空间向量与立体几何

a，－a)，P→M＝b2，0，－a， P→D＝(0，a，－a)． 设平面 PMC 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，
n1·P→C＝0⇒bx1＋ay1－az1＝0， 则n1·P→M＝0⇒b2x1－az1＝0， 所以x1＝2baz1，令 z1＝b，
y1＝－z1，
3．弄清立体几何中的“空间角”与“向量夹角”的联系与区 别 (1)利用直线的方向向量求异面直线所成的角，若方向向量的 夹角是锐角或直角，则可直接将该结果作为所求角，若方向 向量的夹角是钝角，则应将钝角的补角作为所求的角．
(2)利用直线的方向向量和平面的法向量求线面角，若两个向 量的夹角是锐角，则该锐角的余角为所求的线面角，若两个 向量夹角是钝角，则该钝角减去 90°为所求的线面角． (3)利用平面的法向量求二面角时，若法向量的夹角与二面角 的平面角同为锐角或钝角，则法向量的夹角就是所求的二面 角，否则法向量的夹角的补角才是所求的二面角．
【解析】 (1)由题意知A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋
14(A→B＋A→D)，从而有 x＝1，y＝14.
(2)容易推出：S→A－S→B＋S→C－S→D＝B→A＋D→C＝0，所以③正确；
又因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，SA＝SB＝SC＝SD
＝
2
，
所
以
→ SA
则 n1＝(2a，－b，b)． 设平面 PDC 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， 则nn22··PP→→CD＝＝00⇒⇒baxy22＋ －aayz22＝－0a，z2＝0， 所以xy22＝＝z02，，
令 z2＝1，则 n2＝(0，1，1)． 因为 n1·n2＝0－b＋b＝0， 所以 n1⊥n2. 所以平面 PMC⊥平面 PDC.
1.已知 A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，
若O→C＝25A→B，则 C 的坐标是(
)
A.－65，－45，－85
B.65，－45，－85
C.－65，－45，85
D.65，45，85
解析：选 A.设点 C 的坐标为(x，y，z)，则O→C＝(x，y，z)．因 为A→B＝(－3，－2，－4)，O→C＝25A→B，所以 x＝－65，y＝－45， z＝－85.故选 A.
1．关注零向量 (1)由于零向量与任意向量平行，所以由 a∥b，b∥c 无法推出 a∥c. (2)0a＝0，而 0·a＝0.
2．正确理解数量积的概念和运算性质 (1)a·b＝a·c(a≠0)的本质是向量 b，c 在向量 a 方向上的投影 相等，b 与 c 不一定相等． (2)求两个向量的夹角是求数量积的关键，也是易错点，如等 边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角为 120°而不是 60°. (3)两个非零向量 a 和 b 的夹角 θ 是锐角(或钝角)的充要条件 是 a·b>0(或<0)且 a 与 b 不同向(或反向)．
(3)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)， 使得 p＝xa＋yb. (4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点 O 和不共线的三 点 A，B，C，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是O→P＝x O→A＋y O→B＋z O→C(其中 x＋y＋z＝1)．
主题 2 空间向量与线面位置关系 如图所示，已知 PA⊥平面 ABCD，
ABCD 为矩形，PA＝AD，M，N 分别为 AB， PC 的中点．求证： (1)MN∥平面 PAD； (2)平面 PMC⊥平面 PDC.
【证明】 (1)如图所示，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz.
解：(1)证明：因为 CB⊥平面 AA1B1B，AM⊂平面 AA1B1B， 所以 CB⊥AM，又因为 AM⊥A1B，A1B∩CB＝B， 所以 AM⊥平面 A1BC， 所以 A1C⊥AM， 同理可证 A1C⊥AN， 又 AM∩AN＝A， 所以 A1C⊥平面 AMN.
(2)以 C 为原点，CD 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，CC1 所在直线为 z 轴，建 立空间直角坐标系 Cxyz， 因为 AB＝2，AD＝2，A1A＝3， 所以 C(0，0，0)，A1(2，2，3)，C1(0，0，3)， C→A1＝(2，2，3)，
【解】 (1)如图， 设 AC，BD 的交点为 E，连接 ME. 因为 PD∥平面 MAC， 平面 MAC∩平面 PDB＝ME， 所以 PD∥ME. 因为 ABCD 是正方形， 所以 E 为 BD 的中点． 所以 M 为 PB 的中点．
空间向量与立体几何
1．空间向量的有关定理和推论 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的 充要条件是存在实数 λ，使得 a＝λb. (2)共线向量定理的推论：若O→A，O→B不共线，则 P，A，B 三 点共线的充要条件是 O→P＝λ O→A＋μ O→B，且 λ＋μ＝1.
(4)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．
如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M，N 分别在 BB1， DD1 上，且 AM⊥A1B，AN⊥A1D. (1)求证：A1C⊥平面 AMN； (2)当 AB＝2，AD＝2，A1A＝3 时，问在线段 AA1 上是否存在 一点 P 使得 C1P∥平面 AMN，若存在，试确定 P 的位置．
→ ·SB
＝
2×2×cos∠ASB
，
→ SC
→ ·SD
＝
2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是S→A·S→B＝S→C·S→D，
因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
【答案】
(1)1
1 4
(2)③④
空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要 条件与平面向量的性质是一致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已 知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使A→P＝xA→B＋ yA→C.
(5)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么 对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa ＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
2．空间向量运算的坐标表示 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． (1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)重要结论 a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
3．模、夹角和距离公式
(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
①|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
②cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b32
.
(2)设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，若点 F 是侧面 CDD1C1 的
中心，且A→F＝A→D＋mA→B－nA→A1，则 m，n 的值分别为 ( )
A．12，－12
B．－12，－12
C．－12，12
D．12，12
解析：选 A.由于A→F＝A→D＋D→F＝A→D＋12(D→C＋D→D1)＝A→D＋12 A→B＋12A→A1，所以 m＝12，n＝－12，故选 A.
主题 1 空间向量的运算 (1)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E
＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则 x＝________，y＝________．
(2)如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，S 到 A、B、C、D 的 距离都等于 2.给出以下结论： ①S→A＋S→B＋S→C＋S→D＝0；②S→A＋S→B－S→C－ S→D＝0；③S→A－S→B＋S→C－S→D＝0；④S→A·S→B＝S→C·S→D；⑤S→A·S→C ＝0，其中正确结论的序号是________．
设 PA＝AD＝a，AB＝b，则有，P(0，0，a)，A(0，0，0)， D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)， 因为 M，N 分别为 AB，PC 的中点，所以 Mb2，0，0， Nb2，a2，a2.
所以M→N＝0，a2，a2，A→P＝(0，0，a)，A→D＝(0，a，0)， 所以M→N＝12A→D＋12A→P. 又因为 MN⊄平面 PAD， 所以 MN∥平面 PAD.
dAB＝|A→B|＝ （a2－a1）2＋（b2－b1）2＋（c2－c1）2.
4．空间向量的运算与线面位置关系的判定 (1)设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 v ＝(a2，b2，c2)， 则 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0， l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ka2， b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．
由(1)知 CA1⊥平面 AMN， 故平面 AMN 的一个法向量为C→A1＝(2，2，3)， 设线段 AA1 上存在一点 P(2，2，t)，使得 C1P∥平面 AMN， 则C→1P＝(2，2，t－3)， 因为 C1P∥平面 AMN，
所以C→1P·C→A1＝4＋4＋3t－9＝0， 解得 t＝13，所以 P2，2，13， 所以线段 AA1 上存在一点 P2，2，13，使得 C1P∥平面 AMN.