高考数学圆锥曲线知识点总结
高考数学复习 圆锥曲线常用结论整理
圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理椭圆问题小结论：1.与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=>或()2222,0x y b aλλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22221x y a b+=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点(),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：22AB OPb K K a⋅=-；若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，22AB OP a K K b⋅=-；4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.6. 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a=-7.（焦点弦结论）设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处12F PF θ∠=最大。
高考数学圆锥曲线知识点
高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
练习：1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF2.方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）3.已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
高考数学中的圆锥曲线
高考数学中的圆锥曲线圆锥曲线是代数几何中的重要概念，也是高中数学中比较难的一部分。
它包含了直线、双曲线、抛物线和椭圆四种曲线类型。
在高考数学中，圆锥曲线是一个难点，但是掌握了这个知识点，不仅有助于理解高数中其他知识点，也有助于应对高考成绩。
一、圆锥曲线的定义和概念圆锥曲线是在平面直角坐标系中的解析几何概念，它是二次方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数，且D²+E²≠0）的图形。
其中的四种曲线类型如下：1. 直线：当圆锥曲线的系数D=E=0时，圆锥曲线变成直线。
直线可以看成是一个不确定的椭圆，它有两个焦点（即两个充电电荷）、两个半轴（即极值）。
2. 双曲线：当圆锥曲线的系数D²-E²>0时，圆锥曲线变成双曲线。
双曲线有两个焦点和两个渐近线。
3. 抛物线：当圆锥曲线的系数D=0，E≠0时，圆锥曲线变成抛物线。
抛物线有一个焦点和一个顶点。
4. 椭圆：当圆锥曲线的系数D²-E²<0时，圆锥曲线变成椭圆。
椭圆有两个焦点和两个半轴。
二、实例探究：直线与圆锥曲线我们以直线为例，来看一下圆锥曲线与直线的关系。
首先，我们知道当圆锥曲线系数D=E=0时，可以变成一个直线。
而对于直线y=kx+b（k和b均为常数），可以加入一个令y=mx，那么k和b就是D和E，即圆锥曲线的系数。
例如，圆锥曲线x²-6x+y²+4y+9=0，我们可以将它转换为(x-3)²+(y+2)²=4。
这是一个半径为2，圆心在(3,-2)处的圆。
我们可以绘制它的图像，然后再绘制直线y=x-1的图像。
从图像来看，直线y=x-1穿过了圆心，因此它一定与这个圆有交点。
我们可以通过解方程，求出直线y=x-1与圆的交点：(x-3)²+(y+2)²=4；y=x-1.解得：x²-5x+9=0，因此x=（5±√5）/2，代入y=x-1，得到y=（3±√5）/2。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(E D--半径是2422FE D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E)2=44F-E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
高考圆锥曲线公式知识点总结
高考圆锥曲线公式学问点总结高考圆锥曲线公式学问点总结导语：人生，没有过不去的坎，你不行以坐在坎边等它消逝，你只能想方法穿过它。
下面是为大家整理，数学学问。
词更多相关信息请关注CNFLA相关栏目!圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x/a+y/b=1,其中ab0,c=a-b2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y/a+x/b=1,其中ab0,c=a-b参数方程：x=acos;y=bsin(为参数，02)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的.双曲线标准方程：x/a-y/b=1,其中a0，b0，c=a+b.2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y/a-x/b=1,其中a0，b0，c=a+b.参数方程：x=asec;y=btan(为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt;y=2pt(t为参数)t=1/tan(tan为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特殊地，t可等于0 直角坐标:y=ax+bx+c(开口方向为y轴，a0)x=ay+by+c(开口方向为x轴，a0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式学问点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x/a+y/b=1(ab0) x/a-y/b=1(a0,b0) y=2px(p0) 范围x[-a,a] x(-，-a][a,+) x[0,+)y[-b,b] yR yR对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)准线x=a/c x=a/c x=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(0,1) e=c/a,e(1,+) e=1焦半径∣PF∣=a+ex ∣PF∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF∣=a-ex ∣PF∣=∣ex-a∣焦准距p=b/c p=b/c p通径2b/a 2b/a 2p参数方程x=acos x=asec x=2pty=bsin，为参数y=btan，为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0x/a+y0y/b=1 x0x/a-y0y/b=1 y0y=p(x+x0)(x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx(ak+b) y=kx(ak-b)y=kx+p/2k。
高考数学圆锥曲线常用8大结论
高考数学圆锥曲线常用8大结论1. 椭圆的性质椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$其中，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。
椭圆具有以下性质：(1) 光滑性：椭圆是一个连续的、光滑的曲线。
(2) 对称轴：椭圆具有两条对称轴，分别与长半轴和短半轴垂直并交于中心点。
(3) 焦点：椭圆有两个焦点F1和F2，且满足F1F2=2a。
(4) 直线：椭圆上的直线方程一般为$Ax+By+C=0$，其中，$A=\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{b^2x^2}{a^2}$，$B=-2\dfrac{a^2y}{b^2}$，$C=\dfrac{a^2y^2}{b^2}-a^2$。
(5) 参数方程：椭圆的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，其中，$0\leq\theta<2\pi$。
2. 双曲线的性质(4) 渐进线：双曲线的渐进线是直线方程为$y=\pm\dfrac{b}{a}x$的两条直线。
$y=ax^2+bx+c$其中，a不等于0。
(2) 对称轴：抛物线的对称轴是$y=-\dfrac{b}{2a}$。
(3) 焦点：抛物线具有一个焦点F，满足到该点的距离等于焦距。
(5) 参数方程：抛物线的参数方程为$x=t$，$y=at^2+bt+c$。
5. 双曲线方程的标准形式其中，(h,k)为双曲线的中心点坐标，a为双曲线的半轴长，b为双曲线的半轴短。
7. 拋物線切线式拋物線的方程式為因此，在拋物線上一點$(x_0, y_0)$的斜率為則該點的切線方程為$y-y_0 = k(x-x_0)$8. 判别式公式判別式公式可以判別二次曲線的形状，公式如下：$D = \begin{vmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{vmatrix}$若$D>0$，則方程表示的圖形是双曲线；。
