静定梁内力图
浅谈静定梁内力图的一种简便画法
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物线 。 解 ： ． 梁 的支 座反 力 １求 ４确定控制截面 ， 制截面的剪力值 、 ． 求控 弯矩值 ， 并作图。 取整体为研究对象 ， 出受力图（ 画 如上ａ 图示 ） 支座反力大 ， 小 为
Ｆ ＡＹ ：
当内力图为水平直线时 ， 只要确定一个截 面的内力值就可 以
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大 学 时代 ・ ０ ６年 ０ Ｂ２ ０ ４
浅 谈 静 定 梁 内力 图的 种简便 画法
一
罗银 燕
（ 长沙职 工大学
湖 南 长沙
４０ １ ） １０ ５
摘 要 ： 画单跨静定梁的 内 图是建筑力学和工程力学 的重点和难点， 力 本文介 绍的简便法是运用计算 面积 的方法 来计算控制截 面的内力值 ， 从而画 出梁的内力 图。
３作 梁的 剪力 图 ． 从左往右作剪力图
二、 举例说明
例５ ３一外伸梁如图ａ — 所示， 试作 出梁的剪力图和弯矩图。
ｍ
梁的左端点的剪力值等于该处集中力 ， 且剪力正负与集中力 方向一致。即集 中力方向向下， 剪力画在基线下方 ， 为负值 ； 集中 力方向向上， 剪力画在基线上方 ， 为正值。 从左往右作剪力图时，若梁上无荷载 ，剪力图画水平线 ， 剪 力值 为左端点剪力大小 ； 若梁上有均布荷载时， 剪力图画斜直线 ， 且该段右端点剪力值等于该段左端点剪力值ｑ（ ｌ均布荷载向下 ， 取 负号 ， 均布荷载向上 ， 取正号，为该段均布荷载长度）若遇到集 中 ｌ ； 力Ｐ 集中力右侧截面剪力值等于左侧剪力值Ｐ Ｐ ， （ 向下取 负值 ， 向 上取正值 ）若遇到集中力偶 ， ； 剪力图无变化 ， 梁的右端点剪力值
直接用外力计算截面上内力的规律法 ， 具体方法是 ： ｃ 截面剪力值等于３ Ｎ， Ｋ 为负值。ｃ 段上无荷载 ， Ａ 剪力图画水 内力进行分析， （】 １ 用外力直 接求截 面上 剪 力的规律
静定梁的内力
静定梁的内力8.1 弯曲变形的概述弯曲是工程和生活实际中最常见的一种基本变形。
杆件由于受到某种作用,其轴线由直线变成曲线,这种变形称为弯曲。
以弯曲为主要变形的杆件在工程中称为梁。
梁是在工程中应用非常广泛的一种构件。
如阳台挑梁(图8.1)、桥式吊车梁(图8.2)、火车轮轴(图8.3),以及水利工程中的闸门立柱(图8.4)等。
图8.1图8.2图8.3图8.4工程中常见的梁,其横截面通常采用对称形状,如矩形、圆形、工字形及T形等,按照其截面形状可以相应地将其称为矩形截面梁、圆形截面梁以及工字形截面梁等。
建筑工程中以矩形截面梁最为常见,而在钢结构中以工字形截面梁较为常见。
在预制钢筋混凝土构件中存在T形截面梁;现浇钢筋混凝土结构中的矩形截面梁当考虑现浇板作为其翼缘时,在计算模式上也可称为T形截面梁。
上述各种截面的梁其横截面都具有一个竖向对称轴y(图8.5)。
该竖向对称轴与梁轴线所构成的平面称为纵向对称面(图8.6)。
图8.5图8.6具有纵向对称平面的梁,若其所受外力(荷载和支座反力)全部位于纵向对称平面内,则梁弯曲过程中轴线将始终保持在该纵向对称面内,这种弯曲称为平面弯曲。
本章只讨论平面弯曲梁。
梁的分类方式是多种多样的。
按照梁的轴线形状可以分为直梁和曲梁;按照梁的轴线与水平线的关系可以分为平梁和斜梁;按照梁的跨数可以分为单跨梁和多跨梁。
按照梁所在的几何不变体系是否有多余约束又可分为超静定梁和静定梁。
本章主要讨论单跨以及多跨平直静定梁在发生平面弯曲时其横截面上的内力。
8.2 单跨静定梁的内力计算1)剪力和弯矩内力与梁的强度、刚度等有着密切的关系。
内力可以随外力的增加而增大,内力越大,梁的变形也越大,当内力超过一定限度时,梁就会发生破坏。
讨论梁的强度、刚度问题,必须先求出梁的内力。
建筑力学通常研究的是梁横截面上的内力。
梁的内力与外力相关,要计算内力必须先统计梁上承受的外力作用。
统计出梁上的外力后,梁横截面上的内力可用截面法求得。
结构力学课件-单跨静定梁的内力分析
FSK
ql 2
qx
cos
0
x
l
FNK
FAy sin
qx sin 0
FNK
ql 2
qx
sin
0
x
l
③作内力图
MK
ql 2
x
qx2 2
0
x
l
FSK
ql 2
qx
cos
0
x
l
ql sinFNKFra bibliotekql 2
qx
sin
0
x
l
2
ql 2 M图 8
ql cos 2
➢将斜梁与相应水平梁作比较：
q 'l
