 的面积为( ) A .3B .32C .6D .267. 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=,则||b a -的最小值为( ) A .55 B .555 C .553 D .511二、填空题8.若)1,3,2(-=a ,)3,1,2(-=b ,则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为 . 9.已知空间四边形OABC ,其对角线为OB 、AC ,M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点,点G 在线段MN 上,且GN MG 2=,现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ,有OG =x OC z OB y OA ++,则x 、y 、z 的值分别为 .10.已知点A (1,-2,11)、B (4,2,3),C (6,-1,4),则△ABC 的形状是 . 11.已知向量)0,3,2(-=a ,)3,0,(k b =,若b a ,成120°的角,则k = .三、解答题12.如图,在空间直角坐标系中BC =2,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标是(21,23,0),点D 在平面yOz 上,且∠BDC =90°,∠DCB =30°.(1)求向量OD 的坐标;(2)设向量AD 和BC 的夹角为θ,求cos θ的值13.四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是一个平行四边形,AB =(2,-1,-4),AD =(4,2,0),AP =(-1,2,-1). (1)求证:PA ⊥底面ABCD ; (2)求四棱锥P -ABCD 的体积;(3)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a ×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ×AD )·AP 的绝对值的值;说明其与四棱锥P -ABCD 体积的关系,并由此猜想向量这一运算(AB ×AD )·AP 的绝对值的几何意义.14.若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四面体的对棱两两垂直.1.C ;解析:由于选项A 中当b =→0时,就不符合题意,因此A 错误.选项B ,向量共面,但向量所在的直线不一定共面,可以是平行.选项D ,应说明b ≠→0. 2.C ;解析:||||cos b a ⋅=θ,计算结果为-1.3.B ;解析:显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=. 4.B ;解析:过点A 的棱两两垂直,通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形. 5.D ;解析:先建立一组基向量OC OB OA ,,,再处理⋅的值. 6.D ;解析:应用向量的运算,显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ,从而得><=S ,sin ||||21. 7.C ;解析:利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值,然后再开方即可得到. 8.56;解析:72||||,cos -=>=<b a ,得753,sin >=<b a ,从而可得结果.9.313161、、; 解析:OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10.直角三角形;解析:利用空间两点间的距离公式得:222||||||AC BC AB +=.11.39-;解析:219132,cos 2-=+=>=<k k b a ,得39±=k . 12.解:(1)过D 作DE ⊥BC ,垂足为E ,在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°,BC =2,得BD =1,CD =3,∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB -BE =OB -BD ·cos60°=1-2121=. ∴D 点坐标为(0,-23,21),即向量的坐标为(0,-23,21). (2)依题意:)()()(0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==, 所以)()(0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD .设向量和BC 的夹角为θ,则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=. 13.(1)证明:∵AB AP ⋅=-2-2+4=0,∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=-4+4+0=0,∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线,∴PA ⊥底面ABCD . (2)解:设AB 与AD 的夹角为θ,则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -=31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ (3)解:|(AB ×AD )·AP |=|-4-32-4-8|=48,它是四棱锥P -ABCD 体积的3倍.猜测:|(AB ×AD )·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积). 14.证明:如图,设321,,r SC r SB r SA ===,则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ,)(2132r r +,)(2121r r +,321r ,)(2131r r +,221r ,由条件EF =GH =MN 得: 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ,∵1r ≠,23r r -≠, ∴1r ⊥(23r r -),即SA ⊥BC .同理可证SB ⊥AC ,SC ⊥AB .。
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_命题及其关系_基础
人教版高中数学选修2-1知识点梳理)巩固练习重点题型(常考知识点命题及其关系【学习目标】1.了解命题、真命题、假命题的概念,能够指出一个命题的条件和结论;2.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题,会分析四种命题的相互关系,能判断四种命题的真假;3.能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.要点诠释:1.不是任何语句都是命题,不能确定真假的语句不是命题,如“x>2”,“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句,疑问句,感叹句都不是命题,例如:“起立”、“π是有理数吗?”、“今天天气真好!”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真,要么是假,不能既真又假,模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性,或者不具有某种属性,这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p,则q”的形式,或“如果p,那么q”的形式.其中p是命题的条件,q是命题的结论.要点诠释:1.一般地,命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么,因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题:“若p,则q”;逆命题:“若q,则p”;实质是将原命题的条件和结论互相交换位置;. 否命题:“若非 p ,则非 q ”,或“若 ⌝p ,则 ⌝q ”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定;逆否命题:“若非 q ,则非 p ”,或“若 ⌝q ,则 ⌝p ”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释:对于一般的数学命题,要先将其改写为“若 p ,则 q ”的形式,然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原 命题若p 则q互互 互 逆为 逆否逆命题 若q 则p互 否否 命 题互为逆否否逆 否命 题若⌝p 则⌝q四种命题之间的真值关系互 逆若⌝q 则⌝p原命题真真 假假逆命题真假 真假否命题真假 真假逆否命题真真 假假要点诠释:(1)互为逆否命题的两个命题同真同假;(2)互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一:命题的概念例 1.判断下列语句中哪些是命题,是命题的判断其是真命题还是假命题(1)末位是 0 的整数能被 5 整除;(2)平行四边形的对角线相等且互相平分;(3)两直线平行,则斜率相等;(△4)ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB;(5)余弦函数是周期函数吗?【思路点拨】依据命题的定义判断。
