理论力学达朗伯原理
理论力学达朗贝尔原理
理论力学达朗贝尔原理达朗贝尔原理（d'Alembert's principle）是理论力学中的一个重要原理，它为研究物体在平衡或运动状态下受力情况提供了重要的理论基础。
达朗贝尔原理的提出，极大地推动了理论力学的发展，对于解决复杂的力学问题具有重要意义。
达朗贝尔原理的核心思想是，在运动坐标系中，对于一个质点系的平衡或运动状态，可以把系统的动力学问题转化为静力学问题来处理。
这就是说，对于一个质点系，可以找到一个虚拟的平衡系统，使得外力在这个虚拟系统中所做的功等于零。
通过这个虚拟系统的构建，我们可以简化动力学问题的求解过程，使得复杂的运动问题变得更加清晰和直观。
达朗贝尔原理的应用范围非常广泛，不仅可以用于刚体的运动问题，还可以用于弹性体、流体等物体的运动问题。
在工程实践中，达朗贝尔原理被广泛应用于各种机械系统的设计与分析中，例如汽车、飞机、船舶等。
通过运用达朗贝尔原理，工程师可以更加准确地分析系统的受力情况，从而设计出更加安全可靠的机械系统。
除此之外，达朗贝尔原理还在理论物理学中有着重要的应用。
在量子力学和相对论物理中，达朗贝尔原理也被广泛地运用于分析粒子的运动规律和相互作用。
通过引入虚拟位移和虚拟功的概念，达朗贝尔原理为理论物理学提供了一种全新的研究方法，为科学家们深入探索微观世界提供了重要的理论工具。
总的来说，达朗贝尔原理作为理论力学中的重要原理，为研究物体的运动和受力问题提供了重要的理论基础。
它的提出和应用，极大地推动了理论力学和工程实践的发展，为科学家们和工程师们提供了重要的研究方法和设计工具。
在今后的研究和实践中，我们应该深入理解达朗贝尔原理的原理和应用，不断拓展其在理论力学和工程领域的应用范围，为人类的科学技术进步做出新的贡献。
《理论力学》第十四章达朗伯原理(动静法)
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )
O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2
MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR
n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
达朗贝尔原理 理论力学
J z mi ri m
2
2 z
－刚体对z轴的转动惯量。
ρ：回转半径
J z J ZC md
2
J z mi ri m
2
2 z
－平行移轴公式
例1 求简单物体的转动惯量。(平行移轴）
解：由转动惯量的定义：
Jc
1 dx x x 3
2
l 2
l 2 l 2
a A R A R O
A O
A O 2( M P sinR )
(Q 3P ) R
2
FIA
g
FN
例6 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O 均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其 质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求： 圆柱体A的角加速度。
(2)
FgC2 MgC2
A
FAX
C2 mg
B
4 均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状 态开始，自固定端O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾 角为 ，忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力。
解题分析
以整体为研究对象，画受力图。
？确定惯性力大小
求解惯性力就是求解运动； 求解FN就是求解未知的约束力（包括动反力）
在已知运动求约束力的问题中，动静法往往十分方便
3.质点系的达朗伯原理
一 原理描述
质点i:
质点系的主动力系，约束力系和惯性力系组成平衡力系：
作用于质点系上的主动力系，约束力系和惯性力 系在形式上组成平衡力系。－质点系的达朗伯原理。
2 i i z
结论
平面刚体做定轴转动
如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直； 向质量对称面进行简化，取转轴与该面交点为简化中心
理论力学精品课程 第十五章 达朗伯原理
YA
d
gl 2g 达 g 设力F 的作用点到点A的距离为 d ， 朗 由合力矩定理，有 l 伯 g F (d cos ) ( cos )dF g 0 2 原 l P 2 sin d 0 gl 2 理 即 d l
0
P
g F
B
P l 2 sin 2g
二、质点系的达朗伯原理
