判断两直线位置关系
两直线的位置关系及距离公式
题中，具有一定的综合性.
一、两条直线的位置关系及判定 平面内两条直线的位置关系有平行、相交、重合三种情
况．
1．利用斜率判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. (1)l1∥l2⇔k1＝k2且 b1≠b2 ； (2)l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 ；
(3)l1与l2重合⇔k1＝k2且 b1＝b2 .
立．
答案：B
(2)(理)由题意知 y′＝2ax－a，故曲线在(0,1)处的切线斜 率为 y′|x＝0＝－a，而直线 2x＋y＋1＝0 的斜率为－2，由条 件得－2×(－a)＝2a＝－1，解得 a＝－12.
答案：B
(文)当 m＝0 时两直线不垂直，故 m≠0，可得两直线斜 率分别为12，－m2 .由12·－m2 ＝－1 得 m＝1.
限，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：由题意知 k≠0，
由yy＝＝k－x－x＋11 得xy＝ ＝kkk＋ － ＋2 111， .
因为交点在第一象限，故kkk＋ －＋2 111＞＞00 答案：C
，解得 k＞1.
3．过点(1,0)且与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程是( )
解析：两直线的斜率分别为 4－a 和－23， 由两直线垂直的充要条件知(4－a)·－23＝－1， 解得 a＝52. 答案：52
5 ． 直 线 2x ＋ 3y － 6 ＝ 0 关 于 点 (1 ， － 1) 对 称 的 直 线 方 程 为 ________________．
解析：设(x，y)为所求直线上任一点，它关于点(1，－1)的 对称点为(2－x，－2－y)，由题意知2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0， 化简得2x＋3y＋8＝0.即为所求直线方程．
7.2 两条直线的位置关系 公开课一等奖课件
唯一解，交点坐标就是方程组 无解 ； 无数个解 .
3.两条直线的夹角 l1到l2的角 定义 l1与l2的夹角
直线l1与l2相交，l1依 l1到l2的角与l2到l1 逆时针 方向旋转到与 的角中不超过的 90° l2重合时所转的角 角
计算公式
k 2 k1 | k 2 k1 | tan 1 tan 2 1 k1k 2 1 k1k 2 (1 k1k 2 0) (1 k1k 2 0)
§7.2
两条直线的位置关系 自主学习
基础知识
要点梳理 1.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为 k1,k2,则有l1∥l2 k1=k2 .特别地，当直线l1、 l2的斜率都不存在时，l1与l2 平行 .
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2
m 1 解析 由已知得l1的斜率k1=1,l2的斜率k2= . 5 ∵l1⊥l2，∴k1·k2=-1. m 1 1 1, m 6. 5
题型分类
题型一
深度剖析
两条直线的平行与垂直
【例1】已知点M（2，2），N（5，-2），点P在 x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标.
（1）∠MOP=∠OPN （O是坐标原点）；
（ C ）
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
当a=1时,直线x+y=0与直线x-y=0垂直成立；
当直线x+y=0与直线x-ay=0垂直时，a=1. 所以“a=1”是“直线x+y=0与直线x-ay=0互相 垂直”的充要条件.
3.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个 端点是A（2，1），则它的另一个端点B的坐标 是
两条直线的位置关系(解析版)
第47讲 两条直线的位置关系一、课程标准1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 二、基础知识回顾 知识梳理1. 斜率存在的两条直线平行与垂直 若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， 则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2； l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2，b 1＝b 2．2. 直线的一般式方程中的平行与垂直条件若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(其中A 1，B 1不同时为0，A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0．3. 两直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． (1)相交⇔方程组有一组解； (2)平行⇔方程组无解； (3)重合⇔方程组有无数组解．4. 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离为d ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2．5. 设点P(x 0，y 0)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，则点P 到直线l 的距离为d ＝||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2．6. 两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为0)之间的距离d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2．三、自主热身、归纳总结1、 若直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则实数m 的值为( )A. 2B. －3C. 2或－3D. －2或－3 【答案】 C【解析】 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或m ＝－3.故选C.2、 若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( )A. －3B. －43 C. 2 D. 3【答案】 D【解析】 直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝23.因为两直线垂直，所以－a 2×23＝－1，即a ＝3.3、直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是( )A .324 B . 2 C . 22D . 1 【答案】A【解析】 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2－122＝324.故选A .4、若三条直线2x ＋y ＋3＝0，2x －y －1＝0和x ＋3ky ＋k ＋1＝0相交于一点，则实数k ＝____． 【答案】110【解析】 由2x ＋y ＋3＝0，2x －y －1＝0两直线交于点(－12，－2)，再将此点代入直线方程x ＋3ky ＋k ＋1＝0中，求得k ＝110.5、若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a)y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝____． 【答案】0或1【解析】 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a)(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.四、例题选讲考点一 两条直线的位置关系例1、已知直线l 1：ax ＋2y ＋3＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1) 当l 1∥l 2时，求实数a 的值； (2) 当l 1⊥l 2时，求实数a 的值．【解析】 (1)(方法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1）解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2.(方法2)∵l 1∥l 2∴⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6解得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)(方法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. (方法2)∵l 1⊥l 2，∴a ＋2(a －1)＝0，解得a ＝23.变式1、（1）（江苏省丹阳高级中学2019届模拟）已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8（2）（浙江绍兴一中2019届模拟）设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】（1）A （2）C【解析】（1）因为l 1∥l 2，所以4－mm ＋2＝－2(m ≠－2)，解得m ＝－8(经检验，l 1与l 2不重合)．因为l 2⊥l 3，所以2×1＋1×n ＝0，即n ＝－2.所以m ＋n ＝－10.（2）当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立；当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C. 变式2、已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 【解析】 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a.若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在且不为0.∵k 2＝1－a ，k 1＝a b ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a)＝－1.(*)又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.(**)由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab ＝1－a ，①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.方法总结：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．考点二 两条直线的交点问题例2 已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－16，12 【解析】 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)．直线y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k(x ＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k 的动直线．因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，所以动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB .因为k PA ＝－16，k PB＝12，所以－16＜k ＜12.变式1、(1)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为__________． 【答案】(1)C (2)5x ＋3y －1＝0【解析】(1)由l 1∥l 3得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若l 1，l 2的交点(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5，且k ≠－10，故选C.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)．由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1，l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1.故直线l 的方程为5x ＋3y －1＝0.变式2、下面三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能构成三角形，求实数m 的取值集合．【解析】 当三条直线交于一点时：由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －4＝0，mx ＋y ＝0，解得l 1和l 2的交点A 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m ，由A在l 3上可得2×44－m －3m×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 4－m ＝4，解得m ＝23或m ＝－1. 至少两条直线平行或重合时：l 1、l 2、l 3至少两条直线斜率相等，当m ＝4时，l 1∥l 2；当m ＝－16时，l 1∥l 3；若l 2∥l 3，则需有m 2＝1－3m ，m 2＝－23不可能．综合(1)、(2)可知，m ＝－1，－16，23，4时，这三条直线不能组成三角形，∴m 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－16，23，4.方法总结：(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R ，且m ≠C )；②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；③过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 考点三、 两直线的距离问题 例3、已知点P(2，－1)．