2021届步步高数学(理)大二轮复习小题满分练6

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2021届高考数学步步高第二轮复习训练：专题六第1讲排列与组合

2021届高考数学步步高第二轮复习训练：专题六第1讲排列与组合----a9f3f615-6ea1-11ec-bd94-7cb59b590d7d2021届高考数学步步高第二轮复习训练：专题六第1讲排列与组合、专题六概率与统计第1讲排列与组合、二项式定理（建议时间：60分钟）一、填空题1.五名学生参加三项比赛：唱歌、跳舞和下棋。

每项比赛至少有一人参加。

其中，a 同学不能参加舞蹈比赛，参加方案为____________________2．(1－2)＝a＋b2(a，b为有理数)，则a－2b＝______.3.五名志愿者将被分配到三个不同的世博会展厅参与接待工作。

每个场馆将至少分配一名志愿者。

计划的数量是_____4．若(1＋mx)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a6x，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为________．5.（2022年北京）四位数字由数字2和3组成，数字2和3至少出现一次。

总共有四位数字（用数字回答）6．(2021安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.7.对于任意实数x，如果x=A0+A1（x-2）+…+A5（X-2），然后a1+a3+A5-a0=___?x＋1?88．? 4.在展开式中，非整数次幂为X的项的系数之和为____?x?9．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数为________．在10的二项式展开中。

（2022）（1-x）20，x的系数和x9的系数之差为__11。

有四张标有数字1、2、3、4的红牌和四张标有数字1、2、3、4的蓝牌。

从八张牌中取出四张牌，并把它们排成一行。

如果四张卡片上标记的数字之和等于10，则有不同的排列方式（用数字回答）？x＋1？812.? 4.在展开式中，包含X的整数幂的项的系数之和是__________________？十、二、解答题13．如果?3x2－3?n的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值．? 十、14.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同选法？（1）分别有两名男学生和两名女学生；(2)男、女同学分别至少有1名；（3）在（2）的前提下，男同学a和女同学B不能同时当选15．已知(1＋2x)的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一5项系数6（1）求所有项的系数之和以及展开后所有项的二项式系数之和；（2）在展开式中找到有理项n五5六2六10二2答复1．1002.13．1504．1或－35．146．07.898.1849.7010.011．43212.7213．解∵tr＋1＝cn(3x)2n－rrn－rr2n－5r？－23? r＝1）rc32x，n？十、如果tr+1是常数项，则必须有2n-5r=05rn的最小值=，∵ n、R∈ n*，∵ n是52214.溶液（1）c5c4=60；232231（2）应分别至少有一名男性和一名女性学生。

小题满分练3(解析版)-2021年高考数学二轮专题突破(新高考)

小题满分练3一、单项选择题1．若集合M ＝{x|x<3}，N ＝{x|x 2>4}，则M ∩N 等于( ) A ．(－2,3) B ．(－∞，－2) C ．(2,3) D ．(－∞，－2)∪(2,3)【答案】 D【解析】 ∵N ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴M ∩N ＝(－∞，－2)∪(2,3)． 2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z|等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 【答案】 C【解析】 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ， ∴|z|＝12＋12＝ 2.3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.22 B.23 C.28 D.24【答案】 D【解析】由题意可知，|b ＋a |2＝b 2＋2a ·b ＋a 2＝3＋2a ·b ＝4，解得a ·b ＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝24.4．(2020·全国Ⅰ)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 B【解析】圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝9，故圆心的坐标为C(3,0)，半径r ＝3. 如图，记点M(1,2)，则当MC 与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC|＝22，弦的长度l ＝2r 2－|MC|2＝29－8＝2.5．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】 B【解析】由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t 2)＝2I(t 1)，即20.38et ＝10.382et ，所以()210.38et t -＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，所以t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.6．已知a>0，b>0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3 【答案】 B【解析】因为a>0，b>0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b)＝10＋3b a ＋3a b 恒成立，因为3b a ＋3ab≥23b a ·3ab＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3ab ≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)，直线x ＝a 与C 的交点为A ，B(B 在A 的下方)，直线x ＝a 与C 的一条渐近线的交点D 在第一象限，若|AB||BD|＝43，则C 的离心率为( )A.32 B ．2 C.1＋174 D.7 【答案】 B【解析】将x ＝a 代入y 2a 2－x 2b 2＝1，得y 2＝a 2c 2b 2，即y ＝±ac b ，则|AB|＝2acb.将x ＝a 代入y ＝a b x ，得y ＝a 2b ，则|BD|＝ac b ＋a2b .因为|AB||BD|＝43，所以2ac ac ＋a 2＝43，即2e e ＋1＝43，解得e ＝2. 8．(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝x 3－3x ＋1，若∀x 1∈[a ，b]，∃x 2∈[a ，b]，使得f(x 1)＝f(x 2)，且x 1≠x 2，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】 C【解析】令f ′(x)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，易得当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(－1,1)时，f ′(x)<0，f(x)在(－1,1)上单调递减，且f(－1)＝3，f(1)＝－1，作出函数f(x)的图象如图，令f(x)＝3，解得x ＝－1或x ＝2，令f(x)＝－1，解得x ＝1或x ＝－2，由图象可知，b －a 的最大值为2－(－2)＝4. 二、多项选择题9．空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200)为中度污染，[200,250)为重度污染，[250,300]为严重污染．下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论正确的是( )A．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考查，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C．在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最差D．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有7天【答案】ABC【解析】因为97>59,51>48,36>29,68>45，所以在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量，即选项A正确；AQI不低于100的数据有3个：143,225,145，所以在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度，即选项B正确；因为12月29日的AQI为225，为这22天中AQI的最大值，所以该天的空气质量最差，即选项C正确；AQI在[0,50)内的数据有6个：36,47,49,48,29,45，即达到空气质量优的天数有6天，所以选项D错误．10．(2020·山东新高考名校联考)某班期末考试数学成绩(满分150分)的频率分布直方图如图所示，其中分组区间为[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，根据频率分布直方图，判断下列说法正确的是( )A．估计本次考试数学成绩的平均数为114.8分B ．估计本次考试数学成绩的众数为115分C ．估计本次考试数学成绩的中位数为114分D ．本次考试数学成绩110分以上的人数等于110分以下的人数【答案】 ABC【解析】由频率分布直方图可知，本次数学成绩的平均数为85×0.04＋95×0.06＋105×0.24＋115×0.36＋125×0.16＋135×0.12＋145×0.02＝114.8，A 正确；由图易知本次考试数学成绩的众数为115分，B 正确；前三组的频率和为(0.004＋0.006＋0.024)×10＝0.34，所以中位数应落在[110,120)之间，中位数为110＋0.5－0.340.36×10≈114(分)，C 正确；因为0.04＋0.06＋0.24<0.36＋0.16＋0.12＋0.02，故本次考试数学成绩在110分以上的人数多于110分以下的人数．11．将函数f(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( ) A ．最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称【答案】 BCD【解析】将函数f(x)＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－3cos 2x 的图象，对于函数g(x)，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g(x)＝－32，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确；它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g(x)＝0，故函数g(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故D 正确． 12．(2020·济南质量评估)若实数a ，b 满足2a＋3a ＝3b＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<a<b<1 B ．b<a<0 C ．1<a<b D ．a ＝b【答案】 ABD【解析】设f(x)＝2x＋3x ，g(x)＝3x＋2x ，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．x ∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；x ∈(0,1)时，f(x)>g(x)；x ∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知，若f(a)＝2a＋3a ＝3b＋2b ＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或a>b>1或a ＝b. 三、填空题13.⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －3x 5的展开式中xy 2的系数为________．【答案】－270【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －3x 5的展开式中xy 2的项为C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2×(－3x)3＝－270xy 2，故其系数为－270.14.在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字和为20，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为________．【答案】 15【解析】由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20－14＝6.从1,2,3,4,5中任取两个数字的所有情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，而其中数字之和为6的情况有(1,5)，(2,4)，共2种，所以所求概率P ＝15.15．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝________. 【答案】 2【解析】取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，如图所示，则EF ∥AC ，∠BEF 为异面直线AC 与BE 所成的角，所以∠BEF ＝60°.设BC ＝x ，则BE ＝EF ＝x 2＋42，BF ＝2，从而△BEF 为等边三角形，则x 2＋42＝2，解得x ＝2.故BC ＝2.16．定义p(n)为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如p(555)＝1，p(93)＝2，p(1 714)＝3.在等差数列{a n }中，a 2＝9，a 10＝25，则a n ＝________，数列{p(a n )}的前100项和为________．【答案】 2n ＋5 227【解析】因为a 2＝9，a 10＝25，所以公差为d ＝25－910－2＝2，所以a n ＝9＋2(n －2)＝2n ＋5.因为a 1＝7，a 100＝205，且a n 为奇数，所以当a n ＝7,9,11,33,55,77,99,111时，p(a n )＝1；当a n ＝101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199时，p(a n )＝2.在数列{a n }中，小于100的项共有47项，这47项中满足p(a n )＝2的共有47－7＝40(项)，故数列{p(a n )}的前100项和为1×8＋2×(40＋17)＋3×(100－8－40－17)＝227.。

【步步高】2021届高考数学总温习第六章数　列章末检测理北师大版(1)

第六章章末检测(时刻：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．(2020·茂名月考)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，那么a 12的值是 ( )A ．15B ．30C ．31D ．642．各项均不为零的等差数列{a n }中，假设a 2n －a n －1－a n ＋1＝0 (n ∈N *，n ≥2)，那么S 2 010等( )A ．0B ．2C ．2 009D ．4 0203．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，那么|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于 ( )A ．66B ．65C ．61D ．564．(2020·南阳模拟)等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，假设T 5＝1，那么 ( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝15．(2020·东北师大附中高三月考)由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.1104 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项知足5<a k <8，那么k 等于 ( )A ．9B ．8C ．7D ．67．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，那么项数n 等于 ( ) A ．13 B ．10 C ．9 D ．68．(2020·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，那么当S n 取最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．99．在如图的表格中，若是每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．(2020·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线持续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果是年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为爱惜环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年 11．在△ABC 中，tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，那么B 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 12．(2020·安徽)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和别离为X ，Y ，Z ，那么以劣等式中恒成立的是 ( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )13．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，假设{a n }的前n 项和为24，那么n ＝________. 14．(2020·海口调研)在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，那么等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.15．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规那么分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，那么第100组中的第一个数是________．16．(2020·哈师大附中高三月考)已知S n 是等差数列{a n } (n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有以下四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11.其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(2020·德州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，S 10＝190.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设p ，q ∈N *，试判定a p ·a q 是不是仍为数列{a n }中的项并说明理由．18．(12分)在等差数列{a n }中，假设a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求数列{a n }的通项公式．19．(12分)(2020·武汉月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且向量a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1na n 的前n 项和T n . 20．(12分)(2020·唐山月考)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n ) (n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)设a 为常数，求证：{a n }成等比数列；(2)假设b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .21．(12分)(2020·周口月考)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是不是存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地域政府通过量年尽力，到2006年末，将本地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每一年将显现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部份叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少通过几年的绿化，才能使该地域的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精准到整数)答案 1．A [由{a n }是等差数列知a 7＋a 9＝2a 8＝16，∴a 8＝8.又a 4＝1，∴a 12＝2a 8－a 4＝15.]2．D [a 2n ＝a n －1＋a n ＋1＝2a n ，a n ≠0，∴a n ＝2.∴S n ＝2n ，S 2 010＝2×2 010＝4 020.]3．A [当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5，∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋81＋152＝2＋64＝66.] 4．B [因为{a n }是等比数列，因此a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，代入已知式T 5＝1，得a 53＝1，因此a 3＝1.]5．C [由a n ＋1＝a n 3a n ＋1知，1a n ＋1＝1a n ＋3， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，公差为3的等差数列． ∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2. ∴a n ＝13n －2，a 34＝13×34－2＝1100.] 6．B [∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10， a 1＝S 1＝－8适合上式，∴a n ＝2n －10 (n ∈N *)，∴5<2k －10<8，得7.5<k <9.∴k ＝8.]7．D [∵a n ＝1－12n ， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n －1＋12n . ∵S n ＝32164，∴n －1＋12n ＝32164＝5＋164. ∴n ＝6.]8．A [设该数列的公差为d ，那么由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n n －12×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值．]9．B [由表格知，第三列为首项为4，第二项为2的等比数列，∴x ＝1.依照每行成等差数列得第四列前两个数字别离为5，52，故该数列所成等比数列的公比为12，∴y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38.故x ＋y ＋z ＝2.] 10．C [由题意知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量别离为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)·(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2 (n ∈N *)，令3n 2≤150，∴1≤n ≤52，∴1≤n ≤7. 故生产期限最大为7年．]11．D [由已知得2tan B ＝tan A ＋tan C >0(显然tan B ≠0，假设tan B <0，因为tan A >0且tan C >0，tan A ＋tan C >0，这与tan B <0矛盾)，又tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－2tan B 1－tan A tan C≠0，因此tan A tan C ＝3. 又∵tan A ＋tan C ≥2tan A tan C ＝23， ∴tan B ≥3，∵B ∈(0，π)∴B 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.] 12．D [由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z .又∵{a n }是等比数列，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列，∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY ，∴Y 2－XY ＝ZX －X 2，即Y (Y －X )＝X (Z －X )．]13．624解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . ∴(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝24， ∴n ＋1＝25，∴n ＝624.14．52解析 ∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×a 1＋a 132＝13×a 5＋a 92＝13×82＝52. 15．34 950解析由“第n 组有n 个数”的规那么分组中，各组数的个数组成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有1＋99×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950. 16．①②解析由S 6>S 7得a 7<0，由S 6>S 5得a 6>0，由S 7>S 5得a 6＋a 7>0.因为d ＝a 7－a 6，∴d <0；S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝(a 1＋a 11)＋(a 2＋a 10)＋…＋a 6＝11a 6>0，S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝(a 1＋a 12)＋(a 2＋a 11)＋…＋(a 6＋a 7)＝6(a 6＋a 7)>0；∵a 6>0，a 7<0，∴{S n }中S 6最大．故正确的命题为①②.17．解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 2d ＝810a 1＋10×92d ＝190，………………………………………………………………(4分)解得a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.………………………………………………………(6分)(2)a p a q ＝(4p －3)(4q －3)＝16pq －12(p ＋q )＋9＝4[4pq －3(p ＋q )＋3]－3，∵4pq －3(p ＋q )＋3∈N *，………………………………………………………………(8分) ∴a p ·a q 为数列{a n }中的项．……………………………………………………………(10分)18．解 ∵a 3＋a 13＝2a 8，a 3＋a 8＋a 13＝12，∴a 8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)那么由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 13＝8，a 3a 13＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝1，a 13＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝7，a 13＝1.…………………………………………………………(7分) 由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝a 13－a 313－3＝7－110＝35. 故a n ＝a 3＋(n －3)·35＝35n －45；……………………………………………………………(9分) 由a 3＝7，a 13＝1，可知d ＝a 13－a 313－3＝1－710＝－35. 故a n ＝a 3＋(n －3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－35n ＋445.……………………………………………………………………………(11分) 综上可得，a n ＝35n －45，或a n ＝－35n ＋445.……………………………………………(12分) 19．(1)证明 ∵a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线，∴n (n ＋3)－4S n ＝0，∴S n ＝n n ＋34.……………………………………………………(3分)∴a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋12，……………………………………………………(5分) 又a 1＝1知足此式，∴a n ＝n ＋12.………………………………………………………(6分)∴a n ＋1－a n ＝12为常数， ∴数列{a n }为首项为1，公差为12的等差数列．………………………………………(7分) (2)解 ∵1na n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，…………………………………………………(9分) ∴T n ＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n . ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.……………………………………(12分) 20．(1)证明 f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，…………………………………………(2分) 即log a a n ＝2n ＋2，可得a n ＝a 2n ＋2.∴a na n －1＝a 2n ＋2a 2n －1＋2＝a 2n ＋2a 2n＝a 2 (n ≥2)为定值．………………………………………………………………………(4分) ∴{a n }为以a 2为公比的等比数列．……………………………………………………(5分)(2)解 b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2.…………………………………………………………………………(7分) 当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2＝(n ＋1)2n ＋2.S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，①2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3，②①－②，得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3 …………………………………………(9分)＝16＋241－2n －11－2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3.∴S n ＝n ·2n ＋3.……………………………………………………………………………(12分)21．解 (1)已知得a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n＝8n (n ∈N *)，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)．②由①－②，得2n －1a n ＝8.∴a n ＝24－n .……………………………………………………(3分) 在①中，令n ＝1，得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n (n ∈N *)．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2.∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6.…………………………………………………(5分) ∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．…………………………………………………………………(7分)(2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k ，单调递增，且f (4)＝1.∴k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋4－24－k ≥1.…………………………………………………(10分) 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，…………………………………………………………………(11分) ∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．………………………………………………(12分)22．解设该地域总面积为1,2006年末绿化面积为a 1＝25，通过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2006年末沙漠面积为b 1，通过n 年后沙漠面积为b n ＋1，那么a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.…(3分)依题意a n ＋1由两部份组成：一部份是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部份8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部份是新绿化的12%·b n ，∴a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n ) ＝45a n ＋325，………………………………………………………………………………(6分) 即a n ＋1－35＝45(a n －35)． ∴{a n －35}是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15·(45)n .………………………………………………………………………(9分) ∵a n ＋1>50%，∴35－15·(45)n >12. ∴(45)n <12，n >451log 2＝lg 21－3lg 2≈3.……………………………………………………(11分) 那么当n ≥4时，不等式(45)n <12恒成立． ∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)。

