导数第十二讲求函数的极值和最值的利器-导数(四)

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函数的极值与导数函数的最大小值与导数PPT课件

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• [例3] 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1， • (1)试求常数a、b、c的值； • (2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． • [解析] (1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0. • 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
• [点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用求函数极值的一般步骤求解．
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• 函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有 • A．极大值为5，极小值为－27 • B．极大值为5，极小值为－11 • C．极大值为5，无极小值 • D．极大值为－27，无极小值 • [答案] C
，该函数在[a，b]上一定能够取得
连续不断的与曲线
，该函数在(a，b)内是
，该函数的最
值必在
最大值
最小值
取得．
可导的
• 3．当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：
极值点或区间端点
• (1)如果在x0附近的左侧
，右侧
，那
么f(x0)是极
值；
f′(x)<0
f′(x)>0 大
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• 而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0. • 代入①式，得a(x2－1)＝0. • ∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2. • ∴a＝2，b＝0.
第33页/共51页x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a、 b、c为常数．
• 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去； • 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． • 当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数； • 当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数， • 所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.

函数的极值与导数课件

【例2】已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取极值0,求常数a,b的值.
分析:求f'(x)→建立关于a,b的方程组→求解a,b→将a,b代入原函
数验证极值情况→根的取舍
解:因为f(x)在x=-1时有极值0,
'(-1) = 0,
且 f'(x)=3x +6ax+b,所以
(-1) = 0,
(7)如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规
律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极
小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且
有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交
替出现的.
2.如何求f(x)的极值?
f'(x)
+
0
f(x)
↗
↘
1
e
故当 x=e 时函数取得极大值,且极大值为 f(e)= , 函数无极小值.
反思求函数的极值应注意以下几点:
(1)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时,若方程f'(x)=0的实
根较多时,应注意使用表格,使极值点一目了然.
(2)讨论函数的性质要遵循定义域优先的原则.
已知极值求参数
所以当x∈(-∞,-3)时,f(x)为增函数;
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;
当x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数.
所以f(x)在x=-1时取得极小值,
因此a=2,b=9.
极值的综合运用
【例3】求函数f(x)=x3-3x2-a(a∈R)的极值,并讨论a为何值时函数
f(x)恰有一个零点.

高中数学的解析如何利用导数求函数的极值

高中数学的解析如何利用导数求函数的极值在高中数学中，求解函数的极值是一个常见的问题。

通过计算函数的导数，可以帮助我们找到函数的极大值或者极小值。

解析法是一种常用且简洁的方法，它基于导函数的性质进行推导和分析。

本文将介绍解析法如何利用导数求解函数的极值。

一、解析法的基本思想解析法利用导数的性质来求解函数的极值。

对于一个函数 f(x)，如果它在某个点 x0 处取得极大值或者极小值，那么 f'(x0) = 0。

此外，如果 f'(x0) 不存在，也可能代表 f(x) 在该点取得极值。

二、求解过程1. 求解导函数首先，我们需要求解原函数 f(x) 的导函数 f'(x)。

根据具体的题目，可以通过求导法则来计算函数的导数，例如常用的求导法则包括和差法、乘法法则、除法法则和链式法则等。

求导的过程需要运用高中数学中学过的求导公式和技巧。

2. 解方程 f'(x) = 0根据解析法的基本思想，我们需要找到函数导数为零的点。

因此，我们需要解方程 f'(x) = 0，找出满足条件的 x 值。

3. 判定极值类型在找到满足 f'(x) = 0 的 x 值后，我们可以通过二阶导数的符号来判定具体的极值类型。

如果 f''(x) > 0，那么函数在该点取得极小值；如果f''(x) < 0，那么函数在该点取得极大值。

如果 f''(x) = 0，则需要结合其他方法进一步进行判定。

4. 给出极值点和极值根据判定的结果，我们可以得到函数的极值点和极值。

我们可以通过代入原函数 f(x) 进行计算，得到极值点的具体数值和函数的极值。

三、解析法的应用举例为了更好地理解解析法的应用，以下以一个具体的数学问题为例来演示。

问题：已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) 的极值点和极值。

解答：1. 求解导函数将函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

函数的极值与最值的求解(导数法)

