长郡中学2013年理科实验班初升高入学考试物理试题及答案(2)
2013年湖南省长沙市长郡中学入学数学试卷与解析
=99%
1﹣99%=1%．
即现价比原价减少 1%．
故选： B．
8．（ 4 分）如果 ＜ ＜ ，则式中的 m 最多可能表示（
A．5 B．6 C．7 D．8
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）个不同的自然数．
【解答】 解：
，
m＜ 14， ，
8.75＜m， 故 8.75＜ m＜14， 在 8.75 和 14 之间的自然数有： 9，10，11， 12，13 共 5 个； 故选： A．
如果余下这批零件仍由乙单独加工玩成，还需要多少天？ 22．（ 10 分）甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地同时相向而行，速度比为 7：11， 相遇后两车继续行驶，分别到 B、 A 两地后立即返回，当第二次相遇时，甲车距
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B 地 60 千米， A、 B 两地相距多少千米？ 23．（ 10 分） A 和 B 都是高度为 12 厘米的圆柱形容器，底面半径分别是 1 厘米 和 2 厘米，一水龙头单独向 A 注水，一分钟可注满． 现将两容器在它们的高度的 一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计） ，仍用该水龙头向 A 注水，求 （ 1） 2 分钟容器 A 中的水有多高？ （ 2） 3 分钟时容器 A 中的水有多高．
几天共采了 288 只蘑菇，平均每天采 32 只，这些天中有（
）天是雨天．
A．3 B．6 C．4 D．5
10．（4 分）A、B、C 三个飞机模型在空中停留的时间为： A 的 是 B 的 ，B 的
又是 C的 ，C在空中停留的时间比 A 多 13 分钟，则 B 在空中停留的时间为 （ ）
A．35 B．40郡中学入学数学试卷
一、判断题（每小题 2 分米，长 5 厘米的长方形纸上可以剪出一个半径为 2 厘
湖南省长沙市长郡中学重点高中提前招生物理试卷答案
湖南省长沙市长郡中学重点高中提前招生物理试卷答案一、选择题1．如图1所示，R0为定值电阻，R是压敏电阻，阻值随压力的变大而变小。
闭合开关S，改变R上压力大小，两电表示数之间的关系图像如图2所示。
下列叙述正确的是（）A．当压力变大时，电压表的示数变大B．电源电压为6VC．R0的阻值为20ΩD．R0消耗的最大电功率为0.8W2．如图，在空气压缩引火仪玻璃筒的底部放一小撮干燥的棉絮，用力将活塞迅速向下压，棉絮燃烧起来。
以下实验中的操作目的与此实验中放入棉絮作用相同的是（）A．在研究电流与电阻、电压关系时，控制电阻不变研究电流与电压的关系B．奥斯特实验发现了电流的周围存在着磁场，实验中放入小磁针C．研究分子之间存在间隙时，用黄豆和芝麻混合D．选用2Ω和8Ω两个电阻串联代替10Ω的电阻3．如图代表多个物理实验，关于这些实验的说法正确的是（）A．水沸腾后，水蒸气推动橡皮塞冲出试管口，这一过程中的能量转化与汽油机压缩冲程相同B．将两只相同的气球在自己的头发上摩擦后，可以让一只气球在另一只气球上方“跳舞”，这种现象与验电器的工作原理相同C ．烧瓶中的水加热至沸腾后移开酒精灯，用注射器往瓶内打气，水继续沸腾D ．在估测大气压的实验中，注射器里的空气未排尽，会使测量结果偏大4．小华在实验操作中连接了如图所示的电路，闭合开关，发现灯泡1L 亮、2L 不亮，调节变阻器滑片P ，灯泡1L 的亮度发生变化，但灯泡2L 始终不亮，出现这一现象的原因可能是（ ）A ．灯泡2L 灯丝断了B ．灯泡2L 的灯座上两接线柱直接相连C ．滑动变阻器接触不良D ．滑动变阻器短路了5．用下列器材，在月球和地球上分别对同一物体进行测量，测量值不发生变化的有（ ）A ．①②B ．②④C ．①③④D ．①②③④6．在下列物理实验中，为了读数准确或现象明显采取的措施合理的是A ．在观察水的沸腾时，为了温度读数准确，把温度计从水中取出来读数B ．在探究平面镜成像时，为了使棋子的像清晰一些，用手电筒对着玻璃板照C ．在探究红外线的热效应时，为了使温度计示数变化明显，将玻璃泡涂黑D．在探究电流的热效应时，为了被加热液体升温明显，用水代替煤油7．如图所示，别名“胖五”的长征五号遥三运载火箭矗立在水平发射平台上保持静止状态，下列说法正确的是（）A．此时火箭所受的重力与火箭对发射台的压力是一对平衡力B．此时火箭所受的重力与发射台对火箭的支持力是一对平衡力C．此时火箭所受的重力与火箭对发射台的压力是一对相互作用力D．此时发射台对火箭支持力与火箭所受的重力是一对相互作用力8．如图甲，迅速下压活塞，玻璃筒底部的棉花燃烧，图乙是热机的某一冲程，关于这两个过程，下列说法正确的是（）A．图乙是热机的压缩冲程B．图甲和图乙的能量转化情况相同C．图甲中如果没有棉花，实验结论仍然成立D．随着技术的进步，图乙热机的效率能达到 100%9．如图所示是乘客刷身份证进站的情景，将身份证靠近检验口，机器的感应电路中就会产生电流，从而识别乘客身份，下图说明该原理的是（）A．B．C．D．10．如图所示，均匀长方体甲、乙放在水平地面上，甲、乙的底面积分别为S、S'（S＞S'），此时它们对地面的压强相等。
长郡中学入学分班考试(1) 答案
1. B2.D考点：摩擦力的种类；二力平衡条件的应用。
专题：应用题；顺推法。
分析：结合平衡力的知识，分三次对物体进行受力分析：1.将四块砖视为一个整体；2.对第一块砖(A)进行分析；3.对第二块砖(B)进行分析.就可知道各砖之间的力的关系.解答：解：先把四块砖看作一个整体：四块砖的总重力是200N，两边的压力F 相同，两边受到的摩擦力也相同，根据平衡力知识，向下的重力200N与两边的摩擦力之和相等；故两边的砖块A和D各受到100N的摩擦力作用，且方向竖直向上；对于第一块砖(A)：受到左边木板向上的摩擦力作用，大小为100N；自身向下的重力作用，大小为50N；根据平衡力知识，它(A)还受到B砖对它向下的摩擦力作用，大小为50N；根据力的作用是相互的，A砖对B砖的摩擦力大小为50N，方向向上；对于第二块砖(B)：已经受到了两个力的作用，分别是：自身向下的重力50N、A 砖对它(B)的向上的摩擦力50N，这两个力正好是一对平衡力；故B砖不再受其它力，即B砖和C砖之间没有力的作用；第二块砖对第三块砖的摩擦力大小也就为0；故B砖与C砖之间的摩擦力为0。
点评：找好研究对象，对研究对象进行受力分析是关键；还要根据平衡力的知识(各砖块处于静止状态)，确定出具体的平衡力。
3. A考点：电路的动态分析；滑动变阻器的使用；欧姆定律的应用.分析：由图可知R2与R3并联后与R1串联，电压表V1测R1两端的电压，V2测并联部分电压；A2测通过R2的电流；A3测流过R3的电流，A1测干路电流；则由滑片的移动可知滑动变阻器接入电阻的变化，由欧姆定律可求得电路中电流的变化，及R1两端电压变化；则可由串联电路的电压规律可得出并联部分电压的变化，即可求得通过R2的电流变化；再由并联电路的电流规律可得出通过R3的电流变化.解答：解：因滑片右移，则滑动变阻器接入电阻增大，则电路中总电阻增大；则由欧姆定律可知，干路电流减小，即A1示数减小；则R1两端的电压减小，即V1示数减小；因总电压不变，则并联部分电压增大，即V2示数增大；则对R2由欧姆定律可得，流过R2的电流增大；因干路电流减小，故通过R3的电流减小，故A3示数减小；故选A.点评：本题为并联与串联的混联电路，应先由滑动变阻器滑片的移动判断接入电阻的变化，则由欧姆定律即可求得电路中电流的变化；从而可以分析串联各部分电压的变化；而并联部分重点在于分析各支路电流的变化.4. D5. D考点：平面镜成像的特点、原理、现象及其实验方案。
2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷(四)
2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（四）一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣3，则∠BAE是∠B的（）倍．2．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DEA．6 B．4 C．3 D．23．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0 4．（6分）如图将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点．若一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0二、填空题：（每小题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影=．10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是．11．（5分）已知梯形ABCD的面积为S，AB∥CD，AB=b，CD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O，若△BOC的面积为，则=．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，，每一个红球都记作“3”，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”则总数为60，那么，白球有个，红球有个．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15题12分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣3【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由①得：x≥2．