北邮信通院数字信号处理课件DSP07-多率滤波器

Z-1 hM(N-2)
Z-1 hM(N-1)
样值中得到序列y(m)的一个样值， 其余M-1个g(n)样值都不需要(抽取 器的高效实现)
L)e − jmΩTy
( m = nL )
=
∞
y(nTx )e − jnLΩTy
m=−∞
m=−∞
n=−∞
∞
∑ = x(nTx )e− jnω1 = X (e jω1 )
n=−∞
Χ⎜⎝⎛
e
jω 1
⎟⎠⎞
内插后在原 一个周期内 出现了L个
周期，多余
− 2π − π
π
2π
的L-1个周 ω 1 期成为X(ejw)
1
M
⎤ ⎥ ⎥
从另一个角度看，当最大抽取因子为M时，则要求原始信号
的频谱限制在-π/M 到π/M 之内，也即要求ω1M =π/M
Χ ⎜⎝⎛ e j ω 1 ⎟⎠⎞
− 2π
−π
π −
π
π
3
3
2π
ω1
当不满足频谱受限于π/M之内时，在抽取之前需要让信号
x(n)通过一个截止频率为π/M的理想低通数字滤波器。
y(m)
=
⎧x(n) ⎩⎨0
x(n )
m= nL m、n均为整数
m≠ nL
y(m)
x (n )
y (m)
X (z1)
↑L Y(z2)
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内插前后信号频谱间关系
∑ ∑ ∑ Y (e jω2 ) =
∞
y(mTy )e− jmω2 =
∞
y(mTx
/
19
(2) 此。三个信号的幅频特性分别如图所示。
( ) F e jω2
1
"
"
"
−π
−π 0
3 1
π
π
3
( ) G e jω2
2π
ω2
"
−2π
"
−π
−π 0
π
π
4
4
Y ( e jω )
1 4
2π
ω2
"
−π −4π
−π 0
π
4
4
−π
π
π 4π
−π
π −
π
π
2π
ω1
Μ
Μ
理想低通数字滤波器的幅频特性
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1.2 按整数因子L内插
零值内插：在原序列x(n)的相邻抽样点之间插入L-1
个零值，形成一个新的序列y(m)。
内插前后信号x(nTx)和y(mTy)抽样周期间关系：Ty=Tx/L
抽样频率间关系：Fy=LFx 数字角频率间关系:ω2=ΩTy=ΩTx/L=ω1/L 两个信号间关系：
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抽取系统
抽取器：低通数字滤波器与抽取相级联的系统
Χ(n)
e Χ⎜⎝⎛ jω1 ⎟⎠⎞
hΜ (n)
Η
Μ
⎜⎝⎛
e
jω 1
⎟⎠⎞
g (n )
e G⎜⎝⎛
jω 1
⎟⎠⎞
抽取系统框图
↓M
y (m ) e Υ⎜⎝⎛ jω2⎟⎠⎞
ΗΜ
⎜⎝⎛
e
jω 1
⎟⎠⎞
chapter7
7
抽取前后信号频谱间关系
根据抽取后的频率关系ω2 =Mω1，
令： z1 = e jω1 z2 = e jω2
则得：z2 =z1M
将抽取后的频谱关系推广到z域：
e e jω1
− j 2π k M
∑ Y (e jω2 ) =
1
M
−1
X
[e
j
(ω1
−
2π M
k
)
]
M k=0
∑ Y ( z 2 ) =
1 M
M −1
X
(
z1W
k M
)
k =0
− j 2π
其中：WM = e M
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最大抽取
最大抽取使频谱在不发生混叠的情况下抽样率达到最低. 最大抽取时的抽取因子与原信号的频谱范围有关。
设ω 为原信号的最高频率，最大抽取因子 M 1M
=
⎡π
⎢ ⎢
ω
线性内插：x ( 2 n + 1) = 1 [x (2 n ) + x (2 n + 2 )]
2
得到：h(−1) = 1 , h(0) = 1, h(1) = 1
2
2
即:
Hi (z) =
1 (z + 2 + z −1 2
)
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1.3 按分数因子变换抽样率
两个信号之间的关系：
y(m)=y(mTy)=y(mMTx)=x(mMTx)=x(nTx)=x(n) 其中n=mM
y(m)
x(n)
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-9
-6
