江苏省淮阴中学高一数学下学期期末考试试题
江苏省淮安市2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析)
江苏省淮安市2021-2022高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1.l ：20x y -=的斜率为 A. ﹣2 B. 2C.12D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率. 【详解】由题得直线的方程为y=2x, 所以直线的斜率为2. 故选：B【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.△ABC 中，若A ＋C ＝3B ，则cosB 的值为B.12C. 12-D.2【答案】D 【解析】 【分析】先求出B ，再求cosB.【详解】由题得3,4B B B ππ-=∴=,所以cos B =. 故选：D【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.l ：2360x y +-=与两坐标轴所围成的三角形的面积为A. 6B. 1C.52D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解. 【详解】当x=0时，y=2, 当y=0时，x=3, 所以三角形的面积为123=32⋅⋅. 故选：D【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.区间[0，5]上任意取一个实数x ，则满足x ∈[0，1]的概率为 A.15B.45C.56D.14【答案】A 【解析】 【分析】利用几何概型求解即可.【详解】由几何概型的概率公式得满足x ∈[0，1]的概率为10155-=. 故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.组数据1x ，2x ，…，n x 的平均值为3，则12x ，22x ，…，2n x 的平均值为A. 3B. 6C. 5D. 2【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平均数的公式求解. 【详解】由题得12+++3n x x x n =，所以12x ，22x ，…，2n x 的平均值为12122222()236nn x x x x x x nnnn++++++⋅===. 故选：B 【点睛】本题主要考查平均数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形【答案】C 【解析】 【分析】先求最大角的余弦，再得到三角形是钝角三角形.【详解】设最大角为α， 所以25+366431cos ==02566020α--=-<⋅⋅，所以三角形是钝角三角形. 故选：C 【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.一个正四棱锥的底面边长为2A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【分析】先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积.，所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选：B【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A. 2430x y -+= B. 430x y -+= C. 2430x y ++= D. 2410x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程.【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线l 过定点P 112（，）.当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得2112,1202CP l k k -==-∴=-, 所以112,24m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1中点为M ，BC 中点为N ，∠ABC＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为 A. 1 B. 45-C. 34-D. 0【答案】D 【解析】 【分析】先找到直线异面直线AB 1与MN 所成角为∠1AB C ,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】由题得1||MN B C ,所以∠1AB C 就是异面直线AB 1与MN 所成角或补角.由题得AC ==11AB BC =12AB C π∴∠=，,所以异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为0. 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.直角坐标系xOy 中，已知点P(2﹣t ，2t ﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l ：0ax by +=．若对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值，则点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为 A. (0，2) B. (2，3)C. (25，115) D. (25，3) 【答案】C【分析】先求出点P 的轨迹和直线l 的方程，再求点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标.【详解】设点P(x,y),所以2,22022x tx y y t =-⎧∴+-=⎨=-⎩所以点P 的轨迹方程为2x+y-2=0.对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值， 所以直线l 的方程为2x+y=0.设点点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为00,)x y （， 所以00000012(2)125,112120522y x x x y y -⎧⎧⋅-=-=⎪⎪+⎪⎪∴⎨⎨-+⎪⎪=⋅+=⎪⎪⎩⎩.故选：C【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共计36分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 11.1:0l x y +=， 2:10l ax y ++=，若12l l //，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题得1110a ⨯-⨯=，解方程即得a 的值. 【详解】由题得1110a ⨯-⨯=，解之得a =1. 当a =1时两直线平行. 故答案为：112.高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．【解析】 【分析】由题得高一学生数为600301500⨯，计算即得解. 【详解】由题得高一学生数为60030=121500⨯. 故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C++++= ．【答案】2 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin sin a b cA B C++++=3260=考点：本题考查了正弦定理的运用点评：熟练运用正弦定理及变形是解决此类问题的关键，属基础题14.236，则这个长方体的体积为______. 6. 【解析】 【分析】利用三个面的面积构造出方程组，三式相乘即可求得三条棱的乘积，从而求得体积. 【详解】设长方体中同顶点的三条棱的长分别为,,a b c则可设：236ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，三式相乘可知()26abc =∴长方体的体积：6V abc ==本题正确结果：6【点睛】本题考查长方体体积的求解问题，属于基础题.15.圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两点到坐标原点的距离为1，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】【解析】因为圆（x-a ）2+（y-a ）2=8和圆x 2+y 2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，可知结论为16.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由acosB ＝5bcosA 得22223a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】由acosB ＝5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=， 所以222,33c c c =∴=. 故答案：3【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共5小题，共计74分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知三点A(5，0)，B(﹣3，﹣2)，C(0，2)．（1）求直线AB的方程；（2）求BC的中点到直线AB的距离．【答案】(1)x-4y-5=0；（2）1317 34.【解析】【分析】(1)利用直线的点斜式方程求直线AB的方程；（2）利用点到直线的距离求BC的中点到直线AB 的距离．【详解】（1）由题得201354ABk--==--,所以直线AB的方程为10(5),4504y x x y-=-∴--=.(2)由题得BC的中点为3,0)2（-，所以BC中点到直线AB223|5|13217341+4--=.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在△ABC中，B＝30°，D是BC边上一点，AD＝42，CD＝7，AC＝5．（1）求∠ADC的大小；（2）求AB的长．【答案】（1）04528；（）【解析】 【分析】(1)利用余弦定理求∠ADC 的大小；（2）利用正弦定理求AB 的长． 【详解】（1）由余弦定理得02cos ,4522427ADC ADC ∠==∴∠=⋅⋅. （2）由题得∠ADB=0135,由正弦定理得0042,8sin 30sin135ABAB =∴=. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.甲乙两名篮球运动员分别在各自不同的5场比赛所得篮板球数的茎叶图如图所示，已知两名运动员在各自5场比赛所得平均篮板球数均为10．（1）求x ，y 的值；（2）求甲乙所得篮板球数的方差2S 甲和2S 乙，并指出哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）教练员要对甲乙两名运动员篮板球的整体水平进行评估．现在甲乙各自的5场比赛中各选一场进行评估，则两名运动员所得篮板球之和小于18的概率． 【答案】（1）x=2,y=9;(2)2226==25S S 甲乙，，乙更稳定；（3）15. 【解析】 【分析】(1)利用平均数求出x,y 值；（2）求出甲乙所得篮板球数的方差2S 甲和2S 乙，判断哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）利用古典概型的概率求两名运动员所得篮板球之和小于18的概率． 【详解】（1）由题得8+7+30+3050,2x x ++=∴=，83001250,9y y +++++=∴=.(2)由题得222222126=[(810)(710)(1310)(1210)(1010)]55S -+-+-+-+-=甲， 222222110=[(810)(910)(1110)(1210)(1010)]=255S -+-+-+-+-=乙. 