2021届新高考步步高大二轮数学专题复习：思想方法第5讲客观题的解法)

第5讲客观题的解法题型概述数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．方法一直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知M (－1,2)，N (1,0)，动点P 满足|PM →·ON →|＝|PN →|，则动点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y思路分析动点P 的轨迹方程→P 点满足条件→直接将P 点坐标代入化简即可答案 A解析设P (x ，y )，由题意得M (－1,2)，N (1,0)，O (0,0)，PM →＝(－1－x,2－y )，ON →＝(1,0)，PN →＝(1－x ，－y )，因为|PM →·ON →|＝|PN →|，所以|1＋x |＝(1－x )2＋y 2，整理得y 2＝4x .直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.方法二特例法从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例2 (1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．6思路分析 AM →·NM →的值→某种特殊情况下AM →·NM →的值→取▱ABCD 为矩形答案 C解析若四边形ABCD 为矩形，建系如图，由BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，所以AM →·NM →＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则直线PM 与PN 的斜率之积等于________．思路分析直线PM ，PN 斜率之积→特殊情况下的k PM ·k PN →取P 点为椭圆短轴端点答案－34解析取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又M (－2,0)，N (2,0)，所以k PM ·k PN ＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．方法三排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．例3 (1)(2020·天津)函数y ＝4x x 2＋1的图象大致为( )思路分析选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除答案 A解析令f (x )＝4x x 2＋1，则f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－4xx 2＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数，排除C ，D.又当x ＝1时，f (1)＝42＝2，排除B. (2)已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1(b >0)，直线l ：y ＝mx ＋1.若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞) 思路分析求b 的取值范围→取b 的特殊值→特殊情况验证排除答案 C解析注意到直线l 恒过定点(0,1)，所以当b ＝1时，直线l 与椭圆C 恒有公共点，排除D ；若b ＝4，则方程x 24＋y 2b＝1不表示椭圆，排除B ；若b >4，则显然点(0,1)恒在椭圆内部，满足题意，排除A.故选C.(3)(多选)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则下列说法正确的是( )A ．当x >0时，f (x )＝e x (1－x )B ．f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)C ．函数f (x )有2个零点D ．∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2思路分析观察选项，从易于判断真假的选项出发.答案 BD解析对于C ，当x <0时，令f (x )＝0⇒x ＝－1，∴f (x )有3个零点分别为－1,0,1，故C 错误；对于A ，令x >0，则－x <0，∴f (－x )＝e －x (1－x )，又f (x )为奇函数，∴－f (x )＝e －x (1－x )，∴f (x )＝e －x (x －1)，故A 错误．∵A ，C 错误，且为多选题，故选BD.排除法使用要点：,(1)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项.,(2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法等常结合使用.方法四构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化．例4 (1)(2019·全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26π D.6π思路分析求球O 体积→求球O 半径→构造正方体(补形)答案 D解析如图所示，构造棱长为2的正方体PBJA －CDHG ，显然满足题设的一切条件，则球O 就是该正方体的外接球，从而体积为6π.(2)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是______________．思路分析解f (x )>0→利用函数单调性(结合已知含f (x )的不等关系)→构造函数答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析构造函数g (x )＝f (x )x，则g ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2. 根据条件，g (x )为偶函数，且x >0时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，g (－1)＝g (1)＝0.∴当0<x <1时，g (x )>0，∴f (x )>0，同理当x <－1时，g (x )<0，∴f (x )>0，故使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题. 方法五估算法因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．例5 (1)(2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm思路分析估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算答案 B解析头顶至脖子下端的长度为26 cm ，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm ，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170 cm～178 cm之间，选B.(2)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3思路分析V三棱锥D－ABC最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算答案 B解析等边三角形ABC的面积为93，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，所以13×93×4<V三棱锥D－ABC <13×93×8，即123<V三棱锥D－ABC<24 3.选B.估算法使用要点：(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值(例)法结合起来使用.(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.。

【步步高】2021届高考数学总温习常考题型强化练数列理新人教B版(1)

常考题型强化练——数列A 组专项基础训练 (时刻：40分钟)一、选择题1．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，假设a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，那么当S n 取最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析设该数列的公差为d ，则a 4＋a 6＝2a 1＋8d ＝2×(－11)＋8d ＝－6，解得d ＝2， ∴S n ＝－11n ＋n n －12×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36， ∴当n ＝6时，取最小值．2．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．假设a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，那么S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析设数列{a n }的公比为q ，那么由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12， ∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2， ∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.3．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且知足2a n －a 1＝S 1·S n (a 1≠0，n ∈N ＋)，则a 7等于( )A ．16B ．32C ．64D ．128答案 C解析令n ＝1，那么a 1＝1，当n ＝2时，2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2，当n ≥2时，由2a n －1＝S n ，得2a n －1－1＝S n －1，两式相减，解得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1，于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，因此a n ＝2n －1.故a 7＝26＝64.4．已知等差数列{a n }的公差d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值是( )A ．－78B ．－82C ．－148D ．－182答案 B解析 ∵a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋2d ×33 ＝50＋66×(－2) ＝－82.5．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，假设－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N ＋，且m ≥2)，那么必然有 ( )A ．S m >0，且S m ＋1<0B ．S m <0，且S m ＋1>0C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<0 答案 A解析－a m <a 1<－a m ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.易患S m ＝a 1＋a m2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0.二、填空题6．假设数列{a n }知足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，那么称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，那么x 5＋x 16＝________. 答案 20解析由题意知，假设{a n }为调和数列，那么⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，∴由⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，可得数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20. 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －a n ，那么数列{a n }的通项公式a n ＝_________.答案 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1解析由于S n ＝2n －a n ，因此S n ＋1＝2(n ＋1)－a n ＋1，后式减去前式，得S n ＋1－S n ＝2－a n ＋1＋a n ，即a n ＋1＝12a n ＋1，变形为a n ＋1－2＝12(a n －2)，那么数列{a n －2}是以a 1－2为首项，12为公比的等比数列．又a 1＝2－a 1，即a 1＝1.则a n －2＝(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，因此a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.8．已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，那么a 9＋a 10a 7＋a 8的值为______．答案 3＋22解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2. ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q . ∴q 2－2q －1＝0.∴q ＝1± 2.∵各项都是正数， ∴q ＞0.∴q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22.三、解答题9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N ＋，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝2na ＋2n ＝12×4n ＋2n ，因此T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23.10．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S n n，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．解 (1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ，又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3. ∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2. 由S k ＝ka 1＋k k －12d ，得2k ＋k k －12×2＝2 550，即k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)． ∴a ＝3，k ＝50. (2)由S n ＝na 1＋n n －12d ，得S n ＝2n ＋n n －12×2＝n 2＋n .∴b n ＝S n n＝n ＋1.∴{b n }是等差数列．则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1)＝4＋4n n2.∴b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝2n 2＋2n . B 组专项能力提升 (时刻：30分钟)1．已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，那么其公比q 等于( )A ．1B ．－1C ．1或－1 D.2答案 C解析依题意，有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，整理得q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1(q 2＝－2舍去)，因此q ＝1或q ＝－1.2．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，假设1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，那么△OP 1P 2的面积是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析由等差、等比数列的性质，可求得x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4， ∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴12OP P S ＝1.3．已知数列{a n }知足：a 1＝1，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a 2n， n 为偶数，12＋2a 21-n ， n 为奇数，n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，那么数列{b n }的通项公式是________．答案 b n ＝2n解析由题意，得关于任意的正整数n ，b n ＝12n a -＋1，∴b n ＋1＝2n a ＋1，又2n a ＋1＝(222n a ＋1)＋1＝2(12n a -＋1)＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 1＋1＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2n .4．某音乐酒吧的霓虹灯是用，，三个不同音符组成的一个含n ＋1(n ∈N ＋)个音符的音符串，要求由音符开始，相邻两个音符不能相同．例如n ＝1时，排出的音符串是，；n ＝2时，排出的音符串是，，，；…….记这种含n ＋1个音符的所有音符串中，排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为a n .故a 1＝0，a 2＝2.那么 (1)a 4＝________； (2)a n ＝________.答案 (1)6 (2)2n ＋2－1n3解析由题意知，a 1＝0，a 2＝2＝21－a 1，a 3＝2＝22－a 2，a 4＝6＝23－a 3，a 5＝10＝24－a 4，因此a n ＝2n －1－a n －1，因此a n －1＝2n －2－a n －2，两式相减得a n －a n －2＝2n －2.当n 为奇数时，利用累加法得a n －a 1＝21＋23＋…＋2n －2＝2n －23，因此a n ＝2n －23.当n 为偶数时，利用累加法得a n －a 2＝22＋24＋…＋2n －2＝2n －223，因此a n ＝2n ＋23.综上所述，a n ＝2n ＋2－1n3.5．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 知足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2 012；(3)假设c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝13，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，因此a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由已知可得f (a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝－n ，则b n ＝－1－2－3－…－n ＝－n n ＋12，故1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，又T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，因此T 2 012＝－4 0242 013.(3)由题意得c n ＝(－n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，故U n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，则13U n ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，两式相减可得 23U n ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝－12＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，则U n ＝－34＋34·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋32n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1.。

【步步高】2021届高考数学总温习第二章函数强化训练理北师大版(1)

