浙江省杭师大附中2022-2023学年高二上学期期中数学试题及答案
浙江省杭师附2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含解析)
浙江省杭师附中2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________2022,,x ，改变为20222,,2x -．平均数与方差均不改变 ．平均数改变，方差保持不变．平均数不变，方差改变．平均数与方差均改变的一个方向向量为(2,2,v =--的一个法向量为()1,1,2n =，则直的位置关系是（ ） 的两个焦点为过点F ，则△四点，则AB CD ⋅的值为11111二、多选题将ABC折起，四、问答题17．某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[)0,0.5、[)0.5,1、…、[]4,4.5从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值；(2)估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；(3)在[)1,1.5、[)1.5,2这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，114560CB BD C CD CC B ⊥∠=︒∠=︒，，，11CC CB BD ===，为折痕把ABC(1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若M 为PD 上一点，且三棱锥D ACM -的体积是三棱锥P ACM -体积的2倍，求平面PAC 与平面ACM 夹角的余弦值.六、问答题参考答案：2022,,x 的平均数20222022x ++，20222,,2x -20221232022222222022x x x x x x ++++=+--=-+，平均数发生变化；2022,,x 的方差()()()22212202222022x x x x x x s -+-++-=，320222,2,,2x x ---的方差为)()()22222022222222022x x x s +--+++-=，方差不发生变化【分析】根据2n υ=-得到υ与n 共线，即可得到直线【详解】因为2n υ=-，所以υ与n 共线，直线【分析】求得椭圆的,,a b c ，由椭圆的定义可得算即可得到所求值．的斜率不存在时，易得1AB CD ⋅=； 所以cos0⋅=⋅⋅AB CD AB CD C【点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，义，以及抛物线的定义与简单性质即可，属于常考题型B2⎝∴()111,1,1,,2AC MN⎛=--=-⎝1MN AC⊥，∴112a b+--12b a=-，01,b≤≤∴12≤1AA DS a⋅故选：B135,45,ba,H HG H=⊂平面A HG1由正方体性质，连接22,EF=121,3EB FD =-，再利用BD BE EF FD =++可求得结DF AC ⊥，二面角1,3EB FD =-BD BE EF FD =++，22222()222BD BE EF FD BE EF FD BE EF EF FD BE FD ∴=++=+++⋅+⋅+⋅443BD=，即故答案为：．1 3【分析】设直线u u u r ，DA CB=，|DA得出13PM PD=，利用向量法即可得出为平行四边形，()，得13PM PD =，所以132,,333OM OP PM OP PD ⎛=+=+=- ⎝设平面ACM 的法向量为(),,n x y z =r，00n OM n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即32233330x y x ⎧-++⎪⎨⎪=1-，则0x =，所以(0,1,1n =-又因为平面PAC 的法向量()0,1,0m =，2,2m n n m m n ⋅==, 因为二面角P AC M --为锐二面角，所以其余弦值为2214y +=MN 的垂线交MN ∴的斜率存在连接OP MN ∴的斜率不为不妨设MN l答案第15页，共15页 PQ MN ⊥PQ MN k k ∴⋅解得:m =MNQ S =2114k k ++。
浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题【含答案】
A ．23-B ．3-6．已知()f x 是定义域为(,∞-(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．07．如图，在三棱锥O ABC -中，的三等分点，过点M 的平面分别交棱A ．133B ．8．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体等球与最大球和正四面体三个面均相切，知正四面体ABCD 棱长为CC中点A．Q为1PA长度的最小值为B．线段1C．存在一点PAN平面PBC；(1)求证：//(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第(2)若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？(3)若女子组40位选手的平均分为117，标准差为19．已知函数2π5π()3sin(2)sin(236f x x =--+(1)若方程()f x m =在ππ[,]44x ∈-上有且只有一个实数根，求实数()(1)求证：1A C⊥平面BDE；B C的中点，求点(2)若点F为棱11B C上的动点（不包括端点）(3)若点F为线段11范围.22．在区间D上，如果函数(f x故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径9．ACD【分析】根据统计中的相关概念和性质运算求解【详解】不妨设样本甲的数据为10x x <≤11．ACA B C三个时间包含的样本点，【分析】首先分别列举,,选项，即可判断选项.【详解】事件A的所有基本事件为甲事件B的所有基本事件为甲1乙【详解】在底面ABCD 的投影为H ，连接,BH CH 2sin PH PHPC PBβα===，即2=PB 建系可得：()3,0,0B ，()3,3,0C ，(,,P x y z故D正确.故选：BCDx y--=13．250【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解因为M ，N 分别是PC ，PD 又因为//AB DC 且12AB DC =，所以//NM AB ，NM AB =，所以四边形所以//AN BM ，又因为AN ⊄则()0,0,0A ，()0,0,1P ，(0,1,0B 设平面PBC 的法向量为(,m x =因为()0,1,1BP =-，(22,0,0BC = 所以0220BP m y z BC m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令y =66在ABD △中，3AD =，2AB =，由正弦定理得32⨯00DB m DE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即301322x y z ⎧=⎪⎨-+⎪⎩不妨取1z =，则3y =，则m = 所以平面BDE 的一个法向量为m ()10,3,3A C =-- ，1AC ∴=-。
浙江省杭州中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题含解析
杭州2022学年第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）命题人：审题人：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选切中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22950,2,1,2,4M x x x N =--<=-∣，则M N ⋂=（）A.{}2,1,2- B.{}1,2 C.{}1,4 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式得集合M ，再求交集即可.【详解】因为{}{}2129505,2,1,2,42M xx x x x N ⎧⎫=--<=-<<=-⎨⎬⎩⎭∣，所以{}1,2,4M N ⋂=，故选：D.2.已知复数z 满足()()1i 312i z z --=+，则z =（）A.13i 48-- B.13i 48-+C.13i44-+ D.13i44--【答案】B 【解析】【分析】先设复数i z a b =+，则i z a b =-，然后代入式子计算后，利用复数相等即可求解.【详解】复数i z a b =+，则i z a b =-，因为复数z 满足()()1i 312i z z --=+，所以(1i)(24i)12i a b -+=+，也即24(42)i 12i a b b a ++-=+，则有241422a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得：1438a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以13i 48z =-+，故选：B .3.已知直线10l y +=与直线2:10l kx y -+=，若直线1l 与直线2l 的夹角是60°，则k 的值为（）A.0B.0C.D.【答案】A 【解析】【分析】先求出1l 的倾斜角为120°，再求出直线2l 的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k .【详解】直线10l y +=的斜率为1k =，所以倾斜角为120°.要使直线1l 与直线2l 的夹角是60°，只需直线2l 的倾斜角为0°或60°，所以k 的值为0或故选：A4.设sin32k = ，则1tan16tan16+=（）A.2kB.1kC.2kD.k【答案】A 【解析】【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.【详解】解：1sin16cos16tan16tan16cos16sin16︒︒=+︒︒︒+︒22sin 16cos 16sin16cos16︒+︒︒⋅︒=11sin 322=︒2k=.故选：A.5.已知函数()()31log 2,323,3x ax x f x x -⎧->=⎨-≤⎩，在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.()0,∞+ B.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.[)1,+∞ D.5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】要使分段函数在定义域上单调递增，需要在每一段上为单调递增函数，且左端点值小于等于右端点的值，列出不等式，即可求出实数a 的取值范围.【详解】解：由题意得20ax ->，在3x >时，23a >又函数()f x 在定义域上单调递增，所以()313log 32231323a a --≥-=⇒-≥，解得53a ≥，所以，实数a 的取值范围为5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：D.6.将一张坐标纸折叠一次，使得点()3,4-与点()4,a -重合，点()1,2-与点2,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭重合，则a b -=（）A.2-B.1-C.12D.1【答案】D 【解析】【分析】由对称，求出折痕所在直线方程，两个方程相同，列方程组可求未知数.【详解】假设折痕所在直线的斜率不存在，由点()3,4-与点()4,a -可得折痕所在直线的方程为72x =-，由点()1,2-与点2,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得折痕所在直线的方程为32x =-，故舍去；由点()3,4-与点()4,a -可得折痕所在直线的斜率不为0，由点()3,4-与点()4,a -关于折痕对称，两点的中点坐标为74,22a -+⎛⎫⎪⎝⎭，两点确定直线的斜率为()4434aa -=----，则折痕所在直线的斜率为14a -，所以折痕所在直线的方程为：417242a y x a +⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭，即()744242x a y a a +=++--，由点()1,2-与点2,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于折痕对称，两点的中点坐标为232,22b ⎛⎫+ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭，两点确定直线的斜率为()222122b b -=----，则折痕所在直线的斜率为122b -，所以折痕所在直线的方程为：21322222by x b +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭-，即234444x by b b +=++--，则有()2144347444242b a b a b a ⎧=⎪--⎪⎨++⎪+=+--⎪⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩.所以1a b -=故选：D7.在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，AB AC ⊥，动点M 在侧面11ACC A 上运动，且2AM =，则异面直线1AB 和BM 所成角的余弦值的最大值为（）A.624B.4C.2 D.624【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设点M 坐标，将异面直线1AB 和BM 所成角θ的余弦值以1cos cos ,AB BM θ=的形式表示，依据M 坐标的取值范围，求出cos θ的最大值.【详解】∵AB AC ⊥，且三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴以A 为原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则由已知有()0,0,0A，()B，(1B ，∵动点M 在侧面11ACC A 上运动，且2AM =，∴设()000,,M y z ，[]00,2y ∈，[]00,2z ∈，且2AM ==，即22004y z +=，(1AB =，()00,BM y z =-，(10012AB BM z ⋅=-+=-+，1AB =，BM =，设异面直线1AB 和BM 所成角为θ，∴1111cos cos ,AB BMAB BM AB AB θ⋅===，∵[]00,2z ∈∴当00z =时，cos θ4=，故选：B.8.已知ABC 中，()min 2,||3R AB AC BQ QA AB BC λλ===+=∈，()1221,33AP AB AC μμμ=+-≤≤ ，则PQ的最小值为（）A.3B.5C.D.2913【答案】C 【解析】【分析】首先找到min ||AB BC λ+时的λ值，根据三角形的边长条件算出BC 长度从而判断ABC 的形状，再建立平面直角坐标系将PQ用坐标表示出来，根据坐标再计算出PQ 即可.【详解】如图，设点O 为BC 上的一点，令BO BC λ= ，即AB BC AB BO AO λ==++，当AO BC⊥时AO取最小值3，此时根据勾股定理可得BO OC ==，由此可知ABC 为等边三角形，当点O 为BC的中点时建立如图直角坐标系：()0,3A，()B，)C，()3AB =-，)3AC =-()226AB μμ=-- ，())())11,31AC μμμ-=---())21,33AP AB AC μμμ=+-=--，故),3P μ--因为2BQ QA =，所以,23Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则,323PQ μ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭PQ = 因为1233μ≤≤，所以当13μ=时PQ取最小值，min PQ= 故选:C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A .点斜式1y y -=()1k x x -可以表示任何直线B.直线42y x =-在y 轴上的截距为-2C.直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y -+=D.点()2,1P 到直线()130ax a y a +-++=的最大距离为【答案】BD 【解析】【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A 错误；对B ：42y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；对C ：点(),x y 关于y x =的对称点为(),y x ，故直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y --=，故C 错误；对D ：()130ax a y a +-++=，即()130a x y y ++-+=，其恒过定点()4,3A -，又PA ==故点()2,1P 到直线()130ax a y a +-++=的最大距离为，D 正确.故选：BD.10.已知第一象限内的点(),P a b 在直线2210x y +-=上，则（）A.221sin sin 26a b ⎛⎫≤-⎪⎝⎭B.138a b+≥+C.22a b -≥D.ln ln 4ln 2a b +≥-【答案】BC 【解析】【分析】首先根据题意得到221a b +=，且0a >，0b >，再利用基本不等式和函数的单调性依次判断选项即可.【详解】依题意，有221a b +=，且0a >，0b >.对选项A ，因为22222211111223324666a b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22126a b ≥-，且22ππ1ππ,,2,22622a b ⎛⎫⎛⎫∈--∈- ⎪ ⎝⎭⎝⎭所以221sin sin 26a b ⎛⎫-⎪≥⎝⎭，故A 错误；对选项B ，因此1126(22)8833b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当314a -=，334b -=时，等号成立.故选项B 正确；对选项C ，2a b-=111()22222222a a a ---=>=，故选项C 正确.对选项D ，因为221()124416a b ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭≤==，当且仅当a b =时取等，所以1ln ln ln()4ln 216lna b ab +=≤=-，故选项D 错误，故选：BC11.