高中数学选修2-1、2-2知识点小结
选修2-1、2-2知识点选修2-1第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系① 四种命题相互间关系: ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件p 是q 的充要条件:p q ⇔p 是q 的充分不必要条件:,p q q p ⇒¿ p 是q 的必要不充分条件:,q p p q ⇒¿ p 是q 的既充分不必要条件:,p q q p 靠3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式(联系反证法的反设),主要是量词的变化. 例:“a=1”是“0,21ax x x∀>+≥”的( ) A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第二章 圆锥曲线与方程 1.2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。
如:(1)在求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程,写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时,常用定义结合解三角形(一般是余弦定理)的知识来解决;(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系(1)有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题,直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程(注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0),直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.应注意数形结合(例如双曲线中,利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)常见方法:①联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理等;②点差法 (主要适用中点问题,设而不求,注意需检验,化简依据:12122100212,2,22x x y y y yx y k x x ++-===-) (2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理来解决;(注意斜率是否存在)① 直线具有斜率k ,两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y1212AB x y =-==- ② 直线斜率不存在,则12AB y y =-.(3)有关对称垂直问题,要注意运用斜率关系及韦达定理,设而不求,简化运算。
高中数学必修二 选修2-1 知识点归纳
必修二 知识点归纳: 第一章 空间几何体1. 棱柱 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱。
(正棱柱: 底面为正多边形的直棱柱。
)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱。
(平行六面体:底面为平行四边形的斜棱柱。
) 棱锥 正棱锥:底面为正多边形,顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥。
斜棱锥:以上条件之一不满足的棱锥。
棱台 正棱台:由平行于底面的平面截正棱锥得到的棱台。
斜棱台:由平行于底面的平面截斜棱锥得到的棱台。
四面体:三棱锥正四面体:六条棱均相等的三棱锥。
空间四边形ABCD :三棱锥,其中有四条边:AB 、BC 、CD 、DA ;两条对角线:AC 、BD 。
2. 三视图(会识别,会画图)3. 斜二测画法画直观图:见《名师面对面》P10:3题;P12:6、7题4. S 圆柱侧=2πrl S 圆柱表=2πrl+2πr 2S 圆锥侧=πrl S 圆锥表=πrl+πr 2S 圆台侧=π(r +r ′)l S 圆台表=π(r +r ′)l +πr 2+πr′2 其中r 为底面半径,l 为母线长 5. V 柱体=Sh V 锥体=13Sh V 台体=13(S+√SS′+S’)h 其中S ,S’为底面积,h 为高 6. S 球表=4πR 2 V 球=43πR 37. 球内接正方体棱长a 与球半径R 关系:2R=√3a 注意:将《名师面对面》P12-21重做一遍。
第二章:点、直线、平面之间的位置关系1.平面的概念,画法,与点的属于关系,与直线的包含关系。
2.三个公理:(1)如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线在此平面内。
(2)不共线三点确定一个平面。
推论:①一条直线与直线外一点确定一个平面。
②两条平行直线确定一个平面。
③两条相交直线确定一个平面。
(3)如果两个不重合平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
注意:将《名师面对面》P22-24重做一遍。
3.空间两直线的位置关系:_____、_____、_____。
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
→
→
∣→∣ ∣ ∣ →
∣→∣ ∣ ∣
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→
④若 a = b , b = c ,则 a = c ; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确命题的个数是( )
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→ →
→
→
中,必有 AC = A 1 C1 ;
−→ −
− − −→
A.4 B.3 C.2 D.1 解:C. 当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,由于向量可以平移,故两个向量相 等,不一定有起点相同、终点相同,故命题①错误;两个向量的模长相等,两个向量不一定相等,还要 考虑方向因素,故命题②错误;命题③④正确;对于命题⑤,空间中任意两个单位向量的模均为 1 , 但是方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错. 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中,下列各式运算结果为 BD 1 的是(
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
(3)因为 M 是 AA 1 的中点,所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
人教新课标版数学高二选修2-1课件曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律,学会分析、判断曲线与方程的 关系,强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图,据图回答下面问题:假 若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球 表面上一定点的距离之和近似等于定值2a,视月球为球体, 半径为R,你能写出一个轨迹的方程吗?