q 'l
2
2
q 'l tan 2
q 'l2
M图 8cos
FS图
q 'l tan
2
FN图
总结斜梁内力分析的特点：
➢截面内力的计算：截面法 ➢沿水平向布置的竖向荷载作用下，简支斜梁的支座反力和相应水平梁的
支座反力相同，弯矩图相同 ➢沿水平向布置的竖向荷载作用下，斜梁的剪力和轴力是相应水平梁剪力
13.805kN
M max 13.805kN.m
单选题 1分
静定结构在荷载作用下均会产生内力，而且内力大小与杆件截面尺 寸及截面材料均无关。
A 正确 B 错误
提交
四、 简支斜梁的计算 1、斜梁应用：楼梯、屋面斜梁、及具有斜杆的刚架结构中
简支斜梁
2、斜梁所受分布荷载
q q' A
沿水平方向均布荷 载q：活载（人群、 雪载）
Fy 0 FA 10 10 4 33.75 10 2 0 FA 36.25kN ()
梁的内力分析
FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所 有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生 正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则 向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩， 反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生 正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受 力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。
静定结构的内力计算图文
30 30
4m
4m
4m
4m
12kN
12kN 12kN
M 图（kN·m）
9kN
9kN
2kN/m
7kN
5kN
9kN
4.5kN
7.5kN
39
第40页/共76页
作业
习题3-5、3-6、3-9 习题3-10、3-12
40
第41页/共76页
§3-3 三铰拱
41
第42页/共76页
一、 概述
1、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
AC段受力图：
q
MC
t
C
FNC
FQC
n
x
FAY
FAYSinα
（2）求内力方程：
MC = 0 Ft = 0 Fn= 0
M = 1 qlx 1 qx2 (0 x l) 22
FN
=
q(1 l 2
x) sin
(0 x l)
FQ
=
q(1 2
l
x) cos
(0 x l)
FAYcosα
FAY
M中 =162 / 8 6.23/ 2 =1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN A
4.5kN
M 图(kN.m)
B 1.385kN
1. 5kN
38
第39页/共76页
例：主从刚架弯矩图。
12kN
2kN/m
36 36
6m
12 42 30
F
F
曲梁
拱
f / l : 高跨比（1～1/10）
绘制静定梁内力图的几点教学心得
摘要：正确绘制梁的内力图，是正确计算截面应力、变形和对梁进行正确配筋的前提。
其绘制方法虽有多种，但在教学中采取何种方法能使学生快速掌握内力图的画法，有待进一步探索。
针对“三本”独立学院学生的特点，本文结合实例，阐述了快速掌握内力图画法的一般步骤。
关键词：“三本”独立学院《建筑力学》梁内力图绘制方法梁的内力图绘制指的是用图示法表示出剪力Q、弯矩M沿梁长变化的情况，是《建筑力学》教材中的一个重点和难点内容，也是建筑类专业学生必须掌握的基本功。
鉴于“三本”独立学院学生基础较差、学习兴趣不浓等特点，加上《建筑力学》是一门较枯燥的专业课程，为使学生掌握绘制梁内力图这项基本功，我根据《建筑力学》课程的教学经验，总结出下述绘制梁内力图的方法。
1.绘制梁内力图的基本步骤及原理1.1求梁的支座反力支座反力的求解是正确绘制内力图的重要依据。
支座反力一旦计算错误，接下来的各截面内力计算就会是错误，内力图的正确与否也就无从谈起。
求解支座反力时，先要对梁进行正确的受力分析，画出受力分析图，再根据静力学平衡方程即可得到正确值。
1.2对梁进行分段根据梁的荷载情况，假想把梁分成若干段，其原则是以荷载的作用点作为分段点，如集中荷载作用点、集中力偶作用点、均布荷载起止作用点，反力作用点。
1.3判断每段梁内力图形特征在正式绘制每段梁的内力图之前，预先判断出其图形特征是必要的。