由②得：x＞﹣3．∴不等式组的解集为：x≥2．故选B．【点评】求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．，则∠BAE是∠B的（）倍．2．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DEA．6 B．4 C．3 D．2，可得△ACD是等边三角形，即∠ACD=∠ADC=∠【分析】由AC=CD=DA=BC=DECAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，又由三角形外角的性质，∠B与∠BAE的度数，继而求得答案．，【解答】解：∵AC=CD=DA=BC=DE∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠ADC=∠E+∠DAE，∴∠B=∠BAC=∠DAE=∠E=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE=120°，∴∠BAE=4∠B．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与x轴无交点即可．【解答】解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为非负数，则必须保证抛物线开口向下，且与x轴只有一个交点，或者无交点；则a＜0且b2﹣4ac≤0，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．①当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；②当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．4．（6分）如图将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．【分析】利用折叠易证△AEB是含30°的直角三角形，利用相应的三角函数即可求得AE的长．【解答】解：延长EB交AD于点M，根据折叠的性质易证明△AME是一个等边三角形，则∠EAB=30°，在直角三角形ABE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理求得AE=2．故选：C．【点评】此题中的折叠方法也是折叠等边三角形的一种常用方法，那么△AEB是含30°的直角三角形．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点．若一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】根据题意，设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），利用待定系数法求得该直线方程，然后在此线段上（包括端点）寻找整点．【解答】解：设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），则，解得，，∴所求的线段所在的直线方程为y=x+；①当y=12时，x=5，即整点（5，12）在该线段上；②当y=13时，x=8，即整点（8，13）在该线段上；又∵端点（2，11）、（11，14）也是整点，∴在此线段上（包括端点）的整点共有4个；故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形性质．解得该题的关键是求得此线段所在的直线的方程，根据该直线方程取y的整数值．6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0【分析】由题意x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，将x，y，z相加，然后根据完全平方式的性质，进行求解；【解答】解：∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＞0，∴x+y+z＞0，故x，y，z至少有一个大于0，故选：D．【点评】此题主要考查非负数的性质，即非负数大于等于0，比较简单．二、填空题：（每小题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可．【解答】解：连接OA交BC于D，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠AOC=∠BOA，∵OB=OC，∴BD=DC，OA⊥BC，∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，∠OAC=∠BAC=×120°=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠DCO=90°﹣60°=30°∴OC=2OD，设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，a=，OC=2a=（cm）．故答案是：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是3．【分析】首先过O作AC的垂线段，再利用三角形相似就可以求出O到AC的距离．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∠A公共，∴△ABC∽△ADO，∴，即OD=；在△ABC中，∠BAC=30°，∴AC=2BC=8，AB==12，∴OA=6=BO，∴OD=．【点评】主要利用了相似三角形的对应线段成比例．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影=2π．【分析】由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一个半圆的面积．【解答】解：由反比例函数的对称性知S阴影=π×22=2π．故答案为：2π．【点评】解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是40°．【分析】在AB上截取AE=AC，先根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，再根据“SAS”可判断△AED≌△ACD，则ED=CD，∠AED=∠C=80°，由于AB=AC+CD得到EB=CD=ED，即△EBD为等腰三角形，所以∠AED=∠B+∠EDB，于是∠B=∠AED=40°．【解答】解：在AB上截取AE=AC，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=80°，∵AB=AC+CD，∴EB=CD=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠AED=40°．故答案为40°．、【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三、“AAS”、“ASA”“SAS”角形的性质．11．（5分）已知梯形ABCD的面积为S，AB∥CD，AB=b，CD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O，若△BOC的面积为，则=．【分析】依据题意可先作出简单的图形，可设S△COD的面积为S1，S△AOB的面积为S2，由题中条件建立关于S1?S2的方程，解方程得出S1?S2之间的关系，进而可求解a、b之间的关系．【解答】解：如图，设S△COD的面积为S1，S△AOB的面积为S2，由S ABCD=S，∵AB∥CD，∴S△ABD=S△ABC，∴S△AOD﹣S△AOB=S△BOC﹣S△AOB，∴S△AOD=S△BOC=S，得S1+S2=S﹣2×S=S，①∵==，∴S1?S2=S△BOC?S△AOD=S2，②联立①、②∵△COD∽△AOB，∴=，③∵a＜b，∴S1＜S2，解方程组得S1=S，S2=S，代入③得=．故答案为．【点评】本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质以及面积的问题，能够通过方程的思想建立等式，进而求解结论．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，，每一个红球都记作“3”，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”则总数为60，那么，白球有9个，红球有14个．【分析】设有白球x个，有红球y个，根据条件就有x＜y，2x＞y，2x+3y=60，从而构成一个不等式组，求出其解即可．【解答】解：设有白球x个，有红球y个，由题意，得，由③，得x=④，把④代入①，得y＞12．把④代入②，得y＜15．∵x、y为整数，y=13，14，当y=13时，x=舍去，当y=14时，x=9，∴白球9个，红球14个故答案为：9，14．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答本题时根据条件建立不等式是解答本题的关键．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15题12分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．