1 2345
解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是不是方 程的解,是否适合方程.若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合,就 说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关 参数的值或范围问题.
返回
答案
探究点1 曲线与方程的概念应用 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用 例2 如果曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解,那么( ) A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解 D.坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一 曲线与方程的概念 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关
系:
(1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解;
人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料:34【基础】空间向量的直角坐标运算
空间向量的直角坐标运算【学习目标】1.理解空间向量的基本定理,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。
3.能通过坐标运算判断向量的共线与垂直. 【要点梳理】要点一、空间向量的基本定理 1. 空间向量的基本定理: 如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在唯一的有序实数组x 、y 、z ,使p=xa+yb+zc .2.基底、基向量概念:由空间向量的基本定理知,若三个向量a 、b 、c 不共面,那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc ,x 、y 、z ∈R},这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的,所以我们把{a 、b 、c}称为空间的一个基底.a 、b 、c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底. 要点诠释:(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底;(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面,就隐含着它们都不是0;(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.要点二、空间向量的坐标表示 (1)单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为,这个基底叫单位正交基底,常用表示; (2)空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底,以点为原点,分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系,点叫原点,向量都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为平面,平面,平面;(3)空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ,其坐标向量为i ,j ,k ,若a=a 1i+a 2j+a 3k ,则有序数组(a 1,a 2,a 3)叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标,上式可简记作a=(a 1,a 2,a 3). 在空间直角坐标系Oxyz 中,对于空间任一点A ,对应一个向量,若,则有序数1{,,}i j k O {,,}i j k O ,,i j k x y z O xyz -O ,,i j k xOy yOz zOx OA OA xi yj zk =++xyzOk ji组(x ,y ,z )叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标,记为A (x ,y ,z ),其中x 叫做点A 的横坐标,y 叫点A 的纵坐标,z 叫点A 的竖坐标.写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒.要点诠释:(1)空间任一点P 的坐标的确定. 过P 作面xOy 的垂线,垂足为P ',在面xOy 中,过P '分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为A 、C ,则x=|P 'C|,y=|AP '|,z=|PP '|.如图. (2)空间相等向量的坐标是唯一的;另外,零向量记作。
高中数学选修2-1-双曲线的方程及其性质
双曲线的方程及其性质知识集结知识元双曲线的定义知识讲解1.双曲线的定义【定义】双曲线(Hyperbola)是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹.双曲线是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平面的交截线.双曲线在一定的仿射变换下,也可以看成反比例函数.两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点(focus),定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.【标准方程】①(a,b>0),表示焦点在x轴上的双曲线;②(a,b>0),表示焦点在y轴上的双曲线.【性质】这里的性质以(a,b>0)为例讲解:①焦点为(±c,0),其中c2=a2+b2;②准线方程为:x=±;③离心率e=>1;④渐近线:y=±x;⑤焦半径公式:左焦半径:r=|ex+a|,右焦半径:r=|ex﹣a|.【实例解析】例1:双曲线﹣=1的渐近线方程为解:由﹣=0可得y=±2x,即双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±2x.故答案为:y=±2x.这个小题主要考察了对渐近线的理解,如果实在记不住,可以把那个等号后面的1看成是0,然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线.例2:已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y=0,且过点P(4,3),求双曲线的标准方程解:根据题意,双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,设双曲线方程为﹣y2=λ(λ≠0),∵双曲线过点P(4,3),∴﹣32=λ,即λ=﹣5.∴所求双曲线方程为﹣y2=﹣5,即:﹣=1.一般来说,这是解答题的第一问,常常是根据一些性质求出函数的表达式来,关键是找到a、b、c三者中的两者,最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴,知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了.【考点点评】这里面的两个例题是最基本的,必须要掌握,由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现,难度一般也是相当大的,在这里可以有所取舍,对于基础一般的同学来说,尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的,对于还剩下的部分,尽量多写.例题精讲双曲线的定义例1.'已知点A(-,0),B(,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点,求线段DE的中点坐标及其弦长DE.'