主要是利用荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系，其数学表达式为：dQ(x) dx =q(x)（1）；dM(x)dx=Q(x)（2）；d2M(x)dx2=q(x)（3）；而在实际绘图过程中，往往只需要利用式1和式2的倒推关系式，即蘩q(x)dx=Q(x)（4）；蘩Q(x)dx=M(x)（5）；1.3.1当某段无荷载时，即q(x)=0，利用式4可得Q(x)为常数，则该段的剪力图形为水平直线，此时只需求出特征点（分段点）的剪力值便可绘制出剪力图。
1.3.2当某段有均布荷载时，即q(x)为常数，利用式4可得Q (x)为一次函数，则该段的剪力图形为倾斜直线，根据两点确定一条直线，此时只需求出特征点（两个分段点）的剪力值便可绘制出剪力图。
4.4.5 用区段叠加法作静定梁的内力图解析
【例 9.11】简支梁受荷载P和q作用如图9.22(a)所示。试用叠加法画梁的弯矩
【解】将作用在梁上的荷载分为P与q两组。 先分别画出P、q单独作用下的弯矩图，如图9.22(b)、(c)所示。然后将这
两个弯矩图的相应纵坐标叠加起来，如图9.22(a)所示，就是简支梁在集中荷 载P和均布荷载q
【例 9.12】外伸梁受荷载作用如图9.23(a)所示，试用叠加法画梁的弯矩图。
用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出MA 和MB。
区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下：
▲ 首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩 值，按比例标在杆件相应的点上，然后每两点间 连以直线。
▲ 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是 杆件的弯矩图。如果分段杆件的中间还有荷载作用， 那么在直线上还要叠加上荷载单独在相应简支梁上 产生的弯矩图形。
4.4.5 用区段叠加法作 梁的弯矩图
学习目标：学会用叠加法作内力图
叠加法画弯矩图
根据叠加原理来绘制内力图的方法称为叠加法。 用叠加法画弯矩图，绘图时先把作用在梁上的 复杂的荷载分成几组简单的荷载，分别作出各简单 荷载单独作用下的弯矩图，然后将它们相应的纵坐 标叠加，就得到梁在复杂荷载作用下的弯矩图。例 如图9.21(a)、(b)、(c)所示。 用叠加法画弯矩图时，一般先画直线形的弯矩 图，再叠画上曲线形的弯矩图。
图9.23
二、用区段叠加法画弯矩图
对图示简支梁把其 中的AB段取出，其隔 离体如图所示：
把AB隔离体与相 应的简支梁作一对 比：
Fp
q
A
L
q
MA
A
FQAB
q MA
显然两者是完全
A
相同的。
MA
A
结构力学二3-静定结构的内力计算
以例说明如下
例 绘制刚架的弯矩图。 解：
E 5kN
由刚架整体平衡条件 ∑X=0 得 HB=5kN← 此时不需再求竖向反力便可 绘出弯矩图。 有：
30
20 20 75 45
40
0
MA=0 , MEC=0 MCE=20kN· m（外） MCD=20kN· m（外） MB=0 MDB=30kN· m（外） MDC=40kN· m（外）
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图
M图
水平线
⊕
⊖㊀
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化
有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
斜直线
→
↑
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控制 截面。如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、均 布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力值， 按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图的各 控制点。
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的 任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 MAB
例 作图示刚架的内力图