(1)求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．(3)是否存在过点P 且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)过点P 的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见过P(2，－1)垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k(x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得||－2k －1k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过点P 与原点O 距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1.∴k l ＝－1k OP＝2.由直线的点斜式方程得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，最大距离为||－55＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在与原点距离超过5的直线，∴不存在过P 点且与原点距离为6的直线．变式1、(1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝0(2)若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是 5，则m ＋n ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．－1【答案】 (1)A (2)C【解析】 (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线为过点P (2,1)且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x ＋y －5＝0. (2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.变式2、已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点P.(1) 若点A(5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2) 求点A(5，0)到直线l 距离的最大值．【解析】 (1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以P(2，1)．当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2，符合题意；若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y －1＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋1＝0.由已知点A(5，0)到直线l 的距离为3，得|3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝43，此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0. (2) 由(1)可知交点P(2，1)，如图，过P 作任一直线l ， 设d 为点A 到直线l 的距离，则d≤PA(当l ⊥PA 时等号成立)， 所以d max ＝PA ＝（5－2）2＋（0－1）2＝10.方法总结：1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．考点四 直线的对称性例4、(1)已知直线l ：x ＋2y －2＝0.①求直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； ②求直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．(2)光线由点A (－5，3)入射到x 轴上的点B (－2,0)，又反射到y 轴上的点M ，再经y 轴反射，求第二次反射线所在直线l 的方程．【解析】(1)①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x ＋2y －2＝0解得交点P (2,0)．在l 1上取点M (0，－2)， M 关于l 的对称点设为N (a ，b )，则⎩⎨⎧a 2＋2·b －22－2＝0，⎝⎛⎭⎫－12·b ＋2a ＝－1，解得N ⎝⎛⎭⎫125，145，所以kl 2＝145－0125－2＝7， 又直线l 2过点P (2,0)，所以直线l 2的方程为7x －y －14＝0.②直线l 关于点A (1,1)对称的直线和直线l 平行，所以设所求的直线方程为x ＋2y ＋m ＝0.在l 上取点B (0,1)，则点B (0,1)关于点A (1,1)的对称点C (2,1)必在所求的直线上，所以m ＝－4，即所求的直线方程为x ＋2y －4＝0.(2)点A (－5，3)关于x 轴的对称点A ′(－5，－3)在反射光线所在的直线BM 上， 可知l BM ：y ＝33(x ＋2)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，233.又第二次反射线的斜率k ＝k AB ＝－33，所以第二次反射线所在直线l 的方程为y ＝－33x ＋233，即x ＋3y －2＝0.变式、(1)如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是___．(2)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程． 【答案】（1）210 （2）9x －46y ＋102＝0.【解析】 (1)直线AB 的方程为x ＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB 的对称点为D(4，2)，关于y 轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210. (2)在直线m 上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013， ∴M′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0得N(4，3)．又∵直线m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.方法总结：对称性问题有三类：一是点关于点对称；二是点关于线对称；三是线关于线对称；点关于点对称问题比较简单，只要用中点坐标公式即可；点关于线对称要用到两个条件，一是已知点和对称点的连线与已知直线垂直，二是已知点和对称点的中点在已知直线上；线关于线对称问题，一般是在某一条直线上找两个点，求出这两个点关于另一条直线的对称点，然后用两点式求出其方程．通常情况下会用到两直线的交点．五、优化提升与真题演练1、已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 与l 1平行，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．6D ．0或6【答案】C【解析】由直线l 的倾斜角为3π4得l 的斜率为－1，因为直线l 与l 1平行，所以l 1的斜率为－1.又直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，所以l 1的斜率为33－a ，故33－a＝－1，解得a ＝6.2、(多选)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则实数c 的值是( )A ．2B ．－4C ．5D ．－6【答案】AD【解析】 依题意知，63＝a －2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋－22＝21313，解得c ＝2或－6.3、已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－16，12 【解析】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.4、(一题两空)已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________. 【答案】 －1 1【解析】若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1.5、 过点P(0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段恰好被点P 平分，求直线l 的方程．【解析】 设l 1与l 的交点为A(a ，8－2a)，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B(－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A(4，0)在直线l 上，∴直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.6、已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：4x －2y －1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．【解析】：(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋－12＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116， 所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0； 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718. 所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．。
第2节 两直线的位置关系
第2节 两直线的位置关系知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2．特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP | (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0)．(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.1．两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． 2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合．(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在．2．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A.235B.2310 C ．7 D.72 答案 D解析 由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.4．(2021·武汉联考)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 答案 B解析 ∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1， ∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0的方程即为5x ＋2y －1＝0. 将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0， 解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12.∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选B.5．(2020·淮南二模)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0，3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 法一 由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)， 则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.法二 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.考点一 两直线的平行与垂直【例1】已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3， l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇔⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6，可得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1，得a ＝23. 法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.感悟升华 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【训练1】 (1)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)(多选题)(2021·重庆调研)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( ) A ．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3 B ．若l 1∥l 2，则m ＝3 C ．若l 1⊥l 2，则m ＝－12 D ．若l 1⊥l 2，则m ＝12 答案 (1)A (2)BD解析 (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.