浙江省杭师大附中2022-2023学年高二上学期期中数学试题及答案
浙江省杭师附2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含解析)
浙江省杭师附中2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________2022,,x ，改变为20222,,2x -．平均数与方差均不改变 ．平均数改变，方差保持不变．平均数不变，方差改变．平均数与方差均改变的一个方向向量为(2,2,v =--的一个法向量为()1,1,2n =，则直的位置关系是（ ） 的两个焦点为过点F ，则△四点，则AB CD ⋅的值为11111二、多选题将ABC折起，四、问答题17．某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[)0,0.5、[)0.5,1、…、[]4,4.5从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值；(2)估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；(3)在[)1,1.5、[)1.5,2这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，114560CB BD C CD CC B ⊥∠=︒∠=︒，，，11CC CB BD ===，为折痕把ABC(1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若M 为PD 上一点，且三棱锥D ACM -的体积是三棱锥P ACM -体积的2倍，求平面PAC 与平面ACM 夹角的余弦值.六、问答题参考答案：2022,,x 的平均数20222022x ++，20222,,2x -20221232022222222022x x x x x x ++++=+--=-+，平均数发生变化；2022,,x 的方差()()()22212202222022x x x x x x s -+-++-=，320222,2,,2x x ---的方差为)()()22222022222222022x x x s +--+++-=，方差不发生变化【分析】根据2n υ=-得到υ与n 共线，即可得到直线【详解】因为2n υ=-，所以υ与n 共线，直线【分析】求得椭圆的,,a b c ，由椭圆的定义可得算即可得到所求值．的斜率不存在时，易得1AB CD ⋅=； 所以cos0⋅=⋅⋅AB CD AB CD C【点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，义，以及抛物线的定义与简单性质即可，属于常考题型B2⎝∴()111,1,1,,2AC MN⎛=--=-⎝1MN AC⊥，∴112a b+--12b a=-，01,b≤≤∴12≤1AA DS a⋅故选：B135,45,ba,H HG H=⊂平面A HG1由正方体性质，连接22,EF=121,3EB FD =-，再利用BD BE EF FD =++可求得结DF AC ⊥，二面角1,3EB FD =-BD BE EF FD =++，22222()222BD BE EF FD BE EF FD BE EF EF FD BE FD ∴=++=+++⋅+⋅+⋅443BD=，即故答案为：．1 3【分析】设直线u u u r ，DA CB=，|DA得出13PM PD=，利用向量法即可得出为平行四边形，()，得13PM PD =，所以132,,333OM OP PM OP PD ⎛=+=+=- ⎝设平面ACM 的法向量为(),,n x y z =r，00n OM n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即32233330x y x ⎧-++⎪⎨⎪=1-，则0x =，所以(0,1,1n =-又因为平面PAC 的法向量()0,1,0m =，2,2m n n m m n ⋅==, 因为二面角P AC M --为锐二面角，所以其余弦值为2214y +=MN 的垂线交MN ∴的斜率存在连接OP MN ∴的斜率不为不妨设MN l答案第15页，共15页 PQ MN ⊥PQ MN k k ∴⋅解得:m =MNQ S =2114k k ++。
浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题【含答案】
A ．23-B ．3-6．已知()f x 是定义域为(,∞-(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．07．如图，在三棱锥O ABC -中，的三等分点，过点M 的平面分别交棱A ．133B ．8．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体等球与最大球和正四面体三个面均相切，知正四面体ABCD 棱长为CC中点A．Q为1PA长度的最小值为B．线段1C．存在一点PAN平面PBC；(1)求证：//(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第(2)若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？(3)若女子组40位选手的平均分为117，标准差为19．已知函数2π5π()3sin(2)sin(236f x x =--+(1)若方程()f x m =在ππ[,]44x ∈-上有且只有一个实数根，求实数()(1)求证：1A C⊥平面BDE；B C的中点，求点(2)若点F为棱11B C上的动点（不包括端点）(3)若点F为线段11范围.22．在区间D上，如果函数(f x故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径9．ACD【分析】根据统计中的相关概念和性质运算求解【详解】不妨设样本甲的数据为10x x <≤11．ACA B C三个时间包含的样本点，【分析】首先分别列举,,选项，即可判断选项.【详解】事件A的所有基本事件为甲事件B的所有基本事件为甲1乙【详解】在底面ABCD 的投影为H ，连接,BH CH 2sin PH PHPC PBβα===，即2=PB 建系可得：()3,0,0B ，()3,3,0C ，(,,P x y z故D正确.故选：BCDx y--=13．250【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解因为M ，N 分别是PC ，PD 又因为//AB DC 且12AB DC =，所以//NM AB ，NM AB =，所以四边形所以//AN BM ，又因为AN ⊄则()0,0,0A ，()0,0,1P ，(0,1,0B 设平面PBC 的法向量为(,m x =因为()0,1,1BP =-，(22,0,0BC = 所以0220BP m y z BC m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令y =66在ABD △中，3AD =，2AB =，由正弦定理得32⨯00DB m DE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即301322x y z ⎧=⎪⎨-+⎪⎩不妨取1z =，则3y =，则m = 所以平面BDE 的一个法向量为m ()10,3,3A C =-- ，1AC ∴=-。
浙江省杭州中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题含解析
杭州2022学年第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）命题人：审题人：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选切中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22950,2,1,2,4M x x x N =--<=-∣，则M N ⋂=（）A.{}2,1,2- B.{}1,2 C.{}1,4 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式得集合M ，再求交集即可.【详解】因为{}{}2129505,2,1,2,42M xx x x x N ⎧⎫=--<=-<<=-⎨⎬⎩⎭∣，所以{}1,2,4M N ⋂=，故选：D.2.已知复数z 满足()()1i 312i z z --=+，则z =（）A.13i 48-- B.13i 48-+C.13i44-+ D.13i44--【答案】B 【解析】【分析】先设复数i z a b =+，则i z a b =-，然后代入式子计算后，利用复数相等即可求解.【详解】复数i z a b =+，则i z a b =-，因为复数z 满足()()1i 312i z z --=+，所以(1i)(24i)12i a b -+=+，也即24(42)i 12i a b b a ++-=+，则有241422a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得：1438a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以13i 48z =-+，故选：B .3.已知直线10l y +=与直线2:10l kx y -+=，若直线1l 与直线2l 的夹角是60°，则k 的值为（）A.0B.0C.D.【答案】A 【解析】【分析】先求出1l 的倾斜角为120°，再求出直线2l 的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k .【详解】直线10l y +=的斜率为1k =，所以倾斜角为120°.要使直线1l 与直线2l 的夹角是60°，只需直线2l 的倾斜角为0°或60°，所以k 的值为0或故选：A4.设sin32k = ，则1tan16tan16+=（）A.2kB.1kC.2kD.k【答案】A 【解析】【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.【详解】解：1sin16cos16tan16tan16cos16sin16︒︒=+︒︒︒+︒22sin 16cos 16sin16cos16︒+︒︒⋅︒=11sin 322=︒2k=.故选：A.5.已知函数()()31log 2,323,3x ax x f x x -⎧->=⎨-≤⎩，在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.()0,∞+ B.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.[)1,+∞ D.5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】要使分段函数在定义域上单调递增，需要在每一段上为单调递增函数，且左端点值小于等于右端点的值，列出不等式，即可求出实数a 的取值范围.【详解】解：由题意得20ax ->，在3x >时，23a >又函数()f x 在定义域上单调递增，所以()313log 32231323a a --≥-=⇒-≥，解得53a ≥，所以，实数a 的取值范围为5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：D.6.将一张坐标纸折叠一次，使得点()3,4-与点()4,a -重合，点()1,2-与点2,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭重合，则a b -=（）A.2-B.1-C.12D.1【答案】D 【解析】【分析】由对称，求出折痕所在直线方程，两个方程相同，列方程组可求未知数.【详解】假设折痕所在直线的斜率不存在，由点()3,4-与点()4,a -可得折痕所在直线的方程为72x =-，由点()1,2-与点2,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得折痕所在直线的方程为32x =-，故舍去；由点()3,4-与点()4,a -可得折痕所在直线的斜率不为0，由点()3,4-与点()4,a -关于折痕对称，两点的中点坐标为74,22a -+⎛⎫⎪⎝⎭，两点确定直线的斜率为()4434aa -=----，则折痕所在直线的斜率为14a -，所以折痕所在直线的方程为：417242a y x a +⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭，即()744242x a y a a +=++--，由点()1,2-与点2,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于折痕对称，两点的中点坐标为232,22b ⎛⎫+ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭，两点确定直线的斜率为()222122b b -=----，则折痕所在直线的斜率为122b -，所以折痕所在直线的方程为：21322222by x b +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭-，即234444x by b b +=++--，则有()2144347444242b a b a b a ⎧=⎪--⎪⎨++⎪+=+--⎪⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩.所以1a b -=故选：D7.在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，AB AC ⊥，动点M 在侧面11ACC A 上运动，且2AM =，则异面直线1AB 和BM 所成角的余弦值的最大值为（）A.624B.4C.2 D.624【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设点M 坐标，将异面直线1AB 和BM 所成角θ的余弦值以1cos cos ,AB BM θ=的形式表示，依据M 坐标的取值范围，求出cos θ的最大值.【详解】∵AB AC ⊥，且三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴以A 为原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则由已知有()0,0,0A，()B，(1B ，∵动点M 在侧面11ACC A 上运动，且2AM =，∴设()000,,M y z ，[]00,2y ∈，[]00,2z ∈，且2AM ==，即22004y z +=，(1AB =，()00,BM y z =-，(10012AB BM z ⋅=-+=-+，1AB =，BM =，设异面直线1AB 和BM 所成角为θ，∴1111cos cos ,AB BMAB BM AB AB θ⋅===，∵[]00,2z ∈∴当00z =时，cos θ4=，故选：B.8.已知ABC 中，()min 2,||3R AB AC BQ QA AB BC λλ===+=∈，()1221,33AP AB AC μμμ=+-≤≤ ，则PQ的最小值为（）A.3B.5C.D.2913【答案】C 【解析】【分析】首先找到min ||AB BC λ+时的λ值，根据三角形的边长条件算出BC 长度从而判断ABC 的形状，再建立平面直角坐标系将PQ用坐标表示出来，根据坐标再计算出PQ 即可.【详解】如图，设点O 为BC 上的一点，令BO BC λ= ，即AB BC AB BO AO λ==++，当AO BC⊥时AO取最小值3，此时根据勾股定理可得BO OC ==，由此可知ABC 为等边三角形，当点O 为BC的中点时建立如图直角坐标系：()0,3A，()B，)C，()3AB =-，)3AC =-()226AB μμ=-- ，())())11,31AC μμμ-=---())21,33AP AB AC μμμ=+-=--，故),3P μ--因为2BQ QA =，所以,23Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则,323PQ μ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭PQ = 因为1233μ≤≤，所以当13μ=时PQ取最小值，min PQ= 故选:C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A .点斜式1y y -=()1k x x -可以表示任何直线B.直线42y x =-在y 轴上的截距为-2C.直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y -+=D.点()2,1P 到直线()130ax a y a +-++=的最大距离为【答案】BD 【解析】【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A 错误；对B ：42y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；对C ：点(),x y 关于y x =的对称点为(),y x ，故直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y --=，故C 错误；对D ：()130ax a y a +-++=，即()130a x y y ++-+=，其恒过定点()4,3A -，又PA ==故点()2,1P 到直线()130ax a y a +-++=的最大距离为，D 正确.故选：BD.10.已知第一象限内的点(),P a b 在直线2210x y +-=上，则（）A.221sin sin 26a b ⎛⎫≤-⎪⎝⎭B.138a b+≥+C.22a b -≥D.ln ln 4ln 2a b +≥-【答案】BC 【解析】【分析】首先根据题意得到221a b +=，且0a >，0b >，再利用基本不等式和函数的单调性依次判断选项即可.【详解】依题意，有221a b +=，且0a >，0b >.对选项A ，因为22222211111223324666a b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22126a b ≥-，且22ππ1ππ,,2,22622a b ⎛⎫⎛⎫∈--∈- ⎪ ⎝⎭⎝⎭所以221sin sin 26a b ⎛⎫-⎪≥⎝⎭，故A 错误；对选项B ，因此1126(22)8833b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当314a -=，334b -=时，等号成立.故选项B 正确；对选项C ，2a b-=111()22222222a a a ---=>=，故选项C 正确.对选项D ，因为221()124416a b ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭≤==，当且仅当a b =时取等，所以1ln ln ln()4ln 216lna b ab +=≤=-，故选项D 错误，故选：BC11.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面1111D C B A 和平面11AA B B 所成的角均为π6，则（）A.11AB D =B.AB 与平面11AB C D 所成的角为π6C.1B D 与平面11AA D D 所成的角为4πD.1AC CB =【答案】AC 【解析】【分析】不妨令1AA a =，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【详解】解：如图所示，连接11B D ，1AB ，不妨令1AA a =，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥面11AA B B ，1DD ⊥面1111D C B A ，所以11DB D ∠和1DB A ∠分别为1B D 与平面1111D C B A 和平面11AA B B 所成的角，即111π6DB D DB A ∠=∠=，所以在11Rt DB D 中，11DD AA a ==，111,2B D B D a ==，在1Rt ADB 中，12DB a =，1,AD a AB ==，所以在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB a =，12CB a =，3AC a =，11A D a=所以112AB A D =，1AC CB ≠，故A 正确，D 不正确；如下图，过B 作BE ⊥1AB 于E在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥面11AA B B ，BE ⊂面11AA B B 所以AD BE ⊥，又BE ⊥1AB ，11,,AB AD A AB AD ⋂=⊂平面11AB C D 则BE ⊥平面11AB C D所以1B AB ∠为AB 与平面11AB C D 所成的角，在1Rt ABB 中，1113sin 33BB a B AB AB a∠===，故选项B 错误，如下图，连接1A D在长方体1111ABCD A B C D -中，11B A ⊥面11AA D D ，则1B D 与平面11AA D D 所成的角为11B DA ∠且为锐角在11Rt A B D 中，1111122sin 22A B a B DA B D a ∠===，所以11π4B DA ∠=，故选项C 正确.故选：AC.12.对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A.[1,0]x ∀∈-，[]2x =-B.函数[]y x x =-的值域为[0,1)C.x ∀∈R ，[]1x x <+D.方程22021[]20220x x --=有两个实数根【答案】BCD 【解析】【分析】计算[]00=，A 错误，考虑x 为整数和x 不为整数，计算得到B 正确，根据[]1y x x =-<得到C 正确，解不等式得到[]1,0,1x =-，分别计算得到D 正确，得到答案.【详解】对于A ：根据定义，[]00=，A 错误；对于B ：当x 为整数时，[]=x x ，[]0x x -=；当x 不是整数时，[]()0,1x x -∈，故函数[]y x x =-的值域为[0,1)，B 正确；对于C ：根据B 知[]1y x x =-<，故x ∀∈R ，[]1x x <+，C 正确；对于D ：22021[]20220x x --=，故()()2202120221202120220x x x x --=+-≤，解得202212021x -≤≤，故[]1,0,1x =-，当[]1x =-时，2202120210x -=，解得1x =±，当=1x -时满足；当[]0x =时，2202120220x -=，解得x =，不成立；当[]1x =时，2202120230x -=，解得x =，当x =综上所述：方程有2个解，D 正确；故选：BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,2a b == ，且()4a b a -⋅= ，则向量a 与b的夹角为__________.【答案】π4【解析】【分析】先求出a b ⋅ ，再利用公式可求向量a 与b 的夹角.【详解】因为a =，故a == ，而()4a b a -⋅= ，故24a b a -⋅= 即4b a ⋅= ，故cos ,2b a == ，而[],0,πb a ∈ ，故π,4b a = ，故答案为：π414.一个袋于中有4个红球，8个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为__________.【答案】13【解析】【分析】使用古典概型概率公式或全概率公式进行求解.【详解】方法一：由已知，该试验是古典概型，样本空间Ω中样本点的个数()212A 132n Ω==，设事件A =“第二次取到红球”，则事件A 分为“第一次取到绿球，第二次取到红球”和“两次取到的均为红球”两类，∴()112844C C A 321244n A =+=+=，∴()()()4411323n A P A n Ω===.方法二：设事件i R 表示“第i 次摸到红球”，事件i G 表示“第i 次摸到绿球”，1,2i =，则()()()()212121212P R P R R G R P R R P G R =⋃=+()()()()121121||P R P R R P G P R G =⋅+⋅43841121112113=⨯+⨯=.故答案为：13.15.已知函数()5sin ,012g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若123g g ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()g x 在,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值但无最大值，则ω的值为__________.【答案】265【解析】【分析】由()g x 在(123ππ，上有最小值无最大值可知：08ω<≤，进而得51212ωππ+、5312ωππ+得范围，所以当((123g g ππ=时，结合()g x 在()123ππ，上有最小值无最大值，可得51212ωππ+与5312ωππ+关于32π对称，列式可求得结果.【详解】∵()()123g g ππ=，∴55sin()sin(1212312ωππωππ+=+①又∵()g x 在()123ππ，上有最小值无最大值，②∴312T ππ-≤即：24ππω≥又因为0ω>所以5π0812t x ωω<≤=+，.∴551312121212πωπππ<+≤，55371231212πωπππ<+≤③∴结合图象，由②③得：5132121212πωπππ≤+≤，35523122πωπππ<+≤④∴由①④得：553121231222ωππωπππ+++=解得：265ω=故答案为：265.16.球O 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的外接球，M 为球O 上一点，N 是1AB C V 的内切圆上的一点，则线段MN 长度的取值范围为__________.【答案】331⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先分析出1AB C V 的内切圆上的点到O 的距离，利用球的性质即可得解.【详解】设正方体的外接球的球心为O ，其半径3R =设1AB C V 的内切圆圆心为O '，由正方体的性质可得'⊥O O 平面1AB C ，所以ON 的长度为定值，且与O 到AC 的距离相等，即1ON =，由此可得线段MN 长度的取值范围是331⎡⎤-⎣⎦.故答案为：331⎤⎦四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线l 的方程为：(3)(12)(15)0m x m y m +--++=.（1）求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；（2）过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程.【答案】（1）证明见解析（2）240x y ++=【解析】【分析】（1）列出方程()25310x y m x y +++-+=，分别令250x y ++=，310x y -+=可求出定点；（2）令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可.【小问1详解】证明：原方程整理得：()25310x y m x y +++-+=．由250310x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --.【小问2详解】设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<．令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭ ．当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小．则1l 的方程为240x y ++=．18.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积为S ，且()()sin sin sin 6a b c a A B C S+-++=（1）求角A 的大小；（2）若3,a BA AC A ∠=⋅=- 的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.【答案】（1）π3A =（2）5AT =【解析】【分析】（1）根据正弦定理及三角形面积公式即可求解，化简得到222b c a bc +-=，结合余弦定理即可得解；（2）由向量的数量积运算法则和余弦定理求出32b c =⎧⎨=⎩或23b c =⎧⎨=⎩，利用三角恒等变换和正弦定理进行求解，得到正确答案.【小问1详解】()()1sin sin sin 66sin 3sin 2a b c a A B C S ab C ab C +-++==⨯=，由正弦定理得：()()3a b c a b c a abc +-++=，即()()3b c a b c a bc+-++=即22223b c a bc bc +-+=，即222b c a bc+-=所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】由（1）知：π3A =，所以cos 3BA AC bc A ⋅=-=- ，即31cos 2A bc ==，解得：6bc =，由余弦定理得：227cos 2b c A bc +-=，所以22372b c bc bc+-=，解得：2213b c +=，解得：32b c =⎧⎨=⎩或23b c =⎧⎨=⎩当3,2b c ==得：222cos 214a c b B ac +-==，则sin 14B ==，所以πππ1sin sin sin cos cos sin 66614214214ATB B B B ⎛⎫∠=+=+=⨯⨯= ⎪⎝⎭，在三角形ABT 中，由正弦定理得：sin sin AT AB B ATB =∠，，321571414=635AT =；当2,3b c ==时，同理可得：635AT =；综上：5AT =19.如图，ABCD 为圆柱OO '的轴截面，EF 是圆柱上异于,AD BC 的母线．（1）证明：BE ⊥平面DEF ；（2）若6AB BC ==，当三棱锥B DEF -的体积最大时，求二面角B DF E --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）先证明AEFD 是平行四边形，再结合圆柱的性质得到BE ⊥平面DEF ；（2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时EF 的相对位置，再找出二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小.【小问1详解】证明：如图，连接AE ，由题意知AB 为O 的直径，所以AE BE ⊥．因为,AD EF 是圆柱的母线，所以AD EF 且AD EF =，所以四边形AEFD 是平行四边形．所以//AE DF ，所以BE DF ⊥．因为EF 是圆柱的母线，所以EF ⊥平面ABE ，又因为BE ⊂平面ABE ，所以EF BE ⊥．又因为DF EF F = ，DF EF ⊂、平面DEF ，所以BE ⊥平面DEF ．【小问2详解】由（1）知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高，由（1）知,EF AE AE DF ⊥∥，所以EF DF ⊥，即底面三角形DEF 是直角三角形．设,DF AE x BE y ===，则在Rt ABE 中有：226x y +=，所以221113326622B DEF DEF x y V S BE x y xy -+⎛=⋅=⋅⋅⋅=≤⋅ ⎝ ，当且仅当x y ==时等号成立，即点E ，F 分别是 AB ， CD 的中点时，三棱锥B DEF -的体积最大，（另解：等积转化法：13B DEF D BEF D BCF B CDF CDF V V V V S BC ----====⋅ 易得当F 与CD 距离最远时取到最大值，此时E 、F 分别为 AB 、 CD中点）下面求二面角B DF E --的正弦值：法一：由（1）得BE ⊥平面DEF ，因为DF ⊂平面DEF ，所以BE DF ⊥．又因为,EF DF EF BE E ⊥= ，所以DF ⊥平面BEF ．因为BF ⊂平面BEF ，所以BF DF ⊥，所以BFE ∠是二面角B DF E --的平面角，由（1）知BEF △为直角三角形，则3BF ==．故sin 3BE BFE BF ∠==，所以二面角B DF E --的正弦值为3．法二：由（1）知,,EA EB EF 两两相互垂直，如图，以点E 为原点，,,EA EB EF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),B D E F ．由（1）知BE ⊥平面DEF ，故平面DEF 的法向量可取为0)EB =．设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =，由((0,DF BF == ，得00n DF n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1z =，得n = ．设二面角B DF E --的平面角为θ，|||cos |cos ,|3||||n EB n EB n EB θ⋅====⋅ ∣，所以二面角B DF E --的正弦值为320.某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数117382275以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.【答案】（1）2845；456（2）Y 值见解析，45【解析】【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率；利用平均数公式可求前三年六月份每天平均需求量；（2）分别求当温度大于等于25℃时，温度在[20，25）℃时，以及温度低于20℃时的利润，从而估计Y 大于零的概率．【小问1详解】由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为1+17+38＝56，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P 56904528==；前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为()()227560038400117300410004569090++⨯+⨯++⨯=≈（瓶）；【小问2详解】当温度大于等于25℃时，需求量为600，Y ＝550×2＝1100元，当温度在[20，25）℃时，需求量为400，Y ＝400×2﹣（550﹣400）×4＝200元，当温度低于20℃时，需求量为300，Y ＝600﹣（550﹣300）×4＝﹣400元，当温度大于等于20时，Y ＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：()9011772-+=，∴估计Y 大于零的概率P 724905==．21.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112,AB AC BC AA AC =====1A B =，点M 为11B C 的中点，点N 是11C A 上一点，且113C N NA =.（1）求点A 到平面1A BC 的距离；（2）求平面1BCC 与平面AMN 所成平面角的余弦值.【答案】（1）31（2）287【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接1,BO A O ，以O 为原点，,OB OC 分别为,x y 轴，Oz 为z 轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.（2）利用空间向量法求解即可.【小问1详解】取AC 的中点O ，连接1,BO A O，如图所示：因为112,AB AC BC AA AC =====所以OB AC ⊥，1A O AC ⊥，所以OB ==11A O ==.以O 为原点，,OB OC 分别为,x y 轴，Oz 为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,1,0A -，)B ，()0,1,0C ，设()1,0,A x z ，则11A O == ，1A B ==2x =-，12z=，即11,0,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.112A B ⎫=-⎪⎭，()BC = ，设平面1A BC 的法向量为()111,,m x y z = ，则111111020m A B z m BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令1x =，解得113,9y z ==，即)m = .()0,2,0AC = ，设点A 到平面1A BC 的距离为d ，则31AC m d m⋅=== 【小问2详解】()BC = ，1131,1,22CC AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面1BCC 的法向量为()222,,x n y z = ，则22122201022n BC y n CC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2x =，解得223,3y z ==-，即)3n =- .设()1333,,C x y z，则113331,,22A C x y z ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0AC = ，因为11AC AC =，解得11,2,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设()1444,,B x y z，则114441,,22A B x y z ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，)AB = ，因为11A B AB = ，解得131,1,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为点M 为11B C 的中点，所以310,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，510,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭.()1111111131,1,0,2,0,,4224222AN AA A N AA A C ⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面AMN 的法向量为()555,,p x y z = ，则5555531022251022p AN x y z p AM y z ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令51y =，解得55,53x z =-=-，即,1,53p ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.8574cos ,287n p n p n p ⋅==⋅ ，因为平面1BCC 与平面AMN 所成平面角为锐角，所以平面1BCC 与平面AMN 所成平面角的余弦值8574287.22.设函数()()2222,,01x a f x x x a g x a x -=-=>-（1）当2a =时，求()f x 在区间[]3,6上的值域；（2）若[][]()3,6,3,61,2i m x i ∀∈∃∈=，且12x x ≠，使得()()()1,2i f x g m i ==，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]0,24（2）631623159a ≤≤【解析】【分析】（1）分类讨论后可得()2228,3428,46x x x f x x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩，分别求出各段的范围后可得函数的值域.（2）就3a ≥、132a <<、102a <≤分类讨论()f x 的单调性后结合两个函数的值域的关系可求参数的取值范围.【小问1详解】()2228,342428,46x x x f x x x x x x ⎧-+≤≤=-=⎨-<≤⎩，当34x ≤≤时，()()2228f x x =--+，故()06f x ≤≤，当46x <≤时，()()2228f x x =--，故()024f x <≤，故()f x 在区间[]3,6上的值域为[]0,24.【小问2详解】由题设可得()f x 在[]3,6上不单调.()()221122121111x a x a a g x x x x x -+---===++---，若6a ≥，则()224f x x ax =-+，因为对称轴6x a =≥，则()f x 在[]3,6上为增函数，舍；若362a a <<<，则()224f x x ax =-+，此时()f x 在[]3,a 为增函数，在[],6a 为减函数，此时120a -<，故121a y x -=-在[]3,6上为增函数，故()1211a g x x x -=++-在[]3,6上为增函数，故()g x 的值域为()()3,6g g ⎡⎤⎣⎦即为92362,25a a --⎡⎤⎢⎣⎦.因为[][]()3,6,3,61,2i m x i ∀∈∃∈=，且12x x ≠，使得()()()1,2i f x g m i ==，故()()()923292623625a f a f a f a -⎧≥⎪⎪-⎪≥⎨⎪-⎪≤⎪⎩，整理得到292121829224722362253a a a a a a a -⎧≥-⎪⎪-⎪≥-⎪⎨⎪-≤⎪⎪⎪>⎩，无解.若3a =，则()224f x x ax =-+，此时()f x 在[]3,6为减函数，舍；若332a <<，则26a <，故()2224,3224,26x ax x a f x x ax a x ⎧-+<<=⎨-≤≤⎩，此时()f x 在[]3,2a 为减函数，在[]2,6a 上为增函数，而120a -<，故121a y x -=-在[]3,6上为增函数，故()1211a g x x x -=++-在[]3,6上为增函数，故()g x 的值域为()()3,6g g ⎡⎤⎣⎦即为92362,25a a --⎡⎤⎢⎣⎦.因为[][]()3,6,3,61,2i m x i ∀∈∃∈=，且12x x ≠，使得()()()1,2i f x g m i ==，故()()()92223626536235a f a a f a f -⎧≥⎪⎪-⎪≤⎨⎪-⎪≤⎪⎩，整理得到：92023627224536212185a a a a a -⎧≥⎪⎪-⎪≤-⎨⎪-⎪≤-⎪⎩，解得631623159a ≤≤.若302<≤a ，则23a ≤，故()224f x x ax =-，而对称轴3x a =<，故()f x 在[]3,6上为增函数，舍；综上，631623159a ≤≤.【点睛】思路点睛：对于存在性和任意性综合问题，我们需要根据前者得到两个函数的值域关系，而且还要得到某一函数的性质，从而关于参数的不等式组.。
浙江省杭州师大附中高二数学上学期期中考试试题 文【会员独享】.doc