RB↑
←HA
VA→
CB杆：
由∑ X=0 可得： M = CD RB=42kN↑ HA=48kN←， H （左） A=6×8=48kN← 由∑M144 VA=22kN↓ 48 A=0 可得： MEB=MEC=42×3 ↑ （2）逐杆绘M图 R=126kN = 126 · m （下） B 192 MDC=0 CD杆： M =42 × 6-20 × 3 由 ∑Y=0 可得： CB MCD=48kN·m（左） =192kN· m（下） VA=42-20=22kN↓
静定梁和刚架内力分析
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M
(-)
(c)
x
2.作剪力图和弯矩图：
由剪力方程可知，当 0 <x <l，时（即 AB 段上），剪力为 常数，因此剪力图为一条水平的直线；由弯矩方程可知，AB 梁段上沿着轴线方向弯矩呈线性变化，因此，弯矩图为一条斜 直线，只需求出两个端截面上
F A FQ x m m l
在列平衡方程求解内力时，需事先确定截面内力的方向， 而此时截面内力为未知力，因此，一般假定截面内力沿其正向 作用，则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号。 另外，在利用截面法求解前，通常先确定支座反力，因支 座反力并无正负规定，在求支反力前可任意假设正方向。
若结果为正，则表示支反力实际方向与假设方向相同；
上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
其中外力对横截面形心之矩正负号选取规律为： （1）力——不论横截面左侧还是右侧，只要向上就取正，
反之取负；
（2）力偶——横截面左侧顺时针或右侧逆时针取正，反之 取负。 利用上述结论，可以不画分离体的受力图、不列平衡方 程，直接得出横截面的剪力和弯矩。这种方法称为直接法。 直接法将在以后求指定截面内力中被广泛使用。
2
求梁指定截面上的内力的方法： 剪力：梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧梁段 上所有外力在平行于截面方向投影的代数和。 其中外力正负号选取规律为： 横截面左侧梁段上向上的外力取正，横截面右侧梁段上
向下的外力取正；反之取负。
简记为左上右下取正，反之取负。
弯矩：梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧梁段
若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即 上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。 此规律可简化记为“下凸弯矩正”或“左顺，右逆弯矩 正” ，相反为负。
结构力学第3章静定梁的内力计算
❖ 荷载图、剪力图和弯矩图 的特征依次为：零、平、斜； 平、斜、二曲；斜、二曲、三 曲；……
(2)荷载与内力的增量关系
在图3-1-3所示杆件上，取含 有集中力和集中力偶在内的微 段dx，见图 3-1-4(b)，建立 微段平衡方程：
dx
图3-1-4 (b)
FY 0
FQ FQ FQ FP 0
例3-1-1
M
用截面法，求图(a) 所示伸臂梁截面1 上的内力。
M
F A x F A y
F B y
(a) (b)
求解：
1)求支座反力
➢ 去掉支座约束，取整体为隔离 体，见图(b)。建立隔离体的平衡 方程并解之：
MB 0
FAy
3a
M
q 3a
3a 2
FP
4 5
a
0
FAy
MA 0
FAy
1 7
(14 4 3
7 6)
30kN
m
(Hale Waihona Puke )1 FBy 7 (14 4 4 7 1) 33kN m
(↑)
q = 1 4 k N /m
F A x = 0 F A y = 3 0 k N
(a) F B y = 3 3 k N
2)计算控制截面弯矩值
截面法的一般步骤：
1. 计算结构的支座反力和约束
取结构整体（切断结构与大地的约 束）、或取结构的一部分（切开结 构的某些约束）为隔离体，建立平 衡方程。
2. 计算控制截面的内力(指定 截面的内力)
用假想的平面垂直于杆轴切开指 定截面，取截面的任意一侧为隔 离体并在其暴露的横截面上代以 相应的内力（按正方向标出）， 建立平衡方程并求解。
4.4.3静定梁的内力方程及内力图
4.4.3
梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示 为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线 的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩 方程。
பைடு நூலகம் x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
弯曲内力—单跨静定梁的内力图(材料力学课件)
FA
FB
ql 2
()
(2)列剪力方程和弯矩方程
FS (x)
FA
qx
1 2
ql
qx
(0< x l)
M (x)
FA x
1 2
qx 2
1 2
qlx
1 2
qx 2
(0 x l)
(3) 绘制剪力图和弯矩图
两端支座处： 梁跨中：
ql FSmax 2
M max
ql 2 8
q
A C
x
FA
l
1 ql
2
1 ql 2 8
剪力为常数，FS图为
平直线；弯矩为一次
FaFS图FS图(b) (b) 函数，M图为斜直线。
l
Fa
M图
l (c)
M图 (c)
集中力F处，剪力图 发生突变，弯矩图
有尖角。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
A
解：(1)求支座约束力
FA
由梁的整体平衡条件可求得：
M l
e
()
FA
(2)列剪力方程和弯矩方程
单跨静定梁的内力图
1. 剪力方程和弯矩方程 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化的规律，以沿梁轴线的横坐标x表示梁横
截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，按剪力方程和弯矩方程绘出 图形，这种图形分别称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。
剪力方程
FS FS (x)
正剪力画在x轴上方负 剪力画在x轴下方,并在
图中标明“ ”、x轴下方负 剪力画在x轴上方,并在
图中标明“ ”、“ ”。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
5.2多跨静定梁的内力计算与内力图绘制(精)
5.2 多跨静定梁的内力计算与内力图绘制一、多跨静定梁的组成单跨静定梁多使用于跨度不大的情况，如门窗、楼板、屋面大梁、短跨的桥梁以及吊车梁等。
通常将若干根单跨梁用铰相连，并用若干支座与基础连接而组成的静定结构称为多跨静定梁。
如图5. 19(a)所示为房屋建筑中一木檩条的结构图，在各短梁的接头处采用斜搭接加螺栓系紧。
由于接头处不能抵抗弯矩，因而视为铰结点。
其计算简图如图5. 19(b)所示。
从几何组成上看，多跨静定梁的组成部分可分为基本部分和附属部分。
如图5. 19(b)所示，其中梁AB 部分，有三根支座链杆直接与基础（屋架）相连，不依赖其它部分构成几何不变体系，称为基本部分；对于梁的EF 和IJ 部分，因它们在竖向荷载作用下，也能独立保持平衡，故在竖向荷载作用下，可以把它们当作基本部分；而短梁CD 和GH 两部分支承在基本部分之上，需依靠基本部分才能保持其几何不变性，故称为附属部分。
为了清楚地看到梁各部分之间的依存关系和力的传递层次，可以把基本部分画在下层，把附属部分画在上层，如图5.19(c)所示，称为层次图。
BCDEFG H I(f)(g)AB CD E F GHA BCDE F GHII(a)(b)(c)(d)(e)ABCDEF GHIA B C D E F G H I JABCD EFG H IJ檩条屋架上弦图5.19二、多跨静定梁的内力计算从受力分析看，由于基本部分能独立地承受荷载而维持平衡，故当荷载作用于基本部分时，由平衡条件可知，将只有基本部分受力，附属部分不受力。
而当荷载作用于附属部分时，则不仅附属部分受力，其反力将通过铰结处传给基本部分，使基本部分同时受力。
由上述基本部分和附属部分力的传递关系可知，多跨静定梁的计算顺序应该是先计算附属部分，后计算基本部分。
计算附属部分时，应先从附属程度最高的部分算起；计算基本部分时，把计算出的附属部分的约束力反其方向，作为荷载作用于基本部分。
单跨静定梁的内力图(1)PPT课件
.
3
单跨静定梁的内力图
❖ 2.剪力图和弯矩图
❖ 为了能直观地观察出梁各截面上的剪力 和弯矩随截面位置变化的规律，可仿照轴力 图的作法绘出剪力图和弯矩图。绘图时以平 行梁轴线的x为横坐标，表示各横截面的位置， 以FQ或M为纵坐标，表示相应横截面上的剪 力和弯矩，规定FQ轴向上为正，M轴向下为 正。
.
.
