导数与函数的极值、最值

导数与函数的极值、最值

最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).

知识梳理

1.函数的极值与导数

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，

①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.

(2)求可导函数极值的步骤：

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.

2.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×)

(2)函数的极大值不一定比极小值大.(√)

(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×)

(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√)

2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有()

A.极小值－1，极大值1

B.极小值－2，极大值3

C.极小值－2，极大值2

D.极小值－1，极大值3

解析因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x ＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

f(x)极大值极小值

所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3.

答案 D

3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)

的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

解析由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x ＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.

答案 D

4.(2015·陕西卷)函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为________.

解析由y＝x e x可得y′＝e x＋x e x＝e x(x＋1)，从而可得y＝x e x在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x＝－1时，y＝x e x取得极小值－e－1，因为y′|x

＝－1＝0，故切线方程为y＝－e－1，即y＝－

1

e.

答案y＝－1 e

5.(人教A选修1－1P97例5改编)函数f(x)＝1

3x

3－4x＋4在[0，3]上的最大值与最

小值分别为________.

解析由f(x)＝1

3x

3－4x＋4，得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＞0，得x＞2

或x＜－2；

令f′(x)＜0，得－2＜x＜2.所以f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增；在(－2，

2)上单调递减，而f(2)＝－4

3，f(0)＝4，f(3)＝1，故f(x)在[0，3]上的最大值是4，

最小值是－4

3.

答案 4，－4

3

考点一 利用导数研究函数的极值问题 [微题型1] 求不含参函数的极值

【例1－1】 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －3

2，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝1

2x . (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值.

解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1

x ，

由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝1

2x ， 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝5

4.

(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －3

2，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.

因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去. 当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数. 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，

f (x )无极大值.

[微题型2] 求含参函数的极值

【例1－2】 (2015·银川一中一模)求函数f (x )＝ln x －ax ，a ∈R 的极值. 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞). 求导数，得f ′(x )＝1

x －a ＝1－ax x .

(1)若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，无极值； (2)若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1

a .

当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ，＋∞上是减函数.

∴当x ＝1a 时，f (x )有极大值，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＝ln 1a －1＝－ln a －1.

综上所述，当a ≤0时，f (x )无极值；

当a ＞0时，f (x )极大值为－ln a －1，无极小值. 规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤：

(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根左右的值的符号. [微题型3] 已知极值求参数

【例1－3】 已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－4

3，试求b ，c 的值.

解 ∵f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处有极值－4

3， 可得⎩

⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝－1＋2b ＋c ＝0，f （1）＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎨

⎧b ＝1，c ＝－1或⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝3. 若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1). 当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：