杭师大附中第一学期期中考试高二数学试卷(文科)参考公式：柱体体积公式：V sh 柱体＝（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高） 锥体体积公式：V sh 锥体1＝3（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高） 球的表面积公式：24S R π球面＝ 球的体积公式：343V R π球＝ 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.） 1.直线133=-+y x 的倾斜角为（ ） A ．30B ．60 C ．120D ．1502.如图所示，棱长为1的正方体（左图），沿阴影面将它切割成两块，拼成右图所示的几何体，那么拼成的几何体的表面积为 （ ） A ．222+ B ．223+ C ．224+ D ．225+3.如图所示，用斜二测画法所作的直观图中，3'',2'',4'',1''====C O D O B O A O ，四边形''''D C B A 表示的原平面图形的面积为 （ ）A ．12B ．11C ．10D ．8 4. 已知βα、为两个不同的平面，l 是一条直线，若βα//，且β//l 则 （ ） A ．α//l B. α⊂l C. α//l 或α⊂l D. α⊥l5.如图，沿平面BC A '和C B A ''将三棱柱分割成三个三棱锥，则有（ ） A ．231V V V >> B ．321V V V <= C ．231V V V >= D ．321V V V ==6. 如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为（第2题）A` C B A 1A`B` BC2B` C` CA` 3（第5题）（第3题）（ ） A ．29cmB ．30cmC ．32cmD ．48cm（第6题）7.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BCD ，E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为 （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8. 设l 、m 、n 是两两不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，给出下列命题： ①若m l m l //,,αα⊂⊄，则α//l ； ②若m l m l ⊥⊂=,,αβα ，则βα⊥； ③若m n l n m l ⊥⊥⊂⊂,,,αα，则α⊥n ；④若m l n m l //,,,===αγγββα ，则n m //； ⑤若,,αβα⊂⊥l ，则β⊥l .其中，正确的序号有 A ．①②③ B ．①④⑤ C．①③⑤ D.①④9．若直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，R b a ∈,，且0≠ab ,则ab的最小值是（ ）A ．22B ．2C ．2D ．110．已知四棱锥ABCD S -的底面为正方形，侧棱SD SC SB SA ===，若侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是 （ ）A ．θβγα<<<B ．γθβα<<<C ．βγαθ<<< 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2024学年杭州市二中高二数学上学期11月期中考试B卷附答案解析
2024学年杭州市二中高二数学上学期11月期中考试B 卷试卷共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线1x =的倾斜角是（）A.0︒B.不存在C.90︒D.180︒2.2024年，中国大陆居民的幸福感指数高达79%，持续领跑全球，幸福感指数常用区间[0，100]内的一个数来表示，数字越接近100表示满意度越高．现随机抽取10位学生，他们的幸福感指数为73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．则这组数据的70%分位数是（）A.77.5B.77C.78D.76.53.高二6班和高二7班进行班级篮球赛，采用3场2胜制，已知6班实力强劲，其每场获胜的概率为23，则最终7班能够逆袭成功的概率是（）A.827B.427C.2027D.7274.直线方程20x y m -+=的一个方向向量d可以是（）A.(2,1)- B.(2,1)C.(1,2)-D.(1,2)5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与1AC 所成角的正弦值为（）A15B.15C.65D.6.若方程22123x y m m+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（）A.132m -<<-B.122m -<< C.3m <- D.>2m 7.若圆224x y +=上恰有三个点到直线:2l y x m =+的距离等于1，则m 的值为（）A.±B.C.±D.8.已知实数1212,,,x x y y 满足，2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，则112233x y x y +-++-的最大值为（）A.B.4C. D.8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.给出下列命题，其中正确的是（）A.若{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一个基底B.在空间直角坐标系中，点()1,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()1,4,3---C.点P 为平面ABC 上一点，O 为平面ABC 外一点，且7(,)6OP OA xOB yOC x y R =++∈，则16x y +=-D.非零向量a ，b ，若0a b ⋅≥ ，则,a b 〈〉 为锐角10.下列说法错误．．的是（）A.直线:20l mx y m ++-=恒过定点(1,2)-B.经过点(2,1)P ，且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线l 过点(1,0)P ，且与以(2,1),A B 为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是1k ≤≤D.已知直线1l 过点(3,),(2,3)A a B a -，直线2l 过点(2,3),(1,2)C D a --，若12l l ⊥，则0a =．11.已知椭圆2225:1092x y C k k ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭的两个焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(2)(4)2E x y -+-=上任意一点．若2||PQ PF +的最小值为4-，则下列说法中正确的是（）A.12PF PF ⋅的最小值为5B.12PF PF ⋅的最大值为5C.存在点P 使得1290F PF ︒∠= D.2||PQ PF -的最小值为6第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知()1,1,1a =为平面α的一个法向量，()1,0,0A 为α内的一点，则点()1,1,2D 到平面α的距离为_________．13.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，,A B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF AB ，则此椭圆的离心率是________．14.已知集合(){,|,R}A x y y x m m ==+∈，集合={(,)|1B x y y =-，若A B ⋂有两个元素，则实数m 的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，M为1FF 的中点．设AB a =，AFb = ，1AAc =.（1）用a ，b ，c表示向量DM ，1BE ；（2）若2a c ==求1DM BE ⋅ 的值．16.某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]、、、、、、七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值；（2）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（3）假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？17.已知(1,2)A 、(3,6)B ，动点P 满足4PA PB ⋅=-，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的标准方程；（2）求过点(1,2)A 且与曲线C 相切的直线的方程.18.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==．（1）求证：CD ED ⊥；（2）求平面BDF 与平面CDE 夹角的余弦值；（3）线段上EC 上是否存在点M ，使平面MDF ⊥平面BDF ？若存在，求出EMEC的值；若不存在，请说明理由．19.已知2231,,,222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 和右焦点F 的直线与椭圆E 交于另一个点B ，P 为直线2x =上的动点，直线,AP BP 分别与椭圆E 交于C （异于点A ），D （异于点B ）两点，证明：直线CD 经过点F ．2024学年杭州市二中高二数学上学期11月期中考试B 卷试卷共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线1x =的倾斜角是（）A.0︒B.不存在C.90︒D.180︒【答案】C 【解析】【分析】函数图像的斜率不存在，这倾斜角为90︒.【详解】因为函数1x =的斜率不存在，所以倾斜角为90︒.故选：C.2.2024年，中国大陆居民的幸福感指数高达79%，持续领跑全球，幸福感指数常用区间[0，100]内的一个数来表示，数字越接近100表示满意度越高．现随机抽取10位学生，他们的幸福感指数为73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．则这组数据的70%分位数是（）A.77.5B.77C.78D.76.5【答案】A 【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出.【详解】将这组数据从小到大进行排序，排序后依然为73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．数据个数10n =，%70%p =，则%100.77n p ⨯=⨯=，7是整数.因为%7n p ⨯=是整数，所以70%分位数是第7个数和第8个数的平均值，第7个数是77，第8个数是78，则70%分位数为777815577.522+==.故选：A.3.高二6班和高二7班进行班级篮球赛，采用3场2胜制，已知6班实力强劲，其每场获胜的概率为23，则最终7班能够逆袭成功的概率是（）A.827B.427C.2027D.727【答案】D 【解析】【分析】列出7班赢得比赛的情况，再根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【详解】由题意得7班每场获胜的概率为21133-=，每场输掉比赛的概率为23，则7班赢得比赛的情况有胜胜，胜败胜，败胜胜，则其赢得比赛的概率为7111212113333333372⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故选：D.4.直线方程20x y m -+=的一个方向向量d可以是（）A.(2,1)-B.(2,1)C.(1,2)- D.(1,2)【答案】D 【解析】【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.【详解】解：依题意，()2,1-为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2，故选：D .5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与1AC 所成角的正弦值为（）A.15B.15C.65D.【答案】A 【解析】【分析】延长AB 至点N ，使得12BN CM CD ==，根据四边形BMCN 为平行四边形可知所求角为1ACN ∠（或补角），利用余弦定理可求得所求角的余弦值，即可求得正弦值.【详解】延长AB 至点N ，使得12BN CM CD ==，连接1,A N CN，//CM BN ，∴四边形BMCN 为平行四边形，∴异面直线BM 与1AC 所成角即为CN 与1AC 所成角，即1ACN ∠（或补角），设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a，1A C ∴==，2CN BM ==，12A N ==，2222221111513344cos 215a a a A C CN A N A CN A C CN +-+-∴∠==⋅，1210sin 15A CN ∴∠=，∴异面直线BM 与1AC所成角的余弦值为15.故选：A.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解，解题关键是能够利用平行关系将异面直线所成角的问题转化为相交直线所成角的问题来进行求解.6.若方程22123x y m m+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（）A.132m -<<-B.122m -<<C.3m <-D.>2m 【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆方程的特征分析求解.【详解】由题意可得：032<+<-m m ，解得132m -<<-，所以m 的取值范围为13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：A.7.若圆224x y +=上恰有三个点到直线:2l y x m =+的距离等于1，则m 的值为（）A.±B.C.±D.【答案】B 【解析】【分析】根据圆上点到直线距离为1的点的个数可知圆心到直线l 的距离为1，计算可得结果.【详解】易知圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，若圆上恰有三个点到直线:2l y x m =+的距离等于1可知圆心()0,0到直线的距离为1，即1d ==，解得m =故选：B8.已知实数1212,,,x x y y 满足，2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，则112233x y x y +-++-的最大值为（）A. B.4C. D.8【答案】D 【解析】【分析】依题可得点1122)(,),(,P x y Q x y 在圆22:1O x y +=上，且OP OQ ⊥，原问题等价为求解点P 和点Q 到直线:30l x y +-=距离之和倍的最大值，据此数形结合确定112233+-++-x y x y 的最大值即可.【详解】由题意，可知1122)(,),(,P x y Q x y 在圆22:1O x y +=上，由12120OP OQ x x y y +=⋅=,可得OP OQ ⊥,则||PQ ,因112233x y x y +-++-=，1122)(,),(,P x y Q x y 到直线:30l x y +-=的距离1d 和2d .如图，取PQ 中点M ，连接OM ,分别作1PP l ⊥于点1P ，1M M l ⊥于点1M ，1QQ l ⊥于点1Q ，则111////PP MM QQ ，且1111211||(||||)()22MM PP QQ d d =+=+.又1||||22OM PQ ==,即点M 的轨迹方程为2212x y +=，要使112233+-++-x y x y 最大值，需使1||MM 取最大值，由图知，显然当线段1MM 经过圆心(0,0)O 时，1||MM 的值最大.由点(0,0)O 到直线:30l x y +-=的距离为2d ==，故1max ||22MM d r =+=+=，此时1212||d d MM +==，故1122max max 12max (33))8x y x y d d +-++-==+=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题主要考查距离公式的应用，等价转化、数形结合的思想，属于难题.解题关键在于根据条件数形结合，将两个方程理解为单位圆上的两点,P Q ，由条件得OP OQ ⊥，将所求式理解为点,P Q 到直线:30l x y +-=倍，根据圆的性质和梯形中位线性质即可求得其最大值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.给出下列命题，其中正确的是（）A.若{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一个基底B.在空间直角坐标系中，点()1,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()1,4,3---C.点P 为平面ABC 上一点，O 为平面ABC 外一点，且7(,)6OP OA xOB yOC x y R =++∈，则16x y +=-D.非零向量a ，b ，若0a b ⋅≥ ，则,a b 〈〉 为锐角【答案】AC 【解析】【分析】利用空间向量的基本性质即可判断选项AC ，选项B 利用空间坐标系的点对称做出判断，选项D 利用向量的数量积做出判断即可.【详解】对A ，若{},,a b c 是空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，假设,,a b b c c a +++ 共面，则存在实数λ，μ，使()()a b b c c a λμ+=+++ ，()a b b a c λμλμ∴+=+++， a ，b ，c 不共面，10λμλμ==⎧∴⎨+=⎩，λ，μ无解，故,,a b b c c a +++ 不共面，{},,a b b c c a ∴+++也是空间的一个基底，故A 正确.选项B ：点()1,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()1,4,3，选项B 错误.选项C ：由空间向量共面的推论可知成立，716x y ++=，则16x y +=-，选项C 正确.选项D ：cos ,0a b a b a b ⋅=⋅≥ ，则cos ,0a b ≥ ，∴ππ,,22a b ⎡⎤〈〉∈-⎢⎣⎦可能为零角或直角，选项D 错误.故选：AC10.下列说法错误．．的是（）A.直线:20l mx y m ++-=恒过定点(1,2)-B.经过点(2,1)P ，且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线l 过点(1,0)P ，且与以(2,1),A B 为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是1k ≤≤D.已知直线1l 过点(3,),(2,3)A a B a -，直线2l 过点(2,3),(1,2)C D a --，若12l l ⊥，则0a =．【答案】BCD【解析】【分析】对A ，整理成关于m 的方程即可；对B ，举出过原点的反例即可；对C ，作出图象并找到临界位置即可；对D ，举出反例5a =即可.【详解】对于A ，由直线方程20mx y m ++-=，整理可得()120x m y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2-，故A 正确；对于B ，过点(2,1)P ，且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线还有过原点的，其方程为12y x =，B 错误；对C ，根据题意作出图象，如图所示：当直线l 过B 时，设直线PB 的斜率为1k ，则1001k ==-当直线l 过A 时，设直线PA 的斜率为2k ，则210121k -==-，所以要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是([),1,-∞⋃+∞.，故C 错误；对D ，当5a =时，此时1:3l x =；2:3l y =，此时两直线垂直，故D 错误.故选：BCD.11.已知椭圆2225:1092x y C k k ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭的两个焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(2)(4)2E x y -+-=上任意一点．若2||PQ PF +的最小值为4-，则下列说法中正确的是（）A.12PF PF ⋅的最小值为5B.12PF PF ⋅ 的最大值为5C.存在点P 使得1290F PF ︒∠= D.2||PQ PF -的最小值为6【答案】ABD【解析】【分析】设()()12,0,,0F c F c -，首先由圆22:(2)(4)2E x y -+-=得到圆心E 的坐标与半径，即可判断点E 在椭圆外部，再由22PQ PF PE PF +≥+2EF ≥，求出2EF ，得到,c k ，得到椭圆C 的方程；根据椭圆的定义及椭圆的有界性可判断A ；由极化恒等式得2222124PF PF PO OF PO ⋅=-=- 可判断B ；由2c b =<=O 为圆心c 为半径的圆在椭圆内，可判断C ；将2PQ PF -转化成12PQ PF a +-求其最小值可判断D.【详解】椭圆222:19x y C k+=，则3a =，所以126PF PF +=，圆22:(2)(4)2E x y -+-=的圆心为():2,4E，半径r =因为502k <<，所以2222419k+>，所以点E 在椭圆外部.222PQ PF PE PF EF +≥+--，当且仅当E 、P 、2F 三点共线（P 在E 、2F 之间）时等号成立，设()()12,0,,0F c F c -，则所以24EF ==，解得2c =，所以2945k =-=，∴椭圆22:195x y C +=对于A ：∵126PF PF +=，设1,PF t =则26PF t =-，[]1,5t ∈，所以()21266PF PF t t t t ⋅=-=-+，当t =1或5时，12PF PF ⋅取得最小值5，所以A 正确；对于B ：2222124PF PF PO OF PO ⋅=-=-又PO ⎤∈⎦ ，∴12PF PF ⋅ []1,5∈，当且仅当P 在左、右顶点时取最大值5，故B 正确；对于C ：∵2c b =<=O 为圆心c 为半径的圆在椭圆内，所以不存在点P 使得1290F PF ︒∠=，故C 不正确；对于D ：因为()2111666PQ PF PQ PF PQ PF PE PF -=--=+-≥+--166EF ≥--=，当且仅当E 、Q 、P 、1F 四点共线（且Q 、P 在E 、1F 之间）时取等号，故D 正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知()1,1,1a =为平面α的一个法向量，()1,0,0A 为α内的一点，则点()1,1,2D 到平面α的距离为_________．【解析】【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答．【详解】依题意，(0,1,2)AD = ，而(1,1,1)a = 为平面α的一个法向量，所以点()1,1,2D 到平面α的距离||||a AD d a ⋅=== ,13.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，,A B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF AB ，则此椭圆的离心率是________．【答案】5【解析】【分析】利用椭圆性质写出焦点以及顶点坐标，再由1PF x ⊥轴，2//PF AB 即可得2b c =，可求得离心率为5.【详解】根据题意设椭圆的标准方程为()222210+=>>x y a b a b，如图所示则有()()()()12,0,,0,,0,0,F c F c A a B b -，直线1PF 方程为x c =-，代入方程22221x y a b +=可得2b y a =±，所以2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又2//PF AB ，所以2PF AB k k =，即2000b b a c c a--=---，整理可得2b c =；所以22222245a b c c c c =+=+=，即2215c a =，即可得椭圆的离心率为5c e a ====.故答案为：514.已知集合(){,|,R}A x y y x m m ==+∈，集合={(,)|1B x y y =-，若A B ⋂有两个元素，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(11⎤--⎦【解析】【分析】转化为直线与半圆有两个交点求解即可.【详解】集合(){|R}A x y y x m m ==+∈，，表示直线y x m =+，集合(){|1B x y y ==，表示圆心为（0，1），半径为2的圆的下半部分．如图所示．∵A B ⋂有两个元素，∴直线y x m =+与半圆有两个交点．当直线与圆相切时，即图中直线1l ，则有2=，解得1m =-1m =+当直线过点（2，1）时，即图中直线2l ，则有12m =+，解得1m =-．结合图形可得11m -<≤-．∴实数m 的取值范围是(11]--．故答案为：(11]--．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，M 为1FF 的中点．设AB a = ，AF b = ，1AA c = .（1）用a ，b ，c 表示向量DM ，1BE ；（2）若2a c == 求1DM BE ⋅ 的值．【答案】（1）122DM a b c =--+ ，12BE b c =+ （2）2【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法可得向量数量积.【小问1详解】()111222DM DE EF FM AB AB AF AA a b c =++=--++=--+ ，()111122BE BA AF FE EE AB AF AB AF AA AF AA b c =+++=-++++=+=+ ；【小问2详解】由题意易知2a b c === ，则2π1cos 22232a b a b ⎛⎫⋅=⨯=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，0a c ⋅= ，则()11222DM BE a b c b c ⎛⎫⋅=--+⋅+ ⎪⎝⎭ 2214222a b a c b b c b c =-⋅-⋅--⋅+⋅+ 2214222a b a c b c =-⋅-⋅-+ ()2214222222=-⨯--⨯+⨯=．16.某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]、、、、、、七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值；（2）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（3）假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？【答案】（1）0.002（2）选择方案（2）（3）每日的平均业务量至少应达82单【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出a 的值；（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；（3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为x ，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的x 值.【小问1详解】∵()()0.005320.030.01535251a ⨯+++⨯-=，∴0.02a =【小问2详解】每日人均业务量的平均值为：()300.005400.005500.02600.03700.02800.015900.0051062⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，方案（1）人均日收入为：100622224+⨯=元，方案（2）人均日收入为：()20062504248+-⨯=元，∵248元>224元，所以选择方案（2）【小问3详解】∵404000.1÷=，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.由频率分布直方表可知：前5组的频率和为()0.00520.020.030.02100.8⨯+++⨯=前6组的频率和为()0.00520.020.030.020.015100.95⨯++++⨯=∵0.80.90.95<<，设该销售的每日的平均业务量为x ，则−75×0.015+0.8>0.9，∴81.7x >，又∵N x *∈∴x 最小取82，故他每日的平均业务量至少应达82单.17.已知(1,2)A 、(3,6)B ，动点P 满足4PA PB ⋅=- ，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的标准方程；（2）求过点(1,2)A 且与曲线C 相切的直线的方程.【答案】（1）()()22241x y -+-=（2）1x =或3450x y -+=.【解析】【分析】（1）设s ，由4PA PB ⋅=- ，得动点P 的轨迹方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.【小问1详解】设s ，则(1,2)PA x y =-- ，(3,6)PB x y =-- ，由()()()()13264PA PB x x y y ⋅=--+--=- ，得()()22241x y -+-=，所以曲线C 的标准方程为()()22241x y -+-=.【小问2详解】曲线C 是以()2,4为圆心，1为半径的圆，过点(1,2)A 的直线若斜率不存在，直线方程这1x =，满足与圆C 相切；过点(1,2)A 的切线若斜率存在，设切线方程为()21y k x -=-，即20kx y k -+-=，有圆心到直线距离224211k kd k -+-==+，解得34k =，则方程为3450x y -+=.过点(1,2)A 且与曲线C 相切的直线的方程为1x =或3450x y -+=.18.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==．（1）求证：CD ED ⊥；（2）求平面BDF 与平面CDE 夹角的余弦值；（3）线段上EC 上是否存在点M ，使平面MDF ⊥平面BDF ？若存在，求出EM EC 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）33（3）存在，且12EM EC =【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得DE ⊥平面ABCD ，从而可证得结论；（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值．（3）求出平面BDM 的法向量和平面BDF 的法向量，利用向量法能求出线段EC 上是存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ，进而可求得EM EC 的值．【小问1详解】证明： 正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，交线为AD ，又AD DE ⊥，DE ⊂平面ADEF ，所以DE ⊥平面ABCD ，因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ED ⊥；【小问2详解】由（1）可得AD DE ⊥，CD DE ⊥，又AD CD ⊥，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -．设1AD =，则(0D ,0,0)，(1B ,1,0)，(1F ,0,1)，(0C ,2,0)，(0E ,0,1)，取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA = ，设平面BDF 的一个法向量(n x = ,y ,)z ，因为()()1,1,0,1,0,1DB DF == ，则00n DB x y y x z x n DF x z ⎧⋅=+==-⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=+=⎩⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==-，所以(1n = ,1-,1)-．设平面BDF 与平面CDE 所成角的大小为θ，则3cos cos ,3DA n θ== ．所以平面BDF 与平面CDE所角的余弦值是3．【小问3详解】若M 与C 重合，则平面BDM 的一个法向量()00,0,1m = ,由（2）知平面BDF 的一个法向量(1n = ,1-,1)-，则010m n ⋅=-≠ ，则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直．若M 与C 不重合，如图设(01)EM ECλλ=<<，则(0M ,2λ,1)λ-，设平面BDM 的一个法向量0(m x = ,0y ,0)z ，则00m BD m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令01x =，则01y =-，021z λλ=-，所以21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，平面BDM ⊥平面BDF 等价于0m n ⋅=r r ，即21101λλ+-=-，所以1[0,1]2λ=∈．所以，线段EC 上存在点M 使平面⊥BDF 平面BDM ，且12EM EC =．19.已知1,,,222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 和右焦点F 的直线与椭圆E 交于另一个点B ，P 为直线2x =上的动点，直线,AP BP 分别与椭圆E 交于C （异于点A ），D （异于点B ）两点，证明：直线CD 经过点F ．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，求得,a b ,即得答案；（2）确定()()0,1,1,0A F ，求出直线AF 的方程，联立椭圆方程求得41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，表示出直线,AP BP的方程，进而求得,C D 坐标，结合直线斜率关系，可证明结论.【小问1详解】由题意可得2222121423144a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆E 的方程为2212x y +=．【小问2详解】证明：由（1）可知，()()0,1,1,0A F ，则直线AF 的方程为1y x =-+联立方程组22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩,整理得224400x x -=，解得0x =或43x =，则41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()2,P t ，直线AP 的方程为112t y x -=+，直线BP 的方程为31212t y x t +=--，设()()1122,,,C x y D x y，联立方程组2212112x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，整理得()()2223410t t x t x -++-=，可得2224421,2323t t t C t t t t ⎛⎫-+-++ ⎪-+-+⎝⎭，联立方程组221231212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=--⎪⎩，整理得()()22229632422416160t t x t t x t t ++-++++=，则222416163963x t t t t +=++，22244321t tx t t +=++得从而22224421,321321t t t t D t t t t ⎛⎫+-- ⎪++++⎝⎭．因为2222222210212123442121123CF t t t t t t t t k t t t t t t t -++--++---+===-+--++---+，22222222210021321441211321DFt t y t t t t k t t x t t t t ------++===+-+--++，即CF DF k k =，所以,,C D F 三点共线，所以直线CD 经过点F ．。
浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023学年第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.直线10x y ++=的倾斜角是（）A.34π B.23π C.4π D.-4π【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率1k =-，利用直线倾斜角的正切等于直线的斜率可算出所求直线的倾斜角.【详解】 直线10x y ++=化为=1y x --所以斜率1k =-，∴设直线的倾斜角为α,则tan 1α=-，结合[)0,απ∈，可得34πα=，故选A.【点睛】本题给出直线的方程，求直线的倾斜角，着重考查了直线的基本量与基本形式等知识,属于基础题.2.已知平面向量()()1,3,1,2a b ==- ，则a 在b方向上的投影向量为（）A.()1,2- B.()1,2- C.()2,4- D.()3,6-【答案】B 【解析】【分析】由向量数量积求出a 在b方向上的投影为||cos ,||a b a a b b ⋅⋅=，再结合投影向量的定义求解.【详解】a 在b 方向上的投影为||cos ,||a b a a b b ⨯-+⨯⋅⋅==又b方向上的单位向量为,55||b b ⎛=- ⎝⎭，故a在b 方向上的投影向量是()||cos ,1,2||b a a b b ⋅⋅=-.故选：B.3.设m ､n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①若,//m n αα⊥，则m n ⊥②若,αγβγ⊥⊥，则//αβ③若//,//m n αα，则//m n ④若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥A.①和② B.①和④C.③和④D.②和③【答案】B 【解析】【分析】①运用线面平行、垂直的性质定理即可判断①；②运用面面垂直的判定和性质定理，即可判断②；③运用线面平行的性质定理，即可判断m ，n 的位置关系；④运用面面平行的传递性和线面垂直的性质定理，即可判断④．【详解】①由于n ∥α，由线面平行的性质定理得，n 平行于过n 的平面与α的交线l ，又m ⊥α，故m ⊥l ，即m ⊥n ，故①正确；②若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，也可能平行，故②错；③若m ∥α，n ∥α，由线面平行的性质定理，即得m ，n 平行、相交或异面，故③错；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则面面平行的传递性得α∥γ，由线面垂直的性质定理得，m ⊥γ，故④正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质定理，考查面面平行、垂直的判定和性质定理的运用，是一道基础题．4.不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A.2个小球不全为红色B.2个小球恰有一个红色C.2个小球至少有一个红色D.2个小球不全为绿色【答案】B 【解析】【分析】对于A 两个事件是对立的事件，故A 错误；对于B ，两个事件是互斥而不对立的，故B 正确；对于C ，两个事件不是互斥事件，故C 错误；对于D ，两个事件可以同时发生，不互斥，故D 也错误.【详解】一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，对于A ，2个小球不全为红球与事件“2个小球都为红色”是对立的事件，故A 错误；对于B ，2个小球恰有1个红球与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件，故B 正确；对于C ，2个小球至少有1个红球与事件“2个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；对于D ，2个小球不全为绿球与事件“2个小球都为红色”是可以同时发生的事件，不是互斥事件，故D 错误．故选：B ．5.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a = ，AD b = ，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A.1132a b c++ B.1162a b c-++C .1132a b c -+ D.1162a b c--+ 【答案】D 【解析】【分析】由图形可得MN MC CD DN =++，根据比例关系可得13MC AD = ，12DN DP = ，再根据向量减法DP AP AD =-，代入整理并代换为基底向量．【详解】()111111323262MN MC CD DN AD AB DP AD AB AP AD AB AD AP=++=-+=-+-=--+即1162MN a b c=--+ 故选：D ．6.某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为（）A.661.5，169.5B.661，187C.661，175D.660，180【答案】B 【解析】【分析】先求出总体均值，再利用分层抽样的方差公式即可得解．【详解】由题意甲的平均值为1665x =，方差为21131s =，乙的平均值是2658x =，方差为22208s =，则总体平均值为30665406586617070x ⨯⨯=+=，方差为()()22230401316656612086586611877070s ⎡⎤⎤⎡=⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦．故选：B ．7.圆224210x y x y +--+=与圆222210x y x y ++-+=的公切线有（）A.1条 B.2条 C.3条D.4条【答案】C 【解析】【分析】分别求两圆的圆心和半径，进而确定两圆的位置关系，分析判断.【详解】224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=，则圆心()12,1C ，半径12r =，222210x y x y ++-+=，即()()22111x y ++-=，则圆心()21,1C -，半径21r =，∵123C C ==，即1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切，故两圆的公切线有3条.故选：C.8.在三棱锥A BCD -，平面ACD ⊥平面BCD ，BCD △是以CD 为斜边的等腰直角三角形，ACD 为等边三角形，4CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.32π3B.56π3C.64π3 D.128π3【答案】C 【解析】【分析】先确定底面三角形外接圆圆心E ，过圆心E 且垂直底面的直线为AE ，在直线AE 上找球心O ，由于ACD 为等边三角形，所以球心为ACD 外接圆圆心，由正弦定理求外接圆半径即为外接球半径.