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。
2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。
②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。
其中，c表示焦距，a表示长半轴长。
椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。
由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。
当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。
当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。
双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。
需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。
当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。
当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。
双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。
高考数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C 上⇔f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C 上⇔f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程：①当D2+E2-4F ＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422FE D -+。
配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+、②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E);③当D2+E2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x0,y0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
高考数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线知识点总结高考数学里啊，圆锥曲线可是个让不少同学头疼的“大怪兽”。
但别怕，咱们今天就来好好把它“解剖”一下，把它的知识点都理清楚！先来说说椭圆。
椭圆就像是被压扁了的圆，它的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
打个比方，想象一下你在操场上跑步，有两个固定的杆子，你跑的路线使得你到这两个杆子的距离加起来总是不变的，这跑出来的轨迹可能就是个椭圆。
椭圆的标准方程有两种形式，焦点在 x 轴上时是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），焦点在 y 轴上时则是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
这里的 a 和 b 都有特别的含义，a 表示椭圆长半轴的长度，b 表示短半轴的长度。
而且还有个关键的关系\（c^2 ＝ a^2 b^2\），其中 c 是椭圆的半焦距。
再来说说双曲线。
双曲线长得有点像两个背靠背的抛物线，它的定义是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的动点的轨迹。
比如说，你想象有两个机器人，一个在前面跑，一个在后面追，它们之间的距离差始终不变，那它们跑的轨迹可能就是双曲线。
双曲线的标准方程也有两种，焦点在 x 轴上时是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），焦点在 y 轴上时是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
同样有\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
然后是抛物线。
抛物线就像一个抛出去的物体的轨迹。
它的定义是平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的动点的轨迹。
比如你拿着喷壶浇水，水喷出来形成的曲线就可能是抛物线。
抛物线的标准方程也有多种，比如\（y^2 ＝ 2px\）、＼（y^2 ＝－2px\）、＼（x^2 ＝ 2py\）、＼（x^2 ＝－2py\），这里的 p 表示焦点到准线的距离。
高考数学中的圆锥曲线知识点总结
高考数学中的圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中比较重要和难度较大的一部分内容，也是高考数学必考的一个知识点。
它是由圆锥（一种立体图形）与平面相交所得到的一类曲线，在空间中可以表现为椭圆、双曲线和抛物线三种不同形态。
下面本文将对这一知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握和应用这一重要知识点。
一、椭圆1. 定义椭圆是平面上到两个确定点F1和F2的距离的和等于定值2a 的所有点的轨迹。
2. 公式椭圆的标准方程为：(x² / a²) + (y² / b²) = 1其中，a、b均为正数，a代表椭圆短轴一半长度，b代表椭圆长轴一半长度。
3. 性质（1）椭圆的长轴和短轴分别是椭圆的最长直径和最短直径；（2）椭圆的两个焦点F1和F2在椭圆的长轴上，且满足距离为2a；（3）椭圆的离心率e的值在[0，1)之间；（4）椭圆的对称轴分别是椭圆的长轴和短轴；（5）椭圆的直径有两个对称轴，有四个半轴；（6）椭圆的周长为4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分，用数值表或计算器可得。
二、双曲线1. 定义双曲线是平面上到两个确定点F1和F2的距离的差为定值2a 的所有点的轨迹。
2. 公式双曲线的标准方程为：(x² / a²) - (y² / b²) = 1其中，a、b均为正数，a代表双曲线的距离两点的差的一半，b 代表双曲线离心率的倒数。
3. 性质（1）双曲线有两个相交且交点为对称中心的对称轴；（2）双曲线的长轴是对称轴之间的距离，短轴是横截距；（3）双曲线的离心率e的值在（1，+∞）之间；（4）双曲线的渐近线是与双曲线无限靠近但不相交的直线。
三、抛物线1. 定义抛物线是平面上到一个定点F到直线L的距离等于点P到直线L距离的平方的一半的所有点的轨迹。
2. 公式抛物线的标准方程有两种：（1）矩形坐标系下为：y = ax²（2）平面直角坐标系下为：(x - h)² = 4p(y - k)其中，a、p均为正数，a代表抛物线开口的方向，p代表抛物线的几何意义。
高考数学圆锥曲线部分重要公式及结论
高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高考数学圆锥曲线知识点归纳总结
高考数学圆锥曲线知识点归纳总结在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，准确理解和掌握圆锥曲线的相关概念和性质对于解题至关重要。
本文将对圆锥曲线的知识进行归纳总结，帮助同学们更好地复习和应对高考数学考试。
一、圆锥曲线的基本概念在正式介绍圆锥曲线的各个具体曲线之前，我们首先需要了解圆锥曲线的基本概念。
圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交而形成的曲线。
相交的平面可以与圆锥的两个交点、一条交线或者圆锥的某一侧相切，由此得到不同类型的圆锥曲线。
二、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基础的一类曲线。
椭圆是一个闭合的曲线，其定义可以通过焦点和离心率进行描绘。
离心率小于1的椭圆称为狭椭圆，离心率等于1的椭圆称为圆形，离心率大于1的椭圆称为宽椭圆。
椭圆的一些性质和公式：1. 椭圆的离心率e满足0<e<1。
2. 椭圆的焦点到直径的距离之和等于常数2a，即F1F2 = 2a。
3. 椭圆的长半轴长度为a，短半轴长度为b，焦距为c。
满足a^2 =b^2 + c^2。
4. 椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。
三、双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一类曲线。
与椭圆不同，双曲线是开放的曲线，其两个分支无限延伸。
同样可以通过焦点和离心率来定义双曲线。
双曲线的一些性质和公式：1. 双曲线的离心率e满足e大于1。