(2)若直线l 1∥l 2，则3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0即x －y －1＝0，两直线重合，只有m ＝3时两直线平行，A 错误，B 正确；若l 1⊥l 2，则m －2＋3m ＝0，m ＝12，C 错误，D 正确．考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(2021·淮南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12 (2)(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[0，10]解析 (1)联立⎩⎨⎧kx －y ＋2k ＋1＝0，2x ＋y －2＝0，解得x ＝1－2k 2＋k ，y ＝2＋6k 2＋k (k ≠－2)．∵直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限， ∴1－2k 2＋k >0，且2＋6k2＋k >0. 解得－13<k <12.故选D.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10， 所以a 的取值范围是[0，10]．感悟升华 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为对应相等．【训练2】 (1)(多选题)(2020·济宁调研)已知直线l 1：2x ＋3y －1＝0和l 2：4x ＋6y －9＝0，若直线l 到直线l 1的距离与到直线l 2的距离之比为1∶2，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －8＝0B ．4x ＋6y ＋5＝0C ．6x ＋9y －10＝0D ．12x ＋18y －13＝0(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________． 答案 (1)BD (2)5x ＋3y －1＝0解析 (1)设直线l ：4x ＋6y ＋m ＝0，m ≠－2且m ≠－9，直线l 到直线l 1和l 2的距离分别为d 1，d 2，由题知：d 1＝|m ＋2|16＋36，d 2＝|m ＋9|16＋36，因为d 1d 2＝12，所以2|m ＋2|16＋36＝|m ＋9|16＋36，即2|m ＋2|＝|m ＋9|，解得m ＝5或m ＝－133，即直线l 为4x ＋6y ＋5＝0或12x ＋18y －13＝0. (2)先解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53， 于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0. 考点三 对称问题角度1 点关于点对称【例3】过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.感悟升华 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于M (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎨⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . 2．直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．角度2 点关于线对称【例4】一束光线经过点P (2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1，1)，则入射光线所在直线的方程为________． 答案 5x －4y ＋2＝0解析 设点Q (1，1)关于直线l 的对称点为Q ′(x ′，y ′)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ′－1x ′－1＝1，x ′＋12＋y ′＋12＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ′＝－2，y ′＝－2，即Q ′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q ′在入射光线所在的直线上，又k PQ ′＝3－（－2）2－（－2）＝54，∴入射光线所在直线的方程为y －3＝54(x －2)，即5x －4y ＋2＝0.感悟升华 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.2．几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )． (2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )．(3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ，2b －y )．角度3 线关于线对称【例5】 (1)(2021·成都诊断)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x －4y －5＝0C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________． 答案 (1)D (2)x －2y ＋3＝0解析 (1)设所求直线上点的坐标(x ，y )，则关于x 轴的对称点(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－（y －y 0），得⎩⎨⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.感悟升华 求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程．(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程．【训练3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．解(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4，3)．又m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二 设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.活用直线系方程具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．一、相交直线系方程【例1】已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 法一 解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0，2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三 设所求直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.二、平行直线系方程【例2】已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程．解 设直线l 1的方程为x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有12×|－c |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是x －3y ±43＝0. 【例3】已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程．解 法一 设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a＝4，b ＝－3.故l 的方程为x 4－y 3＝1，即3x －4y －12＝0.法二 根据平行直线系方程可设直线l 为3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c 4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为3x －4y －12＝0.三、垂直直线系方程【例4】求经过A (2，1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2，1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.思维升华 直线系方程的常见类型1．过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)；2．平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；3．垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．A级基础巩固一、选择题1．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝() A. 2 B．2－ 2 C.2－1 D.2＋1答案C解析由题意得|a－2＋3|1＋1＝1.解得a＝－1＋2或a＝－1－ 2.∵a>0，∴a＝－1＋ 2.2．已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为() A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7答案D解析过点(0，7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l 的方程为y＝－4x＋7，故选D.3．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为()A．1 B．2 C．2 2 D．23答案B解析由已知两直线垂直可得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b>0，所以ab＝b＋1 b.由基本不等式得b＋1b≥2b·1b＝2，当且仅当b＝1时等号成立，所以(ab)min＝2.故选B.4．坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，85B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－85 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85 答案 A解析 设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，85. 5．(2020·豫西五校联考)过点P (1，2)作直线l ，若点A (2，3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．4x ＋y －6＝0或x ＝1B ．3x ＋2y －7＝0C ．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0D ．3x ＋2y －7＝0或x ＝1答案 C解析 若A ，B 位于直线l 的同侧，则直线l ∥AB .k AB ＝3＋52－4＝－4，∴直线l 的方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；若A ，B 位于直线l 的两侧，则直线l 必经过线段AB 的中点(3，－1)，∴k l ＝2－（－1）1－3＝－32，∴直线l 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0. 综上，直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0，故选C.6．(多选题)(2021·泰安调研)已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，则下列说法正确的是( )A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0，1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等答案 AC解析 对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0，1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在两轴上的截距分别是－1，1，所以不正确．7．(2021·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6B ．a ＝－3，b ＝16C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－13，b ＝－6答案 D解析 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称， 所以直线y ＝ax ＋2上的点(0，2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2，0)在直线y ＝ －3x ＋b 上，所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6，0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13.8．(多选题)(2021·长沙模拟)已知直线l ：3x －y ＋1＝0，则下列结论正确的是( )A ．直线l 的倾斜角是π6B ．若直线m ：x －3y ＋1＝0，则l ⊥mC ．点(3，0)到直线l 的距离是2D ．过(23，2)与直线l 平行的直线方程是3x －y －4＝0答案 CD解析 对于A ，直线l ：3x －y ＋1＝0的斜率k ＝tan θ＝3，故直线l 的倾斜角是π3，故A 错误；对于B ，因为直线m ：x －3y ＋1＝0的斜率k ′＝33，kk ′＝1≠－1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C ，点(3，0)到直线l 的距离d ＝|3·3－0＋1|（3）2＋（－1）2＝2，故C 正确；对于D ，过(23，2)与直线l 平行的直线方程是y －2＝3(x －23)，整理得： 3x －y －4＝0，故D 正确．二、填空题9．(2020·南昌重点中学联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．