【详解】取CD 中点E ，连结AE 根据题意，因为BCD △为等腰直角三角形，所以BCD △的外心为斜边CD 的中点E ，EB EC ED ==；又因为4CD =，所以BCD △的外接圆半径为2；因为平面ACD ⊥平面BCD ，平面ACD 平面BCD CD =,ACD 为等边三角形，所以AE CD ⊥，所以⊥AE 平面BCD ，所以外接球球心O 在直线AE 上，且OA OC OD ==,O 为ACD 的外心，因为ACD 为等边三角形，所以π3CAD ∠=,4CD =,所以由正弦定理有14π23sin 3OA =⋅=,所以三棱锥的外接球的表面积为22644π4ππ33S R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C二.多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的有（）A.从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位数是18D.若样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差为4，则数据121x +，221x +，…，21n x +的标准差为16【答案】AC 【解析】【分析】A ：根据古典概型概率计算方法即可计算；B ：根据平均数的计算方法求出m 的值，在根据方差计算公式即可求解；C ：根据50%分位数的求法求解即可；D ：根据方差的性质即可求解.【详解】对于A ：从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是100.2540=，故A 正确；对于B ：已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则45(1267)4m =⨯-+++=，这组数据的方差为22222126(14)(24)(44)(64)(74)55⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦，故B 错误；对于C ：这组数据从小到大排列为：11，14，15，17，19，23，26，31，共8个，故其50%分位数为第4个数17和第5个数19的平均数，为18，故C 正确；对于D ：若样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差为4，则方差为16，故数据121x +，221x +，…，21n x +的方差为216264⨯=，标准差为8.故D 错误.故选：AC10.如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中水的上表面形状可能是（）A.三角形B.矩形C.非矩形的平行四边形D.六边形【答案】BCD 【解析】【分析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，结合正方体截面图形的特征判断即可．【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图（1），故B 正确；过正方体一面上一边的任意一点（非顶点）和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为非矩形的平行四边形，如图（2），故C 正确；在正方体一面上相邻两边各取一点（非顶点），过这两点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为六边形，如图（3），故D 正确；至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形，故选：BCD11.已知(4,2),(0,4)A B ，圆22:(4)(1)4C x y -+-=，P 为圆C 上动点，下列正确的是（）A.PB PA -的最大值为B.PA PB ⋅的最小值为7-C.x y +的最小值为5- D.PBA ∠最大时，||PB =【答案】ABC 【解析】【分析】利用数形结合法，转化为三点共线时，取得最大值，可判定A 正确；取AB 的中点为D ，转化为25PA PB PD ⋅=- ，结合点与圆的位置关系，可判定B 正确；利用直线0x y b +-=与圆C 相切时，求得b 的最小值，可判定C 正确；根据圆的切线的性质，结合圆切线长公式，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，因为(4,2),(0,4)A B ，可得AB =如图所示，可得PB PA AB -≤=当且仅当,,A B P 三点共线时，等号成立，所以PB PA -的最大值为A 正确.对于B 中，设AB 的中点为D ，则(2,3)D ，所以22()()()()PA PB PD DA PD DB PD DB PD DB PD DB⋅=+⋅+=-⋅+=-225(2)57PD CD =-≥--=- ，所以B 正确；对于C 中，令b x y =+，当直线0x y b +-=与圆C 相切时，b 取值最值，由圆心到直线的距离2d ==，解得5b =±，所以x y +的最小值为5-，所以C 正确；对于D 中，当PB 与圆C 相切时，PBA ∠取得最大值，因为(0,4)B ，圆C 的圆心为(4,1)C ，可得5BC =，此时PB ==，所以D 错误.故选：ABC.12.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如右图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半多面体的下列说法中正确的有（）A.该半正多面体外接球与原正方体外接球半径相等B.与DF 所成的角是π3的棱有18条C.DF 与平面BCD 所成的角π4D.直线DE 与直线AF所成角的余弦值的取值范围为12[,]22【答案】CD【解析】【分析】将半正多面体补成正方体，考虑外接球的球心，可判断A ；由两直线所成角的定义可判断B ；由线面角的定义可判断C ；建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求出直线与直线所成角的余弦值的取值范围，可判断D ．【详解】设该半正多面体棱长为它的所有顶点都在同一个正方体的表面上；将该半正多面体补成正方体，正方体的棱长为2，可得该半正多面体的外接球与原正方体的外接球的球心重合，所以该半正多面体的外接球半径为1O A ==,原正方体的外接球的半径1O K =，故A 错误；与DF 成π3的棱有,,,HF AG AF GH 和与面AFHG 相对的面上的,,,;CI JN CJ IN 还有,,,DH BC CD BH 和与面BCDH 相对的面上的,,,,AM NS MN AS 共16条，故B 错误；由FR ⊥平面BCDH ，可得FDR ∠为DF 与平面BCD 所成角，由于DRF 为等腰直角三角形，所以π4FDR ∠=，故C 正确；建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,1,0,2,2,1,1,0,2,0,1,2,1,2,2A F B C D ,所以()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1AF CD FD ===-;又()1,1,0,BC =-设()[],,0,0,1BE BC λλλλ==-∈ ，则()()1,,0,,2,0E DE λλλλ-=--.cos ,AF DE AF DE AF DE⋅==--令111,,22t λ⎡⎤=∈--⎢⎥-⎣⎦则cos ,AF DE = 21221,1,2t t ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦所以1cos ,,22AF DE ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故直线DE 与直线AF所成角的余弦值的取值范围为12[,22.故D 正确.故选：CD.三、填空题（本大题共4小题，每空5分，共20分）13.已知直线1:21l x ay +=与直线2:210l x y +-=，若12//l l ，则1l 与2l 之间距离是__________【答案】510【解析】【分析】两条平行直线1l 与2l 之间的距离，等于直线1l 上的点到直线2l 的距离.【详解】直线1:21l x ay +=过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，由12//l l ，1l 与2l 之间距离等于点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭到直线的2:210l x y +-=距离，故距离2211152210512d -===+.故答案为：510.14.在空间直角坐标系中，已知三点A （3，2，0），B （2，1，3），C （3，1，0），则点C 到直线AB 的距离为____________.【答案】11011【解析】【分析】根据空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】由A （3，2，0），B （2，1，3），C （3，1，0），可得：(1,1,3)AB =-- ，(0,1,0)AC =- ，所以可得：cos ,AC AB AC AB AC AB⋅〈〉==⋅ ，因此sin ,11AC AB 〈〉=== ，于是点C 到直线AB的距离为sin ,11111AC AC AB ⋅〈〉=⨯= ，故答案为：1101115.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹为圆，已知,P Q 分别是圆22:(4)4C x y -+=与直线:40l x y -+=上的点，O 是坐标原点，则2||||PQ PO +的最小值为_______【答案】【解析】【分析】由阿波罗尼斯圆的定义，设(),0A a ， 1 2PA PO =，对比圆C 方程求得()3,0A ，则有()22PQ PO PQ PA +=+，最小值为点()3,0A 到直线:40l x y -+=距离的两倍.【详解】设()0,0O ，(),0A a ，设(),P x y，若 1 2PA PO ==，整理得2224439a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，由圆C 方程得2443449a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3a =，则()3,0A ．圆22:(4)4C x y -+=上任意一点P ，都有2PO PA =，所以()22PQ PO PQ PA +=+，PQ PA +的最小值为点()3,0A 到直线:40l x y -+=的距离AB ，22342211AB +==+，所以()22272PQ PO PQ PA AB +=+≥=，即2||||PQ PO +的最小值为72故答案为：7216.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F .若1F 关于直线2y x =的对称点P 恰好在C 上，且直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，则12cos FQF ∠=__________.【答案】1213【解析】【分析】由点的对称性求出点P 坐标，和线段1PF 、2PF ，从而发现12F PF ∠为直角，再由椭圆标准定义找到a c 、关系，并求出2QF 、1QF 的长度，最后在直角三角形2QPF △中，求出12cos F QF ∠的值.【详解】设1(,0)F c -关于直线2y x =的对称点11(,)P x y ，由111121222y x c y x c ⎧⋅=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，得34(,55c c P -，可知1455PF c =，2255PF c =，又知122F F c =，所以2221212PF PF F F +=，则12F PF ∠为直角，由题意，点P 恰好在C 上，根据椭圆定义122PF PF a +=，得5a c =，122QF QF a +=，设1QF m =，则225QF a m m =-=-，在直角三角形2QPF △中，222()()()555m c m ++=-，解得4525m =，从而226525QF =，24525QP =，所以22112cos 13F QPQF F Q ∠==.故答案为：1213四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2b a B c +=，（1）求A ∠；（2）若a =，ABC 的面积为2，求ABC 的周长.【答案】17.π318.3+【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（2）根据面积公式可得2bc =，利用余弦定理可得3b c +=，即可得结果.【小问1详解】因为2cos 2b a B c +=，由正弦定理可得sin 2sin cos 2sin B A B C +=，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，即sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin B A B A B A B +=+，则sin 2cos sin B A B =，且()0,πB ∈，则sin 0B ≠，可得1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=.【小问2详解】因为ABC 的面积为11sin 2222=⨯=bc A bc ，可得2bc =，由余弦定理可得2222cos c b bc A a +-=，即223b c bc +-=，整理得()2339+=+=b c bc ，可得3b c +=，所以ABC 的周长为3a b c ++=+.18.已知直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈=．（1）若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 不经过第三象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）30x y +=或20x y ++=（2）2a ≥【解析】【分析】（1）当直线过原点时，直线在x 轴和y 轴上的截距为零，将原点坐标代入求解，当直线不经过原点时，截距存在且均不为零.由221a a a -=-+求解.（2）根据直线l 经过定点(1,3)-，方程化为(1) 2y a x a =-++-，由(1)3-+≤-a 求解.【详解】（1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，，方程即为3 0x y +=当直线不经过原点时，截距存在且均不为零，221a a a -∴=-+，即11a +=0a ∴=，方程即为20x y ++=综上，直线l 的方程为30x y +=或20x y ++=（2）因为直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈=．可化为：()120x a x y -+++=令1020x x y -=⎧⎨++=⎩，解得13x y =⎧⎨=-⎩所以直线l 经过定点(1,3)P -，方程化为(1) 2y a x a =-++-如图所示：若直线l 不经过第三象限则(1)3-+≤-a 2a ∴≥所以a 的取值范围是：2a ≥【点睛】本题主要考查直线的方程和直线在坐标轴上的截距和在坐标系中的位置，还考查了数形结合的思想法，属于中档题.19.在高考结束后，省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线．考生们可以将自己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据．每一个学科的评价都有一个标准进行判断．以数学学科为例，在一次考试中，将考生的成绩由高到低排列，分为一、二、三档，前22%定为一档，前58%到前22%定为二档，后42%定为三档．在一次全市的模拟考考生数学成绩的频率分布直方图如图所示，根据直方图的信息可知第三档的分数段为[)0,70．（1）求成绩位于[)30,60时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段；（2）在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为0.8，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为0.5，数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为0.1．在此次模拟考试中．甲、乙、丙三位考生的数学成绩分别为65，94，122．请结合第（1）问中的分数段，求这三位考生总分过特控线的人数2X =的概率．【答案】（1）0.16，第一档的分数段为[]100,150，第二档的分数段为[)70,100（2）0.41【解析】【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，求出成绩在[)30,60所对应的频率为0.16，结合题干条件求出一档、二档的分数段；（2）首先判断出甲、乙、丙的成绩属于哪一档，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【小问1详解】根据频率分布直方图的信息，成绩在[)[)[)[)0,30,30,60,60,90,90,120，[]120150,对应的频率分别为0.12,30,0.42,0.24,0.06a .根据总的频率和为1，即0.12300.420.240.061a ++++=，解得300.16a =，即成绩在[)30,60所对应的频率为0.16.因为0.220.060.16=+，且0.1620.243=，可知成绩在[)90,120内的前23也属于第一档，即可知第一档的分数段为[]100,150，0.580.060.240.28=++且0.2820.423=，故成绩在[)60,90内的前23也属于第二档，所以二档的分数段为[)70,100.【小问2详解】根据第（1）问的结论可知，甲的数学成绩属于第三档，乙的数学成绩属于第二档，丙的数学成绩属于第一档，则()20.80.50.90.20.50.10.80.50.10.41P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.20.如图，四面体ABCD 中，2AB AC ==，2DB DC ==，设E 为BC 的中点．（1）求证：平面AED ⊥平面BCD ；（2）若∠BAC =60°，AD=3，求二面角B-AD-C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）17-【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）作出二面角的平面角，结合余弦定理进行求解.【小问1详解】证明：因为AB AC =，DB DC =，且E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ，DE ⊥BC .又因为AE DE ⊂，平面AED ，DE AE E ＝，所以BC ⊥平面AED ；因为BC ⊂平面BCD ，所以平面AED ⊥平面BCD ；.【小问2详解】作BF ⊥AD ，连接CF ，由题知，ABD ACD ≅ ，所以CF ⊥AD ，所以∠BCF 为二面角B-AD-C 的平面角.因为AB AC =，∠BAC =60°，所以ABC 为正三角形，2BC AC ==.由于AB =BD ，且BF ⊥AD ，所以F 为AD 中点，故72BF ==.同理72CF =，所以2221cos 27BF CF BC BFC BF CF +-∠==-⋅，即二面角B-AD-C 的余弦值为17-.21.小明同学某天发现，在阳光下的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心O 且与太阳平行光线垂直的平面为α，地面所在平面为β，篮球与地面的切点为H ，球心为O ，球心O 在地面的影子为点O '；已知太阳光线与地面的夹角为θ；（1）求平面α与平面β所成角ϕ（用θ表示）；（2）如图，AB 为球O 的一条直径，,A B ''为,A B 在地面的影子，点H 在线段A B ''上，小明经过研究资料发现，当π2θ≠时，篮球的影子为一椭圆，且点H 为椭圆的焦点，线段A B ''为椭圆的长轴，求此时该椭圆的离心率（用θ表示）.【答案】（1）π2θ-；（2）cos θ.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量求面面角，列式求解即得.（2）利用圆的切线性质，求出椭圆长半轴长与半焦距的表示式即可求出离心率.【小问1详解】观察图形知，AA ' 为平面α的法向量，设平面β的法向量为n，光线与地面夹角为θ，依题意，π02θ<≤，1πcos |cos ,|sin cos()2n AA ϕθθ=〈〉==- ，而0πϕ≤≤，所以π2ϕθ=-.【小问2详解】设篮球半径为R ，显然平面ABB A ''⊥平面β，连接,OH OB '，OH ⊥平面β，过B '作//B C AB '交AA '于C ，则,B C AA B C AB ''='⊥，于是椭圆长轴22sin sin B C R a A B θθ'''===，在四边形ABB A ''中，122B OH BOH θ∠=∠='，令椭圆半焦距为c ，而π02θ<<，则2sin2sin(1cos)22tan(1cos)2sincos2sin cos222R R Ra c B H R aθθθθθθθθθ⋅-'-======-，解得coscaθ=，所以该椭圆的离心率为cosθ.22.已知点()0,2A，10,2B⎛⎫⎪⎝⎭，点P为曲线Γ上任意一点且满足2PA PB=.（1）求曲线Γ的方程；（2）设曲线Γ与y轴交于M、N两点，点R是曲线Γ上异于M、N的任意一点，直线MR、NR分别交直线:3l y=于点F、G.求证：以FG为直线的圆C与y轴交于定点S，并求出点S的坐标.【答案】（1）221x y+=（2）证明过程详见解析，S点坐标为(0,3±【解析】【分析】（1）由题意，先设(),P x y，根据2PA PB=，列出 ,x y的关系式，化简整理，即可求出结果；（2）先由圆的方程求出()0,1M，()0,1N-，设点()00,R x y，表示出直线RM与NR的方程，分别求出F、G坐标，再由题意得出•0SF SG=，进而可求出结果.【详解】解：（1）设(),P x y，由2PA PB=，=，整理得221x y+=.所以曲线Γ的方程为221x y+=.（2）由题意得，()0,1M，()0,1N-.设点()()000,0R x y x≠，由点R在曲线Γ上，所以22001x y+=.直线RM 的方程为0011y y x x --=，所以直线RM 与直线3y =的交点为002,31x F y ⎛⎫⎪-⎝⎭.直线NR 的方程为0011y y x x ++=，所以直线NR 与直线3y =的交点为004,31x G y ⎛⎫⎪+⎝⎭.设点()0,S m ，则000024,3,,311x x SF m SG m y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭.由题意得•0SF SG = ，即()2000024•3011x x m y y +-=-+，整理得()220208301x m y +-=-.因为22001x y +=，所以()2830m -+-=，解得3m =±.所以点S的坐标为(0,3S ±.【点睛】本题主要考查点的轨迹方程，以及圆的方程的应用，常需要通过已知点所满足的关系式，求解其它的量，属于中档试题.。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示, 据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表), 下列说法正确的是（）
A．众数为60或70B．45%分位数为70
C．平均数为73D．中位数为75
20．已知圆22
C x y x y
+---=.
:46120
(1)求过点()
75,且与圆C相切的直线方程;
(2)求经过直线70
+-=与圆C的交点, 且面积最小的圆的方程.
x y
八、问答题
22．设圆222150
B且与x轴不重合，l交圆A x y x
++-=的圆心为A，直线l过点(1,0)
于,C D两点，过B作AD的平行线交AC于点E.
(1)写出点E的轨迹方程；
)3y -
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。
2022-2023学年浙江省杭州市S9联盟高二上学期11月期中联考数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省杭州市S9联盟高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题 1．复数21i+(i 是虚数単位)=（ ） A ．1i + B ．12i -C ．22i +D ．1i -【答案】D【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2--===-++-， 故选：D.2．已知直线l 过点()()1321G H -，，，， 则直线l 的方程为（ ）A ．470x y ++=B ．470x y --=C ．23110x y --=D ．470x y -+=【答案】B【分析】直接利用两点式直线方程得132113x y -+=-+，化简即可. 【详解】直线l 的两点式方程为：132113x y -+=-+，化简得470x y --=， 故选：B.3．“幸福感指数” 是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标， 常用区间 []010，内的一个数来表示， 该数越接近10表示满意度越高. 现随机抽取10位杭州市居民， 他们的幸福感指数为56677788910，，，，，，，，，. 则这组数据的80%分位数是（ ） A ．7.5 B ．8 C ．8.5 D ．9【答案】C【分析】根据百分位数的定义直接求解. 【详解】因为100.8=8⨯，所以80%分位数是8+9=8.52， 故选:C.4．函数()1cos cos22f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A ．1π，B ．2π，C ．21π，D ．22π，【答案】A【分析】利用辅助角公式化简即可求解.【详解】()1313sin cos cos2sin 2cos2sin(2)2226f x x x x x x x π=+=+=+,所以最小正周期为2T ππω==，振幅为1. 故选:A.5．在直三棱柱ABC A B C '''-中， 侧棱长为4 ， 底面是边长为4的正三角形， 则异面直线 AB '与BC '所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．33C ．14D ．55【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解夹角的余弦值.【详解】由题意，取AC 中点O ，建系如图所示的空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0,23,0),(0,3,4),(2,0,4)A B B C ''-, 所以(2,23,4),(2,23,4)AB BC ''=-=--, 所以81cos ,324AB BC AB BC AB BC ''⋅''<>===''， 所以AB '与BC '所成角的余弦值为14，故选:C.6．一条光线沿直线210x y -+=入射到直线50x y +-=后反射， 则反射光线所在的直线方程为（ ） A ．490x y +-= B ．260x y -+= C ．30x y -+= D ．490x y +-=【答案】B【分析】根据反射光线过已知直线的交点以及入射光线上的点与反射光线上的点关于50x y +-=对称即可求解.【详解】联立21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得43113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以反射光线过点41133⎛⎫ ⎪⎝⎭，，取直线210x y -+=上一点(01)A ，关于50x y +-=对称的点为(,)B a b ， 则有1115022AB b k a a b -⎧==⎪⎪⎨+⎪+-=⎪⎩解得45a b =⎧⎨=⎩，所以反射光线过点41133⎛⎫ ⎪⎝⎭，和(4,5)，则反射光线的斜率12k =，根据点斜式得15(4)2y x -=-，即260x y -+=，故选:B.7．已知函数()2,9,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()2g x f x x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,∞+B ．[)0,3C ．[)1,-+∞D ．[)1,3-【答案】A【分析】讨论a 的取值，并根据x 的正负去掉绝对值符号求解函数的零点，即可得到a 的取值范围. 【详解】（1）当a<0时，()()2,29,093,0x x x ag x f x x x a x x x ⎧+≤⎪=-=+<<⎨⎪-≥⎩，令20x x +=，得=1x -，或0x =（舍去）， 令90x +=，得9x =-，令930x -=，得3x =，若函数()()2g x f x x =-有三个零点，则19a a -≤⎧⎨<-⎩，无解，即不可能有三个零点；（2）当a =0时，()()2,020,093,0x x x g x f x x x x x ⎧+<⎪=-==⎨⎪->⎩，由（1）知有=1x -，或0x =，3x =三个零点，满足题意；（3）当a >0时，()()22,023,093,x x x g x f x x x x x a x x a ⎧+<⎪=-=-≤≤⎨⎪->⎩，当0x <时有一个零点1-，0x =是函数的一个零点，所以当0x >时函数只有一个零点， 令230x x -=，得3x =，或0x =（舍去），令930x -=，得3x =，即不论a 取大于0的何值，3x =是函数的一个零点，故有三个零点，综上，实数a 的取值范围是[)0,∞+ 故选: A【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8．已知ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1.设点O 到边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d .若1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=-，则222123d d d ++=（ ）A ．34B ．1C ．32D ．3【答案】B【分析】根据题意：||1OA →=，则有2OA OB OB OC OC OA OA →→→→→→→⋅+⋅+⋅=-，进而移项进行两两组合， 20OA OB OA OB OC OC OA →→→→→→→⋅++⋅+⋅=，进一步可以化简为：0OA OC OA OB →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.【详解】∵ABC 外接圆半径为1，∴||1OA →=，∴22||OA OB OB OC OC OA OA OA →→→→→→→→⋅+⋅+⋅=-=-， ∴200OA OB OA OB OC OC OA OA OA OB OC OA OB →→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅++⋅+⋅=⇒⋅++⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴0OA OC OA OB →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设边BC ，CA ，AB 的中点分别为M ,N ,P ， ∴2200ON OP ON OP →→→→⋅=⇒⋅=,同理：0,0ON OM OM OP →→→→⋅=⋅=，如图1：若点O 不与M ,N ,P 任何一点重合，则ON OP →→⊥，,ON OM OM OP →→→→⊥⊥同时成立，显然不合题意； 如图2：不妨设点O 与点M 重合，由ON OP →→⊥，根据中位线定理有由AB ⊥AC ，则2BC =，∴()2222222212311144d d d OP ON AC AB BC ++=+=+==. 故选：B.【点睛】类似1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=-这样的题目，往往需要对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍.二、多选题9．如果0AB <，0BC >，那么直线0Ax By C ++=经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】ACD【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限. 【详解】因为0AB <，故0B ≠，故直线的斜截式方程为：A Cy x B B=--， 因为0AB <，0BC >，故0,0A CB B->-<， 故直线经过第一象限、第三象限、第四象限， 故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或10x y -+= 【答案】AB【分析】对于A ，由直线方程求直线在坐标轴上的截距，从而可求出直线与坐标轴围成的三角形的面积，对于B ，直接求解点(0,2)关于直线1y x =+的对称点进行判断，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式方程，对于D ，分截距为零和截距不为零两种情况求解即可【详解】解：对于A ，当0x =时，=2y -，当0y =时，2x =，所以直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积为12222⨯⨯=，所以A 正确，对于B ，设点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(,)m n ，则2122210n mn m +⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩，所以点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，所以B 正确，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式求直线方程，所以C 错误，对于D ，当直线的截距为零时，设直线方程为y kx =，则2k =，所以直线方程为20x y -=，当当直线的截距不为零时，设直线方程为1x ya a +=，则121a a+=，解得3a =，所以直线方程为30x y +-=，所以经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或20x y -=，所以D 错误， 故选：AB 11．已知函数21()21x x f x ，下面说法正确的有（ ） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．()f x 的图象关于原点对称 C ．()f x 的值域为()1,1- D ．12,x x R ∀∈，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-恒成立【答案】BC【解析】判断()f x 的奇偶性即可判断选项AB ，求()f x 的值域可判断C ，证明()f x 的单调性可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】21()21x x f x 的定义域为R 关于原点对称, 2122112()()2112212x x x x xxxxf x f x ，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 不正确，选项B 正确；212122()1212121x x x x xf x +--===-+++，因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+， 22021x --<<+，所以211121x -<-<+，可得()f x 的值域为()1,1-，故选项C 正确；设任意的12x x <， 则121221121222()()1121212121212222221x x x x x x x x f x f x ，因为1210x +>，2210x +>，12220x x -<，所以()()()121222202121x x x x -<++，即12())0(f x f x -<，所以()()12120f x f x x x ->-，故选项D 不正确；故选：BC【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法 （1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.12．（多选题）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则（ ）A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC【分析】利用反证法可判断A ，根据线线平行可判断B ，由线面平行得等腰梯形，继而可求面积，可判断C ，根据反证法可判断D.【详解】根据题意，因为1DD ⊥底面ABCD ，所以1DD ⊥AE ，假设直线D 1D 与直线AF 垂直，AE AF A ⋂=，则1DD ⊥面AEF ，则1DD ⊥EF ，又因为,E F 是中点，所以111//,//EF BC BC AD ,故AD 1∥EF ， 所以1AD 与1DD 所成角为145AD D ∠=，所以直线D 1D 与直线EF 所成角也为45，不垂直，所以与1DD ⊥EF 矛盾， 所以直线D 1D 与直线AF 不垂直，故A 错误．因为11//AG D F ，1D F ⊂平面1AEFD ，1AG ⊄平面1AEFD ，所以1//AG 平面1AEFD ，故B 选项正确． 平面AEF 截正方体所得截面为等腰梯形1AEFD ，22115122AE D F ⎛⎫==+=⎪⎝⎭,11222EF AD ==,且梯形的高为225232244⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故梯形面积为232224928⎛⎫+⨯⎪⎝⎭= ，故C 选项正确． 假设C 与点G 到平面AEF 的距离相等，则平面AEF 平分CG ，即平面AEF 必然经过CG 的中点，连接CG 交EF 于点H ,H 不是CG 的中点，故假设不成立，故C 与点G 到平面AEF 的距离不相等，故D 错误． 故选:BC.【点睛】三、填空题13．直线的斜率为k ，若13k << 则直线的倾斜角的范围是___________.【答案】,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合已知条件，即可求得结果.【详解】设直线倾斜角为θ，由题可得()tan 1,3θ∈，又[)0,θπ∈，故可得,43ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭.14．直线()()12120a x a y ---+=恒过一定点， 则此定点为___________. 【答案】(4,2)【分析】根据直线过定点则与参数a 无关即可求解.【详解】直线()()12120a x a y ---+=可写为(2)20a x y x y --++=， 令20x y -=，则20x y -++=，由2020x y x y -=⎧⎨-++=⎩解得42x y =⎧⎨=⎩，所以直线过定点(4,2). 故答案为: (4,2).15．已知三棱锥A BCD -中， AB ⊥面9022BCD BCD AB BC CD ∠====，，，， 则三棱锥的外接球的体积为___________. 【答案】510π3【分析】根据三棱锥的顶点是长方体的顶点即可求解.【详解】由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点， 所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 由图可知长方体的长宽高分别为2,2,2a b c ==， 所以体对角线长22210d a b c ++= 所以外接球的体积等于34105103π=⎝⎭.故答案为. 16．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，当x =______________.时，1141x y ++取得最小值.【答案】3【分析】由lg2lg4lg2x y +=可得21,2413x y x y +=++=，原式化为()1212413241x y x y ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值，根据等号成立的条件求解即可. 【详解】2lg2lg4lg2lg 2x y x y ++==，21,2413x y x y ∴+=++=，()11121241413241x y x y x y ⎛⎫+=⨯+++ ⎪++⎝⎭()24112313241y x x y +⎡⎤=++≥⎢⎥+⎣⎦ 当且仅当()24+12241y xx y =+时“=”成立， 又21x y +=，∴可得231290x x -+=，32x =±210,1y x x =->∴<，3x ∴=，故答案为3【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.四、解答题17．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为3354， ，在第二轮比赛中， 甲、乙胜出的概率分别为2132，. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】(1)甲 (2)58【分析】（1）利用概率的乘法公式计算出甲赢得比赛概率为25，乙赢得比赛的概率为38； （2）首先利用对立事件概率求得甲和乙各自未赢比赛的概率，再利用正难则反的方法，求出至少一人赢得比赛的概率.【详解】（1）设事件1A 表示“甲在第一轮比赛中胜出”,事件2A 表示“甲在第二轮比赛中胜出”, 事件1B 表示“乙在第一轮比赛中胜出”,事件2B 表示“乙在第二轮比赛中胜出”,则12A A 表示“甲赢得比赛”,()()()1212322535P A A P A P A ==⨯=， 12B B 表示“乙赢得比赛“,()()()1212313428P B B P B P B ==⨯=, 23,58>∴派甲参赛赢得比赛的概率更大. （2）设C 表示“甲赢得比赛”,D 表示“乙赢得比赛”, 由(1)知()1223()1155P C P A A =-=-= ()1235()1188P D P B B =-=-=, C D ∴⋃表示“两人中至少有一个赢得比赛”,355()1()1()()1588P C D P CD P C P D ∴⋃=-=-=-⨯= 所以两人至少一人赢得比赛的概率为58. 18．己知直线2310x y -+=和直线20x y +-=的交点为P .(1)求过点P 且与直线310x y --=平行的直线方程；(2)若直线 1l 与直线310x y --=垂直，且P 到 1l .【答案】(1)320x y --=(2)320x y +-=或360x y +-=【分析】(1)联立求出点P 坐标，再根据两直线平行斜率相等即可求解;(2)根据两直线垂直斜率之积等于1-以及点到直线距离公式即可求解.【详解】（1）由231020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩,所以(1,1)P ， 设所求直线为30x y C -+=,因为直线过点(1,1)P ，所以310C -+=解得2C =-，所以所求直线方程为320x y --=.