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面1111D C B A 和平面11AA B B 所成的角均为π6，则（）A.11AB D =B.AB 与平面11AB C D 所成的角为π6C.1B D 与平面11AA D D 所成的角为4πD.1AC CB =【答案】AC 【解析】【分析】不妨令1AA a =，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【详解】解：如图所示，连接11B D ，1AB ，不妨令1AA a =，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥面11AA B B ，1DD ⊥面1111D C B A ，所以11DB D ∠和1DB A ∠分别为1B D 与平面1111D C B A 和平面11AA B B 所成的角，即111π6DB D DB A ∠=∠=，所以在11Rt DB D 中，11DD AA a ==，111,2B D B D a ==，在1Rt ADB 中，12DB a =，1,AD a AB ==，所以在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB a =，12CB a =，3AC a =，11A D a=所以112AB A D =，1AC CB ≠，故A 正确，D 不正确；如下图，过B 作BE ⊥1AB 于E在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥面11AA B B ，BE ⊂面11AA B B 所以AD BE ⊥，又BE ⊥1AB ，11,,AB AD A AB AD ⋂=⊂平面11AB C D 则BE ⊥平面11AB C D所以1B AB ∠为AB 与平面11AB C D 所成的角，在1Rt ABB 中，1113sin 33BB a B AB AB a∠===，故选项B 错误，如下图，连接1A D在长方体1111ABCD A B C D -中，11B A ⊥面11AA D D ，则1B D 与平面11AA D D 所成的角为11B DA ∠且为锐角在11Rt A B D 中，1111122sin 22A B a B DA B D a ∠===，所以11π4B DA ∠=，故选项C 正确.故选：AC.12.对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A.[1,0]x ∀∈-，[]2x =-B.函数[]y x x =-的值域为[0,1)C.x ∀∈R ，[]1x x <+D.方程22021[]20220x x --=有两个实数根【答案】BCD 【解析】【分析】计算[]00=，A 错误，考虑x 为整数和x 不为整数，计算得到B 正确，根据[]1y x x =-<得到C 正确，解不等式得到[]1,0,1x =-，分别计算得到D 正确，得到答案.【详解】对于A ：根据定义，[]00=，A 错误；对于B ：当x 为整数时，[]=x x ，[]0x x -=；当x 不是整数时，[]()0,1x x -∈，故函数[]y x x =-的值域为[0,1)，B 正确；对于C ：根据B 知[]1y x x =-<，故x ∀∈R ，[]1x x <+，C 正确；对于D ：22021[]20220x x --=，故()()2202120221202120220x x x x --=+-≤，解得202212021x -≤≤，故[]1,0,1x =-，当[]1x =-时，2202120210x -=，解得1x =±，当=1x -时满足；当[]0x =时，2202120220x -=，解得x =，不成立；当[]1x =时，2202120230x -=，解得x =，当x =综上所述：方程有2个解，D 正确；故选：BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,2a b == ，且()4a b a -⋅= ，则向量a 与b的夹角为__________.【答案】π4【解析】【分析】先求出a b ⋅ ，再利用公式可求向量a 与b 的夹角.【详解】因为a =，故a == ，而()4a b a -⋅= ，故24a b a -⋅= 即4b a ⋅= ，故cos ,2b a == ，而[],0,πb a ∈ ，故π,4b a = ，故答案为：π414.一个袋于中有4个红球，8个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为__________.【答案】13【解析】【分析】使用古典概型概率公式或全概率公式进行求解.【详解】方法一：由已知，该试验是古典概型，样本空间Ω中样本点的个数()212A 132n Ω==，设事件A =“第二次取到红球”，则事件A 分为“第一次取到绿球，第二次取到红球”和“两次取到的均为红球”两类，∴()112844C C A 321244n A =+=+=，∴()()()4411323n A P A n Ω===.方法二：设事件i R 表示“第i 次摸到红球”，事件i G 表示“第i 次摸到绿球”，1,2i =，则()()()()212121212P R P R R G R P R R P G R =⋃=+()()()()121121||P R P R R P G P R G =⋅+⋅43841121112113=⨯+⨯=.故答案为：13.15.已知函数()5sin ,012g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若123g g ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()g x 在,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值但无最大值，则ω的值为__________.【答案】265【解析】【分析】由()g x 在(123ππ，上有最小值无最大值可知：08ω<≤，进而得51212ωππ+、5312ωππ+得范围，所以当((123g g ππ=时，结合()g x 在()123ππ，上有最小值无最大值，可得51212ωππ+与5312ωππ+关于32π对称，列式可求得结果.【详解】∵()()123g g ππ=，∴55sin()sin(1212312ωππωππ+=+①又∵()g x 在()123ππ，上有最小值无最大值，②∴312T ππ-≤即：24ππω≥又因为0ω>所以5π0812t x ωω<≤=+，.∴551312121212πωπππ<+≤，55371231212πωπππ<+≤③∴结合图象，由②③得：5132121212πωπππ≤+≤，35523122πωπππ<+≤④∴由①④得：553121231222ωππωπππ+++=解得：265ω=故答案为：265.16.球O 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的外接球，M 为球O 上一点，N 是1AB C V 的内切圆上的一点，则线段MN 长度的取值范围为__________.【答案】331⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先分析出1AB C V 的内切圆上的点到O 的距离，利用球的性质即可得解.【详解】设正方体的外接球的球心为O ，其半径3R =设1AB C V 的内切圆圆心为O '，由正方体的性质可得'⊥O O 平面1AB C ，所以ON 的长度为定值，且与O 到AC 的距离相等，即1ON =，由此可得线段MN 长度的取值范围是331⎡⎤-⎣⎦.故答案为：331⎤⎦四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线l 的方程为：(3)(12)(15)0m x m y m +--++=.（1）求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；（2）过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程.【答案】（1）证明见解析（2）240x y ++=【解析】【分析】（1）列出方程()25310x y m x y +++-+=，分别令250x y ++=，310x y -+=可求出定点；（2）令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可.【小问1详解】证明：原方程整理得：()25310x y m x y +++-+=．由250310x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --.【小问2详解】设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<．令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭ ．当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小．则1l 的方程为240x y ++=．18.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积为S ，且()()sin sin sin 6a b c a A B C S+-++=（1）求角A 的大小；（2）若3,a BA AC A ∠=⋅=- 的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.【答案】（1）π3A =（2）5AT =【解析】【分析】（1）根据正弦定理及三角形面积公式即可求解，化简得到222b c a bc +-=，结合余弦定理即可得解；（2）由向量的数量积运算法则和余弦定理求出32b c =⎧⎨=⎩或23b c =⎧⎨=⎩，利用三角恒等变换和正弦定理进行求解，得到正确答案.【小问1详解】()()1sin sin sin 66sin 3sin 2a b c a A B C S ab C ab C +-++==⨯=，由正弦定理得：()()3a b c a b c a abc +-++=，即()()3b c a b c a bc+-++=即22223b c a bc bc +-+=，即222b c a bc+-=所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】由（1）知：π3A =，所以cos 3BA AC bc A ⋅=-=- ，即31cos 2A bc ==，解得：6bc =，由余弦定理得：227cos 2b c A bc +-=，所以22372b c bc bc+-=，解得：2213b c +=，解得：32b c =⎧⎨=⎩或23b c =⎧⎨=⎩当3,2b c ==得：222cos 214a c b B ac +-==，则sin 14B ==，所以πππ1sin sin sin cos cos sin 66614214214ATB B B B ⎛⎫∠=+=+=⨯⨯= ⎪⎝⎭，在三角形ABT 中，由正弦定理得：sin sin AT AB B ATB =∠，，321571414=635AT =；当2,3b c ==时，同理可得：635AT =；综上：5AT =19.如图，ABCD 为圆柱OO '的轴截面，EF 是圆柱上异于,AD BC 的母线．（1）证明：BE ⊥平面DEF ；（2）若6AB BC ==，当三棱锥B DEF -的体积最大时，求二面角B DF E --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）先证明AEFD 是平行四边形，再结合圆柱的性质得到BE ⊥平面DEF ；（2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时EF 的相对位置，再找出二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小.【小问1详解】证明：如图，连接AE ，由题意知AB 为O 的直径，所以AE BE ⊥．因为,AD EF 是圆柱的母线，所以AD EF 且AD EF =，所以四边形AEFD 是平行四边形．所以//AE DF ，所以BE DF ⊥．因为EF 是圆柱的母线，所以EF ⊥平面ABE ，又因为BE ⊂平面ABE ，所以EF BE ⊥．又因为DF EF F = ，DF EF ⊂、平面DEF ，所以BE ⊥平面DEF ．【小问2详解】由（1）知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高，由（1）知,EF AE AE DF ⊥∥，所以EF DF ⊥，即底面三角形DEF 是直角三角形．设,DF AE x BE y ===，则在Rt ABE 中有：226x y +=，所以221113326622B DEF DEF x y V S BE x y xy -+⎛=⋅=⋅⋅⋅=≤⋅ ⎝ ，当且仅当x y ==时等号成立，即点E ，F 分别是 AB ， CD 的中点时，三棱锥B DEF -的体积最大，（另解：等积转化法：13B DEF D BEF D BCF B CDF CDF V V V V S BC ----====⋅ 易得当F 与CD 距离最远时取到最大值，此时E 、F 分别为 AB 、 CD中点）下面求二面角B DF E --的正弦值：法一：由（1）得BE ⊥平面DEF ，因为DF ⊂平面DEF ，所以BE DF ⊥．又因为,EF DF EF BE E ⊥= ，所以DF ⊥平面BEF ．因为BF ⊂平面BEF ，所以BF DF ⊥，所以BFE ∠是二面角B DF E --的平面角，由（1）知BEF △为直角三角形，则3BF ==．故sin 3BE BFE BF ∠==，所以二面角B DF E --的正弦值为3．法二：由（1）知,,EA EB EF 两两相互垂直，如图，以点E 为原点，,,EA EB EF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),B D E F ．由（1）知BE ⊥平面DEF ，故平面DEF 的法向量可取为0)EB =．设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =，由((0,DF BF == ，得00n DF n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1z =，得n = ．设二面角B DF E --的平面角为θ，|||cos |cos ,|3||||n EB n EB n EB θ⋅====⋅ ∣，所以二面角B DF E --的正弦值为320.某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数117382275以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.【答案】（1）2845；456（2）Y 值见解析，45【解析】【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率；利用平均数公式可求前三年六月份每天平均需求量；（2）分别求当温度大于等于25℃时，温度在[20，25）℃时，以及温度低于20℃时的利润，从而估计Y 大于零的概率．【小问1详解】由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为1+17+38＝56，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P 56904528==；前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为()()227560038400117300410004569090++⨯+⨯++⨯=≈（瓶）；【小问2详解】当温度大于等于25℃时，需求量为600，Y ＝550×2＝1100元，当温度在[20，25）℃时，需求量为400，Y ＝400×2﹣（550﹣400）×4＝200元，当温度低于20℃时，需求量为300，Y ＝600﹣（550﹣300）×4＝﹣400元，当温度大于等于20时，Y ＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：()9011772-+=，∴估计Y 大于零的概率P 724905==．21.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112,AB AC BC AA AC =====1A B =，点M 为11B C 的中点，点N 是11C A 上一点，且113C N NA =.（1）求点A 到平面1A BC 的距离；（2）求平面1BCC 与平面AMN 所成平面角的余弦值.【答案】（1）31（2）287【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接1,BO A O ，以O 为原点，,OB OC 分别为,x y 轴，Oz 为z 轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.（2）利用空间向量法求解即可.【小问1详解】取AC 的中点O ，连接1,BO A O，如图所示：因为112,AB AC BC AA AC =====所以OB AC ⊥，1A O AC ⊥，所以OB ==11A O ==.以O 为原点，,OB OC 分别为,x y 轴，Oz 为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,1,0A -，)B ，()0,1,0C ，设()1,0,A x z ，则11A O == ，1A B ==2x =-，12z=，即11,0,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.112A B ⎫=-⎪⎭，()BC = ，设平面1A BC 的法向量为()111,,m x y z = ，则111111020m A B z m BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令1x =，解得113,9y z ==，即)m = .()0,2,0AC = ，设点A 到平面1A BC 的距离为d ，则31AC m d m⋅=== 【小问2详解】()BC = ，1131,1,22CC AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面1BCC 的法向量为()222,,x n y z = ，则22122201022n BC y n CC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2x =，解得223,3y z ==-，即)3n =- .设()1333,,C x y z，则113331,,22A C x y z ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0AC = ，因为11AC AC =，解得11,2,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设()1444,,B x y z，则114441,,22A B x y z ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，)AB = ，因为11A B AB = ，解得131,1,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为点M 为11B C 的中点，所以310,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，510,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭.()1111111131,1,0,2,0,,4224222AN AA A N AA A C ⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面AMN 的法向量为()555,,p x y z = ，则5555531022251022p AN x y z p AM y z ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令51y =，解得55,53x z =-=-，即,1,53p ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.8574cos ,287n p n p n p ⋅==⋅ ，因为平面1BCC 与平面AMN 所成平面角为锐角，所以平面1BCC 与平面AMN 所成平面角的余弦值8574287.22.设函数()()2222,,01x a f x x x a g x a x -=-=>-（1）当2a =时，求()f x 在区间[]3,6上的值域；（2）若[][]()3,6,3,61,2i m x i ∀∈∃∈=，且12x x ≠，使得()()()1,2i f x g m i ==，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]0,24（2）631623159a ≤≤【解析】【分析】（1）分类讨论后可得()2228,3428,46x x x f x x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩，分别求出各段的范围后可得函数的值域.