函数的极值与最值的求解（导数法）函数的极值与最值是数学中重要的概念，它们在数学建模、优化问题等方面具有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍如何使用导数法求解函数的极值与最值问题。

一、函数的极值与最值在介绍如何求解函数的极值与最值之前，我们首先需要明确这两个概念的定义。

对于函数f(x)，如果存在一个区间I，对于区间内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），那么f(x0)就是函数在区间I内的极小值（或极大值）。

而函数f(x)在整个定义域内的最小值和最大值则被称为函数的最小值和最大值。

二、导数法求解极值与最值导数法是求解函数极值与最值常用的方法之一。

通过求解函数的导数和判断导数的正负，可以找到函数的极值点及其对应的极值。

1. 求解函数的极值点首先，我们需要求解函数f(x)的导数，并令导数等于零，即f'(x)=0。

解这个方程可以得到函数的临界点（即导函数为零的点），也就是可能的极值点。

2. 判断极值类型在求得了函数的临界点之后，我们需要判断每个临界点对应的极值类型，即是极小值还是极大值。

我们可以通过求解导数的二阶导数来判断，即求解f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。

若f''(x) > 0，则说明该临界点对应的极小值；若f''(x) < 0，则说明该临界点对应的极大值；若f''(x) = 0，则需要进行其他方法进一步判断。

3. 比较端点值除了求解临界点之外，我们还需要比较函数在区间的端点值，并找出其中的最大值和最小值。

三、实例分析为了更好地理解导数法求解极值与最值的过程，我们举一个实例来进行说明。

假设我们要求解函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1, 3]的极值和最值。

1. 求解导数和临界点首先，求解函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+2。

导数的极值与最值

导数的应用二------函数的极值与最值【考点梳理】考点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.注意：（1）一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（2）区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)注意：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。

【典型例题】类型一：求函数的极值例1. 下列函数的极值。

（1）2()x f x x e -=；【解析】（1）函数的定义域为R 。

22'()2()'2(2)x x x x x f x xe x e x xe x e x x e -----=+⋅-=-=-。

令'()0f x =，得x=0或x=2。

当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且(0)0f =。

导数求极值的方法

导数求极值的方法宝子们，今天咱们来唠唠导数求极值这个超酷的数学方法。

导数呢，就像是一个函数的小跟班，能告诉我们函数的好多小秘密。

那怎么用导数求极值呢？咱先得求出函数的导数。

这就好比是要找到函数变化的小线索。

比如说，有个函数f(x)，求出它的导数f'(x)。

这个导数啊，它反映了函数的斜率变化情况。

当导数f'(x) = 0的时候，这可是个关键的点哦。

这个点就像是函数的一个小站台，函数在这里可能会有极值。

为啥这么说呢？你想啊，导数是斜率嘛，如果斜率为0，那就说明函数在这个地方可能是到了“山顶”或者“山谷”，也就是极大值或者极小值的地方。

不过呢，这里面也有小陷阱。

当f'(x) = 0的点找出来后，咱还得看看这个点周围导数的情况。

如果在这个点的左边，导数是正的，右边是负的，那这个点就是极大值点。

就好像你爬山，爬到一个地方，左边是在往上爬（导数正），右边是在往下走（导数负），那这个地方就是山顶，是极大值啦。

反过来，如果左边导数是负的，右边是正的，这个点就是极小值点，就像到了山谷底部一样。

咱再举个小例子哈。

比如说函数f(x)=x^2，它的导数f'(x)=2x。

当f'(x)=0的时候呢，2x = 0，解得x = 0。

那我们再看x = 0周围，当x<0的时候，f'(x)<0，当x>0的时候，f'(x)>0，所以x = 0这个点就是极小值点，函数在这个点的值f(0)=0就是极小值。