例2.'若动点P到两个定点F1(-1,0)、F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(0≤a≤2),试求动点P的轨迹.'例3.'已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2.动圆M与两圆都相切,求动圆圆心M的轨迹方程.'双曲线的标准方程知识讲解1.双曲线的标准方程【知识点的认识】双曲线标准方程的两种形式:(1)(a>0,b>0),焦点在x轴上,焦点坐标为F(±c,0),焦距|F1F2|=2c;(2)(a >0,b >0),焦点在y 轴上,焦点坐标为F (0,±c ),焦距|F 1F 2|=2c .两种形式相同点:形状、大小相同;都有a >0,b >0;c 2=b 2+a 2两种形式不同点:位置不同;焦点坐标不同.标准方程(a >0,b >0)中心在原点,焦点在x 轴上(a >0,b >0)中心在原点,焦点在y 轴上图形顶点(a ,0)和(﹣a ,0)(0,a )和(0,﹣a )对称轴x 轴、y 轴,实轴长2a ,虚轴长2b焦点在实轴上x 轴、y 轴,实轴长2a ,虚轴长2b焦点在实轴上焦点F 1(﹣c ,0),F 2(c ,0)F 1(0,﹣c ),F 2(0,c )焦距|F 1F 2|=2c (c >0)c 2=a 2+b 2|F 1F 2|=2c (c >0)c 2=a 2+b 2离心率e =(e >1)e =(e >1)渐近线即y =±x即y =±x准线x =±y =±例题精讲双曲线的标准方程例1.'求下列双曲线的实轴、虚轴的长,顶点、焦点的坐标和离心率:(1)x 2-8y 2=32;(2)9x 2-y 2=81;(3)x 2-y 2=-4;(4)-=-1.'例2.'已知双曲线=1的离心率e =3,直线y =x +2与双曲线交于A ,B 两点,若OA ⊥OB ,求双曲线的方程.'例3.'双曲线=1(a >0,b >0)过点P (-3,2),过双曲线的右焦点且斜率为的直线与直线x =和x=-(c 2=a 2+b 2)分别相交与点M ,N ,若以|MN |为直径的圆过原点,求此双曲线的方程.'双曲线的性质知识讲解1.双曲线的性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程(a >0,b >0)(a >0,b >0)图形性焦点F 1(﹣c ,0),F 2(c ,0)F 1(0,﹣c ),F 2(0,c )焦距|F 1F 2|=2c |F 1F 2|=2c 范围|x |≥a ,y ∈R|y |≥a ,x ∈R对称关于x 轴,y 轴和原点对称顶点(﹣a ,0).(a ,0)(0,﹣a )(0,a )轴实轴长2a ,虚轴长2b质离心率e =(e>1)准线x =±y =±渐近线±=0±=例题精讲双曲线的性质例1.下列曲线中实轴长为的是()A .B .C .D .例2.双曲线C 的对称轴与坐标轴重合,两个焦点分别为F 1,F 2,虚轴的一个端点为A ,若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形.则双曲线C的离心率为()A .B .C .D .2例3.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率是()A .B .C .或D .或当堂练习单选题练习1.已知F1,F2分别是双曲线C:的左、右焦点,AB是右支上过F2的一条弦,且|AF1|:|AB|=3:4,则C的离心率是()A.B.5C.D.练习2.已知F1为双曲线C:=1(b>a>0)的左焦点,过F1作一条渐近线的垂线,垂足为A,与另一条渐近线交于点B.若AB的中点为M(1,8),则此双曲线C的离心率为()A.B.2C.D.练习3.双曲线C:=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,C的右支上一点P满足∠F1PF2=60°,若坐标原点O到直线PF1距离是,则C的离心率为()A.B.C.2D.3练习4.设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线的右支交于两点A,B,若|AF1|:|AB|=3:4,|BF2|=3|AF2|,则双曲线C的离心率是()D.5 A.B.C.练习5.已知双曲线的两条渐近线分别为直线l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1,l2于A,B两点,且,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.练习6.F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点,若双曲线上存在点P满足=-a2,则双曲线离心率的取值范围为()A.[,+∞)B.[,+∞)C.(1,]D.(1,]填空题练习1.已知P为双曲线C:-=1(a>0,b>0)右支上的任意一点,经过点P的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A,B两点.若点A,B分别位于第一、四象限,O为坐标原点,当=时,△AOB的面积为2b,则双曲线C的实轴长为__。
高中数学选修2-1、2-2知识点小结
高中数学选修2-1、2-2知识点小结高中数学选修2-1、2-2知识点小结一、函数的概念和性质1. 函数的定义:函数是一个集合,它与另一个集合之间建立了一种特殊的对应关系,其中每一个输入元素对应唯一的输出元素。
2. 函数的性质:a. 定义域和值域:函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。
b. 奇偶性:函数的奇偶性取决于其对称性,奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称。
c. 单调性:函数单调递增或单调递减等取决于导数的符号。
d. 周期性:函数的周期是指输入变量在一个范围内发生改变,输出值也以某种规律重复出现。
e. 增减性:函数增减性是指函数的导数的正负性质,导数大于0时函数增加,导数小于0时函数减少。
二、函数的基本类型1. 幂函数:y = x^a,其中a为常数,a>0时为增函数,a<0时为减函数。
2. 指数函数:y = a^x,其中a为常数,a>1时为增函数,0<a<1时为减函数。
3. 对数函数:y = loga(x),其中a为对数底,a>0且a≠1,a>1时为增函数,0<a<1时为减函数。
4. 三角函数:包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
5. 反三角函数:包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
三、函数的图像与性质1. 函数的图像:通过计算函数的各个点的坐标,可以绘制出函数的图像。
2. 函数的对称性:可以通过判断函数的定义域和图像是否关于某条直线对称来确定函数的对称性。
3. 函数的周期性:可以通过计算函数在一个周期内的取值来确定函数的周期。
4. 函数的最值:可以通过计算函数的导数来确定函数的最值点。
四、函数的运算1. 函数的四则运算:可以通过加减乘除四则运算来得到新的函数。
2. 函数的复合:可以将多个函数合并成一个新函数,合并后的函数相当于依次将原函数的输出作为下一个函数的输入。
五、函数的导数1. 导数的定义:函数f(x)在点x处的导数定义为:f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h,表示函数的变化速率。
高中数学选修2-1-椭圆的方程及其性质