【分析】先把原方程化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x=1是方程2x2﹣3x﹣（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：（1）当△=0时；（2）若x=1是方程①的根；（3）当方程①有异号实根时；（4）当方程①有一个根为0时，最后结合题意总结结果即可．【解答】解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，且x≠1即k≠﹣4，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣3．【点评】主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．【分析】（1）设出必需的未知量，找出等量关系为：甲原单价×甲原数量+乙原单价×乙原数量=1500，（甲原单价+1.5）×（甲原数量﹣10）+（乙原单价+1）×乙原数量=1529；（甲原单价+1）×（甲原数量﹣5）+（乙原单价+1）×乙原数量=1563.5．（2）结合（1）得到的式子，还有205＜2倍甲总价+乙总价＜210，求出整数解．【解答】解：（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是ax+by=1500，①由甲商品单价上涨 1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得（a+1.5）（x﹣10）+（b+1）y=1529．②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得（a+1）（x﹣5）+（b+1）y=1563.5，③由①、②、③得④⑤④﹣⑤×2并化简，得x+2y=186．（2）依题意，有205＜2x+y＜210及x+2y=186，54＜y＜由y是整数，得y=55，从而得x=76．答：（1）x、y的关系x+2y=186；（2）x值为76，y值为55．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式．当必需的量没有时，应设出未知数，在做题过程中消去无关的量．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y=﹣ax2+2ax+b的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与x轴的另一交点与A关于对称轴对称，因而交点就可以求出．（2）AB的长度可以求出，连接PC，在直角三角形OCP中，根据勾股定理就可以求出C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．（3）本题应分AC或BC为对角线和以AB为对角线三种情况进行讨论，当以AC 或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．就可以求出点M的坐标．当以AB为对角线时，点M在x轴下方易证△AOC≌△BNM，可以求出点M的坐标．【解答】解：（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是（3，0）．（2分）说明：每写对1个给（1分），“直线”两字没写不扣分．（2）如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4．∴PC=AB=×4=2在Rt△POC中，∵OP=PA﹣OA=2﹣1=1，∴OC=，∴b=（3分）当x=﹣1，y=0时，﹣a﹣2a+=0∴a=（4分）∴y=﹣x2+x+．（5分）（3）存在．（6分）理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M（x，y）．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．由（2）知，AB=4，∴|x|=4，y=OC=．∴x=±4．∴点M的坐标为M（4，）或（﹣4，）．（9分）说明：少求一个点的坐标扣（1分）．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90度．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC=MB，且AC∥MB．∴∠CAO=∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN=AO=1，MN=CO=．∵OB=3，∴0N=3﹣1=2．∴点M的坐标为M（2，﹣）．（12分）综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分【点评】本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．。
长郡中学实验班选拔考试试卷(物理)
GG长郡中学高一实验班选拔考试试卷（物理12）一、选择题（每小题4分，共32分，每小题只有一个选项符合题意） 1、下列物体的尺寸由小到大排列的是A ．夸克、原子核、质子、原子B ．质子、原子核、原子、夸克C ．夸克、质子、原子核、原子D ．原子、原子核、质子、夸克2、氢气球用绳子系着一个重物，共同以10m/s 的速度匀速竖直上升，当到达某一个高度时，绳子突然断开，这个重物将A ．继续上升一段，然后下落B ．立即下落C ．以原来的速度一直上升D ．以上说法都不对 3、如图所示，弹簧秤及细绳重力不计，砝码G 重100牛顿，静止时弹簧秤的读数为A ．200牛顿B ．100牛顿C ．0D ．条件不足，无法确定4、有个1千瓦的电炉，电炉丝断了。
到电料商店买，恰巧1千瓦的电炉丝缺货，只有2千瓦和500瓦的，怎样组装成1千瓦的呢？A ．把1根2千瓦的电炉丝分为相等两段，取其一段B ．把2千瓦的两根并联C ．把500瓦的两根串联D ．把500瓦的两根并联5、一根刻度均匀的米尺因热膨胀而不准确。
现用它测得一张小桌的边长为0.980米，将这支米尺跟标准的米尺对比，发现这支米尺的长度为1.002米，则这张小桌子的真实边长是（ ）。
A. 0.980米B. 0.982米C. 0.978米D. 0.984米6、把纸卷在直径相同的铜棒和玻璃棒上，把它们放在同一火焰上加热，结果是（ ）。
A. 铜棒上的纸先烧焦B. 同时被烧焦C. 玻璃棒上的纸先被烧焦D. 无法确定7、有3盏电灯连接于某电源上，如图7-12所示。
电源电压U 不超过各盏电灯的额定电压。
当电键S 1和S 2断开时，电灯L 1最亮，L 2次之，L 3最暗，如果电键S 1和S 2闭合时，那么（ ）。
A. L 1最亮，L 2次之，L 3最暗B. L 2最亮，L 3次之，L 1最暗C. L 3最亮，L 2次之，L 1最暗D. L 3最亮，L 1次之，L 2最暗8、用密度不同的两种液体装满两个完全相同的烧杯甲和乙，甲杯中两种液体的质量各占一半，乙杯中两种液体的体积各占一半。
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷(三)
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（三）一、选择题（每题4分，共32分）1．（4分）现有五张分别写有“长”“郡”“欢”“迎”“您”的卡片，从这五张卡片中任取一张，取出印有“您”的卡片的概率是（）A．B．C．D．12．（4分）化简（﹣）•（x﹣3）的结果是（）A．2 B． C． D．3．（4分）在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB等于（）A．B．C．D．4．（4分）下列命题中是真命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．两条对角线相等的平行四边形是矩形D．两边相等的平行四边形是菱形5．（4分）如图，已知函数y=﹣与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解为（）A．x=3 B．x=1 C．x=﹣3 D．无解6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．2 B．2+C．2 D．2+7．（4分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a48．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题4分，共32分）9．（4分）计算：tan30°﹣（π﹣2011）0+﹣|1﹣|=．10．（4分）⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，弦AB、CD 之间的距离为．11．（4分）关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是为．12．（4分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=．13．（4分）若，则=．14．（4分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是cm2．15．（4分）已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边的长为7.5，两条直角边的长分别是关于x的方程x2﹣3（m+）x+9m=0的两个根，则△ABC的内切圆面积是．16．（4分）对于自然数n，将其各位数字之和记为a n，如a2009=2+0+0+9=11，a2010=2+0+1+0=3，则a1+a2+a3+…+a2009+a2010=．三、解答题（每题18分，共36分）17．