因为2625<，所以乙运动员的水平更稳定. (3)由题得所有的基本事件有（8,8），（8,9），（8,10），（8,11），（8,12），（7,8），（7,9），（7,10），（7,11），（7,12），（10,8），（10,9），（10,10），（10,11），（10,12），（12，8），（12,9），（12,10），（12,11），（12,12），（13,8），（13,9），（13,10），（13,11），（13,12）.共25个.两名运动员所得篮板球之和小于18的基本事件有（8,8），（8,9），（7,8），（7,9），（7,10），共5个,由古典概型的概率公式得两名运动员所得篮板球之和小于18的概率为51=255. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和方差的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在三棱锥P —ABC 中，△PBC 为等边三角形，点O 为BC 的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC ．（1）求直线PB 和平面ABC 所成的角的大小；（2）求证：平面PAC⊥平面PBC ；（3）已知E 为PO 的中点，F 是AB 上的点，AF ＝λAB ．若EF∥平面PAC ，求λ的值．【答案】（1）060；（2）证明见解析；（3）13λ=【解析】【分析】（1）先找到直线PB 与平面ABC 所成的角为PBO ∠,再求其大小；（2）先证明PO AC ⊥, 再证明平面PAC⊥平面PBC ；（3）取CO 的中点G,连接EG,过点G 作FG||AC,再求出λ的值.【详解】（1）因平面PBC⊥平面ABC ，PO⊥BC, 平面PBC∩平面ABC=BC,PO PBC ⊂平面, 所以PO ⊥平面ABC,所以直线PB 与平面ABC 所成的角为PBO ∠,因为0=60PBO ∠，所以直线PB 与平面ABC 所成的角为060.(2)因为PO ⊥平面ABC,所以PO AC ⊥,因为AC ⊥PB ，,,PO PB PBC POPB P ⊂=平面,所以AC ⊥平面PBC,因为AC ⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC. (3)取CO 的中点G,连接EG,过点G 作FG||AC,由题得EG||PC,所以EG||平面APC,因为FG||AC ，所以FG||平面PAC,EG,FG ⊂平面EFO,EG ∩FG=G,所以平面EFO||平面PAC,因为EF ⊂平面EFO,所以EF||平面PAC.此时AF=11,33AB λ∴=. 【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查线面角的求法，考查空间几何中的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如图，圆C 与x 轴相切于点T(2，0)，与y 轴的正半轴相交于A ，B 两点（A 在B 的上方），且AB ＝3．（1）求圆C 的方程；（2）直线BT 上是否存在点P 满足PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如果圆C 上存在E ，F 两点，使得射线AB 平分∠EAF，求证：直线EF 的斜率为定值．【答案】（1）225252)()24x y -+-=（；（2）点P 坐标为1151236（，）或（，）.（3）见解析. 【解析】【分析】（1）求出圆C 的半径为52，即得圆C 的方程；（2）先求出直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),根据PA 2＋PB 2＋PT 2＝12 求出点P 的坐标；（3）由题得ECB BCF ∠=∠,即EF ⊥BC,再求EF 的斜率.【详解】（1）由题得223252+=24（），所以圆C 的半径为52.所以圆C 的方程为225252)()24x y -+-=（. (2)在225252)()24x y -+-=（中，令x=0,则y=1或y=4. 所以A(0,4),B(0,1).所以直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),因为PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，所以22222222)(4)22)(1)222)(0)12y y y y y y -+-+-+-+--+-=（（（, 由题得21526130y y -+=因为2=26415136767800∆-⋅⋅=-<,所以方程无解.所以不存在这样的点P.(3)由题得,EAB BAF ECB BCF ∠=∠∴∠=∠, 所以512,1,120EF BC EF BC EF k k k -⊥∴⋅=-∴⋅=--， 所以43EF k =-. 所以直线EF 的斜率为定值．【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
江苏省淮安市高一(下)期末数学试卷含解析
江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．5．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是．9．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=．11．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和．若s n=254，则n=．12．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=1公差d≠0，S n为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10=．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．16．（14分）已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，a2=4，S5=30．（1）求{a n}的首项a1和公差d的值；（2）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm 的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2﹣4n，数列{b n}中，b1=对任意正整数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．【解答】解：原式=sin30°=，故答案为：．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是2．【解答】解：=（1+2+3+4+5）÷5=3，S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．故答案为：2．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．【解答】解：∵x（1﹣x）=﹣，x∈（0，1）∴当x=时，x（1﹣x）的最大值为故答案为：．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：95．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．【解答】解：设事件A=“灯与两端距离都大于2m”根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分因此，事件A发生的概率为P（A）==故答案为：6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，得，此时z min=1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是7．【解答】解：由tanα=﹣2，tan（α+β）=，得tanβ=tan[（α+β）﹣α]=．故答案为：7．9．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是51．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a7﹣a5﹣3=0，∴2（a1+6d）﹣（a1+4d）﹣3=0，化为：a1+8d=3，即a9=3．则S17==17a9=17×3=51．故答案为：51．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=1或2．【解答】解：∵AB=c=，BC=a=1，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+3﹣3b，解得：b=1或2，则AC=1或2．故答案为：1或211．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和．若s n=254，则n=7．【解答】解：由数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，可知：此数列为等比数列，首项为2，公比为2．又s n=254，∴254=，化为2n=128，解得n=7．故答案为：7．12．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=1公差d≠0，S n为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10=100．【解答】解：若a1，a2，a5成等比数列，则a1a5=（a2）2，即a1（a1+4d）=（a1+d）2，则1+4d=（1+d）2，即2d=d2，解得d=2或d=0（舍去），则S10==10+90=100，故答案为：100．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是3+2．【解答】解：锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，∴sin（B+C）=sinBsinC，即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，∴cosBsinC=sinB（sinC﹣cosC），∴sinC=（sinC﹣cosC），两边都除以cosC，得tanC=tanB（tanC﹣1），∴tanB=；又tanB＞0，∴tanC﹣1＞0，∴tanB+2tanC=+2tanC=+2tanC=1++2（tanC﹣1）+2≥3+2=3+2，当且仅当=2（tanC﹣1），即tanC=1+时取“=”；∴tanB+2tanC的最小值是3+2．故答案为：3+2．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为[2，）．【解答】解：a，b，c成等比数列，设==q，q＞0，则b=aq，c=aq2，∴∴，解得＜q＜．则=+=+q，由f（q）=+q在（，1）递减，在（1，）递增，可得f（1）取得最小值2，由f（）=f（）=，即有f（q）∈[2，）．故答案为：[2，）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵α∈（），sinα=，∴cosα=﹣．∴=sin cosα+cos sinα=；（2）∵sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=，∴==．16．（14分）已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，a2=4，S5=30．（1）求{a n}的首项a1和公差d的值；（2）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．【解答】解：（1）因为{a n}是等差数列，a2=4，S5=30，所以解得a1=2，d=2（2）由（1）知即所以b n==于是数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006．…（4分）（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[40，50）上为事件A．