九年级数学 26.1二次函数课件1
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《二次函数》课件
一二
元次
二函
次数
方与
程
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的横坐
标即一元二次方程ax2+bx+c =0的根
抛物线
与x轴
的公共
点情况
有两个公共点⇔∆> 0
有一个公共点⇔∆= 0
没有公共点⇔∆< 0
利用图象法求一元二次方程的根
抛物线
拓 与直线
展 的公共
点个数
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标
羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x
=-2(x-10)2+200(0＜x＜20).
∴当x=10时，S有最大值，此时S=200.
∵200＞187.5，∴张大伯的设计不合理.
应当设计羊圈与墙垂直的两边长为10 m，
与墙平行的一边长为20m.
3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个
2
2
1 2 1
3 2
2
x - (2x-30) = − x +60x-450.
2
2
2
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作
DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F
处，DF交BC于点G.
(3) 当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
(1) 请你求出矩形羊圈的面积；
解：(1)由题意，得羊圈的长为25 m，
宽为(40-25)÷2=7.5(m).
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
九年级数学《二次函数的概念》课件
但不能没有二次项 (4) 自变量x的取值范围是 任意实数，但也要符合实际
二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分 别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1 (3) s=3－2t²
(2)
y=x+
_1_ x
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _1_ －x
(6) v=8π r²
x²
2、m取何值时,
函数
y=
(m+1)xm2
2m
1
+(m-3)x+m 是二次函数？
3，长方体的长与宽均为x，高为8， 求长方体表面积S与x之间的函数 关系式。
一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为2 可以没有一次项和常数项，
4在一块一边长为35米，另一边长 为20米的矩形空地上修建花坛， 如果在四周留出宽度为x米的小路， 中间花坛面积为y平方米，求y与x 之间的函数表达式。
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要掌握的 是 ________________ 。
26.1二次函数
基础回顾：
1，正方形的边长为5，如果边长 增加x，那么面积增加y，求y与x 之间的函数表达式 2， 某商场今年一月份销售额为 50万元，二,三月份平均每月销售 增长率为x，求三月份销售额y与x 之间的函数表达式
二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分 别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1 (3) s=3－2t²
(2)
y=x+
_1_ x
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _1_ －x
(6) v=8π r²
x²
2、m取何值时,
函数
y=
(m+1)xm2
2m
1
+(m-3)x+m 是二次函数？
3，长方体的长与宽均为x，高为8， 求长方体表面积S与x之间的函数 关系式。
一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为2 可以没有一次项和常数项，
4在一块一边长为35米，另一边长 为20米的矩形空地上修建花坛， 如果在四周留出宽度为x米的小路， 中间花坛面积为y平方米，求y与x 之间的函数表达式。
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要掌握的 是 ________________ 。
26.1二次函数
基础回顾：
1，正方形的边长为5，如果边长 增加x，那么面积增加y，求y与x 之间的函数表达式 2， 某商场今年一月份销售额为 50万元，二,三月份平均每月销售 增长率为x，求三月份销售额y与x 之间的函数表达式
二次函数的概念课件(共27张PPT)沪科版数学九年级上学期
初中数学 九年级 第一学期 《二次函数》
26.1 二 次 函 数 的 概 念
上海教育出版社 九年义务教育课本 九年级 第一学期（试用本）
一、情境引入
一、情境引入
消防水枪的喷射路线
一、情境引入
投出的篮球
跳水比赛
一、情境引入
喷水池喷射出的一条水线
一、情境引入
问题1 我们已经学习过哪些函数？
问题2 从哪些方面研究这些函数？
方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式是__________.
问题6 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形．设
其中一段铁丝长为 x 厘米，两个正方形的面积和为
y 平方厘米，那么 y
= − + . 定义域是_________.