（2）直线 1l 与直线310x y --=垂直,所以可设1l 为30x y c ++=，又因为P 到 1l 的距离等于410105c+=，解得2c =-或6c =-， 所以所求直线方程为320x y +-=或360x y +-=.19．如图三棱柱，111ABC A B C 的所有棱长都相等，1160A AB A AC ︒∠=∠=，点M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接1A M ，设AB a =，AC b =，1AA c =.(1)用a ，b ，c 表示1AM ； (2)证明：1A M AB ⊥.【答案】(1)11133A M a b c =+- (2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形和重心的性质可得1122=+AN AB AC ，23AM AN =，再求出1AM ；（2）设三棱柱的棱长为m ，由空间向量数量积的定义可得10AM AB ⋅=，即可得到1A M AB ⊥. 【详解】（1）解：因为ABC 为正三角形，点M 为ABC 的重心，所以N 为BC 的中点， 所以1122=+AN AB AC ，23AM AN =， 所以11123A M A A AM AA AN =+=-+， 111113333AA AB AC a b c =-++=+-. （2）证明：设三棱柱的棱长为m ， 则11133A M AB a b c a ⎛⎫⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭ 21133a a b c a =+⋅-⋅ 211cos cos 3333a a b c a ππ=+⋅-⋅ 222111103322m m m =+⨯-⨯=. 所以1A M AB ⊥.20．在ABC 中， 内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 且2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭. (1)求 A ;(2)请从问题①②中任选一个作答（若①②都做，则按①的作答计分）①若2a =， 求ABC 周长的取值范围；②求sin sin B C 的最大值.【答案】(1)(]4,6(2)见解析【分析】（1）利用诱导公式和正弦定理边换角化简得1cos 2A =，从而得到A ； （2）若选①利用余弦定理得到224b c bc ∴+=+，再结合基本不等式和三角形三边关系得到周长取值范围，若选②，多变量变单变量，利用2π3C B =-，通过二倍角公式，辅助角化简得11sin sin sin 2264B C B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用B 的范围得到其最大值. 【详解】（1）π2sin cos cos 2c A a B b A ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2cos cos cos c A a B b A ∴=+根据正弦定理，2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A A B B A A B C ∴=+=+=又sin 0C ≠，1cos 2A ∴=，又(0,)A π∈，π3A ∴=； （2）选①由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，π2,3a A ==224b c bc ∴+=+, 2()43b c bc ∴+=+，,0b c >，则()22432b c b c bc +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，解得04b c <+≤， 又2b c +>，24b c ∴<+≤24b c ∴<+≤46a b c ∴<++≤ABC ∴周长的取值范围是(4,6].选②，π2πππ33B C A +=-=-=, 所以2π2π2πsin sin sin sin sin sin cos cos sin 333B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin sin 2B B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭21cos sin 2B B B =+11cos 2222B B -=+⋅111π12cos 2sin 244264B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ π3A =，故2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π7π2,666B π⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 所以当ππ262B -=，即π3B =，此时π3C =, 1π1sin sin sin 2264B C B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最大值34. 21．己知O 为坐标原点， 倾斜角为56π的直线l 与x y ，轴的正半轴分别相交于点,A B AOB ，的面积为(1)求直线l 的方程;(2)直线:l y '=， 点P 在l '上， 求PA PB +的最小值.【答案】(1)343y x =-+ (2)47 【分析】(1)根据斜率假设出直线方程，再求出,A B 坐标即可求解；(2)求出(0,4)B 关于直线:3l y x '=-对称的点坐标为(,)B a b '，将问题转化为求PA PB '+的最小值即可.【详解】（1）因为53tan 63π=-,所以设直线l 的方程为33y x b ，且0b >， 所以(3,0),(0,)A b B b ，所以13832AOB S b b =⨯⨯=，解得4b =或4b =-（舍）. 所以直线l 的方程为343y x =-+ （2）由(1)得(43,0),(0,4)A B ，设(0,4)B 关于直线:3l y x '=-对称的点坐标为(,)B a b '，则有4334322b a b a⎧-=⎪⎪⎨+⎪=-⨯⎪⎩ ，解得232a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，所以(23,2)B -'， 所以108447PA PB PA PB AB ''+=+≥=+=.所以PA PB +的最小值为47.22．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形、侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 在棱DP 上， 且2DM MP =， 点N 是在棱PC 上的动点 (不为端点).(1)若N 是棱PC 中点， 完成:(i)画出PBD △的重心G （在图中作出虚线），并指出点G 与线段AN 的关系；(ii) 求证: //PB 平面AMN ；(2)若四边形ABCD 是正方形， 且3AP AD ==， 当点N 在何处时， 直线PA 与平面 AMN 所成角的正弦值取得最大值， 并求出最大值.【答案】(1)(i)作图见解析,点G 在线段AN 上；(ii)证明见解析；(2)当点N 在线段PC 靠点P 的三等分点处时，直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值最大，最大值为55．【分析】（1）(i)连接PO 后确定点G ，再通过在PAC ∆中的重心来确定PO 线上的比例关系，进而得出PBD ∆的重心．(ii)利用(i)中得出的比例关系与原题中相同的比例关系构建相似三角形即可证明．（2）先设出N 的位置，即PN 与PC 的关系，建立空间直角坐标系求出直线PA 与平面AMN 所成角带参数的正弦值，通过线面角正弦值的范围与分式、根式的最值即可求出答案．【详解】（1）(i)设AC 与BD 的交点为O ，连接PO 与AN 交于点G ，点O 为AC 中点，点N 为PC 中点，PO ∴与AN 的交点G 为PAC ∆的重心，2PG GO ∴=，又PO 为PBD ∆在BD 边上的中线，∴点G 也为PBD ∆的重心，即重心点G 在线段AN 上．(ii)证明：连接DG 并延长交PB 于点H ，连接MG ，点G 为PBD ∆的重心，2DG GH ∴=，又2DM MP =，//MG PH ∴即//MG PB ，又MG ⊂平面AMN ，PB ⊄平面AMN ， 所以//PB 平面AMN ．（2）四边形ABCD 是正方形，且PA ⊥平面ABCD ， AB ∴、AD 、AP 两两垂直， 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则点(0A ，0，0)，(0P ，0，3)，(3C ，3，0)，(0M ，1，2)， 则(0,0,3)AP =，(0,1,2)AM =，(3,3,3)PC =-， 设=PN PC λ则(3,3,3)PN PC λλλλ==-， ∴(3,3,33)AN AP PN λλλ=+=-+，设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z =，则有2033(33)0n AM y z n AN x y z λλλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-+=⎪⎩，化简得：213y z x z λ=-⎧⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 取1z =则，13,2,1n λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 设直线PA 与平面AMN 所成角为θ， 则sin cos ,5AP nAP n AP n θ⋅=〈〉==⋅⎛+∴当13λ=时sin θ的值最大， 即当点N 在线段PC 靠点P 的三等分点处时，直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值最大，最大值为。
2022-2023学年浙江省杭师大附中高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省杭师大附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知(1,2,3),(2,4,),//a b x a b == ，则x =（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C【分析】根据向量平行的规则计算即可. 【详解】依题意，//a b ， 2:14:2:3,6x x ∴=== ；故选：C.2．椭圆22136x y +=上一点P 与焦点1F 的距离为5，则点P 与另一个焦点2F 的距离为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【分析】利用椭圆的定义可得解.【详解】根据椭圆的定义知，1222612PF PF a +==⨯=， 因为15PF =，所以21257PF =-=． 故选：B.3．棱长为1的正四面体的高为（ ） A ．223B ．23C ．23D ．63【答案】D【分析】作出棱长为1的正四面体A BCD -，作BCD △的中心O ，并连接AO 和DO ， 根据正四面体的性质和勾股定理即可求解.【详解】作出正四面体A BCD -，设棱长为1，如图所示：作BCD △的中心O ，并连接AO 和DO ，即BCD △是边长为1的等边三角形，则OD 是BCD △的外接圆半径， 所以11132sin 602sin 603BC OD =⨯=⨯=︒︒； 由正四面体的性质可知：AO ⊥平面BCD ，所以正四面体A BCD -的高为AO ， 又OD ⊂平面BCD ，所以AO OD ⊥，则22236133AO AD OD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：D.4．已知空间中m ，n 是两条不同直线，α是平面，则（ ） A ．若//m α，n α⊂，则//m n B ．若//m α，//n α，则m n ⊥ C ．若m α⊥，n α⊥，则//m n D ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥【答案】C【解析】根据线面关系和直线与平面垂直的性质定理逐一判断可得选项. 【详解】对于A ，B ，直线m ，n 可能平行、相交或异面，A ，B 错误； 对于C ，D ，由直线与平面垂直的性质定理易得C 正确，D 错误， 故选：C.【点睛】本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟记空间中直线与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解题的关键，属于基础题. .5．,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A ．45B ．34C ．23D ．33【答案】D【分析】将,,PA PB PC 三条射线截取出来放在正方体中，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】如图所示，把,,PA PB PC 放在正方体中，,,PA PB PC 的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B ， 所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-， 设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =，则00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ，所以(1,1,1)n =-，所以26cos ,3||||23PC n PC n PC n ⋅--〈〉===⋅⨯．设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=， 所以23cos 1sin 3θθ=-=． 故选：D ．6．平行六面体ABCD A B C D -''''中，4,3,5,9060,AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=''∠='︒︒，则AC '的长为（ ） A ．10 B ．85C ．61D ．70【答案】B【分析】由AC AB AD AA '=++'，两边平方，利用数量积运算性质即可求解． 【详解】如图，216AB =，29AD =，225AA '=，43cos900AB AD ⋅=⨯⨯︒=，45cos6010AB AA ⋅'=⨯⨯︒=，1535cos602AD AA ⋅'=⨯⨯︒=．AC AB AD AA '=++'，∴2222222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA '=++'+⋅+⋅'+⋅'1516925202102852=+++⨯+⨯+⨯=， ∴||85AC '=即AC '故选：B ．7．己知(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----三点，点P 在圆224x y +=上运动，则222||||||PA PB PC ++的最大值是（ ） A ．144 B ．88 C ．72 D ．32【答案】B【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式得到222PA PB PC ++2233468x y y =+-+，再由点P在圆224x y +=上运动，化简为2233468480x y y y +-+=-+求解. 【详解】设(),P x y ，因为()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点， 所以222PA PB PC ++()()()()()()222222222642x y x y x y =++++++-+-++，2233468x y y =+-+，因为点P 在圆224x y +=上运动， 则2240x y =-≥，解得22y -≤≤， 所以2233468480x y y y +-+=-+，当=2y -时，222PA PB PC ++取的最大值88， 故选：B8．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则面α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A B C D 【答案】B【分析】利用正方体的棱是3组每组互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出截面的位置，确定截面为一个正六边形，边长是面的对角线的一半，求面积得结果.【详解】正方体的所有棱，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，只需从同一个顶点出发的三条棱与面α所成角相等即可.在正方体ABCD A B C D -''''中，平面AB D ''与线,,AA A B A D '''''所成的角是相等的， 所以平面AB D ''与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面C BD '也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，由正方体的对称性，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个平行平面AB D ''与C BD '中间，过棱的中点的正六边形，且边长为22，如图所示，所以其面积为232336(S ==故选：B.二、多选题9．下列直线12,l l 互相垂直的是（ ）A ．1l 的斜率为23-，2l 经过点(1,1)A ，10,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1l 的倾斜角为45︒，2l 经过点(2,1),(3,6)P Q ---C ．1l 经过点(1,0),(4,5)M N -，2l 经过点(6,0),(1,3)R S --D ．1l 的斜率为2，2l 经过点(1,2),(4,8)U V 【答案】ABC【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为1-，从而可选出正确答案.【详解】2l 的斜率为1132012k --==-，因为23132-⨯=-，所以12l l ⊥成立，故A 正确； 1l 的斜率为1tan 451k =︒=，2l 的斜率为()()26151325----===---k ，由121k k =-，则12l l ⊥成立，故B 正确； 1l 的斜率为155413k -==--，2l 的斜率为()2303165k -==---，由121k k =- 则12l l ⊥成立，故C 正确；2l 的斜率为82241k -==-，由221⨯≠-，所以12l l ⊥不成立，故D 错误. 故选：ABC ．10．椭圆2228x y +=的焦点坐标为（ ） A ．(0,2) B ．(0,2)- C ．(2,0) D ．(2,0)-【答案】AB【分析】由椭圆标准方程可得出c ，再由焦点在y 轴上得出焦点坐标. 【详解】椭圆2228x y +=化为标准方程：22148x y +=， 所以228,4a b ==，故2224,c 2c a b =-==， 因为椭圆焦点在y 轴上， 所以椭圆焦点为(0,2)和(0,2)-. 故选：AB11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点，则（ ）A ．点1A 到直线1B E 的距离为23B ．直线1FC 到直线AEC ．点1A 到平面1AB ED ．直线1FC 到平面1ABE 的距离为13【答案】BD【分析】建立坐标系，求出向量11A B 在单位向量11||B Eu B E =上的投影，结合勾股定理可得点1A 到直线1B E 的距离，判断A ；先证明1//,AE FC 再转化为点F 到直线AE 的距离求解，判断B ；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C ；把直线1FC 到平面1AB E 的距离转化为1C 到平面1AB E 的距离，利用法向量进行求解，判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则11111(1,0,1),(1,1,1),(0,0,),(1,1,),(0,1,1),(1,0,0).22A B E F C A因为1111111221(1,1,),(,,),(0,1,0)2333||B E B E u A B B E =---==---=，所以11123A B u ⋅=-.所以点1A 到直线1B E 221111145()19A B A B u -⋅=-=A 错误； 因为111(1,0,),(1,0,),22AE FC =-=-所以1//AE FC ，即1//,AE FC所以点F 到直线AE 的距离即为直线1FC 到直线AE 的距离，22551(),(0,1,)2||AE u AF AE →===，2255,4AF AF u →=⋅=所以直线1FC 到直线AE 25530()410-，故B 正确； 设平面1AB E 的一个法向量为(),,n x y z =，11(0,1,1),(1,0,),2AB AE ==-1(0,0,1)AA =.由10,10,2n AB y z n AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令2z =，则2,1y x =-=，即(1,2,2)n =-. 设点1A 到平面1AB E 的距离为d ，则123AA n d n⋅==，即点1A 到平面1AB E 的距离为23，故C 错误；因为1//,AE FC 1FC ⊄平面1AB E ，AE ⊂平面1AB E ，所以1//FC 平面1AB E ， 所以直线1FC 到平面1AB E 的距离等于1C 到平面1AB E 的距离.()111,0,0C B =， 由（3）得平面1AB E 的一个法向量为(1,2,2)n =-， 所以1C 到平面1AB E 的距离为1113C B n n⋅=， 所以直线1FC 到平面1AB E 的距离为13，故D 正确.故选：BD12．己知(3,0),(1,2)A B ---，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上恰有两点M ，N 使得,ABM ABN △△的面积为4，则r 的可能取值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【答案】AB【分析】求出AB 的值，得出两点,M N 到直线AB 的距离，写出AB 的直线方程，根据圆上的点到直线AB 的距离，求出r 的取值范围，即可得答案.【详解】由题意可得AB =， 因为,ABM ABN △△的面积为4，所以,M N 两点到直线AB 的距离均为 因为0(2)13(1)AB k --==----，所以直线AB 的方程为(3)3y x x =-+=--，即30x y ++=，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为圆心(2,0)到直线AB r =+22r，若圆上只有3个点到直线AB 的距离为圆心(2,0)到直线AB r =-r =r <<M ，N 使得,ABM ABN △△的面积为4， 所以AB 选项满足，CD 不满足， 故选：AB.三、填空题13．过点P （2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是______ 【答案】32y x =或50x y +-= 【分析】分别求直线过原点和不过原点的方程即可.【详解】当直线过原点时，设为y kx =，因为过点()2,3P ，所以32k =，解得32k ， 故直线为32y x =. 当直线不过原点时，设为()10x ya a a+=≠，因为过点()2,3P ，所以231a a+=，解得5a =，即直线为50x y +-=.综上直线方程为32y x =或50x y +-=. 故答案为：32y x =或50x y +-= 14．已知点M 与两个定点()0,0O 、()3,0A 的距离的比为12，则点M 的轨迹方程为_____．【答案】22230x y x ++-=【分析】本题首先可以设出M 点坐标，然后利用两点间距离公式写出点M 与两个定点()0,0O 、()3,0A 的距离，最后通过距离的比为12即可列出算式并得出结果．【详解】设M 点坐标为(),x y ，因为点M 与两个定点()0,0O 、()3,0A 的距离的比为12， 所以2222123x y x y，222223x y x y ，222243x y x y ，22224469x y x x y ，化简得22230x y x ++-=，故点M 的轨迹方程为22230x y x ++-=．【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，能否明确题目中所给出的条件并通过相关公式将其展示出来是解决本题的关键，考查两点间距离公式，是基础题．15．曲线220x y x y +--=围成的图形的面积是__________．【答案】2π+【详解】当0x ≥，0y ≥时，已知方程是220x y x y +--=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．它对应的曲线是第一象限内半圆弧（包括端点），它的圆心为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为22. 同理，当0x ≤，0y ≥；0x ≤，0y ≤；0x ≥，0y ≤时对应的曲线都是半圆弧（如图）．它所围成的面积是21124112222ππ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅⋅+⋅⋅=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为2π+16．设椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足FA ·FB ＝0，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是_______________. 【答案】25,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设左焦点为E,连AE,BE,依题意可得四边形AEFB 为矩形,根据椭圆定义,勾股定理以及已知不等式列式可解得. 【详解】画出图形设左焦点为E ，连接AE ，BE,依据题意可得四边形AEFB 为矩形 222242AE AF aAE AF c AF BF AF BF+=⎧⎪+=⎪∴⎨⎪⎪⎩222(2)422(2)a AF AF c AF a AF AF a AF ⎧-+=⎪∴-⎨⎪-⎩222()243AF a a c a AF a ⎧-+=⎪∴⎨⎪⎩22221()20,9AF a c a a ⎡⎤∴-=-∈⎢⎥⎣⎦2221029a c a21529e ∴ 253e故答案为：25,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】此题考查椭圆的对称性和平面向量的数量积以及三角函数的知识,求出椭圆离心率的解析式,再求得离心率的取值范围，属于一般性题目。
2023-2024学年浙江省杭州师大附中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州师大附中高二（上）期中数学试卷一．单项选择（共8题，每小题5分；满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线l 的方向向量为（1，﹣1），则该直线的倾斜角为（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．2π32．已知三棱锥O ﹣ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于（ ）A ．12(b →+c →−a →)B ．12(a →+b →−c →)C ．12(a →−b →+c →)D ．12(c →−a →−b →)3．若P 是圆C ：（x +3）2+（y ﹣3）2＝1上任一点，则点P 到直线y ＝kx ﹣1距离的值不可能等于（ ） A ．4B ．6C ．3√2+1D ．84．某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ） A ．中位数是3，众数是2B ．平均数是3，中位数是2C ．方差是2.4，平均数是2D ．平均数是3，众数是25．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长为2√6，且与y 轴的一个交点是(0，−√2)，过点P(32，12)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足PA →+PB →=0→，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则|OM |的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√26．已知点P （4，a ），若圆O ：x 2+y 2＝4上存在点A ，使得线段P A 的中点也在圆O 上，则a 的取值范围是（ ） A ．[−3√3，3√3]B ．[−2√5，2√5]C ．(−∞，−3√3]∪[3√3，+∞)D ．(−∞，−2√5]∪[2√5，+∞)7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ．∠BDC ＝90°，BD ＝2AB ＝2CD ＝2，E 是BC 的中点，H 是△ABD 内的动点（含边界），且EH ∥平面ACD ，则CA →⋅EH →的取值范围是（ ）A ．[0，3]B ．[12，3]C ．[12，112]D ．[3，112]8．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且|DE|=35|AB|，则直线l 的方程为（ ） A ．√6x ±3y −√6=0B ．x ±y ﹣1＝0C ．2x ±y ﹣2＝0D ．x ±2y ﹣1＝0二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，直线l 的方程为x +my ﹣m ﹣2＝0，下列选项正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点（2，1）B ．直线与圆相交C ．直线被圆所截最短弦长为2√3D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C10．甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ） A ．事件A 、B 是相互独立事件 B ．事件B 、C 是互斥事件C ．P （A ）＝P （B ）＝P （C ）D ．P （ABC ）=1811．直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若OA ⊥OB ，则（ ） A ．直线l 斜率为定值 B ．直线l 经过定点 C ．△OAB 面积最小值为4D ．y 1y 2＝﹣412．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是A 1D 1的中点，点P ，Q ，R 在底面四边形ABCD 内（包括边界），PB 1∥平面MC 1D ，|D 1Q|=√52，点R 到平面ABB 1A 1的距离等于它到点D 的距离，则（ ）A ．点P 的轨迹的长度为√2B ．点Q 的轨迹的长度为π4C ．PQ 长度的最小值为2√55−12D ．PR 长度的最小值为3√520三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．）13．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为23，35，则密码被成功破译的概率为 ．14．已知空间内三点A （1，1，2），B （﹣1，2，0），C （0，3，1），则点A 到直线BC 的距离是 ． 15．F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上异于顶点的一点，I 是△PF 1F 2的内切圆圆心，若△PF 1F 2的面积等于△IF 1F 2的面积的3倍，则椭圆C 的离心率为 ． 16．已知双曲线x 24−y 25=1的左焦点为F ，点P 在双曲线上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知圆C 过点M （﹣3，2），圆心C 在直线x ﹣y +3＝0上，且圆C 与x 轴相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点A （﹣3，3）作直线l 与圆C 相交于D ，E 两点，且|DE |＝2√3，求直线l 的方程． 18．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM ＝AC ＝1，∠ACB ＝90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°． （1）求SC 的长；（2）求直线CM 与平面AMP 所成角的正弦值．19．（12分）实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境．2019年下半年以来，全国各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例．某部门在某小区年龄处于[20，45]岁的人中随机地抽取x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．（1）求x ，y ，z 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在[35，45]的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6人进行专访，并在这6人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人年龄在[40，45]中的概率．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上下左右四个顶点分别为A 、B 、C 、D ，x 轴正半轴上的点P 满足|P A |＝|PD |＝3，|PC |＝5． （1）求椭圆C 的标准方程以及点P 的坐标．（2）过点P 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，且△MNA 和△MND 的面积相等，求直线l 的方程． （3）在（2）的条件下，求当直线l 的倾斜角为钝角时，△MND 的面积．21．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ． （1）证明：AD ⊥BB 1；（2）已知四边形BB 1C 1C 是边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，线段CC 1上的点E ，且CE →=λCC 1→（0≤λ≤1），当平面EAD 与平面EAC 的夹角的余弦值为√155时，求λ的值．22．（12分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为√2，点P（2，﹣1）在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）点A、B在双曲线C上，直线P A、PB与y轴分别相交于M、N两点，点Q在直线AB上，若坐标原点O为线段MN的中点，PQ⊥AB，证明：存在定点R，使得|QR|为定值．2023-2024学年浙江省杭州师大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择（共8题，每小题5分；满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线l 的方向向量为（1，﹣1），则该直线的倾斜角为（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．2π3解：由题意知：直线l 的斜率为−11=−1，则直线l 的倾斜角为3π4．故选：C ．2．已知三棱锥O ﹣ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于（ ）A ．12(b →+c →−a →)B ．12(a →+b →−c →)C ．12(a →−b →+c →)D ．12(c →−a →−b →)解：由题意知MN →=ON →−OM →=12OC →−12(OA →+OB →) ∵OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →∴MN →=12（c →−a →−b →）．故选：D ．3．若P 是圆C ：（x +3）2+（y ﹣3）2＝1上任一点，则点P 到直线y ＝kx ﹣1距离的值不可能等于（ ） A ．4B ．6C ．3√2+1D ．8解：因为直线y ＝kx ﹣1恒过定点A （0，﹣1）点，当直线与AC 垂直时，点P 到直线y ＝kx ﹣1距离最大，等于|AC |+r ， 又因为圆心坐标为：（﹣3，3），半径为1， 所以距离最大为√(−3)2+(3+1)2+1＝6， 当直线与圆有交点时距离最小为0，所以点P 到直线y ＝kx ﹣1距离的范围是：[0，6]， 故选：D ．4．某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ） A ．中位数是3，众数是2B ．平均数是3，中位数是2C ．方差是2.4，平均数是2D ．平均数是3，众数是2解：对于A ，有可能出现点数6，例如2，2，3，4，6； 对于B ，有可能出现点数6，例如2，2，2，3，6； 对于C ，设这5次的点数为x 1，x 2，⋯，x 5，则方差s 2=15[(x 1−2)2+(x 2−2)2+⋯+(x 5−2)2]，如果出现点数6，而15×(6−2)2=3.2，则方差大于或等于3.2，故不可能出现点数6；对于D ，有可能出现点数6，例如2，2，2，3，6． 故选：C ．5．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的长轴长为2√6，且与y 轴的一个交点是(0，−√2)，过点P(32，12)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足PA →+PB →=0→，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则|OM |的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√2解：由题意得2a =2√6，b =√2，则a =√6，b =√2，c =√a 2−b 2=2， 所以椭圆方程为x 26+y 22=1，因为(32)26+(12)22=12＜1，则P(12，32)在椭圆内，可知直线AB 与椭圆总有两个交点，因为PA →+PB →=0→，即点P 为线段AB 的中点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），显然x 1≠x 2，则x 1+x 2＝3，y 1+y 2＝1，{x 126+y 122=1x 226+y 222=1，可得x 22−x 126+y 22−y 122=0，则（x 2+x 1）（x 2﹣x 1）+3（y 2+y 1）（y 2﹣y 1）＝0，即3（y 2﹣y 1）+3（x 2﹣x 1）＝0， 所以y 2−y 1x 2−x 1=−1，即直线AB 的斜率k ＝﹣1，所以直线AB 为y −12=−(x −32)，即x +y ﹣2＝0，因为M 为直线AB 上任意一点，所以|OM |的最小值为点O 到直线AB 的距离d =√1+1=√2．故选：B ．6．已知点P （4，a ），若圆O ：x 2+y 2＝4上存在点A ，使得线段P A 的中点也在圆O 上，则a 的取值范围是（ ） A ．[−3√3，3√3]B ．[−2√5，2√5]C ．(−∞，−3√3]∪[3√3，+∞)D ．(−∞，−2√5]∪[2√5，+∞)解：设A 的坐标为A （x 0，y 0），P A 的中点坐标为Q （x ，y ），P （4，a ），{ x 0+42=xy 0+a 2=y x 02+y 02=4，即(x −2)2+(y −a2)2=1，又线段P A 中点也在圆上，所以两圆有公共点， 所以1≤√(0−2)2+(0−a2)2≤3， 解得：a 2≤20，解得：−2√5≤a ≤2√5． 故选：B ．7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ．∠BDC ＝90°，BD ＝2AB ＝2CD ＝2，E 是BC 的中点，H 是△ABD 内的动点（含边界），且EH ∥平面ACD ，则CA →⋅EH →的取值范围是（ ）A ．[0，3]B ．[12，3]C ．[12，112]D ．[3，112]解：设F ，G 分别为AB ，BD的中点，连接FG ，EF ，EG ，易得FG ∥AD ，EF ∥AC ，因为FG ，EF ⊂平面EFG ，AD ，AC ⊂平面ACD ，FG ∩EF ＝F ，AD ∩AC ＝A ， 所以平面EFG ∥平面ACD ，因为EH ∥平面ACD ，所以H 为线段FG 上的点， 又CD ⊥BD ，CD ⊥AB ， 则CD ⊥平面ABD ， 因为EG ∥CD ， 所以EG ⊥平面ABD ， 所以EG ⊥FG ，在直角三角形FEG 中有cos ∠EFG =FGEF ， 因为BD ＝2AB ＝2CD ＝2，所以FG =12AD =√52，EF =12AC =√62，则CA →⋅EH →=2EF →⋅(EF →+FH →)=2EF →2+2EF →⋅FH →=2EF →2−2|EF →|⋅|FH →|cos∠EFG =2×(√62)2−2×√52×FH =3−√5FH ，又因为FH ∈[0，√52]，所以CA →⋅EH →∈[12，3]， 故选：B ．8．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且|DE|=35|AB|，则直线l 的方程为（ ） A ．√6x ±3y −√6=0 B ．x ±y ﹣1＝0 C ．2x ±y ﹣2＝0 D ．x ±2y ﹣1＝0解：结合题意， 设|AB |＝2r （2r ≥4）， 作MN ⊥y 轴，过A ，B 向准线x ＝﹣1作垂线，垂足为A 1，B 1，则2（|MN |+1）＝|AA 1|+|BB 1|＝|AF |+|BF |＝|AB |＝2r ， 所以|MN |＝r ﹣1，则|DE|=2√r 2−(r −1)2=65r ， 即9r 2﹣50r +25＝0， 解得r ＝5或r =59（舍去）， 则x M ＝4，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{y =k(x −1)y 2=4x， 消去y 得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0， 则x 1+x 1=2k 2+4k2=8，解得k =±√63，所以直线方程为y =±√63(x −1)， 即√6x ±3y −√6=0． 故选：A ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，直线l 的方程为x +my ﹣m ﹣2＝0，下列选项正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点（2，1）B ．直线与圆相交C ．