…（5分）因为样本中评分在[40，50）的师生人数为：m1=0.004×10×50=2，记为1，2号样本中评分在[50，60）的师生人数为：m2=0.006×10×50=3，记为3，4，5号…（7分）所以从5人中任意取2人共有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种等可能情况，2人中恰有1人评分在[40，50）上有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种等可能情况．∴2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率为P（A）==．…（10分）（3）服务质量评分的平均分为：=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）∵76.2＞75，∴食堂不需要内部整顿．…（14分）18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．【解答】解：（1）因为不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≤0的解集为[﹣1，2]，所以方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，所以△=（a﹣2）2﹣4a•（﹣2）≥0且﹣1×2=，解得：a=1；（2）由ax2+（a﹣2）x﹣2≤0，得（x+1）（ax﹣2）≤0，当﹣2＜a＜0时，解集为{x|x≤或x≥﹣1}，当a=﹣2时，解集为R；当a＜﹣2时，解集为{x|x≤﹣1或x≥}．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm 的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．【解答】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BA•BCcos∠ABC，…（2分）即（（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y•2x•cos60°，所以．…（5分）由AB﹣AC＜BC，得．又因为＞0，所以x＞1．所以函数的定义域是（1，+∞）．…（6分）（2）M=30•（2y﹣1）+40x．…（8分）因为．（x＞1），所以M=30即M=10．…（10分）令t=x﹣1，则t＞0．于是M（t）=10（16t+），t＞0，…（12分）由基本不等式得M（t）≥10（2）=490，当且仅当t=，即x=时取等号．…（15分）答：当x=km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．…（16分）20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2﹣4n，数列{b n}中，b1=对任意正整数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=﹣3，…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣4n﹣（n﹣1）2+4（n﹣1），即a n=2n﹣5，…（3分）n=1也适合，所以a n=2n﹣5．…（4分）（2）法一：假设存在实数μ，使数列{3n•b n+μ}是等比数列，且公比为q．…（5分）因为对任意正整数，，可令n=2，3，得b2=，b3=﹣．…（6分）因为{3n b n+μ}是等比数列，所以=，解得μ=﹣…（7分）从而===﹣3 （n≥2）…（9分）所以存在实数μ=﹣，公比为q=﹣3．…（10分）法二：因为对任意正整数．所以，设3n b n+μ=﹣3（3n﹣1b n﹣1+μ），则﹣4μ=1，…（8分）所以存在，且公比．…（10分）（3）因为a2=﹣1，a3=1，所以，，所以，即，…（12分）于是b1+b2+…+b n=+++…===…（13分）当是奇数时：b1+b2+…+b n=，关于递增，得≤b1+b2+…+b n＜．…（14分）当是偶数时：b1+b2+…+b n=，关于递增，得≤b1+b2+…+b n．…（15分）综上，≤b1+b2+…+b n．…（16分）。
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．若直线过(1,2)A ，(3,6)B ，则该直线的斜率为 A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由直线的斜率公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，直线过点(1,2)A ，(3,6)B ，由斜率公式，可得斜率62231k -==-，故选A ． 【点睛】本题主要考查了斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ） A ．4πB ．3πC ．5πD ．2π【答案】A【解析】根据圆柱底面半径为1，母线长为2，代入圆柱侧面积公式2S rl π=求解. 【详解】圆柱底面半径为1，母线长为2，圆柱侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π , 故选：A 【点睛】本题主要考查圆柱侧面积的求法，属于基础题.4．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若2sin b a B =，则A 等于( ) A ．30 B ．60C ．60120或D ．30150或【答案】D【解析】根据正弦定理把边化为对角的正弦求解. 【详解】12sin sin 2sin sin ,sin =A=30A=150 D.2b a B B A B A ︒︒=∴=即，则或，选【点睛】本题考查正弦定理，边角互换是正弦定理的重要应用，注意增根的排除. 5．直线40ax y +-=过定点（ ） A ．()4,0 B ．()0,4C ．()2,2D ．()0,3【答案】B【解析】对于方程40ax y +-=过定点，可知与参数a 无关，可令0x =，则40y -=，可得所过定点. 【详解】令0x =，则40y -=， 可得所过定点()0,4. 故选：B 【点睛】本题考查了直线的方程，属于基础题.6．过点()0,1P 作圆22210x y x ++-=的切线，则切线方程为（ ）A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．2y x =-+D ．2y x =+【答案】B【解析】先判断点()0,1P 在圆上，可知点()0,1P 即是切点，圆心与切点的连线与切线垂直，可得切线的斜率，点斜式即可得切线方程. 【详解】因为()0,1P 满足22210x y x ++-=，所以点()0,1P 在圆上，点()0,1P 即是切点，由22210x y x ++-=知，圆心为()1,0-，设()1,0M -，1010(1)MP k -==--，圆心与切点的连线与切线垂直， 所以切线斜率为1-，所以切线方程为：10y x -=- ，即1y x =+， 故选：B 【点睛】本题主要考查了求解圆的切线方程，涉及由圆的方程求圆心，先判断点与圆的位置关系最关键，属于基础题.7．等差数列{}n a 中，已知10111a =，则该数列前2021项和2021S =（ ）A ．2019B ．2021C ．4042D ．4038【答案】B【解析】根据数列{}n a 是等差数列，且10111a =，由202110112021S a =求解.【详解】在等差数列{}n a 中，已知10111a =，所以则该数列前2021项和:()120211011202110112021202122021202122a a a S a +⨯==== ，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列求和以及等差中项的应用，属于基础题.8．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若bcosC +ccosB ＝b ，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形【答案】A【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果. 【详解】解：△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ， 由bcosC +ccosB ＝b ，根据正弦定理：sinBcosC +sinCcosB ＝sinB ， 整理得sin （B +C ）＝sinA ＝sinB ， 故a ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9．正四面体A BCD -中，已知棱长均为1，则二面角A CD B --的平面角的余弦值为（ ）A ．12B ．13C D ．3【答案】B【解析】本题先证明二面角A CD B --的平面角为AEF ∠，再求cos EFAEF AE∠=，最后结合:1:2EF FB =和AE EB =计算出答案. 【详解】解：取CD 的中点为点E ，连接AE ，BE ，过点A 作AF 垂直与底面BCD ，因为四面体A BCD -为正四面体，所以点F 在线段BE 上，且:1:2EF FB =，AF EF ⊥， 故二面角A CD B --的平面角为AEF ∠，在直角三角形AEF 中， 所以cos EFAEF AE∠=， 又因为在正四面体A BCD -中AE EB =，所以1cos 3EF EF AEF AE BE ∠===，故选：B. 【点睛】本题考查正四面体中的二面角，是基础题.10．大约在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年，已知O 为原点，1OP =，若13,44M ⎛-⎝⎭，则线段PM 长的最小值为（ ） A ．12B ．54C ．34D ．32【答案】A【解析】根据1OP =，得到点P 的轨迹为圆221x y +=，再由又13,4M ⎛⎝⎭，12=<OM r ，得到点M 在圆内，然后由≥-PM r OM 求解. 【详解】已知O 为原点，1OP =， 所以点P 的轨迹为圆221x y +=，又13,44M ⎛- ⎝⎭，所以22213100444⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OM ，即12OM =， 所以点M 在圆内， 则有12≥-=PM r OM ， 线段PM 长的最小值为12故选：A 【点睛】本题主要考查点的轨迹，点与圆的位置关系以及两点间的距离公式的应用，属于基础题.二、多选题11．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <【答案】BCD【解析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．如图，设E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且2AB =，1EF=，其中正确的命题为（）A．三棱锥11D B EF-的体积为定值B．异面直线11D B与EF所成的角为60︒C．11D B⊥平面1B EFD．直线11D B与平面1B EF所成的角为30【答案】AD【解析】A. 利用1111D B EF B D EFV V--=，三棱锥11D B EF-的体积为定值，正确B. 利用平移法找异面直线所成的角，11//EF D C，11D B和11D C所成的角为45︒，所以异面直线11D B与EF所成的角为45︒，故B错误C. 若11D B⊥平面1B EF，则线11D B与EF所成的角为90︒，而异面直线11D B与EF所成的角为45︒，故C错误D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面1B EF的一个法向量，再求平面1B EF 的一个法向量和11D B的方向向量的夹角，正确【详解】解：对于A，111111131111212232323D B EF B D EF D EFV V S BCEF DD--==⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=故三棱锥11D B EF-的体积为定值，故A正确对于B，11//EF D C，11D B和11D C所成的角为45︒，异面直线11D B与EF所成的角为45︒，故B错误对于C，若11D B⊥平面1B EF，则11D B⊥直线EF，即异面直线11D B与EF所成的角为90︒，故C错误对于D ，以D 为坐标原点，分布以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设()0,,0E a ，则()0,1+,0F a ，()12,2,2B ，()10,0,2D()()()1112,2,2,0,1,0,2,2,0EB a EF D B =-==设平面1B EF 的法向量为,,,nx y z 则()()()()1,,2,2,20,,0,1,00n EB x y z a n EF x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩ 令1z =-，则()1,0,1n =-1111111,0,12,2,01cos ,2n D B n D B n D B -⋅⋅<>===⋅11,60n D B <>=︒所以直线11D B 与平面1B EF 所成的角为30，正确 故选：AD 【点睛】以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题.