2. 双曲线的焦点到直归的距离之差等于常数2a，即F1F2 = 2a。
3. 双曲线的长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦距为c。
满足a^2 =b^2 + c^2。
4. 双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。
四、抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，与椭圆和双曲线不同，抛物线是开放的曲线，其只有一个分支。
抛物线的形状类似于开口向上或向下的弓。
抛物线的一些性质和公式：1. 抛物线的离心率e等于1。
2. 抛物线的焦点与直线的距离相等，即F1F2 = PF。
3. 抛物线的焦点与顶点的距离为a，焦点的坐标为(a,0)。
高考数学总复习考点知识专题讲解16 圆锥曲线光学性质
高考数学总复习考点知识专题讲解专题16 圆锥曲线光学性质知识点一：光学性质概念椭圆的光学性质：从一个焦点发出的照射到椭圆上其反射光线会经过另一个焦点。
双曲线有一个光学性质：从一个焦点发出的照射到双曲线上其反射光线的反向延长线会经过另一个焦点。
抛物线有一个光学性质：从焦点发出的照射到抛物线上其反射光线平行于抛物线开口方向。
知识点二：光学性质定理定理1点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，则椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.由于本题证明方法很多，如果是解决小题，我们按照小题小作来解读，根据物理学的反射原理，反射光线等于入射光线，即把椭圆上的点P 处切线看成镜面，那么法线就是12F PF ∠的平分线，所以它们垂直就自然而然了，同理也能推导双曲线.推论1：设椭圆22221x y a b+=（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为椭圆上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为22220000(0)a y x b x y a b x y ---=.根据光学性质可知00(,)P x y 处切线方程为12020=+b yy a xx ，由于P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直，故12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为000022()a y b x y y x x =--，即22220000(0)a y x b x ya b x y ---=.【例1】已知点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.定理2点P 为双曲线上任一点.1F 、2F 为双曲线的两焦点，则双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.推论2 设双曲线22221x y a b-=±（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为双曲线上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程.为222200b x x a y y a b -=±. 【例2】已知点P 为双曲线上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.定理3点P 为抛物线上任一点，F 为拋物线的焦点，过P 作拋物线的准线的垂线，垂足为P '，则拋物线在点P 处的切线与FPP ∠'的平分线重合.证明：设拋物线的方程为22y px =，200(,)2y P y p.利用导数知识易得抛物线在P 点处的切线斜率存在时为0PQ P k y =.又(,0)2pF ，则02202PP py k y p'=-，0PP k '=.由夹角公式可得：0tan ||||1PP PQ PP PQk k PQPP k k y ∠''-=+'=，0220002202tan ||||121PP PQ PP PQ py pk k y y p FPQ py p k k y y p ''---∠==++⋅-2222232000022222220000021||||()2py p py y p p py y y y p y p p y p -----=⋅=⋅--++22022000()1||||p p y p y y y p -+=⋅=+. 即有tan tan QPP FPQ ∠∠'=，所以PQ 为FPP ∠'的平分线.【例3】（2011年高考全国卷II 理15）已知1F 、2F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线.则2||AF =________.【例4】（2023•东莞市期末）如图，从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点0(P x ，0)y 处的切线00221xx yy a b+=垂直于12F PF ∠的角平分线．已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(,0)T t ，则t 的取值范围是．【例5】（2023•老唐说题教师群探讨）如图，椭圆焦点三角形的1290F AF ∠=︒，AB 为12F AF ∠的角平分线且2AB BD =，则椭圆离心率为.【例6】（2023•广东期末）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠．若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论不正确的是()A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44(,)33k ∈-B ．当m n ⊥时，12||||32PF PF ⋅= C ．当n 过点(7,5)Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13 D ．若点T 坐标为(1,0)，直线PT 与C 相切，则2||12PF =【例7】（2023•阳信期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HF PF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2【例8】（2023•天河区期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:C y x =，O 为坐标原点．一束平行于x 轴的光线1l 从点(P m ，1)(1)m >射入，经过C 上的点1(A x ，1)y 反射后，再经C 上另一点2(B x ，2)y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则()A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线 C ．25||16AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =知识点三：光学定理与内心旁心 定理一：椭圆焦点三角形内心如图，I 为12PF F △内切圆的圆心，PI 和12F F 相交于点N (区分切点M )，则①INe IP=．②121212IF F PF F IF F S e S S =-△△△证明：法一（利用角平分线定理＋等比定理）：1212121222F N F N F N F N IN c e IP F P F P F P F P a+=====+． 法二：（光学定理+中垂线）PI 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线（考虑极限情况，切点看为两个交点的中点），根据中垂线截距定理202ax c x N =，再根据角平分线定理可知e ex a c a x c P F N F IP IN =++==020211,根据等面积法，121212IF F N N P NP NPF F IF F S y c y IN IPy y c y y S S ===---△△△.中垂线截距定理：若B A 、关于直线PQ 对称，可以知道线段AB 被直线PQ 垂直平分，其中(0)P n ，，(0)Q m ，则能得出以下定理（不妨设焦点在x 轴上）： 202y c m b =-（椭圆），202y c m b =（双曲线）；202x c n a =（椭圆），202x c n a=（双曲线）．因为22AB OM b k ak =-⋅（点差法），1AB PQ k k =-⋅，所以22OMPQb a k k =，故220000b a y x y m x =-，即202y c m b =-；同理220000b a y x y x n=-，即202x c n a =．定理二：双曲线焦点三角形旁心旁心定理：I 是12PF F △的旁心，1F I 、2F I 分别是1PF D ∠、2PF D ∠的角平分线．如图,则：ID e IP =，11IF D PF IS e S =△△．