常考题型强化练——函数A 组专项基础训练 (时刻：40分钟)一、选择题 1．若f (x )＝1log 122x ＋1，那么f (x )的概念域为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 122x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，即x >－12且x ≠0，∴选C.2．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，那么函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |的图像为( )答案 B解析由大体不等式得f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时取得最小值1，故a ＝2，b ＝1，因此g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|，只需将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图像向左平移1个单位即可，其中y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图像可利用其为偶函数通过y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 作出，应选B. 3．已知函数f (x )＝e x －e －x ＋1(e 是自然对数的底数)，假设f (a )＝2，那么f (－a )的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 D解析依题意得，f (a )＋f (－a )＝2,2＋f (－a )＝2，f (－a )＝0，选D. 4．设概念在区间(－b ，b )上的函数f (x )＝lg1＋ax1－2x是奇函数(a ，b ∈R ，且a ≠－2)，那么a b 的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(0，2]C ．(1，2)D ．(0，2) 答案 A解析 ∵函数f (x )＝lg1＋ax1－2x是区间(－b ，b )上的奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝lg 1＋ax1－2x ＋lg 1－ax1＋2x ＝lg 1－a 2x 21－4x 2＝0，即得1－a 2x 21－4x 2＝1，从而可得a 2＝4，由a ≠－2可得a ＝2，由此可得f (x )＝lg 1＋2x 1－2x，因此函数的概念域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，那么有0<b ≤12，∴a b ＝2b ∈(20,212]＝(1，2]，故应选A.5．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，那么函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，∴当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x <6时，f (x )＝0有两个根，即x 5＝4，x 6＝5；x 7＝6也是f (x )＝0的根．故函数f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7. 二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ＋1x ≥1，1x <1，那么不等式f (3－x 2)>f (2x )的解集为________．答案 (1，＋∞)解析如图，作出已知函数的图像，据图像可得不等式f (3－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2<1，2x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥1，2x ≥1，3－x 2<2x ，解两不等式组的解集且取并集为(1，＋∞)，即为原不等式解集．7．假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，a ，x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，那么a ＋b ＝________.答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，且x ∈R ， ∴f (0)＝0，即a ＝0.又f (－1)＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1)＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1.8． (2021·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.假设g (x )＝f (x )＋2，那么g (－1)＝________.答案－1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数， ∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0.∴f (1)＋f (－1)＋2＝0. ∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 知足ab ≠0.(1)假设ab >0，判定函数f (x )的单调性； (2)假设ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数．当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，那么x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，那么x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .10．某工厂生产某种产品，每日的本钱C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)知足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 知足函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋kx －8＋5，0<x <6，14， x ≥6.已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3. (1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润能够达到最大，并求出最大值．解(1)由题意可得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋kx －8＋2，0<x <6，11－x ， x ≥6.因为x ＝2时，L ＝3，因此3＝2×2＋k2－8＋2. 因此k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋188－x ＋2. 因此L ＝2(x －8)＋188－x ＋18 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤28－x ＋188－x ＋18≤－2 28－x·188－x＋18＝6.当且仅当2(8－x )＝188－x ，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5. 因此当x ＝5时，L 取得最大值6.因此当日产量为5吨时，每日的利润能够达到最大值6万元． B 组专项能力提升 (时刻：25分钟)1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图像关于直线y ＝x 对称的图像大致是( )答案 A解析函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图像如下图，关于y ＝x 对称的图像大致为A 选项对应图像．2．设0<a <1，那么函数f (x )＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1( )A ．在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增B ．在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,1)上单调递减C ．在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,1)上单调递增D ．在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递减答案 A解析函数概念域为{x ∈R |x ≠±1}，令u (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋－2x ＋1x <－1或x >1，－1＋2x ＋1－1<x <1，∴u (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又y ＝log a x (0<a <1)在概念域上为减函数，因此u (x )在(－∞，－1)上递减，在(－1,1)上递增，应选A. 3．设函数f (x )＝1＋－1x2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析关于x ∈Z ，f (x )的图像为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋－1x ＋12＋1＋－1x2＝1＋－1x ＋1＋－1x2＝1，③正确．4． (2021·江苏)设f (x )是概念在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，那么a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )的周期为2，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，因此－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，因此－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a . ②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 因此a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.5．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立？解由题意得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点且a ≠0，那么⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ·－32＋b －8·－3－a －ab ，0＝a ·22＋b －8·2－a －ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当x ＝0时，y ＝18；当x ＝1时，y ＝12， ∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)方式一令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c . ∵g (x )在[56，＋∞)上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立，那么需要g(x)max＝g(1)≤0，即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．方式二不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，即c≤3x2－5x在[1,4]上恒成立．令g(x)＝3x2－5x，∵x∈[1,4]，且g(x)在[1,4]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.即c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．。

高考数学(理)自由复习步步高系列02(解析版).docx

【热点知识再梳理——胸有成竹】考点一导数的几何意义[1]导数的概念与计算1.设函数在1x =处存在导数，则()()011lim 3x f x f x∆→+∆-=∆( ) A .()'1f B ()3'1f C .()1'13f D .()'3f[2]切线问题(已知切点)3.曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（） A .12- B .12C .22-D .22[3]切线问题(切点未知)5.曲线3ln 2y x x =++在点0P 处的切线方程为410x y --=，则点0P 的坐标是( )A .(0,1)B .(1,1)-C .(1,3)D .(1,0)6.过点A (0,16)作曲线()33f x x x =-的切线，则此切线的方程为_______.考点二利用导数研究单调性[4]求单调区间(不含参数)7.设()()256f x a x lnx -=+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．[5]求单调区间(含参数) [8]求极值或者最值(含参数)8.已知函数()3113f x x ax =-+ (1)当1x =时,()f x 取得极值,求a 的值. (2)求()f x 在[]0,1上的最小值.[6]已知单调区间求参数范围9.已知函数()322131,3f x x mx m x m R =+-+∈ (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，求m 的取值范围．【答案】(1)153250x y --= (2) (,2][3,)-∞-+∞U[7]求极值或者最值(不含参数) [9]已知极值或者最值求参数范围10.已知函数()23ln f x ax x x=--,其中a 为常数. (1)当函数()f x 的图像在点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1时,求()f x 在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值; (2)若函数()f x 在区间()0,+∞上既有极大值又有极小值,求a 的取值范围.11.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是( )[9]已知极值或者最值求参数 [10]恒成立问题(分离参数)12.设函数()322338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =处取得极值,(1)求,a b 的值; (2)若对于任意的[]0,3x ∈都有()2f x c <成立,求c 的取值范围.[10]恒成立问题(分离参数) [11]恒成立问题(数形结合)13.已知函数()()ln 10f x a x a =+>(1)当0x >时,求证()111f x a x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭; (2)在区间()1,e 上()f x x >恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)详见解析 (2) [)1,e -+∞[13]零点问题14.已知函数a ax x a x x f ---+=232131)((),0x R a ∈> . (1)求函数)(x f 的单调区间;(2)若函数)(x f 在区间()2,0-内恰有两个零点，求a 的取值范围;[14]存在性问题16.已知函数()()324f x x ax x R =-+-∈,()'f x 是()f x 的导函数.(1)当2a =时,对任意的[][]1,1,1,1m n ∈-∈-,求()()'f m f n +的最小值;(2)若存在()00,x ∈+∞,使()00f x >,求a 的取值范围.【综合模拟练兵——保持手感】1.已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.2.若函数()()b f x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间单调递增的是( ) A ．(2,0)- B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(,2)-∞-3.已知21()ln(1),()(,)2f x xg x ax bx a b R =+=+∈．（Ⅰ）若2()(1)()bh x f x g x ==--且存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0,1a b ==,求证：当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立；（Ⅲ）设0,0x y >>，证明：ln ln ()ln 2x y x x y y x y ++>+. 【答案】（Ⅰ）()1,-+∞；（Ⅱ）证明过程详见试题解析；（Ⅲ）证明过程详见试题解析.（Ⅲ）证明：∵0,0x y >>，4.已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．∴当1[,2]2x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．5.已知函数()f x 3233(0)ax x x a =-+>（1）当1a ≥时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在[1,3]的最大值为8，求a 的值.6.已知函数f (x )=ax 2+ln (x +1). （1）当a =14-时，求函数f (x )的单调区间；（2）当[0,)x ∈+∞时，函数y =f (x )图像上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围；（3）求证：12482(1)(1)(1)(1)233558(21)(21)n n ne -++++<⨯⨯⨯++L （其中n N *∈,e 是自然数对数的底数）7.已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行.（1）求(2)f 的值；（2）已知实数t ∈R ，求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；（3）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设.8.已知函数()()221xf x x x e =-+（其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.因此函数()h x 在区间()1,+∞上单调递增，()110h =-<Q ，()22310h e =->，。

《新步步高》高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)第二篇第2讲填空题的解法技巧.doc

第2讲填空题的解法技巧【题型概述】填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力.由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”.方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题.直接法是求解填空题的基木方法•13445556678 1若将运动员按成绩由好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间［139J51］上的运动员人数是 _______ .sin2/4（2）（2015-北京）在厶ABC 中，a=4, b = 5, c = 6,则不石= __________ •解析（1）由题意知，将1〜35号分成7组，每组5名运动员，落在区间［139,151］上的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名. (2)白余弦定理：b 2-\~c 2—a 225 + 36—16 3. 羽cosA=—页—=2X5X6・：皿=4 '—a 2~\~b 2—c 216+25 — 361 .小 3^/7cosC=~2^ —= 2X4X5 =0 ・：smC= 8 52/_2><钗¥ ••sinC_ ■匸例1（1）（2015-湖南）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所14 15答案(1)4 (2)1思维升华利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.跟踪演练1 (1)(2015-韶关联考)已知椭圆1的左、右焦点分别为鬥、尺，点P在椭圆上，则|"1|・『局|的最大值是 ________ .(2)己知方程x2 + 3ax + 3a + 1 = 0(a>2)的两根tana, tan0,且a f 0W (—号，号)，贝!] a+p=方法二特例法当填空题己知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选収一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.例2 (1)如图所示，在平行四边形ABCD +，APLBD,垂足为P,且4- ------------------------------------(2)已知定义在R上的奇函数./(X)满足./(x—4)=—/(x),且在区间[0,2]上是增函数，若方程./(X)=加(加>0)在区间[―8,8]±有四个不同的根X], X2，兀3，X4，则X\+x2+x3+x4 = ___________ .解析(1)把平行四边形ABCD看成正方形，则点尸为对角线的交点，AC=6f则APAC= 18.(2)此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化.根据函数特点取./(x)=sin¥x,再由图象可得(X| +^2)+(%3 + JV4)=(—6 X 2) + (2 X 2) = — &答案(1)18 (2)-8思维升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.跟踪演练2 (2015•课标全国I )若函数./(Q=xlnC卄寸忑？)为偶函数，贝山= _____________ .方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析儿何中两点间距离等，求解的关键是明确儿何含义，准确规范地作出相应的图形.兀—2y+120,例3 (1)已知点P(x,尹)的坐标x, y满足，，一则x2+y2~6x+9的取值范围是⑵已知函数fix)=x\x~2\f则不等式/(迈一x)W/(l)的解集为______________解析⑴画出可行域如图，所求的x2+y2-6x+9 = (x-3)2+y2是点0(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为0到射线x-y -1 =0(x^0)的距离〃的平方，晶in == (-V2)2 = 2.最大值为点0到点/的距离的平方，•：d爲x=16.・•・取值范围是[2,16].(2)函数y=j{x)的图象如图，由不等式./(迈一x)W/⑴知，y[2-x^y[2+ 1,从而得到不等式/(、问一QW/(1)的解集为[一1, +°°)・答案(1)[2,16] (2)[-1, +oo)思维升华数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数.数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系.跟踪演练3 (1)(2015-山西大学附中月考)若方程x3~3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_______________________________________________________________________ .J+bx+c,兀W0,⑵(2015•兰州一中期中)设函数心)=仁°若/(—4)=/(0), /(—2)=—2,贝IJ函2,x>0.方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.456上单调递增，因此有_/(4)</(5)</(6),即芳沅.456答案(1从兀(2)y^<25<36 思维升华构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模型.在立体几何中，补形构造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用. 跟踪演练4已知三个互不重合的平面a 、卩、丫, G Q“=〃2，且直线n 不重合，由下列三个条件：①〃?〃？，刃U0； n//p ； @wCy, n//p.能推得m//n 的条件是 __________方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出儿个结论(或直接给出了儿个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题.归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想. 例5 (1)(2014-陕西)观察分析下表中的数据：例4 (1)如图，已知球0的球面上有四点4, B, C, D, D4丄平面ABC,丄BC, DA=AB=BC=^2,则球O 的体积等于 __________________ .456(2)怎，士, 士(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是解析⑴如图，以加，AB, BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为凡则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD| =7(何+(廊 +(何=2R,所以R 書,故球O 的体积7=警=4 4(2)由于討知 x 425 —雪=&，故可构造函数金)=?,于是.")=花，雁)=石，夬6)=36,e' ・丫厶—c"・ 2x e' (x? — 2 工)= - = 丿令・f (x)>0得x<0或x>2,即函数几丫)在(2, +oo) e 5 e 5 e 6 e 6 e 6e 5多面体面数(F)顶点数(耳棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F, r, E所满足的等式是______________________________________按照上面的规律，笫〃个“金鱼”图需要火柴棒的根数为解析(1)观察F, V, E的变化得F+V~E=2.(2)观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8,公差为6的等差数列，所以，第”个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6/7 + 2.答案(1)F+/—E=2 (2)6〃+ 2思维升华归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系. 跟踪演练5观察下列各个等式：13=1;2—3 + 5；3‘ = 7 + 9+11；¥=13 + 15 + 17+19；若某数/按上述规律展开后，发现等式右边含有“2016”这个数，则加= ___________________ .方法六正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，耍求从中选出所有满足条件的命题或结论.这类问题耍求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之I'可互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论.例6已知/(x)为定义在R上的偶函数，当时，有/(x+l)=—/(x),且当xW[0,l)日寸，./(X) = log2(x+l),给岀下列命题：©A2013)+/(-2014)的值为0；②函数/(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线与函数.心)的图象有1个交点；④两数.心)的值域为(一1,1).其中(2)用火柴棒摆“金鱼”正确的命题序号有 _________ .解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线尹=兀和函数人力的图象如下:y/_丄__ _____ 丄」丄______ 丄____p\ n n >\-5：-4 审-2 -y >O \1 2 4 ：5 x__ i^So，.•・•L__\ 1 < -111 11根据图象可知©A2013）+A-2014）=0正确，②函数./（x）在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数.几丫）的值域是（-1,1）,正确.答案①③④思维升华正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能.两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断.利用正反互推结合可以快速解决这类问題.跟踪演练6给出以下命题：2①双曲线号一x?=l的渐近线方程为y=±y[2x；②命题p：u R+»是真命题；m LAA③已知线性冋归方程为y=3+2x,当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量F服从正态分布N（O,1）,若尸（。

【步步高】2021届高考数学总温习第十二章法初步、复数章末检测理北师大版(1)