宝子们，导数求极值其实也没有那么难啦，只要掌握了这个小窍门，就像拿到了打开函数极值大门的小钥匙。

多做几道题，你就会发现其中的乐趣啦，加油哦。

《导数与函数的极值、最值》知识清单

《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是函数的变化率，它反映了函数在某一点处的瞬时变化情况。

如果函数 y ＝ f(x) 在点 x ＝ x₀处的导数存在，那么这个导数表示函数在 x₀点处的切线斜率。

对于函数 y ＝ f(x)，其在 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝lim(Δx → 0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率，物理意义可以是瞬时速度等。

二、函数的极值1、极值的定义设函数 f(x) 在点 x₀及其附近有定义，如果在 x₀附近的左侧 f'（x) ＞ 0 ，右侧 f'（x) ＜ 0 ，那么 f(x₀) 是极大值；如果在 x₀附近的左侧f'（x) ＜ 0 ，右侧 f'（x) ＞ 0 ，那么 f(x₀) 是极小值。

2、求极值的步骤（1）求导数 f'（x) ；（2）解方程 f'（x) ＝ 0 ，找出所有可能的极值点；（3）判断在每个极值点左右两侧导数的符号，确定是极大值还是极小值。

三、函数的最值1、最值的定义函数在某个区间上的最大值和最小值分别称为函数在该区间上的最值。

2、求最值的方法（1）如果函数在闭区间 a, b 上连续，那么先求出函数在开区间（a, b) 内的极值，再将极值与区间端点处的函数值 f(a) 、 f(b) 进行比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。

（2）如果函数在开区间内或无穷区间上，需要考虑函数的单调性、极限等情况来确定最值。

四、导数与函数单调性的关系设函数 y ＝ f(x) 在某个区间内可导，如果 f'（x) ＞ 0 ，则函数在该区间内单调递增；如果 f'（x) ＜ 0 ，则函数在该区间内单调递减。

五、利用导数求函数极值和最值的例子例 1：求函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 1 的极值。

解：首先求导数 f'（x) ＝ 3x² 6x ，令 f'（x) ＝ 0 ，即 3x² 6x ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 。

利用导数求极值问题

利用导数求极值问题在微积分中，利用导数求解极值问题是一种常见的方法。

本文将介绍利用导数求解极值问题的步骤和原理。

通过理解和应用这些概念，我们可以更好地解决实际问题。

1. 导数的基本概念在了解如何求解极值问题之前，我们需要了解导数的基本概念。

导数描述了函数在某点的斜率，可以帮助我们理解函数的变化趋势。

函数f(x)在点x处的导数可以用f'(x)来表示，它的计算方法是求函数在该点的切线斜率。

2. 寻找极值的条件要寻找函数的极值，我们需要找到函数的驻点，即导数为零或不存在的点。

函数在驻点处可能是极大值或极小值。

当导数从正数变为负数时，代表函数经过一个极大值点；当导数从负数变为正数时，代表函数经过一个极小值点。

3. 求解极值的步骤为了求解极值，我们需要按照以下步骤进行计算：- 求函数的导数；- 找到函数的驻点，即导数为零或不存在的点；- 判断驻点处的极值类型，通过导数的变化来确定是极大值还是极小值；- 根据题目要求，计算函数在极值点处的函数值，得到最终的极值。

