高考数学圆锥曲线知识点总结
高考数学复习 圆锥曲线常用结论整理
圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理椭圆问题小结论：1.与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=>或()2222,0x y b aλλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22221x y a b+=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点(),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：22AB OPb K K a⋅=-；若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，22AB OP a K K b⋅=-；4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.6. 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a=-7.（焦点弦结论）设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处12F PF θ∠=最大。
高考数学圆锥曲线知识点
高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
练习：1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF2.方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）3.已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
高考数学中的圆锥曲线
高考数学中的圆锥曲线圆锥曲线是代数几何中的重要概念，也是高中数学中比较难的一部分。
它包含了直线、双曲线、抛物线和椭圆四种曲线类型。
在高考数学中，圆锥曲线是一个难点，但是掌握了这个知识点，不仅有助于理解高数中其他知识点，也有助于应对高考成绩。
一、圆锥曲线的定义和概念圆锥曲线是在平面直角坐标系中的解析几何概念，它是二次方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数，且D²+E²≠0）的图形。
其中的四种曲线类型如下：1. 直线：当圆锥曲线的系数D=E=0时，圆锥曲线变成直线。
直线可以看成是一个不确定的椭圆，它有两个焦点（即两个充电电荷）、两个半轴（即极值）。
2. 双曲线：当圆锥曲线的系数D²-E²>0时，圆锥曲线变成双曲线。
双曲线有两个焦点和两个渐近线。
3. 抛物线：当圆锥曲线的系数D=0，E≠0时，圆锥曲线变成抛物线。
抛物线有一个焦点和一个顶点。
4. 椭圆：当圆锥曲线的系数D²-E²<0时，圆锥曲线变成椭圆。
椭圆有两个焦点和两个半轴。
二、实例探究：直线与圆锥曲线我们以直线为例，来看一下圆锥曲线与直线的关系。
首先，我们知道当圆锥曲线系数D=E=0时，可以变成一个直线。
而对于直线y=kx+b（k和b均为常数），可以加入一个令y=mx，那么k和b就是D和E，即圆锥曲线的系数。
例如，圆锥曲线x²-6x+y²+4y+9=0，我们可以将它转换为(x-3)²+(y+2)²=4。
这是一个半径为2，圆心在(3,-2)处的圆。
我们可以绘制它的图像，然后再绘制直线y=x-1的图像。
从图像来看，直线y=x-1穿过了圆心，因此它一定与这个圆有交点。
我们可以通过解方程，求出直线y=x-1与圆的交点：(x-3)²+(y+2)²=4；y=x-1.解得：x²-5x+9=0，因此x=（5±√5）/2，代入y=x-1，得到y=（3±√5）/2。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(E D--半径是2422FE D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E)2=44F-E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
高考圆锥曲线公式知识点总结
高考圆锥曲线公式学问点总结高考圆锥曲线公式学问点总结导语：人生，没有过不去的坎，你不行以坐在坎边等它消逝，你只能想方法穿过它。
下面是为大家整理，数学学问。
词更多相关信息请关注CNFLA相关栏目!圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x/a+y/b=1,其中ab0,c=a-b2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y/a+x/b=1,其中ab0,c=a-b参数方程：x=acos;y=bsin(为参数，02)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的.双曲线标准方程：x/a-y/b=1,其中a0，b0，c=a+b.2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y/a-x/b=1,其中a0，b0，c=a+b.参数方程：x=asec;y=btan(为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt;y=2pt(t为参数)t=1/tan(tan为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特殊地，t可等于0 直角坐标:y=ax+bx+c(开口方向为y轴，a0)x=ay+by+c(开口方向为x轴，a0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式学问点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x/a+y/b=1(ab0) x/a-y/b=1(a0,b0) y=2px(p0) 范围x[-a,a] x(-，-a][a,+) x[0,+)y[-b,b] yR yR对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)准线x=a/c x=a/c x=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(0,1) e=c/a,e(1,+) e=1焦半径∣PF∣=a+ex ∣PF∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF∣=a-ex ∣PF∣=∣ex-a∣焦准距p=b/c p=b/c p通径2b/a 2b/a 2p参数方程x=acos x=asec x=2pty=bsin，为参数y=btan，为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0x/a+y0y/b=1 x0x/a-y0y/b=1 y0y=p(x+x0)(x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx(ak+b) y=kx(ak-b)y=kx+p/2k。
高考数学圆锥曲线常用8大结论
高考数学圆锥曲线常用8大结论1. 椭圆的性质椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$其中，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。
椭圆具有以下性质：(1) 光滑性：椭圆是一个连续的、光滑的曲线。
(2) 对称轴：椭圆具有两条对称轴，分别与长半轴和短半轴垂直并交于中心点。
(3) 焦点：椭圆有两个焦点F1和F2，且满足F1F2=2a。
