251平面向量应用举例
2.5平面向量应用举例【很好】
思考：能否用向量 坐标形式证明？
即 AC CB 0，得 ∠ACB=90°
r2 r2 0
2.5.2向量在物理中的应用
例1：同一平面内，互成120ْ 的三个大小相等的共点 力的合力为零。
证：如图，用a，b，c表示这3个共点力， 且a，b，c互成120°，模相等，按照向 量的加法运算法则，有： a A
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
又因为 ER与 EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
因为 AR AE ER
0
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
1 解得：n= m = 3
故AT=RT=TC
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
=3
2.5平面向量应用举例
1. 向量在几何中的应用
解决的问题：
比如：距离、平行、三点共线、垂直、 夹角等几何问题
2. 向量在物理中的应用
解决的问题：
比如：力、速度等物理问题
2.5.1平面几何的向量方法
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角 线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？
F2
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道： G F1 = （ *） θ 2cos 2 F 通过上面的式子，有：当θ由0º 到180º 逐渐变 θ θ cos 大时， 由0º 到90º 逐渐变大， 2 的值由大逐 2 渐变小，因此 ： F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ 探究：
高中数学 2.5《平面向量应用举例》课件 苏教版必修4
第八页，编辑于星期五：十点 三十四分。
例题
如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ，
点 E、 F、 G、 H分 别 为 四 条 边 的 中 点 ，
求 证 ： EF//HG且 EFHG
证 明 :E F E B B F
D
G
C
1 AB 1BC
F
22
1(ABBC) 1 A C H
第二页，编辑于星期五：十点 三十四分。
复习
? a b a b 0
a b |a ||b |c o s
|a||b |c o s9 0
|a||b|0 0
2
a
|
a
|2
第三页，编辑于星期五：十点 三十四分。
复习
| i | 1 | j | 1
2
i
| i |2
1
2
j | j |2 1
i j 0 ji 0
2.5平面向量应用举例
第一页，编辑于星期五：十点 三十四分。
复习
a b |a ||b |c o s
a b x 1 x 2 y 1y 2
( 1 ) | a | 5 ,| b | 6 , 3 0 ， a b 1 5 3
( 2 ) a ( 1 , 5 ) ,b ( 3 , 2 ) ,a b 7
• 2.向量共 线
a / / b b a x 1 y 2 x 2 y 1 0
第六页，编辑于星期五：十点 三十四分。
坐标表示向量的夹角
a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 )
cos a b
x1x2 y1y2
| a || b |
x12 y12 x22 y22
P120 例6
高中数学第二章平面向量25平面向量应用举例2512向量在物理中的应用举例课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
(1)－40 [因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，所以合力F＝F1＋ F2＋F3＝(8，－8)，A→B＝(－1,4)，
则F·A→B＝－1×8－8×4＝－40，
即三个力的合力所做的功为－40.]
(2)①由题意|F3|＝|F1＋F2|，
因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为
一级达标重点名校中学课件
[跟踪训练] 1．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别 为边BC，CA，AB的中点． (1)求直线DE的方程； (2)求AB边上的高线CH所在直线的方程． [解] (1)设M(x，y)是直线DE上任意一点， 则D→M∥D→E， 因为点D，E分别为边BC，CA的中点， 所以点D，E的坐标分别为D(－1,1)，E(－3，－1)，
∴△ABC是直角三角形，BC为斜边，
∴|A→M|＝12|B→C|＝12×4＝2.]
一级达标重点名校中学课件
[合 作 探 究·攻 重 难]
向量在平面几何中的应用
(1)已知非零向量A→B与A→C满足
→ AB →
＋
→ AC →
·B→C＝0且
→ AB →
→ ·C→A
＝12，则
|AB| |AC|
|AB| |AC|
一级达标重点名校中学课件
向量在解析几何中的应用
已知点 A(1,0)，直线 l：y＝2x－6，点 R 是直线 l 上的一点，若R→A＝
2A→P，求点 P 的轨迹方程.
[思路探究]
【导学号：84352265】
设Px，y，Rx0，y0
→
依据R→A＝2A→P找x， y与x0，y0的关系
2.5平面向量应用举例2-精选文档43页
例题
例3河水从东向西流，流速为2m/s， 一轮船以2m/s垂直水流方向向北横渡， 求轮船实际航行的方向和航速.