答案 x ＋2y －3＝0解析 由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.10．直线x －2y －3＝0关于定点M (－2，1)对称的直线方程是________． 答案 x －2y ＋11＝0解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2，1)的对称点(－4－x ，2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.11．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________．答案 2910解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 12．以点A (4，1)，B (1，5)，C (－3，2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．答案 25解析 因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－（－2）－3－0＝－43. k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝（1－4）2＋（5－1）2×（0－4）2＋（－2－1）2＝25.B 级 能力提升13．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝3x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝－x 2＋52答案 C解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A ″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A ′，A ″均在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.故选C.14．(多选题)(2021·南京调研)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是( )A ．不论a 为何值，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是2答案 ABD解析 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2都互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确；对于C ，在l 1上任取点(x ，ax ＋1)，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(－ax －1，－x )，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则等式左边不恒等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎨⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1， 所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2，所以|MO |的最大值是2，故D 正确．15．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，若点A (5，0)到直线l 的距离为3，则l 的方程为________．答案 x ＝2或4x －3y －5＝0解析 法一 两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x －2＝0，此时A 到直线l 的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0.由点到线的距离公式得d ＝|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0.综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝2或λ＝12. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.16．已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则|P A |＋|PB |的最小值为________．答案 65解析 设点A 1与A 关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，∴|P 0A 1|＝|P 0A |，|P A 1|＝|P A |.在△A 1PB 中，|P A 1|＋|PB |>|A 1B |＝|A 1P 0|＋|P 0B |＝|P 0A |＋|P 0B |，∴|P A |＋|PB |≥|P 0A |＋|P 0B |＝|A 1B |.当P 点运动到P 0时，|P A |＋|PB |取得最小值|A 1B |.设点A 关于直线l 的对称点为A (x 1，y 1)，则由对称的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4·1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0，3)． ∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A 1B |＝82＋（－1）2＝65.。
两直线位置关系判断方法
两直线位置关系判断方法
两直线位置关系的判断方法有多种，其中一种常见的方法是利用斜率。
如果两条直线都存在斜率，则当斜率不相等时，两直线相交；斜率相等，则可根据两直线在Y轴的截距是否相等判断是平行还是重合：截距相等则重合。
斜率相等时，直线重合也可根据两条直线是否有公共点来确定。
另一种判断方法是利用投影。
在工程制图中，两直线的位置关系一般有以下几种：
1. 平行，其判断依据为两条直线的投影在各投影面上都平行；
2. 相交，其判断依据为两条直线的相交点，在三视图上符合投影规律；
3. 交叉（异面直线），其判断依据为两条直线的相交点，在三视图上不符合投影规律。
以上是判断两直线位置关系的方法，建议查阅数学教材或咨询数学老师以获取更多信息。
两条直线的位置关系讲义
两条直线的位置关系讲义一、知识梳理1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 注意：1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．( ) 题组二：教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋13．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.题组三：易错自纠4．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－35．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．6．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.三、典型例题题型一：两条直线的位置关系典例已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．思维升华：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．题型二：两直线的交点与距离问题1．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是_____．2．若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为___________．思维升华：(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．题型三：对称问题命题点1：点关于点中心对称典例过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．命题点2：点关于直线对称典例如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．3 3 B．6C．210 D．25命题点3：直线关于直线的对称问题典例已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．跟踪训练：已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线．注意：用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解．典例2求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．三、过直线交点的直线系典例3经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为______．四、反馈练习1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定2．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝04．一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．45．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423 B ．42 C.823D ．22 6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)7．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.9．已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________．10．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．13．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)14．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为________．15.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．16．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是______________．。
两条直线的位置关系
命题点 2 点关于直线对称 例 3 如图，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射
到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( )
A．3 3
B．6
C．2 10
D．2 5
解析：直线 AB 的方程为 x＋y＝4，点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关 于 y 轴的对称点为 C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝ 62＋22＝2 10.
6．点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y， －x)．
7．点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b －y)． 8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． 9．点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称 点为(k＋y，x－k)．
答案：－2 2
题组三 易错排查 5．直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则 m 等于( )
A．2
B．－3
C．2 或－3
D．－2 或－3
解析：直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则有m2 ＝m＋3 1≠－42，
故 m＝2 或－3.故选 C.
【思维升华】 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般 情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意 x，y 的系数不能同时为 零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
2015届高考数学总复习第七章 第二节两条直线的位置关系精讲课件 文
a 因为 k2＝1－a，k1＝b，l1⊥l2， a 所以 k1· k2＝－1，即b(1－a)＝－1.①
(3)(2012· 杭州第十四中学月考)若存在直线l平行于直线3x－ky＋ 6＝0，且与直线kx＋y＋1＝0垂直，则实数k＝________.
3＋ m 5－3m 4 解析：(1)依题意，有 2 ＝ ≠ 8 ， m＋5
解得m＝－7(舍去m＝－1)．故选A.
(2)提示：结合正弦定理考虑．
(3)依题意，直线3x－ky＋6＝0与直线kx＋y＋1＝0互相垂
8－0 解析：(1)kAB＝ ＝4， 4－2 1 ∴对应的高线所在的直线斜率为 k＝－4， 1 由点斜式可得高线所在的直线方程为 y－6＝－4(x－0)， 即 x＋4y－24＝0.
8 －6 1 (2)kBC＝ ＝ ，线段 AC 的中点为(1,3)， 4 －0 2 1 ∴所求中位线所在的直线方程为 y－3＝2(x－1)， 即 x－2y＋5＝0.
A．－7
C．－1或－7
B．－1
D.
(2)△ABC的三边a，b，c分别对应角 A，B，C，若lg sin A，lg
sin B，lg sin C成等差数列，则直线l1：xsin2A＋ysin A＝a与直线
l2：xsin2B＋ysin C＝c的位置关系是( A．不垂直的相交 C．垂直相交 ) B．平行 D．重合
又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.②
由①、②联立，解得a＝2，b＝2.