（2）就3a ≥、132a <<、102a <≤分类讨论()f x 的单调性后结合两个函数的值域的关系可求参数的取值范围.【小问1详解】()2228,342428,46x x x f x x x x x x ⎧-+≤≤=-=⎨-<≤⎩，当34x ≤≤时，()()2228f x x =--+，故()06f x ≤≤，当46x <≤时，()()2228f x x =--，故()024f x <≤，故()f x 在区间[]3,6上的值域为[]0,24.【小问2详解】由题设可得()f x 在[]3,6上不单调.()()221122121111x a x a a g x x x x x -+---===++---，若6a ≥，则()224f x x ax =-+，因为对称轴6x a =≥，则()f x 在[]3,6上为增函数，舍；若362a a <<<，则()224f x x ax =-+，此时()f x 在[]3,a 为增函数，在[],6a 为减函数，此时120a -<，故121a y x -=-在[]3,6上为增函数，故()1211a g x x x -=++-在[]3,6上为增函数，故()g x 的值域为()()3,6g g ⎡⎤⎣⎦即为92362,25a a --⎡⎤⎢⎣⎦.因为[][]()3,6,3,61,2i m x i ∀∈∃∈=，且12x x ≠，使得()()()1,2i f x g m i ==，故()()()923292623625a f a f a f a -⎧≥⎪⎪-⎪≥⎨⎪-⎪≤⎪⎩，整理得到292121829224722362253a a a a a a a -⎧≥-⎪⎪-⎪≥-⎪⎨⎪-≤⎪⎪⎪>⎩，无解.若3a =，则()224f x x ax =-+，此时()f x 在[]3,6为减函数，舍；若332a <<，则26a <，故()2224,3224,26x ax x a f x x ax a x ⎧-+<<=⎨-≤≤⎩，此时()f x 在[]3,2a 为减函数，在[]2,6a 上为增函数，而120a -<，故121a y x -=-在[]3,6上为增函数，故()1211a g x x x -=++-在[]3,6上为增函数，故()g x 的值域为()()3,6g g ⎡⎤⎣⎦即为92362,25a a --⎡⎤⎢⎣⎦.因为[][]()3,6,3,61,2i m x i ∀∈∃∈=，且12x x ≠，使得()()()1,2i f x g m i ==，故()()()92223626536235a f a a f a f -⎧≥⎪⎪-⎪≤⎨⎪-⎪≤⎪⎩，整理得到：92023627224536212185a a a a a -⎧≥⎪⎪-⎪≤-⎨⎪-⎪≤-⎪⎩，解得631623159a ≤≤.若302<≤a ，则23a ≤，故()224f x x ax =-，而对称轴3x a =<，故()f x 在[]3,6上为增函数，舍；综上，631623159a ≤≤.【点睛】思路点睛：对于存在性和任意性综合问题，我们需要根据前者得到两个函数的值域关系，而且还要得到某一函数的性质，从而关于参数的不等式组.。
浙江省杭州师大附中高二数学上学期期中考试试题 文【会员独享】.doc
杭师大附中第一学期期中考试高二数学试卷(文科)参考公式：柱体体积公式：V sh 柱体＝（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高） 锥体体积公式：V sh 锥体1＝3（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高） 球的表面积公式：24S R π球面＝ 球的体积公式：343V R π球＝ 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.） 1.直线133=-+y x 的倾斜角为（ ） A ．30B ．60 C ．120D ．1502.如图所示，棱长为1的正方体（左图），沿阴影面将它切割成两块，拼成右图所示的几何体，那么拼成的几何体的表面积为 （ ） A ．222+ B ．223+ C ．224+ D ．225+3.如图所示，用斜二测画法所作的直观图中，3'',2'',4'',1''====C O D O B O A O ，四边形''''D C B A 表示的原平面图形的面积为 （ ）A ．12B ．11C ．10D ．8 4. 已知βα、为两个不同的平面，l 是一条直线，若βα//，且β//l 则 （ ） A ．α//l B. α⊂l C. α//l 或α⊂l D. α⊥l5.如图，沿平面BC A '和C B A ''将三棱柱分割成三个三棱锥，则有（ ） A ．231V V V >> B ．321V V V <= C ．231V V V >= D ．321V V V ==6. 如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为（第2题）A` C B A 1A`B` BC2B` C` CA` 3（第5题）（第3题）（ ） A ．29cmB ．30cmC ．32cmD ．48cm（第6题）7.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BCD ，E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为 （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8. 设l 、m 、n 是两两不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，给出下列命题： ①若m l m l //,,αα⊂⊄，则α//l ； ②若m l m l ⊥⊂=,,αβα ，则βα⊥； ③若m n l n m l ⊥⊥⊂⊂,,,αα，则α⊥n ；④若m l n m l //,,,===αγγββα ，则n m //； ⑤若,,αβα⊂⊥l ，则β⊥l .其中，正确的序号有 A ．①②③ B ．①④⑤ C．①③⑤ D.①④9．若直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，R b a ∈,，且0≠ab ,则ab的最小值是（ ）A ．22B ．2C ．2D ．110．已知四棱锥ABCD S -的底面为正方形，侧棱SD SC SB SA ===，若侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是 （ ）A ．θβγα<<<B ．γθβα<<<C ．βγαθ<<< 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2024学年杭州市二中高二数学上学期11月期中考试B卷附答案解析
2024学年杭州市二中高二数学上学期11月期中考试B 卷试卷共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线1x =的倾斜角是（）A.0︒B.不存在C.90︒D.180︒2.2024年，中国大陆居民的幸福感指数高达79%，持续领跑全球，幸福感指数常用区间[0，100]内的一个数来表示，数字越接近100表示满意度越高．现随机抽取10位学生，他们的幸福感指数为73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．则这组数据的70%分位数是（）A.77.5B.77C.78D.76.53.高二6班和高二7班进行班级篮球赛，采用3场2胜制，已知6班实力强劲，其每场获胜的概率为23，则最终7班能够逆袭成功的概率是（）A.827B.427C.2027D.7274.直线方程20x y m -+=的一个方向向量d可以是（）A.(2,1)- B.(2,1)C.(1,2)-D.(1,2)5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与1AC 所成角的正弦值为（）A15B.15C.65D.6.若方程22123x y m m+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（）A.132m -<<-B.122m -<< C.3m <- D.>2m 7.若圆224x y +=上恰有三个点到直线:2l y x m =+的距离等于1，则m 的值为（）A.±B.C.±D.8.已知实数1212,,,x x y y 满足，2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，则112233x y x y +-++-的最大值为（）A.B.4C. D.8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.给出下列命题，其中正确的是（）A.若{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一个基底B.在空间直角坐标系中，点()1,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()1,4,3---C.点P 为平面ABC 上一点，O 为平面ABC 外一点，且7(,)6OP OA xOB yOC x y R =++∈，则16x y +=-D.非零向量a ，b ，若0a b ⋅≥ ，则,a b 〈〉 为锐角10.下列说法错误．．的是（）A.直线:20l mx y m ++-=恒过定点(1,2)-B.经过点(2,1)P ，且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线l 过点(1,0)P ，且与以(2,1),A B 为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是1k ≤≤D.已知直线1l 过点(3,),(2,3)A a B a -，直线2l 过点(2,3),(1,2)C D a --，若12l l ⊥，则0a =．11.已知椭圆2225:1092x y C k k ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭的两个焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(2)(4)2E x y -+-=上任意一点．若2||PQ PF +的最小值为4-，则下列说法中正确的是（）A.12PF PF ⋅的最小值为5B.12PF PF ⋅的最大值为5C.存在点P 使得1290F PF ︒∠= D.2||PQ PF -的最小值为6第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知()1,1,1a =为平面α的一个法向量，()1,0,0A 为α内的一点，则点()1,1,2D 到平面α的距离为_________．13.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，,A B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF AB ，则此椭圆的离心率是________．14.已知集合(){,|,R}A x y y x m m ==+∈，集合={(,)|1B x y y =-，若A B ⋂有两个元素，则实数m 的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，M为1FF 的中点．设AB a =，AFb = ，1AAc =.（1）用a ，b ，c表示向量DM ，1BE ；（2）若2a c ==求1DM BE ⋅ 的值．16.某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]、、、、、、七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值；（2）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（3）假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？17.已知(1,2)A 、(3,6)B ，动点P 满足4PA PB ⋅=-，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的标准方程；（2）求过点(1,2)A 且与曲线C 相切的直线的方程.18.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==．（1）求证：CD ED ⊥；（2）求平面BDF 与平面CDE 夹角的余弦值；（3）线段上EC 上是否存在点M ，使平面MDF ⊥平面BDF ？若存在，求出EMEC的值；若不存在，请说明理由．19.已知2231,,,222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 和右焦点F 的直线与椭圆E 交于另一个点B ，P 为直线2x =上的动点，直线,AP BP 分别与椭圆E 交于C （异于点A ），D （异于点B ）两点，证明：直线CD 经过点F ．2024学年杭州市二中高二数学上学期11月期中考试B 卷试卷共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线1x =的倾斜角是（）A.0︒B.不存在C.90︒D.180︒【答案】C 【解析】【分析】函数图像的斜率不存在，这倾斜角为90︒.【详解】因为函数1x =的斜率不存在，所以倾斜角为90︒.故选：C.2.2024年，中国大陆居民的幸福感指数高达79%，持续领跑全球，幸福感指数常用区间[0，100]内的一个数来表示，数字越接近100表示满意度越高．现随机抽取10位学生，他们的幸福感指数为73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．则这组数据的70%分位数是（）A.77.5B.77C.78D.76.5【答案】A 【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出.【详解】将这组数据从小到大进行排序，排序后依然为73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．数据个数10n =，%70%p =，则%100.77n p ⨯=⨯=，7是整数.因为%7n p ⨯=是整数，所以70%分位数是第7个数和第8个数的平均值，第7个数是77，第8个数是78，则70%分位数为777815577.522+==.故选：A.3.高二6班和高二7班进行班级篮球赛，采用3场2胜制，已知6班实力强劲，其每场获胜的概率为23，则最终7班能够逆袭成功的概率是（）A.827B.427C.2027D.727【答案】D 【解析】【分析】列出7班赢得比赛的情况，再根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【详解】由题意得7班每场获胜的概率为21133-=，每场输掉比赛的概率为23，则7班赢得比赛的情况有胜胜，胜败胜，败胜胜，则其赢得比赛的概率为7111212113333333372⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故选：D.4.直线方程20x y m -+=的一个方向向量d可以是（）A.(2,1)-B.(2,1)C.(1,2)- D.(1,2)【答案】D 【解析】【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.【详解】解：依题意，()2,1-为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2，故选：D .5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与1AC 所成角的正弦值为（）A.15B.15C.65D.【答案】A 【解析】【分析】延长AB 至点N ，使得12BN CM CD ==，根据四边形BMCN 为平行四边形可知所求角为1ACN ∠（或补角），利用余弦定理可求得所求角的余弦值，即可求得正弦值.【详解】延长AB 至点N ，使得12BN CM CD ==，连接1,A N CN，//CM BN ，∴四边形BMCN 为平行四边形，∴异面直线BM 与1AC 所成角即为CN 与1AC 所成角，即1ACN ∠（或补角），设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a，1A C ∴==，2CN BM ==，12A N ==，2222221111513344cos 215a a a A C CN A N A CN A C CN +-+-∴∠==⋅，1210sin 15A CN ∴∠=，∴异面直线BM 与1AC所成角的余弦值为15.故选：A.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解，解题关键是能够利用平行关系将异面直线所成角的问题转化为相交直线所成角的问题来进行求解.6.若方程22123x y m m+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（）A.132m -<<-B.122m -<<C.3m <-D.>2m 【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆方程的特征分析求解.【详解】由题意可得：032<+<-m m ，解得132m -<<-，所以m 的取值范围为13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：A.7.若圆224x y +=上恰有三个点到直线:2l y x m =+的距离等于1，则m 的值为（）A.±B.C.±D.【答案】B 【解析】【分析】根据圆上点到直线距离为1的点的个数可知圆心到直线l 的距离为1，计算可得结果.【详解】易知圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，若圆上恰有三个点到直线:2l y x m =+的距离等于1可知圆心()0,0到直线的距离为1，即1d ==，解得m =故选：B8.已知实数1212,,,x x y y 满足，2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，则112233x y x y +-++-的最大值为（）A. B.4C. D.8【答案】D 【解析】【分析】依题可得点1122)(,),(,P x y Q x y 在圆22:1O x y +=上，且OP OQ ⊥，原问题等价为求解点P 和点Q 到直线:30l x y +-=距离之和倍的最大值，据此数形结合确定112233+-++-x y x y 的最大值即可.【详解】由题意，可知1122)(,),(,P x y Q x y 在圆22:1O x y +=上，由12120OP OQ x x y y +=⋅=,可得OP OQ ⊥,则||PQ ,因112233x y x y +-++-=，1122)(,),(,P x y Q x y 到直线:30l x y +-=的距离1d 和2d .如图，取PQ 中点M ，连接OM ,分别作1PP l ⊥于点1P ，1M M l ⊥于点1M ，1QQ l ⊥于点1Q ，则111////PP MM QQ ，且1111211||(||||)()22MM PP QQ d d =+=+.又1||||22OM PQ ==,即点M 的轨迹方程为2212x y +=，要使112233+-++-x y x y 最大值，需使1||MM 取最大值，由图知，显然当线段1MM 经过圆心(0,0)O 时，1||MM 的值最大.由点(0,0)O 到直线:30l x y +-=的距离为2d ==，故1max ||22MM d r =+=+=，此时1212||d d MM +==，故1122max max 12max (33))8x y x y d d +-++-==+=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题主要考查距离公式的应用，等价转化、数形结合的思想，属于难题.