因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等 i i 15.1 值反向，因此有 F 0和 m ( F ) 0 ；而剩下的 i O i 外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约 达 束反力系。设 Fi 、 Ni 分别为作用在第 i 个质点上的 朗 主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得
F Fi (mi ai ) mi ai
3
假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理 l g mA (F ) 0 F d cos P sin 0 2
例2
15.1
g F 代入 的数值，有
达 朗 伯 原 理
Pl 2l 2 sin ( cos 1) 0 2 3g
故有
3g ) 0 或 arccos( 2 2l
一、质点的达朗伯原理
设质量为 m 的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬 15.1 时作用于质点M上的主动力为 F ，约束反力为 N ，其 g 加速度为 a 。 F 达 根据动力学基本方程有 ma F N M F 朗 将上式改写成 F N (ma )0 a
下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯 性力系的简化结果。 15.2 首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质 a i ，刚体的质量为M， 刚 点 M i的质量为mi ，加速度为 a 体 质心的加速度为 C，则惯性力系的主矢为
理论力学第12章 达朗贝尔原理
基础部分——动力学第12 章达朗贝尔原理惯性力Jean le Rond d’Alembert （1717-1783)达朗贝尔达朗贝尔原理达朗贝尔原理具体内容：a F F m −=−='惯性力定义：质点惯性力aF m −=I 一、惯性力的概念aF m −='2222d d d d z ty m t[注意]不是真实力直角坐标自然坐标aF m −=I−a m 质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理合力：NF I FI N =++F F F 注意：◆◆优点：◆可以将动力学问题从形式上转化为静力学动静法◆给动力学问题提供了一种统一的解题格式。
如何测定车辆的加速度？虚加惯性力解：达朗贝尔原理[例12-1]IF 摆式加速计的原理⇒⇒构成形式上的平衡力系质点系的达朗贝尔原理内力外力表明：惯性力系外力平面任意力系实际应用时，同静力学问题一样，选取研究对象；刚体惯性力系的简化简化方法一、质点系惯性力系的主矢与主矩无关有关二、刚体惯性力系的简化◆质心C结论：1IF2IF3IF IRFCm aF−=IR⇒交点O简化tI iF nI iF αα特殊情形：●●αOz O J M −=I 作用在O 点C m a F −=IR t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αt I iFn I iFα[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O=（逆）①2IR ωme F =②αCz O J M −=I （与α反向）③0, 0I IR ==O M F （惯性力主矢、主矩均为零）IRF OM I α（作用于质心C ）C m a F −=IR αCz C J M −=I 质心C IRF CM I α特殊情形：●●⇒[思考]εmr F =t IRrR r mF −=22n IRωε2I 21mr M C=求：惯性力系向质心C 简化的主矢？主矩？达朗贝尔原理上节课内容回顾（质点惯性力）或：质心C Cm a F −=IRαOz O J M −=I Cm a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I ααOz O J M −=I C m a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αCm a F −=IR αCz C J M −=I质心C IRF CM I α质心C[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O =问：若向质心C 简化，则主矢？