幂函数与二次函数 知识点与题型归纳

1

●高考明方向

1.了解幂函数的概念．

2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1

x ，y ＝x 12 的图象， 了解它们的变化情况．

3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．

4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

★备考知考情

1.幂函数、二次函数的图象与性质的应用是高考命题的 热点．

2.常与一元二次不等式、一元二次方程等知识交汇命题， 考查数形结合思想．

3.题型主要以选择题、填空题为主，另外在解答题中 常与导数的应用综合，属中高档题.

一、知识梳理《名师一号》P21 注意：

知识点一 幂函数

1.定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数叫幂函数， 其中x 是自变量，α是常数．

注意：关注定义！

．幂函数的性质

2

结合定义域及奇偶性分析

《名师一号》P22 问题探究问题1

幂函数图象有什么特点？

(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，

2

3

一定不会经过第四象限，

是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点．

特例： 1

1,2,3,,12

α=-的幂函数的图象和性质

图象：

性质：

一般地，对于幂函数y x α=，有如下性质：

(1) 当

0α>时， ① 图象都通过点(0,0),(1,1)；

3=y x

2=y x y x =

1

x -12

x

=

4

② 在[0,)+∞上是增函数，

1α>时曲线下凹；

01α<<时曲线上凸. (2) 当0α<时，

① 图象都通过点(1,1)； ② 在(0,)+∞上是减函数；

③ 在第一象限内，图象向上与y 轴无限接近， 向右与x 轴无限接近.

注意：

幂函数在其他象限的图象可由幂函数的性质 及奇偶性作出。

作出下列函数的图象

（1）4y x = （2）5

y x = （3）14

y x = （4）1

y x -= （5）23

y x -

=

练习:

作出下列函数的图象

（1）13

y x = （2）23

y x =

5

（3）12

y x -

= （4）32

y x =

知识点二 二次函数 1.二次函数的三种形式

一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；

顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式（即两根式）：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， x 1，x 2为f (x )的零点．

⎣⎢⎡4ac －b 2

4a ，＋∞b

6

函数的图象关于x ＝－

b

2a

对称

注意：

抓住开口方向、对称轴、顶点及与坐标轴的交点等分析

《名师一号》P22 问题探究 问题2

如何解决与二次函数有关的不等式恒成立问题？

(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是

⎩

⎨⎧

a >0，

b 2－4a

c <0.

(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是

⎩⎨⎧

a <0，

b 2－4a

c <0.

注意

当题目条件中未说明a ≠0时， 就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．

《名师一号》P22 问题探究 问题3 如何确定二次函数的对称轴？

(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点 x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象

关于x ＝x 1＋x 2

2

对称．

(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，

都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是

函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．

二、例题分析：

（一）幂函数的图像与性质

例1.（1）《名师一号》P22 高频考点例1（1）

幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的

图象是(

)

A B C D

令f(x)＝xα，则4α＝2，

∴α＝

1

2，∴f(x)＝x

1

2

.故图象为C的图象．

答案：C

例1.（2）（补充）函数3

2

22

)1

(

)

(-

-

-

-

=m

m

x

m

m

x

f是幂函数，且当)

,0(+∞

∈

x时是减函数，求实数m

7

8

[解析] 由题意知m 2－m －1＝1， 得m ＝－1或m ＝2，

又由题意知m 2－2m －3<0，得m ＝2.

注意：

1、立足定义：y x α

=叫幂函数，其中x 是自变量， α是常数.

（1） x α

的系数为1 （2）0α=时，1(0)y x =≠ 2、《名师一号》P22 高频考点 例1【规律方法】

(1)幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：

α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降． ②曲线的第一象限的凹凸性： α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸； α<0时，曲线下凸．

练习：温故知新P28 第4题