7
例4.8 试作图示简支梁在集中荷载
a 1 Fb 2
作用下的剪力图和弯矩图。
解：1. 求支座反力 FA=b/l FP FB=a/l FP
A x
C l
B
1 F2
2.用截面法计算x确定的截 面的内力
A FA
x
x
B FB
AC:
FQ(x)
= FA (0＜
= X
FPb/l
＜ a)
M(X) = FAX= FPb/l x
FA
(0＜ X ＜ l ) 0.5ql
x M(X)
FQ FQ(x)
3.作内力图
（剪力图）
剪力图：一条斜直线
B FB
x 0.5ql
x
弯矩图：二次抛物线
M
ql 2/8 （弯矩图）
.
6
写出梁的内力方程,作内力图。并指出最大内力值以及
q
解
它们所在的截面。
Ax l
B 1.用截面法计算x确定的截面
q MB
Ax
.
10
M
FB
CB
M(X) M
M(X)
FA
FQ(x)
FQ
FQ(x) x
BC: FQ(x) =(L-＜FAX+F＜B=30/2 l )
M/l
学习任务4 多跨静定梁的内力计算与内力图绘制
5.2 多跨静定梁的内力计算与内力图绘制
• 在任意荷载作用下，用静力学平衡方程可以 求出全部约束力和内力的结构称为静定结构 ；仅用静力学平衡方程不能求出全部约束力 和内力的结构称为超静定结构。
• 从几何组成方面来讲：没有多余联系（约束 ）的几何不变体系称为静定结构；具有多余 联系（约束）的几何不变体系称为超静定结 构。
F1 A
F2
B
C
F1 A
F1 A
F1 A
F2 C B
F2
C F2 C
F3 E
D
F3 E D
F4
F F4
F
层 G次
图
G
F3 E
F4 G
F
F3
E
F4
G F
二、多跨静定梁的内力计算
10kN
10kN
A
BC
60° D
2m 4m
F1 A
2m 2m
B C
2m
F2 D
4kN/m
4kN
A
DE
F
4m C 2mBiblioteka 2m 2mq ABA
q
B
C
D
一、 多跨静定梁的组成
(由两段及以上构件组成的梁称为多跨梁)
• 基本部分：直接与地基构成 几何不变体系，能够单独承 担荷载的部分。
• 附属部分：须依靠基本部分 才能成为几何不变的部分
• 层次图：基本部分画在第一 层，附属部分画在第二层
……
F1
F2
A
BC
D
F1 A
F2
C B
D
层次图
作图示多跨梁 的内力图。
大谢家谢辛欣苦赏！了！
Thanks
静定梁的内力—多跨静定梁的内力图(建筑力学)
(3) 计算顺序
先计算附属部分后计算基本部分，即先附属后基础。
§ 8.6 多跨静定梁的内力
多跨静定梁的概念和特点 多跨静定梁的内力图
知识回顾
(1) 多跨静定梁的受力特点 当荷载只作用在基本部分上时，附属部分不受力，即
只有基本部分有内力，而附属部分没有内力；
F
A
BC
当荷载只作用在附属部分上时，基本部分上也会受力， A 附属部分和基本部分都有内力。
(2) 计算顺序 先计算附属部分后计算基本部分，即先附属后基础。
BC
D
例
[例1] 绘制如图所示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。
(a) 30kN
20kN.m
20kN/m
解： （1）绘制层次图
AB和CE梁均为基本部分，BC梁为附属部分（图b所示）。
(c)
（2）画受力图，求约束力
FBx
先附属后基础
8kN/m
12kN
A
FAy 5kN 3m
B
C
D
E
FG
FCy 30.75kN FDy 32.25kN FFy 16kN
1m
4m
1m 3m 1m
(c) 15kN.m
10kN
12kN
A
B
E
FG
FAy
FFBBy 15kN 8kN/m
FEy F4Eky N
FFy
(b) 15kN.m
B 10kN
A
B
(c)
附属部分： 在去掉与其他部分的联系之后（与基础的联系不去掉），本身不能独立维持平衡的部分
称为附属部分，如CE和EF部分。
基本部分：AC、 DF
(b) A
附属部分： CD
建筑力学
第十章静定结构的内力分析本章主要讨论静定结构的内力计算。
它不仅是静定结构位移计算的基础，而且也是超静定结构计算的基础。
第一节静定梁的内力一、单跨静定梁单跨静定梁的力学简图有简支梁、悬臂梁和外伸梁三种形式，如图11-1所示。
图11-1梁内任意截面的内力的计算方法、内力图及弯矩图的做法在本书第六章中已有详细介绍，在此不再详述。
二、多跨静定梁若干根梁用铰相连，并和若干支座与基础相连而组成的静定梁，称为多跨静定梁。
在实际的建筑工程中，多跨静定梁常用来跨越几个相连的跨度。
图10-2(a)所示为一公路或城市桥梁中，常采用的多跨静定梁结构形式之一，其计算简图如图10-2(b)所示。
在房屋建筑结构中的木檩条，也是多跨静定梁的结构形式，如图10-3(a)所示为木檩条的构造图，其计算简图如图10-3(b)所示。
连接单跨梁的一些中间铰，在钢筋混凝土结构中其主要形式常采用企口结合(图10-2a)，而在木结构中常采用斜搭接并用螺栓连接(图10-3a)。
图10-2 图10-3从几何组成分析可知，图10-2(b)中AB梁是直接由链杆支座与地基相连，是几何不变的。
且梁AB本身不依赖梁BC和CD就可以独立承受荷载，称之为基本部分。
如果仅受竖向荷载作用，CD梁也能独立承受荷载维持平衡，同样可视为基本部分。
短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷载并保持平衡，所以，称为附属部分。