解：设a“向西方向， 2m/ s”， b“向北方向， 2m/ s”，则
|ab| 22 22 2 2 2.8(m/ s). 由a =b，可得ab的方向为西北方向. 答：轮船实际航行速度为“向西北方向， 2.8m/ s”.
练一练
已知两个力F1, F2的夹角是直角，
且已知它们的合力F与F1的夹角
为 ，F
3
10N，求F1、F2的大小.
解：F1
F
cos
3
5N,
F2
F sin 5 3
3N.
练一练
某人骑车速度v a，方向向东， 此时感到风从正北方吹来， 若将速度加快一倍， 则感到风从东北方吹来，求风速与风向.
• 11． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用 它们进行计算；
• 12． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件； • 13． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量
共线.
• 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几 何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全
等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运 算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面 几何中的一些问题.
| AB|| BC|， 四边形ABCD是菱形.
Dபைடு நூலகம்
C
O
A
B
小结
• 向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量 处理平面几何问题，最重要的是要先在平面图形 中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通 过向量的运算，达到快捷解题的效果.
2.5 平面向量应用举例
2.5 平面向量应用举例1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： .(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： .(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 .(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__ __．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__ __．[知识点拨]向量方法在平面几何中应用的几点说明：(1)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(2)要证明A 、B 、C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →.(3)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可．1．四边形ABCD 中，若AB →＝12DC →，则四边形ABCD 是 ( ) A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形 2．下列直线与a ＝(2,1)垂直的是 ( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x －y ＋4＝0 3．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们合力大小于10N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为________N ( )A ．53B ．10C ．5 2D ．54．若直线l ：mx ＋2y ＋6＝0与向量(1－m,1)平行，则实数m 的值为__ __.命题方向1 ⇨向量在平面几何中的应用典例1 如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2.求对角线AC 的长．〔跟踪练习1〕如图所示，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，试用向量证明：AC ⊥BD ．命题方向2 ⇨向量在物理中的应用典例2 如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围.〔跟踪练习2〕两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i 、j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1、F 2分别对该质点所做的功；(2)F 1、F 2的合力F 对该质点所做的功．用向量方法探究存在性问题做题时，我们会遇到一些存在性问题、比较复杂的综合问题等等，解决此类问题常常运用坐标法，坐标法就是把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了解决问题的难度．另外，坐标法又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁．因此我们要善于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化．典例3 在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 是边AC 上靠近点A 的一个三等分点，试问：在线段BM (端点除外)上是否存在点P ，使得PC ⊥BM ？〔跟踪练习3〕△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是边BC 的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．对向量相等的定义理解不清楚典例4 已知在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相互平分，且AC ⊥BD ，求证：四边形ABCD 是菱形. 〔跟踪练习4〕如右图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接DP 、EF ，求证：DP ⊥EF .1．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是 ( )A ．(8,0)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为 ( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形3．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为 ( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝04．已知△ABC 的重心是G ，CA 的中点为M ，且A 、M 、G 三点的坐标分别是(6,6)，(7,4)，(163，83)，则|BC |为 ( )A ．410B ．10C ．102D ．210A 级 基础巩固一、选择题1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1→、F 2→，则|F 1→＋F 2→|为 ( )A ．(5,0)B ．(－5,0)C ． 5D ．－ 52．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是 ( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形3．已知点A (－2,0)，B (0,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是 ( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是 ( )A ．5B ．－5C ．32D ．－325．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的 ( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高线的交点6．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为 ( )A ．40 NB ．102NC ．202ND ．402N二、填空题7．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做功的是__ __.8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 .三、解答题9．在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，用向量法证明CD ＝12AB ． 10．某人骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a km/h 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.B 级 素养提升一、选择题1．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m) ( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10) 2．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( )A ．5B ．25C ．5D ．103．已知点O 、N 、P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O 、N 、P 依次是△ABC 的 ( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心4．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝ ( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10二、填空题5．某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走303m 到达点B ，则此人的位移的大小是____m ，方向是东偏北____.6．作用于同一点的两个力F 1、F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为7．已知：▱ABCD 中，AC ＝BD ，求证：四边形ABCD 是矩形.8．如图所示，已知▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长.。
2.5_平面向量应用举例
(1)支持力对A做的功； (2)合外力对滑块A做的功．
解析：(1)WN＝N·s＝Nscos〈N，s〉． ∵cos〈N，s〉＝0，∴WN＝0. (2)W 合＝ΔEkA＝12mv2，
过点 B 作东西基线的垂线，交 AC 于点 D，则△ABD 为正三角形，所以 BD＝AB＝CD＝1000 km，
∠CBD＝∠BCD＝12∠BDA＝30°. 所以∠ABC＝90°.