（18分）2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落．其中：1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格y元/千克与月份x呈二次函数关系．已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？18．（18分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共32分）1．（4分）现有五张分别写有“长”“郡”“欢”“迎”“您”的卡片，从这五张卡片中任取一张，取出印有“您”的卡片的概率是（）A．B．C．D．1【分析】直接根据概率公式即可得出结论．【解答】解：∵总共有5个字，符合情况的有1个，∴取出印有“您”的卡片的概率=．故选：A．【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率=．2．（4分）化简（﹣）•（x﹣3）的结果是（）A．2 B． C． D．【分析】利用分式的性质即可求出答案．【解答】解：原式=×（x﹣3）﹣=1﹣=故选：D．【点评】本题考查分式的混合运算，涉及因式分解，属于基础题型．3．（4分）在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB等于（）A．B．C．D．【分析】设BC=4x，AB=5x，由勾股定理求出AC=3x，代入tanB=求出即可．【解答】解：∵sinA==，∴设BC=4x，AB=5x，由勾股定理得：AC==3x，∴tanB===，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，关键是掌握正弦和正切的定义．4．（4分）下列命题中是真命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．两条对角线相等的平行四边形是矩形D．两边相等的平行四边形是菱形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形；B、错误，不能确定；C、正确，符合矩形的判定定理；D、错误，两边相等的平行四边形是平行四边形．故选：C．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（4分）如图，已知函数y=﹣与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解为（）A．x=3 B．x=1 C．x=﹣3 D．无解【分析】先求出P点坐标，再把方程的解转化为求两函数的交点问题，进而可得出结论．【解答】解：∵函数y=﹣经过点P，点P的纵坐标为1，∴1=﹣，解得x=﹣3．∵ax2+bx+=0可化为方程ax2+bx=﹣，∴此方程的解即为两函数的交点，∴x=﹣3．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是把求方程的解转化为求函数交点的问题是解答此题的关键．6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．2 B．2+C．2 D．2+【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，∴AE=AB=，PA=2，根据勾股定理得：PE==1，∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴a=PD+DC=2+．故选：B．【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．7．（4分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4【分析】设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．【解答】解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828，设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选：B．【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．8．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】首先根据抛物线的开口方向得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x轴的交点中，﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x=﹣＞﹣1，根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断．【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=﹣＞﹣1，且c＞0．①由图可得：当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确；②已知x=﹣＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a﹣2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a﹣c＜﹣4；故3a＜﹣3，即a＜﹣1；所以③正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；因此正确的结论是①②③④．故选：D．【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．二、填空题（每题4分，共32分）9．（4分）计算：tan30°﹣（π﹣2011）0+﹣|1﹣|=1+．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式=×﹣1+2﹣+1=1+．故答案为：1+【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（4分）⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，弦AB、CD 之间的距离为1cm或7cm．【分析】作OE⊥AB，交CD于F，连结OA、OC，OA=OC=5cm，根据平行线的性质得OF⊥CD，再根据垂径定理得AE=AB=3cm，CF=CD=4cm，于是可根据勾股定理分别计算出OE、OF，然后分类讨论求EF即可．【解答】解：如图，作OE⊥AB，交CD于F，连结OA、OC，OA=OC=5cm，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=AB=3cm，CF=CD=4cm，在Rt△AOE中，OE==4cm，在Rt△COF中，OF==3cm，当圆心O在平行弦AB与CD之间，EF=OE+OF=4cm+3cm=7cm；当圆心O在平行弦AB与CD之外，EF=OE﹣OF=4cm﹣3cm=1cm；∴弦AB、CD之间的距离为1cm或7cm．故答案为1cm或7cm．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．11．（4分）关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是为m＞2．【分析】先把m当作已知条件表示出x的值，再根据x为正实数列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵mx﹣1=2x，∴x=，∵x为正实数，∴＞0，解得m＞2．故答案为：m＞2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，先根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．12．（4分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=3．【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC ∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答．【解答】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴，∵AC=2，AD=1，∴，解得DB=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．13．（4分）若，则=6．【分析】根据非负数的性质先求出a2+、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵，∴+（b+1）2=0，∴a2﹣3a+1=0，b+1=0，∴a+=3，∴（a+）2=32，∴a2+=7；b=﹣1．∴=7﹣1=6．故答案为：6．【点评】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，整体思想，解题的关键是整体求出a2+的值．14．（4分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是 5.1cm2．【分析】根据折叠的性质知：AE=A′E，AB=A′D；可设AE为x，用x表示出A′E和DE的长，进而在Rt△A′DE中求出x的值，即可得到A′E的长；进而可求出△A′ED 和梯形A′EFD的面积，两者的面积差即为所求的△DEF的面积．