-3
-3
-2
-1
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0
1 2 3 TX
6 Ty
9n
0
1
2
3m
5
抽取前后信号频谱间关系
∑ ∑ 1
M
基本关系式：
M −1
g (k ) (G e jω2 ) ↓ M
y (m)
( ) Y e jω3
H ( z2 )
x(n)
( ) X e jω1
X ( z1 )
↑L
f (k)
( ) F e jω2 F ( z2 )
h(k)
( ) H e jω2
g (k )
( ) G e jω2 ↓ M G ( z2 )
y(m)
( ) Y e jω3
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1
概述
单抽样率数字信号处理系统：具有单一抽样率 的数字系统
多抽样率数字信号处理系统：具有多种抽样率 的数字系统 多抽样率系统的应用：音频信号处理系统、视 频信号处理系统、通信系统、时频信号分析系 统等 “多抽样率数字信号处理” 的核心内容是信号 抽样率的转换及滤波器组。
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Y ( z3 )
低通数字滤波器h(k)的截止频率：ωc = min(π/L,π/M)
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按分数因子L/M变换抽样率的系统 例：对于变换抽样率系统，假设输入信号x(n)如图所示，
且假设低通数字滤波器h(k)具有理想的幅频响应。 (1) 如果L=4,M=3, 则滤波器h(k)的截止频率ω2c = ? 试 分别画出信号f(k)、g(k)和y(m)的幅频特性。 (2) 如果L=3,M=4, 则滤波器h(k)的截止频率ω2c = ? 试
按分数因子变换抽样率的过程： 令x(n)是对模拟信号x(t)抽样得到的序列，
抽样率:fx =1/Tx。 现将x(n)变换为另一序列y(m)，
使y(m)对x(t)的抽样率为fy =1/Ty， 且x(n)与y(m)的抽样率之比为：fy = Tx = L 其中L和M是互质正整数
fx Ty M 要实现按分数因子L/M变换抽样率的系统，只需将 一个按整数因子L内插的系统与一个按整数因子M抽取 的系统级联即可。
抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信 号抽样率的转换。
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1.1 按整数因子M抽取
按整数因子M抽取 ：对序列x(n) 每隔M-1个样值抽取出一
个样值，构成新的序列y(m)。 设：抽取前后信号分别为 x(nTx)和y(mTy)，
抽样周期间关系： Ty=MTx，抽样频率间关系：Fy=Fx/M 角频率间关系：ω1 = ΩTx ω2 = ΩTy = ΩMTx = M ΩTx = Mω1
π
L
Υ⎜⎝⎛
e
jω 2
⎟⎠⎞
2π
ω2
− 2π
−π
π −
3
π 3
π
2π
ω2
插值虽然插入的是零，但经过低通滤波器后，这些零值点将
不再是零而成为插之后的输出
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内插举例
设L=2：
零阶保持：x(2n +1) = x(2n)
得到 h(0) = h(1) = 1 即 H i (z) = 1 + z −1
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2π
ω3
8π
20
2、多率数字系统中滤波器的实现
抽样率变换系统中常采用FIR型数字滤波器来 实现信号滤波。 为高效地实现多率数字系统 ，通常将抽取或 者插零的处理与数字滤波器的运算有效结合， 从而大大减少整个系统的运算量。
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Υ⎜⎝⎛ejω2⎟⎠⎞
的镜像。需 使用低通滤
波器截取一
个周期。
− 2π
−π
π −
π
π
3
3
2π
ω2
原信号与插零信号的频谱
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2
内插前后信号频谱间关系
根据插零后的频率关系ω2 =ω1/L，