解题关键在于根据条件数形结合，将两个方程理解为单位圆上的两点,P Q ，由条件得OP OQ ⊥，将所求式理解为点,P Q 到直线:30l x y +-=倍，根据圆的性质和梯形中位线性质即可求得其最大值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.给出下列命题，其中正确的是（）A.若{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一个基底B.在空间直角坐标系中，点()1,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()1,4,3---C.点P 为平面ABC 上一点，O 为平面ABC 外一点，且7(,)6OP OA xOB yOC x y R =++∈，则16x y +=-D.非零向量a ，b ，若0a b ⋅≥ ，则,a b 〈〉 为锐角【答案】AC 【解析】【分析】利用空间向量的基本性质即可判断选项AC ，选项B 利用空间坐标系的点对称做出判断，选项D 利用向量的数量积做出判断即可.【详解】对A ，若{},,a b c 是空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，假设,,a b b c c a +++ 共面，则存在实数λ，μ，使()()a b b c c a λμ+=+++ ，()a b b a c λμλμ∴+=+++， a ，b ，c 不共面，10λμλμ==⎧∴⎨+=⎩，λ，μ无解，故,,a b b c c a +++ 不共面，{},,a b b c c a ∴+++也是空间的一个基底，故A 正确.选项B ：点()1,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()1,4,3，选项B 错误.选项C ：由空间向量共面的推论可知成立，716x y ++=，则16x y +=-，选项C 正确.选项D ：cos ,0a b a b a b ⋅=⋅≥ ，则cos ,0a b ≥ ，∴ππ,,22a b ⎡⎤〈〉∈-⎢⎣⎦可能为零角或直角，选项D 错误.故选：AC10.下列说法错误．．的是（）A.直线:20l mx y m ++-=恒过定点(1,2)-B.经过点(2,1)P ，且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线l 过点(1,0)P ，且与以(2,1),A B 为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是1k ≤≤D.已知直线1l 过点(3,),(2,3)A a B a -，直线2l 过点(2,3),(1,2)C D a --，若12l l ⊥，则0a =．【答案】BCD【解析】【分析】对A ，整理成关于m 的方程即可；对B ，举出过原点的反例即可；对C ，作出图象并找到临界位置即可；对D ，举出反例5a =即可.【详解】对于A ，由直线方程20mx y m ++-=，整理可得()120x m y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2-，故A 正确；对于B ，过点(2,1)P ，且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线还有过原点的，其方程为12y x =，B 错误；对C ，根据题意作出图象，如图所示：当直线l 过B 时，设直线PB 的斜率为1k ，则1001k ==-当直线l 过A 时，设直线PA 的斜率为2k ，则210121k -==-，所以要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是([),1,-∞⋃+∞.，故C 错误；对D ，当5a =时，此时1:3l x =；2:3l y =，此时两直线垂直，故D 错误.故选：BCD.11.已知椭圆2225:1092x y C k k ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭的两个焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(2)(4)2E x y -+-=上任意一点．若2||PQ PF +的最小值为4-，则下列说法中正确的是（）A.12PF PF ⋅的最小值为5B.12PF PF ⋅ 的最大值为5C.存在点P 使得1290F PF ︒∠= D.2||PQ PF -的最小值为6【答案】ABD【解析】【分析】设()()12,0,,0F c F c -，首先由圆22:(2)(4)2E x y -+-=得到圆心E 的坐标与半径，即可判断点E 在椭圆外部，再由22PQ PF PE PF +≥+2EF ≥，求出2EF ，得到,c k ，得到椭圆C 的方程；根据椭圆的定义及椭圆的有界性可判断A ；由极化恒等式得2222124PF PF PO OF PO ⋅=-=- 可判断B ；由2c b =<=O 为圆心c 为半径的圆在椭圆内，可判断C ；将2PQ PF -转化成12PQ PF a +-求其最小值可判断D.【详解】椭圆222:19x y C k+=，则3a =，所以126PF PF +=，圆22:(2)(4)2E x y -+-=的圆心为():2,4E，半径r =因为502k <<，所以2222419k+>，所以点E 在椭圆外部.222PQ PF PE PF EF +≥+--，当且仅当E 、P 、2F 三点共线（P 在E 、2F 之间）时等号成立，设()()12,0,,0F c F c -，则所以24EF ==，解得2c =，所以2945k =-=，∴椭圆22:195x y C +=对于A ：∵126PF PF +=，设1,PF t =则26PF t =-，[]1,5t ∈，所以()21266PF PF t t t t ⋅=-=-+，当t =1或5时，12PF PF ⋅取得最小值5，所以A 正确；对于B ：2222124PF PF PO OF PO ⋅=-=-又PO ⎤∈⎦ ，∴12PF PF ⋅ []1,5∈，当且仅当P 在左、右顶点时取最大值5，故B 正确；对于C ：∵2c b =<=O 为圆心c 为半径的圆在椭圆内，所以不存在点P 使得1290F PF ︒∠=，故C 不正确；对于D ：因为()2111666PQ PF PQ PF PQ PF PE PF -=--=+-≥+--166EF ≥--=，当且仅当E 、Q 、P 、1F 四点共线（且Q 、P 在E 、1F 之间）时取等号，故D 正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知()1,1,1a =为平面α的一个法向量，()1,0,0A 为α内的一点，则点()1,1,2D 到平面α的距离为_________．【解析】【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答．【详解】依题意，(0,1,2)AD = ，而(1,1,1)a = 为平面α的一个法向量，所以点()1,1,2D 到平面α的距离||||a AD d a ⋅=== ,13.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，,A B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF AB ，则此椭圆的离心率是________．【答案】5【解析】【分析】利用椭圆性质写出焦点以及顶点坐标，再由1PF x ⊥轴，2//PF AB 即可得2b c =，可求得离心率为5.【详解】根据题意设椭圆的标准方程为()222210+=>>x y a b a b，如图所示则有()()()()12,0,,0,,0,0,F c F c A a B b -，直线1PF 方程为x c =-，代入方程22221x y a b +=可得2b y a =±，所以2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又2//PF AB ，所以2PF AB k k =，即2000b b a c c a--=---，整理可得2b c =；所以22222245a b c c c c =+=+=，即2215c a =，即可得椭圆的离心率为5c e a ====.故答案为：514.已知集合(){,|,R}A x y y x m m ==+∈，集合={(,)|1B x y y =-，若A B ⋂有两个元素，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(11⎤--⎦【解析】【分析】转化为直线与半圆有两个交点求解即可.【详解】集合(){|R}A x y y x m m ==+∈，，表示直线y x m =+，集合(){|1B x y y ==，表示圆心为（0，1），半径为2的圆的下半部分．如图所示．∵A B ⋂有两个元素，∴直线y x m =+与半圆有两个交点．当直线与圆相切时，即图中直线1l ，则有2=，解得1m =-1m =+当直线过点（2，1）时，即图中直线2l ，则有12m =+，解得1m =-．结合图形可得11m -<≤-．∴实数m 的取值范围是(11]--．故答案为：(11]--．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，M 为1FF 的中点．设AB a = ，AF b = ，1AA c = .（1）用a ，b ，c 表示向量DM ，1BE ；（2）若2a c == 求1DM BE ⋅ 的值．【答案】（1）122DM a b c =--+ ，12BE b c =+ （2）2【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法可得向量数量积.【小问1详解】()111222DM DE EF FM AB AB AF AA a b c =++=--++=--+ ，()111122BE BA AF FE EE AB AF AB AF AA AF AA b c =+++=-++++=+=+ ；【小问2详解】由题意易知2a b c === ，则2π1cos 22232a b a b ⎛⎫⋅=⨯=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，0a c ⋅= ，则()11222DM BE a b c b c ⎛⎫⋅=--+⋅+ ⎪⎝⎭ 2214222a b a c b b c b c =-⋅-⋅--⋅+⋅+ 2214222a b a c b c =-⋅-⋅-+ ()2214222222=-⨯--⨯+⨯=．16.某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]、、、、、、七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值；（2）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（3）假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？【答案】（1）0.002（2）选择方案（2）（3）每日的平均业务量至少应达82单【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出a 的值；（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；（3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为x ，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的x 值.【小问1详解】∵()()0.005320.030.01535251a ⨯+++⨯-=，∴0.02a =【小问2详解】每日人均业务量的平均值为：()300.005400.005500.02600.03700.02800.015900.0051062⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，方案（1）人均日收入为：100622224+⨯=元，方案（2）人均日收入为：()20062504248+-⨯=元，∵248元>224元，所以选择方案（2）【小问3详解】∵404000.1÷=，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.由频率分布直方表可知：前5组的频率和为()0.00520.020.030.02100.8⨯+++⨯=前6组的频率和为()0.00520.020.030.020.015100.95⨯++++⨯=∵0.80.90.95<<，设该销售的每日的平均业务量为x ，则−75×0.015+0.8>0.9，∴81.7x >，又∵N x *∈∴x 最小取82，故他每日的平均业务量至少应达82单.17.已知(1,2)A 、(3,6)B ，动点P 满足4PA PB ⋅=- ，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的标准方程；（2）求过点(1,2)A 且与曲线C 相切的直线的方程.【答案】（1）()()22241x y -+-=（2）1x =或3450x y -+=.【解析】【分析】（1）设s ，由4PA PB ⋅=- ，得动点P 的轨迹方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.【小问1详解】设s ，则(1,2)PA x y =-- ，(3,6)PB x y =-- ，由()()()()13264PA PB x x y y ⋅=--+--=- ，得()()22241x y -+-=，所以曲线C 的标准方程为()()22241x y -+-=.【小问2详解】曲线C 是以()2,4为圆心，1为半径的圆，过点(1,2)A 的直线若斜率不存在，直线方程这1x =，满足与圆C 相切；过点(1,2)A 的切线若斜率存在，设切线方程为()21y k x -=-，即20kx y k -+-=，有圆心到直线距离224211k kd k -+-==+，解得34k =，则方程为3450x y -+=.过点(1,2)A 且与曲线C 相切的直线的方程为1x =或3450x y -+=.18.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==．（1）求证：CD ED ⊥；（2）求平面BDF 与平面CDE 夹角的余弦值；（3）线段上EC 上是否存在点M ，使平面MDF ⊥平面BDF ？若存在，求出EM EC 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）33（3）存在，且12EM EC =【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得DE ⊥平面ABCD ，从而可证得结论；（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值．（3）求出平面BDM 的法向量和平面BDF 的法向量，利用向量法能求出线段EC 上是存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ，进而可求得EM EC 的值．【小问1详解】证明： 正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，交线为AD ，又AD DE ⊥，DE ⊂平面ADEF ，所以DE ⊥平面ABCD ，因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ED ⊥；【小问2详解】由（1）可得AD DE ⊥，CD DE ⊥，又AD CD ⊥，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -．设1AD =，则(0D ,0,0)，(1B ,1,0)，(1F ,0,1)，(0C ,2,0)，(0E ,0,1)，取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA = ，设平面BDF 的一个法向量(n x = ,y ,)z ，因为()()1,1,0,1,0,1DB DF == ，则00n DB x y y x z x n DF x z ⎧⋅=+==-⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=+=⎩⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==-，所以(1n = ,1-,1)-．设平面BDF 与平面CDE 所成角的大小为θ，则3cos cos ,3DA n θ== ．所以平面BDF 与平面CDE所角的余弦值是3．【小问3详解】若M 与C 重合，则平面BDM 的一个法向量()00,0,1m = ,由（2）知平面BDF 的一个法向量(1n = ,1-,1)-，则010m n ⋅=-≠ ，则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直．若M 与C 不重合，如图设(01)EM ECλλ=<<，则(0M ,2λ,1)λ-，设平面BDM 的一个法向量0(m x = ,0y ,0)z ，则00m BD m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令01x =，则01y =-，021z λλ=-，所以21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，平面BDM ⊥平面BDF 等价于0m n ⋅=r r ，即21101λλ+-=-，所以1[0,1]2λ=∈．所以，线段EC 上存在点M 使平面⊥BDF 平面BDM ，且12EM EC =．19.已知1,,,222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 和右焦点F 的直线与椭圆E 交于另一个点B ，P 为直线2x =上的动点，直线,AP BP 分别与椭圆E 交于C （异于点A ），D （异于点B ）两点，证明：直线CD 经过点F ．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，求得,a b ,即得答案；（2）确定()()0,1,1,0A F ，求出直线AF 的方程，联立椭圆方程求得41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，表示出直线,AP BP的方程，进而求得,C D 坐标，结合直线斜率关系，可证明结论.【小问1详解】由题意可得2222121423144a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆E 的方程为2212x y +=．【小问2详解】证明：由（1）可知，()()0,1,1,0A F ，则直线AF 的方程为1y x =-+联立方程组22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩,整理得224400x x -=，解得0x =或43x =，则41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()2,P t ，直线AP 的方程为112t y x -=+，直线BP 的方程为31212t y x t +=--，设()()1122,,,C x y D x y，联立方程组2212112x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，整理得()()2223410t t x t x -++-=，可得2224421,2323t t t C t t t t ⎛⎫-+-++ ⎪-+-+⎝⎭，联立方程组221231212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=--⎪⎩，整理得()()22229632422416160t t x t t x t t ++-++++=，则222416163963x t t t t +=++，22244321t tx t t +=++得从而22224421,321321t t t t D t t t t ⎛⎫+-- ⎪++++⎝⎭．因为2222222210212123442121123CF t t t t t t t t k t t t t t t t -++--++---+===-+--++---+，22222222210021321441211321DFt t y t t t t k t t x t t t t ------++===+-+--++，即CF DF k k =，所以,,C D F 三点共线，所以直线CD 经过点F ．。
浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023学年第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.直线10x y ++=的倾斜角是（）A.34π B.23π C.4π D.-4π【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率1k =-，利用直线倾斜角的正切等于直线的斜率可算出所求直线的倾斜角.【详解】 直线10x y ++=化为=1y x --所以斜率1k =-，∴设直线的倾斜角为α,则tan 1α=-，结合[)0,απ∈，可得34πα=，故选A.【点睛】本题给出直线的方程，求直线的倾斜角，着重考查了直线的基本量与基本形式等知识,属于基础题.2.已知平面向量()()1,3,1,2a b ==- ，则a 在b方向上的投影向量为（）A.()1,2- B.()1,2- C.()2,4- D.()3,6-【答案】B 【解析】【分析】由向量数量积求出a 在b方向上的投影为||cos ,||a b a a b b ⋅⋅=，再结合投影向量的定义求解.【详解】a 在b 方向上的投影为||cos ,||a b a a b b ⨯-+⨯⋅⋅==又b方向上的单位向量为,55||b b ⎛=- ⎝⎭，故a在b 方向上的投影向量是()||cos ,1,2||b a a b b ⋅⋅=-.故选：B.3.设m ､n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①若,//m n αα⊥，则m n ⊥②若,αγβγ⊥⊥，则//αβ③若//,//m n αα，则//m n ④若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥A.①和② B.①和④C.③和④D.②和③【答案】B 【解析】【分析】①运用线面平行、垂直的性质定理即可判断①；②运用面面垂直的判定和性质定理，即可判断②；③运用线面平行的性质定理，即可判断m ，n 的位置关系；④运用面面平行的传递性和线面垂直的性质定理，即可判断④．【详解】①由于n ∥α，由线面平行的性质定理得，n 平行于过n 的平面与α的交线l ，又m ⊥α，故m ⊥l ，即m ⊥n ，故①正确；②若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，也可能平行，故②错；③若m ∥α，n ∥α，由线面平行的性质定理，即得m ，n 平行、相交或异面，故③错；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则面面平行的传递性得α∥γ，由线面垂直的性质定理得，m ⊥γ，故④正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质定理，考查面面平行、垂直的判定和性质定理的运用，是一道基础题．4.不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A.2个小球不全为红色B.2个小球恰有一个红色C.2个小球至少有一个红色D.2个小球不全为绿色【答案】B 【解析】【分析】对于A 两个事件是对立的事件，故A 错误；对于B ，两个事件是互斥而不对立的，故B 正确；对于C ，两个事件不是互斥事件，故C 错误；对于D ，两个事件可以同时发生，不互斥，故D 也错误.【详解】一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，对于A ，2个小球不全为红球与事件“2个小球都为红色”是对立的事件，故A 错误；对于B ，2个小球恰有1个红球与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件，故B 正确；对于C ，2个小球至少有1个红球与事件“2个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；对于D ，2个小球不全为绿球与事件“2个小球都为红色”是可以同时发生的事件，不是互斥事件，故D 错误．故选：B ．5.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a = ，AD b = ，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A.1132a b c++ B.1162a b c-++C .1132a b c -+ D.1162a b c--+ 【答案】D 【解析】【分析】由图形可得MN MC CD DN =++，根据比例关系可得13MC AD = ，12DN DP = ，再根据向量减法DP AP AD =-，代入整理并代换为基底向量．【详解】()111111323262MN MC CD DN AD AB DP AD AB AP AD AB AD AP=++=-+=-+-=--+即1162MN a b c=--+ 故选：D ．6.某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为（）A.661.5，169.5B.661，187C.661，175D.660，180【答案】B 【解析】【分析】先求出总体均值，再利用分层抽样的方差公式即可得解．【详解】由题意甲的平均值为1665x =，方差为21131s =，乙的平均值是2658x =，方差为22208s =，则总体平均值为30665406586617070x ⨯⨯=+=，方差为()()22230401316656612086586611877070s ⎡⎤⎤⎡=⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦．故选：B ．7.圆224210x y x y +--+=与圆222210x y x y ++-+=的公切线有（）A.1条 B.2条 C.3条D.4条【答案】C 【解析】【分析】分别求两圆的圆心和半径，进而确定两圆的位置关系，分析判断.【详解】224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=，则圆心()12,1C ，半径12r =，222210x y x y ++-+=，即()()22111x y ++-=，则圆心()21,1C -，半径21r =，∵123C C ==，即1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切，故两圆的公切线有3条.故选：C.8.在三棱锥A BCD -，平面ACD ⊥平面BCD ，BCD △是以CD 为斜边的等腰直角三角形，ACD 为等边三角形，4CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.32π3B.56π3C.64π3 D.128π3【答案】C 【解析】【分析】先确定底面三角形外接圆圆心E ，过圆心E 且垂直底面的直线为AE ，在直线AE 上找球心O ，由于ACD 为等边三角形，所以球心为ACD 外接圆圆心，由正弦定理求外接圆半径即为外接球半径.【详解】取CD 中点E ，连结AE 根据题意，因为BCD △为等腰直角三角形，所以BCD △的外心为斜边CD 的中点E ，EB EC ED ==；又因为4CD =，所以BCD △的外接圆半径为2；因为平面ACD ⊥平面BCD ，平面ACD 平面BCD CD =,ACD 为等边三角形，所以AE CD ⊥，所以⊥AE 平面BCD ，所以外接球球心O 在直线AE 上，且OA OC OD ==,O 为ACD 的外心，因为ACD 为等边三角形，所以π3CAD ∠=,4CD =,所以由正弦定理有14π23sin 3OA =⋅=,所以三棱锥的外接球的表面积为22644π4ππ33S R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C二.多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的有（）A.从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位数是18D.若样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差为4，则数据121x +，221x +，…，21n x +的标准差为16【答案】AC 【解析】【分析】A ：根据古典概型概率计算方法即可计算；B ：根据平均数的计算方法求出m 的值，在根据方差计算公式即可求解；C ：根据50%分位数的求法求解即可；D ：根据方差的性质即可求解.【详解】对于A ：从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是100.2540=，故A 正确；对于B ：已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则45(1267)4m =⨯-+++=，这组数据的方差为22222126(14)(24)(44)(64)(74)55⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦，故B 错误；对于C ：这组数据从小到大排列为：11，14，15，17，19，23，26，31，共8个，故其50%分位数为第4个数17和第5个数19的平均数，为18，故C 正确；对于D ：若样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差为4，则方差为16，故数据121x +，221x +，…，21n x +的方差为216264⨯=，标准差为8.故D 错误.故选：AC10.如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中水的上表面形状可能是（）A.三角形B.矩形C.非矩形的平行四边形D.六边形【答案】BCD 【解析】【分析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，结合正方体截面图形的特征判断即可．【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图（1），故B 正确；过正方体一面上一边的任意一点（非顶点）和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为非矩形的平行四边形，如图（2），故C 正确；在正方体一面上相邻两边各取一点（非顶点），过这两点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为六边形，如图（3），故D 正确；至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形，故选：BCD11.已知(4,2),(0,4)A B ，圆22:(4)(1)4C x y -+-=，P 为圆C 上动点，下列正确的是（）A.PB PA -的最大值为B.PA PB ⋅的最小值为7-C.x y +的最小值为5- D.PBA ∠最大时，||PB =【答案】ABC 【解析】【分析】利用数形结合法，转化为三点共线时，取得最大值，可判定A 正确；取AB 的中点为D ，转化为25PA PB PD ⋅=- ，结合点与圆的位置关系，可判定B 正确；利用直线0x y b +-=与圆C 相切时，求得b 的最小值，可判定C 正确；根据圆的切线的性质，结合圆切线长公式，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，因为(4,2),(0,4)A B ，可得AB =如图所示，可得PB PA AB -≤=当且仅当,,A B P 三点共线时，等号成立，所以PB PA -的最大值为A 正确.对于B 中，设AB 的中点为D ，则(2,3)D ，所以22()()()()PA PB PD DA PD DB PD DB PD DB PD DB⋅=+⋅+=-⋅+=-225(2)57PD CD =-≥--=- ，所以B 正确；对于C 中，令b x y =+，当直线0x y b +-=与圆C 相切时，b 取值最值，由圆心到直线的距离2d ==，解得5b =±，所以x y +的最小值为5-，所以C 正确；对于D 中，当PB 与圆C 相切时，PBA ∠取得最大值，因为(0,4)B ，圆C 的圆心为(4,1)C ，可得5BC =，此时PB ==，所以D 错误.故选：ABC.12.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如右图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半多面体的下列说法中正确的有（）A.该半正多面体外接球与原正方体外接球半径相等B.与DF 所成的角是π3的棱有18条C.DF 与平面BCD 所成的角π4D.直线DE 与直线AF所成角的余弦值的取值范围为12[,]22【答案】CD【解析】【分析】将半正多面体补成正方体，考虑外接球的球心，可判断A ；由两直线所成角的定义可判断B ；由线面角的定义可判断C ；建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求出直线与直线所成角的余弦值的取值范围，可判断D ．【详解】设该半正多面体棱长为它的所有顶点都在同一个正方体的表面上；将该半正多面体补成正方体，正方体的棱长为2，可得该半正多面体的外接球与原正方体的外接球的球心重合，所以该半正多面体的外接球半径为1O A ==,原正方体的外接球的半径1O K =，故A 错误；与DF 成π3的棱有,,,HF AG AF GH 和与面AFHG 相对的面上的,,,;CI JN CJ IN 还有,,,DH BC CD BH 和与面BCDH 相对的面上的,,,,AM NS MN AS 共16条，故B 错误；由FR ⊥平面BCDH ，可得FDR ∠为DF 与平面BCD 所成角，由于DRF 为等腰直角三角形，所以π4FDR ∠=，故C 正确；建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,1,0,2,2,1,1,0,2,0,1,2,1,2,2A F B C D ,所以()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1AF CD FD ===-;又()1,1,0,BC =-设()[],,0,0,1BE BC λλλλ==-∈ ，则()()1,,0,,2,0E DE λλλλ-=--.cos ,AF DE AF DE AF DE⋅==--令111,,22t λ⎡⎤=∈--⎢⎥-⎣⎦则cos ,AF DE = 21221,1,2t t ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦所以1cos ,,22AF DE ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故直线DE 与直线AF所成角的余弦值的取值范围为12[,22.故D 正确.故选：CD.三、填空题（本大题共4小题，每空5分，共20分）13.已知直线1:21l x ay +=与直线2:210l x y +-=，若12//l l ，则1l 与2l 之间距离是__________【答案】510【解析】【分析】两条平行直线1l 与2l 之间的距离，等于直线1l 上的点到直线2l 的距离.【详解】直线1:21l x ay +=过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，由12//l l ，1l 与2l 之间距离等于点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭到直线的2:210l x y +-=距离，故距离2211152210512d -===+.故答案为：510.14.在空间直角坐标系中，已知三点A （3，2，0），B （2，1，3），C （3，1，0），则点C 到直线AB 的距离为____________.【答案】11011【解析】【分析】根据空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】由A （3，2，0），B （2，1，3），C （3，1，0），可得：(1,1,3)AB =-- ，(0,1,0)AC =- ，所以可得：cos ,AC AB AC AB AC AB⋅〈〉==⋅ ，因此sin ,11AC AB 〈〉=== ，于是点C 到直线AB的距离为sin ,11111AC AC AB ⋅〈〉=⨯= ，故答案为：1101115.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹为圆，已知,P Q 分别是圆22:(4)4C x y -+=与直线:40l x y -+=上的点，O 是坐标原点，则2||||PQ PO +的最小值为_______【答案】【解析】【分析】由阿波罗尼斯圆的定义，设(),0A a ， 1 2PA PO =，对比圆C 方程求得()3,0A ，则有()22PQ PO PQ PA +=+，最小值为点()3,0A 到直线:40l x y -+=距离的两倍.【详解】设()0,0O ，(),0A a ，设(),P x y，若 1 2PA PO ==，整理得2224439a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，由圆C 方程得2443449a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3a =，则()3,0A ．圆22:(4)4C x y -+=上任意一点P ，都有2PO PA =，所以()22PQ PO PQ PA +=+，PQ PA +的最小值为点()3,0A 到直线:40l x y -+=的距离AB ，22342211AB +==+，所以()22272PQ PO PQ PA AB +=+≥=，即2||||PQ PO +的最小值为72故答案为：7216.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F .若1F 关于直线2y x =的对称点P 恰好在C 上，且直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，则12cos FQF ∠=__________.【答案】1213【解析】【分析】由点的对称性求出点P 坐标，和线段1PF 、2PF ，从而发现12F PF ∠为直角，再由椭圆标准定义找到a c 、关系，并求出2QF 、1QF 的长度，最后在直角三角形2QPF △中，求出12cos F QF ∠的值.【详解】设1(,0)F c -关于直线2y x =的对称点11(,)P x y ，由111121222y x c y x c ⎧⋅=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，得34(,55c c P -，可知1455PF c =，2255PF c =，又知122F F c =，所以2221212PF PF F F +=，则12F PF ∠为直角，由题意，点P 恰好在C 上，根据椭圆定义122PF PF a +=，得5a c =，122QF QF a +=，设1QF m =，则225QF a m m =-=-，在直角三角形2QPF △中，222()()()555m c m ++=-，解得4525m =，从而226525QF =，24525QP =，所以22112cos 13F QPQF F Q ∠==.