证明：法一：(利用外角平分线定理＋等比定理)：111212121222DIF PIF S ID DF F D DF F D ce S PIPF PF PF PF a -======-△△，法二：（光学定理+中垂线）PD 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线，根据中垂线截距定理202ax c x D =，再根据角平分线定理可知，e a ex c a x c PF DF IP ID =--==020222 【例9】（2023•思明区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -和2(,0)F c，1(M x 为C 上一点，且△12MF F 的内心为2(I x ，1)，则椭圆C 的离心率为()A ．35B ．25C ．13D ．12【例10】(2023哈三中高三一模16题）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x与双曲线)00(12222>>=-n m ny m x ，有公共焦点)0(1，c F -，)0(2，c F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，︒=∠6021PF F ,则=+222131e e ；I 为21F PF ∆的内心，G I F 、、1三点共线，且0=⋅IP GP ，x 轴上点A 、B 满足IP AI λ=，GP BG μ=，则22μλ+的最小值为.知识点四：光学定理与大圆小圆问题1. 椭圆的大圆焦点作椭圆切线的垂线，垂足轨迹是以长轴为直径的圆．这个圆我们称之为大圆.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上点P 处的切线为l ，则过焦点12F F 、作直线l 的垂线，垂足H 的轨迹是以长轴为直径的圆，即为222x y a +=．证明: 如图，作2F H l ⊥,1F H l '⊥．当点P 不在长轴的两个端点时，延长1F P 交2F H 于点Q ，根据椭圆的光学性质可知：切线l 平分2F PQ ∠，故2PQF △是等腰三角形，点H是线段2F Q 的中点．因此，在12F F Q 中，1112222FQ F P PQF P PF OH a ++====，故点H 的轨迹是222()x y a x a +=≠±，同理，H`的轨迹也符合此轨迹方程，当点P 在长轴的两个端点时，此时的射影点(,0)a ±亦满足上述方程．【例11】（2023•连城县月考）如图所示，已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为()A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线2.大圆性质拓展如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：上点P 处的切线为l ，且焦点12F F 、在直线l 上的垂足分别为G 、H ，设12F PF θ∠=，椭圆的上顶点为B ，左右顶点分别为1A 、2A ，则：(1) 212FG F H b =； (2)直角梯形12F F GH 的面积的为2sin S a θ=，又12F BF θ≤∠,故212max12,22,02a F BF S bc F BF ⎧π⎛⎫∠≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨π⎛⎫⎪<∠< ⎪⎪⎝⎭⎩；证明(1) 法一：设1F P m =，2F P n =，则2cos 11θPF G F =，2cos 22θPF H F =222222212411cos ()42cos 2224m n c m n c mn FG F H mn mn mn b θθ+-+++-=====．法二延长1MF 交大圆222x y a +=于点I ，根据对称性，有21F H F I =，再利用相交弦定理，则212111112()()FG F H FG F I A F F A a c a c b ===-+=．(2) 利用椭圆的光学性质，如图所示，延长1F P 交2F H 于点N ，过点N 作//GH MN 交G F 1延长线于点M，因此，2121111111()()sin cos 222222S FG F H MN FG MG MN F M MN F N θθ=+=+==，又1122F N F P PF a =+=，则2214sin cos sin 222S a a θθθ==． 注意：大题在证明光学性质时比较麻烦，建议参考例题方式书写大题，那样其实也不难.【例12】已知椭圆22143x y +=，圆224x y +=，直线2y x =与椭圆交于点A ，过A 作椭圆的切线交圆于M 、N 两点（M 在N 的左侧），则12MF NF =．【例13】（2023•南充模拟）设点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为0． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．3.双曲线的小圆焦点在双曲线切线上的垂足轨迹是以实轴为直径的圆，我们称之为小圆.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上点P 处的切线为l ，则焦点12F F 、在直线l上的射影点H 的轨迹是以实轴为直径的圆，即为222x y a +=．【例14】已知双曲线221916x y -=的两焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一动点，过点1F 作12F PF ∠平分线所在直线的垂线，则垂足M 的轨迹方程为( )．A ．229x y +=B ．2216x y +=C ．229x y -=D ．2216x y -=【例15】（多选）设双曲线22:14x C y -=左右焦点分别为1F ，2F ，设右支上一点P 与2F 所连接的线段为直径的圆为圆1O ，以实轴为直径的圆为圆2O ，则下列结论正确的有() A ．圆1O 与圆2O 始终外切B ．若2F P 与渐近线垂直，则2F P 与圆2O 相切 C ．12F PF ∠的角平分线与圆1O 相切D ．三角形12F PF 的内心和外心最短距离为2【例16】（2023•江苏模拟）已知椭圆22:143y x C +=，点0(P x ，0)y 为椭圆C 在第一象限的点，12F F 为椭圆的左、右焦点，点P 关于原点的对称点为Q ． （1）设点Q 到直线1PF ，2PF 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 取值范围； （2）已知椭圆在0(P x ，0)y 处的切线l 的方程为：00143x x y y+=，射线1QF 交l 于点R ．求证：11F RP RPF ∠=∠．【例17】（2022•湖北21校）平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)M -，(2,0)N 点A 满足||||AM AN -=A 的轨迹C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 与点A 关于原点O 对称，MTN ∠的角平分线为直线l ，过点A 作l 的垂线，垂足为H ，交C 于另一点B ，求：||||AH BH 的最大值．【例18】（2023•闵行区期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于该椭圆的另一个焦点2F 上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P 处的切线与直线1PF 、2PF 的夹角相等．已知12BC F F ⊥，垂足为1F ，1||3F B m =，12||4F F cm =，以12F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系． （1）求截口BAC 所在椭圆C 的方程；（2）点P 为椭圆C 上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m ，使得P 到2F 和P 到直线x m =的距离之比为定值，如果存在，求出的m 值，如果不存在，请说明理由；②若12F PF ∠的角平分线PQ 交y 轴于点Q ，设直线PQ 的斜率为k ，直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k ，2k ，请问21k kk k +是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【例19】（2023•上海模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是点1F ，2F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1，点2F 与短轴两个顶点构成等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆上点0(M x ，0)y 的椭圆的切线方程为00221xx yy a b+=．求证：过椭圆C 上任一点0(M x ，0)y 的切线与直线1MF 和2MF 所成角都相等；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点连接1PF ，2PF ，设12F PF ∠的角平分线PQ 交C 的长轴于点(,0)Q q ，求q 的取值范围．