4. 实例分析为了加深对导数求极值问题的理解，我们来看一个实例。

假设我们要在一个长度为10的墙上建造一个矩形花坛，花坛的两边将与墙平行。

我们需要确定花坛的长和宽，使得花坛的面积最大。

首先，我们设矩形花坛的长为x，宽为y。

由题目可知，矩形花坛的面积为xy。

我们需要表示出面积函数S(x)。

根据题目要求，矩形花坛的两边将与墙平行，因此矩形的周长为2x+2y。

又因为墙的长度为10，所以2x+2y=10，由此得到y=5-x。

将y=5-x代入面积函数S(x)=xy中，得到S(x)=5x-x^2。

接下来，我们需要求解函数S(x)的驻点。

求导得到S'(x)=5-2x，令S'(x)=0，可以得到x=2.5。

我们可以通过计算S''(x)来判断这个点是极大值点还是极小值点。

因为S''(x)=-2，小于零，所以x=2.5是一个极大值点。

导数及其应用利用导数研究函数的极值最值课件

导数及其应用利用导数研究函数的极值最值课件理 ppt xx年xx月xx日contents •导数及其应用•利用导数研究函数的极值最值•课件制作技巧•案例分析•导数的进一步学习与拓展目录01导数及其应用1导数的定义23导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在某一点的斜率。

导数的定义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率。

导数的几何意义导数的物理意义是速度的变化率，即物体运动的速度在某一时刻的变化率。

导数的物理意义导数的计算根据导数的定义，通过求极限来计算导数。

定义法公式法表格法图像法利用导数的运算法则和公式来计算导数。

利用导数表来计算导数。

利用函数图像来估计导数。

最优问题导数可以帮助我们找到最优解，例如在经济学、工程学等领域中，利用导数可以找到最优的成本、价格、利润等。

导数在实际问题中的应用运动问题导数可以描述物体的运动状态，例如速度、加速度等，利用导数可以解决运动问题，例如计算轨迹、碰撞时间等。

物理问题导数可以描述物理现象的变化规律，例如温度、压力、电流等，利用导数可以解决物理问题，例如计算热传导、弹性力学等。

02利用导数研究函数的极值最值极值的定义：设函数$f(x)$在点$x_{0}$的附近有定义。

若在$x_{0}$的左侧$f(x)$单调递增。

在$x_{0}$的右侧$f(x)$单调递减定义法：判断导数由正变负的点，这些点为可能极值点，再检验这些点两侧的导数值，确定是否为极值点。

表格法：通过列表计算函数在各点的导数值，并判断其正负，从而得到极值点。

极值的判定方法极值的概念及判定方法最值的定义及求法最值的定义：函数在某区间内取得最大（小）值的点称为最值点。

对于连续函数，还可以利用介值定理求解最值。

最值的求法利用定义法或表格法求极值点，然后比较极值与端点函数值的大小关系，从而得到最值。

1导数在极值最值问题中的综合应用23导数在极值最值问题中的应用非常广泛，例如在经济、物理、工程等领域都有应用。

高考数学一轮复习教案(含答案)：第2章第12节导数与函数的极值、最值

第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2x2＝x－2x2，令f′(x)＝0得x＝2，又0＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4 B．－2 C．4 D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.]【例1】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]►考法2 根据函数的解析式求极值【例2】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表．故f (x )极大值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a ＞0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，故函数在x ＝1a 处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数有一个极大值点．►考法3 已知函数的极值求参数【例3】 (1)(2020·成都模拟)若函数f (x )＝(x 2＋ax ＋3)e x 在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－22]B ．(－∞，－22)C ．(－∞，－3]D ．(－∞，－3)(2)若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________.(1)C (2)2 [(1)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋3)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3]e x . 令g (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，g (0)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，g (0)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，a ＋3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，a ＋3＜0，解得a ≤－3，故选C.(2)f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x ，∴f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2.由f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2或a ＝6.当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，∴a ＝2.](1)当a ＝1，且函数图象过点(0,1)时，求f (x )的极小值．(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＞0，解得x ＜13或x ＞1；令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.【例4】 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ，当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值．[解] 因为f (x )＝1－x x ＋k ln x ，所以f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2. (1)若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1. (2)若k ≠0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2.①若k ＜0，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. ②若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0，所以k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. 综上，k ＜1e 时，f (x )min ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝e －k －1.【例5】已知函数f (x )＝e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．[解] (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x，令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x. 因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e－5＝5e 5＞5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．[－3,0) [由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎨⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)．]1．(2020·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)·e －3＝0，所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1>0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0；－2<x <1时，f ′(x )<0；x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点．所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.故选A.]2．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；第11页共11页当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．。