第十二章章末检测(时刻：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．(2020·浙江)把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位．假设z＝1＋i，那么(1＋z)·z等于( ) A．3－i B．3＋iC．1＋3i D．32．(2020·湖北)假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数z1＋i的点是( ) A．E B．F C．G D．H3．(2020·济南模拟)已知复数z1＝cos α＋isin α和复数z2＝cos β＋isin β，那么复数z1·z2的实部是( ) A．sin(α－β) B．sin(α＋β)C．cos(α－β) D．cos(α＋β)4．(2020·惠州调研)在复平面内，假设z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，那么实数m的取值范围是( )A．(0,3) B．(－∞，－2)C．(－2,0) D．(3,4)5．(2020·陕西)以下图中x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分．当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )A．11 B．10C．8 D．76.阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，假设输出的结果是16，那么在程序框图中的判定框内应填写的条件是( )A．i>5? B．i>6?C．i>7? D．i>8?7．(2020·青岛一模)假设下面的程序框图输出的S是126，那么①应为( )A．n≤5? B．n≤6? C．n≤7? D．n≤8?8．(2020·东北三校联考)某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50 kg按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的部份按0.85元/kg 收费．相应收费系统的程序框图如下图，那么①处应填( )A ．y ＝0.85xB ．y ＝50×0.53＋(x －50)×0.85C ．y ＝0.53xD ．y ＝50×0.53＋0.85x9．如下图的是一个算法的程序框图，已知a 1＝3，输出的结果为7，那么a 2的值是( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．1210．(2020·滨州一模)执行如下图的程序框图，输出的A 为( ) A ．2 047 B ．2 049 C ．1 023D ．1 025第10题图第11题图 11．已知程序框图如下图，那么该程序框图的功能是( ) A ．求数列{1n}的前10项和(n ∈N *)B ．求数列{12n }的前10项和(n ∈N *)C ．求数列{1n}的前11项和(n ∈N *)D ．求数列{12n}的前11项和(n ∈N *)12．(2020·广州模拟)某流程如下图，现输入如下四个函数，那么能够输出的函数是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．(2020·茂名模拟)概念运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，复数z 知足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i 1 i ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，那么z ＝_______________________________________________________________.14．已知复数z ＝3＋i 1－3i2，z 是z 的共轭复数，那么z ·z ＝________.15．(2020·江苏盐城中学月考)已知实数m ，n 知足m1＋i ＝1－n i(其中i 是虚数单位)，那么双曲线mx 2－ny 2＝1的离心率为________．16．(2020·安徽)程序框图(即算法流程图)如下图，其输出结果是__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)计算：(1)3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ；(2)－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 010.18．(12分)设存在复数z 同时知足以下条件： (1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R )，求a 的取值范围．19．(12分)画出求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值的程序框图． 20．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边长，z 1＝a ＋b i ，z 2＝cos A ＋icos B ．假设复数z 1·z 2在复平面内对应的点在虚轴上，试判定△ABC 的形状．21．(12分)给出30个数：1,2,4,7,11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依次类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图如下图．(1)请在图中判定框内①处和执行框中的②处填上适合的语句，使之能完成该题算法功能； (2)依照程序框图写出程序．22．(12分)(2020·黄山模拟)先阅读程序框图，再解答有关问题： (1)当输入的n 别离为1,2,3时，a 各是多少？ (2)当输入已知量n 时，①输出a 的结果是什么？试证明之； ②输出S 的结果是什么？写出求S 的进程．第十二章章末检测1．A [(1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.] 2．D [由图知复数z ＝3＋i ， ∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i1－i1＋i1－i ＝4－2i2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .]3．D [∵z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β) ＝cos α·cos β＋icos αsin β＋isin αcos β＋i 2sin αsin β ＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)，∴实部为cos(α＋β)．]4．D [整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点在第二象限，那么⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.]5．C [x 1＝6，x 2＝9，|x 1－x 2|＝3<2不成立，即为“否”，因此再输入x 3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x 3－x 1|<|x 3－x 2|知，点x 3到点x 1的距离小于点x 3到x 2的距离，因此当x 3<7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立，即为“是”，现在x 2＝x 3，因此p ＝x 1＋x 32，即6＋x 32＝8.5，解得x 3＝11>7.5，不合题意；当x 3>7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，即为“否”，现在x 1＝x 3，因此p ＝x 3＋x 22，即x 3＋92＝8.5，解得x 3＝8>7.5，符合题意，应选C.]6．A [即1＋1＋2＋…＋i ＝16， ∴i (i ＋1)＝30.∴i ＝5.又i ＝i ＋1＝6，∴应填i >5？.]7．B [即21＋22＋…＋2n ＝126，∴21－2n1－2＝126.∴2n ＝64，即n ＝6.n ＝7应是第一次不知足条件．] 8．B9．C [由程序框图知本算法的功能是求两数a 1，a 2的算术平均数，当a 1＝3时，a 1＋a 22＝7，∴a 2＝11.]10．A [即递推数列⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，n ≥2，n ∈N *，求a 11.∵a n ＋1＝2a n －1＋2＝2(a n －1＋1) (n ≥2)，∴{a n ＋1}是以2为公比的等比数列，首项为a 1＋1＝2.∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n . ∴a 11＝211－1＝2 047.] 11．B 12.D 13．2＋i解析⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪zi 1 i ＝z i －i ＝1＋i ，故z ＝1＋2i i ＝2－i.∴z ＝2＋i. 14.14解析方式一由z ＝3＋i 1－3i2＝3＋i －2－23i，得z ＝3－i－2＋23i ，∴z ·z ＝3＋i－2－23i ·3－i－2＋23i＝3＋14＋12＝14. 方式二 ∵z ＝3＋i 1－3i2＝3＋i －2－23i ， ∴|z |＝|3＋i||－2－23i|＝24＝12. ∴z ·z ＝|z |2＝14. 15.3解析 m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1＋n ，1－n ＝0， ∴n ＝1，m ＝2，从而e ＝ 3.解析由程序框图知，循环体被执行后a 的值依次为3,7,15,31,63,127. 17．解 (1)方式一 3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i －3－2i 2－3i2－3i2＋3i＝13i －－13i13＝2i.(5分)方式二3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i 2－3i 2－3i －－i 2＋3i2＋3i＝i －(－i)＝2i.(5分)(2)原式＝i 1＋23i 1＋23i ＋[(21－i )2]1 005＝i ＋(2－2i )1 005＝i ＋i 1 005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i.(10分)18．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，那么z ＝x －y i ，由(1)知x <0，y >0，(2分) 又z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R )，故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝82x ＝a，即4(y －1)2＝36－a 2，(6分) ∵y >0，∴4(y －1)2≥0，∴36－a 2≥0，即a 2≤36，－6≤a ≤6，又2x ＝a ，而x <0，∴a <0，故－6≤a <0， ∴a 的取值范围为[－6,0)．(12分)19．解这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法，程序框图如下图．20．解由题意知z 1·z 2＝(a ＋b i)·(cos A ＋icos B ) ＝(a cos A －b cos B )＋(a cos B ＋b cos A )i ，(6分)因此a cos A －b cos B ＝0，且a cos B ＋b cos A ≠0，(10分) ∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.因此△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(12分) 21．解 (1)①处应填i ≤30？；②处应填p ＝p ＋i .(8分) (2)依照题中程序框图，可设计程序如下： i ＝1p ＝1s ＝0WHILE i<＝30s ＝s ＋p p ＝p ＋i i ＝i ＋1WEND PRINT s END(12分)22．解 (1)当n ＝1时，a ＝13；当n ＝2时，a ＝115；当n ＝3时，a ＝135.(3分)(2)记输入n 时，①中输出结果为a n ，②中输出结果为S n ，那么 a 1＝13，a n ＝2n －32n ＋1a n －1(n ≥2)，因此a na n －1＝2n －32n ＋1(n ≥2)，(5分) 因此a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －32n ＋1·2n －52n －1·2n －72n －3·…·15·13＝12n ＋1·12n －1＝14n 2－1，n ＝1，a 1＝13适合上式，∴a n ＝14n 2－1(8分)因为a n ＝14n 2－1＝12n ＋12n －1＝12(12n －1－12n ＋1)，(10分)因此S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1.(12分)。

【步步高】2021届高考数学总温习第六章 6.4数列求和强化训练理北师大版(1)

§6.4 数列求和1．求数列的前n 项和的方式 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d .②等比数列的前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1a 11－q n1－q＝a 1－a n q1－qq ≠1(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾假设干项． (4)倒序相加法把数列别离正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导进程的推行． (5)错位相减法要紧用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导进程的推行．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，那么称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采纳两项归并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n n ＋1＝1n －1n ＋1；(2)12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .1．判定下面结论是不是正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若是数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，那么其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q . ( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可依照错位相减法求得．( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)假设数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，那么数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( √ )(6)推导等差数列求和公式的方式叫作倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )2．(2021·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101 C.99100D.101100答案 A解析利用裂项相消法求和．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－12d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 3．假设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，那么数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n 2－2答案 C解析 S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋(2n －1)) ＝21－2n1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1－2＋n 2.4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，那么它的前100项之和S 100等于 ( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝________. 答案 4－n ＋42n解析设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋(122＋123＋…＋12n )－n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋(12＋122＋…＋12n －1)－n ＋22n＝3＋12[1－12n －1]1－12－n ＋22n＝4－n ＋42n.题型一分组转化求和例1 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .思维启发先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解．解由已知得，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22＋…＋2n ) ＝n 2＋3n －12＋21－2n 1－2＝12n (3n ＋1)＋2n ＋1－2. 思维升华某些数列的求和是将数列分解转化为假设干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．专门注意在含有字母的数列中对字母的讨论．求和S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.解和式中第k 项为a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝2[(1＋1＋…＋1n 个－(12＋122＋…＋12n )]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12n －1＋2n －2.题型二错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n . 思维启发 (1)列方程组求{a n }的首项、公差，然后写出通项a n . (2)q ＝1时，b n 为等差数列，直接求和；q ≠1时，用错位相减法求和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝68a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n . (2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘以q 有qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减取得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1 ＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－n ＋1q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－n ＋1q n ＋1q －12.若q ＝1，那么S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.因此S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12，q ＝1nqn ＋1－n ＋1q n ＋1q －12，q ≠1.思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{c n }对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×c n 的前n 项和的方式．这种方式运算量较大，要重视解题进程的训练． (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．已知等差数列{a n }知足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . ②因此，当n ＞1时，①－②得S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .因此S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三裂项相消法求和例3 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 知足S 2n＝an ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启发第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消法求和．解(1)∵S 2n＝an ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n＝(Sn －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 思维升华利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并非必然只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再确实是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n a n ＋12，n ∈N ＋.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . (1)证明 ∵S n ＝a n a n ＋12，n ∈N ＋，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 1＋12(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．因此数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列． (2)解由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n n ＋12，b n ＝12S n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.四审结构定方案典例：(12分)(2021·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确信常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n . 标准解答解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .[6分]当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .(2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，因此T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①[7分]因此2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2 ②②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1[11分]故T n ＝4－n ＋22n －1. [12分]温馨提示 (1)依照数列前n 项和的结构特点和最值确信k 和S n ，求出a n 后再依照{9－2a n2n}的结构特点确信利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特点判定解题方案；(2)利用S n 求a n 时不要轻忽n ＝1的情形；错位相减时不要漏项或算错项数．方式与技术非等差、等比数列的一样数列求和，要紧有两种思想：(1)转化的思想，即将一样数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方式往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．失误与防范1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应付其公比是不是为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观看未归并项的正负号．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项那么后剩多少项． A 组专项基础训练 (时刻：40分钟) 一、选择题1．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，假设b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n项和S n 为 ( )A.nn ＋1B.4nn ＋1C.3nn ＋1D.5nn ＋1答案 B解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n n ＋1＝4(1n －1n ＋1)，∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)] ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 2．已知数列{a n }是等差数列，假设a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( ) A ．20B ．17C ．19D ．21答案 C解析由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，那么a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，因此数列{a n }是一个递减数列，那么a 10>0，a 11<0，因此S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0， S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0. 故使S n 取值最小正值的n 为19. 3．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，那么a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于 ( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200 答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.应选B.4．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，那么a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( ) A ．31B ．120C ．130D ．185答案 C 解析 a 1＋...＋a k ＋...＋a 10＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－2＋20×102＝240－110＝130. 5．数列a n ＝1n n ＋1，其前n 项之和为910，那么在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( ) A ．－10B ．－9C ．10D ．9 答案 B 解析数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.二、填空题6．数列32，94，258，6516，…的前n 项和S n 为________．答案 n n ＋12＋1－12n 解析 ∵32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18， 6516＝4＋116，… ∴S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋122＋123＋…＋12n )＝n n ＋12＋12[1－12n ]1－12＝n n ＋12＋1－12n . 7．设f (x )＝4x 4x ＋2，假设S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，那么S ＝________. 答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x 41－x ＋2＝22＋4x， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1. S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)， ① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)， ② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014， ∴S ＝2 0142＝1 007. 8．(2021·课标全国)数列{a n }知足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，那么{a n }的前60项和为________．答案 1 830解析利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×10＋2342＝1 830.三、解答题9．已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 41a n (n ∈N ＋)，数列{c n }知足c n ＝a n ·b n . (1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)由题意，知a n ＝(14)n (n ∈N ＋)，又b n ＝3log 41a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N ＋)．(2)由(1)，知a n ＝(14)n ，b n ＝3n －2(n ∈N ＋)，因此c n ＝(3n －2)×(14)n (n ∈N ＋)．因此S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －5)×(14)n －1＋(3n －2)×(14)n ，于是14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1. 两式相减，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1. 因此S n ＝23－3n ＋23×(14)n (n ∈N ＋)． 10．假设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求等比数列S 1，S 2，S 4的公比；(2)假设S 2＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈ N ＋都成立的最小正整数m .解 (1)因为{a n }为等差数列，设{a n }的公差为d (d ≠0)，因此S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d .因为S 1，S 2，S 4成等比数列且设其公比为q ，因此S 1·S 4＝S 22.因此a 1(4a 1＋6d )＝(2a 1＋d )2.因此2a 1d ＝d 2.因为公差d ≠0.因此d ＝2a 1.因此q ＝S 2S 1＝4a 1a 1＝4.(2)因为S 2＝4，因此2a 1＋d ＝4.又d ＝2a 1，因此a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1.(3)因为b n ＝32n －12n ＋1＝32(12n －1－12n ＋1)，因此T n ＝32[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝32(1－12n ＋1)<32. 要使T n <m 20对所有n ∈N ＋都成立，那么有m 20≥32，即m ≥30. 因为m ∈N ＋，因此m 的最小值为30.B 组专项能力提升(时刻：30分钟)1．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，那个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，那么那个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A ．2 008B ．2 010C ．1D ．0 答案 B解析由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.2．(2021·课标全国Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长别离为a n 、b n 、c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…，假设b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，那么 ( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列答案 B解析因为b 1>c 1，不妨设b 1＝4a 13，c 1＝2a 13；故S 1＝ 3a 12·a 12·a 16·5a 16＝1512a 21； a 2＝a 1，b 2＝23a 1＋a 12＝56a 1，c 2＝43a 1＋a 12＝76a 1， S 2＝ 3a 12·a 12·2a 13·a 13＝66a 21. 显然S 2>S 1；a 3＝a 1，b 3＝76a 1＋a 12＝1312a 1， c 3＝56a 1＋a 12＝1112a 1， S 3＝ 3a 12·a 12·5a 112·7a 112＝10524a 21，显然S 3>S 2. 3．(2021·湖南)设S n 为数列{a n }的前n项和，S n ＝(－1)n a n －12n，n ∈N ＋，则： (1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 答案 (1)－116 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1，∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n . 当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ， ∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116. 依照以上{a n }的关系式及递推式可求． a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128. ∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…， ∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋123＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，知足：S n ＝2a n －2n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)假设数列{b n }知足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12. (1)解当n ∈N ＋时，S n ＝2a n －2n ，那么当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2， ∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2，当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，那么a 1＝2，∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2；(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1， ∴b n a n ＋2＝n ＋12n ＋1，那么T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝14＋141－12n 1－12－n ＋12n ＋2＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1，当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n ＝n ＋12n ＋1>0，∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12. 5．直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N ＋.数列{a n }知足：a 1＝1，a n＋1＝14|A n B n |2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)假设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －1n 为奇数，a n n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由题意，知圆C n 的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ，半径r n ＝2a n ＋n ，因此a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2n －d 2n ＝(2a n ＋n )－n ＝2a n . 又a 1＝1，因此a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1) ＝n n －12＋21－2n 1－4＝n 2－n 2＋23(2n －1)．当n 为奇数时，n ＋1为偶数， T n ＋1＝n ＋12－n ＋12＋23(2n ＋1－1) ＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1－1)．而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n ，因此T n ＝n 2＋n 2＋13(2n －2)．因此T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－n 2＋232n －1n 为偶数，n 2＋n 2＋132n －2n 为奇数.。