【解答】解：设AE=A′E=x，则DE=5﹣x；在Rt△A′ED中，A′E=x，A′D=AB=3c m，ED=AD﹣AE=5﹣x；由勾股定理得：x2+9=（5﹣x）2，解得x=1.6；=S梯形A′DFE﹣S△A′DE=（A′E+DF）•A′D﹣A′E•A′D∴①S△DEF=×（5﹣x+x）×3﹣×x×3=×5×3﹣×1.6×3=5.1（cm2）；=ED•AB÷2=（5﹣1.6）×3÷2=5.1（cm2）．或②S△DEF故答案为：5.1【点评】此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出AE、A′E的长是解答此题的关键．15．（4分）已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边的长为7.5，两条直角边的长分别是关于x的方程x2﹣3（m+）x+9m=0的两个根，则△ABC的内切圆面积是π．【分析】设两直角边为a、b，根据根与系数的关系得出a+b=3（m+），ab=9m，根据勾股定理得出a2+b2=7.52，求出m，即可直角三角形的内切圆的半径，求出面积即可．【解答】解：设两直角边为a、b，∵两条直角边的长分别是关于x的方程x2﹣3（m+）x+9m=0的两个根，∴a+b=3（m+），ab=9m，∵直角三角形的斜边为7.5，∴a2+b2=7.52，∴（a+b）2﹣2ab=，∴9（m+）2﹣18m=，解得：m=﹣2或3，经检验m=﹣2不合题意，即m只能为3，∴a+b=，∵直角三角形的内切圆的半径r=（a+b+c），∴r=，∴△ABC的内切圆的面积为π，故答案为：π．【点评】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，根与系数的关系的应用，能求出m的值是解此题的关键．16．（4分）对于自然数n，将其各位数字之和记为a n，如a2009=2+0+0+9=11，a2010=2+0+1+0=3，则a1+a2+a3+…+a2009+a2010=28068．【分析】分别求出自然数1到2010中1到9出现的总次数，则a1+a2+a3+...+a2009+a2010=1×数字1出现的总次数+2×数字2出现的总次数+ (9)数字9出现的总次数，从而求解．【解答】解：把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果n不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变a n的值）．1在千位上出现的次数为103，1在百位上出现的次数为2×102，1在十位和个位上出现的次数均为2×102+1，因此，1出现的总次数为103+2×102×3+1=1601．2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为2×102，2在个位上出现的次数为2×102+1，因此，2出现的总次数为11+2×102×3+1=612．类似的，可求得k（k=3，4，5，6，7，8，9）出现的总次数均为2×102×3+1=601．因此a1+a2+a3+…+a2009+a2010=1062×1+612×2+601×（3+4+5+6+7+8+9），=28068．故答案为：28068．【点评】本题考查了数字的变化规律，得出自然数1到2010中1到9出现的总次数是解题的关键，注意分类顺序的应用．三、解答题（每题18分，共36分）17．（18分）2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落．其中：1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格y元/千克与月份x呈二次函数关系．已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？【分析】（1）根据自变量的不同取值范围内不同的函数关系设出不同的函数的解析式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；（2）根据一次函数的增减性和二次函数的最值确定该农产品的最低月份和最低价格即可；（3）分别计算5个月的平均价格和年平均价格，比较得到结论即可．【解答】解：（1）当1≤x≤7时，设y=kx+m将点（1，8）、（7，26）分别代入y=kx+m得：，解之得：，∴函数的解析式为：y=3x+5，当7≤x≤12时，设y=ax2+bx+c，将点（7，26）、（9，14）、（12，11）代入y=ax2+bx+c，得，解之得：，∴函数的解析式为y=x2﹣22x+131；（2）当1≤x≤7时，y=3x+5为增函数，当x=1时，y有最小值8．当7≤x≤12时，y=x2﹣22x+131=（x﹣11）2+10，当x=11时，y有最小值为10．所以，该农产品月平均价格最低的是1月，最低为8元/千克．（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，∴x=4时的月平均价格17是前7个月的平均值．将x=8，x=10和x=11代入y=x2﹣22x+131得y=19和y=11，y=10∴后5个月的月平均价格分别为19、14、11、10、11，∴年平均价格为≈15.3元/千克，当x=3时，y=14＜15.3，∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．18．（18分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A 点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1=2，x2=6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴=，即=，解得CE=，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6∵S△PAC=﹣（m﹣3）2+；∴当m=3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．。
竞赛及提前招生长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分)1．（4分）函数图象的大致形状是（)A．B．C．D．2．（4分）（2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为(）A．B．πC．πD．3．（4分）满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（）A．8B．9C．10D．114．（4分）甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站，乙再行驶4小时到达A站．那么，甲车速是乙车速的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1。
5倍5．（4分）图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3,4，那么，阴影三角形的面积为(）A．5B．6C．7D．86．(4分)如图，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,那么∠CDE与∠ABE的面积之比是（）A．c osαB．s in2αC．c os2αD．1﹣sinα7．(4分）两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油．舀一勺奶油到咖啡杯里,搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里．这时,设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和b的大小为(）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．与勺子大小有关8．（4分）设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分)9．(5分）用数字1，2，3，4，5,6，7,8不重复地填写在下面连等式的方框中,使这个连等式成立:1+□+□=9+□+□=8+□+□=6+□+□_________．10．（5分）如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心,则四边形OABC 的面积等于_________．11．（5分）计算：=_________．12．（5分)五支篮球队举行单循坏赛(就是每两队必须比赛1场,并且只比赛一场），当赛程进行到某一天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这一天为止一共已经赛了_________场，E队比赛了_________场．13．（5分）(2006•无锡）已知∠AOB=30°，C是射线OB上的一点,且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是_________．14．（5分）如图，∠ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC,则∠1_________∠2（填“＞"、“＜”或“=”）三、解答题（共3小题，满分38分)15．（12分）（2009•深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆,乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元,试说明（1)中哪种方案成本最低?