(4) 直线：椭圆上的直线方程一般为$Ax+By+C=0$，其中，$A=\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{b^2x^2}{a^2}$，$B=-2\dfrac{a^2y}{b^2}$，$C=\dfrac{a^2y^2}{b^2}-a^2$。
(5) 参数方程：椭圆的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，其中，$0\leq\theta<2\pi$。
2. 双曲线的性质(4) 渐进线：双曲线的渐进线是直线方程为$y=\pm\dfrac{b}{a}x$的两条直线。
$y=ax^2+bx+c$其中，a不等于0。
(2) 对称轴：抛物线的对称轴是$y=-\dfrac{b}{2a}$。
(3) 焦点：抛物线具有一个焦点F，满足到该点的距离等于焦距。
(5) 参数方程：抛物线的参数方程为$x=t$，$y=at^2+bt+c$。
5. 双曲线方程的标准形式其中，(h,k)为双曲线的中心点坐标，a为双曲线的半轴长，b为双曲线的半轴短。
7. 拋物線切线式拋物線的方程式為因此，在拋物線上一點$(x_0, y_0)$的斜率為則該點的切線方程為$y-y_0 = k(x-x_0)$8. 判别式公式判別式公式可以判別二次曲線的形状，公式如下：$D = \begin{vmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{vmatrix}$若$D>0$，則方程表示的圖形是双曲线；。
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。
2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。
②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。
其中，c表示焦距，a表示长半轴长。
椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。
由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。
当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。
当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。
双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。
需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。
当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。
当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。
双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。
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高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线:在平面直角坐标系中， 解建立了如下的关系： 如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二兀方程 f(x,y) 0的实数(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是f(x,y)=O ,则点PO(xO,yO)在曲线C 上 f(χθ,y 0)=0 ；点P θ(χθ,y θ)不在曲线C 上 f(x0,y0) ≠ 0。
f ι(χ°,y °) 0 两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1, C2的交点 { f2(X0,yO)方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、 定义：点集{ M I I OM I =r},其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、 方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b),半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是x2+y2=r2D E②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2,-2 )； ③当D2+E2-4F V 0时，方程不表示任何图形 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x0,y0),则I MC ∣V r 点M 在圆C 内，I MC I =r直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。
Aa Bb C d ~’ 22^②直线和圆的位置关系的判定： (i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离VA 2B 2与半径r 的大小关系来判定。
三、 圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e> 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线I 称为准线，正常数 e 称为离心率。
当0V e v 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当 e> 1时，轨迹为双曲线。
四、 椭圆、双曲线、抛物线：⑵一般方程：①当D2+E2-4F > O 时, 元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(|-.D 2E 24F径是2。
配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0DE D 2E 2- 4F化为(x+2)2+(y+ 2)2=4点M 在圆C 上,MC I> r 点M 在圆C 内，其中IMC I(X 0-a)2 (y 0-b)2有两个公共点；直线与圆2 2 2 L ⑶等轴双曲线：双曲线 X y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y X,离心率e ,2 ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线, 叫做已知双曲线的共轭双曲线 互为共轭双曲线, 它们具有共同的渐近线: ⑸共渐近线的双曲线系方程: (0) 的渐近线方程为 b 0如果双曲线的渐近线为 0时，它的双曲线方程可设为【备注2】抛物线： 0)2(1)抛物线y=2pX(p>0)的焦点坐标是P _p(2,0),准线方程X=- 2开口向右；抛物线 y=-2px(p>0)的焦点坐标是2(-2 ,0)，准线方程X= 2，开口向左；抛物线 X =2py(p>0)的焦点坐标是(0, 2)，准线方程卫y=-2，开口向上;2 CC抛物线X =-2py (p>0)的焦点坐标是(0,-2 ),准线方程y= 2,开口向下■ 2 (2)抛物线y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离 MF 与焦点F 的距离 X 0 MF X 。