椭圆的方程及其性质知识集结知识元椭圆的定义知识讲解1.椭圆的定义【知识点的认识】1.椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆,其中,这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距.2.椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e=(0<e<1,其中a是半长轴,c是半焦距)的点的轨迹叫做椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫椭圆的准线,常数e 叫椭圆的离心率.3.注意要点椭圆第一定义中,椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|=2a}.(1)当2a>|F1F2|时,动点P的轨迹是椭圆;(2)当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是线段F1F2;(3)当2a<|F1F2|时,动点P没有运动轨迹.【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹,需注意椭圆定义中的限制条件:只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a>|F1F2|时,其轨迹才为椭圆.1.根据定义判断动点轨迹例:如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆分析:根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出|MP|=|PF|,进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹.解答:由题意知,CD是线段MF的垂直平分线.∴|MP|=|PF|,∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值),又显然|MO|>|FO|,∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.故选A点评:本题主要考查了椭圆的定义的应用.考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用.2.与定义有关的计算例:已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为,则点P到右准线的距离为()A.2B.2C.5D.3分析:先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离,再用第二定义求出点P到右准线的距离d.解答:由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣=,离心率e=,再由椭圆的第二定义得=e=,∴点P到右准线的距离d=5,故选C.点评:本题考查椭圆的第一定义和第二定义,以及椭圆的简单性质.例题精讲椭圆的定义例1.'点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x=的距离的比是常数,求M的轨迹.'例2.'已知P为⊙B:(x+2)2+y2=36上一动点,点A(2,0),线段AP垂直平分线交直线BP于点Q,求点Q的轨迹方程.'例3.'已知△ABC 的周长等于18,B 、C 两点坐标分别为(0,4),(0,-4),求A 点的轨迹方程.'椭圆的标准方程知识讲解1.椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式:(1)(a >b >0),焦点在x 轴上,焦点坐标为F (±c ,0),焦距|F 1F 2|=2c ;(2)(a >b >0),焦点在y 轴上,焦点坐标为F (0,±c ),焦距|F 1F 2|=2c .两种形式相同点:形状、大小相同;都有a >b >0;a 2=b 2+c 2两种形式不同点:位置不同;焦点坐标不同.标准方程(a >b >0)中心在原点,焦点在x 轴上(a >b >0)中心在原点,焦点在y 轴上图形顶点A(a ,0),A ′(﹣a ,0)B (0,b ),B ′(0,﹣b )A (b ,0),A ′(﹣b ,0)B (0,a ),B ′(0,﹣a )对称轴x 轴、y 轴,长轴长2a ,短轴长2b焦点在长轴长上x 轴、y 轴,长轴长2a ,短轴长2b焦点在长轴长上焦点F 1(﹣c ,0),F 2(c ,0)F 1(0,﹣c ),F 2(0,c )焦距|F 1F 2|=2c (c >0)c 2=a 2﹣b 2|F 1F 2|=2c (c >0)c 2=a 2﹣b 2离心率e =(0<e <1)e =(0<e <1)准线x =±y =±例题精讲椭圆的标准方程例1.'已知椭圆的焦点在x 轴上,长轴长为12,离心率为,求椭圆的标准方程.'例2.'写出适合下列条件的曲线方程:(1)求椭圆的标准方程.(2)已知双曲线两个焦点分别为F 1(-5,0),F 2(5,0),双曲线上一点P 到F 1,F 2距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.'例3.'若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程.'椭圆的性质知识讲解1.椭圆的性质【知识点的认识】1.椭圆的范围2.椭圆的对称性3.椭圆的顶点顶点:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.顶点坐标(如上图):A1(﹣a,0),A2(a,0),B1(0,﹣b),B2(0,b)其中,线段A1A2,B1B2分别为椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.椭圆的离心率①离心率:椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即:e=,且0<e<1.②离心率的意义:刻画椭圆的扁平程度,如下面两个椭圆的扁平程度不一样:e越大越接近1,椭圆越扁平,相反,e越小越接近0,椭圆越圆.当且仅当a=b时,c=0,椭圆变为圆,方程为x2+y2=a2.5.椭圆中的关系:a2=b2+c2.例题精讲椭圆的性质例1.'求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程:(1)椭圆的焦点在y轴上,焦距为4,且经过点A(3,2);(2)双曲线的焦点在x轴上,右焦点为F,过F作重直于x轴的直线交双曲线于A,B两点,且|AB|=3,离心率为.'例2.'已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1:4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点,且椭圆C过点A(2,-3).(1)求椭圆C的方程;(2)若PQ是椭圆C的弦,O是坐标原点,OP⊥OQ,已知直线OP的斜率为,求点Q的坐标.'例3.'如图,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)若M点为右准线上一点,B为左顶点,连接BM交椭圆于N,求的取值范围;(3)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A)证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.'当堂练习解答题练习1.'已知椭圆的中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若,求k的值;(Ⅲ)求四边形AEBF面积的最大值.'练习2.'椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),点P(1,)在椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上另一点M满足△ABM的重心为坐标原点O,求△ABM的面积.'练习3.'已知P是右焦点为F的椭圆Γ:上一动点,若|PF|的最小值为1,椭圆的离心率为.(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;(Ⅱ)当PF⊥x轴且点P在x轴上方时,设直线l与椭圆Γ交于不同的两点M,N,若PF平分∠MPN,则直线l的斜率是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.'练习4.'己知椭圆的一个顶点坐标为(2,0),离心率为,直线y=x+m 交椭圆于不同的两点A,B.