同步训练1．（2022•怀化二模）若点P 是椭圆22221(0)4x y b b b+=>上的点，且点I 是焦点三角形△12PF F 的内心，12F PF ∠的角平分线交线段12F F 于点M ，则||PIIM等于()A C ．122.（2023•贵州模拟）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点0(A x ，2)反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为() A．．CD3.（2022•南昌三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△12PF F 的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为() A ．12B3.（2022•焦作一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为C 上一点，且△12MF F 的内心为0(I x ，2)，若△12MF F 的面积为4b ，则1212||||(||MF MF F F +=) A ．32B ．53C．434.（2023•建邺区期中）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若||16AB =，则||(PQ =) A ．2B ．4C ．6D ．85．（2022•衡阳二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点、由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角、请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，点P 为C 在第一象限上的点，点M 在1F P 延长线上，点Q的坐标为，且PQ 为12F PF ∠的平分线，则下列正确的是() A ．12||2||PF PF =B ．12||23PF PF +=C ．点P到x ．2F PM ∠的角平分线所在直线的倾斜角为150︒6.（2023•阳信县期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HFPF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2 7.（2023•佛山期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜．它的形状是旋转椭圆．为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝2F ，与影片门1F 应位于椭圆的两个焦点处．已知椭圆22:143x y C +=，椭圆的左右焦点分别为1F ，2F ，一束光线从2F 发出，射向椭圆位于第一象限上的P 点后反射光线经过点1F ，且124tan 3F PF ∠=，则12F PF ∠的角平分线所在直线方程为．8.（2023•诸暨市期末）圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分1C 和一个“双孔”的椭圆2C 构成（小孔在椭圆的右上方）．如图，椭圆22212:1,,43x y C F F +=为2C 的焦点，B 为下顶点，2F 也为1C 的焦点，若由1F 发出一条光线经过点B 反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点D 反射后平行于x 轴射出，由1F 发出的另一条光线经由椭圆2C 上的点P 反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点E 反射后平行于x轴射出，若两条平行光线间隔，则1cos BF P ∠=．11.已知P是双曲线221168x y -=右支上一点，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，1(0)F P PM λλ=>，22PF PM PN PM PF μ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭，20PN F N =．若22PF =，则ON =．12.已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )．A ．OB e OA =B ．OA e OB=C ．OA OB =D ．OA 与OB 关系不确定。
中国普通高考高中数学圆锥曲线二阶结论知识点推导
中国普通高考高中数学圆锥曲线二阶结论知识点推导一、椭圆的定义和基本性质椭圆的定义：设F1和F2是平面上的两个不重合的点，对于平面上的任意一点P，PF1+PF2的值等于常数2a（a>0），则所有满足此性质的点的轨迹称为椭圆，称点F1和F2为椭圆的焦点。
椭圆方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）。
椭圆的性质：1.椭圆是中心对称图形，以原点为中心。
2.焦距之和等于常数2a。
3.焦距之差等于常数2c，其中c^2=a^2-b^24.椭圆的离心率e=c/a（e<1）。
5.椭圆的长轴为2a，短轴为2b。
6.其他性质如顶点坐标，焦点坐标，焦半径，短轴与斜长径交点坐标等可通过推导得出。
二、双曲线的定义和基本性质双曲线的定义：设F1和F2是平面上的两个不重合的点，对于平面上的任意一点P，PF1-PF2的值等于常数2a（a>0），则所有满足此性质的点的轨迹称为双曲线，称点F1和F2为双曲线的焦点。
双曲线方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）。
双曲线的性质：1.双曲线是中心对称图形，以原点为中心。
2.焦距之差等于常数2a。
3.焦距之和等于常数2c，其中c^2=a^2+b^24.双曲线的离心率e=c/a（e>1）。
5.双曲线的长轴为2a，短轴为2b。
6.其他性质如顶点坐标，焦点坐标，焦半径，短轴与斜长径交点坐标等可通过推导得出。
三、抛物线的定义和基本性质抛物线的定义：设F为平面上的一个点，l为一条不经过F的直线，对于平面上的任意一点P，P到F的距离等于P到l的距离，则所有满足此性质的点的轨迹称为抛物线，点F称为抛物线的焦点，直线l称为抛物线的准线。
抛物线方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px（p>0）。
抛物线的性质：1.抛物线是对称图形，其对称轴平行于准线。
2.焦点到准线的距离等于常数p。
3.抛物线的顶点为（0，0）。
高考数学复习：圆锥曲线
高考数学复习：圆锥曲线考点一：椭圆、双曲线、抛物线知识点1椭圆1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（2）集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a >|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2；③当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在．2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)离心率e ＝ca，且e ∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 23、椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2a ，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .（3）与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．知识点2双曲线1、双曲线的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为非零常数2a (2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．（2）集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹是双曲线；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹是两条射线；③当2a >|F 1F 2|时，M 点不存在．2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实、虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)3、双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．（7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.知识点3抛物线1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等；（3）定点不在定直线上．2、抛物线的标准方程与几何性质焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝－y 0＋p23、抛物线中的几何常用结论（1）设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦．①以弦AB 为直径的圆与准线相切．②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．（2）过x 2＝2py 的准线上任意一点D 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 【题型1圆锥曲线的定义及应用】容易忽视圆锥曲线定义的限制条件，在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于12F F 。
