电磁学第一次作业解答

电磁学第一次作业解答
第六章 真空中的静电场
6-1 在边长为a 的正方形四个顶点上各有相等的同号点电荷－q ．试求：在正方形的中心处应放置多大电荷的异号点电荷q 0，才能使每一电荷都受力为零？ 解：如图所示，由于对称分布，放在中心处的q 0无论电荷多少都能取得平衡.因四个定点上的电荷受力情况相同，因此只需考虑任一顶点上的电荷受力情况．例如考虑D 点处的电荷，顶点A 、B 、C 及中心处的电荷所激发的电场对D 处点电 荷的作用力的大小分别为：
(
)
2
002
0122
/24a
qq a qq qE f εεπ=π=
=
(
)
2
02
2
2
2824a
q
a
q qE f B εεπ=
π=
=
2
02
34a q
qE f A επ== 2
02
44a
q
qE f C επ=
=
各力方向如图所示，α＝45°．D 处电荷的受力平衡条件为： ∑=0x f , ∑=0y f 用
0c o s c o s 123=-+=∑
ααf f f f x
将f 1，f 2，f 3式代入上式化简得：
()4/2210q q +=＝0.957 q 用∑=0y f 得同样结果．
6-4 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．
解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：
L
q
O
()
2
04d d x d L q
E -+π=
ε()
2
04d x d L L x
q -+π=
ε 总场强为 ⎰+π=
L
x d L x
L q E 0
2
)
(d 4－ε()
d L d q +π=
04ε
方向沿x 轴，即杆的延长线方向．
6-8 两根相同的均匀带电细棒，长为l ，电荷
线密度为λ，沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也为l ，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电
相互作用力．
解：选左棒的左端为坐标原点O ，x 轴沿棒方向向右，在左棒上x 处取线元
d x ，其电荷为d q ＝λd x ，它在右棒的x '处产生的场强为：
()
2
04d d x x x E -'π=
ελ
整个左棒在x '处产生的场强为：
()
⎰
-'π=
l
x x x E 0
2
04d ελ⎪⎭
⎫ ⎝⎛'--'π=
x l x 11
40ελ
右棒x '处的电荷元 d x '在电场中受力为： x x l x x E F '⎪⎭
⎫ ⎝⎛'--'π=
'=d 11
4d d 02
ελ
λ
整个右棒在电场中受力为：
⎜⎠⎛'⎪⎭
⎫
⎝⎛'--'π=l
l x x l x F 3202
d 11
4ελ
34ln 402
ελπ=，方向沿x 轴正向． 左棒受力 F F -='
6-14 一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度．
解： 选取坐标轴Ox 沿半球面的对称轴，如图所示．把半球面分成许多微小宽度的环带，每一环带之面积
θθθθd R R R S s i n 2d s i n 2d 2
π=π= 小环带上带电荷
θθσσd s i n 2d d 2R S q π== 该电荷元在O 点产生的场强
O R d E x d θ
θ
3
04c o s d d R
qR E εθπ=θ
θ
θσεc o s d s i n 2412
2
R
R π⋅
π=
()()02/d cos sin εθθθσ=
O 点处的总场强 ()⎰
=2
/0
s i n d s i n 2πθθεσ
E 0
2
/0
2
4|2
s i n 2εσ
θεσ
π=
=
i
E
4εσ= (SI) (i
为沿x 轴正方向的单位矢量)。