e =−∑Cx xma F 平面运动微分方程0)( e=−∑αCz C J MF 0e =−∑Cy yma F IRF CM I α⇒⇒[例12-2]解：惯性力系αt RI Fn IRFn AFt A FAM I αtRI Fn IR F nA F t AF AM I α惯性力系）解题步骤及要点：注意：F IR = ma C M I O = J Oz αα思考：AC CθASO[例12-3]先解：惯性力系m gF IR M I C F sF NαR a C =CθASOm gF IRF OxF OyM I C再惯性力系M O[例12-4]解：惯性力系 1I F OM I 2I F α)(=∑F OMα11r a =2211 α22r a =1I F OM I 2I F α[思考题] A BCD E )(118↓=g a A mgF 113T =111≥f主动力系惯性力系RFIRF OMIRF IRF OM I tI iFn I iF∑∑==ii iyzi i i zx z y m J x z m J RF IRF OM I tI iFn I iFRF IRF OM Ill F M l F M y x y x /)]()[( 2I I 2R ⋅−+⋅−ll F M l F M x y x y /)]()[(2I I 2R ⋅++⋅+−ll F M l F M y x y x /)]()[(1I I 1R ⋅++⋅+−ll F M l F M x y x y /)]()[( 1I I 1R ⋅−+⋅−xF R −约束力静动主动力惯性力动约束力I x 02=ωJ 质心过)04222≠+=−ωααωωα惯性主轴z 轴为中心惯性主轴静平衡过质心⇒动平衡中心惯性主轴⇒[例12-5]静平衡动平衡爆破时烟囱怎样倒塌θOAωα解：m g)cos 1(3θ−lg F OxF OyMI On RI F t IRF 受力分析[例12-6])]([)(sin ⋅−−+−+⋅x x l l x x l mg ααθ1()(sin mgl −θB注意：求内力(矩)时惯性力的处理！xθxAB()ml x lα−m l lαBM BxF x mg lByF12-5-1 关于惯性力系的简化OA ωαMI OnR I FtIRFOAωαMI CnRIFtRIFC 思考思考12-5-2 刚体平面运动时有关动力学量的计算mv+C12-5-3 本章知识结构框图达朗贝尔原理惯性力系的简化质点系达朗贝尔原理定轴转动的约束力一般质点系刚体静、动约束力静、动平衡课后学习建议：◆。
理论力学14达朗贝尔原理
质点系惯性力系的主矢量和主矩分别为：
Qi
miaiMaCFra bibliotekd dt
(
mi
vi
)
dp dt
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
d dt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
12
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
15
一、刚体作平动
向质心C简化： RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (miaC )miri aC 0
翻 页
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到
F (i) i
0
,
mO
( Fi (i )
)0
, 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0
mO (Fi(e) )mO (Qi )0
11
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
厢的加速度 a 。
7
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma ) 由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
第十六章达朗伯原理_理论力学
1.第十六章 达朗伯原理 质点的惯性力定义为2. 质点的达朗伯原理：质点上的主动力、约束力及假想的惯性力构成平衡力系。
如果在质系的每个质点上都加上假想的惯性力， 则质系处于平衡， 这就是质系的达朗伯原理。
3. 根据达朗伯原理，可通过加惯性力将动力学问题转化为静力学问题求解。
这就是动静法。
用这种方法解题的优点是可以充分利用静力学中的解题方法及技巧。
4. 刚体的惯性力是分布力系，向固定点 主矢 简化的结果是主矩 定轴转动时，惯性力对固定轴的力矩是平面运动时，惯性力向质心简化的结果是5. 刚体绕定轴等角速转动时，由于刚体质量分布不均衡，可以对轴承造成动压力。
轴承相 应有动反力，其值为使轴承动反力为零，转轴必须是刚体的一根中心惯性主轴，这时刚体是动平衡的。
达朗伯原理提供了研究动力学问题的新的普遍方法， 即用静力学中研究平衡问题的方法求解 动力学问题，此法又称动静法。
§16-1 质点的达朗伯原理 1. 叙述与证明 对非自由质点，主动力 ，约束力 ；由牛顿第二运动定律得 （16-1） 或引入记号 则有（16-2）（16-3）矢量有力的量纲，称为惯性力。
式（16-3）表明，如果在质点上除作用有主动力及约束力外,再假想地加上惯性力,则这些力构成平衡力系。
这就是质点的达朗伯原理。
2.关于惯性力对于质点本身，惯性力是假想的。
但确有方向与相反，大小等于 的力 存在，它作用在使质点运动状态（速度 ）发生改变的物体上。
例如，人推车前进，这个力向后作用在人手上；链球运动员转动链球作圆周运动，球有向心 加速度，这个力向外作用在运动员手上（在物理课中常称为离心力） 。
