静定梁内力图

例题 3
多跨静定梁举例
多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。 多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。 q qa qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
a
a
2a
a
a
a
qa 2qa
A G B C D E F q
l/2 MG=ql2/12
ql2/24
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MG=ql2/8
由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！！
QA°
MA
QB°
MB
• 首先求出两杆端弯矩，连一虚线， •然后以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷 载作用下的弯矩图。
例题 2
叠加法举列
ql
q
ql /2
A
B
1 2 ql 2
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E 2 ql² /8 l
M图
F
ql
l/2
ql
l/2
ql
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 ql2/8
qa2/2
qa2
qa2/2
M图（kN.m）
40k N A 2m B 2m C 2m D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m F
20k N/m G 4m 2m H
50
40
20
40
40
40
20 M
40 (kN· m)
例：确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩 与支座处的弯矩的绝对值相等
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
2m 2m
60kN.m
15kN
2m
2m
55
30 20 30 5 m/2 m m/2 M 图 (kN.m) 30
8kN
A B 1m RA=17kN 26 4 M图（kN.m） 4 8 1m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN/m
C 2m 2m E
16kN.m
G F 1m 1m RB=7kN
• 1、从几何构造看，多跨静定梁由基本部分及 附属部分组成。 • 将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力 的称为基本部分, 不能独立平衡其上外力的称 为附属部分。附属部分是支承在基本部分的。 • 图示多跨静定梁中ABC，DEFG是基本部 分， CD，GH是附属部分。其层次图如图所 •
2、受力特点：由构造层次图可得到多跨静定梁的 受力特点为：力作用在基本部 分时附属部分不受 力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都 受力。 3、计算步骤：多跨静定梁可由平衡条件求出全 部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算 附属部分，再算基本部分。
q(l 2 x) x qx 2 ql 2 代入上式： 2 2 12
MG
1 2 q(l 2 x) M B x qx 2 2
ql 2 解得： M B 12 3 3 6 l
解得： x
MB=ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2、截面内力计算的基本方法是截面法，也可直接 由截面一边的外力求出内力。内力的直接算式为： 轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和 。 剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和 ，如外力绕截面 形心顺时针转动，投影取正否则 取负。 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩 之和。弯矩及外 力矩产生相同的受拉边。
qa
qa
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa/2
qa/2
qa/2
-3qa/4
9qa/4
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
a
2qa
qa
a
a 3qa/4
＋
2a qa qa/2
－
a 9qa/4
＋
a
a
qa/2
qa/4
qa
－
qa/2 7qa/4
－
qa/2
qa2
Q图（kN）
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/2
qa
§3.3 叠加法绘弯矩图
• 首先求出两杆端弯矩，连一虚线，然后 以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间 荷载作用下的弯矩图。
1、简支梁情况
弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合
MA
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
MB
MA
M′
MB
M(x)=M′(x)+M °(x)
竖标M°M、M′都垂直杆 轴AB，而不是垂直虚线 AB。
注意：外力矩的正负是为了区分它的两种不同的转向。
§3.2 内力图形状特征
• 内力图的形状特征
⑴在自由端、铰结点、铰支座处的截面上无集中力 偶作用时，该截面弯矩等于零（如图1-(a)C右截面、 图1-(b)A截面），有集中力偶作用时，该截面弯矩 等于这个集中力偶，受拉侧可由力偶的转向直接确 定（如图1-(a)C左截面和D截面）。 ⑵在刚结点上，不仅要满足力的投影平衡，各杆 端弯矩还要满力矩平衡条件∑M=0。尤其是两杆相 交刚结点上无外力偶作用时，两杆端弯矩等值，同 侧受拉（如图1-(a)结点B、图1-(b)结点B）。 ⑶定向支座、定向连接处Q=0，Q=0段M图平行 轴线（如图1-(a)AB杆端、图1-(b)BC、CD段）。 ⑷内力图与荷载的对应关系见表3-1。
45° 141kN
125kN.m
所以：M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN Q1= 50 +5×5 －141×0.707 =－25kN
5m
5m
(取外力矩逆时针转向为正方向) (下拉）
M1=125 +141×0.707×10 －50×5 －5/2×5²=812.5kNm
MA
q
＋
MB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M°
MA
M
M′
M°
MB
2、直杆段情况
A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ QB ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MB NB MB
直杆、小变形情况 下，轴力对弯矩无 影响。
MA
(b)
NA Q A MA
图 c 中的简支梁 与图 b 中的杆段受力 (c) 相同。因此，结构中 的任意直杆段都可以 采用叠加法作弯矩图， 作法如下：
学习内容
梁的反力计算和截面内力计算的截面法和直接法； 内力图的形状特征； 叠加法，多跨静定梁的几何组成特点和受力特点； 静定梁的弯矩图和剪力图绘制。
§3.1 截面内பைடு நூலகம்计算
• 1、平面杆件的截面内力分量及正负规定：
轴力N (normal force) 截面上应力沿轴线切向的合力以拉力为正。 剪力Q (shearing force)截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体 顺时针转为正。 弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的力矩。不规 定正负，但弯矩图画在拉侧。
28
30
7 23 8 8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
8
注意： ①弯矩图叠加是竖标相加，不是图形的拼合； ②要熟练地掌握简支梁在跨中荷载作用下的弯矩 图； ③利用叠加法可以少求或不求反力，就可绘制弯 矩图； ④利用叠加法可以少求控制截面的弯矩； ⑤问题越复杂外力越多，叠加法的优越性越突出。
§3.4 多跨静定梁
例题 1
截面计算举列
求截面1、截面2的内力 N2=50－141×cos45o =－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN (取外力矩顺时针转向为正方向) M2＝ 50×5 －125 －141×0.707×5 ＝－375kN.m +
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1 50kN 2
5kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A G B C D E F q
l/2
l
x
q (l 2 x ) M 2
G
↓↓↓↓↓↓
q (l 2 x ) 2
l q
x
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q (l 2 x ) 2
ql 2 M B MB MG可按叠加法求得：M G 8 2