抛物线 2 y =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)(3)设抛物线的标准方程为 准线的距离为p. 2y =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为_P顶点到准线的距离2,焦点到(4)已知过抛物线 2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A 、B 两点，贝U 线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，AB _X i X 2 AB +P 或 2p Sin 2 (α为直线AB 的倾斜角),y °2X 1X 2P X 12则弦长 做焦半径). 五、坐标的变换： (1) 坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换 (如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 )叫做坐标变换 标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程 (2) 坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移， 简称移轴。
(3) 坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M ,它在原坐标系 XOy 中的坐标是9x,y),在新坐标系X x' hAF•实施坐 ，O ，y ,中 h 的坐标是(x ,y).设新坐标系的原点0'在原坐标系XOy 中的坐标是(h,k),贝Uy y' k或y'叫做平移(或移轴)公式•中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:六、椭圆的常用结论： 点P 处的切线 PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角.PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个 端点. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切2 2X y1χo×_yoy 〔若P o (X o, y O )在椭圆a 2b 2上，则过F O的椭圆的切线方程是a 2b 2.2 2XT y∙ I若P O (X O,yo)在椭圆a 2 b 2外，则过P O作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2的直线方程是X O X2a 頁1.2 2×- L I F 1PF 2椭圆2 I2 a b(a>b>O)的左右焦点分别为F1, F 2,点P 为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形S F 1PF 2 b 2tan —的面积为 2 .2 2Z y~ ι 椭圆 a 2b 2( a > b > 0)的焦半径公式1MF 1∣ aex 0,∣MF 2∣ a e X )(F 乙 GO) ,F 2(C l o)M(χo I y O)).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P Q, Al 、A2为椭圆长轴上的顶点，AIP 和A2Q 交于点M , A2P 和AIQ 交于点N,贝U MF 丄NF.2X是a 22 2X T y FI2、过椭圆a b(a>0, b>0)上任一点A(XO Iy O )任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线tan co t —2 2Sin Ce 记 F 1PF 2 P F 1F 2 F 1F 2P 则有 Sin Sin a2 2ZL 1_5、若椭圆a 2b 2(a> b> 0)的左、右焦点分别为 Fl 、F2 ,左准线为L,则当O v e ≤ 2 1时，可在椭圆上求一点P,使得PFI 是P 到对应准线距离 d 与PF2的比例中项.2 2X y21216、 P 为 椭 圆ab(a > b > 0 ) 上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一 定点， 则2a | AF 2 I I PAl ∣PF ι | 2aIAF i I,当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立•(X X o )2 (y y o )2i2X2L I b21kOMb 2KAB,即b X o^^的不平行于对称轴的弦， M (X 0,yo )为AB 的中点，则kAB-2a2ay o o2222XI 1X O X y 0y X Oy o若P O (X 0, y O )在椭圆a 2内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2 a b 22ab 2;【推论】：2 22 222X y 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是X yX o X y o y X乂 1 b 2(a1若 P)(X O , y 0) 在椭圆 a 2 b 22 a b 22 a b 2 O2a> b > 0)的两个顶点为 Pl 、P2时AIPI 与A2P2交点的轨迹方程A( a , O) , A 2(a I O),与y 轴平行的直线交椭圆于b 2kBCBC 有定向且b 2X 0~~2a y 。
(常数)2X3、若P 为椭圆ab 21(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,Fl, F 2是焦点，PF 1F 2 PF 2F 1,则2X~4、设椭圆ab 21(a >b > 0)的两个焦点为 Fl 、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF1F2 中,7 、椭圆 2 a b2I与直线AX By C 0有公共占八的充要条件是2 2 2 2 2A a Bb(AX o By o C) |PF | 则 | MN |2a 2b 22 COt a14、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 16、 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 •) 17、 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18、 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 七、双曲线的常用结论：1、 点P 处的切线 PT 平分△ PF1F2在点P 处的内角.2、 PT 平分△ PF1F2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点•3、 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 •4、 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切•(内切：P 在右支；外切：P 在左支)2X~2 、已知椭圆a(a > b > 0) , O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且0POQ1 12 2IoPl IOQlb 2(2) ∣OP ∣2+∣OQ ∣2的最大值为 2 2 2 24a ba bSa b;( 3)S OPQ的最小值是a b.9、过椭圆 2y_ ^22X a 2 b(a > b > 0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交X 轴于P ,10、已知椭圆a 2b 2X o11、设P 点是椭圆| PF 1 || PF 2 |(1)12、设 PBA2ya 2 2X~~2a2b 2 1 CoS 1(a > b > 0) ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与X 轴相交于点P(X O lO)b 22y_2.(2)A 、B 是椭圆BPA (a > b > 0)上异于长轴端点的任一点 ,F1、F2为其焦点记F 1PF 2,则PF I F 22y b 2『th的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,c e 分别是椭圆的半焦距离心率,2IPAI 竽学丿 则有⑴ a C cos.