控制工程第3章习题解答
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3.5 使用温度计对水温进行测量，若水温为恒定值，该温度计能在1分钟时指示出实际温度值的98%。假定温度计为一个一阶系统，求该系统的时间常数T 。 解：
恒定的水温可以视为一个阶跃输入信号，温度计的测量输出可以视为对该阶跃输入信号的响应。 一阶系统的单位阶跃响应的时间函数为：)0(1)(/>-=-t e t x T t o （P82，3.3.2） 根据题意可知：98.01)(/11
=-=-=T
t o e t x
→02.0/1=-T e →256.050
ln 1
==
T (min)
若测量开始后，实际水温从零度起，以10°C/min 的速度线性升温，求温度计在1分钟时的示值与实际水温的误差是多大？
（帮助公式：11111
2
22++-=+⋅Ts T s T s
Ts s ） 根据题意，实际的温度输入信号为：
t t x i ⋅=10)(
其拉氏变换为：2
10
)(s
s X i =
测量误差的时间函数为：
]
11
10[)()]()([)()]([)()
()()(2111+⋅⋅-=⋅-=-=-=---s T s
L t x s G s X L t x s X L t x t x t x t e i i i o i o i
其中：
)(10]1
1[10]111[10]1110
[/2212121
T t e T T t Ts T s T s L Ts s L s T s L ----⋅+-=++-=+⋅=+⋅⋅
所以：
)1(56.2)1(10)(1010)(256.0///t T t T t e e T e T T t t t e ----=-=⋅+--=
当t=1时，测量误差为：
5.2)1(5
6.2)(256.0/11=-=-=e t e t
3.7已知控制系统的微分方程为)(20)()(5.2t x t y t y =+'，试用拉氏变换法求该系统的单位脉冲响应)(t w 和单位阶跃响应)(t x ou ，并讨论二者之间的关系
解：由传递函数的定义和系统的微分方程（P34，2.2.2~2.2.3），可得系统的传递函数为
4
.08
15.220)()()(+=
+==
s s s X s Y s G 系统的单位脉冲响应为（P81）
t e s L s X s G L t w 4.0118]14
.08
[
)]()([)(---=⋅+==
系统的单位阶跃响应为（P82）：
)1(20]4
.01
1[4.08]14.08[
)]()([)(4.0111t ou e s s L s s L s X s G L t x -----=+-=⋅+==
比较)(t x ou 和)(t w ，有)(t w =)(t x ou
' 即系统的单位脉冲响应等于系统的单位阶跃响应的微分。
3.12下图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，
试求：
（1）阻尼比ξ及无阻尼固有频率n ω
解：由图可知，该系统为一个单位反馈系统，其系统的闭环传递函数为：
9
9)
1(191)
1(1
9)(1)()()(1)()(2++=
+⋅++⋅
=+=+=s s s s s s s G s G s H s G s G s G B 对比二阶系统传递函数的标准形式(P83，3.4.1)
2
2
22n
n n
s ωξωω++
可得该系统的阻尼比ξ及无阻尼固有频率n ω为：
6
1,3=
=ξωn （2）该系统的p M ，p t ，s t ，N
136
1
1312≈-
=-==
πξωπωπn d p t (P90，3.4.15)
%53%100%100361
1/6
12
1/≈⨯=⨯=-
---πξξπe e
M p (P90，3.4.17)
9=a K )1(1
+s s +
-
)(s X i )(s X o
若令02.0=∆，84
=≈
n
s t ξω(P91，3.4.22)， 7.3122
≈-=
πξ
ξN (P91，3.4.25)
若令05.0=∆，63
=≈
n
s t ξω(P91，3.4.23)，8.215.12
≈-=
πξ
ξN (P91，3.4.26)
3.15 要使下图所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间p t 为2秒，试确定K 和f K 的值
解：由图可知，该系统的闭环传递函数为：
K
s K K s K s K s
K s K s H s G s G s G f f B +⋅+=+⋅⋅+⋅=+=2
22
)1(111)
()(1)()( 对比二阶系统传递函数的标准形式
2
2
22n
n n s ωξωω++
可得该系统的阻尼比ξ及无阻尼固有频率n ω为：
2
,K
K K f
n =
=ξω
由题意， 令：%252
1/==--ξξπe
M p ，即
4ln 12
=-ξ
ξπ
解得：4.0=ξ
令：()24.01122
=-=-==
K t n
d p πξωπωπ 解得：93.2=K
再由：
2
93
.22
f f
K K K =
=4.0=ξ 解得：467.0=f K
3.16如图所示系统，试求 （1）h K 为多少时，5.0=ξ；
K
2
1s
+ -
)(s X i )(s X o
s K f +1