2009年高考福建数学试题(理科解析)

（2）是否存在平行于OA的直线 ，使得直线 与椭圆C有公共点，且直线OA与 的距离等于4？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。
【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。
【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为 ，且可知左焦点为
得 ，
即 ，解得 ，进而有
，用 代替 ，重复上述计算过程，可得
和 ，又 ，所以
因此有 。
（Ⅱ）记函数 的图象为曲线 ，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式 的实数 ，曲线 与其在点 处的切线交于另一点
，曲线C与其在点 处的切线交于另一点 ，线段
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线 的对称中心 平移至坐标原点，因而不妨设 ，类似（i）（ii）的计算可得
14．已知函数 和 的图象的对称轴完全相同。若 ，则 的取值范围是。
【答案】
【解析】由题意知， ，因为 ，所以 ，由三角函数图象知：
的最小值为 ，最大值为 ，所以 的取值范围是 。
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。
15．已知定义域为 的函数 满足：①对任意 ，恒有 成立；当 时， 。给出如下结论：
9．对于复数 ,若集合 具有性质“对任意 ,必有 ”,则当
时, 等于( )
A.1 B.-1 C.0 D.
【答案】B
【解析】由题意，可取 ，所以 ，选B。
【命题意图】本题属创新题，考查复数与集合的基础知识。
10．对于具有相同定义域D的函数 和 ,若存在函数 为常数),对任给的正数m,存在相应的 ,使得当 且 时,总有 ,则称直线 为曲线 和 的“分渐近线”.给出定义域均为D= 的四组函数如下:
① , ;② , ;
③ , ;④ , .
其中,曲线 和 存在“分渐近线”的是( )
A.①④B.②③C.②④D.③④
【答案】C
【解析】经分析容易得出②④正确，故选C。
【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。
二、填空题：
11．在等比数列 中,若公比 ,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 .
【答案】
所以 的最大值是 。
（ii）由（i）可知， 取最大值时， ，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系 （如图），则C（r，0，0），B（0，r，0）， （0，r，2r），
因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
设平面 的法向量 ，由 ，故 ，
取 得平面 的一个法向量为 ，因为 ，
所以 。
19．（本小题满分13分）
【解析】由题意知 ，解得 ，所以通项 。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。
12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于.
【答案】
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
，侧面积为 ，所以其表面积为 。
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
【解析】设该数列的公差为 ，则 ，解得 ，
所以 ，所以当 时， 取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
4．函数 的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】当 时，令 解得 ；
【答案】B
【解析】由题意知，所求的 的最小值，即为区域 中的点到直线 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
可看出点（1，1）到直线 的距离最小，故 的最小值为
，所以选B。
【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。
【解析】（1）由 得 ，即 ，
由于整数 且 ，所以A包含的基本事件为
。
（2）由于 的所有不同取值为 所以 的所有不同取值为 ，
且有 ， ， ， ，
故 的分布列为
0
1
4
9
P
所以 = 。
17．（本小题满分13分）
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C的方程；
当 时，令 解得 ，所以已知函数有两个零点，选C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 值等于（）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】由程序框图可知，该框图的功能是
输出使和
时的 的值加1，因为 ， ，
所以当 时，
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，直线 的参数方程为 （t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 。
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线 交于点A、B，若点P的坐标为 ，
求|PA|+|PB|。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 。
（Ⅰ）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
（1）选修4-2：矩阵与变换
【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。
16．（本小题满分13分）
设 是不等式 的解集，整数 。
（1）记使得“ 成立的有序数组 ”为事件A，试列举A包含的基本事件；
（2）设 ，求 的分布列及其数学期望 。
【命题意图】本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。
【解析】如图，由（1）得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设 ，OD= ，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 和 ，
所以 ，解得 ，
从而 值，且最小值为 ，于是
当 取得最小值，且最小值为 。
此时，在 中， ，故可设计航行方案如下：
F（-2，0），从而有 ，解得 ，
又 ，所以 ，故椭圆C的方程为 。
（2）假设存在符合题意的直线 ，其方程为 ，
由 得 ，
因为直线 与椭圆有公共点，所以有 ，
解得 ，
另一方面，由直线OA与 的距离4可得： ，从而 ，
由于 ，所以符合题意的直线 不存在。
18．（本小题满分13分）
如图，圆柱 内有一个三棱柱 ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
8．设不等式组 所表示的平面区域是 ,平面区域是 与 关于直线 对称,对于 中的任意一点A与 中的任意一点B, 的最小值等于( )
A. B.4 C. D.2
【解析】因为 ∥ ， ∥ ，所以 ∥ ，又 平面 ，
所以 ∥平面 ，又 平面 ，平面 平面 = ，
所以 ∥ ，故 ∥ ∥ ，所以选项A、C正确；因为 平面 ，
∥ ，所以 平面 ，又 平面 ， 故 ，所以选项B也正确，故选D。
【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）设AB= ，在圆柱 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 内的概率为 。
（i）当点C在圆周上运动时，求 的最大值；
（ii）记平面 与平面 所成的角为 ，当 取最大值时，求 的值。
【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。
13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。
【答案】0.128
【解析】由题意知，所求概率为 。
【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。
【解析】（Ⅰ）因为 平面ABC， 平面ABC，所以 ，
因为AB是圆O直径，所以 ，又 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 。
（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为 ，则AB= ，故三棱柱 的体积为
= ，又因为 ，
所以 = ，当且仅当 时等号成立，
从而 ，而圆柱的体积 ，
故 = 当且仅当 ，即 时等号成立，
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。
【解析】（Ⅰ）（i）由 得 = ，
当 和 时， ；
当 时， ，
因此， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。
（ii）曲线C与其在点 处的切线方程为
， 故 。
21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换