(2)tan tan 1J©)SPAB13、已知椭圆 2yb 21 (a > b > 0)的右准线I 与X 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A 、B两点,点C 在右准线l 上, 且BC X 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.b 25、若PO(X,yO)在双曲线2ybτI X^X(a>0,b>0)上,则过FO的双曲线的切线方程是a2y o y I盲16、若PO(X, yO)在双曲线2yb y1(a>0,b>0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是X O X-2aY O Yb22 X7、双曲线a(a> 0,b >o)的左右焦点分别为F1 , F 2 ,点P为双曲线上任意一点F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为S F1PF2b co t22 X8、双曲线a(a > 0,b > o)的焦半径公式：(FI( C,O) F2(ClO))当M(x, y0)在右支上时，| MF1 | ex0 a∣MF2∣| MF1 | ex0 a | MF2 | eXa;当M(X O,Y O)在左支上时，9、设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结于焦点F的双曲线准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.10、过双曲线一个焦点ex0 aOAP和AQ分别交相应A2P和A1Q交于点N ,贝UX^~2 11、 AB是双曲线ab2X0F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,MF 丄 NF.A1P和A2Q交于点M ,K AB 即2a y o O2 yb2 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，M(X0,y0)为AB的中点，则K OM K ABb2X0-2a yo,12、若PO(X, yO)在双曲线2X~~2a2 yb21(a>0,b> 0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是X O X-2"aY O I22X O2a2Y Ob213、若FO(X,yO)在双曲线【推论】：2X2ay22X12(a> 0,b >0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是ay2X O Xb2a2Y O Yb2 2X1、双曲线a(a> 0,b >0)的两个顶点为A( a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2 时2X2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是a2 X22、过双曲线a2y_b2(a> 0,b >0)上任一点A(X,yO)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且b^X o~~2a yo(常数)•2X23、若P为双曲线ab21(a> 0,b > 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点，PF1F2PF2F1,则C C a C atan CQ ta 2 2 (或C atan cot —2 2 ).2 X4、设双曲线a1(a> 0,b> 0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2PF1F2F1F2PSin C,则有(Sin Sin ) a5、若双曲线曲线上求一点2 X~a6、P为双曲线P，2X~~2a使得2 y_b21(a> 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为PF1是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项.L,则当 1 V e≤. 21时，可在双当且仅当1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点,则l AF2l 2a IPAl∣PFι∣AIF21 P三点共线且P和AIF2在y轴同侧时，等号成立•2X7、双曲线a1(a>0,b > 0)与直线AX By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C28、已知双曲线(b> a >0), Q为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且QP OQIQQ I21~~2a1b^( 2) ∣QP∣2+∣QQ∣2的最小值为b24a2b2~~2a；(3)S QPQ2以a b2 2的最小值是b a2 2X y2 .29、过双曲线a b(a> 0,b > 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交IPF IX轴于P,则I MN I10、已知双曲线2X2a b21(a> 0,b> 0) ,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相交于点P(X,O)a2 b2a2 b2X0则X0 a或11、设P点是双曲线2X~a2yb21(a> 0,b > 0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记FIPF2,则I PF1 Il PF21(1)2b21 CQS .(2)PF1F2b2CQt一212、设2X-2B是双曲线a2b21(a > 0,b > 0)的长轴两端点，是双曲线上的一点，PABPBA BPA, c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有|PA|(1)22ab I CoS I2 2 2 iI a C CQS I于A 、B 两点,点C 在右准线I 上，且BCX 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线， 与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直•15、 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 16、 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e （离心率）. （注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17、 双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项 抛物线的常用结论： ∕4ac b 2b X2 . （ ------------------- --- ）① ay by c X 顶点 4a 2a .③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的22ptX 2pt22pt(或 y 2pt )(t 为参数)•ta n tane•⑶S PABλ2 22a b7^2 2b aCot2X~~213、已知双曲线ab 21（a> 0,b> 0）的右准线I 与X 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交PF lPX — 2I PFP y— I I2 :X 2 Py （P O ）则焦点半径为22②y 2 P X （P O ）则焦点半径2 2④y 2pX （或X 2py ）的参数方程为y-11 -。