BC＝ACsin 60°＝2000× 23＝1000 3(km)， |B→C|＝1000 3 km.
所以，飞机从 B 地到 C 地的位移大小是 1000 3 km， 方向是南偏西 30°.
①＋②得 h·b＋h·a＝0， ∴C→H·B→A＝0. ∴三条高线 AD，BE，CF 相交于一点．
用向量方法证明垂直问题
用向量方法证明：直径所对的圆周角是直角．
分析：通过证明B→A·C→A＝0.
解析：证明：如图所示，
( ) B→A·C→A＝(B→O＋O→A)·O→A－O→C ，
| | | | ∵B→O＝O→C且
2．证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等， 常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔_______⇔_______.
3．求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝______.
4．求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线 性运算、向量模的公式＝________.
1.a＝λb x1y2－x2y1＝0 2.a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
而 v2t－v20＝2as 代入数据得 W 合＝16 N.
平面向量应用举例课件(人教A必修
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平面向量在物理中的应用 平面向量在解决实际问题 中的应用
平面向量的概念
平面向量在解析几何中的 应用
平面向量与其他数学知识 的综合应用
01
添加章节标题
02
平面向量的概念
向量的定义和表示方法
向量的定义：向量是 具有大小和方向的量， 通常用有向线段表示
向量在平面几何中的应用
向量表示：用有向线段表示向量，可以直观地表示向量的大小和方向 向量运算：向量的加法、减法、数乘和数量积等运算，可以解决平面几何中的很多问题 向量坐标：向量的坐标表示，可以方便地进行向量的运算和比较 向量应用：向量在平面几何中的应用，如求线段长度、求角、求面积等
向量在解析几何中的线性关系
向量与不等式： 向量的模、向量 的夹角等概念与 不等式的性质、 不等式的解法等 概念相结合，解 决实际问题。
向量与函数：向 量的线性组合、 向量的模、向量 的夹角等概念与 函数的定义、函 数的性质、函数 的极限等概念相 结合，解决实际 问题。
向量与几何：向 量的线性组合、 向量的模、向量 的夹角等概念与 几何的性质、几 何的解法等概念 相结合，解决实 际问题。
向量在解析几何中的向量的向量积和向量的混合积
向量积：两个向量的乘积，结果为一个向量，其方向与两个向量垂直，大小等于两个向 量的模的乘积
混合积：三个向量的乘积，结果为一个标量，其大小等于三个向量的模的乘积
应用：在解析几何中，向量积和混合积可以用来解决一些几何问题，如求三角形的面积、 求直线与平面的夹角等
的乘积之和
向量的向量积： 也称为叉积或 外积，是两个 向量对应分量
的乘积之差
2.5.2平面向量应用举例
例2: 如图，□ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关 系吗？
猜想： AR=RT=TC E
D R
F T B
C
A
解：设 A B = a , A D = b , A R = r , 则 A C = a + b 由于 A R 与 AC 共线，故设 r = n(a + b ), n ∈ R 又因为 E R 与 E B 共线，
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你 问题： 能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
DB = AB − AD,
AC = AB + AD,
D
C
猜想： 猜想：
1.长方形对角线的长度与两条邻 1.长方形对角线的长度与两条邻 边长度之间有何关系？ 边长度之间有何关系？
作业： 作业： P113 习题B组 2 课本P113 习题B 课本
A B m −1 )b = 0 即 ( n − m )a + ( n + 2
练习:证明直径所对的圆周角是直角 练习
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 AC ⊥ CB ，即 AC⋅CB = 0 。 A
C
b = a, OC = b 则 AC = a + b, CB = a −， b
2 2 2 2
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？ 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？ 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 ）建立平面几何与向量的联系， 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 ）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； 夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 ）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述： 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
251平面向量应用举例
由于 AR 与AC 共线，故设 AR r n(a b) , n R
又因为 ER与EB 共线，
所以设ER m EB m(a 1 b)
2
D
F
C
因为 AR AE ER E R
T
所以 r 1 b m(a 1 b )
2
2
因此n(a
b)
1Leabharlann bAm(a
1
b)
平面向量应用举例
2.5.1平面几何中的向量方法
景和几向平何量背面概景几念。和何当运中向算的量，向与都量平有方面明法坐确标的系物结理合背
以后，向量的运算就可以完全转化为“代 数”的计算，这就为我们解决物理问题和 几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质， 如平移、全等、相似、长度、夹角都可以 由向量的线性运算及数量积表示出来，因 此，利用向量方法可以解决平面几何中的 一些问题。
B
2
2
即(n m)a (n m 1)b 0 2
由于向量a , b 不共 线，
D
F
C
n m 0
ER
T
n
m 1 2
0
解得：n= m = 1
A
B
3
所以AR 1 AC,同理TC 1 AC,于是RT 1 AC
3
3
3