关于 x 的函数解析式是_____________
问题3 如何研究新的函数？
实际问题
概
念
图
像
性
质
实际应用
一、情境引入
抛物线
一、情境引入
问题4 如果正方形的边长是 x 厘米，那么它的面积 y 平方厘米是边长 x 厘米的
函数，y 关于 x 的函数解析式是__________．
问题5 一个边长为4厘米的正方形， 若它的边长增加 x 厘米，则面积随之增加
的函数叫做二次函数． 其定义域为一切实数．
二次函数解析式的特点：
1.关于自变量的整式
2.自变量的最高次数为二次
3.二次项系数不为零
二、新知讲授
问题7 已知函数 y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数)，那么 y 是 x 的什么函数？
(1)当 a≠0 时， y 是 x 的二次函数．
26.1 二 次 函 数 的 概 念
上海教育出版社 九年义务教育课本 九年级 第一学期（试用本）
一、情境引入
一、情境引入
消防水枪的喷射路线
一、情境引入
投出的篮球
跳水比赛
一、情境引入
喷水池喷射出的一条水线
一、情境引入
问题1 我们已经学习过哪些函数？
问题2 从哪些方面研究这些函数？
方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式是__________.
问题6 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形．设
其中一段铁丝长为 x 厘米，两个正方形的面积和为
y 平方厘米，那么 y
= − + . 定义域是_________.
关于 x 的函数解析式是_____________
问题3 如何研究新的函数？
实际问题
概
念
图
像
性
质
实际应用
一、情境引入
抛物线
一、情境引入
问题4 如果正方形的边长是 x 厘米，那么它的面积 y 平方厘米是边长 x 厘米的
函数，y 关于 x 的函数解析式是__________．
问题5 一个边长为4厘米的正方形， 若它的边长增加 x 厘米，则面积随之增加
的函数叫做二次函数． 其定义域为一切实数．
二次函数解析式的特点：
1.关于自变量的整式
2.自变量的最高次数为二次
3.二次项系数不为零
二、新知讲授
问题7 已知函数 y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数)，那么 y 是 x 的什么函数？
(1)当 a≠0 时， y 是 x 的二次函数．
上海教育版数学九年级上册26.1《二次函数的概念》ppt课件1
(1)设矩形花圃垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的 一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面 积ym2 ,试将计算结果写在下表的空格中.
AB长x(ｍ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
)
18 16 14
10 8
BC长(ｍ)
12
64
2
18 32 42
50 48 42
面积y(ｍ
48
32 18
思考:函数的自变量x是否可以取任何值呢? 注意:当二次函数表示某个在实际问题中,自变量的
取值范围不仅要使二次函数表达式有意义，而且还 要使实际问题有意义.
例题分析
例１、下列函数哪些是二次函数？哪些 不是？若是二次函数，请指出a、b、c.
(1) y 1- 3x2
(2) y - x 2x2 5
练习
x 3.已知y=(m-4) m23m2 2x 3 是二次函数，求
(2m1)2 的值．
知识拓展
如图，在ΔABC中，AB=AC=20,BC=24,在ΔABC
内截出一个矩形DEFG，且E,F在BC边上，G在AC
Ｓ 边上，设EF=x,
矩形DEFG ,求y 出y与x之间的函数关
系式，并判定它是哪种函数，在确定出自变量的取
确定函数解析式的系数.
待定系数法
练习
1.已知直角三角形两直角边长的和为10cm.设这个直 角三角形的一条直角边长为xcm ,面积为Scm2,求s 关 于x的函数关系式．
2.已知正方体的棱长为xcm，它的表面积为Scm2，
体积为Vcm3 .
(1)分别写出s与x, V 与x之间的函数关系式; (2)这两个函数中，哪一个是x的二次函数？
2)
(2) X的值是否可以任意取?试指出它的取值范围．
AB长x(ｍ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
)
18 16 14
10 8
BC长(ｍ)
12
64
2
18 32 42
50 48 42
面积y(ｍ
48
32 18
思考:函数的自变量x是否可以取任何值呢? 注意:当二次函数表示某个在实际问题中,自变量的
取值范围不仅要使二次函数表达式有意义，而且还 要使实际问题有意义.
例题分析
例１、下列函数哪些是二次函数？哪些 不是？若是二次函数，请指出a、b、c.
(1) y 1- 3x2
(2) y - x 2x2 5
练习
x 3.已知y=(m-4) m23m2 2x 3 是二次函数，求
(2m1)2 的值．
知识拓展
如图，在ΔABC中，AB=AC=20,BC=24,在ΔABC
内截出一个矩形DEFG，且E,F在BC边上，G在AC
Ｓ 边上，设EF=x,
矩形DEFG ,求y 出y与x之间的函数关
系式，并判定它是哪种函数，在确定出自变量的取
确定函数解析式的系数.