故答案为：1213四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2b a B c +=，（1）求A ∠；（2）若a =，ABC 的面积为2，求ABC 的周长.【答案】17.π318.3+【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（2）根据面积公式可得2bc =，利用余弦定理可得3b c +=，即可得结果.【小问1详解】因为2cos 2b a B c +=，由正弦定理可得sin 2sin cos 2sin B A B C +=，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，即sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin B A B A B A B +=+，则sin 2cos sin B A B =，且()0,πB ∈，则sin 0B ≠，可得1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=.【小问2详解】因为ABC 的面积为11sin 2222=⨯=bc A bc ，可得2bc =，由余弦定理可得2222cos c b bc A a +-=，即223b c bc +-=，整理得()2339+=+=b c bc ，可得3b c +=，所以ABC 的周长为3a b c ++=+.18.已知直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈=．（1）若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 不经过第三象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）30x y +=或20x y ++=（2）2a ≥【解析】【分析】（1）当直线过原点时，直线在x 轴和y 轴上的截距为零，将原点坐标代入求解，当直线不经过原点时，截距存在且均不为零.由221a a a -=-+求解.（2）根据直线l 经过定点(1,3)-，方程化为(1) 2y a x a =-++-，由(1)3-+≤-a 求解.【详解】（1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，，方程即为3 0x y +=当直线不经过原点时，截距存在且均不为零，221a a a -∴=-+，即11a +=0a ∴=，方程即为20x y ++=综上，直线l 的方程为30x y +=或20x y ++=（2）因为直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈=．可化为：()120x a x y -+++=令1020x x y -=⎧⎨++=⎩，解得13x y =⎧⎨=-⎩所以直线l 经过定点(1,3)P -，方程化为(1) 2y a x a =-++-如图所示：若直线l 不经过第三象限则(1)3-+≤-a 2a ∴≥所以a 的取值范围是：2a ≥【点睛】本题主要考查直线的方程和直线在坐标轴上的截距和在坐标系中的位置，还考查了数形结合的思想法，属于中档题.19.在高考结束后，省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线．考生们可以将自己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据．每一个学科的评价都有一个标准进行判断．以数学学科为例，在一次考试中，将考生的成绩由高到低排列，分为一、二、三档，前22%定为一档，前58%到前22%定为二档，后42%定为三档．在一次全市的模拟考考生数学成绩的频率分布直方图如图所示，根据直方图的信息可知第三档的分数段为[)0,70．（1）求成绩位于[)30,60时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段；（2）在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为0.8，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为0.5，数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为0.1．在此次模拟考试中．甲、乙、丙三位考生的数学成绩分别为65，94，122．请结合第（1）问中的分数段，求这三位考生总分过特控线的人数2X =的概率．【答案】（1）0.16，第一档的分数段为[]100,150，第二档的分数段为[)70,100（2）0.41【解析】【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，求出成绩在[)30,60所对应的频率为0.16，结合题干条件求出一档、二档的分数段；（2）首先判断出甲、乙、丙的成绩属于哪一档，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【小问1详解】根据频率分布直方图的信息，成绩在[)[)[)[)0,30,30,60,60,90,90,120，[]120150,对应的频率分别为0.12,30,0.42,0.24,0.06a .根据总的频率和为1，即0.12300.420.240.061a ++++=，解得300.16a =，即成绩在[)30,60所对应的频率为0.16.因为0.220.060.16=+，且0.1620.243=，可知成绩在[)90,120内的前23也属于第一档，即可知第一档的分数段为[]100,150，0.580.060.240.28=++且0.2820.423=，故成绩在[)60,90内的前23也属于第二档，所以二档的分数段为[)70,100.【小问2详解】根据第（1）问的结论可知，甲的数学成绩属于第三档，乙的数学成绩属于第二档，丙的数学成绩属于第一档，则()20.80.50.90.20.50.10.80.50.10.41P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.20.如图，四面体ABCD 中，2AB AC ==，2DB DC ==，设E 为BC 的中点．（1）求证：平面AED ⊥平面BCD ；（2）若∠BAC =60°，AD=3，求二面角B-AD-C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）17-【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）作出二面角的平面角，结合余弦定理进行求解.【小问1详解】证明：因为AB AC =，DB DC =，且E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ，DE ⊥BC .又因为AE DE ⊂，平面AED ，DE AE E ＝，所以BC ⊥平面AED ；因为BC ⊂平面BCD ，所以平面AED ⊥平面BCD ；.【小问2详解】作BF ⊥AD ，连接CF ，由题知，ABD ACD ≅ ，所以CF ⊥AD ，所以∠BCF 为二面角B-AD-C 的平面角.因为AB AC =，∠BAC =60°，所以ABC 为正三角形，2BC AC ==.由于AB =BD ，且BF ⊥AD ，所以F 为AD 中点，故72BF ==.同理72CF =，所以2221cos 27BF CF BC BFC BF CF +-∠==-⋅，即二面角B-AD-C 的余弦值为17-.21.小明同学某天发现，在阳光下的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心O 且与太阳平行光线垂直的平面为α，地面所在平面为β，篮球与地面的切点为H ，球心为O ，球心O 在地面的影子为点O '；已知太阳光线与地面的夹角为θ；（1）求平面α与平面β所成角ϕ（用θ表示）；（2）如图，AB 为球O 的一条直径，,A B ''为,A B 在地面的影子，点H 在线段A B ''上，小明经过研究资料发现，当π2θ≠时，篮球的影子为一椭圆，且点H 为椭圆的焦点，线段A B ''为椭圆的长轴，求此时该椭圆的离心率（用θ表示）.【答案】（1）π2θ-；（2）cos θ.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量求面面角，列式求解即得.（2）利用圆的切线性质，求出椭圆长半轴长与半焦距的表示式即可求出离心率.【小问1详解】观察图形知，AA ' 为平面α的法向量，设平面β的法向量为n，光线与地面夹角为θ，依题意，π02θ<≤，1πcos |cos ,|sin cos()2n AA ϕθθ=〈〉==- ，而0πϕ≤≤，所以π2ϕθ=-.【小问2详解】设篮球半径为R ，显然平面ABB A ''⊥平面β，连接,OH OB '，OH ⊥平面β，过B '作//B C AB '交AA '于C ，则,B C AA B C AB ''='⊥，于是椭圆长轴22sin sin B C R a A B θθ'''===，在四边形ABB A ''中，122B OH BOH θ∠=∠='，令椭圆半焦距为c ，而π02θ<<，则2sin2sin(1cos)22tan(1cos)2sincos2sin cos222R R Ra c B H R aθθθθθθθθθ⋅-'-======-，解得coscaθ=，所以该椭圆的离心率为cosθ.22.已知点()0,2A，10,2B⎛⎫⎪⎝⎭，点P为曲线Γ上任意一点且满足2PA PB=.（1）求曲线Γ的方程；（2）设曲线Γ与y轴交于M、N两点，点R是曲线Γ上异于M、N的任意一点，直线MR、NR分别交直线:3l y=于点F、G.求证：以FG为直线的圆C与y轴交于定点S，并求出点S的坐标.【答案】（1）221x y+=（2）证明过程详见解析，S点坐标为(0,3±【解析】【分析】（1）由题意，先设(),P x y，根据2PA PB=，列出 ,x y的关系式，化简整理，即可求出结果；（2）先由圆的方程求出()0,1M，()0,1N-，设点()00,R x y，表示出直线RM与NR的方程，分别求出F、G坐标，再由题意得出•0SF SG=，进而可求出结果.【详解】解：（1）设(),P x y，由2PA PB=，=，整理得221x y+=.所以曲线Γ的方程为221x y+=.（2）由题意得，()0,1M，()0,1N-.设点()()000,0R x y x≠，由点R在曲线Γ上，所以22001x y+=.直线RM 的方程为0011y y x x --=，所以直线RM 与直线3y =的交点为002,31x F y ⎛⎫⎪-⎝⎭.直线NR 的方程为0011y y x x ++=，所以直线NR 与直线3y =的交点为004,31x G y ⎛⎫⎪+⎝⎭.设点()0,S m ，则000024,3,,311x x SF m SG m y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭.由题意得•0SF SG = ，即()2000024•3011x x m y y +-=-+，整理得()220208301x m y +-=-.因为22001x y +=，所以()2830m -+-=，解得3m =±.所以点S的坐标为(0,3S ±.【点睛】本题主要考查点的轨迹方程，以及圆的方程的应用，常需要通过已知点所满足的关系式，求解其它的量，属于中档试题.。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示, 据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表), 下列说法正确的是（）
A．众数为60或70B．45%分位数为70
C．平均数为73D．中位数为75
20．已知圆22
C x y x y
+---=.
:46120
(1)求过点()
75,且与圆C相切的直线方程;
(2)求经过直线70
+-=与圆C的交点, 且面积最小的圆的方程.
x y
八、问答题
22．设圆222150
B且与x轴不重合，l交圆A x y x
++-=的圆心为A，直线l过点(1,0)
于,C D两点，过B作AD的平行线交AC于点E.
(1)写出点E的轨迹方程；
)3y -
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。
2022-2023学年浙江省杭州市S9联盟高二上学期11月期中联考数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省杭州市S9联盟高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题 1．复数21i+(i 是虚数単位)=（ ） A ．1i + B ．12i -C ．22i +D ．1i -【答案】D【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2--===-++-， 故选：D.2．已知直线l 过点()()1321G H -，，，， 则直线l 的方程为（ ）A ．470x y ++=B ．470x y --=C ．23110x y --=D ．470x y -+=【答案】B【分析】直接利用两点式直线方程得132113x y -+=-+，化简即可. 【详解】直线l 的两点式方程为：132113x y -+=-+，化简得470x y --=， 故选：B.3．“幸福感指数” 是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标， 常用区间 []010，内的一个数来表示， 该数越接近10表示满意度越高. 现随机抽取10位杭州市居民， 他们的幸福感指数为56677788910，，，，，，，，，. 则这组数据的80%分位数是（ ） A ．7.5 B ．8 C ．8.5 D ．9【答案】C【分析】根据百分位数的定义直接求解. 【详解】因为100.8=8⨯，所以80%分位数是8+9=8.52， 故选:C.4．函数()1cos cos22f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A ．1π，B ．2π，C ．21π，D ．22π，【答案】A【分析】利用辅助角公式化简即可求解.【详解】()1313sin cos cos2sin 2cos2sin(2)2226f x x x x x x x π=+=+=+,所以最小正周期为2T ππω==，振幅为1. 故选:A.5．在直三棱柱ABC A B C '''-中， 侧棱长为4 ， 底面是边长为4的正三角形， 则异面直线 AB '与BC '所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．33C ．14D ．55【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解夹角的余弦值.【详解】由题意，取AC 中点O ，建系如图所示的空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0,23,0),(0,3,4),(2,0,4)A B B C ''-, 所以(2,23,4),(2,23,4)AB BC ''=-=--, 所以81cos ,324AB BC AB BC AB BC ''⋅''<>===''， 所以AB '与BC '所成角的余弦值为14，故选:C.6．一条光线沿直线210x y -+=入射到直线50x y +-=后反射， 则反射光线所在的直线方程为（ ） A ．490x y +-= B ．260x y -+= C ．30x y -+= D ．490x y +-=【答案】B【分析】根据反射光线过已知直线的交点以及入射光线上的点与反射光线上的点关于50x y +-=对称即可求解.【详解】联立21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得43113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以反射光线过点41133⎛⎫ ⎪⎝⎭，，取直线210x y -+=上一点(01)A ，关于50x y +-=对称的点为(,)B a b ， 则有1115022AB b k a a b -⎧==⎪⎪⎨+⎪+-=⎪⎩解得45a b =⎧⎨=⎩，所以反射光线过点41133⎛⎫ ⎪⎝⎭，和(4,5)，则反射光线的斜率12k =，根据点斜式得15(4)2y x -=-，即260x y -+=，故选:B.7．已知函数()2,9,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()2g x f x x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,∞+B ．[)0,3C ．[)1,-+∞D ．[)1,3-【答案】A【分析】讨论a 的取值，并根据x 的正负去掉绝对值符号求解函数的零点，即可得到a 的取值范围. 【详解】（1）当a<0时，()()2,29,093,0x x x ag x f x x x a x x x ⎧+≤⎪=-=+<<⎨⎪-≥⎩，令20x x +=，得=1x -，或0x =（舍去）， 令90x +=，得9x =-，令930x -=，得3x =，若函数()()2g x f x x =-有三个零点，则19a a -≤⎧⎨<-⎩，无解，即不可能有三个零点；（2）当a =0时，()()2,020,093,0x x x g x f x x x x x ⎧+<⎪=-==⎨⎪->⎩，由（1）知有=1x -，或0x =，3x =三个零点，满足题意；（3）当a >0时，()()22,023,093,x x x g x f x x x x x a x x a ⎧+<⎪=-=-≤≤⎨⎪->⎩，当0x <时有一个零点1-，0x =是函数的一个零点，所以当0x >时函数只有一个零点， 令230x x -=，得3x =，或0x =（舍去），令930x -=，得3x =，即不论a 取大于0的何值，3x =是函数的一个零点，故有三个零点，综上，实数a 的取值范围是[)0,∞+ 故选: A【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8．已知ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1.设点O 到边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d .若1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=-，则222123d d d ++=（ ）A ．34B ．1C ．32D ．3【答案】B【分析】根据题意：||1OA →=，则有2OA OB OB OC OC OA OA →→→→→→→⋅+⋅+⋅=-，进而移项进行两两组合， 20OA OB OA OB OC OC OA →→→→→→→⋅++⋅+⋅=，进一步可以化简为：0OA OC OA OB →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.【详解】∵ABC 外接圆半径为1，∴||1OA →=，∴22||OA OB OB OC OC OA OA OA →→→→→→→→⋅+⋅+⋅=-=-， ∴200OA OB OA OB OC OC OA OA OA OB OC OA OB →→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅++⋅+⋅=⇒⋅++⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴0OA OC OA OB →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设边BC ，CA ，AB 的中点分别为M ,N ,P ， ∴2200ON OP ON OP →→→→⋅=⇒⋅=,同理：0,0ON OM OM OP →→→→⋅=⋅=，如图1：若点O 不与M ,N ,P 任何一点重合，则ON OP →→⊥，,ON OM OM OP →→→→⊥⊥同时成立，显然不合题意； 如图2：不妨设点O 与点M 重合，由ON OP →→⊥，根据中位线定理有由AB ⊥AC ，则2BC =，∴()2222222212311144d d d OP ON AC AB BC ++=+=+==. 