故AT=RT=TC
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
BD2
2
ab
2
ab
2
a
2ab
2
b
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超级记忆法--故事 法
鲁迅本名：周树人 主要作品：《阿Q正传》、、《药》 、
《狂人日记》、《呐喊》、《孔乙 己》 《故乡》、《社戏》、《祝福》。
（图片来自网络）
阿Q吃错了药，发狂地喊着孔乙己
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）；
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
Know--X分类法
费曼学习法--实 操第二步 根据参考，复述你所获得的主要内容
（二） 根 据 参 考 复 述
1.参照教材、辅导书或笔记复述主要内容； 2.复述并不是照着读出来或死记硬背，而是用自己的话去理解 ，想象如果你要把
这个讲给别人听，你会怎样讲。 就像你按照前面的步骤对定于从句的理解是“定语部分是个从句”，就没必要死记
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维 事实知识（know--what）：知道是什么的知识，
主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识， 主 要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识， 主 要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
用向量的知识分析绳子受到的拉力F1的大 小与两绳之间的夹角θ的关系？
1.当逐渐增大时，F1 的大小怎样变化，为什么？ 2.为何值时，F1 最小，最小值是多少？ 3.为何值时，F1 G？
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
（图片来自网络）
费曼学习法--实操步骤
1 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--实 操第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知：平行四边形ABCD。
D
求证：AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A
量用它们表示。
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
超级记忆法-记忆 规律 TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！
TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律 记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
是直角
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
b
B
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
aO
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b
则 AC a b,CB a b ，
由此可得：AC CB a b a b
22
2
1b 2
b)
m(a 1 b)
1
b
2
m(a
A
1
b
)
B
2
2
D
F
C
ER
T
A
即(n
m)a
B
(n
m
1)b
0
2
线 由于向量a, b不共
n m 0
，
n
m 1 2
0
解得：n= m = 1
3
所以AR 1 AC,同理TC 1 AC,于是RT 1 AC
3
3
3
故AT=RT=TC
练习、证明直径所对的圆周角
什么是学习力-含
义
管理知识的能力
（利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习 方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备
习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整 过程
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
例1。一条河的两岸平行，河宽d 500m，一艘 船从A出发航行到河的正对岸B处。航行的速度 v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h， 问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
分析：如图，已知v v1 v2，
V
v1 10km / h, v2 2km / h，
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4
天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景 法
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
解：设 AB a, AD b , AR r ,则 AC a b
由于 AR与 A共C线，故设 r n(a b ), n R
又因为 ER与E共B线，
所以设ER m EB m(a 1 b)
D
F
C
2
因为 AR AE ER E R
T
所以 r 因此n(a
硬背“在复合句中，修饰某一名词或代词的从句叫做定语从句”这个概念。
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法--实 操第三步 没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三） 仅 靠 大 脑 复 述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考， 合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了， 说明还 没有掌握，需要继续回顾。
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整 过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在 编 故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法--简
介
理查德·菲利普斯·费曼