待定系数法
练习
1.已知直角三角形两直角边长的和为10cm.设这个直 角三角形的一条直角边长为xcm ,面积为Scm2,求s 关 于x的函数关系式．
2.已知正方体的棱长为xcm，它的表面积为Scm2，
体积为Vcm3 .
(1)分别写出s与x, V 与x之间的函数关系式; (2)这两个函数中，哪一个是x的二次函数？
2)
(2) X的值是否可以任意取?试指出它的取值范围．
九年级数学《y=-ax2的图像及性质》课件
26.1二次函数yy=ax2 的图象和性质
x
复习回顾 导入新课
抛物线
顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 开口大小 增减性
极值
y=ax2 (a>0)
（0，0） y轴
y x
在x轴的上方（除顶点外）
LOREM IPSUM DOLOR
向上
a越大，开口Biblioteka 小；a越小，开口越大x<0时，y随x的增大而减小； x>0时，y随x的增大而增大。 当x=0时，最小值为0。
学而不思则罔
回
头
一
看
我有哪些收获呢？
， 我
与大家共分享！
想 说
还有什么疑问吗?
…
y 1 x2 2
的图象，图象的开口大小与哪个因素有关
小组展示
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 y=-x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
函数图象画法
描点法
0.5 1 1.5 2 ... -0.25 -1 -2.25 -4 ...
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
列表
描点
连线
y=-x2
y ax2
a 绝对值越大，开口越小。
y x2
y 2x2
y 1 x2 2
x
复习回顾 导入新课
抛物线
顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 开口大小 增减性
极值
y=ax2 (a>0)
（0，0） y轴
y x
在x轴的上方（除顶点外）
LOREM IPSUM DOLOR
向上
a越大，开口Biblioteka 小；a越小，开口越大x<0时，y随x的增大而减小； x>0时，y随x的增大而增大。 当x=0时，最小值为0。
学而不思则罔
回
头
一
看
我有哪些收获呢？
， 我
与大家共分享！
想 说
还有什么疑问吗?
…
y 1 x2 2
的图象，图象的开口大小与哪个因素有关
小组展示
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 y=-x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
函数图象画法
描点法
0.5 1 1.5 2 ... -0.25 -1 -2.25 -4 ...
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
列表
描点
连线
y=-x2
y ax2
a 绝对值越大，开口越小。
y x2
y 2x2
y 1 x2 2
初三二次函数ppt课件ppt课件
轴是$x = - \frac{b}{2，利用描点法可以 绘制出二次函数的图像。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
初中九年级上册数学课件 二次函数 1 .二次函数的定义
(1) y 1 x2 3 x 1 22
是，a
1、b
2
3、c
2
1
(2) y x(x 5) 是，a 1、b 5、c 0
(3) y x4 2x2 1 不是
(4) y 3x(2 x) 3x2 不是
6x
例1、判断：下列函数是否为y关于x的二次函
数，如果是，指出其中常数a.b.c的值。
列函数关系式
3、在半径为20（cm）的圆面上，从中心挖去一个 半径为x（cm）的圆面，剩下的面积是y（cm2），写
出变量y与x之间的函数关系式y 400 。 x2
4、某商店以每件21元的价格购进一批商品，该商 店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出 （350-10x）件商品，那么商店所获利润y元与售价x 元的函数关系为y=(x-21)(350。-10x)
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入
函数y x2 px q,得：
｛1 p q 4 4 2 p q 5 解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x2 12x 15
6、已知函数y=(m2-m-2)mx2−5m−4+(m+1)x+m． （1）当m取何值时为二次函数？； （2）当m取何值时为一次函数？．
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 其中称：a为二次项系数，
b为一次项系数，
c为常数项.
注意：二次函数只要求a≠0 ，而b、c 可为0 ： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 二次函数的特殊形式 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、判断：下列函数是否为y关于x的二次函 数，如果是，指出其中常数a.b.c的值。
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
二次函数(1)PPT课件(人教版)
九年级上册人教版数学
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
九年级数学26.1二次函数课件
6. 已知函数 y k 2 xk22 1 ，
(1)当k为何值时，该函数是二次函数？ (2)当k为何值时，该函数是一次函数？
解：(1)由题意，得
k 2 2 2 k 2 0
解得，kk
2 2
∴ 当k为2时，该函数是二
次函数.