最低成本是多少元？16．(12分)如图，∠ABC是∠O的内接三角形，AC=BC,D为∠O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD;（2)若AC∠BC,求证：AD+BD=CD．17．（14分）（2007•河北）如图，在等腰梯形ABCD中,AD∠BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK∠BC，交折线段CD﹣DA﹣AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1)当点P到达终点C时，求t的值,并指出此时BQ的长;（2)当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ∠DC；(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）∠PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题,每小题4分,满分32分)1．（4分）函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象．分析：由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．解答：解:由函数解析式可得x可取正数,也可取负数，但函数值只能是负数;所以函数图象应在x轴下方,并且x,y均不为0．故选D．点评:解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．2．（4分）(2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（）A．B．πC．πD．考点：几何概率．专题：计算题．分析：针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．解答：解:∠如图所示的正三角形，∠∠CAB=60°，设三角形的边长是a，∠AB=a，∠∠O是内切圆，∠∠OAB=30°，∠OBA=90°，∠BO=tan30°AB=a，则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2，因此概率是a2÷a2=．故选C．点评:用到的知识点为：边长为a的正三角形的面积为：a2；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．3．（4分）满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（）A．8B．9C．10D．11考点:幂的乘方与积的乘方．分析：将不等式左右两边理由幂的乘方运算法则变形为指数相同的两个幂,通过计算可求出n的最大值．解答：解：n200=（n2）100，5300=(125）100，所以n2＜125，最大整数n=11．故选D．点评:本题利用了幂的乘方、积的乘方以及分数的基本性质进行变形而求的．4．（4分）甲、乙两车分别从A,B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站,乙再行驶4小时到达A 站．那么，甲车速是乙车速的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1。
长郡中学高一物理月考参考答案
长郡中学2013年下学期高一考试物理试题参考答案及评分标准一、单项选择题（分）312=36⨯题号123456789101112答案A B D D B C C A DBCD 二、多项选择题（分）46=24⨯题号131415161718答案BDBDACDABACBD三、实验题（每空2分，共16分）19． CD （少选1个给1分，选错1个给0分）20．（1） 相等 、 匀加速 （填加速直线运动的不给分）.（2） 乙、 1.1 m/s 2、 1.1m/s.21．（1）0.413 m/s ，0.750m/s 2．四、计算题（本题共2个小题，共24分，答题时请写出必要的公式和文字说明）e go od fo rs o23．（14分）解析：（1）（8分）画出v-t 图象如图(甲).设最大速度为，匀加速直线运动的位移，时间， m v 1x 1t 则：；---------------1分 ，------------1分11m v t a =2112m v x a = 匀速运动的位移为，时间为， ---------1分2x 2t 22m x v t =匀减速直线运动的位移为，时间为，则：3x 3t -------------1分，；------------1分32m v t a =2322m v x a = 设总时间，则：；-----------1分130t s =123t t t t =++ 总位移为， ---------------1分1600x m =123x x x x =++ 联立以上方程，代入数值解得：v m ＝12.8 m/s(舍去另一解) -----------1分（2）（6分）画出v-t 图象如图(乙).因为路程不变，则图象中面积不变，当v 越大则t 越小，所以当匀速运动的时间为零时，总时间最短，此时有：22m12m 22a v a v '+'＝1 600 -------------2分其中a 1＝1.6 m/s 2，a 2＝6.4 m/s 2代入上式得v m ′＝64 m/s ---------1分设最短时间为t min ，则：t min ＝2m 1m a v a v '+' ------------2分将v m ′＝64 m/s 代入上式得：故t min ＝s 1.664s 6.164+＝50 s -------1分即最短时间为50 s.。
湖南省长沙市长郡_麓山国际实验学校2013—2014学年初三上学期第一次限时测试物理试题
湖南省长沙市长郡·麓山国际实验学校2013—2014学年初三上学期第一次限时测试物理试题总分：100分时量：60分钟一、单项选择题（每小题3分，共36分）1、冬天，常看到室外的自来水管包了一层保温材料，是为了防止水管冻裂，水管被冻裂的主要原因是（）A.水管里的水结成冰后，体积变大B.水管里的水结成冰后，质量变大C.水管里的水结成冰后，密度变大D.水管本身耐寒冷程度不够而破裂2、如图为运动员百米赛跑的情景，下列说法正确的是( )A．以地面为参照物，运动员是静止的B．运动员的鞋底花纹很深，可以减小摩擦C．运动员冲到终点，不能立即停下，是由于人具有惯性D．运动员跑得越快，到达终点所用时间越长3、下列事例中，利用大气压作用的是( )A．水往低处流B．医生用针筒把药水推入病人肌肉中C．用吸管吸饮料 D.深水潜水员要穿特制的抗压潜水服4、某中学生的信息档案中，错误的信息是( )A.身高 1.68mB.质量50kgC.体温36.5℃D.步行速度10m/s5、很多动物是“物理应用高手”，它们为了适应生存的环境，进化出了符合一定物理规律的身体部位，下列从物理学的角度给出的认识中正确的是（）A.骆驼的脚掌很大，可减小压强B.泥鳅的体表有层黏液，可增大摩擦C.啄木鸟有坚硬的嘴，可减小压强D.蚯蚓腹部有许多刚毛，可减小摩擦6、一辆在水平路面上匀速行驶的洒水车正在洒水作业，关于该洒水车，下列说法正确的是（）A.机械能不变，重力势能不变B.机械能变小，重力势能、动能变小C.机械能不变，动能变小D.机械能变小，动能不变7、下列说法，正确的是（）A．橡皮筋被拉长后，分子之间只有引力B．建筑工地上，汽车驶过时尘土飞扬，这是一种扩散现象C．用锯锯木头，锯条发热。
这是通过做功改变物体的内能D．四冲程汽油机的压缩冲程使汽车获得动力8、用一个定滑轮和一个动滑轮组成的滑轮组把重150N的物体匀速提升1m，不计摩擦和绳重，滑轮组的机械效率为60％.则下列选项错误的是（）A.拉力大小一定是125NB.有用功一定是150JC.总功一定是250JD.动滑轮重一定是100N9、如图所示，一质地均匀的圆柱形平底玻璃杯，置于水平桌面中央，杯内水中漂浮着一冰块。
长郡中学入学考试物理卷
长郡中入考试卷1.据报道，华中农业大学的几位学生发明了一种水面垃圾清理船，它能将水面上漂浮的垃圾通过前端的两个旋转滤网收集后，由倾斜的传送带送至船尾的垃圾箱中，如图是设计的样艇。
若相关数据如下表： (1)工作前，质量为60 ㎏的驾驶员登上船后，它排开水的体积是多少? (2)正常工作时，传送带将收集的垃圾升高0．5m 后，落入垃圾箱中，这要消耗发动机的1％的能 量。
它在5分钟内可传送300㎏的垃圾，求传 送带的传送效率。
(3)如何提高该船效率，请提出一条合理化的建议。
2. 有一种用于清理河道、港口泥沙的抽砂船。
工作时，用高压水枪喷射出的水柱将细砂冲起，再利用水泵将细砂抽起通过管道输送到目的地。
下面是某型号抽砂船的有关参数。
（设湿砂的平均密度为2.0×103㎏/m 3，河水的密度为1.0×103㎏/m 3、g 取10N/㎏）（1）该抽砂船在非工作状态下，排开水的体积是多少？（2）高压水枪水压为3.0×107Pa ，水枪喷嘴的面积为5.0×10－6㎡，若不考虑水从喷嘴喷出时横截面积的变化，高压水流产生的压力为多少？（3）若某一次抽砂的高度为12m ，抽砂船的工作效率为80%，则抽砂船实际消耗的功率为多少？（结果保留整数）3 ．科技小组的同学用长方体泡沫塑料A 、三脚架和灯泡等制作了一个航标灯模型（如图）, 总重为4N ,A 底部与浮子B 用细绳相连。