直线被圆所截最短弦长为2√3D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C解：对于A 项，由直线l 的方程x +my ﹣m ﹣2＝0，可化为x ﹣2+m （y ﹣1）＝0， 联立方程组{x −2=0y −1=0，解得x ＝2，y ＝1，即直线l 恒经过定点P （2，1），所以A 正确；对于B 项，由圆C 的方程（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，可得圆心C （1，1），半径r ＝2， 又由|PC |＝1＜2＝r ，可得P （2，1）在圆内，所以直线l与圆相交，所以B正确；对于C项，由|PC|＝1，根据圆的性质，可得当直线l和直线PC垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为2√r2−|PC|2= 2√22−12=2√3，所以C正确；对于D项，将圆心C（1，1）代入直线l的方程x+my﹣m﹣2＝0，可得1+m﹣m﹣2＝﹣1≠0，所以不存在一个实数m，使得直线l过圆心C，所以D不正确．故选：ABC．10．甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（）A．事件A、B是相互独立事件B．事件B、C是互斥事件C．P（A）＝P（B）＝P（C）D．P（ABC）=18解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，基本事件总数n＝6×6＝36，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，则事件A包含的基本事件有18个，分别为：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），∴P（A）=1836=12，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，则事件B包含的基本事件有18个，分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），∴P（B）=1836=12，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则事件C包含的基本事件有18个，分别为：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），∴P（C）=1836=12，事件AB 包含的基本事件有9个，分别为：（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）， P （AB ）=936=14，∵P （AB ）＝P （A ）P （B ），∴事件A 、B 是相互独立事件，故A 正确； 事件B 与C 能同时发生，故事件B 与C 不是互斥事件，故B 错误； P （A ）＝P （B ）＝P （C ）=12，故C 正确； ABC 包含的基本事件有9个，分别为：（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）， ∴P （ABC ）=936=14．故D 错误． 故选：AC ．11．直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若OA ⊥OB ，则（ ） A ．直线l 斜率为定值 B ．直线l 经过定点 C ．△OAB 面积最小值为4D ．y 1y 2＝﹣4解：可设直线l 的方程为x ＝my +t ，t ≠0， 与抛物线y 2＝2x 联立，可得y 2﹣2my ﹣2t ＝0， 则Δ＝4m 2+8t ＞0，y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣2t ，x 1x 2=(y 1y 2)24=t 2，因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2＝t 2﹣2t ＝0， 解得t ＝2，则直线l 恒过定点（2，0），且y 1y 2＝﹣4；△OAB 的面积为S =12×2|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√4m 2+16≥4，当m ＝0时，S 取得最小值4．故选：BCD ．12．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是A 1D 1的中点，点P ，Q ，R 在底面四边形ABCD 内（包括边界），PB 1∥平面MC 1D ，|D 1Q|=√52，点R 到平面ABB 1A 1的距离等于它到点D 的距离，则（ ）A ．点P 的轨迹的长度为√2B ．点Q 的轨迹的长度为π4C ．PQ 长度的最小值为2√55−12D ．PR 长度的最小值为3√520解：对于A ，对BC 的中点N ，连接AN ，B 1N ，则AN ∥MC 1，AB 1∥DC 1，∴AN ∥平面DMC 1，AB 1∥平面DMC 1，又AN ∥平面DMC 1，AB 1∥平面DMC 1，AN ∩AB 1＝A ，∴平面ANB 1∥平面DMC 1， 又点P 在底面四边形ABCD 内（包含边界），PB 1∥平面MC 1D ，∴点P 的轨迹为线段AN ， ∵AN =√AB 2+BN 2=√12+(12)2=√52，∴点P 的轨迹的长度是√52，故A 错误；对于B ，连接DQ ，∵Q 在底面ABCD 上，|D 1Q |=√52，∴√DQ 2+DD 12=√12+DQ 2=（√52）2，解得DQ =12， ∴点Q 的轨迹是以D 为圆心，以12为半径的14圆，如图，∴点Q 的轨迹的长度为14×2×12×π=π4，故B 正确；对于C ，过点D 作DP ′⊥AN 于P ′，交点Q 的轨迹于Q ′，此时P ′Q ′的长度就是PQ 长度的最小值，∵∠B ＝∠AP ‘D ，∠BAN ＝∠ADP ′，∴△ABN ∽△DP ′A ， ∴AD AN=DP′AB，∴√52=DP′1，解得DP ′=2√55， ∴P ′Q ′＝DP ′﹣DQ ′=2√55−12， ∴PQ 长度的最小值为2√55−12，故C 正确； 对于D ，∵点R 到平面ABB 1A 1的距离等于它到点D 的距离，由正方体的特点得点R 到直线AB 的距离等于点R 到平面ABB 1A 1的距离，点R 到直线AB 的距离等于它到点D 的距离，根据抛物线的定义知点R 的轨迹是以D 为焦点，以AB 为准线的抛物线，以AD 的中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图，则D （0，12），A （ 0，−12），N （1，0），直线AB 的方程为y =−12，直线AN 的方程为x ﹣2y ﹣1＝0，则抛物线的方程为x 2＝2y ，设直线AN 平行且与抛物线相切的直线l 的方程为x ﹣2y +n ＝0， 联立{x −2y +n =0x 2=2y ，整理得4y 2﹣（4n +2）y +n 2＝0，Δ＝（4n +2）2﹣16n 2＝0，解得n =−14， ∴直线l 的方程为x ﹣2y −14=0， 则直线AN 与直线l 的距离为d =1−14√1+(−2)=3√520，∴直线AN 与直线l 的距离为3√520，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．）13．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为23，35，则密码被成功破译的概率为1315．解：由题意得，密码被成功破译的概率为1−13×25=1315．故答案为：1315．14．已知空间内三点A （1，1，2），B （﹣1，2，0），C （0，3，1），则点A 到直线BC 的距离是 √6 ． 解：空间内三点A （1，1，2），B （﹣1，2，0），C （0，3，1）， 所以BC →=(1，1，1)，BA →=(2，−1，2)，|AB →|=3，|BC →|=√3， 由cos ∠ABC =BA →⋅BC →|BA →||BC →|=33×√3=√33＞0， 又0＜∠ABC ＜π2，所以sin ∠ABC =√1−cos 2∠ABC =√63，所以点A 到直线BC 的距离d =|AB|⋅sin ∠ABC =3×√63=√6．故答案为：√6．15．F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上异于顶点的一点，I 是△PF 1F 2的内切圆圆心，若△PF 1F 2的面积等于△IF 1F 2的面积的3倍，则椭圆C 的离心率为 12．解：由于椭圆关于原点对称，不妨设点P 在x 轴上方，设点P 纵坐标为y P ，点I 纵坐标为y I ，内切圆半径为r ，椭圆长轴长为2a ，焦距为2c ， 则S △PF 1F 2=12y P •|F 1F 2|＝3S △IF 1F 2=3×12y I •|F 1F 2|，得y P ＝3y I ，又S △PF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IPF 2，即12y P •|F 1F 2|=12r •|F 1F 2|+12r •|PF 1|+12r •|PF 2|，又y I ＝r ，化简得y P •|F 1F 2|＝y I （|F 1F 2|+|PF 1|+|PF 2|），即3×2c ＝2c +2a ， 解得a ＝2c ，可得离心率为ca=12．故答案为：12．16．已知双曲线x 24−y 25=1的左焦点为F ，点P 在双曲线上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率为 √115或√35 ． 解：由双曲线x 24−y 25=1可知a =2，b =√5，c =√a 2+b 2=3，设线段PF 的中点为M ，双曲线的右焦点为A ， 则|OM |＝3，|AF |＝6，由题意可知：点P 在第一象限，则|P A |＝2|OM |＝6，|PF |＝|P A |+4＝10，可得cos ∠PFA =|PA|2+|AF|2−|AP|22|PA|⋅|AF|=102+62−622×10×6=56，且∠PF A 为锐角，则sin ∠PFA =√1−cos 2∠PFA =√116，可得tan ∠PFA =sin∠PFAcos∠PFA =√115，所以直线PF 的斜率为√115．同理，当点P 在第二象限，设P （s ，t ），（s ＜0，t ＞0），则M （s−32，t2），∴{ (s−3)24+t 24=9s ＜0t ＞0，解得{s =−83t =√353，∴PF 的斜率为√35．故答案为：√115或√35． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知圆C 过点M （﹣3，2），圆心C 在直线x ﹣y +3＝0上，且圆C 与x 轴相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点A （﹣3，3）作直线l 与圆C 相交于D ，E 两点，且|DE |＝2√3，求直线l 的方程． 解：（1）由题意，设圆心C （a ，a +3），由于圆C 与x 轴相切， ∴半径r ＝|a +3|，所以设圆C 方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣a ﹣3）2＝（a +3）2， 又圆C 过点M （﹣3，2），∴（﹣3﹣a ）2+（2﹣a ﹣3）2＝（a +3）2， 解得a ＝﹣1，∴圆C 方程为（x +1）2+（y ﹣2）2＝4．（2）由圆C 方程易知直线l 的斜率存在，过点A （﹣3，3）作直线l 与圆C 相交于D ，E 两点，且|DE |＝2√3，故设l ：y ﹣3＝k （x +3），即l ：kx ﹣y +3+3k ＝0， 设C 到l 的距离为d ＝1，则d =|−k−2+3+3k|√1+k =|2k+1|√1+k =1，解得k ＝0或k =−43，故直线l 得方程为y ＝3或4x +3y +3＝0．18．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM ＝AC ＝1，∠ACB ＝90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°． （1）求SC 的长；（2）求直线CM 与平面AMP 所成角的正弦值．解：（1）因为SC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°， 所以CA ，CB ，CS 两两互相垂直，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CS 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，PM ＝AC ＝1，所以BC ＝2PM ＝2，设SC ＝λ（λ＞0），则A （1，0，0），B （0，2，0），S （0，0，λ），M （0，1，λ2），P （0，0，λ2），所以AM →=(−1，1，λ2)，CS →=(0，0，λ)，因为直线AM 与直线SC 所成的角为60°，所以cos60°=|cos ＜AM →，CS →＞|=|λ22|λ⋅√2+λ4，即λ=√2+λ24，解得λ=2√63，所以SC 的长为2√63； （2）由（1）知，CM →=(0，1，√63)，AP →=(−1，0，√63)，PM →=(0，1，0)， 设平面AMP 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AP →=−x +√63z =0n →⋅PM →=y =0，解得{y =0x =√63z， 令z ＝3，得x =√6，y =0，所以n →=(√6，0，3)， 设直线CM 与平面AMP 所成角为θ，所以sinθ=|cos ＜CM →，n →＞|=3×√631+69×=√65，所以直线CM 与平面AMP 所成角的正弦值为√65．19．（12分）实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境．2019年下半年以来，全国各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例．某部门在某小区年龄处于[20，45]岁的人中随机地抽取x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．（1）求x ，y ，z 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在[35，45]的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6人进行专访，并在这6人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人年龄在[40，45]中的概率．解：（1）由题意得：{x =450.750.06×5=200y =25200×0.04×5=0.625z =200×0.03×5×0.2=6， 解得x ＝200，y ＝0.625，z ＝6．（2）根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值：x =22.5×0.06×5+27.5×0.04×5+32.5×0.04×5+37.5×0.03×5+42.5×0.03×5=30.75≈31．（3）从年龄段在[35，45]的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6人进行专访， [35，40）中选：6×66+3=4人，分别记为A ，B ，C ，D ， [40，45]中选：6×36+3=2人，分别记为a ，b ， 并在这6人中选取2人作为记录员，（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，a ），（A ，b ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，D ），（C ，a ），（C ，b ），（D ，a ），（D ，b ），（a ，b ），基本事件总数n ＝15， 选取的2名记录员中至少有1人年龄在[40，45]包含的基本事件：（a ，A ），（a ，B ），（a ，C ），（a ，D ），（b ，A ），（b ，B ），（b ，C ），（b ，D ），（a ，b ）， 基本事件数m ＝9，选取的2名记录员中至少有1人年龄在[40，45]中的概率p =n m =915=35． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上下左右四个顶点分别为A 、B 、C 、D ，x 轴正半轴上的点P 满足|P A |＝|PD |＝3，|PC |＝5． （1）求椭圆C 的标准方程以及点P 的坐标．（2）过点P 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，且△MNA 和△MND 的面积相等，求直线l 的方程． （3）在（2）的条件下，求当直线l 的倾斜角为钝角时，△MND 的面积．解：（1）不妨设P （x 0，0）（x 0＞0）， 因为|P A |＝|PD |＝3，|PC |＝5， 易知2a ＝3+5＝8，解得a ＝4， 所以x 0＝5﹣a ＝1，又b =√32−x 02=2√2，则椭圆的标准方程为x 216+y 28=1，P 点坐标为（1，0）；（2）由（1）知A(0，2√2)，D （4，0）， 易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 即kx ﹣y ﹣k ＝0，因为△MNA 与△MND 的面积相等， 所以点A ，D 到直线l 的距离相等， 即√2−k|√k 2+1=√k 2+1， 解得k =√2或k =−√22，则直线l 的方程为y =√2(x −1)或y =−√22(x −1)； （3）因为P （0，1）在椭圆内部， 所以直线l 与椭圆相交， 若直线l 的倾斜角为钝角， 可得k =−√22，此时直线l 的方程为y =−√22(x −1)，即x =−√2y +1，联立{x =−√2y +1x 216+y 28=1，消去x 并整理得4y 2−2√2y −15=0，不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由韦达定理得y 1+y 2=√22，y 1y 2=−154，则△MND 的面积S =12|PD||y 1−y 2|=12×3×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=32√(√22)2−4×(−154)=3√624． 故△MND 的面积为3√624． 21．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ． （1）证明：AD ⊥BB 1；（2）已知四边形BB 1C 1C 是边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，线段CC 1上的点E ，且CE →=λCC 1→（0≤λ≤1），当平面EAD 与平面EAC 的夹角的余弦值为√155时，求λ的值．（1）证明：∵AB ＝AC ，且D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，面BB 1C 1C ⊥面ABC面BB 1C 1C ∩面ABC =BC AD ⊥BC AD ⊂面ABC }⇒AD ⊥面BB 1C 1C BB 1⊂面BB 1C 1C }⇒AD ⊥BB 1； （2）解：∵四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，∴B 1D ⊥BC ， 面BB 1C 1C ⊥面ABC 面BB 1C 1C ∩面ABC =BC B 1D ⊥BC B 1D ⊂面BB 1C 1C }⇒B 1D ⊥面ABC ， 以D 为原点，DC ，DA ，DB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），A(0，√3，0)，C （1，0，0），C 1(2，0，√3)，CC 1→=(1，0，√3)，由CE →=λCC 1→(0≤λ≤1)，AC →=(1，−√3，0)，可得AE →=AC →+CE →=(1+λ，−√3，√3λ)．设面AED 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=0n →⋅DA →=0⇒{(1+λ)x −√3y +√3λz =0√3y =0， 令z ＝1+λ，则n →=(−√3λ，0，1+λ)．设面AEC 的一个法向量为m →=(x′，y′，z′)，则{m →⋅AE →=0m →⋅AC →=0⇒{(1+λ)x′−√3y′+√3λz′=0x′−√3y′=0， 令z '＝﹣1，则m →=(√3，1，−1)．设平面EAD 与平面EAC 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=|−3λ−1−λ|√5×√3λ+(1+λ)=√155，解得λ=12， 故当平面EAD 与平面EAC 的夹角的余弦值为√155时，λ的值为12． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，点P （2，﹣1）在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）点A 、B 在双曲线C 上，直线P A 、PB 与y 轴分别相交于M 、N 两点，点Q 在直线AB 上，若坐标原点O 为线段MN 的中点，PQ ⊥AB ，证明：存在定点R ，使得|QR |为定值． 解：（1）因为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√2， 所以c =c a =√2，①因为P （2，﹣1）在双曲线C 上，所以22a 2−(−1)2b 2=1，②又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③，解得a 2＝3，b 2＝3，则双曲线C 的方程为x 23−y 23=1；（2）证明：易知直线的AB 的斜率存在，不妨设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1） B （x 2，y 2）， 联立{y =kx +mx 23−y 23=1，消去y 并整理得（1﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣3＝0， 此时Δ＝（﹣2km ）2﹣4（1﹣k 2）（﹣m 2﹣3）＝4（m 2﹣3k 2+3）＞0且1﹣k 2≠0， 由韦达定理得x 1+x 2=2km1−k 2，x 1x 2=−m 2−31−k 2，此时直线P A 的方程为y +1=y 1+1x 1−2(x −2)， 令x ＝0，解得y =−1−2y 1+2x 1−2，即M(0，−1−2y1+2x1−2)；同理可得N(0，−1−2y2+2x2−2)，因为O为MN的中点，则以(−1−2y1+2x1−2)+(−1−2y2+2x2−2)=0，即−1−2(kx1+m)+2x1−2−1−2(kx2+m)+2x2−2=0，整理得（2k+1）x1x2﹣（2k﹣m+1）（x1+x2）﹣4m＝0，所以（m+3）（m+2k+1）＝0，解得m＝﹣3或m+2k+1＝0，若m+2k+1＝0，即m＝﹣2k﹣1时，直线方程方程为y＝kx﹣2k﹣1，即y+1＝k（x﹣2），此时直线AB过点P（2，﹣1），不符合题意；若m＝﹣3，直线方程为y＝kx﹣3，恒过定点D（0，﹣3），所以|PD|=√22+(−1+3)2=2√2为定值，因为△PQD为直角三角形，且PD为斜边，所以当R为PD的中点（1，﹣2）时，|RQ|=|PD|=√2．。
浙江省杭州地区2022_2023高二数学上学期期中联合考试试题pdf
杭州地区2022-2023高二上学期期中联合考试数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I .直线x －扛y＝2的倾斜角为A.30°B.60°C.120°D.150°2.设i 是虚数单位，复数z =－-:'则z =l -iA .18.✓2C.✓3D.23．在MBC中，已知乙B= 45°, LC=30°, AC= 2,则AB等千A.l B.5 c.5D.五4.已知圆锥的侧面积（单位：cm 2)为2兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积（单位：cm 3)是2 ＄ c.一冗森D.一一兀A.－兀 B.－冗33 3 6 5.已知和n 是两条不同的直线，a 和P 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是A..l n , n c a ，则m .l a B.ca, n c /3, all/3,则m II n C.若m l /a , _l_n ，则n 上a D．若m 上a ,!lp ,则a 上p6.已知向量a,b满足b=（l ,l ），正b=2,则;在b上的投影向量的坐标为A.（五，气B.(1,1)C.(-1,-1)22D(－幸卒）7.已知A (0,0,2),B(I ,0,2),C(0,2,0)，则点A 到直线BC的距离为A.24 -－ B. ］C.5D.2五38.柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为5 3 2 A . －B. －C -D .-l 85 5 3 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设复数z =x＋只（XJ'ER)，下列说法正确的是A.z的虚部是yB.z 2=x 2 + y2C.若x =O，则z为纯虚数D.若z满足lz-il =I,则z在复平面内的对应点(XJ')的轨迹是圆10．如图，在棱长为1的正方体A BCD-/4B 1�戊中，下列选项正确的是C IA.异面直线A 1C 1与B 1c所成的角为60°4I、A丿衣B.三棱锥D 1-/4C 1D的体积为－6C .直线BD 1l.平面/4C 1DD.二面角B1-CD-B的大小为30°11.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字I ,2, 3, 4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为偶数“，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是A.事件B 与事件C是互斥事件C.事件B与事件C是相互独立事件B.事件A与事件B 是相互独立事件D.P(AB C )=-;1412.已知圆C:x 2+(y -2)2=2,点P是圆C 上的一个动点，点A {2,0),B(O,l )，则下列选项中正确的是A.5叩牢3五C.石了．石的最大值为12冗B.LP A C的最大值为一3D.AB ．万的最大值为9非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量正(1,2),b=(3，一2),正(1，儿）若C/1(2a-b )，则,t =�.14.写出过点A(l ,2)，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程＿一主＿＿．15.已知圆C : (x + 2)2 + y 2 = 2,以点A (0,2)为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为� —·16.已知直四棱柱A BCD -Ai B 1C 1D 1,底面A BC D 为平行四边形，AA 1=3,AB =2, A D =1, LB A D =60°，以D I 为球心，半径为2的球面与侧面BC C戊的交线的长度为——尘—-四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本题满分10分）已知直线/: kx -y + 2k + 1= 0 (k e R).(I)求证：直线／过定点，井求出此定点：（Il）求点A (3,0)到直线l的距离的最大值．18.（本题满分12分）杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名．对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率分布直方图如下：([)需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？(II)(I)请补全频率分布直方图：(2)求这120名学生运动时间的第80百分位数是多少？言0.030.0250.0150.010.00539. 549. 559. 569. 579. 5 89. 5 99. 5...，分数19.（本题满分12分）袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为I,2, 3, 4.(I)从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率；(II)从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次。
2023-2024学年浙江省杭州市周边重点中学高二上学期期中考试数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年浙江省杭州市周边重点中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )A. B. C. D.2.某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生.则样本中男生人数为( )A. 4B. 5C. 6D. 93.在平行六面体中，若，则( )A. B.C. D.4.已知向量，，，则与的夹角等于( )A. B. C. D.5.甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为，方差为，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为，方差为2，则下列判断正确的是( )A. B.C. D. 与2的大小关系无法判断6.已知圆，直线与圆C相交于两点，若圆C上存在点P，使得为正三角形，则实数m的值为( )A. B.C. 或D. 或7.棱长为2的正方体中，点N在以A为球心半径为1的球面上，点M在平面ABCD内且与平面ABCD所成角为，则M，N两点间的最近距离是( )A. B. C. D.8.第19届亚运会的样物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个同类吉举物完全相同，无区别，若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z满足，则( )A. 复数z在复平面内对应的点在第三象限B. 复数z的模为1C. D. 复数z虚部为10.地掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示：“点数不大于2”，等件B表示：“点数大于2”，事件C 表示：“点数为奇数”，求件D表示：“点数为偶数”，则下列说法正确的有( )A. B.C. 事件A与D相互独立D. 事件A与B互斥不对立11.若A，B是平面内不重合的两定点，动点P满足，则点P的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希脂数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点，，动点P满足，点P的轨迹为圆C，则( )A. 圆C的方程为B. 设动点，则的最大值为20C. 若P点不在x轴上，圆C与线段AB交于点Q，则PQ平分D. 的最大值为7212.已知正四面体的棱长为2，点M，N分别为和的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是( )A. M，N，C，D四点不共面B. 若，则平面ABCC. 过点C，D，M的平面截正四面体外接球所得截面面积为D.正四面体内接一个圆柱即此圆柱下底面在底面BCD上，上底圆面与面ABD、面ABC、面ACD均只有一个公共点则这个圆柱的侧面积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高二年级期中考试数学试题卷（答案在最后）2023年11月考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效．4．考试结束，只上交答题卷．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A.（2，﹣3）B.（2，3）C.（﹣3，2）D.（3，2）【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D ．2.双曲线22149x y -=的渐近线方程是（）A.32y x =± B.23y x =±C.94y x =±D.49y x =±【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.【详解】双曲线22149x y -=的渐近线方程是：32y x=±故选：A3.如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，且OA a = ，OB b =，OC c =，则向量OQ 可表示为（）A.111366a b c ++ B.111633a b c ++C.111336a b c ++ D.111663a b c ++ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案.【详解】由题意M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，连接ON ,得1111()2323OQ OM MQ OA MN ON OM =+=+=+-1111()2326OA OB OC OA =+⨯+-111311()3666OA OB OC a b c =++=++,故选：A4.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14AB AD AA ===，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠==︒，则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值是（）A.33B.23C.36D.13【答案】C【分析】构建基向量AB ，AD ，1AA表示11,AC BC ，并根据向量的夹角公式求其夹角的余弦值即可.【详解】如下图，构建基向量AB ，AD ，1AA.则11AC A A AB AD =++ ，111BC AD AD AA ==+所以1A C ====4==1BC ====1111()()AC BC A A AB AD AD AA ⋅=++⋅+ 11111A A AD A A AA AB AD AB AA AD AD AD AA =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 44cos12044044cos604444cos608=⨯⨯︒-⨯++⨯⨯︒+⨯+⨯⨯︒=所以111111cos ,6A C BC A C BC A C BC ⋅<>==⋅.故选：C.5.已知线段AB 的端点B 的坐标是(2,1)，端点A 在抛物线2y x =上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹为（）A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆【答案】B【分析】设(),M x y ，借助M 为线段AB 的中点及A 在抛物线2y x =上，计算可得M 轨迹方程，即可得解.【详解】设(),M x y ，由M 为线段AB 的中点，故()22,21A x y --，又端点A 在抛物线2y x =上，故有()22122y x -=-，化简得25242y x x =-+，故线段AB 的中点M 的轨迹为抛物线.故选：B .6.已知直线1l ：20kx y -+=与直线2l ：20x ky +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为（）A.1+ B.2+ C. D.【答案】C 【解析】【分析】由已知可知直线1l ，2l 分别过定点()0,2A ，()2,0B ，且两直线垂直，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，点P 到直线40x y --=的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和.【详解】由已知直线1l ，2l 分别过定点()0,2A ，()2,0B ，当0k =时，1l ：2y =，2l ：2x =，交点为()2,2，当0k ≠时，直线1l 的斜率为k ，直线2l 的斜率为1k-，斜率的乘积为1-，所以12l l ⊥，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆心坐标为()1,1，半径r =，所以圆的方程为()()22112x y -+-=，不包括点()0,0，点()2,2满足该方程，圆心到直线40x y --=的距离为d ==，所以点P 到直线40x y --=的距离的最大值为d r +=.故选：C .7.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若222,AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）A.9B.34C.35D.9【答案】D 【解析】【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与222AF F B =构建出关于a 、b 、c 的齐次方程，根据离心率公式即可解得.【详解】设()2,0F c ，()11,A x y ，()22,B x y ，过点2F 做倾斜角为6π的直线3k =，直线方程为：()3y x c =-，联立方程()222213x y a b y x c⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得()2222430a b y cy b ++-=根据韦达定理：212223cy y a b+=-+，412223b y y a b =-+因为222AF F B =，即()()1122,2,c x y x c y --=-，所以122y y =-所以()2222212124211222233122223c a b y y y y b y y y y a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭+=-=-=---+即22212132c a b =+，所以222324a b c +=，联立222222324a b c a b c⎧+=⎨=+⎩，可得22427a c =2423279e e =⇒=故选：D.8.如图，在菱形ABCD中，3AB =，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为，若P ，Q 分别为线段BD ，CA 上的动点，则下列说法错误的是（）A.平面ABD ⊥平面BCDB.线段PQ 2C.当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQ 的距离为1414D.当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD 所成角的余弦值为64【答案】C 【解析】【分析】取BD 的中点O ，易知,OA BD OC BD ⊥⊥，结合条件及线面垂直的判定定理可得OA ⊥平面BDC ，进而有平面ABD ⊥平面BDC ，即可判断A ；建立坐标系，利用向量法可判断BCD.【详解】取BD 的中点O ，连接,OA OC ，∵在菱形ABCD 中，33AB =，60BAD ∠=︒，∴2OA OC ==，又22AC =，∴222OA OC AC +=，所以OA OC ⊥，又易知,OA BD OC BD ⊥⊥，因为OA OC ⊥，OA BD ⊥，OC BD O = ，所以OA ⊥平面BDC ，因为OA ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BDC ，故A 正确；以O 为原点，,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则()()2323,0,2,0,0,0,2,,0,033B C A D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当AQ QC =，4PD DB =时，()0,1,1Q ，33P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,13PQ ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，33DP ⎫=⎪⎪⎝⎭，所以点D 到直线PQ 的距离为12132173PQ DPd PQ⋅=== ，故C 错误；设(),0,0P a ，设()0,2,2CQ CA λλ==-，可得()0,22,2Q λλ-，()()222221222822PQ a a λλλ⎛⎫=+-++-+ ⎪⎝⎭当10,2a λ==时，min 2PQ =，故B 正确；当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，()0,0,0P ，()0,1,1Q ，()0,1,1PQ = ，3,0,23AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设PQ 与AD 所成的角为θ，则26cos 1623PQ ADPQ ADθ⋅==⋅⨯，所以PQ 与AD 所成角的余弦值为64，故D 正确；故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是2，D ，E 分别是1111,A C A B 的中点，则（）A.1//A B 平面1CDBB.平面1CDB 与平面111A B C 夹角的余弦值为5C.直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正切值为105D.点1A 到平面1CDB 的距离为5【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；找出等于平面1CDB 与平面111A B C 夹角的角计算余弦值即可可判断B ；作出直线1CB 与平面11AA B B 所成角，解直角三角形求得其正切值，判断C ；利用等体积法求得点1A 到平面1CDB 的距离，判断D.【详解】对A ：连接11,BC B C ，交于点F ，连接DF ，则F 为1BC 的中点，故DF 为11C A B △的中位线，则1//DF A B ，1⊄A B 平面1CDB ，DF ⊂平面1CDB ，故1//A B 平面1CDB ，故A 正确；对B ：由1CC ⊥平面111A B C ，故点C 在平面111A B C 的投影为1C ，又111A B C 为等边三角形，故111A C B D ⊥，故平面1CDB 与平面111A B C 夹角的大小等于1CDC ∠，由12CC =，11C D =，则15cos 5CDC ∠==，故B 正确；对C ：设G 为AB 的中点，连接1,CG B G ，ABC 为正三角形，故CG AB ⊥，因为1BB ⊥平面,ABC CG ⊂平面ABC ，所以1BB CG ⊥，而11,,AB BB B AB BB =⊂ 平面11AA B B ，所以CG ⊥平面11AA B B ，则1CB G ∠为直线1CB 与平面11AA B B 所成角，而122CG B G=⨯===，故11tan5CGCB GB G∠==，故C错误；对D：111212A DCS=⨯⨯=，故1113133B A DCV-=⨯=，又11DC B C DB====，则22211DC B D B C+=，故1B D DC⊥，所以111522CDBS==，设点1A到平面1CDB的距离为h，则1111A CDB B CDAV V--=，即51153,32325h h⨯=∴=，故D正确.故选：ABD10.以下四个命题表述正确的是（）A.