2021届新高考步步高大二轮数学专题复习：思想方法第1讲函数与方程思想

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．第1讲函数与方程思想思想概述函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．方法一运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．例1 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫13，1D.⎝⎛⎭⎫0，13 思路分析先求出f (x )＝a x 是减函数时a 的范围→满足－0＋3a ≥a 0时a 的范围→取交集答案 B解析 ∵函数f (x )是R 上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，解得13≤a <1. ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，1.故选B.批注在函数的第一段中，虽然没有x ＝0，但当x ＝0时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值f (0)，这是解题的一个易忽视点．究其原因，就是未把分段函数看成是一个函数，一个整体．解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视．方法二利用函数性质求解方程问题函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．例2 (1)(2020·全国Ⅰ)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( )A ．a >2bB ．a <2bC ．a >b 2D ．a <b 2答案 B解析由指数和对数的运算性质可得2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b .令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 22b ，∴2a ＋log 2a <22b ＋log 22b ，即f (a )<f (2b )，∴a <2b .(2)设x ，y 为实数，满足(x －1)3＋2 020(x －1)＝－1，(y －1)3＋2 020(y －1)＝1，则x ＋y ＝________.思路分析观察两方程形式特征→借助函数f (t )＝t 3＋2 020t 的单调性、奇偶性→f (x －1)＝f (1－y )→求出x ＋y答案 2解析令f (t )＝t 3＋2 020t ，则f (t )为奇函数且在R 上是增函数．由f (x －1)＝－1＝－f (y －1)＝f (1－y )，可得x －1＝1－y ，∴x ＋y ＝2.批注通过方程的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系．函数与方程的相互转化：对于方程f (x )＝0，可利用函数y ＝f (x )的图象和性质求解问题. 方法三构造函数解决一些数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果.例3 求使不等式2x －1>m (x 2－1)对于|m |≤2的一切实数m 都成立的x 的取值范围．思路分析恒成立问题→函数最值问题→构造关于m 的一次函数解构造函数f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，m ∈[－2,2]，f (m )<0在m ∈[－2,2]上恒成立⇔⎩⎨⎧ f (－2)<0，f (2)<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2(x 2－1)－(2x －1)<0，2(x 2－1)－(2x －1)<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0 ⇔7－12<x <3＋12. 所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 例4 如图，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，P A ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ，AP ＝AB ＝2，∠AEF ＝θ，当θ变化时，求三棱锥P －AEF 体积的最大值．思路分析求V P －AEF 的最值→用θ表示V P －AEF ，构造函数→求函数的最值解因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC ，又BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC ，而AF ⊂平面P AC ，所以BC ⊥AF .又因为AF ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ，所以AF ⊥平面PBC ，而EF ⊂平面PBC ，所以AF ⊥EF .所以EF 是AE 在平面PBC 内的射影．因为AE ⊥PB ，所以EF ⊥PB ，又AE ∩EF ＝E ，AE ，EF ⊂平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，所以PE ⊥平面AEF .在Rt △P AB 中，因为AP ＝AB ＝2，AE ⊥PB ，所以PE ＝2，AE ＝2，AF ＝2sin θ，EF ＝2cos θ.V P －AEF ＝13S △AEF ·PE ＝13×12×2sin θ·2cos θ×2＝26sin 2θ. 因为0<θ<π2，所以0<2θ<π. 所以当2θ＝π2，即θ＝π4时，sin 2θ取得最大值1，则V P －AEF 取得最大值26. 批注 θ的变化是由AC ，BC 的变化引起的．三棱锥P －AEF 的高PE 为定值，只要S △AEF 最大即可．在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系，使问题明晰化.。

高中数学步步高2022年二轮复习小题满分练4

小题满分练4一、单项选择题1．(2021·绍兴模拟)已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B 等于( ) A ．{1} B ．{－1,0} C ．{－1,0,1} D ．{－1,0,1,2}答案 A解析 ∵A ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}， B ＝{－1,0,1,2}， ∴A ∩B ＝{1}．2．(2021·泉州模拟)已知复数z ＝1＋i(a ＋b i)，其中a ，b ∈R .若z 为纯虚数，则( ) A ．a ≠0，b ＝－1 B ．a ＝0，b ＝－1 C ．a ≠0，b ＝1 D ．a ＝0，b ＝1 答案 C解析 z ＝1＋i(a ＋b i)＝1＋a i ＋b i 2＝1＋a i －b ＝(1－b )＋a i ， ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧1－b ＝0，a ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ＝1.3．(2021·张家口模拟)“a >0”是“点(0,1)在圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋a ＋1＝0外”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析将x 2＋y 2－2ax －2y ＋a ＋1＝0化为标准方程，得(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－a .当点(0,1)在圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋a ＋1＝0外时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a >0，解得a >1.∴“a >0”是“点(0,1)在圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋a ＋1＝0外”的必要不充分条件．4．(2021·武汉模拟)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M 用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：M ＝lgA maxA 0(其中常数A 0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；A max 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E 是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．E ＝104.8×101.5M (单位：焦耳)，其中M 为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的103倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为( ) A ．2A B ．10A C ．100A D ．1 000A答案 C解析设甲地地震震级为M 1，乙地地震震级为M 2，因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的103倍，所以121.54.8 1.54.810101010M M ⨯⨯＝121.5()10M M －＝103，故M 1－M 2＝2，又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ，因为M ＝lgA maxA 0，所以M 1－M 2＝lgA max A 0－lg A A 0＝lg A maxA＝2，解得A max ＝100A ，甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A max ＝100A . 5．(2021·济南模拟)第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办．为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表．合计50 50 100根据列联表可知( )参考公式：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .附表：α 0.100 0.050 0.010 0.001 x α2.7063.8416.63510.828A.该市女性居民中大约有5%的人关注冰雪运动 B ．该市男性居民中大约有95%的人关注冰雪运动C ．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关D ．依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关答案 D解析零假设为H 0：该市居民是否关注冰雪运动与性别无关．根据2×2列联表中的数据，计算χ2＝100×(35×25－25×15)250×50×60×40＝256≈4.167>3.841＝x 0.050，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H 0不成立，即认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关，选项D 正确．6．(2021·苏州三校联考)下列图象中可以作为函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x 部分图象的是( )答案 B解析根据题意，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，函数f (x )为奇函数，排除A ，C ；在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上，1＋e x >2，21＋e x －1<0，cos x >0，则有f (x )<0，排除D.7．(2021·泰安模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为13，a n >0，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 9a 10＝12，当S n ＋10n 取最小值时，n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 B 解析1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 9a 10＝3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a 9－1a 10＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 1＋3＝12，整理得a 21＋3a 1－18＝0，解得a 1＝3或a 1＝－6(舍去)，即S n ＝3n ＋n (n －1)2×13＝n 2＋17n6，则S n ＋10n ＝n 2＋17n ＋606n ＝16⎝⎛⎭⎫n ＋60n ＋17. 当n ≤7时，数列单调递减，当n ≥8时，数列单调递增，当n ＝7时，S n ＋10n ＝387，当n ＝8时，S n ＋10n ＝6512，故当n ＝8时，S n ＋10n取最小值．8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的平分线且相交于P 点，则△P AB 的面积为( )A.643B.323C.3239D.6439答案 C解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1,0)，则由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故由题设可得x 1＝3x 2＋2，设直线AB ：y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，整理可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x 2＋2，x 1x 2＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝13，代入x 1＋x 2＝2＋4k 2，可解得k ＝±3，则弦长|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1 ＝4＋43＝163.不妨设k ＝3，则 ∠ABN ＝60°，∠PBA ＝30°，又依题意∠ABN 和∠BAM 互补，故∠APB ＝90°，即△ABP 是直角三角形，所以|BP |＝|AB |cos 30°，|AP |＝|AB |sin 30°，则S △ABP ＝12|AP |·|BP |＝12×⎝⎛⎭⎫1632×12×32＝3239. 二、多项选择题 9．给出如下数据：第一组：3,11,5,13,7,2,6,8,9. 第二组：12,20,14,22,16,11,15,17,18.则这两组数据的( ) A ．平均数相等 B ．中位数相等 C ．极差相等 D ．方差相等答案 CD解析第一组数据的平均数为19×(3＋11＋5＋13＋7＋2＋6＋8＋9)＝649，第二组数据的平均数为19×(12＋20＋14＋22＋16＋11＋15＋17＋18)＝1459，所以两组数据的平均数不相等，故选项A 错误；第一组数据的中位数是7，第二组数据的中位数是16，所以两组数据的中位数不相等，故选项B 错误；第一组数据的极差为13－2＝11，第二组数据的极差为22－11＝11，所以两组数据的极差相等，故选项C 正确；第一组数据的方差为19×⎣⎡⎝⎛⎭⎫3－6492＋⎝⎛⎭⎫11－6492＋⎝⎛⎭⎫5－6492＋⎝⎛⎭⎫13－6492＋⎝⎛⎭⎫7－6492＋⎝⎛⎭⎫2－6492＋⎝⎛⎭⎫6－6492＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－6492＋⎝⎛⎭⎫9－6492＝92681，第二组数据的方差为19×⎣⎡⎝⎛⎭⎫12－14592＋⎝⎛⎭⎫20－14592＋⎝⎛⎭⎫14－14592＋⎝⎛⎭⎫22－14592＋⎝⎛⎭⎫16－14592＋⎝⎛⎭⎫11－14592＋⎝⎛⎭⎫15－14592＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－14592＋⎝⎛⎭⎫18－14592＝92681，经计算两组数据的方差相等．10．已知偶函数f (x )满足：f (2＋x )＝f (2－x )，且当0≤x ≤2时，f (x )＝2x －2，则下列说法正确的是( )A ．－2≤x ≤0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－2B ．点(1,0)是函数f (x )图象的一个对称中心C ．f (x )在区间[－10,10]上有10个零点D ．对任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2 答案 AC解析因为f (x )是偶函数，所以－2≤x ≤0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －2＝⎝⎛⎭⎫12x－2，A 正确；在[0,2]上，f (x )＝2x －2不关于(1,0)对称，因此(1,0)不是函数f (x )图象的一个对称中心，B 错误；由2x －2＝0得x ＝1，因此在[－2,2]上，f (x )有两个零点，又f (2＋x )＝f (2－x )，所以x ＝2是函数图象的一条对称轴， f (4＋x )＝f (2－(2＋x ))＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，周期为4，因此f (x )在[－10，－6)，[－6，－2)，[2,6)，[6,10]上各有2个零点，在[－10,10]上共有10个零点，C 正确；由周期性知f (x )max ＝22－2＝2， f (x )min ＝20－2＝－1，f (x )max －f (x )min ＝3>2，D 错误．11．(2021·扬州模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，点P 在线段BC 1上运动，点Q 在线段AA 1上运动，则下列说法中正确的有( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积为定值B ．线段PQ 长度的最小值为2C ．当P 为BC 1的中点时，三棱锥P －ABB 1的外接球表面积为2πD ．平面BPQ 截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形答案 AB解析如图，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1可得D 1C 1∥AB ，D 1C 1＝AB ，故四边形D 1C 1BA 为平行四边形，故BC 1∥AD 1，而BC 1⊄平面AD 1C ，AD 1⊂平面AD 1C ，故BC 1∥平面AD 1C ，∴BC 1上任一点到平面AD 1C 的距离为定值，即P 到平面AD 1C 的距离为定值，而△AD 1C 的面积为定值， ∴1P AD C V －为定值，A 对； PQ min ＝AB ＝2，B 对；∵底面△ABB 1为等腰直角三角形，且边长为2， ∴△ABB 1外接圆半径为2，∵三棱锥P －ABB 1的高为12B 1C 1＝12×2＝1，如图，取AB 1的中点为M ，连接MP ，MB ，则MP ＝12AC ＝2，故MP ＝MB 1＝MA ＝MB ＝2，故M 为三棱锥P －ABB 1的外接球的球心，且半径为2，故表面积为8π，故C 错；如图所示，平面BPQ 截该正方体所得截面可能为三角形、四边形，不可能为五边形，故D 错．12．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，若f (x )＝⎝⎛⎭⎫m n x 3－1x 8，则( ) A ．f (x )的展开式中的常数项是56 B ．f (x )的展开式中的各项系数之和为0 C ．f (x )的展开式中的二项式系数最大值是70 D ．f (i)＝－16，其中i 为虚数单位答案 BC解析设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，则圆柱的体积V 1＝2πR 3，球的体积V 2＝43πR 3，可得m ＝V 1V 2＝32，圆柱的表面积S 1＝2πR ·2R ＋2πR 2＝6πR 2，球的表面积为S 2＝4πR 2，则n ＝S 1S 2＝32，可得m n ＝1.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫m n x 3－1x 8＝⎝⎛⎭⎫x 3 －1x 8，其二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 8·x 24－4k ·(－1)k ，令24－4k ＝0，得k ＝6，常数项为C 68×(－1)6＝28，故A 错误；各项系数之和为f (1)＝0，故B 正确；二项式系数的最大值为C 48＝70，故C 正确； f (i)＝⎝⎛⎭⎫i 3－1i 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i 4－1i 8＝0，故D 错误．三、填空题13．(2021·眉山模拟)计算cos 20°－3sin 20°sin 10°＝________.答案 2 解析cos 20°－3sin 20°sin 10°＝－3sin 20°－cos 20°sin 10°＝－2sin (20°－30°)sin 10°＝－－2sin 10°sin 10°＝2.14．已知(2＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 0，a 1，a 3成等差数列，则n ＝________，a 4＝________. 答案 8 1 120解析通项公式T k ＋1＝C k n 2n －k x k， ∴a 0＝2n ，a 1＝C 1n ×2n －1，a 3＝C 3n 2n －3， ∵a 0，a 1，a 3成等差数列，∴2C 1n ×2n －1＝2n ＋C 3n 2n －3，可得n (n －2)＝48，解得n ＝8，n ∈N *， a 4＝C 48×28－4＝8×7×6×54×3×2×1×24＝1 120. 15．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为23，底面为等边三角形．若球O 与该三棱柱的各条棱都相切，则球O 的体积为________．答案32π3解析由题意知三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，如图，M ，N 分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知MN 中点为球O 的球心，取AB 中点E (为切点)，则OE ＝MB (MB 等于O 到棱BB 1距离)．设球半径为R ，由正三角形性质知EM ＝DM ＝12BM ＝12R ，MN 与底面垂直，则必与底面上直线EM 垂直，因此R 2－⎝⎛⎭⎫12R 2＝OM 2＝(3)2，解得R ＝2，球体积为V ＝43πR 3＝4π3×23＝32π3. 16．关于x 的方程kx －ln x x－1＝0在(0，e]上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫e ＋1e 2，1 解析 ∵kx －ln x x－1＝0， ∴k ＝ln x x 2＋1x，设f (x )＝ln x x 2＋1x，x ∈(0，e]， ∴f ′(x )＝1－2ln x －x x 3，设g (x )＝1－2ln x －x ，x ∈(0，e]，∴g ′(x )＝－2x－1<0，即g (x )在(0，e]上单调递减，又g (1)＝0，∴当0<x <1时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当1<x <e 时，g (x )<0，即f ′(x )<0，∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝1，f (e)＝e ＋1e 2，关于x 的方程kx －ln x x－1＝0在(0，e]上有两个不相等的实根等价于y ＝f (x )的图象与y ＝k 的图象有两个交点，由上可知e ＋1e 2≤k <1， ∴实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫e ＋1e 2，1.。