水位上升时，浮子B 下降；水位下降时，浮子B 上升，使航标灯静止时A 浸人水中的深度始终为5cm ，排开水的质量为500g ，浮子B 重0.5N （不计绳重和绳与滑轮间的摩擦）求：（1）泡沫塑料A 底部受到水的压强是多少？ （2）航标灯静止时，浮子B 体积应为多大？4．爱湖小分队的同学为对西湖水质进行监测，他们找来了一根长 1.2 m 粗细均匀的木条，在其底端嵌入适量重物，使其能直立漂浮在水中，做好相应的标记后就做成一个简易的密度计，该简易密度计的总质量为0.5 kg ．名称水面垃圾清理船 发动机 汽油发动机额定功率 5kW 质量（空载） 200㎏ 排水量1000㎏(1)先将该木条放入足够深的清水中，测得木条露出水面0.2m ，在水面处画上白线，请计算此时木条底端受到的水的压强及木条受到的浮力。
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷(一)
2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（一）一、选择题（每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣32．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DE，则∠BAE是∠B的（）倍．A．6 B．4 C．3 D．23．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0 4．（6分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD中位线FG上，且AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点，若有一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0二、填空题（每题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为=．半径的圆，则S阴影10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是．11．（5分）如图，已知梯形ABCD的面积为S，AD∥BC，BC=b，AD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O．若△COD的面积为S，则=．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为60，那么，白球有个，红球有个．三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15题12分，共34分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2013年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣3【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由①得：x≥2．由②得：x＞﹣3．∴不等式组的解集为：x≥2．故选B．【点评】求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．2．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DE，则∠BAE是∠B的（）倍．A．6 B．4 C．3 D．2【分析】由AC=CD=DA=BC=DE，可得△ACD是等边三角形，即∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，又由三角形外角的性质，∠B与∠BAE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AC=CD=DA=BC=DE，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠ADC=∠E+∠DAE，∴∠B=∠BAC=∠DAE=∠E=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE=120°，∴∠BAE=4∠B．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与x轴无交点即可．【解答】解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为非负数，则必须保证抛物线开口向下，且与x轴只有一个交点，或者无交点；则a＜0且b2﹣4ac≤0，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．①当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；②当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．4．（6分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD中位线FG上，且AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．【分析】由题意可知∠BEF=∠FEB′=∠EFB′，推出EB′=EF=AF=FB′，即∠AEB′=60°，通过解直角三角形，即可推出AE的长度．【解答】解：∵FG是直角梯形AECD的中位线，∠B=∠AB′E=90°，∴FG∥BC∥AD，∴∠BEF=∠FEB′=∠EFB′，∴EB′=EF=AF=FB′，∴∠AEB′=60°，∵AB=AB′=，∴AE==．故选：D．【点评】本题主要考查翻折变换的性质、解直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键在于证出等边三角形，再解直角三角形即可．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点，若有一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个【分析】根据题意，设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），利用待定系数法求得该直线方程，然后在此线段上（包括端点）寻找整点．【解答】解：设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），则，解得，，∴所求的线段所在的直线方程为y=x+；①当y=12时，x=5，即整点（5，12）在该线段上；②当y=13时，x=8，即整点（8，13）在该线段上；又∵端点（2，11）、（11，14）也是整点，∴在此线段上（包括端点）的整点共有4个，故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形性质．解得该题的关键是求得此线段所在的直线的方程，根据该直线方程取y的整数值．6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0【分析】由题意x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，将x，y，z相加，然后根据完全平方式的性质，进行求解；【解答】解：∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＞0，∴x+y+z＞0，故x，y，z至少有一个大于0，故选：D．【点评】此题主要考查非负数的性质，即非负数大于等于0，比较简单．二、填空题（每题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可．【解答】解：连接OA交BC于D，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠AOC=∠BOA，∵OB=OC，∴BD=DC，OA⊥BC，∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，∠OAC=∠BAC=×120°=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠DCO=90°﹣60°=30°∴OC=2OD，设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，a=，OC=2a=（cm）．故答案是：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是3．【分析】首先过O作AC的垂线段，再利用三角形相似就可以求出O到AC的距离．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∠A公共，∴△ABC∽△ADO，∴，即OD=；在△ABC中，∠BAC=30°，∴AC=2BC=8，AB==12，∴OA=6=BO，∴OD=．【点评】主要利用了相似三角形的对应线段成比例．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S=2π．阴影【分析】由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一个半圆的面积．=π×22=2π．【解答】解：由反比例函数的对称性知S阴影故答案为：2π．【点评】解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是40°．【分析】在AB上截取AE=AC，先根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，再根据“SAS”可判断△AED≌△ACD，则ED=CD，∠AED=∠C=80°，由于AB=AC+CD得到EB=CD=ED，即△EBD为等腰三角形，所以∠AED=∠B+∠EDB，于是∠B=∠AED=40°．