三、填空题13．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程为_____________． 【答案】x 2＋(y －2)2＝1【解析】由题意设圆的标准方程，将点（1,2）代入即可得到答案. 【详解】由已知设所求圆的方程为()221x y b +-=,因为所求圆过点(1,2)，所以有()22121b +-=得b=2, 所求圆的方程为()2221x y +-=. 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题.14．若正四棱锥的底面边长为23，侧棱长为7，则该正四棱锥的体积为______. 【答案】4.【解析】设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，在直角三角形POA 中，求得高1PO =,利用体积公式，即可求解． 【详解】由题意，如图所示，正四棱锥P -ABCD 中，AB =23，P A =7 设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，则AO =112622AC AB =⨯=， 在直角三角形POA 中，22176PO PA AO =-=-=，∴11121433P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了正棱锥体积的计算，其中解答中熟记正棱锥的性质，以及棱锥的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2a =，若()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=，则ABC 面积的最大值是______.3【解析】根据()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=，利用正弦定理得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理求得3A π=，然后由余弦定理结合基本不等式得到4bc ≤，再利用三角形面积公式求解.【详解】因为()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C +-+=所以()223b c a bc +-=，即222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为()0,A π∈， 所以3A π=，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥, 所以4bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A =≤△，故ABC【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.【答案】25x y +=【解析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，，所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.四、解答题 17．如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线的方程 为220x y --=，点(2,0)C . （Ⅰ）求直线CD 的方程；（Ⅱ）求AB 边上的高CE 所在直线的方程.【答案】解: （Ⅰ）∵ABCD 是平行四边形∴//AB CD ∴2CD AB k k ==∴直线CD 的方程是2(2)y x =-，即240x y --=（Ⅱ）∵ CE ⊥AB∴112CE AB k k =-=- ∴CE 所在直线方程为1(2)2y x =-- ,220x y 即+-=.【解析】略18．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5b =4B π=.（1）若3a =，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积等于1，求a 的值. 【答案】（1）3sin 1010A =；（2）1a =或22a =. 【解析】（1）利用正弦定理求得sinA 的值；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理，列方程组求出a 的值． 【详解】（1）ABC 5b =中，，4B π=.3a =由正弦定理sin sin a b A B = 可得，310sin sin sin 4105a A Bb π===（2）由三角形面积公式可得11sin sin 1224ABC S ac B ac π∆=== ，所以化简得22c = 由余弦定理可知222222cos 254b ac ac a c ac π=+-=+-=将22c a=代入上式，化简得a 4-9a 2+8=0 解得122a a ==或 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用，三角形面积及恒等变换应用问题，属于中档题． 19．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EDC ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，ED EC ⊥，点F ，G 分别是EC ，AB 的中点．求证：（1）直线FG ∥平面ADE ； （2）平面ADE ⊥平面EBC ． 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取DE 中点H ，连接FH ，AH ，证得//FG AH ，利用线面平行的判定定理，即可证得直线FG ∥平面ADE ；（2）利用线面垂直的判定定理，证得ED EBC ⊥面，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面ADE ⊥平面EBC ． 【详解】（1）取DE 中点H ，连接FH ，AH ．在EDC ∆中，H ，F 分别为DE ，EC 中点，则FH //DC 且12FH DC =， 又四边形ABCD 为矩形，G 为AB 中点，AG //DC 且12AG DC =， 所以//FH AG FH AG =且，故四边形AGFH 为平行四边形， 从而//FG AH ，又FG ADE ⊄面，AH ADE ⊂面， 所以直线//FG ADE 面．（2）因为矩形ABCD ，所以BC DC ⊥，又平面EDC ABCD ⊥面， 面EDCABCD DC =面，BC ABCD ⊂面，所以BC DEC ⊥面，又ED DEC ⊂面，则ED BC ⊥，又ED EC ⊥，BCEC C =，所以ED EBC ⊥面，又ED ADE ⊂面，所以平面ADE ⊥平面EBC ．【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．20．如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即)POQ ∠为23π、半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ．设POS α∠=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计．（1）试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围： （2）试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值． 【答案】（1）23(tan 1)3tan 1MN αα+=-62ππα<<；（2）当3πα=时，MN 长度的最小值为23.【解析】（1）根据相切关系与直角三角形的边角关系，用公路MN 的长度表示为α的函数，即可求出α的取值范围；（2）用三角恒等变换化简MN 的解析式，根据三角函数的图象与性质求得MN 的最小值 【详解】解：（1）因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS MN ⊥． 在RT OSM ∆中，因为1OS =，MOS α∠=，所以tan SM α=， 在RT OSN ∆中，23NOS πα∠=-，所以2tan()3SN πα=-，所以223(tan 1)tan tan()33tan 1MN παααα+=+-=- 其中62ππα<<，（2）因为62ππα<<310α->，令310t α=->，则3tan 1)t α=+， 所以342)MN t t++， 由基本不等式得34(22)23MN t t⨯+= 当且仅当4t t =即2t =时取“=”此时tan 3α=62ππα<<，故3πα= 答：（1）223(tan 1)tan tan()33tan 1MN παααα+=+-=-62ππα<<（2）当3πα=时，MN长度的最小值为【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了直角三角形的边角关系和三角恒等变换问题，是中档题．21．已知过点()0,2M 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2211x y -+=交于A ，B 两点.（1）求斜率k 的取值范围；（2）以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围； （3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值. 【答案】（1）34k <-；（211r <<；（3）定值1；证明见详解 【解析】（1）直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，可利用圆心到直线的距离小于半径，即可解出k 的取值范围.（2）由题意知两个圆相交，满足圆心距11r MC r -<<+，即可解得r 的取值范围 （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立将直线l 与圆C 方程，由韦达定理可得12x x + ，12x x ，()1212121212122222OA OBx x y y kx kx k k k x x x x x x ++++=+=+=+ ，整体代入即可得定值. 【详解】（1）由题意知直线l 的斜率存在，且直线l 与圆C 相交， 设l ：2y kx =+，则圆心到直线的距离小于半径，1< ，解得：34k <-（2）由题意知两个圆相交，满足圆心距11r MC r -<<+，因为MC ==，所以11r r ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩即101r r ⎧>-⎪⎨<<⎪⎩ ，11r <<.（3）将直线l 与圆C 方程联立得()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 得：()()2214240kx k x ++-+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则 122241k x x k -+=+，12241x x k =+， ()121212121212222242212OA OB x x y y kx kx kk k k k x x x x x x +++-+=+=+=+=+=， 所以直线OA 与OB 斜率之和为定值1. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查了线线垂直时斜率之积为1-，涉及了直线的点斜式方程，属于中档题.22．对于*,∀∈n N 若数列{}n x 满足11,+->n n x x 则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,+m m 是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1+=+n n a b n 试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 【答案】（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“K 数列”，只需()()2111,11,m m m +->-+>同时满足，解不等式可解m 范围．（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d >，即()12n n n S n d -=-+<212n n -,代入n=1,n>1,矛盾．（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11n n a a q -=，*n a N ∈，满足“K 数列”，即()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>只需最小项211,a a ->即()1111,?2n a q a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤,所以只能()112,a q -=只有解11,3a q ==或12, 2.a q ==分两类讨论数列{}nb ．试题解析：（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <- 因为111,11n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”为最小项. 由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -=所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅> 所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键．另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数．。
淮阴中学期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √-42. 已知 a + b = 5，a - b = 1，则a² - b² 等于（）A. 16B. 24C. 25D. 363. 若一个等差数列的前三项分别是 2, 5, 8，则这个数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 在平面直角坐标系中，点A（-3，4）关于y轴的对称点是（）A. （3，4）B. （-3，-4）C. （3，-4）D. （-3，4）5. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 16. 已知等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的面积是（）A. 32B. 40C. 48D. 647. 在等差数列 {an} 中，若 a1 = 3，d = 2，则第10项 a10 等于（）A. 21B. 23C. 25D. 278. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 5C. 4x + 5 = 9D. 5x - 6 = 119. 若一个圆的半径为 r，则其直径等于（）A. 2rB. r/2C. r²D. r/410. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，则AB的长度是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知x² - 5x + 6 = 0，则 x 的值为_________。
12. 若a² + b² = 25，且 a - b = 4，则 ab 的值为_________。
13. 等差数列 {an} 的前5项之和为 50，第5项为 10，则该数列的首项为_________。
14. 若函数f(x) = x² - 3x + 2 在区间 [1, 2] 上单调递增，则函数的极值点为_________。
江苏省淮安市重点中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析
江苏省淮安市重点中学2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知α、β为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β=（ ） A ．13B ．3C ．913D ．1392．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．153．某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均数是84，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知向量a ，b 的夹角为60︒，且2a =，1b =，则a b -与12a b +的夹角等于 A ．150︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒5．l ：2360x y +-=与两坐标轴所围成的三角形的面积为A ．6B ．1C ．52D ．36．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（ ）A ．14B ．27C ．28D ．327．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）A ．1232+B ．1262+C ．932+D ．962+8．已知m 个数的平均数为a ，n 个数的平均数为b ，则这m n +个数的平均数为（ ） A ．2a b+ B ．a bm n++ C ．ma nba b++D ．ma nbm n++9．设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（ ） A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．131,272⎛⎤⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫⎪⎝⎭10．若集合，则的真子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年江苏省淮安市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省淮安市高一下学期期末数学试题一、单选题1．设i 为虚数单位，若复数是实数，则实数a 的值为（ ）()()1i 1i a -+A ．－1B ．0C ．1D ．2C【分析】由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解．【详解】，它是实数，2(1i)(1i)1i i i 1(1)i a a a a a -+=+--=++-则，．10a -=1a =故选：C ．2．在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若，则的形状ABC cos a c B =ABC （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定B【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案.【详解】因为，，cos a c B =222cos 2a c b B ac +-=所以，整理得，2222a c b a c ac +-=⋅222+=a b c 所以三角形的形状是直角三角形.故选：B3．用半径为2的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（ ）A ．1BC ．2D ．6B【分析】根据圆锥的展开图可知底面圆周长与弧长的关系，进而可求底面圆半径以及母线，由勾股定理即可求高.【详解】半圆的的弧长等于圆锥的底面圆周长，故底面圆的半径为1，圆锥母线为2π2故选：B4．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（也称为素数，是一个大于1的自然数，除了1和它自身之外，不能被其它自然数整除的数叫做质数）之和，也就是我们所谓的“”问题．它是1742年由数11＋学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等曾在哥德巴赫猜想的证明中做出过相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则加数全部为质数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．13141216A【分析】利用列举法求解，先列出把6拆成两个正整数的和的所有情况，再找出两个加数全为质数的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】6拆成两个正整数的和的所有情况有：，3种情况，15,24,33+++其中两个加数全为质数的有，1种情况，33+所以所求概率为,13故选：A5．在中，，点D 是边上一点，，，，则边ABC 45B =︒BC 5AD =7AC =3DC =的长是（ ）AB A ．BCD ．C【分析】由余弦定理求得，由正弦定理求得．cos C AB 【详解】中，ACD △2224992511cos 227314AC CD AD CAC CD +-+-===⋅⨯⨯所以sinC ==中，由正弦定理得ABC sin sin AB AC C B =sin sin AC C AB B ===故选：C ．6．已知，是平面内的一组基底，1e 2e ，，，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值1232OA e e =+ 124OB e ke =+ 1254OC e e -=为（ ）A ．B ．0C ．1D ．21-A【分析】A ，B ，C 三点共线可转化为，结合向量的运算与向量相等即可求AB AC λ= 解【详解】因为，，，1232OA e e =+ 124OB e ke =+ 1254OC e e -= 所以，()()()1212124322AB OB OA e ke e e e k e =-=-+++=- ，()()121212543622AC OC OA e e e e e e -=-=-+=- 又因为A ，B ，C 三点共线，所以，即，AB AC λ= ()()1212262e k e e e λ-=+-所以，解得，2162k λλ=⎧⎨-=-⎩11,2k λ=-=故选：A7．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49；乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为（ ）A ．22.5B ．38C ．60.5D ．39C【分析】根据百分位数的计算规则计算可得.【详解】因为，故运动员甲得分的25百分位数为从小到大排列的第3和1225%3⨯=4个数的平均数，为；202522.52+=又，所以运动员乙得分的80百分位数为从小到大排列的第10个数，为1280%9.6⨯=，所以3822.53860.5+=故选：C8．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）sin1a =2cos1sin1b =12tan2c =A ．B ．C ．D ．a b c >>b c a >>c a b >>c b a>>D【分析】由二倍角公式，诱导公式，正弦函数的性质比较大小，再利用三角函数线,a b 证明为锐角时，，从而可比较大小，得出结论．