题高考数学第题圆锥曲线知识点大全
高考数学第20题：圆锥曲线考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简洁几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其标准方程．双曲线的简洁几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简洁几何性质． 考试要求：（1）驾驭椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）驾驭双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质． （3）驾驭抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质． （4）理解圆锥曲线的初步应用．圆锥曲线方程 学问要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第肯定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a b y a x =+.ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：12222=+by ax 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.留意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆.⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .二、双曲线方程. 1. 双曲线的第肯定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-. 一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±bya x 或02222=-b y a xii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：ca y 2±=. 渐近线方程：0=±b xa y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的间隔 ）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-by ax （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： aex MF a ex MF -=+=0201 构成满意a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）asin α,)α)N 的轨迹是椭圆aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=02010201⑶等轴双曲线：双曲线22a y x ±=-离心率2=e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-y a x 假如双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的间隔 为m = n ，则P 到两准线的间隔 比为m ︰n.简证：ePF e PF d d 2121= =n m. 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的间隔 等于b.三、抛物线方程.3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的全部弦中最短的.④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统肯定义..4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F 和定直线l 的间隔 之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆双曲线抛物线 定义1．到两定点F 1,F 2的间隔 之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹 1．到两定点F 1,F 2的间隔 之差的肯定值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的间隔 之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 2．与定点和直线的间隔 之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的间隔 相等的点的轨迹. 图形方 程标准方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-b y a x (a>0,b>0) y 2=2px参数方程 为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) ,(0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) )0,2(p F 焦距 2c （c=22b a -）2c （c=22b a +）离心率 )10(<<=e a ce )1(>=e a ce e=1准线x=ca 2±x=ca 2±2p x -= 渐近线y=±ab x焦半径ex a r ±=)(a ex r ±±= 2p x r +=附加常用结论：一、圆锥曲线的统肯定义(第二定义)：若平面内一个动点M 到一个定点F 和一条定直线l 的间隔 之比等于一个常数)0(>e e ,则动点的轨迹为圆锥曲线。
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高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线:在平面直角坐标系中， 解建立了如下的关系： 如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二兀方程 f(x,y) 0的实数(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是f(x,y)=O ,则点PO(xO,yO)在曲线C 上 f(χθ,y 0)=0 ；点P θ(χθ,y θ)不在曲线C 上 f(x0,y0) ≠ 0。
f ι(χ°,y °) 0 两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1, C2的交点 { f2(X0,yO)方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、 定义：点集{ M I I OM I =r},其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、 方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b),半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是x2+y2=r2D E②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2,-2 )； ③当D2+E2-4F V 0时，方程不表示任何图形 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x0,y0),则I MC ∣V r 点M 在圆C 内，I MC I =r直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。
Aa Bb C d ~’ 22^②直线和圆的位置关系的判定： (i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离VA 2B 2与半径r 的大小关系来判定。
三、 圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e> 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线I 称为准线，正常数 e 称为离心率。