【解答】解：在AB上截取AE=AC，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=80°，∵AB=AC+CD，∴EB=CD=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠AED=40°．故答案为40°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．11．（5分）如图，已知梯形ABCD的面积为S，AD∥BC，BC=b，AD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O．若△COD的面积为S，则=．【分析】依据题意可先作出简单的图形，可设S△AOD 的面积为S1，S△COB的面积为S2，由题中条件建立关于S1•S2的方程，解方程得出S1•S2之间的关系，进而可求解a、b之间的关系．【解答】解：如图，设S△AOD 的面积为S1，S△COB的面积为S2，由S四边形ABCD=S，∵AB∥CD，∴S△ABC=S△DBC，∴S△ABC ﹣S△BOC=S△BCD﹣S△COB，∴S△AOB=S△DOC=S，得S1+S2=S﹣2×S=S，①∵==，∴S1•S2=S△DOC•S△AOB=S2，②联立①、②，∵△AOD∽△COB，∴=，③∵a＜b，∴S1＜S2，解方程组得S1=S，S2=S，代入③得=．故答案为．【点评】本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质以及面积的问题，能够通过方程的思想建立等式，进而求解结论．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为60，那么，白球有9个，红球有14个．【分析】设有白球x个，有红球y个，根据条件就有x＜y，2x＞y，2x+3y=60，从而构成一个不等式组，求出其解即可．【解答】解：设有白球x个，有红球y个，由题意，得，由③，得x=④，把④代入①，得y＞12．把④代入②，得y＜15．∵x、y为整数，y=13，14，当y=13时，x=舍去，当y=14时，x=9，∴白球9个，红球14个故答案为：9，14．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答本题时根据条件建立不等式是解答本题的关键．三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15题12分，共34分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．【分析】先把原方程化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x=1是方程2x2﹣3x﹣（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：（1）当△=0时；（2）若x=1是方程①的根；（3）当方程①有异号实根时；（4）当方程①有一个根为0时，最后结合题意总结结果即可．【解答】解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，且x≠1即k≠﹣4，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣3．【点评】主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．【分析】（1）设出必需的未知量，找出等量关系为：甲原单价×甲原数量+乙原单价×乙原数量=1500，（甲原单价+1.5）×（甲原数量﹣10）+（乙原单价+1）×乙原数量=1529；（甲原单价+1）×（甲原数量﹣5）+（乙原单价+1）×乙原数量=1563.5．（2）结合（1）得到的式子，还有205＜2倍甲总价+乙总价＜210，求出整数解．【解答】解：（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得（a+1.5）（x﹣10）+（b+1）y=1529．②再由甲商品单价上涨1元，而数量比（x﹣5）+（b+1）y=1563.5，预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得（a+1）③由①、②、③得④⑤④﹣⑤×2并化简，得x+2y=186．（2）依题意，有205＜2x+y＜210及x+2y=186，54＜y＜由y是整数，得y=55，从而得x=76．答：（1）x、y的关系x+2y=186；（2）x值为76，y值为55．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式．当必需的量没有时，应设出未知数，在做题过程中消去无关的量．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y=﹣ax2+2ax+b的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与x轴的另一交点与A关于对称轴对称，因而交点就可以求出．（2）AB的长度可以求出，连接PC，在直角三角形OCP中，根据勾股定理就可以求出C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．（3）本题应分AC或BC为对角线和以AB为对角线三种情况进行讨论，当以AC 或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．就可以求出点M的坐标．当以AB为对角线时，点M在x轴下方易证△AOC≌△BNM，可以求出点M的坐标．【解答】解：（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是（3，0）．（2分）说明：每写对1个给（1分），“直线”两字没写不扣分．（2）如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4．∴PC=AB=×4=2在Rt△POC中，∵OP=PA﹣OA=2﹣1=1，∴OC=，∴b=（3分）当x=﹣1，y=0时，﹣a﹣2a+=0∴a=（4分）∴y=﹣x2+x+．（5分）（3）存在．（6分）理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M（x，y）．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．由（2）知，AB=4，∴|x|=4，y=OC=．∴x=±4．∴点M的坐标为M（4，）或（﹣4，）．（9分）说明：少求一个点的坐标扣（1分）．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90度．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC=MB，且AC∥MB．∴∠CAO=∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN=AO=1，MN=CO=．∵OB=3，∴0N=3﹣1=2．∴点M的坐标为M（2，﹣）．（12分）综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分【点评】本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．。
2013年湖南省长沙市中考物理试题
2013年长沙市初中毕业学业水平考试试卷理科综合（物理）注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共八大题，考试时量60分钟，满分100分。
一、选择题（本大题包括12个小题，每小题3分，共36分。
每小题只有1个选项符合 题意。
请将符合题意的选项用2B 铅笔填涂在答题卡相应位置。
）16．能源、信息和材料是现代社会发展的三大支柱。
关于能源、信息和材料，下列说法正确的是 A ．太阳能是不可再生能源 B ．“北斗”导航是利用超声波进行定位和导航的 C ．卫星通信、移动通信是利用电磁波来传递信息的 D ．LED 灯的核心元件发光二极管是由超导材料制成的17．长沙橘子洲头是著名的旅游景点，每到周末的夜晚，橘子洲的上空就会燃起璀璨夺目的烟花。
这不仅丰富了市民的文化生活，同时为长沙休闲旅游增添了一张新的名片。
下列有关说法正确的是 A ．燃放礼花时，我们是先看到礼花后听到声音 B ．礼花爆炸时，内能和机械能没有相互转化 C ．礼花爆炸时，很远的地方都能听到响声，是因为其音调高 D ．礼花绽放时，发出的声音是由爆炸而产生的，与振动无关 18．下列现象中与平面镜成像原理一致的是A ．手影B ．水中倒影C ．钢笔“错位”D ．彩虹 19．如图所示的用具中属于费力杠杆的是姓名 准考证号A．食品夹B ．瓶盖起子C ．螺丝刀D ．钳子20．如图所示的电蚊拍，具有灭蚊和照明等功能。
当开关S l 闭合、S 2断开时，只有灭蚊网通电起到灭蚊作用；当开关S l 和S 2都闭合时，灭蚊网与灯都通电同时起到灭蚊和照明作用。
下列电路设计符合这种要求的是21．下列现象中，属于用热传递的方法改变物体内能的是 A ．刚从蒸笼里拿出的馒头，放一阵子变凉了 B ．冬天天冷，通过搓手发热取暖 C ．用锤子敲打石头时，锤子发热 D ．给自行车车胎打气，打气筒壁变热了22．某家庭电路的部分组成如图所示，下列说法正确的是 A ．图中三个插座是串联的 B ．控制灯泡的开关S 要接在火线上 C ．三脚插头的用电器也可插入两孔插座 D ．闭合开关S 时，灯泡不亮，一定是零线某处断路23．教室里，带磁性的粉笔刷可吸在黑板上不掉下来。