(2)因为l2的斜率存在，l1∥l2， 所以k1＝k2，即 ＝1－a.③ 又坐标原点到这两条直线的距离相等，
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.选择题：设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行； 必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1； 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2，∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7 D.133解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析 若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析 若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0，若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点A (m ＋1，0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4，3)，D (0，5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1 解析 由题意得：k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m－6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m＝12，所以m ＝－2当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0 解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．填空题：已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为_____解析 由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b ＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25(当且仅当b a ＝ab ，即a＝b ＝5时取等号)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________ 解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________解析 由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)，∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1， 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为______ 解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋(－b )2＝|b |(a －1)2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为_______解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析 设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.解答题：已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sinα，要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±22.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程解点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程． 解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)， 又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43， 由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解 依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0， 联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤P A (当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝P A ＝(5－2)2＋(0－1)2＝10.专项能力提升若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值，而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.已知直线l ：y ＝12x －1，(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ； (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．解 (1)设Q (x 0，y 0)，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l 上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－3＝－2，y 0＋42＝12·x 0＋32－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝295，y 0＝－85，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295，－85.(2)在l 上任取一点，如M (0，－1)，则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与l 平行， ∴所求方程为y －7＝12(x －4)，即为x －2y ＋10＝0.。
两直线的位置关系
两直线的位置关系直线是几何学中最简单和基础的图形之一，它在我们的日常生活和各个领域都有广泛的应用。
当两条直线在二维平面上相交时，它们可以有不同的位置关系，比如相交、平行或重合等。
本文将探讨两直线的位置关系，并通过具体例子加以说明。
1. 直线相交当两条直线在二维平面上相交时，它们的交点可以通过求解方程组得到。
两条直线的方程一般为一次函数的形式：y = ax + b假设有两条直线分别为L1和L2，它们的方程分别为y1 = a1x + b1和y2 = a2x + b2。
当a1 ≠ a2时，两线相交于唯一的一点P(x, y)。
此时直线L1和L2在P点处的斜率不相等，它们在该点的切线不重合。
例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 1y = -3x + 5这是一组相交直线的例子。
它们分别代表了斜率为2和-3的直线，它们的交点为P(2, 5)。
2. 直线平行当两条直线的斜率相等但截距不等时，它们是平行的。
在二维平面上，平行的直线永远不会相交。
例如，考虑以下两个方程：y = 3x + 2y = 3x - 4这是一组平行直线的例子。
它们具有相同的斜率3，但截距不同，因此它们永远不会相交。
3. 直线重合当两条直线具有相同的斜率和截距时，它们是重合的。
在二维平面上，重合的直线代表了同一条直线。
例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 3y = 2x + 3这是一组重合直线的例子。
它们具有相同的斜率2和截距3，因此表示同一条直线。
4. 直线相互垂直当两条直线的斜率乘积等于-1时，它们是相互垂直的。
在二维平面上，相互垂直的直线通过它们的交点形成一个直角。
例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 1y = -1/2x + 3这是一组相互垂直的直线的例子。
它们的斜率分别为2和-1/2，它们的斜率乘积为-1，因此它们相互垂直。
总结：通过以上例子，我们可以看出，两条直线的位置关系取决于它们的斜率和截距。
当斜率和截距都相等时，直线重合；当斜率相等但截距不等时，直线平行；当斜率不相等时，直线相交。
高中数学知识点总结(第九章 平面解析几何 第二节 两直线的位置关系)
第二节 两直线的位置关系一、基础知识1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在， 设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0 间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.二、常用结论(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为： ①垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；②平行：Ax ＋By ＋n ＝0. (2)与对称问题相关的四个结论：①点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x,2b －y )．②点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． ③点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ④点(x ，y )关于直线x ＋y ＝k 的对称点为(k －y ，k －x )，关于直线x －y ＝k 的对称点为(k ＋y ，x －k )．考点一 两条直线的位置关系[典例] 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解题技法]1．．由一般式确定两直线位置关系的方法[题组训练]1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为() A．7B．9C．11 D．－7解析：选A由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．(2019·保定五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.考点二距离问题[典例](1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m ＋n＝()A ．0B ．1C ．－2D ．－1[解析] (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线为过点P (2,1)且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x ＋y －5＝0.(2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.[答案] (1)A (2)C[解题技法]1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式． [题组训练]1．已知点P (2，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离不小于25，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|2×2－m ＋3|22＋12≥25，即|m －7|≥10，解得m ≥17或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)2．如果直线l 1：ax ＋(1－b )y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a )x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b )＝0，同理－2(1＋a )＋1＝0，解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，d ＝|－10－0|12＋－22＝2 5.答案：25考点三 对称问题[典例] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)． (1)求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′方程为9x －46y ＋102＝0.[变透练清] 1.变结论在本例条件下，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点， 如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上． 易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 由两点式可得 l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝02．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0[解题技法]1．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ③轨迹法，设对称直线上任一点M (x ，y )，其关于已知点的对称点在已知直线上． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ×x 1＋x 22＋B ×y 1＋y22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[课时跟踪检测]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)， 即2x ＋y －2＝0.2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0和l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或－1.3．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．4．(2018·揭阳一模)若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝( )A.13 B ．－1 C ．－13D ．1解析：选B 直线l 1：x －3y ＋2＝0关于x 轴对称的直线为x ＋3y ＋2＝0.由题意知m ≠0. 因为mx －y ＋b ＝0，即x －y m ＋bm＝0，且直线l 1与l 2关于x 轴对称，所以有⎩⎨⎧－1m＝3，bm ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝－13，b ＝－23，则m ＋b ＝－13＋⎝⎛⎭⎫－23＝－1. 5．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B.54 C ．－65D.56解析：选D 由题意，知⎩⎨⎧3－11＋2·k ＝－1，2＝k ·⎝⎛⎭⎫－12＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝54.∴直线方程为y ＝－32x ＋54，它在x 轴上的截距为－54×⎝⎛⎭⎫－23＝56.故选D. 6．(2019·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|P A |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1,0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2，3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．22C ．3 3D ．42解析：选A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 8．已知点A (1,3)，B (5，－2)，在x 轴上有一点P ，若|AP |－|BP |最大，则P 点坐标为( )A ．(3.4,0)B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(－13,0)解析：选B 作出A 点关于x 轴的对称点A ′(1，－3)，则A ′B 所在直线方程为x －4y －13＝0.令y ＝0得x ＝13，所以点P 的坐标为(13,0)．9．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝010．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－111．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝012．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝013．已知△ABC 的三个顶点是A (1,1)，B (－1,3)，C (3,4)． (1)求BC 边的高所在直线l 1的方程；(2)若直线l 2过C 点，且A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：(1)因为k BC ＝4－33＋1＝14，又直线l 1与BC 垂直，所以直线l 1的斜率k ＝－1k BC ＝－4，所以直线l 1的方程是y ＝－4(x －1)＋1，即4x ＋y －5＝0.(2)因为直线l 2过C 点且A ，B 到直线l 2的距离相等， 所以直线l 2与AB 平行或过AB 的中点M ， 因为k AB ＝3－1－1－1＝－1，所以直线l 2的方程是y ＝－(x －3)＋4，即x ＋y －7＝0. 因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)， 所以k CM ＝4－23－0＝23，所以直线l 2的方程是y ＝23(x －3)＋4，即2x －3y ＋6＝0. 综上，直线l 2的方程是x ＋y －7＝0或2x －3y ＋6＝0.。