【高中数学】导数与函数的极值、最值

考法(一) 利用导数求函数的极值或极值点 [典例] (2018·天津高考改编)设函数 f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中 t1，t2，t3∈R，且
高中数学学科
t1，t2，t3 是公差为 d 的等差数列．
(1)若 t2＝0，d＝1，求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
所以 f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为 f(0)＝1，
所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
(2)设 h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则 h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.
2．(2018·梅州期末)函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A．(－1,3)为函数 y＝f(x)的单调递增区间
高中数学学科
B．(3,5)为函数 y＝f(x)的单调递减区间
C．函数 y＝f(x)在 x＝0 处取得极大值
D．函数 y＝f(x)在 x＝5 处取得极小值
高中数学学科
导数与函数的极值、最值
一、基础知识
1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值：函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

导数的极值与最值

导数的极值与最值
求导数是微积分中十分重要的研究内容，极值和最值可以用求导数来解决。

求极值和最值是利用求函数极值问题的基本方法，这是由函数极商定理得出的结果。

函数极商定理是一种计算极值的定理，说的是：如果把连续、可导的函数y=f(x)的变化分段，其导数在分段处可求出，如果可以使得其导数恰好相等于0，那么x处就是函数y=f(x)的极值点。

函数极值点包括两种情况，即函数的极大值点和极小值点。

函数极大值z点就是函数值在给定区间上单调递减，极小值点是函数值在给定区间上单调递增，它们均小于或等于函数的值，极大值和极小值可以分别求出，而所求的最小值和最大值则与其相应的极大值和极小值相同，这样所求得的最小值被称为函数的最小值，所求得的最大值被称为函数的最大值。

在求一元函数极值和最值时，只要满足声明条件，我们就可以用极值定理将函数极值问题转换为求导数的问题，从而得到函数的最大值和最小值的结果。

最常用的方法是以f’(x)=0为条件变化求解x，然后代入到原函数中求出极值，或者先将f'(x)代入到原函数中，并令x满足f’(x)=0的条件，从而求出极值。

总之，极值与最值的求解都可以用求导数的方法来解决。

利用导数求解函数的极值与最值

利用导数求解函数的极值与最值函数的极值与最值是高中数学中的重要概念之一。

在数学中，我们通过求函数的导数来研究函数的极值与最值。

本文将详细讨论如何利用导数求解函数的极值与最值的方法。

一、函数的极值当函数在某一点处的导数等于零或者不存在时，该点可能为函数的极值点。

具体而言，我们可根据导数的符号变化来判断函数的极值。

1. 当导数的符号从正变负时，函数在该点处取得极大值；2. 当导数的符号从负变正时，函数在该点处取得极小值；3. 当导数的符号不变，或者导数不存在时，函数在该点处可能为极值点，需通过其他方法进行判断。

二、求解函数的极值的步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍如何求解函数的极值。

例：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值。

步骤一：求导数首先，对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

步骤二：解方程f'(x) = 0，得到导数等于零的解对f'(x) = 0进行因式分解，得到(3x - 3)(x - 3) = 0。

解得x = 1或x = 3。

步骤三：求解极值将求得的解代入原函数f(x)，计算函数值。

当x = 1时，f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4；当x = 3时，f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0。

根据我们上文对导数符号变化的判断方法，我们可得出以下结论：当x = 1时，函数取得极小值；当x = 3时，函数取得极大值。

三、函数的最值函数的最值可以通过求解函数的极值来得到。

通常情况下，我们还需要考虑函数在定义域的端点处的取值。

例：求函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。

步骤一：求导数对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 4x - 4。

步骤二：求解极值将导数f'(x) = 0，解得x = 1。

步骤三：求解函数在区间端点处的取值将x = 0和x = 2代入原函数f(x)，计算函数值。

导数与函数的极值与最值

导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是微积分中的重要概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍导数、函数的极值与最值的基本概念、求解方法及其应用。