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)设点C(1,1),当△ABC的面积为1时,求实数m的值.'练习5.'已知椭圆Γ:,B1,B2分别是椭圆短轴的上下两个端点,F1是椭圆的左焦点,P是椭圆上异于点B1,B2的点,若△B1F1B2的边长为4的等边三角形.(1)写出椭圆的标准方程;(2)当直线PB1的一个方向向量是(1,1)时,求以PB1为直径的圆的标准方程;(3)设点R满足:RB1⊥PB1,RB2⊥PB2,求证:△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值.'练习6.'已知曲线Γ:=1的左、右顶点分别为A,B,设P是曲线Γ上的任意一点.(1)当P异于A,B时,记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1∙k2是定值;(2)设点C满足=λ(λ>0),且|PC|的最大值为7,求λ的值.'练习7.'已知椭圆C:的左、右焦点分别是E、F,离心率,过点F的直线交椭圆C于A、B两点,△ABE的周长为16.(1)求椭圆C的方程;(2)已知O为原点,圆D:(x-3)2+y2=r2(r>0)与椭圆C交于M、N两点,点P为椭圆C 上一动点,若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点,求证:|OG|∙|OH|为定值.'练习8.'已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)问:是否存在过点M(0,2)的直线l,使以直线l被椭圆E所截得的弦CD为直径的圆过点N(-1,0),若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.'练习9.'已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,直线l:y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N,A为椭圆C的左顶点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当△AMN的面积为时,求1的方程.'练习10.'求与双曲线-=1有相同的焦点,且过点M(2,1)的椭圆的方程.'练习11.'求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在x轴上,a=6,e=;(2)焦点在y轴上,c=3,e=.'练习12.'已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4(-1),求椭圆方程.'。
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_抛物线的方程与性质_基础
人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型(常考知识点)巩固练习抛物线的方程与性质【学习目标】1.掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2.理解抛物线的简单性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线.要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图,以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p >0),那么焦点F 的坐标为(,0)2p ,准线l 的方程为2p x =-. 设点M (x,y )是抛物线上任意一点,点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义,抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简,得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上,坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式:根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =,22y px =-,22x py =,22x py =-(0)p >。
要点诠释:①只有当抛物线的顶点是原点,对称轴是坐标轴时,才能得到抛物线的标准方程;②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上,且开口方向与一次项的系数的正负一致,比如抛物线220x y =-的一次项为20y -,故其焦点在y 轴上,且开口向负方向(向下)③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍,比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-,故其焦点坐标是(0,5)-。
高中数学知识点总结(选修2-1)
高中数学知识点总结—数学选修2-1第一章:命题与逻辑结构1.命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.2.“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论.3.对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题。
若原命题为“若p ,则q ”,它的逆命题为“若q ,则p ”.4.对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若p ⌝,则q ⌝”.5.对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若q ⌝,则p ⌝”。
6.四种命题的真假性:原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系:()1两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;()2两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.7.若p q ⇒,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.若p q ⇔,则p 是q 的充要条件(充分必要条件).8.用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∧.当p 、q 都是真命题时,p q ∧是真命题;当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时,p q ∧是假命题.用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∨.当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时,p q ∨是真命题;当p 、q 两个命题都是假命题时,p q ∨是假命题.对一个命题p 全盘否定,得到一个新命题,记作p ⌝.若p 是真命题,则p ⌝必是假命题;若p 是假命题,则p ⌝必是真命题.9.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“∀”表示.含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M 中任意一个x ,有()p x 成立”,记作“x ∀∈M ,()p x ”.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“∃”表示.含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在M 中的一个x ,使()p x 成立”,记作“x ∃∈M ,()p x ”.10.全称命题p :x ∀∈M ,()p x ,它的否定p ⌝:x ∃∈M ,()p x ⌝。