直线与直线的位置关系
直线与直线的位置关系一、平面内两条直线的位置关系有三种 、 与1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．二、点到直线的距离、直线与直线的距离1、点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d=；2、两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =。
3、两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离公式是 。
4、两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的中点坐标公式是三、两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数． 四、五种常用的直线系方程.① 过两直线l 1和l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不含l 2). ② 与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b). ③ 过定点(x 0, y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)及x ＝x 0.④ 与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程设为Ax ＋By ＋m ＝0 (m ≠C). ⑤ 与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程设为Bx －Ay ＋C 1＝0 (AB ≠0).练习：1.已知直线01111=++C y B x A l ：，02222=++C y B x A l ：和四个命题：① 21212121//C C B B A A l l ≠=⇔； ② 0212121=+⇔⊥B B A A l l③12121210l C B A ⇔=-+和圆122=+y x 相切； ④ 2222l C B A ⇔=-过定点．其中正确的命题的个数是 ． 2个2. 已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解：由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 答案 353. 两平行线x +y －1=0与2x +2y =3间的距离为424、求过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程． 01032=++y x ．5、直线06:1=++ay x l 与直线023)2(:2=++-a y x a l ，当=a 时，1l ∥2l ；当=a 时，21l l ⊥；当=a 时，1l 与2l 相交；当=a 时，1l 与2l 重合. 6、若直线073=-+y x 和02=--y kx 与x 轴、y 轴正方向所围成的四边形有外接圆，则k 为______. 7、若直线2:1++=k kx y l 与42:2+-=x y l 的交点在第一象限，则k 取值范围是8、求点P(-2，-1)关于直线x+2y-2=0对称的点．解：(1)设对称点Q 坐标为(x ，y)，则9．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 答案：x －y ＋1＝0解：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.10．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝ 345解：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.11．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解：由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4且c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或c ＝－6，所以c ＋2a ＝±1. 答案 ±112、已知l 的倾斜角为43π，且与点)2,1(--的距离为23，则l 的方程为 13.直线l 经过点()21，P 且与两点()32，A 、()54-，B 的距离相等，则l 的方程是答案：0723=-+y x 和064=-+y x14、 已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)，其中a ≠0若△OAB 为直角三角形，则a 与b 的关系是答案：b =a 3或b －a 3－1a＝0解：根据直角三角形的直角的位置求解．若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a＝0. 所以b = a 3或b －a 3－1a ＝015、已知5x ＋12y ＝60，则x y 22+的最小值是 6013解：x y 22+表示直线l ：5x ＋12y ＝60上的动点到原点的距离，其最小值即原点到直线l 的距离 16．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．17、 一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________．解：取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎨⎧a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝5， ∴B (3,5)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)，∴反射光线在经过点B (3，5)和点P (1,4)的直线 上，其直线方程为y －4＝4－51－3×(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0. 【答案】 x －2y ＋7＝018、已知直线l 经过点)1,3(P ，且被两平行直线01:1=++y x l 和06:2=++y x l 截得的线段之长为5，求直线l 的方程. 19．已知直线l 过点P (2,3)，且被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0，l 2：3x ＋4y ＋8＝0截得的线段长为d . (1) 求d 的最小值； (2) 当直线l 与x 轴平行，试求d 的值．解：(1) 因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P 在两条平行直线l 1，l 2外．过P 点作直线l ，使l ⊥l 1，则l ⊥l 2，设垂足分别为G ，H ，则|GH |就是所求的d 的最小值． 由两平行线间的距离公式，得d 的最小值为|GH |＝|8－(－7)|32＋42＝3.(2) 当直线l 与x 轴平行时，l 的方程为y ＝3，设直线l 与直线l 1，l 2分别交于点A (x 1,3)，B (x 2,3)， 则3x 1＋12－7＝0,3x 2＋12＋8＝0，所以3(x 1－x 2)＝15，即x 1－x 2＝5，所以d ＝|AB |＝|x 1－x 2|＝5.20．已知直线l 1：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程． 解法一：因为l 1∥l ，所以l 2∥l ，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)．直线l 1，l 2关于直线l 对称，所以l 1与l ，l 2与l 间的距离相等．由两平行直线间的距离公式得|3－(－1)|2＝|m －(－1)|2，解得m ＝－5或m ＝3(舍去)．所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.法二：由题意知l 1∥l 2，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)．在直线l 1上取点M (0,3)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a ，b )，于是有⎩⎨⎧b －3a×1＝－1，a ＋02－b ＋32－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1，即M ′(4，－1)．把点M ′(4，－1)代入l 2的方程，得m ＝－5， 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.21. 已知A(4，-3)，B(2，-1)和直线l ∶4x+3y-2=0，求一点P 使|PA|=|PB|，且点P 到l 的距离等于2．解 ： 为使|PA|=|PB|，点P 必定在线段AB 的垂直平分线上，又点P 到直线l 的距离为2，所以点P 又在距离l 为2的平行于l 的直线上，求这两条直线的交点即得点P ． 设点P 的坐标为P(a ，b),∵A(4，-3)，B(2，-1)而点P(a ，b)在直线x-y-5=0上，故a-b-5=0 ①又已知点P 到l 的距离为2解 ①，②组成的方程组，作业1、直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直，则m = 2．已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的取值为________．解：因为直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，所以m 1＝－12≠0，解得m ＝－12. 答案 －123．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为 x －2y ＋4＝0解：由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0.4、点)3,2(-A 关于点)1,4(M 的对称点是 ，点A 关于直线012=-+y x 的对称点是 .5、直线12+=x y 关于点)1,2(-对称的直线方程是 ，直线12+=x y 关于直线01=+x 对称的直线方程是 .6. 已知点A (4，1)，B (0，4)，试在直线l ：3x -y -1=0上找一点P ，使|PA |-|PB |的绝对值最大，并求出这个最大值.解： 如图所示，设B 关于l 的对称点为B ′(x ′，y ′)，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='-'0124203314y x x y解得B ′(3，3)，直线AB ′的方程为434131--=--x y 即2x +y -9=0. 由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=-+52,013092y x y x y x 解得，故所求P 点坐标为(2，5)此时||PA |-|PB ||=||PA |-|PB ′||=|AB ′|=52)51()24(22=-+-为所求.7、直线1l 的方程为12+-=x y ，直线2l 与直线1l 关于直线x y =对称，则直线2l 的方程是： 8．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解：(1) ∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0. ① 又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0 ② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2) ∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a 1－a. 故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0， (a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a|，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.9．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解：存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )，⊿AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋ －4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.。
两直线的位置关系
例 3 求经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交 点，并且垂直于直线 3x＋4y－7＝0 的直线方程．
【思路】 (1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直 关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程． (2)因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直， 两条直线的斜 率互为负倒数，所以可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0，将两 条直线的交点坐标代入求出 m 值，就得到所求直线方程．
5 7 ∴交点为(－ ， )． 3 9
∵所求直线与 3x＋4y－7＝0 垂直， 4 ∴所求直线的斜率 k＝ . 3 7 4 5 由点斜式，得 y－ ＝ (x＋ )． 9 3 3 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
方法二 设所求直线的方程为 4x－3y＋m＝0. 5 x＝－3， 将方法一中求得的交点坐标 y＝7. 9 5 7 代入上式得 4· (－ )－3·＋m＝0. 3 9 ∴m＝9.代入所设方程． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
1 2 【答案】 a＝2，垂足坐标为( ，－ )或 a＝－3，垂足坐 2 3 9 2 标为(－ ， ) 17 17
例 2
(2013· 北京东城区)若 O(0,0)，A(4，－1)两点到直线
ax＋a2y＋6＝0 的距离相等，则实数 a＝________.