同样道理在图10-3(b)中梁AB、CD和EF均为基本部分，梁BC和梁DE为附属部分。
为了更清楚地表示各部分之间的支承关系，把基本部分画在下层，将附属部分画在上层，如图10-2(c)和图10-3(c)所示，我们称它为关系图或层叠图。
计算多跨静定梁时，必须先从附属部分计算，再计算基本部分，按组成顺序的逆过程进行。
例如图10-2(c)，应先从附属梁BC计算，再依次考虑AB、CD梁。
这样便把多跨梁化为单跨梁，分别进行计算，从而可避免解算联立方程。
再将各单跨梁的内力图连在一起，便得到多跨静定梁的内力图。
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10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
2m 2m
60kN.m
15kN
ห้องสมุดไป่ตู้
2m
2m
55
30 20 30 5 m/2 m m/2 M 图 (kN.m) 30
8kN
A B 1m RA=17kN 26 4 M图（kN.m） 4 8 1m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN/m
C 2m 2m E
16kN.m
G F 1m 1m RB=7kN
A G B C D E F q
l/2 MG=ql2/12
ql2/24
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MG=ql2/8
由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！！
2、截面内力计算的基本方法是截面法，也可直接 由截面一边的外力求出内力。内力的直接算式为： 轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和 。 剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和 ，如外力绕截面 形心顺时针转动，投影取正否则 取负。 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩 之和。弯矩及外 力矩产生相同的受拉边。
q(l 2 x) x qx 2 ql 2 代入上式： 2 2 12
MG
1 2 q(l 2 x) M B x qx 2 2
ql 2 解得： M B 12 3 3 6 l
解得： x
MB=ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
QA°
MA
QB°
MB
• 首先求出两杆端弯矩，连一虚线， •然后以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷 载作用下的弯矩图。
例题 2
叠加法举列
ql
q
ql /2
A
B
1 2 ql 2
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E 2 ql² /8 l
M图
F
ql
l/2
ql
l/2
ql
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 ql2/8
学习内容
梁的反力计算和截面内力计算的截面法和直接法； 内力图的形状特征； 叠加法，多跨静定梁的几何组成特点和受力特点； 静定梁的弯矩图和剪力图绘制。
§3.1 截面内力计算
• 1、平面杆件的截面内力分量及正负规定：
轴力N (normal force) 截面上应力沿轴线切向的合力以拉力为正。 剪力Q (shearing force)截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体 顺时针转为正。 弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的力矩。不规 定正负，但弯矩图画在拉侧。
qa2/2
qa2
qa2/2
M图（kN.m）
40k N A 2m B 2m C 2m D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m F
20k N/m G 4m 2m H
50
40
20
40
40
40
20 M
40 (kN· m)
例：确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩 与支座处的弯矩的绝对值相等
例题 1
截面计算举列
求截面1、截面2的内力 N2=50－141×cos45o =－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN (取外力矩顺时针转向为正方向) M2＝ 50×5 －125 －141×0.707×5 ＝－375kN.m +
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1 50kN 2
5kN/m
• 1、从几何构造看，多跨静定梁由基本部分及 附属部分组成。 • 将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力 的称为基本部分, 不能独立平衡其上外力的称 为附属部分。附属部分是支承在基本部分的。 • 图示多跨静定梁中ABC，DEFG是基本部 分， CD，GH是附属部分。其层次图如图所 •