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高二数学选修2-1知识点第一章1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句.2、“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论.3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ,则q ”,它的逆命题为“若q ,则p ”.4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若p ⌝,则q ⌝”.5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若q ⌝,则p ⌝”. 6、四种命题的真假性:四种命题的真假性之间的关系:()1两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;()2两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.7、若p q ⇒,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p q ⇔,则p 是q 的充要条件(充分必要条件).8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∧.原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假假假假当p 、q 都是真命题时,p q ∧是真命题;当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时,p q ∧是假命题.用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∨. 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时,p q ∨是真命题;当p 、q 两个命题都是假命题时,p q ∨是假命题.对一个命题p 全盘否定,得到一个新命题,记作p ⌝.若p 是真命题,则p ⌝必是假命题;若p 是假命题,则p ⌝必是真命题. 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“∀”表示.含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M 中任意一个x ,有()p x 成立”,记作“x ∀∈M ,()p x ”. 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“∃”表示. 含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在M 中的一个x ,使()p x 成立”,记作“x ∃∈M ,()p x ”. 10、全称命题p :x ∀∈M ,()p x ,它的否定p ⌝:x ∃∈M ,()p x ⌝.全称命题的否定是特称命题. 第二章11、平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 12、椭圆的几何性质: 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率准线方程2a x c=±2a y c=±13、设M 是椭圆上任一点,点M 到1F 对应准线的距离为1d ,点M 到2F 对应准线的距离为2d ,则1212F F e d d M M ==.14、平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.15、双曲线的几何性质: 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥,y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称,关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>准线方程2a x c=±2a y c=±渐近线方程 b y x a=±a y x b=±16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.17、设M 是双曲线上任一点,点M 到1F 对应准线的距离为1d ,点M 到2F 对应准线的距离为2d ,则1212F F e d d M M ==.18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F 称为抛物线的焦点,定直线l 称为抛物线的准线.19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ,称为抛物线的“通径”,即2p AB =.20、焦半径公式:若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上,焦点为F ,则02p F x P =+; 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上,焦点为F ,则02pF x P =-+;若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上,焦点为F ,则02pF y P =+;若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上,焦点为F ,则02pF y P =-+.21、抛物线的几何性质: 标准方程22y px =()0p > 22y px =-()0p > 22x py =()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴 x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤第三章22、空间向量的概念:()1在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.()2向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.()3向量AB 的大小称为向量的模(或长度),记作AB . ()4模(或长度)为0的向量称为零向量;模为1的向量称为单位向量. ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量,记作a -. ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量.23、空间向量的加法和减法:()1求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则.即:在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ,则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.()2求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:在空间任取一点O ,作a OA =,b OB =,则a b BA =-.24、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量,称为向量的数乘运算.当0λ>时,a λ与a 方向相同;当0λ<时,a λ与a 方向相反;当0λ=时,a λ为零向量,记为0.a λ的长度是a 的长度的λ倍.25、设λ,μ为实数,a ,b 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律.