直线()()()13120Rm x m y m+-++=∈恒过定点()1,3B.圆224x y+=上有4个点到直线:0l x y-+=的距离都等于1C.圆22120C:x y x++=与圆222480C:x y x y m+--+=恰有一条公切线，则4m=D.已知圆22:1C x y+=，点P为直线20x y+-=上一动点，过点P向圆C引两条切线,PA PB A B､､为切点，则直线AB经过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【解析】【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径差列式求得m 判断C ；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D ．【详解】由()()()13120R m x m y m +-++=∈，得()230x y m x y -++-=，联立2030x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，∴直线()()()13120R m x m y m +-++=∈恒过定点(1,3)，故A 正确；圆心(0,0)到直线:0l x y -+=的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线:0l x y -+=的距离等于1，故B 错误；两圆恰有一条公切线，则两圆内切，曲线22120C :x y x ++=化为标准式22(1)1x y ++=，圆心()11,0C -，半径为1，曲线222480C :x y x y m +--+=化为标准式22(2)(4)200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，半径为，51==，解得16m =-，故C 错误；设点P 的坐标为(,)m n ，则20m n +-=，以OP 为直径的圆的方程为220x y mx ny +--=，两圆的方程作差得直线AB 的方程为：1mx ny +=，消去n 得，()210m x y y -+-=，令0x y -=，210y -=，解得12x =，12y =，故直线AB 经过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确．故选：AD.11.已知圆22:16O x y +=，点(,)P a b 在圆O 外，以线段OP 为直径作圆M ，与圆O 相交于,A B 两点，则（）A.直线,PA PB 均与圆O 相切B.若5,4a b ==-，则直线AB 的方程为54160x y --=C.当4PA PB ==时，点M 在圆228x y +=上运动D.当3PA PB ==时，点P 在圆225x y +=上运动【答案】ABC【解析】【分析】根据圆的几何性质判断A 选项的正确性，结合圆与圆相交弦所在直线方程判断B 选项的正确性，通过求动点的轨迹方程来判断CD 选项的正确性.【详解】A 选项，由于OP 是圆M 的直径，所以,OA PA OB PB ⊥⊥，所以直线,PA PB 均与圆O 相切，A 选项正确.B 选项，5,4a b ==-，5,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭，圆M 的半径为r ，则222541444r OM ==+=，所以圆M 的方程为()22541224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，由()()2241524x y -++=、2216x y +=两式相减并化简得54160x y --=，所以B 选项正确.C 选项，4,PA PB OP ====，OM =M 在圆(2228x y +==上运动，C 选项正确.D 选项，|P|=|P|=3,|B|=32+42=5，所以P 在圆222525x y +==上运动，D 选项错误.故选：ABC12.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右支与直线x =0,y =4,y =-2围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底外直径为3，双曲线C 的左右顶点为D ,E ，则（）A.双曲线C 的方程为22139x y -=B.双曲线2213y x -=与双曲线C 有相同的渐近线C.双曲线C 上存在无数个点，使它与D ,E 两点的连线的斜率之积为3D.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点【答案】ABC【解析】【分析】由题意可得5339,4,,233M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入双曲线方程可求出,a b ，从而可求出双曲线方程，然后逐个分析判断.【详解】由题意可得,4,,233M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222253316141a b a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭-=⎪⎪⎨⎪⎪⎝⎭⎪-=⎪⎩，即222225161313413a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得223,9a b ==，所以双曲线方程为22139x y -=，所以A 正确；双曲线22139x y -=的渐近线方程为y =，双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，所以B 正确；由题意得(D E ，设()(000,P x y x ≠为双曲线上任意一点，则2200139x y -=，220039y x =-，所以220022003(3)333PD PE y x k k x x -⋅====--，所以双曲线C 上存在无数个点，使它与,D E 两点的连线的斜率之积为3，所以C 正确;由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点，所以D 错误；故选：ABC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线1:(3)553l m x y m ++=-，2:2(6)8l x m y ++=，若12l l //，则m 的值是___________.【答案】8-【解析】【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解.【详解】因为1:(3)553l m x y m ++=-，2:2(6)8l x m y ++=，12l l //，所以当60+=m ，即6m =-时，1:3523l x y -+=，2:28l x =，显然不满足题意；当60+≠m ，即6≠-m 时，3553268m m m +-=≠+，由3526m m +=+解得1m =-或8m =-，当1m =-时，35531268m m m +-===+，舍去；当8m =-时，355532628m m m +-==-≠+，满足题意；综上：8m =-.故答案为：8-.14.如图，锐二面角l αβ--的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC BD ==，CD =l αβ--的平面角的余弦值是___________.【答案】23【解析】【分析】根据题意得AC CD B A BD =-++ ，两边平方，利用向量的数量积运算，即可得到答案；【详解】设锐二面角l αβ--的平面角为θ，AC CD B A BD =-++ ，则2222222=36+16+3672cos =40AC AB BD AC AB AC BD A C B D D B θ=++-⋅-⋅+⋅- ，则2cos 3θ=.故答案为：2315.如图，A ，B 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的两点，F 是双曲线的右焦点.AFB △是以F 为顶点的等腰直角三角形，延长BF 交双曲线于点C .若A ，C 两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得,a c 的关系式，从而求得双曲线的离心率.【详解】设左焦点为1F ，连接11,CF AF ，依题意：AFB △是以F 为顶点的等腰直角三角形，A ，C 两点关于原点对称，结合双曲线的对称性可知：四边形1AFCF 是矩形，所以12AC F F c ==，设BF m =，则11,2AF CF m AF CF m a ====-，1,2,22AB BF a m BC m a ==+=-，由2221122211AF AF FF CF BC BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()()()()22222222222m a m c m m a a m ⎧-+=⎪⎨+-=+⎪⎩，整理得3m a =，222222109104,,42c c a a a c a a +====.故答案为：10216.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()22:2220C x y -+-=与x 轴交于A ､B （点A 在点B 的左侧），圆C 的弦EF 过点()4,3G ，分别过E ､F 作圆C 的切线，交点为P ，则线段AP 的最小值为___________.【答案】5【解析】【分析】设00(,)P x y ，根据切线的垂直关系，可得,E F 在以CP 为为直径的圆上，求出EF 的方程，将()4,3G 代入，求出P 点轨迹方程，转化为点到直线的距离，即可求出结论.【详解】()()222220x y -+-=，圆心(2,2)C ，令0,2y x ==-或6x =，点A 在点B 的左侧，(2,0)A ∴-，设00(,)P x y ，,PE PF 为圆C 的切线，,PE CE PF CF ⊥⊥，EF ∴在以PC 为直径的圆上，其方程为00(2)()(2)()0x x x y y y --+--=，即220000(2)(2)220x y x x y y x y +-+-+++=，直线EF 为圆C :2244120x y x y +---=与以PC 为直径的圆的相交弦，直线EF 方程为0000(2)(2)12220x x y y x y -+----=，弦EF 过点()004,3,2260G x y ∴+-=，点P 的轨迹为直线，其方程为2260x y +-=，线段AP 最小值为点A 到直线2260x y +-=2|426|6512=+故答案为:四、解答题（本答题共6小题，满分70分）17.已知点()()1,4,3,1A B ，直线：:2l y ax =+，（1）若AB 是直线l 的一个方向向量，求a 的值；（2）若直线l 与线段AB 有交点，求a 的范围．【答案】（1）32a =-（2）1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据直线的方向向量的定义可求（2）判断出直线l 过定点()0,2P ，分别求出,PA PB k k ，即可求出l 的斜率a 的取值范围【小问1详解】因为AB 是直线l 的一个方向向量，所以413132AB a k -===--【小问2详解】:2l y ax =+过定点()0,2P ，如图因为421212,10303PA PB k k --====---，要使直线l 与线段AB 有交点，则a 的范围为1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC的中点．（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）求二面角B DE C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）解法一：连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，利用中位线证明OE PA ，进而即可证明//PA 平面BDE ；解法二：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，求平面BDE 的一个法向量，由向量法能够证明//PA 平面BDE ；（2）由（1）知()1111n =- ，，是平面BDE 的一个法向量，又()2200n DA == ，，是平面DEC 的一个法向量，由向量法能够求出二面角B DE C --的余弦值．【小问1详解】解法一：连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，OE PA ∴∥，OE ⊂ 平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴//PA 平面BDE解法二：侧棱PD ⊥底面ABCD ,DA ⊂底面ABCD ,DC ⊂底面ABCD ，,PD DA PD DC ∴⊥⊥,所以DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则()200A ，，，()002P ，，，()011E ，，，()220B ，，．()()()202011220PA DE DB ∴=-== ，，，，，，，，，设()1n x y z = ，，是平面BDE 的一个法向量，则由1100n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩，()1111n ∴=- ，，．1220PA n ⋅=-= ，1PA n ∴⊥ ，又PA ⊄平面BDE ，//PA ∴平面BDE ．【小问2详解】由()1知()1111n =- ，，是平面BDE 的一个法向量，又()2200n DA == ，，是平面DEC 的一个法向量．设二面角B DE C --的平面角为θ，由图可知θ为锐角，121212cos cos 3，n n n n n n θ⋅∴===⋅u r u u r u r u u r u r u u r ．19.已知()()()0,0,0,2,5,0,1,3,5A B C ．（1）求AC 在AB 上的投影向量；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标；（3）若点(0,3,0)P ，求点P 到平面ABC 的距离．【答案】（1）3485,,02929⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()1,2,5--（3）5611【解析】【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；（2）根据AD BC =可求D 的坐标；（3）根据点面距公式可求点P 到平面ABC 的距离．【小问1详解】()1,3,5AC = ，()2,5,0AB = ，故AC 在AB 上的投影向量为AC AB AB ABAB ⋅ ，而()21534852,5,0,,0292929AC AB AB AB AB⋅+⎛⎫== ⎪⎝⎭ .【小问2详解】设(),,D x y z ，则AD BC =，故()(),,1,2,5x y z =--，故D 的坐标为()1,2,5--.【小问3详解】()0,3,0AP = ，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z = ，则00m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即250350x y x y z +=⎧⎨++=⎩，取5x =-，则2y =，15z =-，故15,2,5m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故点P 到平面ABC的距离为11AP m m ⋅== .20.如图，已知圆22:4O x y +=和点(2,2)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线,PQ Q 为切点，且||||PQ PA =．（1）求22a b +的最小值；（2）以P 为圆心作圆，若圆P 与圆O 有公共点，求半径最小的圆P 的方程．【答案】（1）92（2）323317222x y ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意得到222OQ PA OP +=，代入列方程得到3a b +=，再利用完全平方公式即可得解；（2）根据题意得到半径最小时，两圆外切且OP 垂直3x y +=，根据垂直和外切求出点P 和半径，从而求得圆的方程.【小问1详解】因为圆22:4O x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r =，因为PQ 为圆O 的切线，所以OQ QP ⊥，在Rt OPQ △中，222OQ QP OP +=，又PQ PA =，所以222OQ PA OP +=，即()()2222422a b a b +-+-=+，整理得3a b +=，因为()20a b -≥，即2220a b ab +-≥，故222a b ab +≥，所以()()222222222292a b ab a b a b a b a b +≥++=++=+=+，则2292a b +≥，所以22a b +的最小值为92.【小问2详解】由（1）知，当以P 为圆心的圆在OP 垂直3x y +=，且与圆O 外切时半径最小，此时OP 方程为y x =，联立3y x x y =⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以33,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222=-，所以圆的方程为323317222x y ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21.已知过点(1,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于A ，B 两点，当直线l 过抛物线C 的焦点时，||8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点(0,2)Q -，连接QA ，QB 分别交抛物线C 于点E ，F ，且QAB 与QEF △的面积之比为1:2，求直线AB 的方程．【答案】（1）方程为24x y =．（2）方程为1)y x =-．【解析】【分析】（1）直线AB 的方程为(1)2p y x =--，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式求出p 的值，即可得解；（2）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线联立可得124x x k =，直线AQ 的方程1122y y x x +=-与抛物线联立，设()33,E x y ，则318x x =，设()44,F x y ，同理可得428x x =，利用三角形面积公式可得12341||||sin 222122||||sin 2QABQEF QA QB AQB S y y S y y QE QF AQB ⋅∠++==++⋅∠△△2221216442x x k ===，求解即可.【小问1详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为抛物线C 的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当直线l 过C 的焦点时，直线AB 的方程为(1)2p y x =--，由()2122p y x x py⎧=--⎪⎨⎪=⎩得2220x p x p +-=．则221212,x x p x x p +=-=-，()2214||82p p AB x +=-==，整理得()32416(2)280p p p p p +-=-++=，所以2p =，故抛物线C 的方程为24x y =．【小问2详解】易知直线AB 的斜率在且不为零，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由2(1)4y k x x y=-⎧⎨=⎩得2440x kx k -+=，则216160k k ∆=->，即1k >或0k <，124x x k =．易知直线AQ 的方程为1122y y x x +=-，由112224y y x x x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩得()1214280y x x x +-+=，设()33,E x y ，则133188,x x x x ==，设()44,F x y ，同理可得428x x =，则12341||||sin 22||||21||||22||||sin 2QABQEF QA QB AQB S y y QA QB S QE QF y y QE QF AQB ⋅∠++⋅===⋅⋅++⋅∠△△()()2222121222342212111228844161111112216164488x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212161646442x x k k ====，得22,k k ==，故直线AB 的方程为1)y x =-．22.如图，已知：,A B 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴的两个端点，()00,P x y 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，从原点O 向圆()()22200:(0)P x x y y r r -+-=>作两条切线分别交椭圆C 于点M ，N ，记直线,,,OM ON AP BP 的斜率分别为1234,,,k k k k ，（1）若圆P 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆P 的半径．（2）若1234k k k k ⋅=⋅，求半径r 的值．【答案】（1）2b a（2【解析】【分析】（1）由题意可得0x c =，则有220221y c a b+=，计算即可得0y ，即可得半径；（2）由题意计算34k k ⋅可得2342b k k a⋅=-，即可得2122b k k a ⋅=-，结合点到直线距离公式计算可得r ==，整理可得1k 、2k 分别为关于k 的方程()22222000020x r k x y k y r --+-=的两根，故有22012220y r k k x r -=-，又2122b k k a⋅=-，代入计算即可得r .【小问1详解】由圆P 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，故0x c =，则有220221y c a b+=，则20b y a ==，即其半径为2b a；【小问2详解】2000342200000y y y k k x a x a x a--=⋅=+--，由()00,P x y 是椭圆C 上的点，故有2200221x y a b+=，即有()222222000221x b y b a x a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()222220340222222001y b b k k a x x a a x a a==-⨯=---，则有212342b k k k k a==-，设1:OM l y k x =，2:ON l y k x =，r ==，整理可得22222210100012k x k x y y r k r -+=+、22222220200022k x k x y y r k r -+=+，即有()2222201001020x r k x y k y r --+-=，()2222202002020x r k x y k y r --+-=，由直线OM 、ON 斜率存在，故0r x ≠，故1k 、2k 分别为关于k 的方程()22222000020x r k x y k y r --+-=的两根，故有22012220y r k k x r -=-，又212342b k k k k a==-，故22202220y r b x r a -=--，即()()222222000a y r b x r -+-=，又()2222002b y a x a=-，故有()()222222220020b a a x r b x r a ⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦，化简可得22222a b r a b =+，。
浙江省杭州市浙大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题
浙江省杭州市浙大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25B ．已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C ．数据26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位数是18D ．若样本数据1x ，2x ，…，nx 的标准差为4，则数据121x +，221x +，…，21n x +知第三档的分数段为[)0,70．(1)求成绩位于[)30,60时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段；(2)在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为0.8，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为0.5，数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为0.1．在此次模拟考试中．甲、乙、丙三位考生的数学成绩分别为65，94，122．请结合第（1）问中的分数段，求这三位考生总分过特控线的人数X=的概率．220．如图，四面体ABCD中，2DB DC==，设E为BC的中点．==，2AB AC(1)求证：平面AED⊥平面BCD；(2)若∠BAC=60°，AD=3，求二面角B-AD-C的余弦值．21．小明同学某天发现，在阳光下的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心O且与太阳平行光线垂直的平面为a，地面所在平面为b，篮球与地面的切点为H，球心为O，球心O在地面的影子为点O¢；已知太阳光线与地面的夹角为q；(1)求平面a与平面b所成角j q表示）；(2)如图，AB为球O的一条直径，,A B¢¢为,A B在地面的影子，点明经过研究资料发现，当π2q¹时，篮球的影子为一椭圆，且点上找球心O，由于ACDV外接圆圆心，由正弦定理求外V为等边三角形，所以球心为ACD接圆半径即为外接球半径.【详解】取CD中点E，连结AE根据题意，因为BCD△为等腰直角三角形，所以BCD==；△的外心为斜边CD的中点E，EB EC ED又因为4CD=，所以BCD△的外接圆半径为2；因为平面ACD^平面BCD，平面ACD I平面BCD CD=,V为等边三角形，所以AE CDACD^，所以^AE平面BCD，所以外接球球心O在直线AE上，PQ PA +的最小值为点()3,0A 到直线:4l x y -+所以该椭圆的离心率为cos q .22．（1）221x y +=（2）证明【分析】（1）由题意，先设P 即可求出结果；。
浙江省杭州师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
2020学年杭师大附中高二上期中试卷试题1. 若直线a 的一个方向向量()1,1,1a =，平面β的一个法向量是()1,2,1b =--，则直线a 与平面β的位置关系是（ ） A. //a βB. a β⊥C. //a β或a β⊂D. 不确定2. 已知(){}ln 2A y y x ==-，{}2230B A x x x ==+-≥，则A B =（ ）A. {}13x x x ≥≤-或B. {}1x x ≥ C. {}123x x x ≤<≤-或D. ∅3. 已知数列{}1n a +是等比数列，若10a =，53a =，则3a =（ ） A. -3B. -2C. -1D. 14. 已知两个单位向量a ，b 满足237a b +=，则a 与b 的夹角是（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π 5. 已知1sin()3πα+=，sin(2)sin 2αππα+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A. 23-B. 3-C.23D.36. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 4B.43C.83D. 67. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A. 若//l α，//m α，则//l m B. 若//l α，m l ⊥，则m α⊥ C. 若l α⊥，m l ⊥，则//m αD. 若l α⊥，m α⊥，则//l m8. 若函数2()f x x x a =--有四个零点，则关于x 的方程210ax x ++=的实根个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 不确定9. 如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，E 为DC 边的中点，沿AE 将ADE △折起至'AD E △，设二面角'D AE B --为α，直线'AD 与平面ABCE 所成角为β，若6090α︒<<︒，则在翻折过程中（ ）A. 存在某个位置，使得αβ<B. 存在某个位置，使得90αβ+<︒C. 45β>︒D. 3045β︒<<︒10. 对于数列{}n a ，若存在常数M ，使对任意*n N ∈，都有n a M ≤成立，则称数列{}n a 是有界的.若有数列{}n a 满足11a =，则下列条件中，能使{}n a 有界的是（ ） A. 11n n a a n ++=+B. 111n n a a n+-=-C. 112nn n a a +=+D.1211n n a a n+=+ 11. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若26S =，430S =，则1a =________，d =________. 12. 函数2()sin sin 21f x x x =--的最小正周期是_________，最大值是________.13. 已知圆C ：222440x y x y +-+-=，则圆心C 的坐标是__________，若过点()1,1P --直线l 交圆C于M 、N两点，且MN =l 的方程是_________.14. 已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值是___________，1y x +的取值范围是_________. 15. 已知函数1()4(0,)f x x t x t R x=++>∈，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的值域，则t 的取值范围是_________.16. 已知0a >，0b >，且21a b +=，则182b a b++的最小值为________.17. 已知1e ，2e 是平面内两个夹角为23π的单位向量，若()()12222a te t e t R =+-∈，则12222e e a a e +-+-的最小值为________.18. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos a b cA B C+=+. （1）求角A 的大小；（2）若3a =，求b c +的最大值.19. 如图，空间四边形ABCD 中，3AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=︒，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于点E 、F 、G 、H .（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若:1:2AE EB =，求异面直线BF 与DE 所成角的余弦值. 20. 已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n -=+>，数列{}n b 满足11b =，1122111(1)n n n a b a b a b a n --++++=>.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足2n n n a c b +=，求证：1234n c c c +++<. 21. 如图，在三棱锥C ABD -中，ABD △是边长为2的等边三角形，1BC =，BC CD ⊥且平面CBD ⊥平面ABD ，P ，E 分别为线段BD ，CD 的中点.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求直线AP 与平面ABC 所成角的正弦值.22. 已知函数421()421x x x x k f x +⋅+=++.（1）若对任意的x R ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； （2）若()f x 的最小值为-2，求实数k 的值；（3）若对任意的123,,x x x R ∈，均存在以()1f x ，()2f x ，()3f x 为三边长的三角形，求实数k 的取值范围.2020学年杭师大附中高二上期中试卷试题1-5：BADCC 6-10：ADCDD11. 134a =，92d = 12. 最小正周期为π13. ()1,2；1x =-或()3114y x +=+ 14. 2；1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 15. 7,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 16.25217.18.（1）解：∵cos cos cos a b cA B C+=+，∴cos cos cos cos a B a C b A c A +=+，由正弦定理得： sin cos sin cos sin cos sin cos A B A C B A C A +=+，∴sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C -=-，∴sin()sin()A B C A -=-，∴A B C A -=-或A B C A B C π-+-=-=（舍），∴2A B C =+， 又因为A B C π++=，∴3A π=.（2）解1： ∵3a =，∴2sin a R A ===sin )sin sin 3b c B C B B π⎤⎛⎫+=+=++ ⎪⎥⎝⎭⎦3sin 6sin 226B B B π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，∴203C B π=->，∴203B π<<，∴5666B πππ<+<， ∴36sin 66B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴b c +的最大值为6.（2）解2：∵22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，22()93932b c b c bc +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，∴2()94b c +≤，∴2()36b c +≤，∴6b c +≤，当且仅当3b c ==时取等号.19. 解：（1）∵//AD 面EFGH ，AD ⊂面ABD ，面ABD面EFGH EH =，∴//AD EH ，同理//AD FG ，∴//FG EH ，同理//EF GH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形. （2）∵13BF AF AB AC AB =-=-，13DE AE AD AB AD =-=-，∴1139BF AC AB =-=，同理7DE = ∵1133BF DE AC AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21193AC AB AC AD AB AB AD =⋅-⋅++⋅1111113333933923222⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯= ⎪⎝⎭，设异面直线BF 与DE 所成角为θ， 则11147o c s BF DE BF DEθ==⋅=，故异面直线BF 与DE 所成角的余弦值为114.20.（1）解：由题意，{}n a 是首项为1、公差为11n n a a --=的等差数列，故n a n =. ∵1122111(1)n n n a b a b a b a n --++++=>，故11221111(1)n n n n n a b a b a b a b a n --++++++=>，∴作差可得：1(1)n n n n a b a a n +=->，即11n n n n a a b a n+-==，其中1n >， 又1111b ==满足1n b n =，故()*1n b n N n=∈.（2）解：由（1）可得：21111(2)21n n n b c a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， 因此，121111111112323522n c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111113112212224n n ⎛⎫⎛⎫=+--<+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.21. 解：建立如图空间直角坐标系，以P 为原点，射线PD ，AP 分别为x ，y 轴正半轴，所以()0,0,0P ，()1,0,0D ，()1,0,0B -，()0,A，12C ⎛- ⎝⎭，14E ⎛ ⎝⎭. （1）144AE ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，3,0,22CD ⎛=- ⎝⎭，所以330088AE CD ⋅=+-=，即AE CD ⊥. （2）设平面ABC 的一个法向量为(),,m x y z=，则(AB =-，1,0,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，因为01022m AB x m BC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1y =，x =1z =-，即()3,1,1m =-.又因为()0,AP=，所以5sin ,AP m AP m AP m⋅==AP 与平面ABC22.（1）解：()0f x >恒成立，则4210x x k +⋅+>恒成立.令2x t =，0t >，则210t kt ++>恒成立，则有1k t t ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭恒成立.而max12t t ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，则2k >-.（2）解：令2x t =，0t >，则2211()111t kt kt t f x t t t t++++==++++，令1u t t =+，2u ≥， 则1()111u k k f x u u +-==+++，最小值为-2，则1123k -+=-，解得8k =-.（3）解：存在以()1f x ，()2f x ，()3f x 为三边长的三角形，则0max ()2min ()f x f x <<.则由()01u k f x u +=>+得2k >-.而1()111u k k f x u u +-==+++，2u ≥. ①当21k -<<时，11()13k f x -+≤<，∴2(1)123k -≤+得：112k -≤<； ②当1k =时，()1f x =，显然成立； ③当1k >时，121()133k k f x -+<≤+=，则223k +≥，14k <≤， 综上所述，k 的取值范围是1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
浙江省杭州市S9联盟2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题