x tan x x >,c b 【详解】，2cos1sin1sin 2b ==sin(2)π=-又，所以， 即，2102ππ>->>sin(2)sin1π->b a >利用三角函数线可以证明为锐角时，，x tan x x >如图，在单位圆中，以为始边，为顶点作出角，其终边与单位圆交于点，过Ox O x P 单位圆与轴正半轴交点作轴的垂线，角的终边与这条垂线交于点，x A x x T则，劣弧的长为，tan AT x =PA l x =扇形的面积为，面积为，OPA 11122S lr x==OAT 211tan 22S OA AT x ==由图形，易知，即，所以， 21S S >11tan 22x x>tan x x >所以，，112tan2122c =>⨯=sin 21b =<所以．c b a >>故选：D ．二、多选题9．某商家为了了解顾客的消费规律，提高服务质量，收集并整理了2019年1月至2021年12月期间月销售商品（单位：万件）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法正确的是（ ）A ．月销售商品数量逐月增加B ．各年的月销售商品数量高峰期大致在8月C ．2020年1月至12月月销售数量的众数为30D ．各年1月至6月的月销售数量相对于7月至12月，波动性大，平移性低BC【分析】由折线图，结合数字特征及曲线的分布特征可以看出AD 选项错误；BC 选项正确.【详解】月销售商品数量从8月到9月，是减少的，故A 错误；各年的月销售商品数量高峰期大致在8月，B 正确；2020年1月至12月月销售数量为30的有1月,3月,6月,9月，有4个，其他均低于4个，故众数为30，C 正确；各年1月至6月的月销售数量相对平稳，波动性小，D 错误；故选：BC10．一只袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白球和个黑球，从袋中不放532回地依次随机摸出个球．甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“至少有一次摸2到黑球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则下列说法正确的是（ ）A ．甲与丁互斥B ．乙与丙对立C ．甲与丙互斥D ．丙与丁独立AC【分析】利用互斥事件的定义可判断AC 选项；利用对立事件的定义可判断B 选项；利用独立事件的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，丁事件包含：一白一黑、两白，甲与丁互斥，A 对；对于B 选项，乙事件包含：一白一黑、两黑，乙与丙不对立，B 错；对于C 选项，甲与丙互斥，C 对；对于D 选项，分别记事件丙、丁为、，A B 将个白球分别记为、、，个黑球记为、，3a b c 2E F 从上述个球中任意摸出个，所有的基本事件为：、、、、、、52ab ac aE aF bc bE 、、、，共种，bF cE cF EF 10其中事件包含的基本事件为：、、、、、，共种，A aE aF bE bF cE cF 6事件包含的基本事件为：、、、、、、、、，共种，B ab ac aE aF bc bE bF cE cF 9所以，，，，故丙与丁不独立，D 错.()35P A =()910P B =()()()35P AB P A P B =≠故选：AC.11．如图，在边长为2的正方形中，E ，F 分别为，的中点，H 为的ABCD BC CD EF 中点，沿，，将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，构成四面体，则在AE EF FA 四面体中，下列说法正确的是（ ）A OEF -A ．四面体的体积为B ．平面13AO ⊥OEFC ．D OH AH ⊥ABD【分析】根据翻折前后图形之间的关系可得，，再由直线与平面垂AO OE ⊥AO OF ⊥直的判定可得平面，进而判断A,B,C,根据四面体的外接球与AO ⊥OEF 为长宽高的长方体的外接球相同，即可求解.=2,=1,=1OA OE OF 【详解】翻折前，，，故翻折后，，，AB BE ⊥AD DF ⊥OA OE ⊥OA OF ⊥又，平面，故B 正确；OE OF O ⋂=OA ∴⊥EOF 则，故A 正确；111112323O AEF A OEF V V --==⨯⨯⨯⨯=平面，平面,故,故不可能成立，故C 错误；OA ∴⊥EOF OH ⊂EOF OA OH ⊥OH AH ⊥由于,故该四面体的外接球与以为长宽,,OA OE OE OF OF OA ⊥⊥⊥=2,=1,=1OA OE OFD 正确；故选：ABD12．我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形ABCD 的直角边的长度比为，则下列说法正确的是（ ）1:2AB ．AC EG ⊥C ．D ．245AE DC BC⋅= 3455AF AB AD=+ ACD【分析】根据各边长的关系直接可判断A ；根据正方形对角线互相垂直，然后观察可判断B ；利用投影表示数量积可判断C ；作，求出FI 、BI 长，然后由向量加FI BC ⊥法可判断D.【详解】记，则,2BE m AE m ==AB =A 正确；=由正方形性质可知，，显然不平行，所以不垂直，B 错误；AC BD ⊥,BD EG ,AC EG 因为，，22cos 4AE DC AE AB AE AB BAE AE m ⋅=⋅=∠== 22244)455BC m ==所以，故C 正确；245AE DC BC⋅=过F 作，垂足为I ，FI BC ⊥BC FI BFFC ⋅=⋅ 2FI m m⋅=⋅所以，所以FI =BI ==则，24,55IF AB BI AD=-=所以，故D 正确.42345555AF AB BI IF AB AD AB AB AD=++=+-=+ 故选：ACD三、填空题13．若复数满足，则的最大值为________．z 11z -=z2【详解】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数对应点z 的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，取最大值时，就是圆上的点到原点的距(1,0)z离的最大值，结合圆的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.详解：依题意，设复数，,(,)z x yi x R y R =+∈∈因为，所以有，11z -=22(1)1x y -+=由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，z (1,0)所以的最大值为，所以答案为2.z112+=14．如图，某系统使用A ，B ，C 三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A 正常工作且B ，C 中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A ，B ，C 正常工作的概率均为0.7，则系统能正常工作的概率为______．0.637【分析】求出正常的概率，然后由独立事件的概率公式计算．B C ⋃【详解】．()()0.7(10.30.3)0.637P P A P B C ==⨯-⨯=故．0.63715．已知，且，则的值为______．π1cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭79【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】π2ππ2πsin 2sin 2cos 26323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22ππ17cos 22cos 1213339αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦故79四、双空题16．在正四面体中，点E ，F 分别在棱，上，满足，，ABCD AB AC 1BE =2EF =面，则棱长为______，以点A//EF BCD AB面与正四面体的表交所得到的曲线长度之和为______．ABCD 【分析】根据平面可得，进而也为等边三角形，即可求//EF BCD //EF BC AEF ，将球面与正四面体的四个面所得的交线分为两类，一类与123AB BE AE =+=+=侧面的交线，一类与底面的交线，结合球的截面性质即可求解.【详解】因为平面，平面,平面平面，所以//EF BCD EF ⊂ABC ABC =BC BCD ,//EF BC 由于四面体每个面都是等边三角形，故也为等边三角形，ABCD AEF 所以;123AB BE AE =+=+=球面与正四面体的四个面都相交，所得的交线分为两类：一类与三个侧面的交线，与侧面交线为弧,弧在过球心的大圆上，,,ABD ABC ACD ABC MNMN 由于,所以弧的长度为：3,60A AB A M B C ===∠MN π3与侧面的交线与弧一样长，,ABD ACD MN 另一类交线是与底面的交线，过作平面,BCD A AO ⊥BCD22333OD DP ===所以故与底面刚好相交于底AO ==<AP AB ==BCD 面各边的中点处，形成的交线此时是底面的内切圆，BCD BCD内切圆半径为故弧长为：，11333OP DP ===2π因此所有的交线长为3+故3,AB =五、解答题17．已知平面向量，．()1,2a =-()1,1b =--(1)求的值；2a b - (2)若向量与夹角为，求实数λ的值．a λb +2a b - 4π(1)(2)或1λ=2λ=-【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；2a b -（2）首先求出的坐标，即可得到，再根据数量积的坐标表示求出a λb + a b λ+ ，最后根据数量积的定义得到方程，解得即可；()()2a a bb λ⋅-+ 【详解】(1)解：因为，，()1,2a =-()1,1b =--所以，()()()21,21,13,32b a =------=所以；2a b -== (2)解：，()()()1,21,11,2a λb λλλ+=-+--=---所以，a + ()()()()()231329a ab b λλλ⋅-=-+-⨯+--=又向量与夹角为，a λb +2a b - 4π所以，()()22cos4a b a b a a b b λπλ⋅+-=⋅-+，9=即，解得或.()()22129λλ-+--=1λ=2λ=-18．如图，在正方体中.1111ABCD A B C D -（1）求证：平面；//AB 11A B CD （2）求直线和平面所成的角.1A B 11A B CD （1）见解析；（2）30°【分析】（1）由即可证得平面；11AB A B //AB //11A B CD （2）连接交于，连接，证明平面，可得为直线1BC 1B C O 1OA OB ⊥11A B CD 1OA B ∠和平面所成的角，设正方体棱长为1，在中求出.1A B11A B CD 1Rt A OB 1OA B ∠【详解】解：（1）证明：，平面，平面，11//AB A B AB ⊄11A B CD 11A B ⊂11A B CD ∴平面；//AB 11A B CD （2）解：连接交于O ，连接，1BC 1B C 1OA 四边形是正方形，，11BCC B 1OB B C ∴⊥，11111111111,,A B B C A B B B B C B B B ⊥⊥= 平面，11A B ∴⊥11BCC B ，11A B OB ∴⊥又，1111A B B C B = 平面，OB ∴⊥11A B CD 为直线和平面所成的角，1OA B ∴∠1A B 11A B CD 设正方体棱长为1，则，1AB =OB =，111sin 2OB OA B A B ∴∠==，130OA B ︒∴∠=∴直线和平面所成的角为30°.1AB 11A B CD 本题考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题.19．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为，[)90,100，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名[)100,110[]140,150学生的成绩均不低于90分）．