正是通过这个力，我 们感到了物体运动的惯性，所以这个力就称为惯性力。
要注意区别惯性力 及科氏惯性力 3. 解决动力学问题的动静法与质点在相对非惯性系中运动的牵连惯性力 。
前面的 是质点的全加速度。
质点的达朗伯原理表明，如果在运动着的质点上加上 假想的惯性力，则质点处于平衡，因而可将动力学问题化成静力学问题。
理论力学：第12章 达朗伯原理
ai ri ， ain ri2 ， Qi miri ， Qin miri2
向轴 O 点简化： （如图）
主矢——惯性力： Q
Qi
(miai )
MaC
MaC
MaCn
Q
Qn
主矩——惯性力偶： M gO mO (Qi ) mO (Qi ) (Qi ri ) (miri2 ) IO
l 2
cos 45
0
(2)
考虑(a)式，(1)(2)方程包含 4 个未知量：
aCx， aCy， ， TB 。
选 A 为基点，C 为动点，画加速度图如图
aCx aCy a A aCA
考虑刚才的处理方式，列上式投影方程时 避开 aA，即在 NA 方向投影。
在 NA 方向投影： aCx cos 45 aCy sin 45 0 aC A sin(45 30 ) (3) 式中 aC A l
)Q 2
2
M IO
b
(Q sin FIC )(r 2 sin )
(6)
Lb
b
Q cos ( 2 2 cos ) M IC G 3 0
将前面结果代入以上三式，解得
Q(Q sin P)
XH
cos
P 2Q
(Q sin P)2 YH P 2Q G
提问：可以么？
ΣmA (F ) 0
TBl cos 30
mg
l cos 30 2
FIx
l sin 30 2
FIy
l cos 30 2
理论力学——达郎贝尔原理
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
理论力学经典课件-达朗伯原理
3
弹簧参数选择
使用达朗伯原理可以确定弹簧参数，以满足系统的稳定性和运动要求。
达朗伯原理的基本假设
1 理想约束
系统的约束可以用广义坐标表示，且广义坐标不相互依赖。
2 无耗散
系统的约束不引起能量的损耗。
达朗伯原理的三种形式
虚位移原理
系统的广义坐标在可行的无限小位移中，虚功等于零。
虚功原理
各个力沿任意小位移方向所做的虚功之和等于零。
虚功率原理
各个力的虚功率之和等于广义力的负广义势能的导数。
理论力学经典课件-达朗 伯原理
在力学领域，达朗伯原理是一项重要的基本原理，它提供了分析物体或系统 运动的理论框架。在本课件中，我们将探讨达朗伯原理的定义和应用。
达朗伯原理的定义
1 物理意义
达朗伯原理描述了一个自由度系统在广义坐标下运动的基本性质。
2 公式表达
达朗伯原理可以表示为系统动能与势能函数之间的差分式。
达朗伯原理在力学中的应用
通过应用达朗伯原理，我们可以：
• 分析并预测系统的运动 • 推导出系统的运动方程 • 计算系统的能量变化
达朗伯原理广泛应用于：
• 刚体力学 • 含有约束达朗伯原理中的虚位移是指系统在可能的位移下进行力学分析。通过选择合适的虚位移，我们可以简化问题并 得到更简洁的方程。
达朗伯原理在系统平衡分析中的应用
达朗伯原理可以用于分析系统的平衡条件，从而确定约束力和广义力的关系。这对于研究平衡稳定性和找到系 统的平衡位置非常重要。
达朗伯原理的实际应用举例
1
汽车悬挂系统
通过达朗伯原理，可以分析汽车悬挂系统的运动特性，优化系统设计。
2
自鸣钟
达朗伯原理可以解释自鸣钟的工作原理，为其设计和制造提供指导。
理论力学经典课件达朗伯原理
该原理最初是为了解释物体运动 中的惯性力和主动力之间的关系 ，后来被广泛应用于理论力学和 工程学领域。
达朗伯原理的基本概念
达朗伯原理指出，在一个动力学系统 中，对于任何一个质点，其受到的合 外力等于零，即惯性力与主动力之和 为零。
这意味着在考虑物体运动时，只需要 考虑主动力，而惯性力则会自动平衡 掉。
02
达朗伯原理的数学表达
动力学方程的建立
牛顿第二定律
在经典力学中，物体的加速度与 作用力成正比，与物体的质量成 反比。
动力学方程
根据牛顿第二定律，可以建立物 体运动的动力学方程，描述物体 的速度、加速度和作用力之间的 关系。
惯性力和非惯性力的关系
惯性力
在非惯性参考系中，为了保持牛顿运 动定律的形式不变，引入了惯性力的 概念。
详细描述
达朗伯原理指出，在考虑重力、空气阻力和其他外力的情况 下，单摆的运动方程可以由牛顿第二定律和达朗伯原理推导 出来。通过分析，可以得出单摆的周期和振幅与外力之间的 关系。
刚体的平面运动分析
总结词
利用达朗伯原理，可以对刚体在平面内的运动进行动力学分析。
详细描述
在刚体平面运动的分析中，达朗伯原理可以帮助我们建立刚体的运动方程。通过 分析，可以得出刚体的速度、加速度以及作用在刚体上的力和力矩之间的关系。
达朗伯原理的应用范围
达朗伯原理在理论力学中有着广泛的应用，特别是在分析动力学系统和 振动问题时。
它可以帮助我们理解和分析物体的运动规律，例如在研究行星运动、机 械振动、弹性力学等领域中都有重要应用。