分配律:()a b a b λλλ+=+;结合律:()()a a λμλμ=.26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.27、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量a ,()0b b ≠,//a b 的充要条件是存在实数λ,使a b λ=.28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.29、向量共面定理:空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ,y ,使x y C AP =AB +A ;或对空间任一定点O ,有x y C OP =OA +AB +A ;或若四点P ,A ,B ,C 共面,则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=.30、已知两个非零向量a 和b ,在空间任取一点O ,作a OA =,b OB =,则∠AOB称为向量a ,b 的夹角,记作,a b 〈〉.两个向量夹角的取值范围是:[],0,a b π〈〉∈. 31、对于两个非零向量a 和b ,若,2a b π〈〉=,则向量a ,b 互相垂直,记作a b ⊥.32、已知两个非零向量a 和b ,则cos ,a b a b 〈〉称为a ,b 的数量积,记作a b ⋅.即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉.零向量与任何向量的数量积为0.33、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积. 34、若a ,b 为非零向量,e 为单位向量,则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉;()20a b a b ⊥⇔⋅=;()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向,2a a a ⋅=,a a a =⋅; ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=;()5a b a b ⋅≤.35、向量数乘积的运算律:()1a b b a ⋅=⋅;()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.36、若i ,j ,k 是空间三个两两垂直的向量,则对空间任一向量p ,存在有序实数组{},,x y z ,使得p xi yj zk =++,称xi ,yj ,zk 为向量p 在i ,j ,k 上的分量.37、空间向量基本定理:若三个向量a ,b ,c 不共面,则对空间任一向量p ,存在实数组{},,x y z ,使得p xa yb zc =++.38、若三个向量a ,b ,c 不共面,则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈.这个集合可看作是由向量a ,b ,c 生成的,{},,a b c 称为空间的一个基底,a ,b ,c 称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.39、设1e ,2e ,3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以1e ,2e ,3e 的公共起点O 为原点,分别以1e ,2e ,3e 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O .则对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量p OP =.存在有序实数组{},,x y z ,使得123p xe ye ze =++.把x ,y ,z 称作向量p 在单位正交基底1e ,2e ,3e 下的坐标,记作(),,p x y z =.此时,向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z .40、设()111,,a x y z =,()222,,b x y z =,则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++.()2()121212,,a b x x y y z z -=---. ()3()111,,a x y z λλλλ=. ()4121212a b x x y y z z ⋅=++.()5若a 、b 为非零向量,则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=. ()6若0b ≠,则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===. ()721a a a x =⋅=+()821cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+.()9()111,,x y z A ,()222,,x y z B =,则(d x AB =AB =41、在空间中,取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示.向量OP 称为点P 的位置向量.42、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定.点A 是直线l 上一点,向量a 表示直线l 的方向向量,则对于直线l 上的任意一点P ,有ta AP =,这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置,还可以具体表示出直线l 上的任意一点.43、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点O ,它们的方向向量分别为a ,b .P 为平面α上任意一点,存在有序实数对(),x y ,使得xa yb OP =+,这样点O 与向量a ,b 就确定了平面α的位置. 44、直线l 垂直α,取直线l 的方向向量a ,则向量a 称为平面α的法向量. 45、若空间不重合两条直线a ,b 的方向向量分别为a ,b ,则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈,0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=.46、若直线a 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,且a α⊄,则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=,//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=.47、若空间不重合的两个平面α,β的法向量分别为a ,b ,则////a b αβ⇔⇔a b λ=,0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.48、设异面直线a ,b 的夹角为θ,方向向量为a ,b ,其夹角为ϕ,则有cos cos a b a bθϕ⋅==.49、设直线l 的方向向量为l ,平面α的法向量为n ,l 与α所成的角为θ,l 与n 的夹角为ϕ,则有sin cos l n l nθϕ⋅==.50、设1n ,2n 是二面角l αβ--的两个面α,β的法向量,则向量1n ,2n 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角l αβ--的平面角为θ,则1212cos n n n n θ⋅=.51、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算.52、在直线l 上找一点P ,过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ,则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=.53、点P 是平面α外一点,A 是平面α内的一定点,n 为平面α的一个法向量,则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=.。