2、受力特点：由构造层次图可得到多跨静定梁的 受力特点为：力作用在基本部 分时附属部分不受 力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都 受力。 3、计算步骤：多跨静定梁可由平衡条件求出全 部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算 附属部分，再算基本部分。
MA
q
＋
MB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M°
MA
M
M′
M°
MB
2、直杆段情况
A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ QB ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MB NB MB
直杆、小变形情况 下，轴力对弯矩无 影响。
MA
(b)
NA Q A MA
图 c 中的简支梁 与图 b 中的杆段受力 (c) 相同。因此，结构中 的任意直杆段都可以 采用叠加法作弯矩图， 作法如下：
45° 141kN
125kN.m
所以：M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN Q1= 50 +5×5 －141×0.707 =－25kN
5m
5m
(取外力矩逆时针转向为正方向) (下拉）
M1=125 +141×0.707×10 －50×5 －5/2×5²=812.5kNm
例题 3
多跨静定梁举例
多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。 多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。 q qa qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
a
a
2a
a
a
a
qa 2qa
28
30
7 23 8 8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
8
注意： ①弯矩图叠加是竖标相加，不是图形的拼合； ②要熟练地掌握简支梁在跨中荷载作用下的弯矩 图； ③利用叠加法可以少求或不求反力，就可绘制弯 矩图； ④利用叠加法可以少求控制截面的弯矩； ⑤问题越复杂外力越多，叠加法的优越性越突出。
§3.4 多跨静定梁
§3.3 叠加法绘弯矩图
• 首先求出两杆端弯矩，连一虚线，然后 以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间 荷载作用下的弯矩图。
1、简支梁情况
弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合
MA
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
MB
MA
M′
MB
M(x)=M′(x)+M °(x)
竖标M°M、M′都垂直杆 轴AB，而不是垂直虚线 AB。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A G B C D E F q
l/2
l
x
q (l 2 x ) M 2
G
↓↓↓↓↓↓
q (l 2 x ) 2
l q
x
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q (l 2 x ) 2
ql 2 M B MB MG可按叠加法求得：M G 8 2
注意：外力矩的正负是为了区分它的两种不同的转向。
§3.2 内力图形状特征
• 内力图的形状特征
⑴在自由端、铰结点、铰支座处的截面上无集中力 偶作用时，该截面弯矩等于零（如图1-(a)C右截面、 图1-(b)A截面），有集中力偶作用时，该截面弯矩 等于这个集中力偶，受拉侧可由力偶的转向直接确 定（如图1-(a)C左截面和D截面）。 ⑵在刚结点上，不仅要满足力的投影平衡，各杆 端弯矩还要满力矩平衡条件∑M=0。尤其是两杆相 交刚结点上无外力偶作用时，两杆端弯矩等值，同 侧受拉（如图1-(a)结点B、图1-(b)结点B）。 ⑶定向支座、定向连接处Q=0，Q=0段M图平行 轴线（如图1-(a)AB杆端、图1-(b)BC、CD段）。 ⑷内力图与荷载的对应关系见表3-1。
qa
qa
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa/2
qa/2
qa/2
-3qa/4
9qa/4
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
a
2qa
qa
a
a 3qa/4
＋
2a qa qa/2
－
a 9qa/4
＋
a
a
qa/2
qa/4
qa
－
qa/2 7qa/4
－
qa/2
qa2
Q图（kN）
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/2
qa