(1)求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这[)120,1406人中随机抽取2人参加这次的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到[)130140,的概率．(1)，平均分为；0.02x =116.5(2)35【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可计算出值，然后用每组区间的x 中点值乘以相应频率再相加可得平均值；（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数，并编号，用列举[)120130,[130,140)法写出随机抽取的2人的所有基本事件，由概率公式计算概率．【详解】(1)由频率分布直方图，，，(0.0050.030.030.010.005)101x +++++⨯=0.02x =平均分为；950.051050.31150.31250.21350.11450.05116.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为，[)120130,[130,140)0.220.1=抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的[)120130,[130,140)有2人，编号为，,a b 从这6人中任取2人的基本事件有：共12,13,14,1,1,23,24,2,2,34,3,3,4,4,a b a b a b a b ab 15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有[)130140,共9个，所以所求概率为．1,1,2,2,3,3,4,4,a b a b a b a b ab 93155P ==20．如图，扇形的半径为2，圆心角为．点P 在扇形的弧上，点C 在AOB 3πAOB AB 半径上，且，且，D 为垂足，设．OB //PC OA PD AO ⊥AOP θ∠=(1)若，求的长；12πθ=PC (2)试用θ表示出梯形的面积S ，并求S 的最大值．CPDO(2)()2S θϕ=+tan ϕ=max S 【分析】（1）首先求出，再利用正弦定理计算可得；COP ∠（2）利用正弦定理表示出，再由锐角三角函数表示出，，再由梯形面积公CP PD OD 式、三角恒等变换公式及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质计算可得；【详解】(1)解：依题意，则，，12πθ=12CPO π∠=3124COP πππ∠=-=，233PCO πππ∠=-=又，由正弦定理，即，2OP =sin sin OP PC OCP COP =∠∠22sin sin34PCππ=解得PC =(2)解：，，AOP θ∠= 3COP πθ∴∠=-在中，由正弦定理得，即．POC △sin sin OP CP PCO COP =∠∠22sin sin 33CPππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，又，，3CP πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭sin 2sin PD OP θθ==cos 2cos OD OPθθ==所以12sin 2cos sin()23S πθθθ⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦sin 2cos sin cos cos sin 33ππθθθθ⎡⎤⎫=-⎪⎢⎥⎭⎣⎦sin 4cos n θθθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭24cos sin θθθ=21cos 22sin 2θθ-=()2sin 222θθθϕ=++tan ϕ=∴S 21．如图，在正三棱柱中，点D 为中点．111ABC A B C -AC(1)若，证明：平面平面；AB AA =1AB C ⊥1DBC(2)若，且二面角的体积．2AB =1D BC C --111ABC A B C -(1)见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的性质即可证明线面垂直，进而可证明线面垂直；（2）根据几何法找二面角的平面角，求出三棱锥的高，进而可求体积.【详解】(1)为等边三角形,点D 为中点,故,因为平面平面ABC AC AD AC ⊥11AA C C ⊥,其交线为,故平面，平面,故平面平面；ABC AC BD ⊥11AA C C BD ⊂ABC 11AA C C ⊥1DBC(2)过D 作平面交于故是的四等分点靠近的位置，过DM ⊥11BCC B BC ,M M BC C 作交于所以即为二面角的平面角，M MO ⊥1BC 1BC ,O DOM ∠1D BC C --,1tan 2DM DOM DM AN OM OM ∠====⇒在中,，BOM11sin tan 2OM CBC CBC BM ∠===⇒∠=在中，,1BCC 1111tan =2=42CC CC CBC CC BC ∠==⇒故三棱锥的体积为：2124ABC S CC ⋅=⨯=22．在①；②这两个条件中2cos cos cos a A b C c B =+tan tan tan B C B C +=任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______．ABC (1)求角A 的大小；(2)若G 为重心，点M 为线段的ABC ABC AC 中点，点N 在线段上，且，线段与线段相交于点P ，求的取值AB 2AN NB =BM CN 范围．注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．(1)3A π=(2)16⎛ ⎝【分析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论AB AC AG表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出APGP 2bc =的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得；b 【详解】(1)解：若选①，2cos cos cos a A b Cc B =+由正弦定理可得()2sin cos sin cos sin cos sin A A B C C B B C =+=+即，又，所以，即，2sin cos sin A A A =sin 0A >2cos 1A =1cos 2A =因为，所以；()0,A π∈3A π=若选②，即，tantantan B C B C +=tan tantan B C B C +=即，)tan tan 1tan tan BC B C +=-所以tan tan 1tan tan B CB C +=-()tan B C +=()tan A π-=tan A =因为，所以；()0,A π∈3A π=(2)解：依题意，，23AN AB = 12AM AC= 所以，()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭因为、、三点共线，故设，C N P ()()2113AP AN AC AB ACλλλλ=+-=+- 同理、、三点共线，故设，M B P ()()1112AP AB AM AB ACμμμμ=+-=+- 所以，解得，()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，1124AP AB AC=+则，()11111112243361212GP APAG AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-=+-+=-=- ⎪⎝⎭因为，1sin 2ABC S bc A ==2bc =又为锐角三角形，ABC当为锐角，则，即，C 0AC BC ⋅> ()AC AC AB ⋅-> 即，即，即，所以，20AC AC AB -⋅> 2102b bc ->22b c b >=1b >当为锐角，则，即，B 0AB CB ⋅> ()AB AB AC ⋅-> 即，即，即，即，所以，20AB AC AB -⋅> 2102c bc ->2c b >22bb ⋅>02b <<综上可得，12b <<又，则1212GP AB AC =⋅- ()2222144244GP AB ACAB AB AC AC=-=-⋅+2244AB AB AC AC=-⋅+ 2242c bc b =-+22164b b=-+因为，所以，而在上单调递减，所以12b <<214b <<()164f x x x =-+()1,4，()()4,13f x ∈即，即，所以，则.()221644,13b b -+∈()21444,13GP ∈ (12GP ∈ 16GP ⎛∈ ⎝。
2022-2023学年江苏省淮安市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足方程z 2+1＝0（i 是虚数单位），则z ＝（ ） A ．1B ．iC ．±iD ．﹣i2．某地为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，决定采用分层抽样的方式从甲村、乙村、丙村抽取部分村民参与环保调查研究．已知甲村、乙村、丙村人数之比是5：2：3，被抽到的参与环保调查研究的村民中，甲村的人数为40人，则参加调查研究的总人数是（ ） A ．80B ．800C ．100D ．603．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(1，2)B ．e 1→=(2，−3)，e 2→=(12，−34)C ．e 1→=(3，4)，e 2→=(−6，−8)D ．e 1→=(−2，1)，e 2→=(1，2)4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发普遍．已知某群体的成员，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.1，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.9B ．0.85C ．0.95D ．0.85．在△ABC 中，边长c =√6，A ＝105°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆的面积是（ ） A ．6πB ．24πC ．2√6πD ．4√6π6．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件A +B 有8个样本点，则下列说法正确的是（ ） A ．事件A 与事件B 互斥 B ．P(B)=13C ．P(AB)＞P(AB)D ．事件A 与事件B 相互独立7．若sin θ＝2cos10°•cos （20°﹣θ），0°＜θ＜180°，则θ＝（ ） A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°8．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，若PE →=23PB →，PF →=13PC →，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P ﹣AEFG与四棱锥P ﹣ABCD 的体积比为（ ） A ．746B ．845C ．745D ．445二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年江苏省淮安市高一下期末数学试卷((有答案))