(2)由题意，得
k 2 2 1 k 2 0 解得，k 3
y=(10-x-8)(100x+100) 化简 y=-100x2+100x+200
(0≤x≤2)
(0≤x≤2)
降价前 降价后
每件利润 销售量
销售利润
10-8
100
100〔10-8〕
10-x-8 100x+100 (10-x-8)(100x+100)
问题1 y 2x2 20x 问题2 y 100x2 100x 200
y=-3x2-16x+12 1. 把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为 -3x2 ，一 次项系数为 -16 ，常数项为 12 .
2. 函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是〔 C 〕
A.m,n是常数，且m≠0
B.m,n是常数，且n≠0
C.m,n是常数，且m≠n D.m,n为任何实数
例2 若函数 y m 3 xm27 m3x 1 是二次函数，
(1)求m的值；（2）当x=1时，y的值是多少？
解：(1)由题意，得
m2 7 2，
m
3
0，
解得mm
3 ,
3
∴ m的值为3.
(2)当m=3时，函数的表达式为：
y 6x2 1
将x=1代入表达式，得
y=6+1=7, ∴ 当x=1时，y的值为7.
26.1.1二次函数课件(1)
2、下列函数中,哪些是二次函数？
1 ( . (1）y=3(x-1)² +1; （是） 2). y = x + （否） x
(3) s=3-2t² .
1 .（否） （是）(4). y = 2 x -x
怎么 判断
?
(6)v=10πr² （是） (5)y=(x+3)² . （否） -x² (7) y= x² +25 +x³ (8)y=2² +2x
（否） （否）
1、对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （c） 2 2 • A． y = (m - 1) x • B． • C．
y = (m + 1) 2 x 2
y = (m 2 + 1) x 2
• D．
y = (m - 1) x
2
2
3、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项。 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 （3） y=x(1+x)
例题
m取何值时，
2
m - 2m -1 + m(m - 3)x + m 是二次函数？ 函数y= (m+1)x
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3
1、已知函数 y = (m - 3) x m的值
m 2 -7
是二次函数，求
2、已知函数 y = (m - 1)x 数，求m 的值。
m 2 +1
（1） y=πx2
(2) y=x2-2x
(3) y=x2+0.5x+0.06 （4） y=1200x2+2400x+1200
归纳总结：
概念：
初三二次函数ppt课件ppt课件ppt课件
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
九年级数学下册26.1二次函数课件
§26.1二次函数
你知道吗？
函数
k k ≠0 y=kx+b (k ≠0) y = x
一次函数
反比例函数
二次函数
一条直线
双曲线
？ ？
源于生活的数学 引入1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平
均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产 量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵 树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种 一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
解：(1) k
1时 y 是 x 的一次函数.
(2)当 k 2 k 0即 k 0 且 k 1 时 y是 x 的二次函数
小结 拓展 定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,函数
y= (m+1)x
m 2m 1
2
+(m-3)x+m
是二次函数？
2
具有着 这样的性质：当x<0时，函数值y随x的增大而减小； 当x>0时，函数值y随x的增大而增大；当x=0时，函数 取得最小值，最小值y=0.
2 y ax (a 0) 图象的这些特点表明，函数
思考
观察函数 与 的图象，试作出类似的概括，即 思考：若a<0时，抛物线 y ax2 有什么特点？它反映了函 数 y ax2 (a 0) 具有哪些性质？ 将你思考的结果填在下面方框内，并与同伴交流.
假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的 总产量为y(个),那么请你写出y与x之间的 关系式.
源于生活的数学 解:设果园共有（100+x）棵树,平均
你知道吗？
函数
k k ≠0 y=kx+b (k ≠0) y = x
一次函数
反比例函数
二次函数
一条直线
双曲线
？ ？
源于生活的数学 引入1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平
均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产 量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵 树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种 一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
解：(1) k
1时 y 是 x 的一次函数.
(2)当 k 2 k 0即 k 0 且 k 1 时 y是 x 的二次函数
小结 拓展 定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,函数
y= (m+1)x
m 2m 1
2
+(m-3)x+m
是二次函数？
2
具有着 这样的性质：当x<0时，函数值y随x的增大而减小； 当x>0时，函数值y随x的增大而增大；当x=0时，函数 取得最小值，最小值y=0.