当0V e v 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当 e> 1时，轨迹为双曲线。
四、 椭圆、双曲线、抛物线：⑵一般方程：①当D2+E2-4F > O 时, 元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(|-.D 2E 24F径是2。
配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0DE D 2E 2- 4F化为(x+2)2+(y+ 2)2=4点M 在圆C 上,MC I> r 点M 在圆C 内，其中IMC I(X 0-a)2 (y 0-b)2有两个公共点；直线与圆2 2 2 L ⑶等轴双曲线：双曲线 X y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y X,离心率e ,2 ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线, 叫做已知双曲线的共轭双曲线 互为共轭双曲线, 它们具有共同的渐近线: ⑸共渐近线的双曲线系方程: (0) 的渐近线方程为 b 0如果双曲线的渐近线为 0时，它的双曲线方程可设为【备注2】抛物线： 0)2(1)抛物线y=2pX(p>0)的焦点坐标是P _p(2,0),准线方程X=- 2开口向右；抛物线 y=-2px(p>0)的焦点坐标是2(-2 ,0)，准线方程X= 2，开口向左；抛物线 X =2py(p>0)的焦点坐标是(0, 2)，准线方程卫y=-2，开口向上;2 CC抛物线X =-2py (p>0)的焦点坐标是(0,-2 ),准线方程y= 2,开口向下■ 2 (2)抛物线y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离 MF 与焦点F 的距离 X 0 MF X 。
抛物线 2 y =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)(3)设抛物线的标准方程为 准线的距离为p. 2y =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为_P顶点到准线的距离2,焦点到(4)已知过抛物线 2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A 、B 两点，贝U 线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，AB _X i X 2 AB +P 或 2p Sin 2 (α为直线AB 的倾斜角),y °2X 1X 2P X 12则弦长 做焦半径). 五、坐标的变换： (1) 坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换 (如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 )叫做坐标变换 标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程 (2) 坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移， 简称移轴。
(3) 坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M ,它在原坐标系 XOy 中的坐标是9x,y),在新坐标系X x' hAF•实施坐 ，O ，y ,中 h 的坐标是(x ,y).设新坐标系的原点0'在原坐标系XOy 中的坐标是(h,k),贝Uy y' k或y'叫做平移(或移轴)公式•中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:六、椭圆的常用结论： 点P 处的切线 PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角.PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个 端点. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切2 2X y1χo×_yoy 〔若P o (X o, y O )在椭圆a 2b 2上，则过F O的椭圆的切线方程是a 2b 2.2 2XT y∙ I若P O (X O,yo)在椭圆a 2 b 2外，则过P O作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2的直线方程是X O X2a 頁1.2 2×- L I F 1PF 2椭圆2 I2 a b(a>b>O)的左右焦点分别为F1, F 2,点P 为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形S F 1PF 2 b 2tan —的面积为 2 .2 2Z y~ ι 椭圆 a 2b 2( a > b > 0)的焦半径公式1MF 1∣ aex 0,∣MF 2∣ a e X )(F 乙 GO) ,F 2(C l o)M(χo I y O)).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P Q, Al 、A2为椭圆长轴上的顶点，AIP 和A2Q 交于点M , A2P 和AIQ 交于点N,贝U MF 丄NF.2X是a 22 2X T y FI2、过椭圆a b(a>0, b>0)上任一点A(XO Iy O )任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线tan co t —2 2Sin Ce 记 F 1PF 2 P F 1F 2 F 1F 2P 则有 Sin Sin a2 2ZL 1_5、若椭圆a 2b 2(a> b> 0)的左、右焦点分别为 Fl 、F2 ,左准线为L,则当O v e ≤ 2 1时，可在椭圆上求一点P,使得PFI 是P 到对应准线距离 d 与PF2的比例中项.2 2X y21216、 P 为 椭 圆ab(a > b > 0 ) 上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一 定点， 则2a | AF 2 I I PAl ∣PF ι | 2aIAF i I,当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立•(X X o )2 (y y o )2i2X2L I b21kOMb 2KAB,即b X o^^的不平行于对称轴的弦， M (X 0,yo )为AB 的中点，则kAB-2a2ay o o2222XI 1X O X y 0y X Oy o若P O (X 0, y O )在椭圆a 2内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2 a b 22ab 2;【推论】：2 22 222X y 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是X yX o X y o y X乂 1 b 2(a1若 P)(X O , y 0) 在椭圆 a 2 b 22 a b 22 a b 2 O2a> b > 0)的两个顶点为 Pl 、P2时AIPI 与A2P2交点的轨迹方程A( a , O) , A 2(a I O),与y 轴平行的直线交椭圆于b 2kBCBC 有定向且b 2X 0~~2a y 。
(常数)2X3、若P 为椭圆ab 21(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,Fl, F 2是焦点，PF 1F 2 PF 2F 1,则2X~4、设椭圆ab 21(a >b > 0)的两个焦点为 Fl 、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF1F2 中,7 、椭圆 2 a b2I与直线AX By C 0有公共占八的充要条件是2 2 2 2 2A a Bb(AX o By o C) |PF | 则 | MN |2a 2b 22 COt a14、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 16、 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 •) 17、 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18、 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 七、双曲线的常用结论：1、 点P 处的切线 PT 平分△ PF1F2在点P 处的内角.2、 PT 平分△ PF1F2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点•3、 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 •4、 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切•(内切：P 在右支；外切：P 在左支)2X~2 、已知椭圆a(a > b > 0) , O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且0POQ1 12 2IoPl IOQlb 2(2) ∣OP ∣2+∣OQ ∣2的最大值为 2 2 2 24a ba bSa b;( 3)S OPQ的最小值是a b.9、过椭圆 2y_ ^22X a 2 b(a > b > 0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交X 轴于P ,10、已知椭圆a 2b 2X o11、设P 点是椭圆| PF 1 || PF 2 |(1)12、设 PBA2ya 2 2X~~2a2b 2 1 CoS 1(a > b > 0) ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与X 轴相交于点P(X O lO)b 22y_2.