[苏教版][步步高]2021届高三数学(理)大一轮复习练习：5.3 平面

[苏教版][步步高]2021届高三数学（理）大一轮复习练习：5.3平面5.3 平面向量的数量积一、填空题1. 已知向量a和向量b的夹角为30°,| a |=2,| b |=3 ,则a・b= . 解析考查数量积的运算. a・b =2×3?答案 32．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b・(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．解析∵b・(a－b)＝0，∴a・b＝b，即|a||b|・cosθ＝|b|，当b≠0时，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ∈(0,1]．所以|b|∈[0,1]．答案 [0,1]π3．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a・b等于3________．2解析 a・b＝(2e1＋e2)・(－3e1＋2e2)＝－6e21＋e1・e2＋2e2223=3. 2＝－6＋cos7答案－ 2π17＋2＝－4＋＝－. 3224．已知平面向量a，b的夹角为60°，a＝(3，1)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 解析由a＝(3，1)，得|a|＝2，所以|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a・b＋4b2＝4＋8cos 60°＋4＝12＝23. 答案 23→→5．在△ABC中，已知BC＝2，AB・AC＝1，则△ABC的面积S△ABC最大值是________．解析以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)．设A(x，y) →→则AB＝(－1－x，－y)，AC＝(1－x，－y)，→→于是AB・AC＝(－1－x)(1－x)＋(－y)(－y)＝x2－1＋y2.→→由条件AB・AC＝1知x2＋y2＝2，这表明点A在以原点为圆心，2为半径的圆上．当OA⊥BC时，△ABC面积最大，即 1S△ABC＝×2×2＝2.2【点评】建系设标，数形转化，简单易行，用心体会.2?的两个单位向量, a=e1-2e2,b=ke1+e2, 3若a・b=0,则实数k的值为 .6.已知e1,e2是夹角为解析由a・b=0得（e1-2e2）・（ke1+e2）=0. 整理,得 k- 2+（1-2k）cos答案5 42?5=0,解得k=. 34→→→→→7．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC・AD＝________.解析法一建系如图所示．令B(xB,0)，C(xC，yC)，D(0,1)，→所以BC＝(xC－xB，yC)，→BD＝(－xB,1)，→→BC＝3 BD， ??xC－xB＝3所以???yC＝3，－xB，所以xC＝(1－3)xB，yC＝3. →→→→AC＝((1－3)xB，3)，AD＝(0,1)，则AC・AD＝3.→→→→→→→→→法二 AC・AD＝(AB＋BC)・AD＝BC・AD＝3AD・BD，→→→→→→→→|AD|其中AD・BD＝|AD||BD|cos ∠ADB＝|AD||BD|・＝AD2＝1.→|BD|→答案3→→故3 AD・BD＝3.→→→→128．若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA・MB＝63________.?331?解析建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，则M?，?，22??→→?31??35?MA・MB＝?，－?・?－，?＝－2.2??22??2答案－29．已知向量p的模是2，向量q的模为1，p与q的夹角为π，a＝3p＋2q，b＝p4－q，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________．解析 |a －b|＝|3p＋2q－p＋q|＝|2p＋3q| ＝＝p＋3q2＝4p2＋12p・q＋9q2 2＋9 28＋122×＝29. 答案2910．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点．若点C在∠AOB的平分线上，且|→OC|＝10，则点C的坐标是________．4解析法一：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，直线OB方程为y＝x，因点3|4x－3y|C在∠AOB的平分线上，所以点C到直线OB与y轴的距离相等，从而＝5?x＝－1，|x|.又x＋y＝10，解之得?所以点C的坐标是(－1，－3)．y＝－3，?法二：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，则因点C在∠AOB的平分线上，所以由－y－3x－4ycos〈→OC，→OA〉＝cos〈→OC，→OB〉得＝.又x2＋y2＝10，解之得1・1051022?x＝－1，??y＝－3，所以点C的坐标是(－1，－3)．答案 (－1，－3)→→→→→11．已知O是△ABC的内部一点，OA＋OB＋OC＝0，AB・AC＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．→→→→解析由AB・AC＝|AB||AC|cos 60°＝2，→→→→→→→1得|AB||AC|＝4，S△ABC＝|AB||AC|sin 60°＝3，由OA＋OB＋OC＝0知，2O是△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝答案3 3133. 3→→→→→12．已知点G是△ABC的重心，AG＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，若∠A＝120°，AB・AC→＝－2，则|AG|的最小值是________．解析设AG交BC于D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，→→→→221所以AG＝AD＝・(AB＋AC)332→→→→→112＝(AB＋AC)，所以|AG|＝(AB＋AC)2 39→→→→1＝(|AB|2＋|AC|2－4)，又由－2＝AB・AC 9→→→→＝|AB||AC|cos 120°，得|AB||AC|＝4，2故当|AB|＝|AC|＝2时，|AG|取最小值.3答案2 3→→→2→→→→13．已知△ABC所在平面上的动点M满足2AM・BC＝AC－AB2，则M点的轨迹过△ABC的________心．→→→→→→→→解析如图，设N是BC的中点，则由2AM・BC＝(AC－AB)・(AC＋AB)＝BC・2AN，→→→→→得(AM－AN)・BC＝0，即NM・BC＝0，→→所以NM⊥BC，所以M点的轨迹过△ABC的外心．答案外心二、解答题14．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝2. (1)求a・b的值； (2)求|a＋b|的值．解析 (1)因为|a－b|＝2，所以|a－b|2＝a2－2a・b＋b2＝4＋1－2a・b＝4. 1所以a・b＝.21(2)|a＋b|2＝a2＋2a・b＋b2＝4＋2×＋1＝6.2故|a＋b|＝6.15．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．解析由条件知，cos45°＝a・b，∴a・b＝3，|a|・|b|设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，感谢您的阅读，祝您生活愉快。

【步步高】2021届高考数学总温习第九章解析几何章末检测理北师大版(1)

第九章章末检测(时刻：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )A ．1B . 3C ．2D .52．(2020·安徽)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，那么△ECF 的面积为( ) A .32 B .34 C ．2 5 D .3554．(2020·咸宁调研)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1 (a>0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的核心，假设△FAB 为直角三角形，那么双曲线的离心率是( )A . 3B . 6C ．2D ．35．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦别离为AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．4066．(2020·福建)设圆锥曲线Γ的两个核心别离为F 1，F 2，假设曲线Γ上存在点P 知足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，那么曲线Γ的离心率等于( )A .12或32B .23或2 C .12或2 D .23或327．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( ) A .32 B .152 C .13 D .133 8．假设过点A(4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，那么直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C .⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－33，33D .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，33 9．(2020·商丘模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，那么双曲线的离心率为( )A .54B ．5C .52D .510．“神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球中心，F 为左核心的椭圆，测得近地址A 距离地面m km ，远地址B 距离地面n km ，地球的半径为k km ，关于椭圆有以下三种说法：①焦距长为n －m ；②短轴长为m ＋k n ＋k ；③离心率e ＝n －mm ＋n ＋2k . 以上正确的说法有( ) A ．①③ B ．②③C ．①②D ．①②③ 11．设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的两个核心，P 在双曲线上，假设PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，那么双曲线的离心率为( )A .3－12B .3＋12C ．2D .5＋1212．(2020·浙江)设F 1、F 2别离为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右核心．假设在双曲线右支上存在点P ，知足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，那么该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x±4y＝0B ．3x±5y＝0C ．4x±3y＝0D ．5x±4y＝0二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．(2020·安庆模拟)假设一个圆的圆心在抛物线y 2＝4x 的核心处，且此圆与直线3x ＋4y ＋7＝0相切，那么那个圆的方程为________________．14．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的左极点A 作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B.假设|AM|＝|MB|，那么该椭圆的离心率为________．15．(2020·江西)假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的核心在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点别离为A ，B ，直线AB 恰好通过椭圆的右核心和上极点，那么椭圆方程是________．16．假设方程x 24－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线C ，给出以下四个命题： ①假设C 为椭圆，那么1<t<4；②假设C 为双曲线，那么t>4或t<1；③曲线C 不可能是圆；④假设C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，那么1<t<32. 其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，直角三角形ABC 的极点坐标A(－2,0)，直角极点B(0，－22)，极点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)假设动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程．18．(12分)已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k(x ＋1)相交于A 、B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值． 19．(12分)(2020·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|. (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 20．(12分)设直线l ：y ＝k(x ＋1) (k≠0)与椭圆x 2＋3y 2＝a 2 (a>0)相交于两个不同的点A 、B ，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．(1)证明：a 2>3k 21＋3k 2； (2)假设AC →＝2CB →，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．21．(12分)(2020·福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)假设以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．(2)假设直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是不是相切？说明理由．22．(12分)(2020·山东)已知动直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝62，其中O 为坐标原点． (1)证明：x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值．(2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值．(3)椭圆C 上是不是存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62？假设存在，判定 △DEG 的形状；假设不存在，请说明理由．第九章章末检测1．D 2.A 3.C 4.B 5.B6．A [由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，可设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，假设圆锥曲线为椭圆，那么2a ＝6k,2c ＝3k ，e ＝ca ＝12. 假设圆锥曲线为双曲线，则2a ＝4k －2k ＝2k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝32.] 7．D 8.C 9.D10．A 11.D 12.C13．(x －1)2＋y 2＝4 14.63 15.x 25＋y 24＝1 解析由题意可得切点A(1,0)．切点B(m ，n)知足⎩⎪⎨⎪⎧ n －12m －1＝－m n ，m 2＋n 2＝1，解得B(35，45)． ∴过切点A ，B 的直线方程为2x ＋y －2＝0.令y ＝0得x ＝1，即c ＝1；令x ＝0得y ＝2，即b ＝2.∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1. 16．②17．解 (1)∵k AB ＝－2，AB⊥BC，∴k CB ＝22. ∴l BC ：y ＝22x －2 2.故BC 边所在的直线方程为x －2y －4＝0.(3分) (2)在上式中，令y ＝0，得C(4,0)，∴圆心M(1,0)．又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9.(6分)(3)∵圆N 过点P(－1,0)，∴PN 是该圆的半径．又∵动圆N 与圆M 内切， ∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3>2＝|MP|.(8分)∴点N 的轨迹是以M 、P 为核心，长轴长为3的椭圆． ∴a＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝ 54. ∴轨迹方程为x 294＋y 254＝1.(10分) 18．解设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k x ＋1，得ky 2＋y －k ＝0，(2分) ∴y 1y 2＝－1.又－x 1＝y 21，－x 2＝y 22， ∴x 1x 2＝(y 1y 2)2＝1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4分)∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OA⊥OB.(6分)(2)如图，由(1)知y 1＋y 2＝－1k， y 1y 2＝－1，∴|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝ 1k 2＋4＝210，(10分) ∴k 2＝136，∴k＝±16，即所求k 的值为±16.(12分) 19．解 (1)设M 的坐标为(x ，y)，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y)2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.(6分) (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.(8分)∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.(10分)∴线段AB 的长度为|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415.(12分)20．(1)证明依题意，由y ＝k(x ＋1)，得x ＝1k y －1.将x ＝1k y －1代入x 2＋3y 2＝a 2，消去x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋3y 2－2k y ＋1－a 2＝0.①(2分)由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋3()1－a 2>0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋3a 2>3，即a 2>3k 21＋3k 2.(5分)(2)解设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由①得y 1＋y 2＝2k1＋3k 2，由AC →＝2CB →，C(－1,0)，得y 1＝－2y 2，代入上式，得y 2＝－2k1＋3k 2.(8分)于是，S △OAB ＝12|OC|·|y 1－y 2|＝32|y 2|＝3|k|1＋3k 2≤3|k|23|k|＝32，(10分)其中，上式取等号的条件是3k 2＝1，即k ＝±33，由y 2＝－2k 1＋3k 2，可得y 2＝±33，将k ＝33，y 2＝－33及k ＝－33，y 2＝33这两组值别离代入①，都可解出a 2＝5，因此，△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程是x 2＋3y 2＝5.(12分)21．解方式一 (1)依题意，点P 的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，因此0－m 2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．(3分)从而圆的半径r ＝|MP|＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(6分)(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，因此直线l′的方程为y ＝－x －m.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x －m ，x 2＝4y 得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．当m ＝1时，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C 相切；当m≠1时，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C 不相切．(10分) 综上，当m ＝1时，直线l′与抛物线C 相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C 不相切．(12分)方式二 (1)设所求圆的半径为r ，那么圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m 2＝r 2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，r ＝2 2.(4分)因此所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(6分)(2)同方式一．22．(1)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，因此x 2＝x 1，y 2＝－y 1.因为P(x 1，y 1)在椭圆上，因此x 213＋y 212＝1.① 又因为S △OPQ ＝62，因此|x 1|·|y 1|＝62.② 由①②得|x 1|＝62，|y 1|＝1，现在x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知m≠0，将其代入x 23＋y 22＝1，得 (2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－2)＝0，其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0，即3k 2＋2>m 2.(*)又x 1＋x 2＝－6km 2＋3k2，x 1x 2＝3m 2－22＋3k 2，因此|PQ|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝1＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2.因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m|1＋k 2，因此S △OPQ ＝12|PQ|·d ＝121＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m|1＋k 2 ＝6|m|3k 2＋2－m 22＋3k 2.又S △OPQ ＝62，整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(*)式，(2分)现在x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－6km 2＋3k 2)2－2×3m 2－22＋3k 2＝3， y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23(x 21＋x 22)＝2，综上所述，x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2，结论成立．(4分) (2)解方式一 ①当直线l 的斜率不存在时，由(1)知|OM|＝|x 1|＝62，|PQ|＝2|y 1|＝2，因此|OM|·|PQ|＝62×2＝ 6.②当直线l 的斜率存在时，由(1)知： x 1＋x 22＝－3k 2m ，y 1＋y 22＝k(x 1＋x 22)＋m ＝－3k 22m ＋m ＝－3k 2＋2m 22m ＝1m， |OM|2＝(x 1＋x 22)2＋(y 1＋y 22)2＝9k 24m 2＋1m 2＝6m 2－24m 2＝12(3－1m2)． |PQ|2＝(1＋k 2)243k 2＋2－m 22＋3k 22＝22m 2＋1m 2＝2(2＋1m2)，因此|OM|2·|PQ|2＝12×(3－1m 2)×2×(2＋1m2) ＝(3－1m 2)(2＋1m 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2＋2＋1m 222＝254. 因此|OM|·|PQ|≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1m2，即m ＝±2时，等号成立．综合①②得|OM|·|PQ|的最大值为52.(8分)方式二因为4|OM|2＋|PQ|2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2[(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)]＝10. 因此2|OM|·|PQ|≤4|OM|2＋|PQ|22＝102＝5. 即|OM|·|PQ|≤52，当且仅当2|OM|＝|PQ|＝5时等号成立．因此|OM|·|PQ|的最大值为52. (3)解椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62. 证明：假设存在D(u ，v)，E(x 1，y 1)，G(x 2，y 2)知足S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62，由(1)得u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3；v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 22＝2，(10分)解得u 2＝x 21＝x 22＝32；v 2＝y 21＝y 22＝1，因此u ，x 1，x 2只能从±62当选取，v ，y 1，y 2只能从±1当选取．因此D ，E ，G 只能在(±62，±1)这四点当选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62矛盾，因此椭圆C 上不存在知足条件的三点D ，E ，G.(12分)。

