理论力学达朗伯原理

二、质点系达朗伯原理 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将
达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
Fi FNi Fgi 0 i 1，2， ，n
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
A 2
Av2
惯性力
Fg F'
F
F
an
F Fg F man
动力学问题
F ma F Fg 0
形式上的静力平衡
Fg man —离心力作用在使叶片产生加速度的叶轮上
刚体惯性力系的简化
1．刚体作平动
Fgi miai miac
合力大小： FgR Fgi miaC maC
位置： MO (FgR ) MO (Fgi ) ri miaC
质点系达朗伯原理
Fi FNi Fgi 0 i 1，2， ，n
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Fi FNi Fgi 0
MO (Fi ) MO (FNi ) MO (Fgi ) 0
向质心C点简化 ’
Fg' R FgR miai mac
M gC M gO M O (FgR )
M gO MO (FgR) J z (FgR rC )
ai ri
Jz mrC2 (Jz mrC2)
JC
J z miri2 Jz JC mrC2
结论：刚体绕与对称面垂直的定轴转动时，惯性力系可以简化为对称面内
π dFg Ads an
D A 2ds
2
D2 4
A 2d
x F1
2
Fx 0 : dFg cos F2 0
0 π
F2
D2 4
A 2 sin
π 2
sin
0
D2 4
A 2
Av2
2
Fy 0 : dFg sin F1 0
0
F1
D2 4
A2 cos
π 2
cos 0
D2 4
的一个力和一个力偶。该力等于mac，方向与ac方向相反，作用在
轴(质心)上；该力偶的矩等于Jo (JC )，方向与相反。
例：图示均质杆AB质量为m，长为l， 绕O点作定轴转动，角速度为， 角加速度为，计算杆上惯性力 系向O点和质心C简化的结果。
解：运动分析
aC
l
2
aCn
பைடு நூலகம்
l 2
2
aC
l 2
4 2
向O点简化
引入质点的惯性力Fg =－ma 这 一概念，于是上式可改写成
AF
F FN Fg 0
上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和 质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。
质点达朗伯原理
F FN Fg 0 质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx Fgx 0 Fy FNy Fgy 0 Fz FNz Fgz 0
向转轴O点简化 主矢：
FgR miai mac
FgR FgnR
主矩： M gO M O (Fgi ) [MO (Fgi) MO (Fgni)]
MO (Fgi) miai ri
miri2 Jo
’
ai ri
Jo miri2
Jo JC mrC2
2．刚体绕定轴转动
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理又称为“动静法”
研究对象是动力学问题
所用的方法是静力学方法
引入惯性力
用达朗贝尔原理处理问题的关键:惯性力系的简化
达朗贝尔原理是在十八世纪随着机器动力学问题的发展而提出的，它
提供了有别于质心运动定理与转动方程的分析和解决动力学问题的一种新的 普遍方法，但却获得了与上述定理形式上等价的动力学方程，尤其适用于非 自由质点系统求解动约束力和弹性杆件动应力等问题。因此在工程技术中有 着广泛应用。
质点系达朗伯原理
Fi FNi Fgi 0 MO (Fi ) MO (FNi ) MO (Fgi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
主矩：
M gC M C (Fgi )
[MC (FgC ) MC (FgiC) MC (FgniC)]
MC (FgiC) miaiC riC miri2C JC
结论：刚体在与对称面平行的平面内运动时，惯性力系可以简化为对称面
miri ac
mrc ac
rc mac rc FgR
ri O rC
结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于 刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。
2．刚体绕定轴转动 刚体有对称面，且转轴与对称面垂直。
Fgi miai mi (ai ain )
达朗贝尔原理
第十四章 达朗贝尔原理
爆破时烟囱怎样倒塌
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理 惯性力系简化 动静法应用举例 转子的静平衡与动平衡
一、质点达朗伯原理
设质量为m的非自由质点M，在主动
力F和约束力FN作用下沿曲线运动，
FN
该质点的动力学基本方程为
B
ma F FN
或
Fg M
ma a
F FN (ma) 0
FgR
maC
ml 2
向质心C简化
4 2
Fg' R
maC
ml 2
4 2
M gO
JO
1 ml2
3
M gC
JC
1 12
ml 2
3．刚体作平面运动
刚体有对称面，且平行与对称面运动
CC
Fgi miai mi (aC aiC ainC )
CC
miaC mi (aiC ainC)
向质心C点简化
主矢： FgR miai mac
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
例1：电机护环直径D，环截面面积A，材料密度 （kg/m3）， 转子角速度=常数。
求：护环截面张力。
y
解：研究对象： 四分之一护环
F2
dFg
受力分析：如图示
d
运动分析：an
D 2
2