故选：B.【点睛】类似1OA OB OB OC OC OA →→→→→→⋅+⋅+⋅=-这样的题目，往往需要对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍.二、多选题9．如果0AB <，0BC >，那么直线0Ax By C ++=经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】ACD【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限. 【详解】因为0AB <，故0B ≠，故直线的斜截式方程为：A Cy x B B=--， 因为0AB <，0BC >，故0,0A CB B->-<， 故直线经过第一象限、第三象限、第四象限， 故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或10x y -+= 【答案】AB【分析】对于A ，由直线方程求直线在坐标轴上的截距，从而可求出直线与坐标轴围成的三角形的面积，对于B ，直接求解点(0,2)关于直线1y x =+的对称点进行判断，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式方程，对于D ，分截距为零和截距不为零两种情况求解即可【详解】解：对于A ，当0x =时，=2y -，当0y =时，2x =，所以直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积为12222⨯⨯=，所以A 正确，对于B ，设点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(,)m n ，则2122210n mn m +⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩，所以点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，所以B 正确，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式求直线方程，所以C 错误，对于D ，当直线的截距为零时，设直线方程为y kx =，则2k =，所以直线方程为20x y -=，当当直线的截距不为零时，设直线方程为1x ya a +=，则121a a+=，解得3a =，所以直线方程为30x y +-=，所以经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或20x y -=，所以D 错误， 故选：AB 11．已知函数21()21x x f x ，下面说法正确的有（ ） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．()f x 的图象关于原点对称 C ．()f x 的值域为()1,1- D ．12,x x R ∀∈，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-恒成立【答案】BC【解析】判断()f x 的奇偶性即可判断选项AB ，求()f x 的值域可判断C ，证明()f x 的单调性可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】21()21x x f x 的定义域为R 关于原点对称, 2122112()()2112212x x x x xxxxf x f x ，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 不正确，选项B 正确；212122()1212121x x x x xf x +--===-+++，因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+， 22021x --<<+，所以211121x -<-<+，可得()f x 的值域为()1,1-，故选项C 正确；设任意的12x x <， 则121221121222()()1121212121212222221x x x x x x x x f x f x ，因为1210x +>，2210x +>，12220x x -<，所以()()()121222202121x x x x -<++，即12())0(f x f x -<，所以()()12120f x f x x x ->-，故选项D 不正确；故选：BC【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法 （1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.12．（多选题）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则（ ）A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC【分析】利用反证法可判断A ，根据线线平行可判断B ，由线面平行得等腰梯形，继而可求面积，可判断C ，根据反证法可判断D.【详解】根据题意，因为1DD ⊥底面ABCD ，所以1DD ⊥AE ，假设直线D 1D 与直线AF 垂直，AE AF A ⋂=，则1DD ⊥面AEF ，则1DD ⊥EF ，又因为,E F 是中点，所以111//,//EF BC BC AD ,故AD 1∥EF ， 所以1AD 与1DD 所成角为145AD D ∠=，所以直线D 1D 与直线EF 所成角也为45，不垂直，所以与1DD ⊥EF 矛盾， 所以直线D 1D 与直线AF 不垂直，故A 错误．因为11//AG D F ，1D F ⊂平面1AEFD ，1AG ⊄平面1AEFD ，所以1//AG 平面1AEFD ，故B 选项正确． 平面AEF 截正方体所得截面为等腰梯形1AEFD ，22115122AE D F ⎛⎫==+=⎪⎝⎭,11222EF AD ==,且梯形的高为225232244⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故梯形面积为232224928⎛⎫+⨯⎪⎝⎭= ，故C 选项正确． 假设C 与点G 到平面AEF 的距离相等，则平面AEF 平分CG ，即平面AEF 必然经过CG 的中点，连接CG 交EF 于点H ,H 不是CG 的中点，故假设不成立，故C 与点G 到平面AEF 的距离不相等，故D 错误． 故选:BC.【点睛】三、填空题13．直线的斜率为k ，若13k << 则直线的倾斜角的范围是___________.【答案】,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合已知条件，即可求得结果.【详解】设直线倾斜角为θ，由题可得()tan 1,3θ∈，又[)0,θπ∈，故可得,43ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭.14．直线()()12120a x a y ---+=恒过一定点， 则此定点为___________. 【答案】(4,2)【分析】根据直线过定点则与参数a 无关即可求解.【详解】直线()()12120a x a y ---+=可写为(2)20a x y x y --++=， 令20x y -=，则20x y -++=，由2020x y x y -=⎧⎨-++=⎩解得42x y =⎧⎨=⎩，所以直线过定点(4,2). 故答案为: (4,2).15．已知三棱锥A BCD -中， AB ⊥面9022BCD BCD AB BC CD ∠====，，，， 则三棱锥的外接球的体积为___________. 【答案】510π3【分析】根据三棱锥的顶点是长方体的顶点即可求解.【详解】由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点， 所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 由图可知长方体的长宽高分别为2,2,2a b c ==， 所以体对角线长22210d a b c ++= 所以外接球的体积等于34105103π=⎝⎭.故答案为. 16．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，当x =______________.时，1141x y ++取得最小值.【答案】3【分析】由lg2lg4lg2x y +=可得21,2413x y x y +=++=，原式化为()1212413241x y x y ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值，根据等号成立的条件求解即可. 【详解】2lg2lg4lg2lg 2x y x y ++==，21,2413x y x y ∴+=++=，()11121241413241x y x y x y ⎛⎫+=⨯+++ ⎪++⎝⎭()24112313241y x x y +⎡⎤=++≥⎢⎥+⎣⎦ 当且仅当()24+12241y xx y =+时“=”成立， 又21x y +=，∴可得231290x x -+=，32x =±210,1y x x =->∴<，3x ∴=，故答案为3【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.四、解答题17．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为3354， ，在第二轮比赛中， 甲、乙胜出的概率分别为2132，. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】(1)甲 (2)58【分析】（1）利用概率的乘法公式计算出甲赢得比赛概率为25，乙赢得比赛的概率为38； （2）首先利用对立事件概率求得甲和乙各自未赢比赛的概率，再利用正难则反的方法，求出至少一人赢得比赛的概率.【详解】（1）设事件1A 表示“甲在第一轮比赛中胜出”,事件2A 表示“甲在第二轮比赛中胜出”, 事件1B 表示“乙在第一轮比赛中胜出”,事件2B 表示“乙在第二轮比赛中胜出”,则12A A 表示“甲赢得比赛”,()()()1212322535P A A P A P A ==⨯=， 12B B 表示“乙赢得比赛“,()()()1212313428P B B P B P B ==⨯=, 23,58>∴派甲参赛赢得比赛的概率更大. （2）设C 表示“甲赢得比赛”,D 表示“乙赢得比赛”, 由(1)知()1223()1155P C P A A =-=-= ()1235()1188P D P B B =-=-=, C D ∴⋃表示“两人中至少有一个赢得比赛”,355()1()1()()1588P C D P CD P C P D ∴⋃=-=-=-⨯= 所以两人至少一人赢得比赛的概率为58. 18．己知直线2310x y -+=和直线20x y +-=的交点为P .(1)求过点P 且与直线310x y --=平行的直线方程；(2)若直线 1l 与直线310x y --=垂直，且P 到 1l .【答案】(1)320x y --=(2)320x y +-=或360x y +-=【分析】(1)联立求出点P 坐标，再根据两直线平行斜率相等即可求解;(2)根据两直线垂直斜率之积等于1-以及点到直线距离公式即可求解.【详解】（1）由231020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩,所以(1,1)P ， 设所求直线为30x y C -+=,因为直线过点(1,1)P ，所以310C -+=解得2C =-，所以所求直线方程为320x y --=.（2）直线 1l 与直线310x y --=垂直,所以可设1l 为30x y c ++=，又因为P 到 1l 的距离等于410105c+=，解得2c =-或6c =-， 所以所求直线方程为320x y +-=或360x y +-=.19．如图三棱柱，111ABC A B C 的所有棱长都相等，1160A AB A AC ︒∠=∠=，点M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接1A M ，设AB a =，AC b =，1AA c =.(1)用a ，b ，c 表示1AM ； (2)证明：1A M AB ⊥.【答案】(1)11133A M a b c =+- (2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形和重心的性质可得1122=+AN AB AC ，23AM AN =，再求出1AM ；（2）设三棱柱的棱长为m ，由空间向量数量积的定义可得10AM AB ⋅=，即可得到1A M AB ⊥. 【详解】（1）解：因为ABC 为正三角形，点M 为ABC 的重心，所以N 为BC 的中点， 所以1122=+AN AB AC ，23AM AN =， 所以11123A M A A AM AA AN =+=-+， 111113333AA AB AC a b c =-++=+-. （2）证明：设三棱柱的棱长为m ， 则11133A M AB a b c a ⎛⎫⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭ 21133a a b c a =+⋅-⋅ 211cos cos 3333a a b c a ππ=+⋅-⋅ 222111103322m m m =+⨯-⨯=. 所以1A M AB ⊥.20．在ABC 中， 内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 且2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭. (1)求 A ;(2)请从问题①②中任选一个作答（若①②都做，则按①的作答计分）①若2a =， 求ABC 周长的取值范围；②求sin sin B C 的最大值.【答案】(1)(]4,6(2)见解析【分析】（1）利用诱导公式和正弦定理边换角化简得1cos 2A =，从而得到A ； （2）若选①利用余弦定理得到224b c bc ∴+=+，再结合基本不等式和三角形三边关系得到周长取值范围，若选②，多变量变单变量，利用2π3C B =-，通过二倍角公式，辅助角化简得11sin sin sin 2264B C B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用B 的范围得到其最大值. 【详解】（1）π2sin cos cos 2c A a B b A ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2cos cos cos c A a B b A ∴=+根据正弦定理，2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A A B B A A B C ∴=+=+=又sin 0C ≠，1cos 2A ∴=，又(0,)A π∈，π3A ∴=； （2）选①由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，π2,3a A ==224b c bc ∴+=+, 2()43b c bc ∴+=+，,0b c >，则()22432b c b c bc +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，解得04b c <+≤， 又2b c +>，24b c ∴<+≤24b c ∴<+≤46a b c ∴<++≤ABC ∴周长的取值范围是(4,6].选②，π2πππ33B C A +=-=-=, 所以2π2π2πsin sin sin sin sin sin cos cos sin 333B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin sin 2B B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭21cos sin 2B B B =+11cos 2222B B -=+⋅111π12cos 2sin 244264B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ π3A =，故2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π7π2,666B π⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 所以当ππ262B -=，即π3B =，此时π3C =, 1π1sin sin sin 2264B C B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最大值34. 21．己知O 为坐标原点， 倾斜角为56π的直线l 与x y ，轴的正半轴分别相交于点,A B AOB ，的面积为(1)求直线l 的方程;(2)直线:l y '=， 点P 在l '上， 求PA PB +的最小值.【答案】(1)343y x =-+ (2)47 【分析】(1)根据斜率假设出直线方程，再求出,A B 坐标即可求解；(2)求出(0,4)B 关于直线:3l y x '=-对称的点坐标为(,)B a b '，将问题转化为求PA PB '+的最小值即可.【详解】（1）因为53tan 63π=-,所以设直线l 的方程为33y x b ，且0b >， 所以(3,0),(0,)A b B b ，所以13832AOB S b b =⨯⨯=，解得4b =或4b =-（舍）. 所以直线l 的方程为343y x =-+ （2）由(1)得(43,0),(0,4)A B ，设(0,4)B 关于直线:3l y x '=-对称的点坐标为(,)B a b '，则有4334322b a b a⎧-=⎪⎪⎨+⎪=-⨯⎪⎩ ，解得232a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，所以(23,2)B -'， 所以108447PA PB PA PB AB ''+=+≥=+=.所以PA PB +的最小值为47.22．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形、侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 在棱DP 上， 且2DM MP =， 点N 是在棱PC 上的动点 (不为端点).(1)若N 是棱PC 中点， 完成:(i)画出PBD △的重心G （在图中作出虚线），并指出点G 与线段AN 的关系；(ii) 求证: //PB 平面AMN ；(2)若四边形ABCD 是正方形， 且3AP AD ==， 当点N 在何处时， 直线PA 与平面 AMN 所成角的正弦值取得最大值， 并求出最大值.【答案】(1)(i)作图见解析,点G 在线段AN 上；(ii)证明见解析；(2)当点N 在线段PC 靠点P 的三等分点处时，直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值最大，最大值为55．【分析】（1）(i)连接PO 后确定点G ，再通过在PAC ∆中的重心来确定PO 线上的比例关系，进而得出PBD ∆的重心．(ii)利用(i)中得出的比例关系与原题中相同的比例关系构建相似三角形即可证明．（2）先设出N 的位置，即PN 与PC 的关系，建立空间直角坐标系求出直线PA 与平面AMN 所成角带参数的正弦值，通过线面角正弦值的范围与分式、根式的最值即可求出答案．【详解】（1）(i)设AC 与BD 的交点为O ，连接PO 与AN 交于点G ，点O 为AC 中点，点N 为PC 中点，PO ∴与AN 的交点G 为PAC ∆的重心，2PG GO ∴=，又PO 为PBD ∆在BD 边上的中线，∴点G 也为PBD ∆的重心，即重心点G 在线段AN 上．(ii)证明：连接DG 并延长交PB 于点H ，连接MG ，点G 为PBD ∆的重心，2DG GH ∴=，又2DM MP =，//MG PH ∴即//MG PB ，又MG ⊂平面AMN ，PB ⊄平面AMN ， 所以//PB 平面AMN ．（2）四边形ABCD 是正方形，且PA ⊥平面ABCD ， AB ∴、AD 、AP 两两垂直， 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则点(0A ，0，0)，(0P ，0，3)，(3C ，3，0)，(0M ，1，2)， 则(0,0,3)AP =，(0,1,2)AM =，(3,3,3)PC =-， 设=PN PC λ则(3,3,3)PN PC λλλλ==-， ∴(3,3,33)AN AP PN λλλ=+=-+，设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z =，则有2033(33)0n AM y z n AN x y z λλλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-+=⎪⎩，化简得：213y z x z λ=-⎧⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 取1z =则，13,2,1n λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 设直线PA 与平面AMN 所成角为θ， 则sin cos ,5AP nAP n AP n θ⋅=〈〉==⋅⎛+∴当13λ=时sin θ的值最大， 即当点N 在线段PC 靠点P 的三等分点处时，直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值最大，最大值为。