此外，达朗伯原理还可以应用于工程学领域，例如在结构设计、机械振 动控制等方面。通过应用达朗伯原理，我们可以更好地理解和预测物体 的运动行为，从而优化设计、提高系统的稳定性和可靠性。
11理论力学达朗贝尔原理
三、 质点系的达朗贝尔原理
设质点系由n个质点组成，其中任意质点i的质量为mi， 加速度为ai。
（1）若把作用于此质点上的所有力分为主动力的合
力Fi、约束力的合力FNi，再虚拟加上此质点的 惯性力FIi= –miai。
由质点的达朗贝尔原理，有
Fi+ FNi+ FIi =0 （11－3） 该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、
F x 0,FIi cosi FA 0OFLeabharlann y 0,FIi sini FB 0
而
FIi = miain
m
2R
Ri
R 2
R Δθi
θi
FIi
B
x
FB
19
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
令 Δθi
0，有
FIi
cosi
2 0
m
2
R 2
cosd
mR 2 2
FIi
sini
2 0
m
2
R 2 sind
例11－3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω定轴 转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考 虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。
y
A
R O
B
x
18
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
解：由于对称，取四分之一轮 缘为研究对象，如图所示。
轮缘横截面张力设为FA、FB。
y
FA
A
取圆心角为Δθi的微小弧段， 每段 加惯性力FIi。 列平衡方程
FIi 0
故
i 1 n
i 1 n
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
i 1
i 1
(14-4)
理论力学12达朗伯原理
也可以将质点系受力按内力、外力划分,
Fi(e)
(i)
F i
Qi 0
注意到 F i(i)0, m O(F i(i))0
则
Fi(e)Qi 0
mO(Fi(e))编 辑pmptO(Qi)0
10
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
Q i m ia i M a C d d( tm iv i) d d Kt
FNm a0
FNQ0
质点的达朗伯原理
编辑ppt
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
编辑ppt
7
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
我们在简化中心 D 上附加一个平动动系 DxD yDzD，如图 所示，可得
rc为平动参考系中看到的质心 C 的矢径。上式将惯性力主矩分解为两项， 第一项为平动参考系中看到的惯性力主矩，即相对运动惯性力主矩；
第二项为质点系的质量集中到简化中心 D 产生的惯性力矩，
为了简化计算，我们希望这一项不出现
编辑ppt
厢的加速度 a 。
编辑ppt
8
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Qm a (Qm)a
由动静法, 取X坐标如图：有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得加速度
agtg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。
理论力学 第11章 达朗伯原理(动静法)
解： (1)绳FI 被剪断后，板在其自身平面内作
D
E
曲线平动，各点的速度、加速度均相同。 板受力如图。
∵剪断绳FI 瞬时，vA= 0，
FA
60° y FB
60°
A
aA
B
∴ aA = aA = aC 对板虚加惯性力， FI = maC
……①
FICຫໍສະໝຸດ bFG MIaC x
则根据达朗伯原理，有
∑FX = 0，
(2)当AD、BE铅直时,板受力如图。
设板质心的加速度如图。 虚加板的惯性力系，且
D
E
60°
FA l
FB
FIn=maCn ， FI =maC
……①
A
B
则根据达朗伯原理，有
aCn FFII C
∑ FX = 0， －FI = 0
……②
FG
aC MI
∑ FY = 0， FA+ FB －MI－FIn = 0 ……③
• 达朗伯原理将非自由质点系的动力学方程用静力学平衡方程的形式表述。 或者说，将事实上的动力学问题转化为形式上的静力学平衡问题，既所 谓“动静法”。
12.1 惯性力与达朗伯原理
图示圆锥摆摆长为l，摆锤M 的质量m，在水平面内 作匀速圆周运动，速度为v，锥摆的顶角为2φ。 摆锤 M 受力如图，其加速度为