|4a－a2＋6| 6 2 【解析】 由题意，得 2 4＝ ，即 4 a － a ＋ 2 4 a ＋a a ＋a 6＝± 6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6.检验得 a＝0 不合题意，所 以 a＝－2 或 4 或 6.
(1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，把 l2 的方 程写成 4x＋8y－2＝0. |n＋2| ∴ ＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0.
第二节 两条直线的位置关系【高考文数专题--解析几何】
[一“点”就过]
1．两直线位置关系的判断方法
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不 已知两直线的
相等； 斜率存在
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1
已知两直线的 当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则
斜率不存在 两直线重合
已知两直线的 一般方程
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2 ＋B1B2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论
2．由两条直线平行或垂直求参数的值的解题策略 在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率 不存在的可能性，是否需要分情况讨论； “后想”就是在解题后检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解． [备课札记]
命题点二 两条直线的交点与距离问题(讲练悟通)
[贯通知能]
[典例] (1)若直线l1：3x＋y－3＝0与l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间
得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．
直线AC的方程为
x 5
＋ 3y
＝1，即3x＋5y－15＝0，设与直线AC垂直的直线的方程
为5x－3y＋t＝0，把D(5,3)代入得t＝－25＋9＝－16，即过点D(5,3)且与直线
AC垂直的直线的方程为5x－3y－16＝0.
令y＝0，得x＝156＝3.2，即BM＝3.2 m时，两条小路AC与DM互相垂直．
|C1－C2| d＝ A2＋B2
谨记结论·谨防易错 1．常用的2个结论 (1)2个充要条件 ①两直线平行的条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是： A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． ②两直线垂直的条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是： A1A2＋B1B2＝0.
两条直线的位置关系知识点及题型归纳
知识点精讲
一、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表9-1所示.
两直线方程
平行
垂直
(斜率存在)
(斜率不存在)
或
或 中有一个为0，另一个不存在.
二、三种距离
1．两点间的距离
平面上两点 的距离公式为 .
特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离
简证：首先易知：若直线l关于直线 对称的直线是 ，则经过它们的交点（假定相交）且垂直于 的直线 也是l与 的同，故只证 的情形.
然后把每条直线都平移至过原点O，所得直线分别为 ，且
不妨在直线 上取异于O的点 ，则关于 对称的点为
故 ，所以 ，得证.
变式1 （1）求点P(4,5)关于点M(3,-2)对称的点Q的坐标；
2.已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行，则a=( )
A.1或-3B.-1或3C.1或3D.-1或-3
3.直线y=3x绕原点逆时针旋转 ，再向右平移1个单位，所得直线（ ）
A. B. C. D.
4.设a,b,c分别是 中角A,B,C所对边的边长，则直线 与的 位置关系是（ ）
A. B.6C. D.
变式2 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到点P（如图9-9所示）.若光线QR经过 的重心，则AP等于（ ）
A.2B.1C. D.
有效训练题
1.若直线ax+2y+6=0和直线 垂直，则a的值为（ ）
A. B.0C. 或0D.-3
2．点到直线的距离
点 到直线 的距离
江苏理数 第九章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系
1 4 4 则 ×a×b＝2，得 ab＝4，④ 2 由③④，得 a＝2，b＝2.
[谨记通法] 1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1) 两直线平行 ⇔ 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距 不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．
2．已知直线 3x＋4y－3＝0 与直线 6x＋my＋14＝0 平行，则 它们之间的距离是________．
6 m 14 解析：因为 ＝ ≠ ，所以 m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 3 4 －3 |－3－7| 可化为 3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝ 2 2 ＝2. 3 ＋4 答案：2
2．已知过点 A(－2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x＋y－1 ＝0 为 l2，直线 x＋ny＋1＝0 为 l3.若 l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m ＋n＝________.