【步步高】2021届高考数学总温习常考题型强化练不等式、推理与证明理新人教B版(1)

常考题型强化练——不等式、推理与证明A 组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．“|x |<2”是“x 2－x －6<0”的什么条件( ) A ．充分而没必要要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也没必要要答案 A解析不等式|x |<2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6<0的解集是(－2,3)，于是当x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2，3)，反之那么不成立，应选A.2．某种生产设备购买时费用为10万元，每一年的设备治理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每一年2千元的增量逐年递增，那么这种生产设备最多利用多青年报废最合算(即利用多青年的年平均费用最少)( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11答案 C解析设利用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x 2x，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N ＋)．由均值不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时取等号．因此利用10年报废最合算，年平均费用为3万元．3． (2021·四川)假设变量x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，那么a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16答案 C 解析画出可行域如图阴影部份(包括边界)易解得A (4,4)，B (8,0)，C (0,2)．对目标函数令z ＝0作出直线l 0，上下平移易知过点A (4,4)，z 最大＝16，过点B (8,0)，z 最小＝－8，即a ＝16，b ＝－8， ∴a －b ＝24.选C.4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)(α>0)，那么不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1α，1β B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1α，－1β C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1β，1α D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1β，－1α 答案 C解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，那么a <0，α＋β＝－b a ，αβ＝c a，而不等式cx 2＋bx ＋a >0可化为c a x 2＋b a x ＋1<0，即αβx 2－(α＋β)x ＋1<0，可得(αx －1)(βx －1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1α⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1β<0，因此其解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫1β，1α，应选C. 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .假设存在正整数m ，n (m <n )，使得S m ＝S n ，那么S m ＋n ＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n }的前n 项积为T n .假设存在正整数m ，n (m <n )，使T m ＝T n ，那么T m ＋n 等于( ) A ．0 B ．1 C ．m ＋n D ．mn答案 B解析因为T m ＝T n ，因此b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2…b m b m ＋1…b n b n ＋1…b n ＋m －1b n ＋m ＝(b 1b n ＋m )·(b 2b n ＋m －1)…(b m b n ＋1)·(b m ＋1b n )＝1.二、填空题6．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，假设x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，那么实数m 的取值范围是____________．答案 (－4,2)解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋1y＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y，即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，现在x ＝4，y ＝2， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.7．已知点P (x ，y )在曲线y ＝1x上运动，作PM 垂直于x 轴于M ，那么△OPM (O 为坐标原点)的周长的最小值为________．答案 2＋2解析三角形OPM 的周长为|x |＋1|x |＋x 2＋1x 2≥ 2·|x |·1|x |＋ 2·x 2·1x2＝2＋2(当且仅当|x |＝1|x |时，即|x |＝1时取等号)． 8．已知关于任意实数α，咱们有正弦恒等式sin αsin(π3－α)·sin(π3＋α)＝14sin 3α，也有余弦恒等式cos αcos(π3－α)·cos(π3＋α)＝14cos 3α，类比以上结论关于使正切成心义的α，能够推理得正切恒等式为________________．答案 tan αtan(π3－α)tan(π3＋α)＝tan 3α 三、解答题9．在一条直线型的工艺流水线上有3个工作台，将工艺流水线用如以下图所示的数轴表示，各工作台的坐标别离为x 1，x 2，x 3，每一个工作台上有假设干名工人．现要在x 1与x 3之间修建一个零件供给站，使得各工作台上的所有工人到供给站的距离之和最短．(1)假设每一个工作台上只有一名工人，试确信供给站的位置；(2)设工作台从左到右的人数依次为2,1,3，试确信供给站的位置，并求所有工人到供给站的距离之和的最小值．解设供给站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供给站的距离之和为d (x )．(1)由题设，知x 1≤x ≤x 3，因此d (x )＝x －x 1＋|x －x 2|＋x 3－x ＝|x －x 2|－x 1＋x 3，故当x ＝x 2时，d (x )取最小值，现在供给站的位置为x ＝x 2.(2)由题设，知x 1≤x ≤x 3，因此d (x )＝2(x －x 1)＋|x －x 2|＋3(x 3－x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3x 3＋x 2－2x 1，x 1≤x <x 2，3x 3－x 2－2x 1，x 2≤x ≤x 3. 因此，函数d (x )在区间[x 1，x 2]上是减函数，在区间[x 2，x 3]上是常数．故供给站位置位于区间[x 2，x 3]上任意一点时，均能使函数d (x )取得最小值，且最小值为3x 3－x 2－2x 1.10．某市政府为了打造宜居城市，打算在公园内新建一个如以下图所示的矩形ABCD 的休闲区，内部是矩形景观区A 1B 1C 1D 1，景观区周围是人行道，已知景观区的面积为8 000平方米，人行道的宽为5米(如以下图所示)．(1)设景观区的宽B 1C 1的长度为x (米)，求休闲区ABCD 所占面积S 关于x 的函数；(2)计划要求景观区的宽B 1C 1的长度不能超过50米，如何设计景观区的长和宽，才能使休闲区ABCD 所占面积最小？解 (1)因为AB ＝10＋8 000x ，BC ＝10＋x ，因此S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋8 000x (10＋x ) ＝8 100＋80 000x＋10x (x >0)．因此休闲区ABCD 所占面积S 关于x 的函数是S ＝8 100＋80 000x＋10x (x >0)． (2)S ＝8 100＋80 000x＋10x (0<x ≤50)，令S ′＝10－80 000x 2＝0，得x ＝405或x ＝－405(舍去)．因此当0<x ≤50时，S ′<0，故S ＝8 100＋80 000x＋10x 在(0,50]上单调递减．因此函数S ＝8 100＋80 000x ＋10x (0<x ≤50)在x ＝50取得最小值，现在A 1B 1＝8 00050＝160(米)．因此当景观区的长为160米，宽为50米时，休闲区ABCD 所占面积S 最小．B 组专项能力提升(时刻：30分钟)1．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时刻t (0<t ≤30)的关系大致知足f (t )＝t 2＋10t ＋16，那么该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f 1010)的月饼最小值为 ( )A ．18B ．27C ．20D ．16答案 A解析平均销售量y ＝f t t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18. 当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈(0,30]时等号成立，即平均销售量的最小值为18.2．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车别离为10辆和20辆．假设每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，那么蔬菜收购点运完全数黄瓜支出的最低运费为( ) A ．11 280元B ．12 480元C ．10 280元D ．11 480元答案 B解析设租用的卡车和农用车别离为x 辆和y 辆，运完全数黄瓜支出的运费为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤100≤y ≤208x ＋2.5y ≥100x ∈N ＋y ∈N ＋，目标函数z ＝960x ＋360y ，此不等式组表示的可行域是△ABC (其中A (10,8)，B (10,20)，C (6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．当直线l ：z ＝960x ＋360y 通过点A (10,8)时，运费最低，且其最低运费z min ＝960×10＋360×8＝12 480(元)，选B.3. 如下图，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的周围留出左右宽2米，上下宽1米的小路，那么占地总面积的最小值是________平方米．答案 968解析设鱼池的长EH ＝x ，那么EF ＝800x ，占地总面积是(x ＋4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋2 ＝808＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x ≥808＋2·2x ·1 600x ＝968.当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，取等号． 4．咱们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy 中，利用求动点轨迹方程的方式，能够求出过点A (－3,4)，且其法向量为n ＝(1，－2)的直线方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比上述方式，在空间直角坐标系Oxyz 中，通过点A (1,2,3)，且其法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面方程为________．答案 x ＋2y －z －2＝0解析设P (x ，y ，z )为空间内任意一点，那么类比上述结论可得AP →·n ＝(x －1，y －2，z －3)·(－1，－2,1)＝0，整理得x ＋2y －z －2＝0.5．某工厂天天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P 与日产量x (x ∈N ＋)件之间的关系为P ＝4 200－x 24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每显现一件次品亏损2 000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y (元)表示成日产量x (件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．解 (1)∵y ＝4 000·4 200－x 24 500·x －2 000⎝⎛⎭⎪⎫1－4 200－x 24 500·x ＝3 600x －43x 3，∴所求的函数关系式是y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)． (2)由(1)知y ′＝3 600－4x 2.令y ′＝0，解得x ＝30.∴当1≤x <30时，y ′>0；当30<x ≤40时，y ′<0.∴函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数． ∴当x ＝30时，函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)取得最大值，最大值为－43×303＋3 600×30＝72 000(元)． ∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72 000元．。

