2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第三章 第一节 导数的概念及其运算 Word版含解析

一、填空题
1．已知曲线y＝1
x上一点A(1,1)，则该曲线在点A处的切线方程为________．
解析：y′＝(1
x)′＝－
1
x2，故曲线在点A(1,1)处的切线的斜率为－1，故所求的切
线方程为y－1＝－(x－1)，即为x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
2．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.
解析：由题意得f′(x)＝2x＋3f′(2)，
∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，
∴f′(2)＝－2.
答案：－2
3．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．
解析：设P(x0，y0)，∵f′(x)＝4x3－1，
∴f′(x0)＝4x30－1，由题意知4x30－1＝3，
∴x0＝1，则y0＝0.即P(1,0)．
答案：(1,0)
4．点P是曲线x2－y－2ln x＝0上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最短距离为________．
解析：y＝x2－2ln x＝x2－ln x，y′＝2x－1 x ，
令y′＝1，即2x－1
x ＝1，解得x＝1或x＝－1
2(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的
切线为：y＝x，其到直线y＝x－2的距离2即为所求．答案： 2
5．已知函数f(x)＝f′(π
4)cos x＋sin x，则f(
π
4)的值为________．
解析：因为f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)·sin π4＋cos π4⇒f ′(π4)＝2－1，
故f (π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4⇒f (π4)＝1.
答案：1
6．设直线y ＝－3x ＋b 是曲线y ＝x 3－3x 2的一条切线，则实数b 的值是________． 解析：求导可得y ′＝3x 2－6x ，由于直线y ＝－3x ＋b 是曲线y ＝x 3－3x 2的一条切线，所以3x 2－6x ＝－3，解得x ＝1，所以切点为(1，－2)，同时该切点也在直线y ＝－3x ＋b 上，所以代入直线方程可得b ＝1.
答案：1
7．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.
解析：f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x
所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 答案：212
8．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取
值范围是________．
解析：f ′(1)＝(sin θx 2＋3cos θ·x )|x ＝1
＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)．
∵θ∈[0，5π12]，
∴θ＋π3∈[π3，3π4]，
∴sin(θ＋π
3)∈[
2
2
，1]，
∴f′(1)∈[2，2]．答案：[2，2]
9．如图中，有一个是函数f(x)＝1
3x
3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)
的图象，则f(－1)＝________.
解析：∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴导函数f′(x)的图象开口向上．
又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．
由图象特征知f′(0)＝0，且－a>0，∴a＝－1.
故f(－1)＝－1
3－1＋1＝－1
3.
答案：－1 3
二、解答题
10．求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；
(2)y＝(x－2)2；
(3)y＝x－sin x
2cos
x
2.
解析：(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)·(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
(2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，
(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，
∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x .
11．设函数f (x )＝ax ＋
1x ＋b (a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.
(1)求y ＝f (x )的解析式；
(2)证明曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
解析： (1)f ′(x )＝a －
1(x ＋b )2， 于是⎩⎨⎧ 2a ＋
12＋b
＝3a －1(2＋b )2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94b ＝－83.
由a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1
. (2)在曲线上任取一点(x 0，x 0＋1x 0－1
)． 由f ′(x 0)＝1－1
(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝[1－1(x 0－1)2](x －x 0)．
令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为(1，x 0＋1
x 0－1)． 令y ＝x 得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)．
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为1
2|x0＋1
x0－1
－1|·|2x0－1－1|＝1
2|
2
x0－1
||2x0－2|＝2.
所以所围三角形的面积为定值2.
12．设函数f(x)＝x2－a ln x与g (x)＝1
a x－x的图象分别交直线x＝1于点A，B，
且曲线y＝f(x)在点A处的切线与曲线y＝g(x)在点B处的切线斜率相等．
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2)当a>1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；
(3)当a<1时，不等式f(x)≥m·g(x)在x∈[1
4，
1
2]上恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)由f(x)＝x2－a ln x，
得f′(x)＝2x2－a
x.
由g(x)＝1
a x－x，
得g′(x)＝2x－a 2a x
.
又由题意可得f′(1)＝g′(1)，
即2－a＝2－a 2a
，
故a＝2或a＝1
2.
所以当a＝2时，f(x)＝x2－2ln x，
g(x)＝1
2x－x；
当a＝1
2时，f(x)＝x2－1
2ln x，
g(x)＝2x－x.
(2)当a>1时，
h (x )＝f (x )－g (x )
＝x 2－2ln x －12x ＋x ，
所以h ′(x )＝2x －2x －12＋12x
＝2(x －1)(x ＋1)x －x －12x
＝(x －1)[4(x x ＋x ＋x ＋1)－x 2x
]． 由x >0，得4(x x ＋x ＋x ＋1)－x 2x
>0. 故当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增， 所以函数h (x )的最小值为
h (1)＝1－2ln 1－12＋1＝32.
(3)当a ＝12时，f (x )＝x 2－12ln x ， g (x )＝2x －x .
当x ∈[14，12]时，
f ′(x )＝2x －12x ＝4x 2－12x <0，
f (x )在[14，12]上为减函数，
f (x )≥f (12)＝14＋12ln 2>0.
当x ∈[14，12]时，g ′(x )＝2－12x ＝4x －12x
>0，g (x )在[14，12]上为增函数， g (x )≤g (12)＝1－22，
且g (x)≥g(1
4)＝0.
要使不等式f(x)≥m·g(x)在x∈[1
4，1
2]上恒成立，
当x＝1
4时，m为任意实数；当x∈(1
4
，1
2]时，m≤
f(x)
g(x)
.
而[f(x)
g(x)]min＝
f(
1
2)
g(
1
2)
＝
2＋2
4ln(4e)，
所以m≤2＋2
4ln(4e)．
实数m的取值范围为(－∞，2＋2
4ln 4e)。