《振动力学》习题集(含答案)
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《振动力学》习题集（含答案）
质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： ()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得： ()m
k
R a R mR a R k n 343422
+=
+=ω
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系
统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
22
1θ J T =
2k 和3k 相当于串联，则有：
332232 , θθθθθk k =+=
以上两式联立可得：
θθθθ3
22
33232 , k k k k k k +=+=
系统的势能为：
()2
32323212332222121212121θθθθ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U
利用θωθn
= 和U T =可得： ()()
3232132k k J k k k k k n +++=
ω
在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。求固有频率。
图
答案图
解：
对m 进行受力分析可得：
33x k mg =，即3
3k mg
x =
如图可得：
()()2
2221111 ,k b a mga k F x k b a mgb k F x +==+==
()()mg k k b a k b k a b a x x a x x x x 212
2
21212110++=+-+='+= ()mg k mg k k k b a k b k a x x x 0
3212
2212301
1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=+=
则等效弹簧刚度为：
()()2
12322
312
3
212
k k b a k k b k k a k k k b a k e ++++= 则固有频率为：
mg b
a a F +=
2
x x 2
()()(
)[
]
2
22132212
321b k a k k b a k k m b a k k k m k e n ++++==ω
质量1m 在倾角为α的光滑斜面上从高h 处滑下无反弹碰撞质量2m ，如图所示。确定
系统由此产生的自由振动。
图
答案图
解：
对1m 由能量守恒可得（其中1v 的方向为沿斜面向下）：
21112
1
v m gh m =
，即gh v 21=
对整个系统由动量守恒可得：
()02111v m m v m +=，即gh m m m v 22
110+=
令2m 引起的静变形为2x ，则有：
22sin kx g m =α，即k
g m x α
sin 22=
令1m +2m 引起的静变形为12x ，同理有：
()k g m m x αsin 2112+=
得：
k
g m x x x α
sin 12120=
-=
则系统的自由振动可表示为：
t x
t x x n n
n ωωωsin cos 00 +
=
其中系统的固有频率为：
2
1m m k
n +=
ω
注意到0v 与x 方向相反，得系统的自由振动为：
t v t x x n n
n ωωωsin cos 0
0-
=
质量为m 、长为l 的均质杆和弹簧k 及阻尼器c 构成振动系统，如图所示。以杆偏角θ
为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少发生在何时最大角速度是多少发生在何时是否在过静平衡位置时
图 答案图
解：
利用动量矩定理得：
l l c a a k I ⋅-⋅-=θθθ
， 23
1ml I =
0332
2
2
=++θθθka cl ml ， 223ml ka n =ω
n
ml cl ξω2322=， 3
2 1123mk
l a c m c n <⇒<⋅=ωξ
a a k l mg ⋅=⋅
02θ， 202ka
mgl
=θ
a k
l c