沪教版(上海)数学高二下册-1两条直线的夹角课件_2
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如何根据两条直线的方程两条直线的夹角?
y
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
O
x
图1
探索1：两条直线的夹角与倾斜角 有怎样的关系？
情况1：
y
1 2
情况2：
(1 2 )
y
=
O
2
1 x
O
2
1
x
l1
l1
图12
图1
l2
l2
tan tan(1 2)
=
tan1 tan2 k1 k2 1 tan1 tan2 1 k1 k2
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
探索2：两条直线的夹角与方向向 量有怎样的关系？
情况1： y
情况2：
y
O
x
图1
O
x
图2
设 l1 与 l2的一方向向量分别 为d1 与d 2 ，其夹角为，则 不论 还是 均有
.
cos | cos || d1 d2 |
| a1a2 b1b2 |
所在直线 l3 的方程.
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
小结： 1．本节课我们用两种方法推导出两条直 线的夹角公式，采用的都是将未知转化为 已知的思想方法； 2．在运用两条直线的夹角公式时应注意 公式成立的条件. 3．进一步讨论了求直线方程的方法：运 用待定系数法时，可设直线方程为点法向 式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时， 需要分类讨论.并注意数形结合 .
例2：已知直线 l 经过 P(2, 3) ,
求且该和直直线线的l0方: x程
3y 2 0 的夹角为
3
,
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
思考：光线沿直线l1 : 2x y 2 0, 照射到 直线 l2 : x 2y 2 0 上后反射 ,求反射线
（2）直线 l1 : 3x 4y 12 0和 l2 : x 3 的夹角是————
（3）直线
l1 :
x 2
y
2 3
的夹角是————
和 l2 : y x 4 0
Biblioteka Baidu
注意：在使用两条直线的夹角的余弦公式 时，应先将直线方程化成一般式。
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
两条直线的夹角的概念
规定两条相交直线所成的锐角或直角为两 条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，规定它们的夹 角为0.
两条直线的夹角的取值范围是
0,
2
注:两条直线的夹角与倾斜角、两个 向量所成角范围的比较
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
两条直线的夹角公式的推导
设 l1 : a1x b1y c1 0(a1,b1不全为0） l2 : a2x b2 y c2 0(a2,b2不全为0）
a1a2 b1b2 0
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
思考：当 k1k2 1时，这两条直线的夹 角是多少呢？
小练习：若直线 6x (a 1) y 8 0
与 (a 4)x (a 6) y 16 0 互相垂直，则实数的值为 _______
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
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沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2 沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
谢谢！
引例：判断下列各组直线的位置关系。
（1） l1 : 3x y 2 0
l2 : 2x y 3 0
（2） l1 : 3x 4 y 12 0
l2 : x 3
（3） l1 : 3x 4 y 12 0 l2 : 6x 8y 5 0
思考：前面（1）（2）中，当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？
| d1 | | d2 |
a12 b12 a2 2 b2 2
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
两条直线的夹角公式
(1)cos =
a1a2 b1b2
a12 b12 a22 b22
(2)tan k1 k2
1 k1k2
注
意: (1)公式使用的条件
(2)两条直线垂直的充要条件是
思考：当 k1k2 1时，这两条直线的夹 角是多少呢？
k1k2 1
是两条直线垂直的充分非必要条件
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
例1： （1）直线 l1 :3x y 2 0
的夹角是————
和 l2 : 2x y 3 0
沪教版（上海）数学高二下册-1两条 直线的 夹角课 件_2
练习：
• 若直线：6x (a 1) y 8 0 与：(a 4)x (a 6)y 16 0 互相垂直，则实数a的值为_______
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y
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O
x
图1
探索1：两条直线的夹角与倾斜角 有怎样的关系？
情况1：
y
1 2
情况2：
(1 2 )
y
=
O
2
1 x
O
2
1
x
l1
l1
图12
图1
l2
l2
tan tan(1 2)
=
tan1 tan2 k1 k2 1 tan1 tan2 1 k1 k2
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探索2：两条直线的夹角与方向向 量有怎样的关系？
情况1： y
情况2：
y
O
x
图1
O
x
图2
设 l1 与 l2的一方向向量分别 为d1 与d 2 ，其夹角为，则 不论 还是 均有
.
cos | cos || d1 d2 |
| a1a2 b1b2 |
所在直线 l3 的方程.
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小结： 1．本节课我们用两种方法推导出两条直 线的夹角公式，采用的都是将未知转化为 已知的思想方法； 2．在运用两条直线的夹角公式时应注意 公式成立的条件. 3．进一步讨论了求直线方程的方法：运 用待定系数法时，可设直线方程为点法向 式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时， 需要分类讨论.并注意数形结合 .
例2：已知直线 l 经过 P(2, 3) ,
求且该和直直线线的l0方: x程
3y 2 0 的夹角为
3
,
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思考：光线沿直线l1 : 2x y 2 0, 照射到 直线 l2 : x 2y 2 0 上后反射 ,求反射线
（2）直线 l1 : 3x 4y 12 0和 l2 : x 3 的夹角是————
（3）直线
l1 :
x 2
y
2 3
的夹角是————
和 l2 : y x 4 0
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注意：在使用两条直线的夹角的余弦公式 时，应先将直线方程化成一般式。
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两条直线的夹角的概念
规定两条相交直线所成的锐角或直角为两 条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，规定它们的夹 角为0.
两条直线的夹角的取值范围是
0,
2
注:两条直线的夹角与倾斜角、两个 向量所成角范围的比较
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两条直线的夹角公式的推导
设 l1 : a1x b1y c1 0(a1,b1不全为0） l2 : a2x b2 y c2 0(a2,b2不全为0）
a1a2 b1b2 0
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思考：当 k1k2 1时，这两条直线的夹 角是多少呢？
小练习：若直线 6x (a 1) y 8 0
与 (a 4)x (a 6) y 16 0 互相垂直，则实数的值为 _______
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谢谢！
引例：判断下列各组直线的位置关系。
（1） l1 : 3x y 2 0
l2 : 2x y 3 0
（2） l1 : 3x 4 y 12 0
l2 : x 3
（3） l1 : 3x 4 y 12 0 l2 : 6x 8y 5 0
思考：前面（1）（2）中，当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？
| d1 | | d2 |
a12 b12 a2 2 b2 2
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两条直线的夹角公式
(1)cos =
a1a2 b1b2
a12 b12 a22 b22
(2)tan k1 k2
1 k1k2
注
意: (1)公式使用的条件
(2)两条直线垂直的充要条件是
思考：当 k1k2 1时，这两条直线的夹 角是多少呢？
k1k2 1
是两条直线垂直的充分非必要条件
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例1： （1）直线 l1 :3x y 2 0
的夹角是————
和 l2 : 2x y 3 0
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练习：
• 若直线：6x (a 1) y 8 0 与：(a 4)x (a 6)y 16 0 互相垂直，则实数a的值为_______
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