杭州市S 9联盟2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 复数21i+(i 是虚数単位)=（ ） A. 1i +B. 12i −C. 22i +D. 1i −2. 已知直线l 过点()()1321G H −，，，， 则直线l 的方程为（ ） A. 470x y ++= B. 470x y −−= C. 23110x y −−=D. 470x y −+=3. “幸福感指数” 是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标， 常用区间[]010，内的一个数来表示， 该数越接近10表示满意度越高. 现随机抽取10位杭州市居民， 他们的幸福感指数为56677788910，，，，，，，，，. 则这组数据的80%分位数是（ ） A 7.5B. 8C. 8.5D. 94. 函数()13sin cos cos22f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ） A.1π，B.2π， C. 21π， D. 22π，5. 在直三棱柱ABC A B C '''−中， 侧棱长为4 ， 底面是边长为4的正三角形， 则异面直线 AB '与BC '所成角的余弦值为（ ） A.12B.33C.14D.5 6. 一条光线沿直线210x y −+=入射到直线50x y +−=后反射， 则反射光线所在的直线方程为（ ） A.490x y +−=B. 260x y −+=C. 30x y −+=D.490x y +−=7. 已知函数()2,9,x x x af x x x a⎧−≤=⎨−>⎩，若函数()()2g x f x x =−有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)0,∞+B. [)0,3C. [)1,−+∞D. [)1,3−8. 已知ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1.设点O 到边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d .若1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=−，则222123d d d ++=（ ） .A.34B. 1C.32D. 3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分.9. 如果0AB <，0BC >，那么直线0Ax By C ++=经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限10. 下列说法正确的是（ ）A. 直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B. 点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C. 过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x −−=−− D. 经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +−=或10x y −+=11. 已知函数21()21x x f x -=+，下面说法正确的有（ ）A. ()f x 的图象关于y 轴对称B. ()f x 的图象关于原点对称C. ()f x 的值域为()1,1− D 12,x x R ∀∈，且12x x ≠，()()12120f x f x x x −<−恒成立12. （多选题）正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则（ ）.A. 直线D 1D 与直线AF 垂直B. 直线A 1G 与平面AEF 平行C. 平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D. 点C 与点G 到平面AEF 的距离相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线的斜率为k ，若13k <<， 则直线的倾斜角的范围是___________. 14. 直线()()12120a x a y −−−+=恒过一定点， 则此定点为___________. 15. 已知三棱锥A BCD −中， AB ⊥面9022BCD BCD AB BC CD ∠====，，，， 则三棱锥的外接球的体积为___________.16. 已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，当x =______________.时，1141x y ++取得最小值.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为3354， ，在第二轮比赛中， 甲、乙胜出的概率分别为2132，. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.18. 己知直线2310x y −+=和直线20x y +−=的交点为P . （1）求过点P 且与直线310x y −−=平行的直线方程； （2）若直线 1l 与直线310x y −−=垂直，且P 到 1l 的距离为105，求直线的方程.19. 如图三棱柱，111ABC A B C -的所有棱长都相等，1160A AB A AC ︒∠=∠=，点M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接1A M ，设AB a =，AC b =，1AA c =.（1）用a ，b ，c 表示1A M ； （2）证明：1A M AB ⊥.20. 在ABC 中， 内角A B C ，，对边分别为a b c ，，， 且2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭.（1）求 A ;（2）请从问题①②中任选一个作答（若①②都做，则按①的作答计分） ①若2a =， 求ABC 周长的取值范围； ②求sin sin B C 的最大值.21. 己知O 为坐标原点， 倾斜角为56π的直线l 与x y ，轴的正半轴分别相交于点,A B AOB ，的面积为83（1）求直线l 的方程;（2）直线:3l y x '=， 点P 在l '上， 求PA PB +的最小值.的22. 已知四棱锥P ABCD −的底面ABCD 是平行四边形、侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 在棱DP 上， 且2DMMP =， 点N 是在棱PC 上的动点 (不为端点).（1）若N 是棱PC 中点， 完成: (i)画出PBD△重心G （在图中作出虚线），并指出点G 与线段AN 的关系；(ii) 求证: //PB 平面AMN ；（2）若四边形ABCD 是正方形， 且3AP AD ==， 当点N 在何处时， 直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值取得最大值， 并求出最大值.的。
2022-2023学年浙江省杭州第二中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省杭州第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知1:230l x y ++=，2:3610l x y ++=，则它们的距离为（ ）A B C D 【答案】A【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可，注意两直线的一般式的,A B 要一致. 【详解】由1:230l x y ++=，得1:3690l x y ++=，所以1l 与2l 的距离为d ==. 故选：A.2．用分层抽样的方法，从某中学3000人(其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人)中抽取若干人.已知从高一抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ） A ．24 B ．27 C ．30 D ．32【答案】B【分析】由题意求出样本容量，再利用分层抽样的定义求解即可 【详解】解：设从三个年级中共抽取x 人，则1200183000x =，解得45x =， 则从高二和高三年级共抽取的人数为100080045273000+⨯=，故选：B3．已知O 为空间任意一点，A 、B 、C 、P 满足任意三点不共线，但四点共面，且BP mOA OB OC =++，则m 的值为（ ） A ．1- B ．2-C ．3-D ．1【答案】B【分析】由题设条件推得2OP mOA OB OC =++，再由四点共面可求得2m =-.【详解】因为BP OP OB =-，所以由BP mOA OB OC =++得OP OB mOA OB OC -=++，即2OP mOA OB OC =++，因为O 为空间任意一点，A 、B 、C 、P 满足任意三点不共线，但四点共面， 所以211m ++=，故2m =-. 故选：B.4．已知直线1:21l x my +=，2:82l mx y m +=-，则“4m =-”是“12l l ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由直线的位置关系与充分必要条件的概念求解， 【详解】令228m ⨯=得4m =±，当4m =时1:241l x y +=，2:482l x y +=，12,l l 重合， 当4m =-时，12l l ∥，故“4m =-”是“12l l ∥”的充要条件， 故选：C5．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）A 3B 2C 2D 5【答案】D【分析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离．【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()1111,,1,0,0,1,1,0,,1,1,,22G D E F λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以11(1,0,)2D E =-，11(1,1,)2D F =-，1(0,,)2GE λ=--，设平面1D EF 的法向量为(,,)n x y z =， 则1110,210,2n D E x z n D F x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩令1x =，则0y =，2z =，所以平面1D EF 的一个法向量(1,0,2)n =．点G 到平面1D EF 的距离为1252||5GE n n -⨯⋅==．故选：D ．6．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A ．1()4P A =B ．事件A 与事件B 互斥C ．事件A 与事件B 相互独立D ．1()2P A B ⋃=【答案】C【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则21()42P A ==，A 不正确；事件B 含有的基本事件有8个：(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)，其中事件(2,1),(2,3),(3,2),(3,4)发生时，事件A 也发生，即事件A ，B 可以同时发生，B 不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，8141(),()()()162164P B P AB P A P B =====， 即事件A 与事件B 相互独立，C 正确；1113()()()()2244P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，D 不正确. 故选：C7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，14AA =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，则1BC 与1CA 所成角的正弦值为（ ） ABCD【答案】D【分析】先利用基底表示向量11,BC CA ，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】解：11111,BC AD AA CA AA AC AA AD AB =+=-=--， 则()()1111BC CA AD AA AA AD AB ⋅=+⋅--，2211116AD AA AD AD AB AA AD AA AB AA =⋅--⋅+-⋅-⋅=，()222111122BC AD AA AD AD AA AA =+=+⋅+=()2211CA AA AD AB =--，22211122223AA AD AB AA AD AB AA AD AB =++-⋅-⋅+⋅=1111113cos ,2BC CA BC CA BC CA ⋅==⋅ 所以11sin ,1BC CA =故选：D8．在正ABC 中，M 为BC 中点，P 为平面内一动点，且满足2PA PM =，则PBPM的最大值为（ ）AB C D ．1【答案】A【分析】建立直角坐标系，由2PA PM =求得P 点轨迹，再将22PB PM 转化为关于212y t x =+的函数，利用直线斜率的几何意义求得t 的范围，进而求得22PB PM 的最大值，从而PB PM 的最大值可求.【详解】依题意，以M 为坐标原点，以BC 为x 轴，以MA 为y 轴建立直角坐标系如图1， 不妨设正三角形ABC 的边长为 2，则(0,0),(1,0)A M B -, 设(),P x y ,则(222222,PA x y PM x y =+=+， 222,4PA PM PA PM =∴=，(222244x y x y ∴+=+，即2210x y y +-=，即2243x y ⎛+= ⎝⎭， P ∴点轨迹为：()22403x y y ⎛+=> ⎝⎭，则22333x y +=-， 所以()22222222222222121216311133x y PB x x y x x PM x y x y x y x y +++++++===+=+=++++116111x x ⎛⎫++⎪=== 当12x =-时, 221PB PM =，即1PB PM =； 当12x ≠-时,令212y t x =+, 则t 表示(),P x y与12Q ⎛- ⎝⎭连线的斜率，如图2，且2211PB PM t =，设直线12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与圆2243x y ⎛+= ⎝⎭相切，直线化为220kx y k -+，则圆心到直线距离d ==,解得k =k =,)t ∞∞⎛∴∈-⋃+ ⎝⎦，故1t ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦，则当1t =时，22PB PM取得最大值为1613⎛= ⎝⎭， PB PM ∴综上：PB PM 的最大值为433. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键有两个，一个是建立直角坐标系，求得P 点轨迹方程，且将22PB PM 转化为关于3212y t x =+的函数，另一个是利用直线斜率的几何意义求得t 的范围.二、多选题9．已知空间向量(1,2,4),(2,4,)m n x =-=-，则下列选项中正确的是（ ） A ．当m n ⊥时，3x = B ．当//m n 时，8x =- C ．当||5m n +=时，4x =- D ．当1x =时，35sin ,7m n <>=【答案】BCD【分析】A 选项，根据垂直得到数量积为0，列出方程，求出52x =，A 错误； B 选项，根据向量平行列出方程组，求出8x =-；C 选项，根据向量运算法则计算出m n +，利用模长公式列出方程，求出4x =-；D 选项，先利用向量夹角余弦公式计算出两向量夹角的余弦，进而计算出正弦值.【详解】当m n ⊥时，()()·122441040mnx x =-⨯+⨯-+=-+=，解得：52x =，故A 错误； 令m n λ=，则()()12424x λλλ-=-，，，，，21142284x x λλλλ=-⎧⎧=-⎪⎪-=⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎩，故B 正确； ()()12,24,41,2,4m n x x +=-+-+=-+，所以22221(2)(4)5(4)5m n x x +=+-++++解得：4x =-，故C 正确；当1x =，122441·2cos ,,·72121m n m n m n -⨯+⨯-+⨯===-⨯，因为[],,0,πm n ∈，sin ,1m n =-，故D 正确．故选：BCD10．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）A ．恰有1名女生和恰有2名女生B ．至少有1名男生和至少有1名女生C ．至少有1名女生和全是女生D ．至少有1名女生和全是男生【答案】AD【分析】逐个选项分析事件之间是否有同时发生的可能性再判断即可.【详解】A 中两个事件是互斥事件,恰有一名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生,它与恰有2名女生不可能同时发生，A 是；B 中两个事件不是互斥事件,两个事件均可能有一名男生和一名女生，B 不是；C 中两个事件不是互斥事件,至少一名女生包含全是女生的情况，C 不是；D 中两个事件是互斥事件,至少有一名女生与全是男生显然不可能同时发生，D 是. 故选：AD11．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的可能取值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．8【答案】BC【解析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，可得圆心C 到(0,0)O 的距离为5，得到圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，最小值为4，再由90APB ∠=︒，可得12OP AB m ==，从而得到m 的取值范围，结合选项得答案【详解】解：圆()()22:341C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径为1，因为圆心C 到(0,0)O 的距离为5，所以圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，最小值为4， 因为圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，所以以AB 为直径的圆与圆C 有交点， 所以12OP AB m ==，所以46m ≤≤， 所以选项BC 符合题意， 故选：BC【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，解题的关键是求出圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，最小值为4，再由圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，得以AB 为直径的圆与圆C 有交点，从而可求出46m ≤≤，考查转化思想，属于中档题 12．已知实数x ，y 满足21x y +=，记22z =，则z 的值可能是（ ）A ．0 BC．10D ．1【答案】BCD【分析】通过三角换元后借助于辅助角公式结合已知即可求得z 的范围.【详解】()(22222272144xy z x y -+=-因为22720x y -≠，z =设cos ,sin x r y r θθ== 故12cos sin r θθ=+12cos =2cos sin z r θθθθ+=++2cos sin 12cos sin =1z z z z θθθθθ⎛++⇒+ ⎝⎭有解1，故27502z -+≥即()21070710z -+≥⇒--≥所以z ≥或z ≤，易知0z ≠ 故选：BCD【点睛】利用三角换元有效的减少了运算量进而使得问题更加清晰. 对辅助角公式有一个更加深入的理解，利用方程的等价转化简化问题.三、填空题13．直线l 过(1,2)-且与圆221x y +=相切，则直线l 的方程为_____________. 【答案】1x=-或3450x y +-=【分析】由直线与圆相切得d r =，分类讨论直线l 斜率存在与否两种情况，利用点线距离公式求得相应参数，由此求得直线l 的方程.【详解】依题意，得圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1r =，当直线l 斜率不存在时，直线l 方程为=1x -，此时圆心()0,0O 到直线l 的距离为1d =，故d r =，即直线l 与圆相切，满足题意；当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为()21y k x -=+，即20kx y k -++=，此时200211k d r k -++===+，解得34k =-，所以直线l 方程为()3214y x -=-+，即3450x y +-=； 综上：直线方程为1x=-或3450x y +-=. 故答案为：1x=-或3450x y +-=.14．如图，大小为120︒的二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l .若2MN =，3PM =，4NQ =，则PQ =_____________.41【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，由二面角l αβ--大小为120︒，可得,60PM NQ =，22()PQ PM MN NQ =++222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ =+++⋅+⋅+⋅19416234412=+++⨯⨯⨯=， 所以41PQ = 4115．关于x 的不等式224331kx x k -≤+恒成立，则k 的取值范围是__________.【答案】()2,222,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣【分析】先由题设条件求得22x -≤≤，再将不等式转化为上半圆C 上任意一点到直线l 的距离小于或等于3，结合图像，可得200311k --≤+，由此可得k 的取值范围.【详解】由题意可得240x -≥，得22x -≤≤， 则原不等式可转化为224331kx x k ---≤+在[]2,2x ∈-上恒成立，设直线:30l kx y --=，上半圆()22:40C x y y +=>，即24y x =-，半径为2r =，则由点线距离公式可知，224331kx x k ---≤+表示上半圆C 上任意一点到直线l 的距离小于或等于3，且直线:30l kx y --=过定点()0,3-，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于上半圆C 上的点到直线l 的最大距离为2d r d +=+，所以23d +≤，即1d ≤，即200311k --≤+，解得22k ≤-或22k ≥，所以k 的取值范围为()2,222,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣. 故答案为：()2,222,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣.四、双空题16．某电池厂有A ，B 两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的平均数及方差，结果如下：项目 抽取成品数样本平均数样本方差A 生产线产品 8 210 4B 生产线产品 122004则20个产品组成的总样本的平均数为__________，方差为__________.【答案】 204 28【分析】先由平均数的定义求得204z =，再利用方差与平均数的公式分别求得8122211,i i i i x y ==∑∑，进而求得228S =.【详解】依题意，设A 生产线产品的样本为i x ，平均数为210x =，B 生产线产品的样本为i y ，平均数为200y =，两生产线的样本为i z ，平均数为z ，则8128210122002042020x y z +⨯+⨯===， 又88222221111210488A i i i i S x x x ==-=-==∑∑，121222222111120041212B i i i i S y y y ==-=-==∑∑，所以()()81222221184210,124200ii i i x y ===⨯+=⨯+∑∑，所以20812222222111112042020i i i i i i S z z x y ===⎛⎫=-=⨯+- ⎪⎝⎭∑∑∑()()2221842101248200220204⎡⎤=⨯⨯+++-⎦=⨯⎣. 故答案为：204;28.五、解答题17．已知ABC 的三个顶点分别为(5,1)A -、(1,1)B 、(2,3)C . (1)求AC 的垂直平分线的一般式方程； (2)求ABC 的面积.【答案】(1)68130x y --=； (2)5.【分析】（1）求得AC 的中点坐标，结合直线垂直求得AC 垂直平分线的斜率，即可求得直线方程； （2）根据AC 的长度以及点B 到直线AC 的距离，即可求得三角形面积. 【详解】（1）根据中点坐标公式，AC 中点的坐标7,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，又43AC k =-，所以垂直平分线的斜率为34，所以其方程为37()142y x =-+，即68130x y --=.（2）根据（1）中所求可得直线AC 的方程为：()4233y x =--+， 整理得：43170x y +-=， 又5AC =点()1,1B 到直线AC 的距离431725d +-==，故三角形ABC 的面积1||52ABC S AC d =⋅=△. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AD ，PB 的中点．(1)证明：EF ∥平面PCD ．(2)求直线P A 与平面CEF 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)32【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证， （2）建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角.【详解】（1）如图，设M 为PC 的中点，连接FM ，MD ．因为F ，M 分别为PB ，PC 的中点，所以1,2FM BC FM BC =∥． 在正方形ABCD 中，1,2DE BC DE BC =∥，所以,DE FM DE FM =∥． 所以四边形DEFM 为平行四边形，DM EF ∥． 因为DM ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ．（2）以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设2PD DC ==，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A C P E F ，(0,1,1),(1,2,0),(2,0,2)EF EC AP ==-=-．设平面CEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,EF n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20,y z x y +=⎧⎨-+=⎩令2x =，则(2,1,1)n =-．设直线P A 与平面CEF 所成角为θ， 则3sin |cos ,|||2|||AP n AP n AP n θ⋅=〈〉==， 故直线P A 与平面CEF 所成角的正弦值为32． 19．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率. 【答案】(1)0.015a =，中位数为2203，平均数为72 (2)310【分析】（1）根据频率分布直方图的性质以及中位数和平均数的概念，进行计算即可得解； （2）根据分层抽样在[60，70）内的有2人，分别记为A ，B ；问答成绩在[70，80）内的有3人分别记为a ，b ，C ，从中任意抽取2人，列出实验的样本空间，再利用概率公式，进行计算即可得解. 【详解】（1）由图可知，10(20.0050.020.0250.03)1a ⨯⨯++++=，解得0.015a =.设中位数为x ，则0.050.150.20.3(70)0.5x +++⨯-=，所以2203x =. 这100人问答成绩的平均数约为450.05550.15650.2750.3850.25950.0572⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本， 则问答成绩在[60，70）内的有25223⨯=+人，分别记为A ，B ； 问答成绩在[70，80）内的有35323⨯=+人分别记为a ，b ，C. 从中任意抽取2人，则实验的样本空间Ω={（A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ）}，共有10个样本点.设事件A 为2人的问答成绩均在[70，80）内的概率， 则{(,),(,),(,)}A a b a c b c =，所以这2人的间答成绩均在[70，80）内的概率3()10P A =. 20． 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，23AB =，124AC BB BC ===，且D 为线段AB 的中点，连接1A D ，CD ，1B C .(1)证明：1BC A D ⊥；(2)求平面11B A C 与平面1A CD 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； 3465【分析】（1）通过证明BC ⊥面11ABB A ，即可由线面垂直证明线线垂直；（2）以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，写出对应点和向量的坐标，求得两个平面的法向量，再求两平面夹角的余弦值即可.【详解】（1）证明：因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥；因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥； 因为1AA AB A =，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以BC ⊥面11ABB A ；又因为1A D ⊂平面11ABB A ，所以1BC A D ⊥. （2）以B 为原点，建立空间直角坐标系如下所示：则(0,0,0)B ，(23,0,0)A ，(0,0,2)C ，()123,4,0A ，1(0,4,0)B ，1(23,4,0)C ，(3,0,0)D ， (23,0,2)CA =-，(3,0,2)CD =-，1(3,4,0)DA =，11(23,0,0)B A =，1(0,4,2)B C =-.设平面11A B C 的法向量为111(,,)n x y z =，则11100n B A n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以111230420x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨取(0,1,2)n =；设平面1A CD 的法向量为222(,,)m x y z =，则100m CD m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2222320340x z x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，不妨取(4,3,3)m =--；设平面11B A C 与平面1A CD 夹角为θ， 则333465cos ||||531m nm n θ⋅-===⨯， 即平面11B A C 与平面1A CD 3465. 21．已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲､乙､丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲､乙､丙三名考生材料初审合格的概率分别是111,,324，面试合格的概率分别是112,,233.(1)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； (2)求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；(3)求甲､乙､丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率. 【答案】(1)518(2)91216(3)512【分析】（1）甲､乙两位考生中有且只有一位获得录取资格，求()P P AB AB =+即可. （2）只需求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件的概率即可. （3）由独立事件的乘法公式即可求解.【详解】（1）设事件A 表示“甲获得该高校综合评价录取资格”， 事件B 表示“乙获得该高校综合评价录取资格”， 则()()111111,326236P A P B =⨯==⨯=，∴甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为： ()()()()()P P AB AB P A P B P A P B =+=+1111511666618⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设事件C 表示“丙获得该高校综合评价录取资格”， 则()121436P C =⨯=，三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的 对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格， ∴三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为： 111911()1111666216P P ABC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（3）记X 为甲､乙､丙三名考生中获得该高校综合评价录取资格的人数， 则甲､乙､丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率()()12P P X P X ==+=，又()111751113666216P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.()11115213666216P X ⎛⎫==-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以()()751551221621612P P X P X ==+==+=.22．已知圆22:(3)9M x y -+=以及圆22:4C x y +=.(1)求过点（1，2），并经过圆M 与圆C 的交点的圆的标准方程； (2)设(2,0)D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于P 、Q 两点.（i ）过点D 作与直线l 1垂直的直线l 2，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；（ii ）设B (6，0)，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)2231724x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(2)（i ）17；（ii ）6x =-【分析】（1）联立两圆求交点，根据几何法求圆心和半径，可得答案；（2）（i ）由题意设出直线方程，利用弦长公式，求得弦长，利用基本不等式，可得答案； （ii ）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，利用两直线求交点，求点N 的横坐标表示，可得答案.【详解】（1）联立两圆方程，可得2222(3)94x y x y ⎧-+=⎨+=⎩，消去y 整理可得：226949x x x -++-=，解得23x =，则42y = 则所求圆所过点分别为()1,2A ，12423A ⎛ ⎝⎭，2242,3A ⎛ ⎝⎭， 由12A A 的中垂线为x 轴，则可设圆心(),0H a ，由1AH A H =32a =，故所求圆的半径1r ==H 的标准方程为2231724x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.（2）（i ）由22:(3)9M x y -+=，则圆心()3,0M ，半径3r =， 由直线1l 过点D 且斜率非0，则可设1:20l kx y k --=， 即点M 到直线1l的距离1d =QP == 由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，则可设2:20l x ky +-=， 即点M 到直线2l的距离2d =EF ===，故()22171112217221k S EF QP k +=⋅⋅=⋅=+，当且仅当229889k k +=+，即1k =±时，取等号， 故四边形EPFQ 的面积为S 最大值为17.（ii ）设()()1122,,,P x y Q x y ，设直线:2PQ x my =+，联立22(3)92x y x my ⎧-+=⎨=+⎩，消x 得()221280m y my +--=，则12122228,11m y y y y m m -+==++，即12124y y my y +=-， 直线OP 的方程为11y y x x =，直线BQ 的直线方程为()2266y y x x =--， 联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，消y 得()121266y y x x x x =--， 解得()12121266x y x x y y x =--()()()1212126224my y my y y my +=+--，由12124y y m y y +=-，则()12124my y y y =-+，即()()1221221212323442622my y y y y y y y y y +--+==-++， N 在定直线6x =-.。
2022-2023学年浙大附中玉泉、丁兰高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年浙大附中玉泉、丁兰高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线l 310y -+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．2π 【答案】C【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系即可求解. 【详解】解：由题意得：直线l 310y -+=可化为13y x =+∴直线l l 的倾斜角为α，则tan α=又[)0,απ∈所以6πα=故选：C2．已知直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则“0m n ⋅=”是“//l α”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】若0m n ⋅=，则//l α或l ⊂α，故充分性不成立， 若//l α，则0m n ⋅=，必要性成立， 故“0m n ⋅=”是“//l α”的必要不充分条件， 故选：C3．若直线1:210l mx y -+=与2:(1)20l m x my -++=互相垂直，则实数m =（ ） A ．23B ．32C ．1-或0D ．32或0【答案】D【分析】根据直线一般式方程下两直线垂直的充要条件列方程，即可得实数m 的值. 【详解】解：若直线1:210l mx y -+=与2:(1)20l m x my -++=互相垂直，则()()2110m m m -+-⋅=，即2230m m -=，解得32m =或0m =. 故选：D.4．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 在面对角线1A B 上,满足1113A E AB =,点F 为面对角线11B D 的中点,若1AA a =,AB b =,AD c =,则EF =（ ）A ．111362a b c ++B ．111632a b c ++C ．111236a b c ++D ．111623a b c ++【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算,再结合空间向量基本定理求解. 【详解】点E 在面对角线1A B 上,满足1113A E AB =, ∴()1111133EA BA AA AB ==-.点F 为面对角线11B D 的中点, ∴()()1111111111222D F D B A B A D AB AD ==-=-. ∴()()111111132EF EA A D D F AA AB AD AB AD =++=-++-,1AA a =,AB b =,AD c =,()()1111132362EF a b c b c a b c =-++-=++. 故选:A.5．某学校高一年级、高二年级、高三年级的学生数量之比为2::1m ，为了解该校学生的住宿情况，现用比例分配的分层抽样方法抽取一个容量为n 的样本，在样本中，高二年级学生比高一年级多40位，比高三年级多80位，则n =（ ） A ．240B ．280C ．320D ．360【答案】A【分析】根据各年级学生数量比及样本数量关系列方程求各年级的学生人数，即可得样本容量. 【详解】设抽取的高一、高二、高三学生的数量分别为,,a b c ， 则4080b a c =+=+，且2a c =，解得80,120,40a b c ===， ∴240n a b c =++=. 故选：A6．已知x ，y 满足222230x y x y ++--=，若不等式20x y c +-<恒成立，则c 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞- B ．(4,)+∞ C ．(6,)+∞ D ．(6,4)-【答案】B【分析】不等式20x y c +-<恒成立，只需()max 2c x y >+，2x y +可以看作是直线2y x m =-+在y 轴上的截距，当直线2y x m =-+与圆222230x y x y ++--=相切时，纵截距m 取得最大值或最小值，然后根据点到直线的距离公式求解即可.【详解】因为222230x y x y ++--=可化为()()22115x y ++-=，表示的是以()1,1-径的圆，2x y +可以看作是直线2y x m =-+在y 轴上的截距，当直线2y x m =-+与圆222230x y x y ++--=相切时，纵截距m 取得最大值或最小值，=4m =或6m =-，所以()max 24x y +=，又因为不等式20x y c +-<恒成立，所以()max 24c x y >+=， 则c 的取值范围是(4,)+∞. 故选：B.7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且0OA OB ⋅=，M 为线段AB 中点，其坐标为(),a b 24a b =+-，则OM 的最小值为（ ）A B C D 【答案】B【分析】由已知可得以AB 为直径的圆过点O ，对条件变形得到OM =得到圆M 与直线240x y +-=相切，从而得到圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，即以AB 为直径的圆过点O ， 因为M 为线段AB 中点，坐标为(),a b ，524OM a b =+-， 则245a b OM +-=，几何意义为圆M 的半径与点M 到直线240x y +-=的距离相等， 即圆M 与直线240x y +-=相切，则圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半， 即41251254-⨯=+. 故选：B8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为AB 的中点，将△ADM 沿DM 翻折．在翻折过程中，当二面角A —BC —D 的平面角最大时，其正切值为A ．33B ．12C ．23D ．14【答案】B【分析】取CD 的中点S ，DM 的中点为N ，则折叠后有DM ⊥平面ASN ，在四棱锥A DMBC -中过点A 作SN 的垂线，垂足为O ，再过O 作BC 的垂线，垂足为T ，连接AT ，则ATO ∠为二面角A BC D --的平面角，可用ANS ∠的三角函数表示ATO ∠的正切值，利用导数可求其最大值．【详解】取CD 的中点S ，DM 的中点为N ，因为ADM ∆为等腰三角形，故AN DM ⊥，同理SN DM ⊥，AN SN N ⋂= ，所以有DM ⊥平面ASN ．因为DM ⊂平面DMBC ，故平面ANS ⊥平面DMBC ．在四棱锥A DMBC -中过点A 作SN 的垂线，垂足为O ，再过O 作BC 的垂线，垂足为T ，连接AT ． 因为AO SN ⊥，AO ⊂平面ANS ，平面ANS ⋂平面DMBC SN =，故AO ⊥平面DMBC ． 因为BC ⊂平面DMBC ，故AO BC ⊥，又OT BC ⊥，AO OT O ⋂=，故BC ⊥平面AOT ，又AT ⊂平面AOT ，故AT BC ⊥，所以ATO ∠为二面角A BC D --的平面角．设ANS α∠=，则AO α=，)1cos SO α=-，)3111cos cos 22OT αα=-=-，所以tan 3cos ATO αα∠=-，其中()0,απ∈．令()sin 3cos f ααα=-，则()()23cos 1'3cos f ααα-=-，令()00,απ∈且01cos 3α=， 当()00,αα∈时，()0f α>；当()0,ααπ∈时，()0f α<；所以()()0max f f αα==()max 1tan 2ATO ∠=，故选B ．【点睛】二面角的平面角的大小或最值的计算，应先构造二面角的平面角，然后在可解的三角形（最好是直角三角形）中讨论该角．注意最值的计算可以通过目标函数的单调性讨论得到．二、多选题9．某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了10个用户，得到用户对产品的满意度评分如下表所示，评分用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，则下列说法正确的是（ ）A ．这组数据的平均数为6B ．这组数据的众数为7C ．这组数据的极差为6D ．这组数据的75%分位数为9【答案】BCD【分析】由平均数、众数、极差、百分位数的定义即可得出答案. 