(2)A 、B 是椭圆BPA (a > b > 0)上异于长轴端点的任一点 ,F1、F2为其焦点记F 1PF 2,则PF I F 22y b 2『th的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,c e 分别是椭圆的半焦距离心率,2IPAI 竽学丿 则有⑴ a C cos.(2)tan tan 1J©)SPAB13、已知椭圆 2yb 21 (a > b > 0)的右准线I 与X 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A 、B两点,点C 在右准线l 上, 且BC X 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.b 25、若PO(X,yO)在双曲线2ybτI X^X(a>0,b>0)上,则过FO的双曲线的切线方程是a2y o y I盲16、若PO(X, yO)在双曲线2yb y1(a>0,b>0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是X O X-2aY O Yb22 X7、双曲线a(a> 0,b >o)的左右焦点分别为F1 , F 2 ,点P为双曲线上任意一点F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为S F1PF2b co t22 X8、双曲线a(a > 0,b > o)的焦半径公式：(FI( C,O) F2(ClO))当M(x, y0)在右支上时，| MF1 | ex0 a∣MF2∣| MF1 | ex0 a | MF2 | eXa;当M(X O,Y O)在左支上时，9、设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结于焦点F的双曲线准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.10、过双曲线一个焦点ex0 aOAP和AQ分别交相应A2P和A1Q交于点N ,贝UX^~2 11、 AB是双曲线ab2X0F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,MF 丄 NF.A1P和A2Q交于点M ,K AB 即2a y o O2 yb2 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，M(X0,y0)为AB的中点，则K OM K ABb2X0-2a yo,12、若PO(X, yO)在双曲线2X~~2a2 yb21(a>0,b> 0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是X O X-2"aY O I22X O2a2Y Ob213、若FO(X,yO)在双曲线【推论】：2X2ay22X12(a> 0,b >0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是ay2X O Xb2a2Y O Yb2 2X1、双曲线a(a> 0,b >0)的两个顶点为A( a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2 时2X2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是a2 X22、过双曲线a2y_b2(a> 0,b >0)上任一点A(X,yO)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且b^X o~~2a yo(常数)•2X23、若P为双曲线ab21(a> 0,b > 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点，PF1F2PF2F1,则C C a C atan CQ ta 2 2 (或C atan cot —2 2 ).2 X4、设双曲线a1(a> 0,b> 0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2PF1F2F1F2PSin C,则有(Sin Sin ) a5、若双曲线曲线上求一点2 X~a6、P为双曲线P，2X~~2a使得2 y_b21(a> 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为PF1是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项.L,则当 1 V e≤. 21时，可在双当且仅当1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点,则l AF2l 2a IPAl∣PFι∣AIF21 P三点共线且P和AIF2在y轴同侧时，等号成立•2X7、双曲线a1(a>0,b > 0)与直线AX By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C28、已知双曲线(b> a >0), Q为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且QP OQIQQ I21~~2a1b^( 2) ∣QP∣2+∣QQ∣2的最小值为b24a2b2~~2a；(3)S QPQ2以a b2 2的最小值是b a2 2X y2 .29、过双曲线a b(a> 0,b > 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交IPF IX轴于P,则I MN I10、已知双曲线2X2a b21(a> 0,b> 0) ,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相交于点P(X,O)a2 b2a2 b2X0则X0 a或11、设P点是双曲线2X~a2yb21(a> 0,b > 0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记FIPF2,则I PF1 Il PF21(1)2b21 CQS .(2)PF1F2b2CQt一212、设2X-2B是双曲线a2b21(a > 0,b > 0)的长轴两端点，是双曲线上的一点，PABPBA BPA, c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有|PA|(1)22ab I CoS I2 2 2 iI a C CQS I于A 、B 两点,点C 在右准线I 上，且BCX 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线， 与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直•15、 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 16、 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e （离心率）. （注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17、 双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项 抛物线的常用结论： ∕4ac b 2b X2 . （ ------------------- --- ）① ay by c X 顶点 4a 2a .③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的22ptX 2pt22pt(或 y 2pt )(t 为参数)•ta n tane•⑶S PABλ2 22a b7^2 2b aCot2X~~213、已知双曲线ab 21（a> 0,b> 0）的右准线I 与X 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交PF lPX — 2I PFP y— I I2 :X 2 Py （P O ）则焦点半径为22②y 2 P X （P O ）则焦点半径2 2④y 2pX （或X 2py ）的参数方程为y-11 -。