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浙江省杭师大附中2022-2023学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知(1,2,3),(2,4,),//a b x a b == ，则x =（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．椭圆22136x y +=上一点P 与焦点1F 的距离为5，则点P 与另一个焦点2F 的距离为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．棱长为1的正四面体的高为（ ）A ．3B ．3C ．23D 4．已知空间中m ，n 是两条不同直线，α是平面，则（ ） A ．若//m α，n α⊂，则//m n B ．若//m α，//n α，则m n ⊥ C ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥5．,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）A ．45B ．34C ．23D 6．平行六面体ABCD A B C D -''''中，4,3,5,9060,AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=''∠='︒︒，则AC '的长为（ ）A ．10B C D7．己知(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----三点，点P 在圆224x y +=上运动，则222||||||PA PB PC ++的最大值是（ ） A ．144B ．88C ．72D ．328．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则面α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A B C D二、多选题9．下列直线12,l l 互相垂直的是（ ）A ．1l 的斜率为23-，2l 经过点(1,1)A ，10,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1l 的倾斜角为45︒，2l 经过点(2,1),(3,6)P Q ---C ．1l 经过点(1,0),(4,5)M N -，2l 经过点(6,0),(1,3)R S --D ．1l 的斜率为2，2l 经过点(1,2),(4,8)U V 10．椭圆2228x y +=的焦点坐标为（ ） A ．(0,2)B ．(0,2)-C ．(2,0)D ．(2,0)-11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点，则（ ）A ．点1A 到直线1B E 的距离为23B ．直线1FC 到直线AEC ．点1A 到平面1AB E 的距离为3D ．直线1FC 到平面1ABE 的距离为1312．己知(3,0),(1,2)A B ---，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上恰有两点M ，N 使得,ABM ABN △△的面积为4，则r 的可能取值为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．12三、填空题13．过点P （2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是______14．已知点M 与两个定点()0,0O 、()3,0A 的距离的比为12，则点M 的轨迹方程为_____．15．曲线220x y x y +--=围成的图形的面积是__________．16．设椭圆C ：22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足FA ·FB ＝0，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是_______________.四、解答题17．平行四边形ABCD 的四边所在的直线分别是：12:450,:280l x y l x y -+=+-=，34:4140,:210l x y l x y -+=++=，(1)求直线12,l l 交点的坐标； (2)求平行四边形ABCD 的面积．18．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，BD 的中点，点G 在CD 上，且14CG CD =．（1）求证：1EF B C ⊥；（2）求EF 与C 1G 所成角的余弦值．19．（1）圆C 的圆心在x 轴上，且经过(1,1),(1,3)A B -两点，求圆C 的方程； （2）圆C 经过(1,5),(5,5),(6,2)P Q R --三点，求圆C 的方程．20．四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥面ABCD ，点M ，N ，Q 分别为棱11,,DD AD BB 的中点．(1)求证：平面MNQ ∥平面1BC D ；(2)若12AA AB =，棱11A B 上存在点P ，使得二面角P MN Q --的余弦值为63111A P AB 的值．21．已知点(3,0)A -，圆22:(1)()1C x a y --+=上存在点M ． (1)求||AM 的最小值；(2)点M 满足||2||MA MO =（O 为坐标原点），求实数a 的取值范围．22．设椭圆2222:1(0),x y C a b a b +=>>左右焦点为12,F F ，上顶点为D ,且12•2DF DF =-. （∥）求椭圆C 的方程；（∥）设E 是x 轴正半轴上的一点，过点E 任作直线l 与C 相交于,A B 两点，如果2211EAEB+，是定值，试确定点E的位置，并求DAE DBE S S ∆∆⋅的最大值.参考答案：1．C【分析】根据向量平行的规则计算即可. 【详解】依题意，//a b ， 2:14:2:3,6x x ∴=== ；故选：C. 2．B【分析】利用椭圆的定义可得解.【详解】根据椭圆的定义知，1222612PF PF a +==⨯=， 因为15PF =，所以21257PF =-=． 故选：B. 3．D【分析】作出棱长为1的正四面体A BCD -，作BCD △的中心O ，并连接AO 和DO ， 根据正四面体的性质和勾股定理即可求解.【详解】作出正四面体A BCD -，设棱长为1，如图所示：作BCD △的中心O ，并连接AO 和DO ，即BCD △是边长为1的等边三角形，则OD 是BCD △的外接圆半径，所以1112sin 602sin 60BC OD =⨯=⨯=︒︒ 由正四面体的性质可知：AO ⊥平面BCD ，所以正四面体A BCD -的高为AO ， 又OD ⊂平面BCD ，所以AO OD ⊥，则AO == 故选：D. 4．C【解析】根据线面关系和直线与平面垂直的性质定理逐一判断可得选项. 【详解】对于A ，B ，直线m ，n 可能平行、相交或异面，A ，B 错误； 对于C ，D ，由直线与平面垂直的性质定理易得C 正确，D 错误， 故选：C.【点睛】本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟记空间中直线与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解题的关键，属于基础题. . 5．D【分析】将,,PA PB PC 三条射线截取出来放在正方体中，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】如图所示，把,,PA PB PC 放在正方体中，,,PA PB PC 的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B ， 所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-， 设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =，则00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ，所以(1,1,1)n =-，所以2cos ,||||2PC n PC n PC n ⋅-〈〉==⋅⨯设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=，所以cos θ 故选：D ．6．B【分析】由AC AB AD AA '=++'，两边平方，利用数量积运算性质即可求解． 【详解】如图，216AB =，29AD =，225AA '=，43cos900AB AD ⋅=⨯⨯︒=，45cos6010AB AA ⋅'=⨯⨯︒=，1535cos602AD AA ⋅'=⨯⨯︒=．AC AB AD AA '=++'，∴2222222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA '=++'+⋅+⋅'+⋅'1516925202102852=+++⨯+⨯+⨯=， ∴||85AC '=即AC ' 故选：B ． 7．B【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式得到222PA PB PC ++2233468x y y =+-+，再由点P 在圆224x y +=上运动，化简为2233468480x y y y +-+=-+求解. 【详解】设(),P x y ，因为()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点， 所以222PA PB PC ++()()()()()()222222222642x y x y x y =++++++-+-++， 2233468x y y =+-+，因为点P 在圆224x y +=上运动， 则2240x y =-≥，解得22y -≤≤，所以2233468480x y y y +-+=-+，当=2y -时，222PA PB PC ++取的最大值88， 故选：B 8．B【分析】利用正方体的棱是3组每组互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出截面的位置，确定截面为一个正六边形，边长是面的对角线的一半，求面积得结果.【详解】正方体的所有棱，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，只需从同一个顶点出发的三条棱与面α所成角相等即可.在正方体ABCD A B C D -''''中，平面AB D ''与线,,AA A B A D '''''所成的角是相等的， 所以平面AB D ''与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面C BD '也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，由正方体的对称性，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个平行平面AB D ''与C BD '中，如图所示，所以其面积为26S ==， 故选：B. 9．ABC【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为1-，从而可选出正确答案.【详解】2l 的斜率为1132012k --==-，因为23132-⨯=-，所以12l l ⊥成立，故A 正确；1l 的斜率为1tan 451k =︒=，2l 的斜率为()()26151325----===---k ，由121k k =-，则12l l ⊥成立，故B 正确； 1l 的斜率为155413k -==--，2l 的斜率为()2303165k -==---，由121k k =- 则12l l ⊥成立，故C 正确；2l 的斜率为82241k -==-，由221⨯≠-，所以12l l ⊥不成立，故D 错误. 故选：ABC ． 10．AB【分析】由椭圆标准方程可得出c ，再由焦点在y 轴上得出焦点坐标.【详解】椭圆2228x y +=化为标准方程：22148x y +=，所以228,4a b ==，故2224,c 2c a b =-==， 因为椭圆焦点在y 轴上， 所以椭圆焦点为(0,2)和(0,2)-. 故选：AB 11．BD【分析】建立坐标系，求出向量11A B 在单位向量11||B Eu B E =上的投影，结合勾股定理可得点1A 到直线1B E 的距离，判断A ；先证明1//,AE FC 再转化为点F 到直线AE 的距离求解，判断B ；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C ；把直线1FC 到平面1AB E 的距离转化为1C 到平面1AB E 的距离，利用法向量进行求解，判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则11111(1,0,1),(1,1,1),(0,0,),(1,1,),(0,1,1),(1,0,0).22A B E F C A因为1111111221(1,1,),(,,),(0,1,0)2333||B E B E u A B B E =---==---=，所以11123A B u ⋅=-.所以点1A 到直线1B E 2211111()1A B A B u -⋅=A 错误； 因为111(1,0,),(1,0,),22AE FC =-=-所以1//AE FC ，即1//,AE FC所以点F 到直线AE 的距离即为直线1FC 到直线AE 的距离，21((0,1,)2||AE u AF AE →===，225,4AF AF u →=⋅=所以直线1FC 到直线AE =B 正确； 设平面1AB E 的一个法向量为(),,n x y z =，11(0,1,1),(1,0,),2AB AE ==-1(0,0,1)AA =.由10,10,2n AB y z n AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令2z =，则2,1y x =-=，即(1,2,2)n =-. 设点1A 到平面1AB E 的距离为d ，则123AA n d n⋅==，即点1A 到平面1AB E 的距离为23，故C错误；因为1//,AE FC 1FC ⊄平面1AB E ，AE ⊂平面1AB E ，所以1//FC 平面1AB E ， 所以直线1FC 到平面1AB E 的距离等于1C 到平面1AB E 的距离.()111,0,0C B =， 由（3）得平面1AB E 的一个法向量为(1,2,2)n =-， 所以1C 到平面1AB E 的距离为1113C B n n⋅=， 所以直线1FC 到平面1AB E 的距离为13，故D 正确.故选：BD 12．AB【分析】求出AB 的值，得出两点,M N 到直线AB 的距离，写出AB 的直线方程，根据圆上的点到直线AB 的距离，求出r 的取值范围，即可得答案.【详解】由题意可得AB ==，因为,ABM ABN △△的面积为4，所以,M N 两点到直线AB 的距离均为 因为0(2)13(1)AB k --==----， 所以直线AB 的方程为(3)3y x x =-+=--，即30x y ++=，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为圆心(2,0)到直线AB r =+22r ，若圆上只有3个点到直线AB 的距离为圆心(2,0)到直线AB r =-r =r <<M ，N 使得,ABM ABN △△的面积为4， 所以AB 选项满足，CD 不满足，故选：AB.13．32y x =或50x y +-= 【分析】分别求直线过原点和不过原点的方程即可.【详解】当直线过原点时，设为y kx =，因为过点()2,3P ，所以32k =，解得32k ， 故直线为32y x =. 当直线不过原点时，设为()10x y a a a+=≠， 因为过点()2,3P ，所以231a a+=，解得5a =，即直线为50x y +-=. 综上直线方程为32y x =或50x y +-=. 故答案为：32y x =或50x y +-= 14．22230x y x ++-=【分析】本题首先可以设出M 点坐标，然后利用两点间距离公式写出点M 与两个定点()0,0O 、()3,0A 的距离，最后通过距离的比为12即可列出算式并得出结果． 【详解】设M 点坐标为(),x y ，因为点M 与两个定点()0,0O 、()3,0A 的距离的比为12，12，22223y x y ， 222243x y x y ，22224469x y x x y ，化简得22230x y x ++-=，故点M 的轨迹方程为22230x y x ++-=．【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，能否明确题目中所给出的条件并通过相关公式将其展示出来是解决本题的关键，考查两点间距离公式，是基础题．15．2π+【详解】当0x ≥，0y ≥时，已知方程是220x y x y +--=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．它对应的曲线是第一象限内半圆弧（包括端点），它的圆心为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 同理，当0x ≤，0y ≥；0x ≤，0y ≤；0x ≥，0y ≤时对应的曲线都是半圆弧（如图）．它所围成的面积是211411222ππ⎡⎤⎢⎥⋅⋅+⋅⋅=+⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为2π+16．⎣⎦【解析】设左焦点为E,连AE,BE,依题意可得四边形AEFB 为矩形,根据椭圆定义,勾股定理以及已知不等式列式可解得.【详解】画出图形设左焦点为E ，连接AE ，BE,依据题意可得四边形AEFB 为矩形222242AE AF a AE AF c AF BF AF BF+=⎧⎪+=⎪∴⎨⎪⎪⎩ 222(2)422(2)a AF AF c AF a AF AF a AF ⎧-+=⎪∴-⎨⎪-⎩ 222()243AF a a c a AF a ⎧-+=⎪∴⎨⎪⎩22221()20,9AF a c a a ⎡⎤∴-=-∈⎢⎥⎣⎦2221029a ca 21529e ∴523e 故答案为：⎣⎦【点睛】此题考查椭圆的对称性和平面向量的数量积以及三角函数的知识,求出椭圆离心率的解析式,再求得离心率的取值范围，属于一般性题目。