2019-2020学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．5．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ．8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是．9．（5分）已知{an }是等差数列，Sn是其前n项和，若2a7﹣a5﹣3=0，则S17的值是．10．（5分）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC= ．11．（5分）在数列{an }中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和．若sn=254，则n= ．12．（5分）已知{an }是等差数列，a1=1公差d≠0，Sn为其前n项的和，若a1，a2，a5成等比数列，S10= ．13．（5分）在锐角△ABC中，sinA=sinBsinC，则tanB+2tanC的最小值是．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．16．（14分）已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．（1）求{an }的首项a1和公差d的值；（2）设数列{bn }满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．20．（16分）已知数列{an }的前n项和为Sn，且满足Sn=n2﹣4n，数列{bn}中，b1=对任意正整数．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：．2019-2020学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）2sin15°cos15°=．【解答】解：原式=sin30°=，故答案为：．2．（5分）一组数据1，3，2，5，4的方差是 2 ．【解答】解：=（1+2+3+4+5）÷5=3，S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．故答案为：2．3．（5分）若x∈（0，1）则x（1﹣x）的最大值为．【解答】解：∵x（1﹣x）=﹣，x∈（0，1）∴当x=时，x（1﹣x）的最大值为故答案为：．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9 ．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：95．（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是．【解答】解：设事件A=“灯与两端距离都大于2m”根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分因此，事件A发生的概率为P（A）==故答案为：6．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3 ．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，得，=1﹣4=﹣3．此时zmin故答案为：﹣3．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣8．（5分）若tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值是7 ．【解答】解：由tanα=﹣2，tan（α+β）=，得tanβ=tan [（α+β）﹣α]=．故答案为：7．9．（5分）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，若2a 7﹣a 5﹣3=0，则S 17的值是 51 ． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵2a 7﹣a 5﹣3=0，∴2（a 1+6d ）﹣（a 1+4d ）﹣3=0， 化为：a 1+8d=3，即a 9=3． 则S 17==17a 9=17×3=51．故答案为：51．10．（5分）已知△ABC 中，AB=，BC=1，A=30°，则AC= 1或2 ．【解答】解：∵AB=c=，BC=a=1，cosA=，∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，即1=b 2+3﹣3b ， 解得：b=1或2， 则AC=1或2． 故答案为：1或211．（5分）在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若s n =254，则n= 7 ． 【解答】解：由数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n ， 可知：此数列为等比数列，首项为2，公比为2． 又s n =254， ∴254=，化为2n =128， 解得n=7． 故答案为：7．12．（5分）已知{a n }是等差数列，a 1=1公差d ≠0，S n 为其前n 项的和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，S 10= 100 ．【解答】解：若a 1，a 2，a 5成等比数列， 则a 1a 5=（a 2）2，即a 1（a 1+4d ）=（a 1+d ）2， 则1+4d=（1+d ）2， 即2d=d 2，解得d=2或d=0（舍去）， 则S 10==10+90=100，故答案为：100．13．（5分）在锐角△ABC 中，sinA=sinBsinC ，则tanB+2tanC 的最小值是 3+2 ．【解答】解：锐角△ABC 中，sinA=sinBsinC ， ∴sin （B+C ）=sinBsinC ， 即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC ， ∴cosBsinC=sinB （sinC ﹣cosC ）， ∴sinC=（sinC ﹣cosC ），两边都除以cosC ，得tanC=tanB （tanC ﹣1）， ∴tanB=；又tanB ＞0，∴tanC ﹣1＞0， ∴tanB+2tanC=+2tanC=+2tanC=1++2（tanC ﹣1）+2≥3+2=3+2，当且仅当=2（tanC ﹣1），即tanC=1+时取“=”；∴tanB+2tanC 的最小值是3+2．故答案为：3+2．14．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为[2，）．【解答】解：a，b，c成等比数列，设==q，q＞0，则b=aq，c=aq2，∴∴，解得＜q＜．则=+=+q，由f（q）=+q在（，1）递减，在（1，）递增，可得f（1）取得最小值2，由f（）=f（）=，即有f（q）∈[2，）．故答案为：[2，）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知sinα=．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵α∈（），sinα=，∴cosα=﹣．∴=sin cosα+cos sinα=；（2）∵sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=，∴==．16．（14分）已知等差数列{an }中，其前n项和为Sn，a2=4，S5=30．（1）求{an }的首项a1和公差d的值；（2）设数列{bn }满足bn=，求数列{bn}的前项和Tn．【解答】解：（1）因为{an }是等差数列，a2=4，S5=30，所以解得a1=2，d=2（2）由（1）知即所以bn==于是数列{bn }的前n项和Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=17．（14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006．…（4分）（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在[40，50）上为事件A．…（5分）=0.004×10×50=2，记为1，2号因为样本中评分在[40，50）的师生人数为：m1=0.006×10×50=3，记为3，4，5号…（7分）样本中评分在[50，60）的师生人数为：m2所以从5人中任意取2人共有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种等可能情况，2人中恰有1人评分在[40，50）上有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种等可能情况．∴2人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率为P（A）==．…（10分）（3）服务质量评分的平均分为：=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）∵76.2＞75，∴食堂不需要内部整顿．…（14分）18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，2]，求实数a的值；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）≤0．【解答】解：（1）因为不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≤0的解集为[﹣1，2]，所以方程ax2+（a﹣2）x﹣2=0有两根且分别为﹣1，2，所以△=（a﹣2）2﹣4a•（﹣2）≥0且﹣1×2=，解得：a=1；（2）由ax2+（a﹣2）x﹣2≤0，得（x+1）（ax﹣2）≤0，当﹣2＜a＜0时，解集为{x|x≤或x≥﹣1}，当a=﹣2时，解集为R；当a＜﹣2时，解集为{x|x≤﹣1或x≥}．19．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．（1）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元/km，两条道路造价为30万元/km，问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低．【解答】（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y﹣1，∠ABC=60°，由余弦定理，得AC2=BA2+BC2﹣2BA•BCcos∠ABC，…（2分）即（（y﹣1）2=y2+（2x）2﹣2y•2x•cos60°，所以．…（5分）由AB ﹣AC ＜BC ，得．又因为 ＞0，所以x ＞1．所以函数的定义域是（1，+∞）．…（6分）（2）M=30•（2y ﹣1）+40x ．…（8分）因为．（x ＞1），所以M=30即 M=10．…（10分）令t=x ﹣1，则t ＞0．于是M （t ）=10（16t+），t ＞0，…（12分）由基本不等式得M （t ）≥10（2）=490，当且仅当t=，即x=时取等号．…（15分）答：当x=km 时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M 为490万元．…（16分）20．（16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =n 2﹣4n ，数列{b n }中，b 1=对任意正整数．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n •b n +μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q 的值，若不存在，请说明理由； （3）求证：．【解答】解：（1）当n=1时，a 1=S 1=﹣3，…（1分） 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣4n ﹣（n ﹣1）2+4（n ﹣1）， 即a n =2n ﹣5，…（3分）n=1也适合，所以a n =2n ﹣5．…（4分） （2）法一：假设存在实数μ，使数列{3n •b n +μ}是等比数列，且公比为q ．…（5分）因为对任意正整数，，可令n=2，3，得 b 2=，b 3=﹣．…（6分）因为{3n b n +μ}是等比数列，所以=，解得 μ=﹣ …（7分）从而 ===﹣3 （n ≥2）…（9分）所以存在实数μ=﹣，公比为q=﹣3．…（10分）法二：因为对任意正整数．所以，设3n b n +μ=﹣3（3n ﹣1b n ﹣1+μ），则﹣4μ=1，…（8分）所以存在，且公比．…（10分）（3）因为a 2=﹣1，a 3=1，所以，，所以，即，…（12分）于是b 1+b 2+…+b n =+++…===…（13分）当是奇数时：b 1+b 2+…+b n =，关于递增，得≤b 1+b 2+…+b n ＜．…（14分）当是偶数时：b 1+b 2+…+b n =，关于递增，得≤b 1+b 2+…+b n．…（15分）综上，≤b 1+b 2+…+b n．…（16分）。