高考数学圆锥曲线知识点总结

高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线:

在平面直角坐标系中， 解建立了如下的关系： 如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二兀方程 f(x,y) 0的实数

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，

那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是f(x,y)=O ,则点PO(xO,yO)在曲线C 上 f(χθ,y 0)=0 ；点P θ(χθ,y θ)不在曲线C 上 f(x0,y0) ≠ 0。

f ι(χ°,y °) 0 两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1, C2的交点 { f2(X0,

yO)

方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：

1、 定义：点集{ M I I OM I =r},其中定点O 为圆心，定长r 为半径.

2、 方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b),半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是x2+y2=r2

D E

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2,-2 )； ③当D2+E2-4F V 0时，方程不表示任何图形 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x0,y0),则I MC ∣V r 点M 在圆C 内，I MC I =r

直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 相切

有一个公共点；直线与圆相离

没有公共点。

Aa Bb C d ~’ 2

2^

②直线和圆的位置关系的判定： (i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离

V

A 2

B 2

与半

径r 的大小关系来判定。 三、 圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点 P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e> 0),

则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线I 称为准线，正常数 e 称为离心率。当0V e v 1时，

轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当 e> 1时，轨迹为双曲线。

四、 椭圆、双曲线、抛物线：

⑵一般方程：①当

D2+E2-4F > O 时, 元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为

(|

-.D 2

E 2

4F

径是

2

。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0

D

E D 2

E 2

- 4F

化为(x+

2

)2+(y+ 2

)2=

4

点M 在圆C 上,

MC I> r 点M 在圆C 内，其中I

MC I

(X 0-a)2 (y 0-b)2

有两个公共点；直线与圆

2 2 2 L ⑶等轴双曲线：双曲线 X y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y X,离心率e ,2 ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线, 叫做已知双曲线的共轭双曲线 互为共轭双曲线, 它们具有共同的渐近线: ⑸共渐近线的双曲线系方程: (0) 的渐近线方程为 b 0

如果双曲线的渐近线为 0

时，它

的双曲线方程可设为

【备注2】抛物线： 0)

2

(1)抛物线y

=2pX(p>0)的焦点坐标是

P _p

(2

,0),准线方程X=- 2

开口向右；抛物线 y

=-2px(p>0)的焦点坐标是

2

(-2 ,0)，准线方程X= 2，开口向左；抛物线 X =2py(p>0)的焦点坐标是(0, 2

)，准线方程

卫

y=-

2

，开口向上;

2 CC

抛物线X =-2py (p>0)的焦点坐标是(0,-2 ),准线方程y= 2

,开口向下■ 2 (2)抛物线

y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离 MF 与焦点F 的距离 X 0 MF X 。

抛物线 2 y =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)

(3)设抛物线的标准方程为 准线的距离为p. 2

y =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为

_P

顶点到准线的距离

2

,焦点到

(4)已知过抛物线 2

y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A 、B 两点，贝U 线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，

AB _X i X 2 AB +P 或 2p Sin 2 (α为直线AB 的倾斜角),y °2

X 1X 2

P X 1

2

则弦长 做焦半径). 五、坐标的变换： (1) 坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换 (如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 )叫做坐标变换 标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程 (2) 坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移， 简称移轴。 (3) 坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M ,它在原坐标系 XOy 中的坐标是9x,y),在新坐标系

X x' h

AF

•实施坐 ，O ，y ,中 h 的坐标是(x ,y

).设新坐标系的原点0'在原坐标系XOy 中的坐标是(h,k),贝

U

y y

' k

或

y

'