【详解】这组数从小到大排列为：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10， 计算这组数据的平均数为1(44577789910)710⨯+++++++++=，选项A 错误；这组数据的众数是7，选项B 正确； 这组数据的极差是1046-=，选项C 正确；因为10×75%=7.5，且第8个数是9，所以这组数据的75%分位数为9，选项D 正确. 故选：BCD.10．已知a ，b ，c 是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） A ．若0xa yb zc ++=，则0x y z === B ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面 C ．+a b ，b c -，2c a +一定能构成空间的一个基底 D ．一定存在实数x ，y ，使得a xb yc =+ 【答案】ABC【分析】由已知，选项A ，可使用反证法，假设结论不成立来推导条件；选项B ，可根据基底的定义和性质来判断；选项C ，可先假设+a b ，b c -，2c a +共面，得到无解，即可判断+a b ，b c -，2c a +组成基底向量；选项D ，由a ，b ，c 不共面可知，不存在这样的实数.【详解】选项A ，若,,x y z 不全为0，则a ，b ，c 共面，此时与题意矛盾，所以若0xa yb zc ++=，则0x y z ===，该选项正确；选项B ，由于a ，b ，c 是空间的一个基底，根据基底的定义和性质可知，a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面，该选项正确；选项C ，假设+a b ，b c -，2c a +共面， 则+()(2)a b k b c c a λ=-++，此时1=2=1=k k λλ⎧⎪⎨⎪⎩，无解，所以+a b ，b c -，2c a +不共面，即可构成空间的一个基底，所以该选项正确； 选项D ，a ，b ，c 不共面，则不存在实数x ，y ，使得a xb yc =+，故该选项错误. 故选：ABC.11．设动直线:230(R)l mx y m m --+=∈交圆22:(3)(2)3C x y -+-=于A ，B 两点（C 为圆心），则下列说法正确的有（ ） A ．直线l 过定点()2,3PB ．当||AB 取得最大值时，1m =C ．当ACB ∠最小时，其余弦值14D ．AB AC ⋅的取值范围是[2,6]【答案】AD【分析】对于A ，将直线方程化为(2)30m x y --+=，可得定点坐标； 对于B ，根据直线l 经过圆心C 时，||AB 取得最大值，可得1m =-；对于C ，设圆心()3,2C 到直线l 的距离为d，根据||AB =得到||AB 的最小值为2，根据余弦定理得到21cos 1||6ACB AB ∠=-，根据ACB ∠最小值时，||AB 最小可求出cos ACB ∠；对于D ，根据平面向量数量积得到AB AC ⋅=21||2AB，由2||AB ≤≤AB AC ⋅的取值范.【详解】对于A ，由230mx y m --+=，得(2)30m x y --+=，由2030x y -=⎧⎨-+=⎩，得2,3x y ==，所以直线:230l mx y m --+=过定点(2,3)P ，故A 正确； 对于B ，由22(3)(2)3x y -+-=可知，圆心()3,2C，半径r = 当直线l 经过圆心()3,2C 时，||AB取得最大值 所以32230m m --+=，解得1m =-，故B 不正确；对于C ，显然点P 在圆C 内，设圆心()3,2C 到直线l 的距离为d ，则||AB==，因为||d PC ≤=PC l ⊥时，等号成立，所以2AB ≥=，所以222||||||cos 2||||AC BC AB ACB AC BC +-∠=⋅2=211||6AB =-， 因为cos y x =在[0,π]单调递减，ACB ∠在[0,π]内，所以当ACB ∠最小时，cos ACB ∠最大，||AB 最小，因为||AB 的最小值为2，所以此时cos ACB ∠=111463-⨯=，故C 不正确；对于D ，因为AB AC ⋅||||AB AC =⋅cos BAC ⋅∠1||2||||||AB AB AC AC =⋅⋅21||2AB =， 由B 知，2||AB ≤≤，所以21||[2,6]2AB ∈，即AB AC ⋅的取值范围是[2,6]，故D 正确.故选：AD12．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别为棱11A D ､1AA 的中点，G 为面对角线1B C 上一个动点，则下列选项中正确的是（ ）A ．三棱锥1A EFG -的体积为定值13.B ．存在∈G 线段1BC ，使平面//EFG 平面1BDC .C ．G 为1B C 上靠近1B 的四等分点时，直线EG 与1BC 所成角最小.D ．若平面EFG 与棱AB ，BC 有交点，记交点分别为M ，N ，则MF MN +的取值范围是5,13⎡⎣.【答案】ACD【分析】利用锥体的体积公式可判断A 选项的正误；以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BC 选项的正误；设,AM y =则21BN y=-，则211M y F MN +=+，根据y 的范围可判断D 选项的正误．【详解】对于A 选项，因为∈G 平面11BB C C ，平面11//BB C C 平面11AA D D ， 所以，点G 到平面11AA D D 的距离等于AB ， 1A EF 的面积为1111122A EF S A E A F =⋅=△， 所以，111111123323A EFG G A EF A EF V V S AB --==⋅=⨯⨯=△，A 选项正确；对于BC 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,0D 、()12,0,2A 、()12,2,2B 、()10,2,2C 、()10,0,2D ，()1,0,2E 、()2,0,1F ，设平面1BDC 的法向量为()111,,m x y z =，()2,2,0DB =，()10,2,2DC =， 由11111220220m DB x y m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11y =-，可得()1,1,1m =-， 设()()12,0,22,0,2CG CB λλλλ===，可得点()2,2,2G λλ，其中01λ≤≤， 则()21,2,22EG λλ=--，所以21222450m EG λλλ⋅=--+-=-=，解得[]50,14λ=∉，故平面EFG 与平面1BDC 不平行，B 选项错误，()21,2,22EG λλ=--，()12,0,2BC =-，设直线EG 与1BC 所成角为θ， 则()()11221cos cos ,2142222EG BC EG BC EG BC θλλ⋅=<>==⋅-++-⋅2216241831694λλλ==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 当34λ=时，cos θ取得最大值，此时θ最小，C 选项正确； 对于D 选项，延长EF 和DA 并相交于点K ，作1//PN BC 交BC 于N ，P 在线段1C C 上，此时PN 与1B C 的交点即为G ，连接KN 交AB 于M ，如图所示： 设,AM y =则21BN y=-，所以()()222221,2y MF y MN y y -=+=-+则()()222222222211211121MF M y y y y y y yy y N y -⎛⎫-++-+=++=+=+ =⎪⎝⎭+ 由于[]210,2BN y =-∈，得223y ≤≤，所以MF MN +∈5,13⎡⎤⎣⎦，D 正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间向量及函数思想的应用.三、填空题13．已知空间向量(2,6,),(1,3,2)a x b =-=-，若a b ∥，则x =____________． 【答案】4【分析】直接根据空间向量平行的判定条件进行求解即可. 【详解】已知()2,6,a x =-，()1,3,2b =-，由//a b ，得a b λ=，即22x λλ=⎧⎨=⎩，解得2λ=，4x =.故答案为：414．已知(1,4),(2,1),(0,5)A B C 为圆O 上的点，则圆O 的方程为____________．【答案】2262150x y x y ++--=【分析】设圆O 的方程为220x y Dx Ey F ++++=将A 、B 、C 点的坐标代入，可得D 、E 、F 的值，即可得答案.【详解】设圆O 的方程为2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，， 因为点A 、B 、C 在圆O 上，所以1164041202550D E F D E F E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得6215D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆O 的一般方程为2262150x y x y ++--=，标准方程为22(3)(1)25x y ++-=. 故答案为： 2262150x y x y ++--=15．如图，两条异面直线a ，b 所成角为60︒，在直线上a ，b 分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA a '⊥且AA b '⊥．已知2A E '=，3AF =，23EF =．则线段AA '的长为____________．【答案】4或2【分析】根据向量的线性运算可得FE FA AA A E ''=++，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意已知可得结果.【详解】由题意知，FE FA AA A E ''=++，所以22()FE FA AA A E '=++'， 展开得2222222FE FA AA A E FA AA FA A E AA A E =+++⋅+⋅'''''+⋅'，异面直线a ，b 所成角为60︒，代入223940223cos600AA =+++±⨯︒+'⨯， 所以4AA '=或2AA '=， 故答案为：4或216．已知平面上任意一点()000,P x y ，直线:l y kx b =+，则点P 到直线l 的距离为0021kx y b d k -+=+当点()000,P x y 在函数()y f x =图象上时，点P 到直线l 的距离为()0021kx f x bd k-++，请参考该公式．求出22312321(,R)x x t t x t +--+-+-∈的最小值为____________．【答案】632- 【分析】令223131222222t t x x u -+-+--=⨯+⨯，将问题转化为函数21y x =-图象上的点到直线30x y -+=的距离的2倍与到302x y +-=的距离之和的22倍的和，即可求得最小值． 【详解】令223131222222t t x x u -+-+--=⨯+⨯，221231312,22t t x x u u -+-+--==，∴1u 表示函数21y x =-图象上的点到直线30x y -+=的距离，2u 表示函数21y x =-图象上的点到直线302x y +-=的距离， ∴目标式几何意义：半圆函数21y x =-图象上的点到直线30x y -+=的距离的2倍与到302x y +-=的距离之和的22倍的和.根据圆上的点到与圆相离的直线的距离最小值为圆心到直线的距离与半径之差，2122132322632222⎫⎫+-=-=-⎪⎪⎭⎭． 故答案为：632-.四、解答题17．从①sin sin (3)sin c C a A c b B -=-；②sin 2323A A =线处并解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，23AB =____________． (1)求角A ；(2)若ABC 的面积为33ABC 外接圆的周长． 【答案】(1)π6A =(2)【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒等变换即可；（2）利用三角形面积公式可得AC ，进而根据余弦定理可得BC ，再根据正弦定理可得求ABC 外接圆半径与周长即可. 【详解】（1）选择条件①：因为)sin sin sin c C a A b B -=-，由正弦定理，可得)22c a bb -=-，即222b c a +-，所以222cos 2b c A bc a +==-. 因为()0,πA ∈，所以π6A =.选择条件②：因为sin 22A A +=所以π2sin 23A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 23A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为()0,πA ∈，所以ππ7π2,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π2π233A +=，π6A =.（2）由三角形面积公式有1sin 2ABCSAB AC A =⋅⋅=6AC =，由余弦定理可得2222cos 12362612BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯=，即BC = 故ABC 外接圆半径R满足22R ==故外接圆周长2πR =.18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如下图：(1)求直方图中x 的值； (2)求月平均用电量的中位数；(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为[220,240)的居民中应抽取多少户？ 【答案】(1)0.0075x = (2)224 (3)5【分析】对于（1），由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案； 对于（2），在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图面积相等，据此可得答案; 对于（3），利用频率估计月平均用电量为[220,240)的居民在四组中所占比例，即可得答案. 【详解】（1）因直方图中，各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1， 则()0.0020.00250.0050.00950.0110.0125201x ++++++⨯=， 得0.0075x =.（2）因前3个矩形面积之和为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<. 前4个矩形面积之和为()0.0020.00950.0110.0125200.70.5+++⨯=>. 则中位数在[)220,240内，设为y ，则()2200012505045...y -⨯=-， 得224y =.即中位数为224.（3）月平均用电量为[220,240)的居民对应的频率为：0.0125200.25⨯=.又由（2）分析可知，月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组居民对应频率之和为：1045055..-=. 则应抽取居民的户数为：025115055..⨯=. 19．某公园有一圆柱形景观建筑物，底面直径为45筑物的东西两侧有与直道平行的两段轴道，观景直道与辅道距离6米．在建筑物底面中心O 的东北方向102米的点A 处，有一台360︒全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决下列问题：(1)在西辅道上与建筑物底面中心O 距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？ (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度． 【答案】(1)不在监控范围内 (2)24米【分析】（1）将问题转化为判断直线与圆的位置关系即可；（2）根据直线与圆相切或相离时在监控范围内，利用直线与圆相切时的等量关系求解. 【详解】（1）设O 为原点，正东方向为x 轴，建立如图所示坐标系，(0,0),O 因为102,45OA AOx =∠=，则(10,10),A 依题意得，游客所在位置为(5,0)B -, 则直线AB 的方程为：51015y x +=化简得23100x y -+=， 所以圆心O 到直线AB 的距离101013251349d ==<+， 所以直线AB 与圆O 相交，所以游客不在该摄像头的监控范围内.（2）观景直道所在直线方程为y =-6，由图易知，过A 的直线与圆O 相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，所以设直线l 过点A 且和圆相切，若直线l 垂直于x 轴，则直线l 不会和圆相切； 若直线l 不垂直于x 轴，设:10(10)l y k x -=-， 整理得:10100l kx y k -+-=， 所以圆心O 到直线l 的距离为2101025,1k k -=+解得12k =或2k =， 所以1:10(10)2l y x -=-或102(10)y x -=-，即2100x y -+=或2100x y --=， 设两条直线与y =-6的交点为,,D E由2100,6x y y -+=⎧⎨=-⎩解得22x =-， 由2100,6x y y --=⎧⎨=-⎩解得2x =， 所以2(22)24DE =--=,所以观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为24米.20．已知长方体1111,2ABCD A B C D AB BC -==．(1)若13BB =，求点D 到平面11A BC 的距离； (2)若二面角111A BC B --的平面角的余弦值为217，求直线1BB 平面11A BC 所成角的正弦值． 【答案】(1)62211(2)77【分析】（1）连接11B D ，与11A C 交于点M ，过D 作DN BM ⊥于N ，连接DM ，证明DN ⊥平面11A BC ，利用等面积法计算得到距离.（2）过1B 作11B H BC ⊥交1BC 于H ，连接1A H ，确定11A HB ∠即二面角111A BC B --的平面角，得到123BB =，再利用等体积法得到2217d =，得到答案. 【详解】（1）如图所示：连接11B D ，与11A C 交于点M ，过D 作DN BM ⊥于N ，连接DM ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，故111BB AC ⊥，1111AC B D ⊥， 1111BB B D B ⋂=，故11A C ⊥平面11BDD B ，DN ⊂平面11BDD B ，故11DN AC ⊥，DN BM ⊥，又11BMAC M =，故DN ⊥平面11ABC . BDM 中：9211BM =+=112231122BDM S DN =⨯=⨯△故62211DN =，即点D 到平面11A BC 的距离为62211. （2）如图所示：过1B 作11B H BC ⊥交1BC 于H ，连接1A H . 11A B ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，故111A B BC ⊥，1111A B B H B =，故1BC ⊥平面11A B H ，1A H ⊂平面11A B H ，故11A H BC ⊥，故11A HB ∠即二面角111A BC B --的平面角，112A B =，1121cos 7A HB ∠=，11π0,2A HB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故11122tan 3A HB B H ∠==， 13B H =，11BBC 中，112B C =，13B H =，11π3BC B ∠=，123BB =.11111111142233333B A BC A B C V S BB -=⨯⨯=⨯⨯=△，设1B 到平面11A BC 的距离为d ，1111111142216233323B A BC A BC V S d d -=⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯=△，故2217d =，故直线1BB 平面11A BC 所成角的正弦值为177d BB =21．如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC △为正三角形，E ，F 分别是棱,PC PB 上的点，且满足(01)PE PF PC PBλλ==<<．(1)求证：BC AE ⊥；(2)是否存在λ，使得直线AP 与平面AEF 21？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明过程见解析； (2)存在，13λ=.【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量夹角公式进行求解判断即可. 【详解】（1）设AC 的中点为D ，连接DP ， 因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， 所以BC ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ， 所以BC AE ⊥；（2）连接DO ，因为//DO BC ，所以BC DO ⊥， 因为PAC △为正三角形，AC 的中点为D ， 所以DP AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， 所以DP ⊥平面ABC ，而DO ⊂平面ABC ， 所以DP DO ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系， 设2,AC a BC b ==，(0,0,0),(,0,0),),((1)),(,(1))D A a P E a F a b λλλλλ-----，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，(,0,3(1)),(,(1))AEa a a AF a a bλλλλλ=---=----，所以有()()(1)00(1)00a a x n AE n AE a a x b y n AF n AF λλλλλ⎧⎧⎧---=⊥⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨----=⊥⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩， 所以3(1)(1n λλ-=+，()AP a =-， 假设存在λ，使得直线AP 与平面AEF ，所以有3(111cos ,39(12AP n AP n AP na λ-⋅+=〈〉==⇒=⋅⋅，或12λ=-（舍去）， 即存在13λ=，使得直线AP 与平面AEF .22．已知点(4cos ,0)E α， (0,4sin )F α()R α∈为平面直角坐标系 xOy 中的点，点P 为线段EF 的中点，当α变化时，点P 形成的轨迹 ∏与x 轴交于点A ，B （A 点在左侧），与y 轴正半轴交于点C ． （1）求P 点的轨迹∏的方程；（2）设点M 是轨迹∏上任意一点（不在坐标轴上），直线CM 交x 轴于点D ，直线BM 交直线AC 于点N ．①若D 点坐标为(23,0)，求线段CM 的长； ②求证：2ND MN k k -为定值．【答案】（1）224x y +=；（2）①2CM =，②证明详见解析．【分析】本题主要考查参数方程与普通方程的转化、点到直线的距离、直线与圆的相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用中点坐标公式计算点P 的横坐标，再利用参数方程与普通方程的互化得到点P 的轨迹；第二问，利用点到直线的距离公式，可以求出弦CM 的长，设出直线CM 的方程，与圆的方程联立，消参，解出x ，代入CM 中，即得到M 点坐标，则可以表示直线BM 的斜率，再用直线BM 的方程与直线AC 的方程联立，得到直线ND 的斜率，代入2ND MN k k -中计算出常数即可．【详解】（1）设(,)P x y ,因为P 点为 (4cos ,0),(0,4sin )E F αα的中点，则2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（ α∈R ），平方相加消去α得到P 点的轨迹方程为 224x y +=． （2）由轨迹方程知：(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，①直线CM ： 3230x +-，圆心到直线CM 的距离222331(3)d ==+ CM 的长为222232-=．（或由等边三角形COM ∆亦可得）第 21 页 共 21 页②设直线CM 的方程为： 2(y kx k =+存在，0,1)k k ≠≠±，则2(,0)D k- 由222{4y kx x y =++=，得 22(1)40k x kx ++=，所以0x =或 241k x k =-+， 将241k x k =-+代入直线 CM ，得22221k y k -=+，即 222422(,)11k k M k k --++，则11BM k k k -=+， 直线 BM 方程：1(2)1k y x k -=-+， 由:20{1:(2)1AC BM l x y k l y x k -+=-=-+得(2,22)N k k --，因为2(,0)D k -，所以1ND k k k =+， 所以2122111ND MN ND MB k k k k k k k k ---=-+==+为定值．。
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浙江省杭师大附中2022-2023学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知(1,2,3),(2,4,),//a b x a b == ，则x =（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．椭圆22136x y +=上一点P 与焦点1F 的距离为5，则点P 与另一个焦点2F 的距离为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．棱长为1的正四面体的高为（ ）A ．3B ．3C ．23D 4．已知空间中m ，n 是两条不同直线，α是平面，则（ ） A ．若//m α，n α⊂，则//m n B ．若//m α，//n α，则m n ⊥ C ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥5．,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）A ．45B ．34C ．23D 6．平行六面体ABCD A B C D -''''中，4,3,5,9060,AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=''∠='︒︒，则AC '的长为（ ）A ．10B C D7．己知(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----三点，点P 在圆224x y +=上运动，则222||||||PA PB PC ++的最大值是（ ） A ．144B ．88C ．72D ．328．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则面α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A B C D二、多选题9．下列直线12,l l 互相垂直的是（ ）A ．1l 的斜率为23-，2l 经过点(1,1)A ，10,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1l 的倾斜角为45︒，2l 经过点(2,1),(3,6)P Q ---C ．1l 经过点(1,0),(4,5)M N -，2l 经过点(6,0),(1,3)R S --D ．1l 的斜率为2，2l 经过点(1,2),(4,8)U V 10．椭圆2228x y +=的焦点坐标为（ ） A ．(0,2)B ．(0,2)-C ．(2,0)D ．(2,0)-11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点，则（ ）A ．点1A 到直线1B E 的距离为23B ．直线1FC 到直线AEC ．点1A 到平面1AB E 的距离为3D ．直线1FC 到平面1ABE 的距离为1312．己知(3,0),(1,2)A B ---，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上恰有两点M ，N 使得,ABM ABN △△的面积为4，则r 的可能取值为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．12三、填空题13．过点P （2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是______14．已知点M 与两个定点()0,0O 、()3,0A 的距离的比为12，则点M 的轨迹方程为_____．15．曲线220x y x y +--=围成的图形的面积是__________．16．设椭圆C ：22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足FA ·FB ＝0，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是_______________.四、解答题17．平行四边形ABCD 的四边所在的直线分别是：12:450,:280l x y l x y -+=+-=，34:4140,:210l x y l x y -+=++=，(1)求直线12,l l 交点的坐标； (2)求平行四边形ABCD 的面积．18．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，BD 的中点，点G 在CD 上，且14CG CD =．（1）求证：1EF B C ⊥；（2）求EF 与C 1G 所成角的余弦值．19．（1）圆C 的圆心在x 轴上，且经过(1,1),(1,3)A B -两点，求圆C 的方程； （2）圆C 经过(1,5),(5,5),(6,2)P Q R --三点，求圆C 的方程．20．四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥面ABCD ，点M ，N ，Q 分别为棱11,,DD AD BB 的中点．(1)求证：平面MNQ ∥平面1BC D ；(2)若12AA AB =，棱11A B 上存在点P ，使得二面角P MN Q --的余弦值为63111A P AB 的值．21．已知点(3,0)A -，圆22:(1)()1C x a y --+=上存在点M ． (1)求||AM 的最小值；(2)点M 满足||2||MA MO =（O 为坐标原点），求实数a 的取值范围．22．设椭圆2222:1(0),x y C a b a b +=>>左右焦点为12,F F ，上顶点为D ,且12•2DF DF =-. （∥）求椭圆C 的方程；（∥）设E 是x 轴正半轴上的一点，过点E 任作直线l 与C 相交于,A B 两点，如果2211EAEB+，是定值，试确定点E的位置，并求DAE DBE S S ∆∆⋅的最大值.参考答案：1．C【分析】根据向量平行的规则计算即可. 【详解】依题意，//a b ， 2:14:2:3,6x x ∴=== ；故选：C. 2．B【分析】利用椭圆的定义可得解.【详解】根据椭圆的定义知，1222612PF PF a +==⨯=， 因为15PF =，所以21257PF =-=． 故选：B. 3．D【分析】作出棱长为1的正四面体A BCD -，作BCD △的中心O ，并连接AO 和DO ， 根据正四面体的性质和勾股定理即可求解.【详解】作出正四面体A BCD -，设棱长为1，如图所示：作BCD △的中心O ，并连接AO 和DO ，即BCD △是边长为1的等边三角形，则OD 是BCD △的外接圆半径，所以1112sin 602sin 60BC OD =⨯=⨯=︒︒ 由正四面体的性质可知：AO ⊥平面BCD ，所以正四面体A BCD -的高为AO ， 又OD ⊂平面BCD ，所以AO OD ⊥，则AO == 故选：D. 4．C【解析】根据线面关系和直线与平面垂直的性质定理逐一判断可得选项. 【详解】对于A ，B ，直线m ，n 可能平行、相交或异面，A ，B 错误； 对于C ，D ，由直线与平面垂直的性质定理易得C 正确，D 错误， 故选：C.【点睛】本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟记空间中直线与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解题的关键，属于基础题. . 5．D【分析】将,,PA PB PC 三条射线截取出来放在正方体中，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】如图所示，把,,PA PB PC 放在正方体中，,,PA PB PC 的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B ， 所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-， 设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =，则00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ，所以(1,1,1)n =-，所以2cos ,||||2PC n PC n PC n ⋅-〈〉==⋅⨯设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=，所以cos θ 故选：D ．6．B【分析】由AC AB AD AA '=++'，两边平方，利用数量积运算性质即可求解． 【详解】如图，216AB =，29AD =，225AA '=，43cos900AB AD ⋅=⨯⨯︒=，45cos6010AB AA ⋅'=⨯⨯︒=，1535cos602AD AA ⋅'=⨯⨯︒=．AC AB AD AA '=++'，∴2222222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA '=++'+⋅+⋅'+⋅'1516925202102852=+++⨯+⨯+⨯=， ∴||85AC '=即AC ' 故选：B ． 7．B【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式得到222PA PB PC ++2233468x y y =+-+，再由点P 在圆224x y +=上运动，化简为2233468480x y y y +-+=-+求解. 【详解】设(),P x y ，因为()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点， 所以222PA PB PC ++()()()()()()222222222642x y x y x y =++++++-+-++， 2233468x y y =+-+，因为点P 在圆224x y +=上运动， 则2240x y =-≥，解得22y -≤≤，所以2233468480x y y y +-+=-+，当=2y -时，222PA PB PC ++取的最大值88， 故选：B 8．B【分析】利用正方体的棱是3组每组互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出截面的位置，确定截面为一个正六边形，边长是面的对角线的一半，求面积得结果.【详解】正方体的所有棱，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，只需从同一个顶点出发的三条棱与面α所成角相等即可.在正方体ABCD A B C D -''''中，平面AB D ''与线,,AA A B A D '''''所成的角是相等的， 所以平面AB D ''与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面C BD '也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，由正方体的对称性，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个平行平面AB D ''与C BD '中，如图所示，所以其面积为26S ==， 故选：B. 9．ABC【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为1-，从而可选出正确答案.【详解】2l 的斜率为1132012k --==-，因为23132-⨯=-，所以12l l ⊥成立，故A 正确；1l 的斜率为1tan 451k =︒=，2l 的斜率为()()26151325----===---k ，由121k k =-，则12l l ⊥成立，故B 正确； 1l 的斜率为155413k -==--，2l 的斜率为()2303165k -==---，由121k k =- 则12l l ⊥成立，故C 正确；2l 的斜率为82241k -==-，由221⨯≠-，所以12l l ⊥不成立，故D 错误. 故选：ABC ． 10．AB【分析】由椭圆标准方程可得出c ，再由焦点在y 轴上得出焦点坐标.【详解】椭圆2228x y +=化为标准方程：22148x y +=，所以228,4a b ==，故2224,c 2c a b =-==， 因为椭圆焦点在y 轴上， 所以椭圆焦点为(0,2)和(0,2)-. 故选：AB 11．BD【分析】建立坐标系，求出向量11A B 在单位向量11||B Eu B E =上的投影，结合勾股定理可得点1A 到直线1B E 的距离，判断A ；先证明1//,AE FC 再转化为点F 到直线AE 的距离求解，判断B ；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C ；把直线1FC 到平面1AB E 的距离转化为1C 到平面1AB E 的距离，利用法向量进行求解，判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则11111(1,0,1),(1,1,1),(0,0,),(1,1,),(0,1,1),(1,0,0).22A B E F C A因为1111111221(1,1,),(,,),(0,1,0)2333||B E B E u A B B E =---==---=，所以11123A B u ⋅=-.所以点1A 到直线1B E 2211111()1A B A B u -⋅=A 错误； 因为111(1,0,),(1,0,),22AE FC =-=-所以1//AE FC ，即1//,AE FC所以点F 到直线AE 的距离即为直线1FC 到直线AE 的距离，21((0,1,)2||AE u AF AE →===，225,4AF AF u →=⋅=所以直线1FC 到直线AE =B 正确； 设平面1AB E 的一个法向量为(),,n x y z =，11(0,1,1),(1,0,),2AB AE ==-1(0,0,1)AA =.由10,10,2n AB y z n AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令2z =，则2,1y x =-=，即(1,2,2)n =-. 设点1A 到平面1AB E 的距离为d ，则123AA n d n⋅==，即点1A 到平面1AB E 的距离为23，故C错误；因为1//,AE FC 1FC ⊄平面1AB E ，AE ⊂平面1AB E ，所以1//FC 平面1AB E ， 所以直线1FC 到平面1AB E 的距离等于1C 到平面1AB E 的距离.()111,0,0C B =， 由（3）得平面1AB E 的一个法向量为(1,2,2)n =-， 所以1C 到平面1AB E 的距离为1113C B n n⋅=， 所以直线1FC 到平面1AB E 的距离为13，故D 正确.故选：BD 12．AB【分析】求出AB 的值，得出两点,M N 到直线AB 的距离，写出AB 的直线方程，根据圆上的点到直线AB 的距离，求出r 的取值范围，即可得答案.【详解】由题意可得AB ==，因为,ABM ABN △△的面积为4，所以,M N 两点到直线AB 的距离均为 因为0(2)13(1)AB k --==----， 所以直线AB 的方程为(3)3y x x =-+=--，即30x y ++=，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为圆心(2,0)到直线AB r =+22r ，若圆上只有3个点到直线AB 的距离为圆心(2,0)到直线AB r =-r =r <<M ，N 使得,ABM ABN △△的面积为4， 所以AB 选项满足，CD 不满足，故选：AB.13．32y x =或50x y +-= 【分析】分别求直线过原点和不过原点的方程即可.【详解】当直线过原点时，设为y kx =，因为过点()2,3P ，所以32k =，解得32k ， 故直线为32y x =. 当直线不过原点时，设为()10x y a a a+=≠， 因为过点()2,3P ，所以231a a+=，解得5a =，即直线为50x y +-=. 综上直线方程为32y x =或50x y +-=. 故答案为：32y x =或50x y +-= 14．22230x y x ++-=【分析】本题首先可以设出M 点坐标，然后利用两点间距离公式写出点M 与两个定点()0,0O 、()3,0A 的距离，最后通过距离的比为12即可列出算式并得出结果． 【详解】设M 点坐标为(),x y ，因为点M 与两个定点()0,0O 、()3,0A 的距离的比为12，12，22223y x y ， 222243x y x y ，22224469x y x x y ，化简得22230x y x ++-=，故点M 的轨迹方程为22230x y x ++-=．【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，能否明确题目中所给出的条件并通过相关公式将其展示出来是解决本题的关键，考查两点间距离公式，是基础题．15．2π+【详解】当0x ≥，0y ≥时，已知方程是220x y x y +--=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．它对应的曲线是第一象限内半圆弧（包括端点），它的圆心为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 同理，当0x ≤，0y ≥；0x ≤，0y ≤；0x ≥，0y ≤时对应的曲线都是半圆弧（如图）．它所围成的面积是211411222ππ⎡⎤⎢⎥⋅⋅+⋅⋅=+⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为2π+16．⎣⎦【解析】设左焦点为E,连AE,BE,依题意可得四边形AEFB 为矩形,根据椭圆定义,勾股定理以及已知不等式列式可解得.【详解】画出图形设左焦点为E ，连接AE ，BE,依据题意可得四边形AEFB 为矩形222242AE AF a AE AF c AF BF AF BF+=⎧⎪+=⎪∴⎨⎪⎪⎩ 222(2)422(2)a AF AF c AF a AF AF a AF ⎧-+=⎪∴-⎨⎪-⎩ 222()243AF a a c a AF a ⎧-+=⎪∴⎨⎪⎩22221()20,9AF a c a a ⎡⎤∴-=-∈⎢⎥⎣⎦2221029a ca 21529e ∴523e 故答案为：⎣⎦【点睛】此题考查椭圆的对称性和平面向量的数量积以及三角函数的知识,求出椭圆离心率的解析式,再求得离心率的取值范围，属于一般性题目。