一、导数的定义及性质导数是函数的一个基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。

在数学中，导数可以用极限的概念来定义。

当函数f(x)在点x处可导时，它的导数f'(x)的定义如下：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗导数具有一些重要的性质，包括可导函数的和、差、积、商的导数运算法则。

这些性质为求解函数的极值和最值提供了数学工具。

二、函数的极值与最值函数的极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

特别地，当函数在某一点上取得最大值或最小值时，称为函数的局部极值。

函数的极大值和极小值统称为极值。

函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。

与极值不同的是，最值可能发生在函数的端点或无穷远处。

函数的最值是极值的一个特例。

三、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们需要利用导数的概念和性质。

下面介绍一些常用的求解方法。

1. 导数为零的点如果在某一点x处，函数的导数f'(x)为零或不存在，那么该点可能是函数的极值点。

然而，这种方法只是提供了一个可能性，我们还需要进行进一步的验证。

2. 导数的符号变化对于连续函数f(x)，如果在某一点x处，f'(x)由正数变为负数，或由负数变为正数，那么该点可能是函数的极值点。

3. 极值的判别法通过求解函数的导数f'(x)的零点，可以得到函数的驻点，即可能的极值点。

然后，通过极值的判别法判断哪些点是真正的极值点。

四、导数与函数的极值与最值的应用导数与函数的极值与最值在实际问题中有着广泛的应用。

以下列举几个例子：1. 经济学中的最大收益问题在经济学中，我们常常需要求解某一产品的最大利润。

利用导数与函数的极值与最值的概念，我们可以优化生产过程，使得利润达到最大化。

导数的应用—函数的极值与最值

导数的应用—函数的极值与最值导数是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。

其中一个重要的应用就是求函数的极值与最值。

本文将通过实例和推导，探讨导数在函数极值与最值问题中的应用。

一、函数的极值首先，我们来介绍一下函数的极值。

对于一个函数$f(x)$，如果在某个点$x=a$处，存在一个邻域，使得在这个邻域内的任意一点$x$，都满足$f(x)\leqf(a)$（或$f(x)\geq f(a)$），那么我们称函数在点$x=a$处取得极大值（或极小值），并将这个值称为函数的极值。