2 y ax (a 0) 图象的这些特点表明，函数
思考
观察函数 与 的图象，试作出类似的概括，即 思考：若a<0时，抛物线 y ax2 有什么特点？它反映了函 数 y ax2 (a 0) 具有哪些性质？ 将你思考的结果填在下面方框内，并与同伴交流.
假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的 总产量为y(个),那么请你写出y与x之间的 关系式.
源于生活的数学 解:设果园共有（100+x）棵树,平均
初三数学2611《二次函数》PPT课件(1)
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d 1 n2 3 n②
22
y 20 x2 40x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的,
19:58:30
2、定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
常数项: 4
(5)y= _1_ -x x²
不是二次函数.
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(6) v=10π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 10π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
19:58:30
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=ax+b (a ≠0),其中包括正比例函数
y=kx(k≠0),
反比例函数y=
k x
(k≠0)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
可以发现,这些函数的名称都反映了函数表达 式与自变量的关系.
19:58:30
2、函数 y (k 1 ) x2k 2 k 1
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
19:58:30
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
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_2_.正.2方形的边长为a,如果边长增加2,新图形的
面自变积量s与是a_之a__间,它的的函最数高关次系数式是为__2____S__.=(a+2)2
3.再看函数y=(x+1)2-4，自变量是__x_,自变量的 最高次数是_2__,
这些函数和以前学得函数有什么不 同?
这些函数都是二次函数.
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
y = 2(x-2)2+8x
1.若y=(a2-1)x2是二次函数则, a的取 值范围是_____
2. 关于x的函数
y(m1)xm2m
是二次函数, 求m的值.
3.若函数y(m1)xm23m为2 二次函数，求 m的值。
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26.1二次函数
驶向胜利的 彼岸
观察下列函数：
(1)y = 2x+1 (2)y = -x-4
3 y 2
x (5)y = -4x
(4)y = 5x2 (6)y = ax+1
写出下列函数的表达式,
1.圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之间的
关系____S_ =πr,自2 变量是___,它r 的最高次数是
y x2 1 x
y = ax2+bx+c
y x3 x
y5x2 1x5 3 12 6
A. 1个 B.2 个 C.3个 D.4个
4.把函数y=(5x+7)(x-3)+2x-5 化成一
般形式，写出各项系数。
5.指出下列函数的二次项系数,一次项系数,常数项 分别是多少?
y = -2-3x2
y 3 x2 5
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
2.下列函数关系式中,是二次函数的是(D)
A. y = 2x
B. y = mx2
C. y)x2-ax+a
驶向胜利的 彼岸
B 3.下列函数关系式中,二次函数有 ( )个.
y = (3x-1)2-9x2 y = (x+2)2-4x
面自变积量s与是a_之a__间,它的的函最数高关次系数式是为__2____S__.=(a+2)2
3.再看函数y=(x+1)2-4，自变量是__x_,自变量的 最高次数是_2__,
这些函数和以前学得函数有什么不 同?
这些函数都是二次函数.
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
y = 2(x-2)2+8x
1.若y=(a2-1)x2是二次函数则, a的取 值范围是_____
2. 关于x的函数
y(m1)xm2m
是二次函数, 求m的值.
3.若函数y(m1)xm23m为2 二次函数，求 m的值。
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26.1二次函数
驶向胜利的 彼岸
观察下列函数：
(1)y = 2x+1 (2)y = -x-4
3 y 2
x (5)y = -4x
(4)y = 5x2 (6)y = ax+1
写出下列函数的表达式,
1.圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之间的
关系____S_ =πr,自2 变量是___,它r 的最高次数是
y x2 1 x
y = ax2+bx+c
y x3 x
y5x2 1x5 3 12 6
A. 1个 B.2 个 C.3个 D.4个
4.把函数y=(5x+7)(x-3)+2x-5 化成一
般形式，写出各项系数。
5.指出下列函数的二次项系数,一次项系数,常数项 分别是多少?
y = -2-3x2
y 3 x2 5
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
2.下列函数关系式中,是二次函数的是(D)
A. y = 2x
B. y = mx2
C. y)x2-ax+a
驶向胜利的 彼岸
B 3.下列函数关系式中,二次函数有 ( )个.
y = (3x-1)2-9x2 y = (x+2)2-4x