i 1
i 1
② 在解决质点系动力学的两类基本问题上，达朗伯原理均适用。 但若已知质点系的运动，需要求解该系统的约束反力或外力时， 应用达朗伯原理尤其方便。
③ 应用达朗伯原理的关键是解决质点系的惯性力系的简化问题。
12.2 惯性力系的简化—— 一、刚体作平动
在同一瞬时，平动刚体内各点的加速度相等，
理论力学达朗贝尔原理
§10-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的 惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力R Q 和一个 惯性力偶 M QO 。
RQ QmaMaC MQOmO(Q)
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
5
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F ， 约束反力 N ，合力 RFNm a FNm a0
FNQ0
质点的达朗伯原理
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
7
例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
8
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Qm a (Qm)a
由动静法, 有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得
agtg
对平面任意力系：
Xi(e) Qix0 Yi(e) Qiy0 mO(Fi(e) )mO(Qi )0
对于空间任意力系：
Xi(e)Qix0 , mx(Fi(e))mx(Qi)0 Yi(e)Qiy0 , my(Fi(e))my(Qi)0 Zi(e)Qiz0 , mz(Fi(e))mz(Qi)0
dv dvdv dvgsin dt d dt Rd
v2 2gR(1cos)
F Nm(3 g co s2)
§10-2 质点系的达朗伯原理
理论力学PPT课件第7章达郎贝尔原理
动力学方程的概念
总结词
动力学方程是描述系统运动状态变化的数学方程，包括牛顿第二定律、动量守恒定律、角动量守恒定律等。
详细描述
动力学方程是描述系统运动状态变化的数学模型，包括牛顿第二定律、动量守恒定律、角动量守恒定律等。这些 方程描述了系统在不同条件下运动状态的变化规律，是理论力学中的基本方程。通过求解动力学方程，可以预测 系统在不同条件下的运动状态。
冲量
在给定的时间间隔内，力对物体 的积累效应，等于物体动量的增 量。
达郎贝尔原理的重要性
揭示了力的作用效果
达郎贝尔原理揭示了力的作用效果与 冲量之间的关系，为研究动力学问题 提供了重要的理论基础。
简化问题
通过引入冲量，可以将复杂的动力学 问题简化为更易于处理的形式，有助 于理解和分析物体的运动规律。
等效约束反力在任意虚位移上所做的虚功等于原系统在相同 虚位移上所做的内力虚功。
达郎贝尔原理的证明方法
证明方法一
利用虚功原理和牛顿第二定律推 导达郎贝尔原理。
证明方法二
利用拉格朗日方程和约束反力推导 达郎贝尔原理。
证明方法三
利用哈密顿原理和变分法推导达郎 贝尔原理。
04
CATALOGUE
达郎贝尔原理的应用实例
广义达郎贝尔原理的意义
这个原理是经典力学和量子力学中的重要原理，对于理解 物理系统的动力学行为和演化规律具有重要意义。
非惯性系中的达郎贝尔原理
非惯性系中的达郎尔原理
在非惯性系中，由于存在额外的惯性力，达郎贝尔原理的形式会有所不同。此时，系统受 到的外力等于动量的时间变化率。
非惯性系中的达郎贝尔原理推导
理论力学ppt课件第 7章达郎贝尔原理
目 录
• 达郎贝尔原理的概述 • 达郎贝尔原理的基本概念 • 达郎贝尔原理的推导过程 • 达郎贝尔原理的应用实例 • 达郎贝尔原理的扩展与深化
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向质心C点简化 ’
Fg' R FgR miai mac
M gC M gO M O (FgR )
M gO MO (FgR) J z (FgR rC )
ai ri
Jz mrC2 (Jz mrC2)
JC
J z miri2 Jz JC mrC2
结论：刚体绕与对称面垂直的定轴转动时，惯性力系可以简化为对称面内
质点系达朗伯原理
Fi FNi Fgi 0 i 1，2， ，n
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Fi FNi Fgi 0
MO (Fi ) MO (FNi ) MO (Fgi ) 0
A 2
Av2
惯性力
Fg F'
F
F
an
F Fg F man
动力学问题
F ma F Fg 0
形式上的静力平衡
Fg man —离心力作用在使叶片产生加速度的叶轮上
刚体惯性力系的简化
1．刚体作平动
Fgi miai miac