那么如何求函数的极值呢？这就需要用到导数的概念了。

我们知道，导数表示函数在某一点的变化率，而函数的极值对应着导数的零点。

具体来说，如果函数$f(x)$在点$x=a$处取得极值，那么在这个点处的导数$f'(a)$将等于零或不存在。

举个例子来说明。

考虑函数$f(x)=x^2$，我们来求它的极值。

首先，我们求出它的导数$f'(x)=2x$。

然后，令导数等于零，得到方程$2x=0$，解得$x=0$。

所以函数$f(x)=x^2$在点$x=0$处取得极小值。

二、函数的最值除了极值，函数还可能存在最值。

函数的最大值和最小值统称为最值。

与极值相比，最值是函数在整个定义域上的特殊取值。

同样地，我们可以通过导数来求函数的最值。

具体来说，如果函数$f(x)$在某个区间上连续且可导，那么函数的最值要么出现在区间的端点，要么出现在导数为零的点处。

我们再来看一个例子。

考虑函数$f(x)=x^3-3x$，我们要求它的最值。

首先，我们求出它的导数$f'(x)=3x^2-3$。

然后，令导数等于零，得到方程$3x^2-3=0$，解得$x=\pm 1$。

所以函数$f(x)=x^3-3x$的最大值和最小值分别出现在$x=-1$和$x=1$处。

三、实际问题中的应用导数的应用不仅仅局限于数学问题，它在实际问题中也有着广泛的应用。

下面我们通过几个实例来探讨导数在实际问题中求极值与最值的应用。

导数极值最值问题

导数极值最值问题## 最值问题的基本概念和解决方法在数学领域中，最值问题是指在一定的条件下，寻找某个函数或数据集中的最大值或最小值。

这类问题在实际生活和工程领域中经常出现，因此掌握解决最值问题的方法对于数学和应用数学的学习都非常重要。

本文将介绍最值问题的基本概念和常见的解决方法。

### 最大值和最小值的定义在解决最值问题之前，我们首先要了解最大值和最小值的定义。

给定一个函数或数据集，若存在某个数值，使得函数或数据集中的所有数值都小于等于（或大于等于）该数值，则称该数值为最小值（或最大值）。

最值问题即是找到函数或数据集中的最小值或最大值。

### 寻找最值的常用方法在实际问题中，为了寻找函数或数据集中的最值，我们可以使用以下常用方法：1. 求导法：对于给定函数，我们可以通过求导数的方式，找到函数的临界点（导函数等于零的点）和端点，并比较它们的函数值，从而确定最小值或最大值。

2. 枚举法：对于某些简单的函数或数据集，我们可以遍历其所有可能的取值，将每个值与当前已知的最小值或最大值进行比较，最终得到最值。

3. 线性规划法：对于一些带有约束条件的最值问题，可以使用线性规划方法进行求解。

线性规划是一种数学优化方法，可以在一系列线性不等式和等式的约束条件下，找到目标函数的最值。

4. 数值优化算法：数值优化算法是一类通过迭代的方式逐步接近最值的算法。

其中一种常用的算法是梯度下降法，它通过不断计算目标函数在当前点的梯度方向，更新当前点的位置，以逼近最小值。

### 解决最值问题的注意事项在解决最值问题时，需要注意以下几点：1. 针对不同的问题，选择合适的方法：最值问题有多种解决方法，选择合适的方法对于得到正确的结果至关重要。

2. 严格分析条件和限制：在解决最值问题之前，需要仔细分析问题的条件和限制，确保选择的方法满足这些要求。

3. 多个极值点的存在：某些函数可能存在多个局部最值点，但只有一个全局最值点。

因此，为确保得到全局最值，需要综合考虑所有可能的极值点。

导数极值最值问题

导数极值最值问题
【原创实用版】
目录
1.导数极值最值问题的基本概念
2.求解导数极值最值问题的方法
3.导数极值最值问题在实际问题中的应用
正文
一、导数极值最值问题的基本概念
导数极值最值问题是微积分中的一个重要问题，主要研究函数在某一区域内的极值和最值。

极值是指函数在某一点处取得最大值或最小值，而最值则是指函数在某一区域内取得的最大值或最小值。

求解导数极值最值问题，有助于我们更好地理解函数的性质，为实际问题的解决提供理论依据。

二、求解导数极值最值问题的方法
求解导数极值最值问题的基本方法是利用导数和微分方程。

具体步骤如下：
1.求函数的导数：对于给定的函数，我们需要先求出其导数。

2.确定导数为零的点：将导数设为零，求解得到导数为零的点，这些点可能是极值点或最值点。

3.判断极值或最值：根据导数在极值点处的符号，我们可以判断极值点的性质。

如果导数在极值点处为正，则为极大值点；如果导数在极值点处为负，则为极小值点。

而对于最值问题，我们需要在给定的区域内寻找函数的最大值或最小值。

4.求解最值：在确定极值点后，我们需要将极值点代入原函数，求解得到最值。

三、导数极值最值问题在实际问题中的应用
导数极值最值问题在实际问题中有广泛的应用，例如经济学、物理学、工程学等领域。

通过求解导数极值最值问题，我们可以找到函数的最优解，从而为实际问题的解决提供理论依据。

总之，导数极值最值问题是微积分中一个重要的问题，通过求解该问题，我们可以更好地理解函数的性质，并为实际问题的解决提供理论支持。

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