4－m 解析：因为 l1∥l2，所以 ＝－2(m≠－2)，解得 m＝ m＋ 2 －8(经检验， l1 与 l2 不重合)， 因为 l2⊥l3， 所以 2×1＋1×n ＝0，解得 n＝－2，所以 m＋n＝－10. 答案：－10
|C1－C2| 2 2 A ＋ B d＝_________
Ax＋By＋C2＝0间距离
[小题体验]
1． (教材习题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l： x－y＋3＝0 的距离 为 1，则 a＝________. |a－2＋3| 解析：由题意知 ＝1，所以|a＋1|＝ 2， 2
又 a>0，所以 a＝ 2－1.答案： 2－1
[小题纠偏]
1．已知直线 l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1 与 l2：(t－1)x＋(2t＋3)y ＋2＝0 互相垂直，则 t 的值为________． 1 解析：①若 l1 的斜率不存在，此时 t＝1，l1 的方程为 x＝ ，l2 的方 3
两条直线的位置关系(含答案)
两直线的位置关系【知识清单】：1．两条直线位置关系的判定（1）易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑． （2）比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．2．两条直线的交点的求法：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B2y ＋C 2＝0的解．3．距离注意：运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错．【考点突破】：考点一 两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)1．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D 由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2，故选D.2．(2016·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2016·绵阳一诊)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A ．95B ．185 C ．2910D ．295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|PQ |的最小值为2910.考点三 对称问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有： 角度一：点关于点的对称问题1．(2016·蚌埠期末)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 为( ) A ．(1,6) B ．(6,1) C ．(1，－6)D ．(－1,6)解析：选D 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧3＋x2＝1，2＋y2＝4，∴x ＝－1，y ＝6，∴M (－1,6)．角度二：点关于线的对称问题2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________． 解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 答案：A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413 角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 角度四：对称问题的应用4．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0[方法归纳]：1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【三维演练】：一抓基础，多练小题做到眼疾手快[小题纠偏]1．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A ．1710B ．175C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d＝|－3－7|32＋42＝2.2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．已知直线(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值为( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2解析：选C 法一：把k ＝1代入已知两条直线，得－2x ＋3y ＋1＝0与－4x －2y ＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等 ，所以两条直线不平行，所以k ≠1，排除A ，B ，D.法二：因已知两条直线平行，所以k ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠3，k －32(k －3)＝4－k －2≠13，解得k ＝3或k ＝5. 3．平行线3x ＋4y －9＝0和6x ＋8y ＋2＝0的距离是( ) A ．85B ．2C ．115D ．75解析：选B 依题意得，所求的距离等于|－18－2|62＋82＝2.4．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D 设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.5．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·大连二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝( ) A ．－7或－1 B ．－7 C ．7或1D ．－1解析：选B 由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a≠5－3a 8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)． 3．(2016·宜春统考)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1， 因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.4．(2015·合肥一模)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( ) A ．x －2y ＋1＝0 B ．x －2y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0.6．(2015·成都检测三)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0， 解得a ＝1. 答案：17．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________． 解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案：－13或－798．(2016·江西八校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________． 解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x＋2y＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′， 则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为 y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A ．24，14B ．2，22C ．2，12D ．22，12解析：选D 依题意得|a －b |＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c ≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，22×12＝12.2．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值． 解：(1)因为l 1∥l 2， 所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0， 所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.【拓展延伸】：1、 设a 、b 、c 分别是ABC ∆中角A 、B 、C 的对边的长，则直线sin y+c=0A x a + 与直线sin y+sinC=0bx B - 的位置关系为2、 在平面直角系xoy 中，已知圆C ：222(62)4560x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,0) .若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为 . 3、（1）如果直线+2y+2=0ax 与直线3y 2=0x -- 平行，则a = . （2）直线1+ay+6=0l x ：与直线2:(2)3y+2=0l a x a -+ 平行，则a = ． （3）已知直线1+2ay 1=0l x -：与直线2:(31)y 1=0l a x a --- 平行，则a = . 4、（1）若直线m +y=0x 与直线+2y+1=0x 互相垂直，则m =（2）直线1+y =0l x a a -：与直线2:(23)y 1=0l ax a ---垂直，则a = ． 5、已知m 为实数，直线1m +y+3=0l x ：与直线2:(3m 2)+my+2=0l x -，则： （1）当12l l 时，m 的值为 ；（2）当12l l ⊥时，m 的值为6、求过点A （2,3），分别满足下列条件的直线的方程：（1）与直线2+y 5=0x -平行 ； （2）与直线2+y 5=0x -垂直7、（1）已知直线l 与直线+3y 5=0m x -：2平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线l 方程.（2）求与直线5+3y 1=0x -垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4的直线方程.8、（1）两条直线13y 15=0l x --：与直线2:3y 6=0l kx --与两坐标轴正向围成的四边形有一个外接圆，则实数k 的值为（2）若点A （-1,1）在直线p y+4=0x q +m:上，且直线m 与直线n :(p 1)y+q=0x -+互相垂直，当p 、q 同号时，求直线m 的方程.。
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l2 : A2 x B2 y C2 0( A2 , B2不同时为0)，
7
练习:
已知直线 l1: (a+2)x+(1－ a)y－3=0, 和直线 l2:(a－1)x+(3+2a)y+2=0互相 垂直，则a的值为＿＿＿ ；
答案：±1
8
例题:
1、A和C取什么值时，直线 Ax－2y－1=0与直线6X－4y+C=0: ① 相交，② 平行， ③ 重合， ④ 垂直
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 A2 B2
l1与l2重合 l1与l2平行 l1与l2相交
4
1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求交点的坐标
l1 : 2 x y 7 0 (1) l 2 : x y 1
答案： （1）A≠3 （2）A＝3,C≠－2
4 4 A 3
9
（3）A＝3,C=－2
例题:
2、已知两条直线 l1: (3+m)x+4y=5－3m, l2: 2x+(5+m)y=8， m为何值时， l1与l2： ① 相交， ② 平行， ③ 垂直
答案： （1）m≠－7且m≠－1 （2）m＝－7
13 3m 3Leabharlann 10小结: 两条直线的位置关系
（1）相交 （2）平行 （3）重合 （4）垂直
11
补充:
1. 直线l的方程是3x+4y－12=0,求直线m方程,使
① l与m平行,且过点(－1,3); ②
l与m平行,且m与坐标轴在第一象限围成的 三角形面积为24. l与m垂直,且m与坐标轴围成的三角形面积为4.
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 无解 l , l 平行 1 2
3
问题2：如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系？
l1 : A1 x B1 y C1 0 A1B1C1 0, A2 B2C2 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
判断两条直线的位置关系
1
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0( A1 , B1不同时为0) l2 : A2 x B2 y C2 0( A2 , B2不同时为0) 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?
2
问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
已知直线l1 , l2的方程分别是 l1 : A1 x B1 y C1 0( A1 , B1不同时为0), 且A1 A2 B1 B2 0, 求证l1 l2
6
l2 : A2 x B2 y C2 0( A2 , B2不同时为0)，
反之也成立
已知直线l1 , l2的方程分别是 l1 : A1 x B1 y C1 0( A1 , B1不同时为0), 且l1 l2,求证：A 1 A2 B1 B2 0
③
12
2、两条直线y=kx+2k+1和x+2y－4=0的交点 在第四象限,则K的取值范围是
13
3.求直线3x+2y-1=0和2x-3y-5=0的交点M的坐 标，并证明方程3x+2y-1+λ(2x-3y-5)=0（λ 为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括 直线2x-3y-5=0）
y
x
o
(1, - 1) M
相交， 交点M (2,3)
l1 : x 3 y 10 0 ( 2) x5 方程组无解，平行 l2 : y 3 l1 : 3 x 5 y 10 0 化成同一个方程，重合 (3) l2 : 9 x 15 y 30 0
5
新课:
两条直线垂直的判定
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探究：
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。 练习：求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.
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