合力大小： FgR Fgi miaC maC
位置： MO (FgR ) MO (Fgi ) ri miaC
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
例1：电机护环直径D，环截面面积A，材料密度 （kg/m3）， 转子角速度=常数。
求：护环截面张力。
y
解：研究对象： 四分之一护环
F2
dFg
受力分析：如图示
d
运动分析：an
D 2
2
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理又称为“动静法”
研究对象是动力学问题
所用的方法是静力学方法
引入惯性力
用达朗贝尔原理处理问题的关键:惯性力系的简化
达朗贝尔原理是在十八世纪随着机器动力学问题的发展而提出的，它
提供了有别于质心运动定理与转动方程的分析和解决动力学问题的一种新的 普遍方法，但却获得了与上述定理形式上等价的动力学方程，尤其适用于非 自由质点系统求解动约束力和弹性杆件动应力等问题。因此在工程技术中有 着广泛应用。
引入质点的惯性力Fg =－ma 这 一概念，于是上式可改写成
AF
F FN Fg 0
上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和 质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。
质点达朗伯原理
F FN Fg 0 质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx Fgx 0 Fy FNy Fgy 0 Fz FNz Fgz 0
达朗贝尔原理
第十四章 达朗贝尔原理
爆破时烟囱怎样倒塌
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理 惯性力系简化 动静法应用举例 转子的静平衡与动平衡
一、质点达朗伯原理
设质量为m的非自由质点M，在主动
力F和约束力FN作用下沿曲线运动，
FN
该质点的动力学基本方程为
B
ma F FN
或
Fg M
ma a
F FN (ma) 0
向转轴O点简化 主矢：
FgR miai mac
FgR FgnR
主矩： M gO M O (Fgi ) [MO (Fgi) MO (Fgni)]
MO (Fgi) miai ri
miri2 Jo
’
ai ri
Jo miri2
Jo JC mrC2
2．刚体绕定轴转动
二、质点系达朗伯原理 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将
达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
Fi FNi Fgi 0 i 1，2， ，n
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
miri ac
mrc ac
rc mac rc FgR
ri O rC
结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于 刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。
2．刚体绕定轴转动 刚体有对称面，且转轴与对称面垂直。
Fgi miai mi (ai ain )
质点系达朗伯原理
Fi FNi Fgi 0 MO (Fi ) MO (FNi ) MO (Fgi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
π dFg Ads an
D A 2ds
2
D2 4
A 2d
x F1
2
Fx 0 : dFg cos F2 0
0 π
F2
D2 4
A 2 sin
π 2
sin
0
D2 4
A 2
Av2
2
Fy 0 : dFg sin F1 0
0
F1
D2 4
A2 cos
π 2
cos 0
D2 4
主矩：
M gC M C (Fgi )
[MC (FgC ) MC (FgiC) MC (FgniC)]
MC (FgiC) miaiC riC miri2C JC
结论：刚体在与对称面平行的平面内运动时，惯性力系可以简化为对称面
的一个力和一个力偶。该力等于mac，方向与ac方向相反，作用在
轴(质心)上；该力偶的矩等于Jo (JC )，方向与相反。
例：图示均质杆AB质量为m，长为l， 绕O点作定轴转动，角速度为， 角加速度为，计算杆上惯性力 系向O点和质心C简化的结果。
解：运动分析
aC
l
2
aCn
l 2
2
aC
l 2
4 2
质心C简化
4 2
Fg' R
maC
ml 2
4 2
M gO
JO
1 ml2
3
M gC
JC
1 12
ml 2
3．刚体作平面运动
刚体有对称面，且平行与对称面运动
CC
Fgi miai mi (aC aiC ainC )
CC
miaC mi (aiC ainC)
向质心C点简化
主矢： FgR miai mac