2021届新高考步步高大二轮数学专题复习：小题满分练4

小题满分练4一、单项选择题1．已知集合A ＝{0,2,4}，B ＝{x |3x －x 2≥0}，则集合A ∩B 的子集个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 C解析因为A ＝{0,2,4}，B ＝{x |0≤x ≤3}，所以A ∩B ＝{0,2}，故其子集的个数是22＝4.2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |等于( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2答案 D解析方法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2.方法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5D.y ^＝－0.3x ＋4.4 答案 A解析因为x 与y 正相关，所以排除选项C ，D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心(3,3.5)，故排除选项B.4．已知函数f (x )＝sin x 2＋cos x 2，则( ) A ．f (x )的最大值为2B ．f (x )的最小正周期为πC ．f (x )的图象关于x ＝5π2对称 D ．f (x )为奇函数答案 C解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，f (x )max ＝2，当x ＝4k π＋π2，k ∈Z 时取最大值，故A 错误；f (x )的最小正周期为4π，故B 错误；因为f (5π－x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π2－x 2＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4－x 2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫3π4－x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＝f (x )，所以x ＝5π2为函数图象的对称轴，故C 正确； f (0)＝1≠0，故f (x )不是奇函数，故D 错误．5．函数y ＝1x －ln(x ＋1)的图象大致为( )答案 A解析当x >0时，函数为减函数，排除B ；当－1<x <0时，函数也是减函数，排除D ；又当x ＝1时，y ＝1－ln 2>0，排除C ；只有A 满足题意．6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，cos C ＝45，△ABC 的面积为3，则c 等于( )A.11 B ．2 3 C.13 D.14答案 C解析因为cos C ＝45，所以sin C ＝35，由S ＝12ab sin C ，可得b ＝2，根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝29－20×45＝13，所以c ＝13.7．(2020·福州模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )<0，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数．若2f (m －2 020)>(m －2 020)f (2)，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,2 020)B ．(2 020，＋∞)C ．(2 022，＋∞)D ．(2 020,2 022)答案 D解析设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2， ∵xf ′(x )－f (x )<0且x >0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又不等式2f (m －2 020)>(m －2 020)f (2)可化为f (m －2 020)m －2 020>f (2)2，即g (m －2 020)>g (2)， ∴0<m －2 020<2，∴2 020<m <2 022.8．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，若|PF 1|＝|F 1F 2|，且直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±43x B ．y ＝±34x C ．y ＝±35x D ．y ＝±53x 答案 A解析依据题意作出图象，如图，则|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|OM |＝a ，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，所以OM ⊥PF 2，所以|MF 2|＝c 2－a 2＝b ，由双曲线的定义可得，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝2c ＋2a ，所以cos ∠OF 2M ＝b c ＝(2c )2＋(2a ＋2c )2－(2c )22×2c ×(2a ＋2c )，整理得2b ＝a ＋c ，即2b －a ＝c ，将c ＝2b －a 代入c 2＝a 2＋b 2，整理得b a ＝43，所以C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±43x . 二、多项选择题9．(2020·临沂期末)随着手机网络的普及，微信已经成功走进了千家万户，发朋友圈动态也成为大伙儿茶余饭后的一种习惯．某研究人员随机抽取了A 地部分居民进行调查，并将使用微信的居民的年龄状况以及相应人数统计如图所示，则下列说法正确的是( )A ．年龄在[8,25]岁的居民使用微信的比例最高B ．年龄在[56,60]岁的居民比年龄在[61,65]岁的居民使用微信的比例低C ．年龄在[8,45]岁的居民使用微信的比例超过50%D ．年龄在[36,75]岁的居民使用微信的比例超过50%答案 ABD解析由条形图易知A ，B 均正确；年龄在[8,45]岁的居民使用微信的共有2 005＋1 256＋1 069＝4 330(人)，总人数为415＋2 005＋1 256＋1 069＋849＋611＋703＋840＋960＋581＝9 289, 4 330÷9 289≈46.6%，则年龄在[8,45]岁的居民使用微信的比例没有超过50%，C 错误；同理，年龄在[36,75]岁的使用微信的居民共有5 032人，超过总人数的50%，D 正确．10．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0，点A 是直线y ＝kx －3上任意一点，若以点A 为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 ABC解析圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1.若以点A 为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则圆心C 到直线y ＝kx －3的距离大于2，即|k －3|1＋k2>2，解得－1－263<k < －1＋263.因为－3<－1－263<－2,0<－1＋263<1，所以整数k 的可能取值为－2，－1,0. 11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF (如图①)．将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE (如图②)．在折起的过程中，下列说法中正确的是( )A ．AC ∥平面BEFB ．B ，C ，E ，F 四点不可能共面C ．若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCDD ．平面BCE 与平面BEF 可能垂直答案 ABC解析 A 中，连接AC ，取AC 的中点O ，BE 的中点M ，连接MO ，MF (图略)，则MO ∥DE ，且DE ＝2MO ，又因为DE ＝2AF ，DE ∥AF ，所以MO ∥AF 且MO ＝AF ，所以四边形AOMF 是平行四边形，即AC ∥FM ，因为AC ⊄平面BEF ，FM ⊂平面BEF ，所以AC ∥平面BEF ，所以A 正确；B 中，若B ，C ，E ，F 四点共面，因为BC ∥AD ，BC ⊄平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，所以BC ∥平面ADEF ，可推出BC ∥EF ，所以AD ∥EF ，这与已知相矛盾，故B ，C ，E ，F 四点不可能共面，所以B 正确；C 中，连接CF ，DF (图略)，在梯形ADEF 中，由勾股定理得EF ⊥FD ，又EF ⊥CF ，FD ∩CF ＝F ，所以EF ⊥平面CDF ，即CD ⊥EF ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADEF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ，所以C 正确；D 中，延长AF 至G ，使得AF ＝FG ，连接BG ，EG (图略)，因为BC ⊥AF ，BC ⊥AB ，AF ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面ABF ，所以平面BCE ⊥平面ABF ，过F 作FN ⊥BG 于N ，则FN ⊥平面BCE ，若平面BCE ⊥平面BEF ，则过F 作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE 上，前后矛盾，故D 错误．12. (2020·长沙模拟)如图，已知点E 是▱ABCD 的边AB 的中点，F n (n ∈N *)为边BC 上的一列点，连接AF n 交BD 于G n (n ∈N *)，连接G n E .点G n 满足G n D →＝a n ＋1·G n A →－2(2a n ＋3)·G n E →，其中数列{a n }是首项为1的正项数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( )A ．a 3＝13B ．数列{a n ＋3}是等比数列C ．a n ＝4n －3D ．S n ＝2n ＋1－n －2 答案 AB解析因为点E 是AB 的中点，所以AE →＝EB →，即G n E →－G n A →＝G n B →－G n E →，则2G n E →＝G n B →＋G n A →.又因为D ，G n ，B 三点共线，所以可设G n B →＝λG n D →(λ<0)，则G n D →＝2λG n E →－1λG n A →. 又因为G n D →＝a n ＋1·G n A →－2(2a n ＋3)·G n E →，所以⎩⎨⎧ a n ＋1＝－1λ，－2(2a n ＋3)＝2λ，即a n ＋1＝2a n ＋3，所以a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，因为数列{a n }是首项为1的正项数列，所以{a n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3，所以a 3＝13，S n ＝4(1－2n )1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4. 三、填空题13．在某项测量中，测量结果ξ～N (1，σ2)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．答案 0.8解析 ∵ξ服从正态分布N (1，σ2)，ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，∴由正态分布的对称性可知ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，∴P (0<ξ<2)＝P (0<ξ<1)＋P (1<ξ<2)＝0.4＋0.4＝0.8.14．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________. 答案 25解析设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2.因为a 1＝－2，所以d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25. 15．已知函数f (x )＝e x －e －x ＋2x ，则使不等式f (2x －1)＋f (x )>0成立的x 的取值范围是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >13 解析因为f (x )＝e x －e －x ＋2x ，所以f (－x )＝e －x －e x －2x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，设x 1<x 2，x 1，x 2∈R ，则1e x <2e x ，1ex ->2e x -，所以1e x －1e x -＋2x 1<2e x －2e x -＋2x 2，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上为增函数，所以f (2x －1)＋f (x )>0等价于f (2x －1)>－f (x )＝f (－x )，所以2x －1>－x ，解得x >13. 16．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，A 是最大角，若cos B sin C AB →＋cos C sin BAC →＝mAO →，则m 的取值范围为________．答案 [3，2)解析设D 是AB 中点，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，根据垂径定理可知OD ⊥AB ，依题意得cos B sin C AB →·AB →＋cos C sin BAC →·AB → ＝m (AD →＋DO →)·AB →＝m 2AB →2，即c 2cos B sin C ＋bc cos A cos C sin B ＝m 2c 2，利用正弦定理化简得cos B ＋cos A cos C ＝m 2sin C . 由于cos B ＝－cos(A ＋C )，所以sin A sin C －cos A cos C ＋cos A cos C ＝m 2sin C ，即m ＝2sin A ．由于A 是锐角三角形的最大角，故A ∈⎣⎡⎭⎫π3，π2，sin A ∈⎣⎡⎭⎫32，1，故m ＝2sin A ∈[3，2)．。

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小题满分练61．(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． 2．设复数z ＝1＋b i(b ∈R )，且z 2＝－3＋4i ，则z 的虚部为( ) A ．－2 B ．－4 C ．2 D ．4 答案 A解析 ∵z 2＝－3＋4i ，∴(1＋b i)2＝－3＋4i,1－b 2＋2b i ＝－3＋4i ， ∴1－b 2＝－3,2b ＝4，解得b ＝2. 则z ＝1－2i 的虚部为－2.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 6＋a 8a 3＋a 5＝127，则a 6的值为( )A.127B.181C.1243D.1729 答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由a 6＋a 8a 3＋a 5＝q 3＝127⇒q ＝13，所以a 6＝a 1·q 5＝1243.4．已知a ＝log 30.8，b ＝30.8，c ＝0.32.1，则( ) A ．a <ab <c B ．ac <b <c C ．ab <a <c D ．c <ac <b答案 C解析 ∵a <0，b >1,0<c <1，∴ab <a <c .5．如图所示的程序框图中，若输入x ＝1516，则输出的i 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析模拟程序的运行，可得x ＝1516，i ＝0，执行循环体，x ＝78，i ＝1，不满足条件x ＝0，执行循环体，x ＝34，i ＝2，不满足条件x ＝0，执行循环体，x ＝12，i ＝3，不满足条件x ＝0，执行循环体，x ＝0，i ＝4，此时，满足条件x ＝0，退出循环，输出i 的值为4.6．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12答案 C解析设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ，侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′，则由已知得h 2＝12ah ′.如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫a 22， ∴h ′2＝12ah ′＋14a 2，∴⎝⎛⎭⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0，解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)．7．函数f (x )＝x 2e x2的大致图象为( )答案 A解析对于任意x ∈R ，f (x )＝x 2e x2≥0，故排除C ；x →＋∞时，f (x )→＋∞，故排除B ；因为函数是非奇非偶函数，故排除D.8．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,0) 答案 B解析设动圆的圆心为C ，半径为R ，则圆心C 在抛物线上，设与直线x ＋2＝0相切的切点为A ，与x 轴的交点为M ，由圆的性质可知，|CA |＝|CM |＝R ，直线x ＋2＝0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该动圆必过抛物线的焦点(2,0)．9．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( ) A.225 B.310 C.110 D.325 答案 C解析在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为 P 1＝12×35×12×25＝350；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为 P 2＝12×25×12×25＝125.所以甲以13∶11赢下此局的概率为P 1＋P 2＝110.10．(2020·全国Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，c 2＝a 2＋b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5a ，b ＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝25a . ∵△PF 1F 2中，F 1P ⊥F 2P ， ∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝20a 2. 不妨设P 在C 的右支上，则|F 1P |－|F 2P |＝2a . ∵△PF 1F 2的面积为4，∴12|F 1P ||F 2P |＝4，即|F 1P ||F 2P |＝8. ∴(|F 1P |－|F 2P |)2＝|F 1P |2＋|F 2P |2－2|F 1P ||F 2P | ＝20a 2－2×8＝4a 2，解得a ＝1.11．已知A (x 1,0)，B (x 2,0)是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，φ∈(0，π))与x 轴的两个交点，且满足|x 1－x 2|min ＝π3，现将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到的新函数图象关于y轴对称，则φ的可能取值为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 A解析由f (x )＝0，可得sin(ωx ＋φ)＝－12，∵A (x 1,0)，B (x 2,0)是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，φ∈(0，π))与x 轴的两个交点，设x 1>x 2，不妨令x 1ω＋φ＝－π6，x 2ω＋φ＝－5π6，∴(x 1－x 2)ω＝2π3，又|x 1－x 2|min ＝π3，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1，又函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到的新函数图象关于y 轴对称，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝π6＋k π(k ∈Z )．又φ∈(0，π)，∴φ＝π6.12．(2020·眉山诊断)函数f (x )＝ax －2与g (x )＝e x 的图象上存在关于直线y ＝x 对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，e 4B.⎝⎛⎦⎤－∞，e2 C ．(－∞，e] D ．(－∞，e 2] 答案 C解析由题意可知，曲线f (x )＝ax －2与y ＝ln x 有公共点，即方程ax －2＝ln x 有解，即a ＝2＋ln x x 有解，令h (x )＝2＋ln xx ，则h ′(x )＝－1－ln xx 2，则当0<x <1e时，h ′(x )>0；当x >1e时，h ′(x )<0，故当x ＝1e 时，h (x )取得极大值h ⎝⎛⎭⎫1e ＝e ，也为最大值，当x 趋近于0时，h (x )趋近于－∞，所以a ≤e 满足条件．13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b＝________. 答案2113解析在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.14．点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若AE →·DB →＝－2，则AE →·BE →＝________. 答案 3解析如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2a ，则E (a ,2a )，B (2a ,0)，D (0,2a )，可得AE →＝(a ,2a )，DB →＝(2a ，－2a )，由AE →·DB →＝－2，可得2a 2－4a 2＝－2，解得a ＝1，BE →＝(－1,2)，AE →＝(1,2)，则AE →·BE →＝3.15．已知数列{a n }，{b n }，其中数列{a n }满足a n ＋10＝a n (n ∈N *)，前n 项和为S n ，满足S n ＝－n 2－21n ＋12(n ∈N *，n ≤10)；数列{b n }满足b n ＋12＝b n (n ∈N *)，且b 1＝1，b n ＋1＝nn ＋1b n(n ∈N *，n ≤12)，则数列{a n ·b n }的第2 020项的值为________．答案 14解析 ∵S n ＝－n 2－21n ＋12(n ∈N *，n ≤10)，∴a 1＝S 1＝192，a n ＝S n －S n －1＝－n 2－21n ＋12＋(n －1)2－21(n －1)＋12＝11－n (2≤n ≤10)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧192，n ＝1，11－n ，2≤n ≤10，∵b 1＝1，b n ＋1＝n n ＋1b n (n ∈N *，n ≤12)．∴nb n ＝(n ＋1)b n ＋1，∴数列{nb n }是常数列，即nb n ＝1×b 1＝1， ∴b n ＝1n(n ∈N *，n ≤12)，∵{a n }，{b n }的周期分别为10,12， ∴a 2 020＝a 10＝1，b 2 020＝b 4＝14，∴a 2 020·b 2 020＝14.16．(2020·常德模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BC ＝2AB ＝4AD ＝4，将直角梯形ABCD 沿对角线BD 折起，使点A 到P 点位置，则四面体P －BCD 的体积的最大值为________，此时，其外接球的表面积为________．答案8515 654π 解析如图，四面体P －BCD 的体积最大时，平面PBD ⊥平面DBC ，点P 到平面DBC 的距离为△PDB 斜边DB 上的高h ， ∵12AB ·AD ＝12BD ·h ，∴h ＝25，故最大体积为V ＝13S △DBC ·h ＝13×12×4×2×25＝8515.△PDB 的外心为斜边DB 的中点M ，△DBC 的外心为O ，过M 作平面PDB 的垂线，过O 作平面BDC 的垂线，两垂线的交点即为球心．∵平面PBD ⊥平面DBC ，∴O 即为球心，△DBC 的外接圆半径即为球半径， ∴2R ＝BD sin ∠BCD＝5213＝652.∴外接球的表面积为S ＝4πR 2＝654π.。

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